1

Resuelve utilizando el método de reducción el siguiente sistema de ecuaciones:  − 3x + y = 0  4 x − 2 y = −10

Solución: Multiplicando la 1ª ecuación por 2 y sumando el resultado se obtiene: − 6 x + 2 y = 0   4x − 3 y = 10

− 2x = 10 ⇒ x = −5

Se sustituye este valor en una ecuación y se calcula y: La solución es x = 5, y = 35 2

−35 + y = 0 ⇒ y = 35

Resuelve utilizando el método de igualación el siguiente sistema de ecuaciones:

4 x + y = 15   3 x − y = −1

Solución:

y = 15 − 4 x   y = 1 + 3x Se despeja y en las dos ecuaciones:

15 − 4 x = 1 + 3 x ⇒ −4 x − 3 x = 1 − 15 ⇒ −7 x = −14 ⇒ x = Se igualan los resultados: y = 1 + 3·(−2) = −5 Se calcula y: La solución es x = -2, y = -5

3

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

7x − 2 y = 4   2x + 3 y = 1

Solución: Multiplicando la 1ª ecuación por 3 y la 2ª por 2 y sumando los resultados:

−14 = −2 7

21x − 6 y = 12   4x + 6y = 2 25 x = 14 ⇒ x =

14 25

2·

14 28 −3 −3 −1 + 3y = 1 ⇒ 3y = 1 − ⇒ 3y = ⇒y= = 25 25 25 75 25

Se sustituye este valor en una ecuación y se calcula y: 14 −1 25 25 La solución es x = ,y= 4

Resuelve utilizando el método de sustitución el siguiente sistema de ecuaciones:

 2x − y = 5   x − 2 y = −2

Solución:

x = 2y − 2 Se despeja x en la segunda ecuación: Se sustituye en la primera y 2(2y − 2) − y = 5 ⇒ 4 y − 4 − y = 5 ⇒ 3 y = 9 ⇒ y = 3

se

resuelve

la

ecuación

que

resulta:

que

resulta:

x = 2·3 − 2 = 4 Se calcula x: La solución es x = 4, y = 3

5

Resuelve utilizando el método de sustitución el siguiente sistema de ecuaciones:

3x + y = 4  x+y=0

Solución:

y = 4 − 3x Se despeja y en la primera ecuación: Se sustituye en la segunda y x + 4 − 3 x = 0 ⇒ x − 3 x = −4 ⇒ −2 x = −4 ⇒ x = 2

se

resuelve

la

ecuación

y = 4 − 3·2 = −2 Se calcula y: La solución es x = 2, y = −2.

6

Resuelve utilizando el método de igualación el siguiente sistema de ecuaciones:

x − 4 y = 7   x + y = −8

Solución:

x = 7 + 4 y   x = −8 − y Se despeja x en las dos ecuaciones:

7 + 4 y = −8 − y ⇒ 4 y + y = −8 − 7 ⇒ 5 y = −15 ⇒ y =

−15 = −3 5

Se igualan los resultados: x = 7 + 4·(−3 ) = −5 Se calcula x: La solución es x = −5, y = −3

7

Resuelve utilizando el método de reducción el siguiente sistema de ecuaciones:

3x + 5 y = −1  4 x − 2 y = 16

Solución: Multiplicamos la 1ª ecuación por 2 y la 2ª por 5: 6 x + 10 y = −2  20 x − 10 y = 80

→

Sumamos y obtenemos: 26x = 78 x=3 Sustituimos en la 1ª ecuación el valor hallado: 9 + 5y = -1

8

→ y = -2. Solución: (3, -2).

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

 6x − 5 y = 28   4 x + 9 y = −6

Solución:

28 + 5 y  x=  6  − 6 − 9y x =  4 Se despeja x en las dos ecuaciones: Se igualan los resultados: 28 + 5 y −6 − 9 y = ⇒ 4(28 + 5 y ) = 6(− 6 − 9 y ) ⇒ 112 + 20 y = −36 − 54 y ⇒ 20 y + 54 y = −36 − 112 ⇒ 6 4

74 y = −148 ⇒ y = −2

x=

28 + 5·(−2) =3 6

Se calcula x: La solución es x = 3, y = −2

9

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x y 2 + 5 = 7   3x − 2 y = 10

Solución: Multiplicamos por 10 la 1ª ecuación: 5 x + 2y = 70  3 x − 2y = 10 → Sumamos las dos ecuaciones: 8x = 80 x = 10 Sustituyendo el valor hallado en la segunda ecuación: → 30-2y = 10 y = 10. Solución: (10, 10)

