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GUIA # 1 CONJUNTOS SÍMBOLOS



= Llaves, que indican conjunto

= slach, que significa tal que, (tales que) 

= pertenece, se utiliza para indicar que un elemento forma parte de un Conjunto determinado.



= no pertenece, sirve para indicar que un elemento no esta en un conjunto dado.



= contenencia sirve para indicar que un conjunto es subconjunto de propio de otro.



= no contenencia, con el se indica que es un conjunto no es un subconjunto propio de otro. 

= fi, indica el conjunto vació.

U

= nos indica el conjunto universal.



= nos da a entender la unión entre dos o mas conjuntos.



= nos indica la intersección entre dos o mas conjuntos.



= o, disyunción.

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

= y, conjunción.

,

= complemento de A.



= diferencia simétrica o triangular.

__

= diferencia.



= producto cartesiano.

n  A = números de

elementos de A.

n  A  B  = números de elementos de la unión B. ~ = no negación. 

  

= entonces implica condicional. = si solo si, equivale ó bi condicional. = existe un  , cuantificador existencial.

  = para todo  , cuantificador universal.



= paréntesis internos.



= paréntesis externos.

F

= indicativo de proposición falsa

V

= indicativo de proposición verdadera

  = su lectura depende de donde este ubicada la variable a leer

  P  = existe un  que cumpla una condición dada.   P  = existe toda  que cumpla una condición. 

= conjunto de números naturales

Z

= conjunto de números enteros

Q

= conjunto de números racionales



= conjunto de números irracionales

R

= conjunto de números reales

C

= conjunto de números complejos

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2.1 Definiciones 2.1.1 Conjunto: es la colección de objetos especificados en tal forma que se puede firmar con certeza si cualquier objeto dado pertenece o no a la colección. Es importante hacer notar que cuando se listan los elementos de un conjunto no debe aparecer un elemento más de una vez dentro de la lista. Notación: se usan letras mayúsculas para darles un nombre. Igualando la letra a una serie de objetos, estos son encerrados entre { } y la lista de objetos es separada por comas. Por lo que se dice que un conjunto se describe ya sea listando todos sus elementos entre llaves. O bien encerrando entre llaves una regla que determina los elementos del conjunto. En este caso se emplea | que significa "tales que" o "tal que". En forma simbólica: A = {X | P(X)} = {X1, X2,…..} Significa A es el conjunto de todas las X tales que P(X) es verdadera, como X1, X2, etc. Ejemplos: a) A = Conjunto de animales A = {perro, gato, tigre} Significa A es el conjunto de los animales, perro, gato y tigre. b) S = {X | X es el nombre de un varón} = {Pedro, Omar, Jorge} Significa A es el conjunto de nombres de varones, como Pedro, Omar, Jorge. 2.1.2 Miembro o Elemento del Conjunto: es cada uno de los objetos de un conjunto. Ejemplos: a) En el conjunto A = {perro, gato, tigre}, el miembro 1 o elemento 1 es perro; el miembro 2 o elemento 2 es gato; y el miembro 3 o elemento 3 es tigre. b) S = {X | X es un dedo de la mano} Significa que S es el conjunto de todas las X tales que X es un dedo de la mano. 2.1.3 Pertenencia: cuando un elemento es o pertenece a un conjunto dado. Notación: Si "a" es un elemento del Conjunto A, y si "g" no es un elemento del Conjunto A, en forma simbólica se expresa como: a A g A Ejemplos: a) En el conjunto A = {perro, gato, tigre}, se encuentra el perro por lo que se dice que "perro es un elemento del Conjunto A". b) Y también puede decirse que "la flor no es un elemento del Conjunto A".

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2.2 Conjuntos con Nombres Específicos 2.2.1 Conjunto Vació o Nulo: es aquel conjunto que no tiene elementos. Notación: Se representa por una . Ejemplos: a) S = { } b) S = {X | X es un dinosaurio haya sobrevivido hasta la era moderna} c) S = {X | X2 = 3 y además x es un número entero} 2.2.2 Conjunto Finito: es el conjunto cuyos elementos pueden ser contados. Ejemplos: a) S = {X | X es el número de un día del mes de agosto}. b) S = {X | X2 = 4} 2.2.3 Conjunto Infinito: es el conjunto cuyos elementos no pueden ser contados, es decir si se intenta contarlos nunca se terminaría. Ejemplos: S = {1, 3, 5, 7,…..} S = {X | X es un punto sobre la recta numérica} 2.3 Métodos para representar un conjunto 2.3.1 Método de la Regla: como su nombre los dice se encierra entre llaves una regla que determina los elementos del conjunto. Donde regla son los principios que rigen al conjunto. 2.3.2 Método del Listado: se listan todos los elementos del conjunto y se encierran entre llaves. Ejemplos: Regla

