1. Introducció........................................................................................ 1 1.1. Hipòtesi .................................................................................... 2 1.2. Justificació ............................................................................... 3 2. La proporció àuria ............................................................................. 5 2.1. Definició ................................................................................... 5 2.2. Càlcul del valor del numero auri .............................................. 6 2.3. Propietats del numero auri ...................................................... 6

3. Història i orígens ............................................................................... 8 3.1. Antiguitat ................................................................................. 8 3.2. Edat Moderna .......................................................................... 8

4. Representacions .............................................................................. 14 4.1. Relació amb la successió de Fibonacci ................................... 14 4.1.1. El triangle de Pascal i la successió de Fibonacci............... 16 4.2. El rectangle auri d’Euclides .................................................... 17 4.2.1. Construcció del rectangle auri ......................................... 17 4.2.2. Propietats del rectangle auri ............................................ 18 4.3. L’espiral àuria i comparació amb altres espirals ..................... 19 4.4. El pentàgon i el pentagrama regulars .................................... 20 4.5. El triangle auri ...................................................................... 21

5. Presència de la proporció àuria ....................................................... 22 5.1. La proporció àuria i la natura ................................................ 22 5.1.1. La proporció àuria i el cos humà ...................................... 25 5.2. La proporció àuria i l’art ......................................................... 26 5.2.1. En la pintura ................................................................... 26

5.2.2. En l’arquitectura .............................................................. 38 5.2.3. En la fotografia ................................................................ 30 5.3. La proporció àuria en l’actualitat ............................................ 31 5.3.1. En el comerç i la publicitat .............................................. 31 5.3.2. En els àmbits econòmic i oficial ....................................... 32

6. Anàlisi de l’aplicació de la proporció àuria en la publicitat .............. 33 6.1. Els logotips............................................................................. 33 6.2. Retrat del cos humà als anuncis ............................................ 34

7. Part Pràctica: Mesura facial............................................................. 36

8. Enquesta......................................................................................... 38 8.1. Justificació de l’enquesta ....................................................... 38 8.2. Disseny i preguntes de l’enquesta .......................................... 38 8.3. Resultats de l’enquesta i interpretacions ................................ 42

9. Conclusions .................................................................................... 46

10. Bibliografia .................................................................................... 49

T’has parat a mirar la bellesa que t’envolta? Treball de Recerca, 2015 Institut Sentmenat

1.INTRODUCCIÓ Avui en dia, el món en el que vivim està basat en les matemàtiques i, especificant una mica més, en els números, alguns dels quals tenen fins i tot nom propi, com ara el número pi (π), el número e, etc. Però de tot el conjunt de

números

que

destaquen

n’hi

ha

un

especialment

interessant:

1,6180339887… Resulta curiós saber que, al llarg de la història, aquesta xifra ha sorprès a moltes més persones que no pas el nombre pi (π) o e. Aquest número ha rebut durant segles una gran varietat de denominacions peculiars: nombre d’or, nombre auri, nombre diví, divina proporció, proporció transcendental… El nombre d’or, representat amb la lletra grega Φ (phi) forma part de relacions i propietats numèriques increïbles, però també de connexions inesperades amb la naturalesa i amb les creacions humanes: El nombre auri es troba a la morfologia dels animals, de les plantes, del creixement de molts éssers vius i, fins i tot, de les galàxies, és a dir, que està present a tot l’univers. Però també el trobem a les obres artístiques creades pels humans, sigui en l’àmbit que sigui (pintura, arquitectura, disseny...). En l’actualitat, considerant que les imatges són una part important del nostre dia a dia, la proporció àuria és utilitzada en els mitjans de comunicació, principalment en la publicitat, per cridar l’atenció de les persones i, així, obtenir més clients. Però la referència que realment resulta sorprenent és la vinculació de la divina proporció amb conceptes tan complexos i que han estremit tant la humanitat com ho són la bellesa i la perfecció. En aquest treball, en quant al número, estudiaré el concepte de nombre auri, les diferents definicions que se li han donat i les seves propietats; també algunes de les seves representacions matemàtiques i geomètriques. Cal referir que com a antecedents d’aquest estudi tenim a les següents persones: Euclides amb Els Elements -en El Llibre Sisè d’aquests estudis de geometria és present la primera aparició matemàtica documentada de la proporció àuria-; Luca Pacioli amb La Divina Proporció on va relacionar el nombre auri amb Déu; Fibonacci amb El Llibre dels àbacs on explica la seva famosa successió i que més endavant veurem, Alberto Duero amb Instrucció 1