10 Resuelve utilizando el método de reducción el siguiente sistema de ecuaciones:

2x − 3 y = 4   x+y=7

Solución: Multiplicando la 2ª ecuación por 3 y sumando el resultado se obtiene:  2x − 3 y = 4  3 x + 3 y = 21 5x = 25 ⇒ x=5

Se sustituye este valor en una ecuación y se calcula y: La solución es x = 5, y = 2

5+y =7⇒ y =2

11 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

 2x + 3 y = 4  6x − 5 y = 40

Solución: Multiplicando la 1ª ecuación por −3 y sumando el resultado: − 6 x − 9 y = −12   6 x − 5 y = 40

− 14 y = 28 ⇒ y = −2

Se sustituye este valor en una ecuación y se calcula x: La solución es x =5, y = − 2

2x + 3·(−2) = 4 ⇒ 2x = 10 ⇒ x = 5

12 Resuelve por el método que prefieras el siguiente sistema de ecuaciones:

 3x − y = 5  5 x + 2 y = 3

Solución:

y = 3x − 5 Se despeja y en la primera ecuación: Se sustituye en la segunda y se resuelve la ecuación: 5 x + 2(43 x − 5 ) = 3 ⇒ 5 x + 6 x = 3 + 10 ⇒ 11x * 13 ⇒ x =

13 11

13 39 55 −16 y = 3· − 5 = − = 11 11 11 11 Se calcula y:

13 11 La solución es x =

−16 11 ,y=

.

13 Resuelve utilizando el método de sustitución el siguiente sistema de ecuaciones: 5 x − y = 15  10 x + 3 y = 55

Solución: Despejamos y en la 1ª ecuación: y = 5x - 15 Sustituimos en la segunda: 10x + 3(5x - 15) = 55 Operamos y agrupamos términos: 25x = 100 Sustituimos en y: y = 5. Solución: (4, 5).

→ x=4

14 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

 2x  3 −y=8   9y  4 x + 2 = 6

Solución: Multiplicamos la 1ª ecuación por 3, y la 2ª por 2: 2x − 3 y = 24  8 x + 9 y = 12 Multiplicamos la 1ª ecuación por 3 para aplicar el método de reducción:

6 x − 9 y = 72  8 x + 9 y = 12

→

Sumamos las dos ecuaciones: 14x = 84 x=6 Sustituyendo el valor hallado en la 1ª ecuación: 4-y=8

→ y = -4. Solución: (6, -4)

15 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

 3(x + 5 ) = 4 y − 8  − x − 15 = 2x − 2(y − 2 )

Solución:

 3 x + 15 = 4 y − 8  − x − 15 = 2x − 2y + 4 Quitando paréntesis:

 3 x − 4 y = −23  − 3 x + 2y = 19 Agrupando los términos:  3 x − 4 y = −23  − 3 x + 2 y = 19

− 2 y = −4 ⇒ y = 2 Sumando:

3 x − 4·2 = −23 ⇒ 3 x = −15 ⇒ x = −5 Se calcula x: La solución es x =− 5, y = 2 16 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

− 2(x + 1) − 5 y = 3   2x + y = 1 − x

Solución:

 −2x − 2 − 5y = 3  4x − 3y = 1 − x  Quitando paréntesis:

 −2x − 5y = 5   3x + y = 1 Agrupando los términos:

 −2x − 5y = 5  y = 1 − 3x  Despejando y de la segunda ecuación:

−2x − 5 (1 − 3x ) = 5

⇒

-2x+15x=5+5

⇒

13x=10

Sustituyendo en la primera: 10 -17 y = 1 − 3· ⇒ y= 13 13 Se calcula y: 10 −17 13 13 La solución es x = ,y= 17 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

 5x y  3 −2 =8  − 3x 3 y  − = −6 4  2

Solución:

 10 x − 3 y = 48  − 6 x − 3 y = −12 Quitando denominadores:

10 x − 3 y = 48   6 x + 3 y = 12 16 x = 60 ⇒ x =

60 15 ⇒x= 16 4

Multiplicando por −1 la 2ª ecuación y sumando: −42 −42 −7 15 90 6· + 3 y = 12 ⇒ 3 y = 12 − ⇒ 3y = ⇒y= = 4 4 4 4 6 Se calcula y: −7 15 6 4 La solución es x = ,y= 18 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

 y − 3x = −8   y − 5x = − y − 3

Solución:

