UNIDAD III. LA RECTA Y SU ECUACIÓN CARTESIANA

Conceptos clave:

1. La ordenada al origen es el valor donde la recta interseca al eje de las ordenadas. También es el valor de cuando es igual a cero. 2. Sean y la recta que contiene a la fórmula:

dos puntos distintos con se representa por la letra

Si la recta es vertical la pendiente sión entre cero.

.La pendiente de y se calcula con

no está definida ya que resulta una divi-

3. Se llama ángulo de inclinación de una recta o segmento, al ángulo formado con la dirección positiva del eje , suponiendo la recta o segmento dirigido hacia arriba. En la figura, se representa con la letra griega .

4. Para encontrar la medida del ángulo de inclinación se usa la tangente del ángulo de inclinación, es decir:

3-1

Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

Para encontrar el ángulo se usa Si

el ángulo es obtuso, entonces

5. Un punto pertenece a una recta sólo si sus coordenadas satisfacen la ecuación de la recta.

Ejemplos 1) La relación entre los grados Celsius (0C) y los grados Fahrenheit (0F) es lineal, si 00C equivalen a 320C y 1000C corresponden a 2120F. P 1. ¿Cuántos grados Fahrenheit son equivalentes a 70 0C?

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________ P 2. ¿Cuántos grados Fahrenheit son equivalentes a 80, 93 y 108.5 0C? ________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

P 3. ¿Cuál es la expresión matemática que modela la relación que existe entre las variables temperatura en grados centígrados(y) y temperatura en grados Fahrenheit (x)? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ P 4. Usando la expresión que obtuviste, ¿Cuántos grados Celsius corresponden a 700F? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ P 5. ¿Cuántos grados Celsius corresponden a 19 0F? Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

3-2

_________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ P 6. Obtén la gráfica que modela la situación anterior

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________ P 7. ¿Cuál es la ordenada al origen? ________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

3-3

Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

2) En un centro comercial se sabe que, si se refrigera cierto producto alimenticio a cero grados centígrados, éste comenzará a descomponerse en 24 hrs. es decir, en un día. También se sabe que por cada dos grados que disminuya la temperatura, el producto dura un día más. Los refrigeradores con que se cuenta pueden mantener una temperatura de hasta

P 8. ¿Cuántos días dura el producto a temperatura constante de ,a ya ? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ P 9. ¿Cuál es la expresión matemática que modela la relación que existe entre las variables del problema? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

P 10. Usando la expresión que obtuviste, ¿Cuándo comenzará a descomponerse el producto si la temperatura se mantiene constante a ? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

P 11. Usando la expresión que obtuviste, Si el producto comenzó a descomponerse al quinto día, y se mantuvo a una temperatura constante, ¿A qué temperatura fue conservado? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

P 12. Si el producto comenzó a descomponerse al séptimo día, y se mantuvo a una temperatura constante, ¿A qué temperatura fue conservado? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

3-4

P 13. Obtén la gráfica que modela la situación anterior

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________ P 14. ¿Cuál es la ordenada al origen? ________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ En los dos ejemplos anteriores, identifica la estructura de las expresiones matemáticas de obtuviste: Para el ejemplo 1: Para el ejemplo 2: 3-5

__= ___ ___+___ Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

P 15. En las expresiones matemáticas anteriores, ¿Cuáles son las pendientes? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ P 16. Completa el siguiente cuadro: Expresión matemática

Ordenada al origen

Pendiente

Angulo de inclinación (concepto clave 4)

A B C D E

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________ Grafica las ecuaciones correspondientes al inciso C y D, en el espacio de abajo.

Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

3-6

P 17. ¿Dónde corta cada recta que dibujaste al eje ? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ Elabora las gráficas del resto de las funciones y comenta sobre la ordenada al origen y la intersección con el eje Y de cada grafica. Como pudiste observar, en las gráficas que obtuviste de la tabla anterior, las pendientes pueden ser positivas o negativas. P 18. ¿En qué incisos las pendientes son negativas? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ P 19. ¿Cómo se llaman los ángulos menores a tre y ?