T’has parat a mirar la bellesa que t’envolta? Treball de Recerca, 2015 Institut Sentmenat

sobre la mesura amb regla i compàs de figures planes i sòlides, on explica com traçar l’espiral àuria i, per últim, Matila Ghyka amb Estètica de les proporcions en la naturalesa i en les arts i El nombre d’or, llibres amb els quals va tornar a introduir en l’actualitat aquesta proporció i en els quals presenta una tesi molt coneguda i debatuda avui en dia: és veritat que els artistes grecs de l’Antiguitat utilitzaven la proporció àuria de manera conscient i deliberada?

1.1. HIPÒTESI Les persones, tot i ser animals racionals i tenir capacitat de raonament i pensament, sovint escollim fixant-nos només en l’aspecte físic i amb un simple cop d’ull en tenim prou per saber si el que tenim davant ens agrada o no. Però, en què ens fixem per decidir què és bell i harmònic, o al contrari, què és lleig? Què és el que fa que una cosa sigui bella? O, per començar, millor preguntarnos: què és la bellesa1? Segons el Diccionari de la llengua Catalana, la bellesa és el “conjunt de gràcies o de qualitats que, manifestades sensiblement, desperten un delit espiritual, un sentiment d’admiració” o també segons el Diccionari de la Llengua Castellana és “la propiedad de las cosas que hace amarlas, infundiendo en nosotros deleite espiritual. Esta propiedad existe en la naturaleza y en las obras literarias y artísticas”, per tant, haurem de considerar aquestes definicions com a ambigües, ja que depèn molt del context i perquè la bellesa és un concepte subjectiu, lligat a la opinió i els diferents gustos de cada persona. En conclusió, és un terme difícil de definir ja que la considerem com un sentiment i els sentiments solen ser complicats d’explicar. Pel mateix motiu, la bellesa és estudiada en les disciplines de la filosofia de la estètica, de la sociologia i de la psicologia social, però jo vull encaminar aquest treball cap a les matemàtiques i cap a conceptes físics amb els que és fàcil interaccionar directament i no cap a àmbits filosòfics o psicològics.

1

Bellesa. Veure diferents definicions de la paraula al punt 1 de l’Annex A.

2

T’has parat a mirar la bellesa que t’envolta? Treball de Recerca, 2015 Institut Sentmenat

La meva hipòtesi és la següent: Les persones percebem els cossos, els objectes o les imatges que presentin la proporció àuria com a belles i amb harmonia visual. És a dir, que si visualitzem cossos sense proporció àuria i uns altres cossos amb aquesta proporció, ens decantaríem per aquells cossos que sí que la tinguin, ja que els consideraríem més macos, més bells, més harmònics i/o elegants. Vull intentar investigar si la bellesa és tan relativa i tan abstracta com moltes persones hem arribat a pensar què és. En una societat tecnològica on tot es calcula i s’investiga i on s’han inventat mesures per dur a terme tots aquests processos, és la proporció àuria una mesura, una estratègia, que ens pugui assegurar la bellesa i l’harmonia? Després d’haver estudiat la part teòrica d’aquest treball -indicaré on és present el nombre auri i qui, des de quan i per què l’utilitza- realitzaré una part pràctica del treball que es basarà en una enquesta per a investigar com representen i com perceben les persones la bellesa i l’harmonia visual. També intentaré donar resposta a les següents qüestions: - On és present aquesta proporció? - Qui ha utilitzat la proporció àuria i des de quan? - Som conscients què existeix una proporció quan qualifiquem una cosa com a bella o ho fem inconscientment? - Per què aquest número o aquesta proporció és considerada “divina”? - Com percebem i/o representem les persones la bellesa i l’harmonia visual? 1.2. JUSTIFICACIÓ Com és lògic, abans d’escollir el tema del qual tractaria el treball he hagut de pensar per prendre una decisió. Hi ha varis motius pels quals he decidit fer el meu treball de recerca i explicaré aquestes raons personals en les següents línies.