 − 3 x + y = −8  − 5 x + 2 y = −3 Agrupando los términos:

 y = −8 + 3 x  − 5 x + 2 y = −3 Despejando y de la primera ecuación:

⇒ x=

10 13

Sustituyendo en la 2ª y resolviendo: y = 3·13 − 8 ⇒ y = 31 Se calcula y: La solución es x = 13, y = 31

−5 x + 2(3 x − 8 ) = −3 ⇒ −5 x + 6 x = −3 + 16 ⇒ x = 13

19 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

1  2y x  − =  5 3 15 15 x − 15 y = 2

Solución:

 6 y − 5x = 1  15 x − 15 y = 2 Quitamos paréntesis:

− 15 x + 18 y = 3   15 x − 15 y = 2 3y = 5 ⇒ y =

5 3

Multiplicando la primera ecuación por 3 y sumando:

15 x − 15·

5 27 9 = 2 ⇒ 15 x = 2 + 25 ⇒ x = = 3 15 5

Sustituyendo en la 2ª ecuación se calcula x: 5 9 3 5 La solución es x = , y = 20 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

 5x = 2y − 2  4 x = 20 − 2 y

Solución:

5 x − 2y = −2  4 x + 2 y = 20 Agrupando términos:

 5 x − 2 y = −2  4 x + 2y = 20 9 x = 18 ⇒ x = 2 Sumando las dos ecuaciones: Sustituyendo en la 2ª ecuación, se calcula y: La solución es x = 2, y = 6

4·2 + 2y = 20 ⇒ 2y = 20 − 8 ⇒ 2y = 12 ⇒ y = 6

21 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x y 3 + 2 =2  2x y  − =1 2 3

Solución:

2x + 3 y = 12   4 x − 3y = 6 Quitando denominadores: 2x + 3 y = 12   4x − 3y = 6

6 x = 18 ⇒ x = 3 Sumando:

2·3 + 3 y = 12 ⇒ 3 y = 6 ⇒ y = 2 Se calcula y: La solución es x = 3, y = 2 22 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

3x + 4 y = 2x − 4   2x = 2 − 3 y

Solución:

 x + 4 y = −4  2 x + 3 y = 2 Agrupando los términos:

x = −4 − 4 y  2x + 3 y = 2 Despejando x en la 1ª ecuación: Sustituyendo en la 2ª se calcula y: x = −4·(−2) − 4 = 4 Se halla x: La solución es x = 4, y = −2

2(−4 y − 4 ) + 3 y = 2 ⇒ −8 y + 3 y = 2 + 8 ⇒ −5 y = 10 ⇒ y = −2

23 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

− 2x − 18 = 4(x + 3 y ) + 4   − 12(x − y ) + 9 = 4

Solución:

− 2 x − 18 = 4 x + 12 y + 4   − 12 x − 12 y + 9 = 4 Quitando paréntesis:

 − 6 x − 12 y = 22  − 12 x − 12 y = −5 Agrupando los términos:  − 6 x − 12 y = 22  − 12 x − 12 y = −5

− 18 x = 17 ⇒ x =

− 17 18

Sumando:

− 12·

−17 204 −294 −294 −49 + 12 y = −5 ⇒ 12 y = −5 − ⇒ 2y = ⇒y= = 18 18 18 16 36

Se calcula y:

−17 18 La solución es x =

−49 36 ,y=

24 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

 x+2 −y  =  3 5 7x − 4 y = −14

Solución:

5 x + 10 = −3 y  7 x − 4 y = −14 Quitando denominadores:

5 x + 3 y = −10  7 x − 4 y = −14 Agrupando los términos:

20 x + 12 y = −40   21x − 12 y = −42 41x = −82 ⇒ x = −2 Multiplicando por 4 la 1ª ecuación y la 2ª por 3 y sumando: 5·(−2) + 3 y = −10 ⇒ 3 y = 0 ⇒ y = 0 Se calcula y: La solución es x = −2, y = 0 25 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

 x − 3(y + 2) = 4  5(x − 1) + 2 y = −6

Solución:

 x − 3y − 6 = 4  5 x − 5 + 2y = −6 Quitando paréntesis:

 x − 3 y = 10  5 x + 2 y = −1 Agrupando los términos:

 x = 10 + 3 y  5 x + 2y = −1 Despejando x de la primera ecuación: 5(10 + 3 y ) + 2y = −1 ⇒ 15 y + 2y = −1 − 50 ⇒ 17 y = 51 ⇒ y = −3 Sustituyendo en la segunda: x = 10 + 3·(−3 ) ⇒ x = 1 Se calcula x: La solución es x = 1, y = −3 26 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

