1. OBJETIVOS OBJETIVOGENERAL Comprender el papel que cumple el Pensamiento Lógico en el aprendizaje y aplicación de la matemática, regocijarse con su uso y reconocer el valor del pensamiento lógico, analítico, crítico y propositito en la búsqueda de soluciones de los problemas naturales y sociales. ESPECÍFICOS  Reconocer la importancia del juicio, la oración y la proposición.  Distinguir la importancia de los conectivos lógicos.  Explicar el cálculo proposicional.  Aplicar las leyes del cálculo proposicional.  Comprender y utilizar los métodos para demostrar la validez de una inferencia lógica 2. METODOLOGÍA El proceso será participativo, dinámico, integral y productivo, donde la aprehensión de la realidad que modifica los esquemas de los participantes constituye los aprendizajes significativos. El trabajo académico, se apoya en procesos y técnicas grupales que promuevan la comunicación en el grupo y el logro de conocimientos individuales significativos que modifiquen los esquemas mentales Los asistentes al curso cuentan con un documento guía que facilita y habilita la participación en su proceso de formación, así como el uso de la INTERNET. 3. EVALUACIÓN El proceso de evaluación será permanente y sistemático que permitirá la reorientación y mejoramiento del interaprendizaje, mediante la observación directa por parte del docente y la participación fundamentada los estudiantes. Además se realizarán evaluaciones de verificación de la apropiación de los conceptos y validación de los mismos mediante el desarrollo de pruebas específicas. 4. ACREDITACIÓN La acreditación se cumplirá a través de la verificación del cumplimiento de: Tareas extra clase Trabajo en clase Pruebas TOTAL

20% 20% 60% 100%

Debiendo alcanzar un promedio mínimo del 60% para aprobar el curso.

5. BIBLIOGRAFÍA 

Allendoerfer, Carl; Oacley Cletus. Matemáticas Universitarias. Cuarta edición. Edición revisada. Editorial Mc Graw-Hill. Latino Americana, S.A., 1990.



Galicia Arrambide, Moisés. Introducción a la lógica matemática. McGraw Hill. México, 1976.



Jaramillo, Alberto y otros. Modelos de Razonamiento Lógico-matemático. Implementados en situaciones problema, en algunos temas específicos de la Matemática. Colección educativa Aula abierta. 2001.



Kneller, George F. La lógica y el lenguaje en la educación. Editorial “El Ateneo”. Buenos Aires, 1969.



Mejía, Clara Elena y Jaramillo A., Alberto. Diseño de algunas estrategias de intervención Pedagógica en el área de la lógica en la Educación Secundaria. Universidad de Antioquia, Facultad de Educación, Medellín, 1996.



Solow, Daniel. Cómo entender y hacer demostraciones en matemáticas. Editorial Limusa: México, 1987.



Suppes, Patrick; Hill, Shirley. Primer curso de lógica matemática. Editorial Reverté Colombiana, S.A. Bogotá, 1983.



Suppes, Patrick. Introducción a la lógica simbólica. Editorial Continental. México, 1966.