? ¿y los ángulos que están en-

_________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ P 20. ¿Cómo se llama el ángulo que se forma cuando la pendiente es positiva? ¿Y cuando la pendiente es negativa? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ 3-7

Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

En la expresión punto de coordenadas a ella?

, cuando , , de esta forma el , pertenece a la recta, ¿Qué otros puntos pertenecen

P 21. Sin graficar, indica si los puntos pertenecen o no a la recta Coordenada

Valor en la ecuación de la recta

Pertenece (si/no)

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________ Ejercicio 3.1 Para cada uno de los siguientes ejercicios, resuelve lo que se te indica

a) b) c) d) e) f)

1. Una empresa que hace reparaciones a casas habitación, te ha contratado para que ofrezcas los servicios, te pagará un sueldo mensual de $10,000.00 más el 15% de cada peso extra que vendas en el mes. ¿Cuánto ganaras si vendes solamente $2000 en el mes? ¿Cuánto ganaras si vendes $8000.00, $9,000 o $10,000 al mes? ¿Cuál es la expresión matemática que modela este problema? ¿Cuánto tienes que vender para ganar $15,000 al mes? Obtén la gráfica que modela este problema. ¿Cuál es la ordenada al origen?

Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

3-8

2. La escala Kelvin (K), al igual que la escala Celsius y Fahrenheit son usadas para medir la temperatura. La escala Kelvin, se obtiene sumando 273.16 a la temperatura Celsius. a) Escribe una ecuación que relacione K y C b) Escribe una ecuación que relacione F en términos de K y después K en términos de F. (ver ejemplo 1 de esta sección) c) Obtén las gráficas del inciso anterior d) ¿550K, a cuántos 0F equivalen? e) ¿Cuántos 0K son equivalentes a 00F? f) ¿Cuáles la ordenada al origen de la primera ecuación del inciso b? 3. ¿Cuáles son las tres pendientes de las rectas obtenidas en los ejercicios 1 y 2 anteriores? 4. Completa la siguiente tabla Expresión matemática

Ordenada al origen

Pendiente

Angulo de inclinación (concepto clave 4)

A B C D

5. En tu cuaderno, grafica las ecuaciones correspondientes al inciso C y D, 6. ¿En qué incisos las pendientes de la tabla del ejercicio 4 son positivas? 7. ¿Los ángulos mayores a 900 y menores de 1800 son llamados? 8. Indica si los puntos ,

3-9

,

, y

, pertenecen o no a recta,

Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

Conceptos clave:

6. La ecuación cartesiana de la recta, cuando se cuando se conocen las coordenadas de dos de sus puntos y , se obtiene mediante:

7. Forma punto pendiente. Una recta no vertical con pendiente tiene al punto tiene como ecuación:

y que con-

8. La ecuación de la recta conociendo su pendiente y ordenada al origen está dada por:

Donde

es la ordenada al origen.

Ejemplos 1) Si se compra un auto nuevo cuyo valor al día de hoy es de $203,000.00 y en ocho años su valor es de $40,600.00, suponiendo una depreciación lineal. P 22. Un punto que está sobre la recta es (0,203000) el otro es (_____, 40600). _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ De acuerdo a los conceptos clave 6, 7 y 8 supón que de antigüedad del auto y el valor del automóvil. Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

representa los años

3 - 10

P 23. ¿Cuál es la ecuación que representa el valor del automóvil después de años? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

P 24. ¿Cuánto valdría el automóvil después de cinco años? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

P 25. ¿Cuantos años han pasado si su valor es de $131,950.00? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