 3x = 6 5 x + 4 y = 14  3

Solución:

3x = 6   15 x + 4 y = 42 Quitando denominadores:

x=

6 =2 3

Despejando x de la primera ecuación: 15·2 + 4 y = 42 ⇒ 4 y = 12 ⇒ y = 3 Sustituyendo en la 2º: La solución es x = 2, y = 3. 27 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

2  4x  3 −y= 3    5x y  2 − 4 = 11

Solución: Multiplicamos la 1ª ecuación por 3, y la 2ª por 4, para eliminar los denominadores: 4 x − 3 y = 2  10 x − y = 44 Multiplicamos la segunda por -3, para aplicar el método de reducción:

4 x − 3 y = 2  − 30 x + 3 y = −132

→

Sumamos las ecuaciones: -26x = -130 x=5 Sustituyendo el valor hallado en la 1ª ecuación: 20 2 −y= 3 3 → y = 6. Solución: (5, 6)

28 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

 − x − 3 = 3y − 4  4(x + 3 ) − y = 2 y − 12

Solución:

 − x − 3 = 3y − 4  4 x + 12 − y = 2y − 12 Quitando paréntesis:

 − x − 3 y = −1  4 x − 3 y = −24 Agrupando los términos:

 x + 3y = 1  4 x − 3 y = −24 5 x = −23 ⇒ x =

− 23 5

Multiplicando por −1 la 1ª ecuación y sumando: −23 23 28 28 + 3 y = 1 ⇒ 3y = 1 + ⇒ 3y = ⇒y= 5 5 5 15 Se calcula y: −23 28 5 15 La solución es x = ,y= 29 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x y  2 + 3 = 11   x y  3 + 5 = 7

Solución: Multiplicamos la 1ª ecuación por 6, y la 2ª por 15, para eliminar los denominadores:

3 x + 2y = 66  5 x + 3 y = 105 Multiplicamos en el último sistema la 1ª ecuación por 5, y la 2ª por 3: 15 x + 10 y = 330  15 x + 9 y = 315 Ahora, aplicamos método de reducción. Restamos las ecuaciones: y = 15 Sustituyendo el valor hallado en la 1ª ecuación: x + 5 = 11 2 → x = 12. Solución: (12, 15)

30 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

 x  4 − y = −2  2x 2 y  + =4 5 3

Solución:

 x − 4 y = −8  10 x − 6 y = 60 Quitando denominadores:

 x = −8 + 4 y  10 x − 6 y = 60 Despejando x de la primera ecuación:

10(− 8 + 4 y ) − 6 y = 60 ⇒ 40 y − 6 y = 60 + 80 ⇒ 34 y = 140 ⇒ y = Sustituyendo en la 2ª:

x = −8 + 4·

70 144 ⇒x= 17 17

Se calcula x:

144 17 La solución es x =

70 17 ,y=

31 Justifica que los siguientes sistemas de ecuaciones son equivalentes: 4 x − 10 y = 2  − 2x + 6 y = 2 a)

,

4 x − 10 y = 2  − 4 x + 12 y = 4 b)

,

140 70 = 34 17

4 x − 10 y = 2   2 y = 6 c) Solución: En el sistema b) se ha multiplicado la segunda ecuación por 2, luego, es equivalente al primero. En el sistema c) la segunda ecuación se ha obtenido sumando las dos del sistema b), luego, es equivalente al b), y, por lo tanto, también al sistema a). 32 Aplica la regla de reducción para transformar el siguiente sistema en otro equivalente:

− x + 5 y = 6   x + 3 y = 18

Solución:

− x + 5 y = 6   8 y = 24 Cambiando la segunda ecuación por la suma de las dos:

33 Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

x + 1 y − 1  − = −1  3 2  4 x + 2 y = 3

Solución:

2x + 2 − 3 y + 3 = −6  4 x + 2y = 3  Quitando denominadores: 2x − 3 y = −11   4 x + 2y = 3 Agrupando los términos:

− 4 x + 6 y = 22   4 x + 2y = 3 8 y = 25 ⇒ y =

25 8

Multiplicando por −2 la 1ª ecuación y sumando: 25 25 −13 −13 4 x + 2· = 3 ⇒ 4x = 3 − ⇒ 4x = ⇒x= 8 4 4 16 Se calcula x: −13 25 16 8 La solución es x = ,y=