Listado

S = {X | X es un día de la semana}

S = {Sábado, Domingo}

S = {X | X 2 = 9}

S = {-3, 3}

S = {X | X es un número natural impar positivo }

S = {1, 3, 5}

S = {X | X es un animal doméstico}

S = {perro, gato}

S = {X | X es un dedo de la mano}

S = {meñique, anular}

S = {X | X es el número de un día del mes de agosto} S = {1, 2, 3, 4, ….., 29, 30, 31}

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Problema: Sea G el conjunto de todos los números tales que x2 = 16 a) Especifique G por el método de la regla b) Especifique G por el método del listado Indique si lo siguiente es verdadero (V) o falso (F) c) 3 G d) 9 G e) -4 G Solución: Regla a) S = {X | X 2 = 16} c) 3 d) 9 e) -4 f) -2

Listado b) S = {-4, 4}

G Solo -4 y 4 pertenecen al conjunto por lo tanto es Falso = F G Solo -4 y 4 pertenecen al conjunto por lo tanto es Verdadero = V G Como -4 y 4 pertenecen al conjunto por lo tanto es Verdadero = V G Solo -4 y 4 pertenecen al conjunto por lo tanto es Verdadero = V

2.4 Subconjuntos Si cada elemento de un conjunto A es también un elemento del conjunto B, se dice que A es un subconjunto de B. Notación: A

B significa "A es un subconjunto de B".

Si no todos los elementos de un conjunto A es elemento del conjunto B, se dice que A no es un subconjunto de B. Notación: A

B significa "A no es un subconjunto de B".

Nota Importante: el conjunto vació es un subconjunto de todo conjunto. Por lo que si A es cualquier conjunto, entonces A. Ejemplos: a) Si A es el Conjunto nombres de seres humanos y B es el Conjunto de nombres de mujeres, entonces : B A b) Si A es el Conjunto nombres de seres humanos y B es el Conjunto de nombres de flores, entonces : B A c) Si A es el conjunto de todas las mujeres estudiantes de un grupo y B es el conjunto de todo el grupo, entonces : A B d) Si A es el conjunto de todas las mujeres profesionistas y B es el conjunto de un grupo de estudiantes, entonces : A B, ni B A. Problema: Liste todos los subconjuntos del conjunto A = {a, b, c} Solución: { a, b, c }, { a, b }, { a, c }, { b, c}, { a }, { b }, { c},

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2.5 Igualdad de los conjuntos Si el conjunto A y el conjunto B tienen exactamente los mismos elementos se dice que los dos conjuntos son iguales. Se emplea en forma común el símbolo ==> para indicar "implica". Notación: A = B significa "A es igual a B porque A y B tienen exactamente los mismos elementos". Ejemplos: a) A = {Paty, Jorge, Rafa}; B = {Paty, Jorge, Rafa} ==> A = B b) A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {| X es un número del 1 al 5} ==> A = B c) A = {X | X2 = 9}; B = {-3, 3} ==> A = B 2.6 Desigualdad de los conjuntos Si el conjunto A y el conjunto B no tienen exactamente los mismos elementos se dice que los dos conjuntos son diferentes. Notación: A B significa "A es diferente a B porque A y B no tienen exactamente los mismos elementos". Ejemplos: a) A = {Patricia, Jorge, Rafa}; B = {Patricia, Jorge, Raquelito} ==> A Rafa y Raquelito son diferentes personas. b) A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {10, 20, 30, 40, 50} ==> A B c) A = {X | X2 = 9}; B = {-2, 2} ==> A B

B, porque

Problema: Se tiene el conjunto A de todas las mujeres estudiantes de un grupo y el conjunto B de todo el grupo que es mixto, y que está formado por: Ana, Beto, Cecilia, Daniel, Esperanza: a) Especifique A por el método de la regla b) Especifique A por el método del listado c) Especifique B por el método de la regla d) Especifique B por el método del listado Indique si lo siguiente es verdadero (V) o falso (F) e) Jimena A f) Tito A g) Beto B h) manzana B i) B A j) A B k) A B l) B = A