P 26. ¿Cuál es la ordenada al origen? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ 2) Cierta compañía de teléfonos inteligentes (Smartphone), ha lanzado su último producto el cual promete características tecnológicas superiores a su anterior versión, la gente hace filas para adquirirlo, los fabricantes disponen de 4500 smartphones, que de acuerdo a los cálculos originales, se pronosticó que se agotarían en 20 días, sin embargo, debido al éxito de lanzamiento, consideran que los teléfonos se agotarán en tan solo 15 días. P 27. Supón que la variable representa el número de días que tarda en agotarse, por lo tanto representa _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ P 28. De acuerdo al enunciado del problema, ¿Cuáles son dos puntos de la recta que conoces? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ 3 - 11

Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

De acuerdo a los conceptos clave 6, 7 y 8. P 29. ¿Cuál es la ecuación que representa el número de Smartphone que hay en existencia después de cualquier número de días? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

P 30. ¿Cuántos Smartphone quedarán después de 10 días? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

P 31. Si se tienen 600 Smartphone ¿cuantos días ya han transcurrido? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

P 32. ¿Cuál es la ordenada al origen? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ Ejemplo 3) De acuerdo a fuentes oficiales de la SHCP de nuestro país, el precio de la gasolina y otros combustibles continuará aumentando una cantidad fija mensualmente durante el siguiente año. Así, con un precio de 7.88 pesos por litro fijado al 1 de enero de 2010, el precio de la gasolina de mayor consumo en el mercado mexicano, Magna, se ubica en el octavo mes de 2011 en los 9.40 pesos por litro.1 P 33. Supón que la variable representa el número de meses transcurridos, ¿qué representa ?

_________________________________________________________________________ 1

http://www.radiolegislativa.org.mx/index.php/noticias/37-economia-y-finanzas/253-aumento-mensualen-precio-de-gasolinas-continuara-en-2012-shcp.html.

Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

3 - 12

P 34. ¿Cuáles son dos puntos de la recta que conoces? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ De acuerdo con los concepto clave 6, 7 y 8. P 35. ¿Cuál es la ecuación que representa el costo de la gasolina después de cualquier número de meses? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ P 36. ¿Cuánto costará la gasolina el 1 de Enero de 2012? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ P 37. Si la gasolina tiene un costo de $9.02 por litro, ¿cuantos meses ya han transcurrido? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

P 38. ¿Cuál es la ordenada al origen? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ Ejercicio 3.2 Para cada uno de los siguientes ejercicios escribe la ecuación de la recta de la forma pendiente y ordenada al origen.

1. Ecuación de la recta que pasa por los puntos a) y b) y c) ( y 2. 3.

y y

4. Ecuación con pendiente igual a la recta

y la misma ordenada al

origen de la recta que obtuviste en el inciso c) del ejercicio 1 anterior. 3 - 13

Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

5. Ecuación con la misma pendiente que obtuviste en el inciso a) del ejercicio 1 anterior y la misma ordenada al origen de la ecuación 6. Obtén la ecuación de la recta de la siguiente gráfica

7. Si una recta cruza al eje X ción?

y al eje

, ¿Cuál sería su ecua-

Conceptos clave:

9. Las rectas paralelas al eje , o rectas horizontales, tienen pendiente cero y su ecuación es de la forma:

k

Donde

es cualquier número real

10. Las rectas paralelas al eje Y, o rectas verticales, tienen un ángulo de inclinación de , su ecuación es de la forma:

Donde

es cualquier número real

Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

k 3 - 14

11. La forma general de la ecuación de la recta es:

12. Dada la ecuación de la recta en su forma general, a) La pendiente está dada por: b) La ordenada al origen está dada por:

Ejemplos 1) En un laboratorio, un físico, estudia el comportamiento de ciertas partículas que se mueven a velocidad constante, el físico encuentra que esas partículas pueden modelarse en un diagrama cartesiano como líneas rectas. Él registra los tiempos en segundos y las distancias en mm de cada una de las partículas las cuales se muestran en la siguiente tabla. Partícula 1 2 3

Tiempo en seg 1 3 2 5 3.5 6

Distancia mm 3 4 5 1 8 11

Parejas ordenadas (1,3)

(3.5,8)

P 39. Para cada uno de los tiempos de las partículas, completa la tabla anterior con las parejas ordenadas (tiempo, distancia), calcula la pendiente, el ángulo de inclinación y grafica las rectas en tu cuaderno.