34 La suma de tres números pares consecutivos es 54. Halla dichos números. Solución: Si el primer número es 2x, el segundo es 2x+2 y el tercero 2x+4 2x + 2x + 2 + 2x + 4 = 54 La ecuación es: Resolviendo se obtiene: x=8 Los números son: 16, 18 y 20 35 Calcula las dimensiones de un rectángulo cuyo perímetro es 60 y cuya altura es 2 unidades mayor que la base. Solución:

2x + 2y = 60  x + y = 30 ⇒  − x + y = 2  y = x+2 Si x es la base e y, la altura, el sistema a resolver es: Por reducción:  x + y = 30  − x + y = 2

2y = 32 ⇒ y = 16 ⇒ x + 16 = 30 ⇒ x = 14

La base mide 14 cm y la altura,16 cm. 36 Halla un número tal que el triple de él sea la sexta parte de su cuadrado. Solución: Representamos el número pedido con x. x2 3x = 6 El enunciado dice: . Operamos y obtenemos una ecuación de segundo grado incompleta: Resolvemos sacando factor común: x(18 - x) = 0

18 x − x 2 = 0

→ x = 0; x = 18.

37 En la última temporada, un equipo marcó 88 goles. En casa marcó el triple que fuera. ¿Cuántos goles marcó fuera? Solución: Si x es el número de goles que marcó fuera, 3x es el número de goles que marcó en casa. x + 3 x = 88 La ecuación a resolver es: La solución de la ecuación: x = 22 Por tanto, marcó 22 goles fuera. 38 Halla dos números cuya suma sea 30, y la suma de sus cuadrados sea 468. Solución: Si uno de los números es x, el otro será 30 - x. x 2 + (30 − x )2 = 468. El planteamiento es: x 2 − 30 x + 216 = 0 Operamos y ordenamos los términos: Resolvemos: 30 ± 900 − 864 30 ± 6 18 x= = = 2 2 12

39 Calcula dos números cuya suma sea 191 y su diferencia 67. Solución:

 x + y = 19  x − y = 67 Si x e y son los dos números, el sistema a resolver es: Por reducción:  x + y = 19  x − y = 67

2x = 258 ⇒ x = 129 ⇒ 129 + y = 191 ⇒ y = 191 − 129 ⇒ y = 62

Los números son 129 y 62 40 Al aumentar 3 cm el lado de un octógono regular, su perímetro resulta ser de 104 cm. ¿Cuál era el lado del octógono primitivo? Solución: Llamando x al lado del octógono inicial, x+3 es el lado del nuevo octógono 8(x + 3 ) = 104 La ecuación es: Su solución: x = 10 Por tanto, el lado del octógono inicial era de 10 cm.

41 Si 3 periódicos y 4 revistas cuestan 11 euros, y que 1 periódico y 2 revistas cuestan 5 euros, ¿Cuánto valen cada periódico y cada revista? Solución: Sean x el precio de un periódico e y el de una revista. 3 x + 4 y = 11   x + 2y = 5 El sistema a resolver es: Por reducción, multiplicando la segunda ecuación por -2:  3 x + 4 y = 11  − 2 x − 4 y = −10   x = 1 ⇒ 1 + 2 y = 5 ⇒ 2y = 5 − 1 ⇒ y = 2

El precio de un periódico es 1 euro y el de una revista 2 euros. 42 Un ganadero quiere mezclar cierta cantidad de maíz de 0,17 euros el kilo, con 300 kilos de cebada de 0,13 euros el kilo, para obtener un pienso para gallinas que resulte a 0,15 euros el kilo. ¿Qué cantidad de maíz necesitamos? Solución: Representamos la cantidad de maíz con x. El coste del pienso debe ser igual al valor del mismo después de la mezcla: 300·0,13 + 0,17·x = 0,15(300 + x) Agrupando términos y resolviendo: ⇒ x = 300 0,02x = 6 kilos.

43 El perímetro de un rectángulo mide 90 m. Si el lado mayor mide 5m más que el menor, ¿cuánto miden sus

lados? Solución: Representamos el lado menor del rectángulo con x. El mayor será x+5. El perímetro es: 2x + 2(x+5) = 90 Agrupando los términos: 4x = 80 ⇒ x = 20m. 44 Un padre tiene 47 años y su hijo 20. ¿Cuántos años hace que la edad del padre era cuatro veces la del hijo? Solución: Representamos el nº de años transcurridos con x. Hace x años sus edades eran: 47 - x y 20 - x, respectivamente. El enunciado dice: 47 - x = 4(20 - x) Agrupando términos: ⇒ x = 11 3x = 33 años.