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Solución: Regla

Listado

a) A = {X | X es mujer estudiante de un grupo}

b) A = {Ana, Cecilia}

c) B = {X | X es un grupo mixto de personas}

d) B = {Ana, Beto, Cecilia, Daniel, Esperanza}

e) Jimena A. Dado que Jimena no se encuentra en lista b) ==> Jimena A ==> F. f) Tito A. Dado que Tito no se encuentra en lista b) ==> Tito A ==> V. g) Beto B. Dado que Beto se encuentra en lista d) ==> Tito B ==> V. h) manzana B. Dado que manzana es fruta y no se encuentra en lista b) manzana B ==> F. i) B A. Dado que B contiene 5 personas y A solo dos ==> B A ==> F. j) A B. Dado que A tiene dos personas que se encuentran en la lista del conjunto B ==> A B ==> F. k) A B. Dado que A tiene dos personas y B tiene 5 personas ==> A B ==> V. l) B = A. Dado que A tiene dos personas y B tiene 5 personas ==> A B ==> F. 2.7 Conjunto Universal Es el conjunto de todos los elementos bajo consideración. Notación: el conjunto universal se representa por "U". Nota Importante: el resto de los conjuntos de la discusión deben ser subconjuntos de U. Ejemplos: a) Si U = {X | X son los días de la semana}; A = {X | es semana inglesa}; B = {X | es día impar (empezando con lunes)} y C = {X | X es el número de letras del día correspondiente y X < 9}, entonces: U = {X | X son los días de la semana} = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo} A = {X | es semana inglesa} = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes}; B = {X | es día impar (empezando con lunes)} = {lunes, miércoles, viernes, domingo} C = {X | X es el día de la semana, cuya palabra tiene un número de letras menor que 9} = {lunes, martes, jueves, viernes, sábado, domingo}, y puede concluirse que: A

U, B

U, C

U

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2.8 Diagramas de Venn Los diagramas de Venn son ayudas útiles para visualizar las relaciones entre conjuntos. Notación: se dibuja un rectángulo que representa al conjunto universal. Un conjunto específico A se representa por medio de un círculo. Donde A U y se grafica de la siguiente manera:

2.9 Operaciones elementales de Conjuntos 2.9.1 Unión La unión de los Conjuntos A y B, es el conjunto de todos los elementos de A y todos los elementos de B. La Unión puede ser entre dos o más conjuntos. Notación: la forma simbólica de representar A unión B es: = {X | X A o bien X B} Aquí se emplea la partícula (letra) "o" en la forma en que siempre se ha utilizado en matemáticas; es decir, x puede ser un elemento del conjunto A, o bien del conjunto B, o bien de ambos. En diagramas de Venn:

Nota Importante: cuando se resuelven problemas generalmente la unión está asociada a la palabra "o". Ejemplos: a) Si A = {2, 7, 8}, B = {3, 5, 9}, entonces: = {2, 3, 5, 7, 8, 9} Son los elementos que estén en A o que estén en B. En Diagramas de Venn:

b) Si A = {María, Jorge, Luga, Tere}, B = {Tere, Kelvin, Guillermo}, entonces: = {Guillermo, Jorge, Kelvin, Luga, María, Tere} En Diagramas de Venn:

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2.9.2 Intersección La Intersección es entre dos o más conjuntos. Así la Intersección de los Conjuntos A y B, es el conjunto de los elementos del conjunto A que también pertenecen al conjunto B. Notación: la forma simbólica de representar A Intersección B es: = {X | X A y X B} Aquí se emplea la partícula "y" en la forma en que siempre se ha utilizado en matemáticas; es decir, x es un elemento que pertenece al conjunto A y también pertenece al conjunto B, es decir pertenece a ambos conjuntos. En diagramas de Venn:

2.9.3 Conjuntos Ajenos o Disjuntos Cuando dos conjuntos A y B no tienen elementos comunes, su intersección es vacía. En este caso se dice que los conjuntos A y B son ajenos o disjuntos, es decir: A B= Nota Importante: cuando se resuelven problemas generalmente la intersección está asociada a la palabra "y". Ejemplos: a) Si A = {2, 7, 8}, B = {3, 5, 9}, entonces: = En diagramas de Venn:

b) Si A = {María, Jorge, Luga, Tere}, B = {Tere, Kelvin, Guillermo}, entonces: = {Tere} En diagramas de Venn:

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2.9.4 Complemento El complemento de A (con relación a U), que se representa como A', es el conjunto de los elementos de U que no son de A. Notación: la forma simbólica de representar A' es: A' = {X U | X A} A' En diagramas de Venn:

Ejemplo: a) Si U = {2, 3, 5, 7, 8, 9}, y A = {2, 7, 8} entonces: A' = {3, 5, 9} En diagramas de Venn:

EJEMPLO FINAL Si A = {c, f, i}; B = {c, d, e, f, g}, y C = {d, e, g}, entonces: a) = {c, d, e, f, g, i} y en diagrama de Venn:

b)

= {c, f} y en diagrama de Venn:

c)

=

porque A y C son ajenos y en diagrama de Venn:

d) C' con relación a B es C' = {c, f} y en Diagrama de Venn:

e) = C.