3 - 15

Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________ 2) Si tenemos la ecuación: ¿Esta ecuación representa a una recta?______ ¿Por qué?_________________ P 40. ¿Cuál es la pendiente y la ordenada en el origen? ________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

P 41. Si la pendiente de una recta es

y la ordenada al origen es:

, ¿cuál es

la ecuación de la recta en su forma general? Ayuda: Escribe la ecuación de la recta de la forma y posteriormente pásala a la forma general. _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ P 42. Si la pendiente de una recta es y la ordenada al origen es: ¿cuál es la ecuación de la recta en su forma general? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ P 43. Si la pendiente de una recta es y la ordenada al origen es: ¿Cuál es la ecuación de la recta en su forma general? _________________________________________________________________

_________________________________________________________________________ Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

3 - 16

Conceptos clave:

13. Dadas dos rectas

Serán paralelas si

. Es decir, si sus pendientes son iguales.

14. Dadas dos rectas

Con Serán perpendiculares si

o bien

Ejemplos 3) Cierto vendedor de software alega que su pago por comisión no es justo, pues no se están respetando las políticas de la empresa, en las cuales se indica que se pagará a cada vendedor $20.00 por cada año de antigüedad más $15.00 por cada producto vendido. Las siguientes tablas muestran lo que han ganado dos de sus compañeros que llevan 3 y 5 años en la empresa cuando él lleva 8 años en ella. Tres Años Cant. Vendida 5 9 12 17 23

3 - 17

Tot pagado 135 195 240 315 405

Cinco Años Cant. Vendida 5 12 15 19 20

Tot pagado 175 280 325 385 400

Ocho Años Cant. Vendida 6 7 9 11 14

Tot pagado 250 265 295 325 370

Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

Con estos datos calcula la pendiente y ordenada al origen de las ecuaciones obtenidas para cada uno de los empleados, llena la tabla y grafícalas en tu cuaderno en el mismo plano cartesiano. P 44. Ecuación de la forma

Pendiente

Ordenada en el origen

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

¿Cómo son las pendientes para las tres rectas entre si?________________ ¿Qué puedes comentar sobre las tres gráficas que dibujaste en tu cuaderno? __________________________________________________________________ ¿Es cierto lo que dice uno de los vendedores respecto a que el pago no está siendo justo? ____________________________ P 45. Utilizando el concepto clave 14 y sin graficar, obtén las tres ecuaciones de las rectas perpendiculares a las rectas que obtuviste en el ejemplo anterior.

Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

3 - 18

P 46. ¿Qué relación guardan entre sí las pendientes de las rectas paralelas? _________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________ En tu cuaderno y en un mismo plano cartesiano, grafica una de las rectas de la pregunta 45 con su correspondiente recta perpendicular, haz lo mismo con las otras dos líneas rectas y sus perpendiculares. P 47. Mide sus ángulos con una escuadra. ¿Cuánto miden los ángulos entre las rectas perpendiculares? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ 4)

Observa los siguientes pares de ecuaciones de rectas. No

Ecuación de la recta 1

Ecuación de la recta 2

1 2 3 4 5

P 48. ¿En qué casos se trata de rectas perpendiculares? 3 - 19

Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

_________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ Ejercicio 3.3 Resuelve los siguientes ejercicios de acuerdo con las instrucciones