INTRODUCCIÓN Aprender matemáticas “es muy difícil”; así se expresan la mayoría de estudiantes de todos los niveles, sin embargo pocas veces se busca una explicación del porqué no aprenden las ciencias exactas los estudiantes. “Los estudiantes no aprenden ciencias exactas, porque no saben relacionar las conocimientos que se proporcionan en la escuela (leyes, teoremas, fórmulas) con los problemas que se le presentan en la vida real”. Otro problema grave es que el aprendizaje no es significativo. El curso pretende motivar a los estudiantes para que con ayuda de la “lógica matemática”, él sea capaz de encontrar estos relacionamientos entre los diferentes esquemas de aprendizaje, para que de esta manera tenga una buena estructura cognitiva. Consideramos que si el alumno sabe lógica matemática puede relacionar estos conocimientos, con los de otras áreas para de esta manera crear conocimiento. La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido. La lógica es ampliamente aplicada en la filosofía, matemáticas, computación, física. En la filosofía para determinar si un razonamiento es válido o no, ya que una frase puede tener diferentes interpretaciones, sin embargo la lógica permite saber el significado correcto. En las matemáticas para demostrar teoremas e inferir resultados matemáticos que puedan ser aplicados en investigaciones. En la computación para revisar programas. En general la lógica se aplica en la tarea diaria, ya que cualquier trabajo que se realiza tiene un procedimiento lógico, por el ejemplo; para ir de compras al supermercado una ama de casa tiene que realizar cierto procedimiento lógico que permita realizar dicha tarea. Si una persona desea pintar una pared, este trabajo tiene un procedimiento lógico, ya que no puede pintar si antes no prepara la pintura, o no debe pintar la parte baja de la pared si antes no pintó la parte alta porque se mancharía lo que ya tiene pintado, también dependiendo si es zurdo o derecho, él puede pintar de izquierda a derecha o de derecha a izquierda según el caso, todo esto es la aplicación de la lógica. La lógica es pues muy importante; ya que permite resolver incluso problemas a los que nunca se ha enfrentado el ser humano utilizando solamente su inteligencia y apoyándose de algunos conocimientos acumulados, se pueden obtener nuevos inventos innovaciones a los ya existentes o simplemente utilización de los mismos. El presente documento está estructurado de la siguiente manera: Primeramente se establece la importancia de la lógica matemática, después se habla de la historia de la misma; la relación de la lógica con otras ciencias; la división de la Lógica; el concepto de proposición. Se establece el significado y utilidad de conectivos lógicos para formar proposiciones compuestas. Luego se abordan las proposiciones condicionales y bicondicionales. Se define tautología, contradicción y contingente. El objetivo primordial de este documento de lógica matemática es facilitar al estudiante el estudio, comprensión y razonamiento de: categorías, conceptos, teoremas, axiomas y postulados; así como también el análisis de las proposiciones desde el punto de vista de la lógica formal y simbólica así como el desarrollo de ejercicios modelos que les servirán de base para el cumplimiento de sus tareas. Trata además de presentar las explicaciones con ejemplos que le sean familiares.

HISTORIA DE LA LÓGICA En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como la aritmética), o a la generalización de ambos (como en álgebra). Hacia mediados del siglo XIX, las matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica, ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos. Trataremos la evolución de los conceptos e ideas matemáticas siguiendo su desarrollo histórico. En realidad, las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad: En los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos, y en las pinturas rupestres se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas. Los sistemas de cálculo primitivo estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10. LAS MATEMÁTICAS EN LA ANTIGÜEDAD Las primeras referencias a matemáticas avanzadas y organizadas datan del tercer milenio antes de cristo, en Babilonia y Egipto. Estas matemáticas estaban dominadas por la aritmética, con cierto interés en medida y cálculos geométricos y sin mención de conceptos matemáticos como los axiomas o las demostraciones. Los primeros libros egipcios, escritos hacia el año de 1800 A.C., muestran un sistema de numeración decimal con distintos símbolos para las sucesivas potencias de 10 (1, 10, 100), similar al sistema utilizado por los romanos. Los números se representaban escribiendo el símbolo del 1 tantas veces como unidades tenía el número dado, el símbolo del 10 tantas veces como decenas había en el número, y así sucesivamente. Para sumar números, se sumaban por separado las unidades, las decenas, las centenas de cada número. La multiplicación estaba basada en duplicaciones sucesivas y la división era el proceso inverso. Los egipcios utilizaban sumas de fracciones unidad a, junto con la fracción b, para expresar todas las fracciones. Utilizando este sistema, los egipcios fueron capaces de resolver problemas aritméticos con fracciones, así como problemas algebraicos elementales. En geometría encontraron las reglas correctas para calcular el área de triángulos, rectángulos y trapecios, y el volumen de figuras como ortoedros, cilindros y, por supuesto, pirámides. Para calcular el área de un círculo, los egipcios utilizaban un cuadrado de lado U del diámetro del círculo, valor muy cercano al que se obtiene utilizando la constate π (3.1416). Con el tiempo, los babilonios desarrollaron unas matemáticas más sofisticadas que les permitieron encontrar las raíces positivas de cualquier ecuación de segundo grado. Fueron incluso capaces de encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron problemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Los babilonios compilaron una gran cantidad de tablas, incluyendo tablas de multiplicar y de dividir, tablas de cuadrados y tablas de interés compuesto. Además, calcularon no solo

la suma de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, sino también de sucesiones de cuadrados. Existen algunos personajes que han hecho historia ya sea por sus frases célebres o por su pensamiento, como son:    