= {d, e, g} y en diagramas de Venn: Puede notarse en la figura anterior que

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f) C = g) A h) (

B y en diagramas de Venn: Puede notarse en la figura anterior que (C =C B ) B y en diagramas de Venn:

B)

2.9.5 Diferencia A - B La diferencia de los conjuntos A y B (en ese orden) es el conjunto de los elementos de A que pertenecen a A, pero no pertenecen a B. Notación: La forma simbólica de representar la diferencia de los conjuntos A y B es: A - B = {X | X A y X B} A - B y B-A en diagramas de Venn: En la siguiente figura A - B se representa por el área oscura; B - A por el área clara y por el área gris del centro.

Notas Importantes a cerca de A - B: Del diagrama de Venn anterior se deducen las siguientes operaciones: a) A - B = A B' = B' - A' b) A - B = , si y solo si, A B c) A - B = B - A, si y solo si, A = B d) A - B = A, si y solo si, A B = e) (A - B) A f) Los conjuntos (A - B), A B y (B-A) son mutuamente disjuntos, es decir, la intersección de dos conjuntos cualesquiera es vacía. Ejemplo: a) Sean S = {a, b, c, d} y T = {f, b, d, g}. Entonces S - T = {a, c} b) Sean A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 10}. Entonces A - B = {2, 4, 5} y puede decirse que {2, 4, 5} {1, 2, 3, 4, 5} ===> (A - B) A c) Si A = {María, Jorge, Luga, Tere}, B = {Tere, Kelvin, Guillermo}, entonces: A - B = {María, Jorge, Luga} En diagramas de Venn:

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2.10 Leyes de operaciones con conjuntos Se listan a continuación las leyes más importantes que rigen las operaciones con conjuntos: Leyes de Complemento

Leyes de Complemento

1) (A')' = A 2) ' = U

2') U' =

3) A - A = ; A -

= A; A - B = A B'

Leyes de Identidad

Leyes de Identidad

4) A

4') A

=A

U=A

Leyes de Identidad

Leyes de Identidad

5) A U = U

5') A

Leyes de Idempotencia

Leyes de Idempotencia

6) A A = A

6') A

Leyes de Complemento

Leyes de Complemento

7) A A' = U

7') A

Leyes Asociativas

Leyes Asociativas

8) (A B)

8') ) (A B) C = A

C = A (B C)

=

A=A

A' =

Leyes Conmutativas

Leyes Conmutativas

9) A B = B A

9') A

Leyes Distributivas

Leyes Distributivas

10) A ( B C) = (A

B) (A C)

10') A

B=B A

( B C) = (A

Leyes de Morgan

Leyes de Morgan

11) (A B)' = A' B'

11') (A B)' = A'

Leyes de Morgan

Leyes de Morgan

12) A - (B C) = (A - B)

(A - C)

(B C)

B)

(A C)

B'

12') A - (B C) = (A - B)

(A - C)

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2.11 Teoremas de operaciones con conjuntos Las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento tienen propiedades sencillas, cuando los conjuntos de que se trata son comparables: Teorema 1) Sea A un subconjunto de B. Entonces la intersección de A y B es precisamente A, es decir: A B ==> A B = A Teorema 2) Sea A un subconjunto de B. Entonces la unión de A y B es precisamente B, es decir: A B ==> A B = B Teorema 3) Sea A un subconjunto de B. Entonces B' es un subconjunto de A', es decir: A B ==> B' A' Teorema 4) Sea A un subconjunto de B. Entonces la unión de A y (B-A) es precisamente B, es decir A B ==> A ( B - A) = B 2.12 Problemas resueltos Problema 1 Sean U = {a, b, c, d, e}, A = {a, b, d} y B = {b, d, e}. Hallar: a) A B b) B A c) B' d) B - A e) A' B f) A B' g) A' B' h) B' - A' i) A B' j) (A B)' Solución: a) La A B consta de los elementos de A y los elementos de B, es decir, A B = {a, b, d, e} b) La B A consta de los elementos que son comunes A y a B, es decir, B A = A B = {b, d} c) B' costa de las letras que están en U pero no en B; así que B' = {a, c} d) El conjunto B - A está formado por los elementos de B que no están en A, es decir, B - A = {e} e) A' = {c, e} y B = {b, d, e}; así que A' B = {e} f) A = {a, b, d} y B' = {a, c}; así que A B' = {a, b, c, d}