1. Considera el ejemplo 3 de esta sección, pero ahora supón que se pagará a cada vendedor $28.00 por cada año de antigüedad y una comisión de $8.00 por cada producto vendido. a) Completa la tabla para cada uno de los empleados Tres Años Cant. VendiTot pagada do 5 124 148 9 156 17 268

Cinco Años Cant. Vendi- Tot pagada do 5 10 220 228 13 244 20

Ocho Años Cant. Vendi- Tot pagada do 5 264 7 9 312 12 320

b) Comprueba que la pendiente y el ángulo de inclinación es el mismo para cada una de las rectas del inciso a) c) Obtén las tres ecuaciones en la forma d) Dibuja en tu cuaderno, las tres gráficas de las rectas obtenidas e) Escribe las tres ecuaciones en su forma general. 2. ¿Cómo son las tres rectas entre sí? Argumenta tu respuesta 3. Encuentra sin graficar, las tres ecuaciones de las rectas que son perpendiculares a las rectas del ejercicio 1 4. Encuentra la ecuación de la recta que es perpendicular a y pasa por . Escríbela en su forma general. 5. Encuentra la ecuación de la recta paralela a que tiene la misma ordenada al origen que la recta . Escríbela en su forma general. 6. Los puntos son los vértices de un triángulo, encuentra a) Las tres pendientes b) Los tres ángulos de inclinación de cada lado c) Encuentra la recta perpendicular a la recta que pasa por el lado AB y pasa por el punto Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

3 - 20

Conceptos clave:

15. El ángulo que forman dos rectas no perpendiculares con

(

Está dado por:

) con

ó (

) con

16. La distancia de un punto a la recta cuya ecuación es: , esta dada por:

√ Se elegirá el signo del radical que hace que el cociente sea positivo. Ejemplos 1) En cierto bosque tropical, se planea construir un centro turístico y para ello se debe construir una carretera, sin embargo, existe una reserva protegida y se ha instruido a la empresa constructora para que deje intacta esa zona. Los ingenieros realizan los cálculos y han decidido que lo mejor es bifurcar la carretera tal como se muestra en el dibujo siguiente:

Reserva Ecológica

3 - 21

Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

Si la bifurcación entre las dos carreteras tiene un ángulo de al menos 430, la reserva ecológica no sufrirá grandes daños. Se te ha contratado para que verifiques lo anterior, pues se sospecha que la empresa constructora no está respetando la restricción y lo único que quiere es ahorrar gastos. La empresa constructora te comentó que utilizando un plano cartesiano y simulando la bifurcación, la primera carretera pasaría por los puntos (0,3) y (1.5, 4). La segunda carretera pasaría por los puntos (-4,0) y (3,-1). ¿La empresa constructora está respetando el acuerdo? ¿Cuáles serían tus argumentos?

P 49. Encuentra el ángulo que forma la recta que pasa por los puntos (-6,4) y (2,8) con la recta _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

2) En una pequeña ranchería se ha instalado un modesto hospital, algunas veces se registran emergencias y se debe trasladar a los pacientes lo más rápido posible a través de un camino de terracería, hay una supercarretera cercana al poblado la cual se puede modelar como una línea recta con ecuación , el poblado se encuentra ubicado en la posición (2,-3). Se le ha pedido ayuda al presidente municipal para que construya un camino pavimentado que conecte con la supercarretera. Tú eres el responsable de calcular la distancia en línea recta que hay desde la ranchería hasta la supercarretera.