PARMENIDES: Negaba el cambio, ya que para él cambiar significaba que una cosa deje de ser lo que es. SÓCRATES: Uno de los grandes personajes de la historia: su frase célebre “sólo se que nada se” PLATÓN: Discípulo de Sócrates, al contrario de lo de su maestro decía que el individuo nace sabiéndolo todo, pues el alma antes de venir al mundo de lo material existe en el mundo de las ideas, en donde todo es perfecto. ARISTÓTELES: Es considerado el padre de la Lógica, señalaba que el ser humano nace limpio de conocimiento, y que debe adquirirlos a través de la vida.  En su obra organón trata sobre la lógica como método del conocimiento.  Categorías o conceptos  Juicios o interpretaciones  Silogismos  Demostraciones Ver http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica_aristot%C3%A9lica HERÁCLITO: Señalaba que todo lo que existe es obra del cambio y evolución.  Dialéctica o razonamiento.

DEFINICIÓN Y OBJETO DE LA LÓGICA La palabra lógica se deriva de la palabra griega logos que significa razonamiento o discurso. La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no válido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad. Definición de lógica de acuerdo a algunos autores: Para Gorski: “Lógica es la ciencia de las formas del pensamiento científico estudiadas desde el punto de su estructura; la ciencia de las leyes que deben observarse para obtener un conocimiento inferido; la lógica estudia también los procedimientos lógicos generales utilizados para el conocimiento de la realidad”. Según Fingemann: “Lógica en la ciencia de las formas y leyes del pensamiento, que nos da normas para la investigación científica y nos suministra un criterio de verdad”.

Entonces se puede decir que la lógica en una ciencia que enseña a razonar con exactitud y que posee un lenguaje exacto, el cual para su desarrollo utiliza reglas las cuales nos permite obtener una conclusión. Según Gorski Tabant “el objeto de la lógica como ciencia es el estudio del pensamiento humano”. El estudio de la lógica permite que el estudiante adquiera habilidades para razonar ya sea verbal o matemáticamente utilizando un lenguaje simbólico que expresa el aspecto cuantitativo de la realidad. Existen además otras definiciones: 

Lógica es la ciencia que estudia la estructura del pensamiento, prescindiendo del contenido.



Lógica también es la manera ordenada de pensar y de expresar nuestras ideas.

El objetivo principal de la lógica es analizar la estructura del pensamiento, es decir su forma lógica para descubrir leyes y reglas. RELACIÓN DE LA LÓGICA CON LAS DEMÁS CIENCIAS       

Con la filosofía: por ser parte de ella. Con la psicología: por cuanto el pensamiento es un proceso psicológico. Con la gramática: el pensamiento se halla unido al lenguaje, a través del cual se da forma y expresión del pensamiento, cuyo material final es la palabra. Con la sociología: por que el hombre piensa de acuerdo con las leyes sociales. Con las matemáticas: por que ambas disciplinas tienen carácter formal. Con la biología: Porque el hecho lógico es un hábito y todo hábito es un hecho biológico. Con la física: Porque cuando la lógica nos dice que puede ser o no ser, se refiere a objetos físicos y éstos son un capítulo de la física que trata sobre objetos de cualquier naturaleza. DIFERENCIAS ENTRE JUICIO, ORACIÓN Y PROPOSICIÓN

El juicio.- Es una relación o conjuntos de conceptos que se caracteriza por constituir una afirmación o aseveración de algo, es una forma, una estructura del pensamiento que objetivamente es verdadero o falso. El enunciado.- Es la expresión verbal o escrita del juicio. Ejemplos:  Pedro es estudiante de la Universidad Pontificia Bolivariana  x+2=7  3+2=5 No son enunciados:  

Las oraciones exclamativas. (Sentimientos, interjecciones). Ej.: ¡socorro!, ¡auxilio! ¡te quiero! Las oraciones imperativas. (Órdenes), Ej.: Cierra la puerta; te vas afuera.

 

Las desiderativas. (Deseos, súplicas). Ej.: Ojala no haya clases. Las oraciones interrogativas. (Preguntas). Ej.: ¿Qué hora es?