3

T’has parat a mirar la bellesa que t’envolta? Treball de Recerca, 2015 Institut Sentmenat

Vaig descobrir l’existència d’aquesta proporció quan estava mirant la sèrie americana Orphan Black 2 i una de les protagonistes que tenia l’espiral àuria tatuada explica la seva presència a la natura (als pètals de les flors, a les galàxies, a cada molècula del nostre ADN...). A partir d’aquest fet, vaig començar a buscar informació i a llegir sobre aquesta proporció. Em va semblar molt interessant pel fet que és un tema que guarda relació amb molts dels meus gustos: la naturalesa, les matemàtiques, l’art... Sempre he estat bona en les matemàtiques i sempre m’ha agradat dibuixar. Fa poc també vaig descobrir la meva passió per la fotografia, cosa que també guarda relació amb aquesta proporció i que més endavant explicaré al treball. Però un dels factors més misteriosos que em va fer decidir per aquest tema va ser la bellesa. Aquella que percebem els humans i que també sempre perseguim amb ànsia. Val la pena intentar agradar als demés pel físic o no és tant important com el “interior de la persona”3? Tot el món dels sentiments és quelcom apassionant que forma part dels humans i que desperta la meva curiositat.

2

Orphan Black. Sèrie americana que tracta sobre la clonació d’humans. Veure més informació al punt 2 de l’Annex A. 3 Amb l’interior de la persona em refereixo a aspectes com ara la personalitat, el caràcter, la intel·ligència, la intel·ligència emocional…

4

T’has parat a mirar la bellesa que t’envolta? Treball de Recerca, 2015 Institut Sentmenat

2. LA PROPORCIÓ ÀURIA 2.1. DEFINICIÓ La proporció àuria, divina proporció o raó àuria és la relació que s’estableix entre dues parts d’un segment dividit a partir de la secció àuria. La secció, divisió o partició àuria d’un segment AB és la divisió d’aquest segment total (a+b) de tal manera que estigui format per una part més gran (a) i per una part més petita (b), on la relació entre el segment total i el major haurà de ser la mateixa que entre el segment major i el menor. Per tant, el segment a és la secció àuria del segment total.

Il·lustració 1. Representació gràfica de secció àuria.

Il·lustració 2. Representació matemàtica de secció àuria.

El nombre que resulta de la divisió anteriorment esmentada4 es denomina nombre d’or, número auri, número diví o número phi i el seu valor és el número irracional5 1,6180339887498948482... Es representa amb la lletra grega Φ (phi) en honor a Fídies6 (490 a.C. – 432 a.C.), Phidias en grec, escultor i arquitecte grec del Partenó d’Atenes, construcció que té en compte la proporció àuria.

Φ=

1 + √5 ≈ 1, 618 2

4

Veure Il·lustració 2. Un nombre irracional és tot aquell nombre real que no és racional, és a dir, que no es pot expressar com una fracció a / b, essent a i b enters, i b diferent de 0. Els nombres irracionals són precisament aquells, l'expansió decimal dels quals no s'atura mai, i tampoc no entra mai en un cicle periòdic. Veure més informació al punt 3 de l’Annex A. 6 Fídies (Atenes, 490 a.C. - 431 a.C.) va ser l’escultor que va dirigir la construcció del Partenó. Veure biografia al punt 1 de l’Annex B. 5

5

T’has parat a mirar la bellesa que t’envolta? Treball de Recerca, 2015 Institut Sentmenat

2.2. CÀLCUL DEL VALOR DEL NÚMERO AURI El procediment per resoldre el càlcul seria el següent: Si sabem que

𝑎+𝑏 𝑎

𝑎

= 𝑏 i llavors considerem φ = a/b, a=1,

la igualtat quedarà de la manera següent: 1 + φ-1 = φ φ + 1 = φ2 φ2 –φ –1= 0 A partir d’això resolem l’equació de segon grau (ax 2+bx+c=0) i obtindrem la 𝑎=1 φ2 -φ -1 =0 {𝑏 = −1 𝑐 = −1

solució:

φ=

−𝑏±√𝑏2 −4𝑎𝑐 2𝑎

=

−(−1)±√(−1)2 −4·1·(−1) 2·1

=

1±√1+4 1±√5 1+√5 = = =1,618033988749... 2 2 2

2.3. PROPIETATS DEL NÚMERO AURI Dues de les propietats mencionades al punt anterior són: 1. Φ és la solució de la equació de segon grau x 2 – x – 1=0 2. Per tant φ2 – φ – 1 = 0



φ2 = φ + 1

3. A partir de la propietat 2, multiplicant varies vegades els dos membres 7 per cadascuna de les expressions d'una equació separades pel signe d'igualtat (=), o pels signes (>) o () o (