45 La suma de un número más la mitad de su cuadrado es 84. Calcúlalo. Solución: Llamamos x al número pedido. x2 x+ = 84 2 El enunciado dice: x 2 + 2x − 168 = 0 Quitamos denominadores:

x=

− 2 ± 4 + 672 − 2 ± 26 12 = = 2 2 − 14

Resolvemos: Hay dos números que lo cumplen, 12 y -14.

.

46 En un campamento de verano hay tiendas dobles y triples. Si en total hay 20 tiendas y 52 sacos de dormir, ¿cuántas tiendas hay de cada clase? Solución: Si x es el número de tiendas dobles e y el de triples: x + y = 20 Hay 20 tiendas: 2x + 3 y = 52 Hay 52 sacos de dormir:

y = 20 − x   2x + 3(20 − x ) = 52 Por sustitución despejando y en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda: 2x + 60 − 3 x = 52 ⇒ x = 8 Resolviendo la segunda ecuación: y = 20 − 8 = 12 Sustituyendo ese valor en la primera ecuación: Hay 8 tiendas dobles y 12 triples.

47 La suma de un número más su inverso es 13/6. Calcúlalo. Solución: Lamamos x al número pedido.

x+

1 13 = x 6

El enunciado dice: Quitamos denominadores y ordenamos los términos: Resolvemos: 3  13 ± 169 − 144 13 ± 5  2 x= = = 12 12 2  3

6 x 2 − 13 x + 6 = 0

.

48 Queremos mezclar dos aceites industriales, A y B, de densidades 1,1kg/litro y 1,3 kg/litro, respectivamente, para obtener 50 litros de un aceite cuya densidad sea 1,16kg/litro. ¿Qué cantidad de aceite se debe tomar de cada clase? Solución: Llamamos x e y a las cantidades en litros de aceite A y B, respectivamente. El volumen debe ser el mismo antes y después de la mezcla: x + y = 50. Lo mismo debe ocurrir con el peso: 1,1x + 1,3y = 1,16·50. Multiplicamos por 10 la última, y resulta el sistema: x + y = 50  11x + 13 y = 580 Sustituimos y = 50 - x en la 2ª ecuación:

→

2x = 70 11x + 13(50 - x) = 580 Sustituyendo: y = 15 litros.

→ x = 35 litros

49 En un edificio se dedican a garaje 2/7 del número de plantas que tiene, para oficinas se dedican 2/5 de las restantes, y para viviendas las seis últimas. ¿Cuántas plantas tiene? Solución: Representamos el nº de plantas del edificio con x. 2 2 2 x + ( x − x) + 6 = x 7 5 7 Garaje + Oficinas + Viviendas, se plantea: Multiplicando por el m.c.m.(5, 7) = 35, y operando: 10x + 14x - 4x + 210 = 35x Agrupando términos: ⇒ x = 14 . 15x = 210

50

2 Un cuadrado tiene 144 m más de superficie que otro, y éste 4 m menos de lado que el primero. Halla los lados de dichos cuadrados.

Solución: Sea x el lado del cuadrado mayor. El lado del segundo cuadrado es: x - 4. x 2 = ( x − 4)2 + 144. La relación que hay entre las superficies es: Operando y simplificando queda: 8x = 160, es decir, x = 20. El lado del primer cuadrado mide 20 m y el del segundo 16 m.

51 Divide 64 en dos sumandos, de modo que al dividir el mayor entre el menor se obtenga 3 de cociente y 8 de resto. Solución: Representamos con x el mayor de los sumandos (dividendo), el otro será 64 - x. El planteamiento se obtiene de la ley de la división: Dividendo = Cociente · divisor + resto: x = 3(64-x) + 8 ⇒ x = 50 . El segundo sumando será 14. Operando: 4x = 200

52 Halla dos números pares consecutivos tal que la diferencia de sus cuadrados sea 100. Solución: Los números pares pedidos los representamos con 2n y 2n+2. (2n + 2)2 − (2n)2 = 100. El enunciado dice: 4n2 + 8n + 4 − 4n2 = 100 → → n = 12 Operamos y obtenemos la ecuación: 8n = 96 Los números son: 2n = 24 y 2n + 2 = 26. También lo cumplen - 26 y - 24.