P 50. ¿Qué distancia en km existe desde la ranchería hasta la supercarretera? Ayuda: Utiliza el concepto clave 16 _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

P 51. Determina la distancia que existe entre las rectas paralelas Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

y 3 - 22

Ayuda. Determina un punto cualquiera que pertenezca a una de las rectas, y procede como en la pregunta 50. _________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Ejercicio 3.4 Resuelve los siguientes problemas 1. Encuentra el ángulo entre la recta y la recta que pasa por los puntos (3,4) y (1.6, 1.7). 2. Calcula le medida de los ángulos interiores del triángulo formado por los vértices 3. Calcula la distancia entre la recta y el punto (-1,-1) 4. Calcula la distancia entre las rectas y

Conceptos clave:

17. La distancia entre dos puntos está dada por:

denotada por

,

√ 18. La altura de un triangulo, es el segmento de recta que va de un vértice del triángulo al lado opuesto o a su prolongación, en forma perpendicular. 19. Una mediana de un triángulo, es el segmento de recta que va de un vértice al punto medio del lado opuesto. El punto medio entre dos

(

)

(

) se obtiene mediante:

20. El baricentro es el punto en donde las tres medianas de un triángulo, se intersecan. También se conoce como centro de gravedad del triángulo, es decir, el punto de equilibrio. 3 - 23

Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

Ejemplos 1) Existen tres puntos conectados con cable de fibra óptica, los cuales están simulados en el siguiente plano cartesiano.

Se desea conectar otro cable de fibra óptica que vaya del punto B al segmento de fibra óptica que existe entre los puntos A y C, sin embargo, debido al elevado costo del tendido y conexión de la fibra óptica, se desea que dicha conexión tenga la menor cantidad de cable. La recta que pasa por el punto B y es perpendicular al segmento entre los puntos A y C es la que cumple con la condición especificada. De acuerdo a los conceptos claves, ¿cuál de ellos aplica para lo que se acaba de enunciar?______________ P 52. ¿Qué pasos realizas para calcular la distancia entre el punto B y el segmento que va de A a C? _________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

P 53. ¿Cuál es la distancia entre el punto B y el segmento que va de A a C? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

3 - 24

P 54. ¿Cuál es el área del triangulo del problema anterior? Ayuda: Considera metros como unidad de medida y haz uso del concepto clave 17 y 18. _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

2) Utiliza una hoja cuadriculada y usando el triángulo del ejemplo 1:

P 55. Determina la longitud de la mediana que parte del vértice C al segmento que va de A a B. Ayuda: Determina el punto medio del segmento que va de A a B. y posteriormente calcula la distancia entre el vértice C y ese punto medio. _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

P 56. Ahora para el mismo triángulo del ejemplo 1, determina la longitud de la mediana que parte del vértice A al segmento que va de C a B. _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________

P 57. En una hoja cuadriculada, y nuevamente usando el triángulo del ejemplo 1, encuentra las ecuaciones de las dos medianas y localiza el baricentro de dicho triángulo. Ayuda: Puedes encontrar las dos ecuaciones de las medianas con la fórmula de la ecuación de la recta dados dos puntos, concepto clave 6, posteriormente encuentra el punto de intersección de ambas rectas. _________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

3 - 25

Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

Ejercicio 3.5 Resuelve los siguientes problemas Dado el siguiente triángulo, encuentra: 1.- Las ecuaciones de las tres medianas 2.- El baricentro

3.- ¿Cuál es la distancia del vértice C al lado AB del triángulo? 4.- ¿Cuál es la distancia del vértice B a la recta 5.- Si usamos la metros cuadrados ( del triángulo?

) como unidad de medida. ¿Cuál es el área

Conceptos clave:

21. Las tres alturas de un triángulo, o sus prolongaciones, se intersectan en un mismo punto llamado ortocentro. 22. La mediatriz es la recta que pasa por el punto medio de un segmento y es perpendicular a él.

Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

3 - 26

23. El circuncentro es el punto en donde se intersecan las tres mediatrices, que es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo. 24. La línea recta que pasa por el baricentro, circuncentro y ortocentro, se llama recta de Euler.