Razonamiento.-Es un conjunto de afirmaciones o juicios relacionados de manera tal que se supone que uno de ellos (llamado conclusión) se desprende o infiere del o los otros (llamados premisas). La pretensión de que la conclusión se deriva de las premisas se manifiesta a través de expresiones especiales como: por lo tanto, luego, por consiguiente, etc. La proposición.- Es un enunciado que puede ser falso o verdadero, pero no ambas cosas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática; generalmente se las expresa en oraciones declarativas o aseverativas, tales como: Oraciones afirmativas. (Informan). Ej.: Mañana es lunes. Oraciones descriptivas. (Describen). Ej.: La tiza es blanca Oraciones explicativas. (Explican). Ej.: Si hace frío entonces es invierno A continuación se tienen algunos ejemplos de proposiciones válidas y no válidas, y se explica el porqué algunos enunciados no son proposiciones. Las proposiciones se indican por medio de una letra minúscula, dos puntos y la proposición propiamente dicha. Ejemplo. p q r s t w

La tierra es plana. -17 + 38 = 21 x > y-9 El Atlético Nacional será campeón en la presente Liga Postobon de fútbol. Hola ¿como estas? Lava el coche por favor.

Los incisos p y q sabemos que pueden tomar un valor de falso o verdadero; por lo tanto son proposiciones válidas. El inciso r también es una proposición válida, aunque el valor de falso o verdadero depende del valor asignado a las variables x y y en determinado momento. La proposición del inciso s, es válida Sin embargo los enunciados t y w no son válidos, ya que no pueden tomar un valor de falso o verdadero, uno de ellos es un saludo y el otro es una orden.

Tarea: Escribir en el portafolio 10 proposiciones válidas y 10 no válidas. Valor de verdad.- Una proposición es verdadera o es falsa; si es verdadera se denotará por la letra “V” o el “1” y si es falsa se denotará por “F” o por el “0”. Si no se puede determinar su valor de verdad, se podrá analizar los posibles valores de verdad (tablas de certeza). CLASES DE PROPOSICIONES:

Las proposiciones se clasifican en proposiciones simples o atómicas y proposiciones compuestas o moleculares: Proposiciones simples.- Son aquellas proposiciones que no se pueden descomponer. Ejemplo: p: Todo organismo viviente se adapta a su medio físico. q: Si un número es divisible por 4 también lo es por 2. r: (a +b)2 = a2 + 2ab + b2 Proposiciones compuestas o moleculares.- Son aquellos enunciados que están formados por dos o más proposiciones simples y unidos por término lógico. Ejemplos: p: La niña María canta y su hermano Luis toca el piano. q: Ecuador es un país Amazónico y latinoamericano. Podemos observar en los ejemplos anteriores que tanto p como q están compuestas de dos proposiciones simples. Los conectivos lógicos son elementos gramaticales que unen dos o más proposiciones simples; estos son:

CONECTIVOS LÓGICOS OPERADOR LÓGICO

LÓGICA SIMBÓLICA

TERMINOLOGÍA LÓGICA

Negación Conjunción Disyunción Disyunción exclusiva Conjunción negativa Disyunción negativa Condicional Bicondicional

   v

no y o o en sentido excluyente ni….ni no…no Si…., entonces Si y sólo si

 /  

PROPOSICIONES COMPUESTAS Y CONECTIVOS LÓGICOS Los operadores lógicos también permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores básicos son: CONJUNCIÓN (  ) QUE SE LEE Y Se utiliza para conectar dos proposiciones que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Su símbolo  que se lee “y”. Se lo conoce como la multiplicación lógica y tiene estrecha relación con la intersección de conjuntos.

Ejemplo. Sea el siguiente enunciado “El coche enciende cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería”. Simbolizando tenemos: p: el conche enciende cuando tiene gasolina en el tanque q: tiene corriente la batería. V (p) = V V (q) = V En consecuencia: V(p  q) = V Otro ejemplo: 3 + 4 = 6 y 3 + 7 = 10 p: 3 + 4 = 6 V(p) = F q: 3 + 7 = 10 V(q) = V Por consiguiente: V (p  q) = F De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue:

p  q; que se lee:

pyq p pero q p aunque q p incluso q p también q; etc.