53 Divide el número 392 en dos partes, de modo que al dividir la mayor entre la menor obtengas 11 de cociente y 8 de resto. Solución: Sean x e y con x > y las partes buscadas del número dado: x + y =392 La ley de la división aplicada a los datos del enunciado nos da: x = 11y + 8 x + y = 392  x − 11y = 8 Debemos resolver el sistema: Restamos la segunda de la primera: 12y = 384

→ y = 32. Sustituyendo en la 1ª ecuación: x = 360.

54 Un cesto tiene 72 unidades entre manzanas, peras y naranjas. Sabiendo que el número de manzanas es cinco veces el de peras y que el de naranjas es la semisuma de los otros dos, halla las unidades de cada tipo de fruta que contiene el cesto. Solución: Número de peras, x Número de manzanas, 5x x + 5x 2 Número de naranjas,

x + 5x

x + 5x = 72 2

En el cesto hay 72 unidades:

2x + 10 x + x + 5 x = 144 Multiplicando por 2 y quitando denominadores: Despejando: x = 8 Por tanto, el cesto tiene 8 peras, 40 manzanas y 24 naranjas. 55 Al dividir dos números obtenemos de cociente 3 y 6 de resto. Si el divisor disminuye tres unidades, los nuevos cociente y resto aumentan en una unidad cada uno. Halla dichos números. Solución: Sean D y d, dividendo y divisor, respectivamente, los números buscados. Aplicando la ley de la división las dos veces que propone el enunciado, obtenemos el siguiente sistema de

D = 3d + 6  D = 4(d − 3) + 7 ecuaciones:

.

Igualando los segundos miembros de ambas: 3d+6 = 4d - 5 Sustituyendo el valor calculado en la 1ª ecuación: D = 39.

→ d = 11

56 Halla dos números cuya suma sea 50, y la diferencia entre el mayor y el menor sea la mitad del menor. Solución: Sean los números pedidos: x e y, con x>y.

x + y = 50   y x − y = 2  El enunciado nos da las dos condiciones siguientes: 3y 3y + y = 50 x= 2 2 En la segunda podemos despejar x: . Sustituyendo en la primera: Sustituyendo el valor hallado: x = 30. Los números pedidos son: 30 y 20.

→ y = 20

57 La diagonal de un rectángulo mide 35 cm y sus lados son proporcionales a 3 y 4. Halla sus lados. Solución: Sea la constante de proporcionalidad x. Los lados del rectángulo serán: 3x y 4x. (3 x )2 + ( 4 x )2 = 35 2 Por el teorema de Pitágoras:

x=± Resolvemos la ecuación: Los lados miden 21 cm y 28 cm.

58

35 2 52

→ 25 x 2 = 352

= ±7 . La solución negativa no tiene sentido en este problema.

2 El perímetro de un campo rectangular mide 340 m., y su superficie es de 7000 m . Halla sus dimensiones.

Solución: Sea x uno de los lados del rectángulo. Dos lados contiguos del rectángulo (semiperímetro) suman 170 m., luego, el segundo lado del rectángulo es 170 x. La superficie nos proporciona la siguiente ecuación: x(170 - x) = 7000. x 2 − 170 x + 7000 = 0. Operando obtenemos: Resolvemos: 170 ± 28900 − 28000 170 ± 30 100 x= = = 2 2 70 . Los lados del rectángulo miden 100 m y 70 m.

59 La edad de una mujer era hace 10 años cinco veces la de su hija, y dentro de 11 años será solamente el doble. ¿Qué edades tienen actualmente?

Solución: Llamamos x e y a las edades actuales de madre e hija, respectivamente. En el pasado, las edades cumplían la condición siguiente: x - 10 = 5(y - 10) En el futuro, la relación que da el enunciado es: x + 11 = 2(y+11) x − 5 y = −40  x − 2y = 11 Agrupando los términos obtenemos:

→

Restamos las ecuaciones: 3y = 51 y = 17. Con este valor la 2ª ecuación nos da: x = 11+34 = 45. La edad de la mujer es 45 años, y la de su hija 17años.

60 Marta tiene 7 años. Cuando alcance la edad de su madre, la suma de ambas edades será de 104 años. ¿Cuál es la edad actual de su madre? Solución: Si x es la edad actual de la madre, el tiempo que ha de transcurrir para que Marta tenga la edad de su madre es x− 7. Edad actual Marta

7

Madre

x

Edad dentro de x− 7 años 7+x−

7=x

x+x− 7=2x− 7

Dentro de x− 7 años la suma de sus edades será 104: x+2x− 7=104 La madre tiene ahora 37 años.