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g) A' = {c, e} y B' = {a, c}; entonces A' B' = {c} h) B' - A' = {a} i) Según (b), A B = {b, d}; luego (A B)' = {a, c, e} j) Según (a), A B = {a, b, d, e}; luego (A B)' = {e} Problema 2 En el diagrama de Venn que sigue, rayar: a) A (B C) b) (A B) (A C) c) A (B C) d) (A B) (A C) Solución: a) Primero rayar A con trazos inclinados a la derecha (color azul ) y rayar (B C) con trazos inclinados a la izquierda (color rojo), entonces A (B C) es el área con doble rayado.

b) Primero rayar (A B) con trazos inclinados a la derecha y (A C) con trazos inclinados a la izquierda, entonces (A B) (A C) resulta ser ) es el área con doble rayado como se muestra en seguida :

En esta gráfica puede notarse que : (A B) (A C) = A (B C) c) Primero se raya A con trazos inclinados a la derecha y se raya (B C) con trazos inclinados a la izquierda; así resulta ser A (B C) el área total rayada.

d) Primero se raya (A B) con trazos inclinados a la derecha y se raya (A C) con trazos inclinados a la izquierda; (A B) (A C) es el área con doble rayado.

Nótese que (A B)

(A C) = A (B C)

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Problema 3 Demostrar: B - A es un subconjunto de A'. Solución: Sea x perteneciente a B - A. Entonces x B y x A; por tanto, x es elemento de A'. Si x (B - A) ==> x A', y por lo tanto B - A es subconjunto de A'. Problema 4 Demostrar: B - A' = B A. Solución: B - A' = {x | x

B y x A'} = {x | x

B y x A} = B A

Problema 5 Hacer un diagrama de Venn con tres conjuntos no vacíos A, B y C de modo que A, B y C tengan las siguientes características : a) A B, C B, A C = b) A B, C B, A C c) A C, A C, B C = d) A (B C), B C, C B, A C Solución: a) A B, C

B, A C =

b) A

B, C B, A C

c) A

C, A C, B C =

d) A

(B C), B

C, C B, A C

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Tareas de repaso: 1- Defina por extensión los siguientes conjuntos : a) el conjunto de vocales. b) el conjunto de los números irracionales. c) el conjunto de países de América del sur con costas en el Océano Pacifico. d) El conjunto de pre-grados de esta universidad. e) El conjunto de los números naturales mayores que 8 y menores o iguales a 30. f) El conjunto de los números impares primos menores a 300. 2- Definir por comprensión los siguientes conjuntos: a)   lunes , martes, miercoles , jueves, viernes, sabado, do min go b) B = {bandera, escudo, himno nacional} c) C  2,4,6,8,10 d) D ={3,6,9,12,15,18} e)

E ={-3,-6,-9,-12,-15,-18...}

3- Escriba al frente si la afirmación es correcta en incorrecta:

  2,3,5, a, e, i   3,5 C  a, e D  2, i a) 3   ___________________ b) C   ___________________ c) a  D ___________________ d) C   ___________________ e) i  D ____________________

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4. Dado:

Dado:

U ={1,2,3,4,a, b,c, f}

U ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}

A ={1,2,3, a}

A ={1,3,6,8,10}

B ={3,4,a, b,c }

B ={2,4,5, 6,8 }

C ={3,4,a, c, f}

C ={1,4,6, 10}

D ={a, b,c f}

D ={ }

Determinar para cada uno de los datos anteriores y representar gráficamente. a)

AB

b)

AC

c)

BD

d)

BCD

e)

C  D

f)

(A  C)

g)

(AC)B h)

(A-B)C

INVESTIGACIÓN: Mediante el uso de los diagramas de Venn, desarrollar los siguientes ejercicios y responder las preguntas solicitadas. 1. En un lote de animales hay 100; 20 tienen aftosa,30 ranilla y 10 que tienen ambos síntomas: Se pregunta: a) Cuantos animales tienen aftosa o ranilla? b) Cuantos animales tienen ambos síntomas? 2. De los 110 estudiantes de un curso: 46 pierden matemáticas, 38 física, 26 química. De estos: 26 pierden matemáticas y física, 14 física y química, 18 matemáticas y química y 8 estudiantes pierden las materias. a) Cuantos no pierden ninguna materia? b) Cuantos solo física y matemáticas? c) Cuantos solo química? d) Cuantos pierden de a 2 materias? e) Cuantos pierden de a 1 materia?