Su tabla de verdad es: p V V F F

q V F V F

p  q V F F F

TAREA: Escribir en el portafolio 5 ejercicios de conjunción y determine el valor de verdad de cada uno. LA DISYUNCION: LA DISYUNCIÓN INCLUSIVA: (  ) QUE SE LEE: O. Es la unión de dos proposiciones simples con el conectivo lógico “o”. Simbólicamente se lo representa así: p q que se lee p ó q o ambas. El enunciado es verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera o ambas son verdaderas; Se conoce también como la suma lógica y se relaciona estrechamente con la unión de conjuntos.

Ejemplos: Sea el siguiente enunciado “Una persona puede entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase”. Donde. p: Una persona puede entrar al cine si se compra su boleto. q: Obtiene su pase. Simbólicamente tenemos: pq V( p ) = V V( q ) = V En consecuencia: V (p  q) = V 4+3=9o3+5=8 p: 4 + 3 = 9 q: 3 + 5 = 8

V ( p) = F V (q ) = V

En consecuencia: V (p  q) = V Su tabla de verdad es: p V V F F

q V F V F

p  q V V V F

TAREA: Escriba en el portafolio 5 ejemplos de disyunción inclusiva y determine su valor de verdad. DISYUNCIÓN EXCLUSIVA.- ( V ) QUE SE LEE O EN SENTIDO EXCLUYENTE El enunciado es verdadera cuando p es verdadero y q es falso o viceversa. Simbólicamente se lo representa por p  q que se lee p o q pero no ambas. Ejemplos: Carmen es hija de José ó de Vicente Simbólicamente tenemos: p: Carmen es hija de José q: Carmen es hija de Vicente

V(p) = V V (q) = V

En consecuencia: V (p  q) = F (p  q) que se lee: p ó q, pero no ambas.

25 = 6 o 3 + 9 = 7 p: 25 = 6 V (p) F q: 3 + 9 = 7 V 8q) = F En consecuencia: V (p  q) = F

TAREA: Escribir en el portafolio 5 ejercicios de disyunción exclusiva y determine el valor de verdad. Su tabla de verdad es: p V V F F

q V F V F

(p q) F V V F

CONJUNCIÓN NEGATIVA: El enunciado es verdadero cuando las proposiciones simples que la forman son falsas. La conjunción negativa de dos proposiciones p y q, se representa por “p  q” o por p  q se lee: ni p, ni q Ejemplos: “ni 3 + 2 = 5, ni 2 + 4 = 6” Simbólicamente tenemos: p q p: 3 + 2 = 5 q: 2 + 4 = 6

V (p) = V V (q) = V

Consecuentemente tenemos que: V (p  q) = F  p: 3 + 2  5  q: 2 + 4  6 Consecuentemente: V ( p   q) = F Entonces se deduce que: (p  q)  ( p   q )

V ( p) = F V ( q) = F;

Su tabla de verdad es: p

q

(p  q)

V V F F

V F V F

F F F V

TAREA Escribir en el portafolio 5 ejercicios de conjunciones negativas y determinar el valor de verdad. DISYUNCIÓN NEGATIVA: El enunciado es falso cuando las proposiciones simples que la forman son verdaderas. La disyunción negativa de proporciones se representa por p / q; que se lee no p ó no q. Ejemplo: No eres pintor o no eres artista p / q p: eres artista q: eres pintor

V (p) = V V ( q) = V

En consecuencia: V (p / q) = F  p: no eres artista  q: no eres pintor

V (p) = F V (q ) = F

Consecuentemente: V (p  q) = F Luego: p / q  (p  q ) Su tabla de verdad es: p V V F F

q V F V F

(p/q) F V V V

Negación (  ) no Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador no se obtendrá su complemento o negación (falso). Al negar una proposición simple, se transforma en una proposición compuesta Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos: (~,  ) Ejemplo. Ejemplos:

p: Patricio está estudiando en la sala  p: Patricio no esta estudiando en la sala.