Ejemplos 1) En el triángulo que se muestra en la figura siguiente. P 58. Traza las alturas y localiza el ortocentro

________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

3 - 27

Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

Para obtener las ecuaciones de las alturas de un triángulo, se procede como sigue:

1. Se obtiene la pendiente de cada uno de los lados del triángulo, concepto clave 6. 2. Se obtiene la pendiente de la recta perpendicular a cada lado del triángulo, recuerda que es el recíproco de la pendiente obtenida en el paso 1 y con signo contrario. Concepto clave 14. 3. Se encuentra la ecuación de cada recta que pasa por uno de los vértices del triángulo y es perpendicular al lado opuesto. Usando la pendiente obtenida en el paso 2. Concepto clave 7. P 59. ¿Cuáles son las ecuaciones de las tres alturas? _________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________ P 60. De acuerdo con el concepto clave 21, ¿qué coordenadas tiene el ortocentro? _________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________ De acuerdo al concepto clave 22, ¿Cuántas mediatrices tiene un triángulo?_____

2) Utilizando el triangulo del ejemplo 1 y el concepto clave 23.

P 61. Traza las tres mediatrices y encuentra el circuncentro.

Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

3 - 28

_________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

Para obtener las ecuaciones de las mediatrices de un triángulo, se procede como sigue:

1. Se obtiene el punto medio de cada uno de los lados del triángulo. 2. Se obtiene la pendiente de cada uno de los lados del triángulo. 3. Se obtiene el recíproco de cada una de las pendientes obtenidas en el paso 2. Concepto clave 14. 4. Se obtiene la ecuación de cada una de las rectas que pasa por el punto medio y tiene la pendiente del paso 3. Concepto clave 7.

P 62. ¿Cuáles son las ecuaciones de las tres mediatrices? _________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________

3 - 29

Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

P 63. De acuerdo con el concepto clave 23, ¿qué coordenadas tiene el circuncentro? _________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________ P 64. De acuerdo con el concepto clave 19 de la sección anterior, ¿cuáles son las ecuaciones de las tres medianas del triángulo? _________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________ P 65. De acuerdo con el concepto clave 20 de la sección anterior, ¿qué coordenadas tiene el baricentro? _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ Se recomienda que usando una hoja milimétrica o algún software matemático, traces el triángulo y grafiques el baricentro, ortocentro y circuncentro. De acuerdo al concepto clave 24, ¿cómo se llama la recta que pasa por estos tres puntos? ______________________ Puedes verificar que estos tres puntos son colineales. Contesta las siguientes preguntas. P 66. Con los tres puntos obtenidos, es decir, baricentro, ortocentro y circuncentro, ¿Cuál es la pendiente de la recta que pasa por estos tres puntos? Ayuda: Toma dos pares de puntos distintos y obtén la pendiente de la recta que pasa por esos puntos. _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana

3 - 30

P 67. De acuerdo con el concepto clave 7. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por estos puntos? Ayuda: Toma uno de los puntos, obtén la ecuación de la recta y sustituye los otros dos puntos en la ecuación de la recta encontrada, ambos deben satisfacer dicha ecuación. _________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________ La recta que acabas de obtener es la recta de Euler.

Ejercicio 3.6 Resuelve los siguientes ejercicios

son vérti-

1. Los puntos.

ces de un triángulo. a) Encuentra la altura que parte de A b) Encuentra la longitud de cada uno de los lados del triángulo c) Encuentra la ecuación de la mediana que parte del vértice B 2. Suponiendo la unidad de media en metros, encuentra el perímetro y el área del triángulo 3. Dado el triángulo del ejercicio 1 de la sección 3.5, dibújalo en una hoja de papel milimétrico, traza las alturas, mediatrices y medianas con diferente color y encuentra: a) las tres alturas y el ortocentro b) Encuentra las tres mediatrices y el circuncentro 4. Encuentra la ecuación de la recta de Euler. Recuerda que, las tres medianas y el baricentro las encontraste en el ejercicio 1 de la sección 3.5. 5. ¿Cuánto mide cada uno de los ángulos interiores del triángulo?

3 - 31

Unidad 3. La recta y su ecuación cartesiana