V (p) = V V ( p) = F

q: María es novia de Iván  q: No es cierto que María es novia de Iván

V (q) = F V (q) = V

Su tabla de verdad es: p V F

p F V

A veces la negación de una proposición simple se obtiene mediante otra proposición simple, así: p: x es mortal p: x es inmortal q: y es par q: y es impar La negación en matemáticas se realiza así: p: 2 + 3 = 5 p: 2 + 3  5

V (p) = V V (p) = F

NEGACIÓN DE PROPOSICIONES COMPUESTAS: Se puede también utilizar otras formas de negar como: no es el caso que; no es cierto que, (frecuentemente se acostumbra a utilizar esta forma cuando se niegan proposiciones compuestas) No es el caso que: 3  2 y 4 + 1 = 5; simbólicamente tenemos:  ( p q ) No es cierto que: 3  2 y 4 + 1 = 5; simbólicamente tenemos:  ( p q ) p: 3  2 V (p) = F q: 4 + 1 = 5 V (q) = V Consecuentemente: V(pq)=V

TAREA: Escriba en el portafolio 5 ejemplos de negación. PROPOSICIONES CONDICIONALES ( ) que se lee “entonces” Una proposición condicional, es aquella que está formada por dos proposiciones simples (o compuesta) p y q. La cual se indica de la siguiente manera:  que se lee “si p, entonces q; simbólicamente se la representa por:

pq

Se lee “Si p, entonces q” Si p, q p, sólo si q p es necesario para q; etc. En este caso p: es el antecedente y q: es el consecuente.

qp

Se lee: q puesto que p q, si p q cuando p q cada vez que p q dado que p q porque p q ya que p; etc. Se caracterizan porque después de cada uno de estos conectivos está el antecedente o condición.

Ejemplo: Simbolice y determine el valor de verdad: Un candidato a presidente de Colombia dice: “Si salgo electo presidente de la República de Colombia, entonces recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año”. Una declaración como esta se conoce como condicional. Su tabla de verdad es la siguiente: p: Si salgo electo Presidente de la República de Colombia q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año

V (p) = V V (q) = V

De tal manera que el enunciado se puede expresar de la siguiente manera: p  q El V( p  q ) = V Otro ejemplo: 5+7=12 8- 5 = 4 ; Simbólicamente tenemos: p  q p: 5 + 7 = 12 V( p) = V q: 8 – 5 = 4 V( q ) = F Su valor de verdad es: V (p  q ) = F Su tabla de verdad es: p

q

p  q

V V F F

V F V F

V F V V

Esto significa que una proposición condicional es falsa cuando p = V y q = F; en los demás casos será verdadera. VARIANTES DEL CONDICIONAL

A toda proposición condicional se le asocia tres proposiciones igualmente importantes, que son: proposición recíproca, inversa y contra recíproca. Proposición recíproca.- Dada la proposición condicional “p  q “, se llama proposición recíproca a la proposición que se denota por: “q  p” Ejemplo: Si y es par, entonces, y es múltiplo de 2 ; simbólicamente: p  q. Condicional Si y es múltiplo de 2, entonces, y es par ; simbólicamente: p  q. Su recíproca: Si b es perpendicular a c, entonces c es perpendicular a b. La proposición anterior simbólicamente la denotamos por “p  q”; mientras que la proposición recíproca será: “q  p”. c es perpendicular a b, si b es perpendicular a c. Proposición inversa. - Dada la proposición condicional “p  q “, se llama proposición inversa a la proposición que se denota por: “ p   q”. Ejemplo: Si Juan consigue la beca, entonces viajará a Francia; simbólicamente tenemos: pq La proposición inversa será: " p   q”, será: Si Juan no consigue la beca, entonces no viajará a Francia.. Simbólicamente tenemos: " p   q Proposición contra recíproca.- Dada la proposición condicional: “p  denomina proposición contra recíproca a la que se denota por:  q   p. Ejemplo:

q”, se

Si vivo en Cartagena, vivo en el Departamento de Bolivar; simbólicamente: p  q La proposición contra recíproca será : No vivo en el Departamento de Bolivar, si no vivo en Cartagena ; simbólicamente: “ q   p” En los siguientes ejercicios escribir la proposición dada en la forma “si p entonces q”; determine su valor de verdad. A continuación, escribir la recíproca y la contrarecíproca y determinar la verdad o falsedad de cada una. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)

Las lechugas son verduras Sólo las rectas paralelas no se cortan Sólo las rectas perpendiculares forman ángulos rectos. Un triángulo equilátero tiene tres lados iguales Si a es mayor que b entonces b es mayor que a Los triángulos isósceles son equiláteros Un hombre natural de Medellín es natural de Antioquia Si x = 4 entonces x2 = 16 Ningún profesor de idiomas tiene mala ortografía Toda persona mayor de 18 años puede votar.

PROPOSICIÓN BICONDICIONAL: (  ), QUE SE LEE “SI Y SÓLO SI” Sean p y q dos proposiciones simples entonces se puede indicar la proposición bicondicional de la siguiente manera: p  q; que se lee “p si y solo si q” Esto significa que p es verdadera si y solo si q es también verdadera. O bien p es falsa si y solo si q también es falsa. Ejemplo; el enunciado siguiente es una proposición bicondicional “Luis es buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de diez” Simbólicamente tenemos: p: Luís es buen estudiante q: Tiene promedio de diez.

V (p) = V V (q) = V

Por consiguiente: V (p  q) = V Su tabla de verdad es: p V V F F

q V F V F

p  q V F F V

La proposición bicondicional solamente es verdadera si tanto p como q son falsas o bien ambas verdaderas. La proposición bicondicional, también se forma por la conjunción de una proposición condicional y su recíproca, simbólicamente tememos: pq = pq qp Ejemplo: Juan viajará a la ciudad de Bogotá si y sólo si obtiene un préstamo en el Banco de la Republica; Simbólicamente tenemos: q  p Equivale a decir: Si Juan viaja a la ciudad de Bogotá, entonces obtiene un préstamo en el Banco de la Republica, y si obtiene un préstamo en el Banco de la República viajará a la ciudad de Bogotá. Simbólicamente tenemos: = p  q  q  p Por lo tanto la primera y segunda proposición son iguales: pq = pq qp SIGNOS DE PUNTUACIÓN, AGRUPACIÓN Y ORDEN DE LOS OPERADORES O CONECTIVOS LÓGICOS Los signos de agrupación más conocidos tenemos: el paréntesis, corchete y llaves ( ); [ ] ;  Estos signos reemplazan a los signos gramaticales: punto (.), la coma (,), el punto y como (;), y los dos puntos (:).

Los signos de agrupación se usan en lógica cuando se trata de obtener esquemas lógicos más complejos con el fin de evitar la ambigüedad de las fórmulas: 1. Si las proposiciones tienen el mismo tipo de operador o conectivo lógico, se debe colocar los paréntesis de izquierda a derecha así: p  q  r = (p  q)  r p  q  r  s = [(p  q)  r ]  s p  q  r  s = [(p  q)  r]  s 2. Si no hay signos de puntuación ni paréntesis se debe considerar el siguiente orden de menor a mayor jerarquía de los operadores y de izquierda a derecha, para ubicar los paréntesis.

, , , , 

Ejemplos: p  q  r = (p  q)  r p  q  r v s = (p  q)  (r v s ) p  q  r  s = (p  q)  (r  s) 3. Si la proposición compuesta está escrita con paréntesis, la ubicación de éstos nos indicará cual es el operador predominante: Ejemplo: p  q  r = (p  q) v r Es un esquema disyuntivo p  q  r v s = (p  q)  ( r v s ) Es un esquema condicional p  q r  s = (p  q)  (r  s ) Es un esquema bicondicional. 4. Si un esquema molecular no lleva los signos de agrupación, se puede indicar cual es el operador predominante así: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)

Conjunción Condicional Condicional Condicional Conjunción Disyunción Disyunción Disyunción Disyunción Condicional Negación Condicional Negación

prs pq s p qr rpq rpq rqt qps qps qrs qrs pr pr ts

(p  r)  s -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Dadas las siguientes proposiciones matemáticas, incluir los paréntesis. 1. Disyunción x  0  x > y  y = z 2. condicional x = 0  x > y  y  z

x  0  ( x > y  y = z) --------------------------------

3. 4. 5. 6. 7.

condicional condicional conjunción condicional conjunción

x = 0  x  0  y z x>yx yy>z x = 0  x > 0  y= 0 x = y  y = z  x= z x=yy=zyz

En la proposición compuesta: En la proposición compuesta: En la proposición compuesta: En la proposición compuesta:

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p  ( q  r ) el conector principal es . p  q el conector principal es  p  ( p  r) el conector principal es  [ ( p  q)  (r  s)] el conector principal es 

Como podemos darnos cuenta, que los signos de puntuación permiten, entre otras cosas, identificar en una proposición compuesta el CONECTOR DOMINANTE O CONECTOR PRINCIPAL O EL DE MAYOR JERARQUÍA Debemos recordar que un esquema molecular es la combinación de las variables, operadores lógicos y los signos de agrupación.