⇒ x=37

61 La densidad del alcohol puro es 0,79 kg./litro y la del agua 1 kg./litro. Si tenemos un alcohol cuya densidad es de 0,86 kg./litro, ¿qué proporción de alcohol puro y de agua contiene? Solución: Llamamos x e y a las cantidades de alcohol y de agua, respectivamente, en un litro del alcohol del problema. Entonces: x + y = 1, y la igualdad de pesos por litro nos da la ecuación: 0,79x + y = 0,86. Multiplicamos por 100 la última, y tenemos el sistema: x + y = 1  79 x + 100 y = 86

y= Sustituimos x = 1 - y en la 2ª ecuación: 79(1 - y) + 100y = 86 1 2 x = 1− = 3 3 Sustituyendo: . Es decir, contiene 2/3 de alcohol puro y 1/3 de agua.

→ 21y = 86 - 79 = 7 →

1 3

62 Con el número de fichas cuadradas que tengo, al formar un cuadrado me sobran 15, y si quiero formarlo con una ficha más por lado me faltan 26. ¿Cuántas fichas tengo? Solución: Sea x el número de fichas en uno de los lados del cuadrado completo. x 2 + 15 El número de fichas que tengo es: . 2 ( x + 1) − 26 El cuadrado incompleto tiene: fichas, que también son las que tengo 2 x + 15 = ( x + 1)2 − 26 Igualando las expresiones anteriores: Operando y agrupando los términos obtenemos: 2x = 40, es decir, x = 20. Tengo, por lo tanto, 415 fichas.

63

Los lados de un triángulo rectángulo son proporcionales a los números 5, 12 y 13, y su área es Calcula los lados.

270cm 2

Solución: Llamamos x a la constante de proporcionalidad. Los lados son: 5x, 12x y 13x, los menores serán los catetos. 5 x·12 x = 270 2 → x 2 = 9 → x = ±3 El área es: . La solución negativa no tiene sentido en este problema. Los lados son: 15, 36 y 39. 64 Halla un número, tal, que la suma de su mitad, su tercera parte y su quinta parte, resulta cuatro unidades mayor que dicho número. Solución: Representamos el número pedido con x. Escribimos el enunciado en lenguaje algebraico: x x x + + =x+4 2 3 5 Multiplicamos por m.c.m.(2, 3, 5) = 30: 15x + 10x + 6x = 30x+120 Agrupamos y resolvemos: x = 120. 65 Si a cada uno de los dos términos de una fracción le sumamos 3, la fracción resultante es equivalente a 10 3 11 4 ; pero si a cada uno le restamos 4, resulta otra fracción equivalente a . Halla la fracción. Solución:

x y

 x + 3 10  y + 3 = 11 11(x + 3 ) = 10(y + 3 ) 11x − 10 y = −3 ⇒  x−4 3 ⇒   4(x − 4 ) = 3(y − 4 )  4 x − 3y = 4  =  y − 4 4

Si la fracción es ⇒ Por reducción, multiplicando la primera ecuación por −r y la segunda por 11: − 44 x + 40 y = 12   44 x − 33 y = 44

7 y = 56 ⇒ y = 8 ⇒ 4 x − 3·8 = 4 ⇒ 4 x = 28 ⇒ x = 7

7 8 La fracción buscada es 66 Calcula la superficie total de una semiesfera de radio 5 cm. Solución: El área de una esfera entera es: A e = 4π r 2 = 4π ⋅ 52 = 100π ≈ 314,16 cm2

.

Como es una semiesfera es la mitad más el área de un círculo de radio el radio de la esfera: 314,16 A= + π ⋅ 52 ≈ 235,61 cm2 2 67 Se quiere pintar una habitación con forma de prisma recto de base cuadrada de lado 3 m, y la altura de la habitación es 3,5 m. El pintor cobra 3 € por metro cuadrado. ¿Cuánto costará pintar las paredes de la habitación? Solución: Las 4 paredes son de forma rectangular, midiendo los lados 3 y 3,5 m. A pared = 3 ⋅ 3,5 = 10,5 m2 Una pared tiene una superficie: . 2 4 ⋅ 10,5 = 42 m Luego se debe pintar una superficie de . 2 3 ⋅ 42 = 126 Como cada m cuesta 3 €, en total cuesta: €.

68 El radio de una esfera mide 7 cm. Calcula: a) El área de la superficie. b) El volumen de la esfera.

Solución: a) Área de la superficie:

A = 4 π r 2 = 4 ⋅ π ⋅ 72 = 196 π cm2 V=

4 3 4 1372 πr = π ⋅ 73 = π cm3 3 3 3

b) Volumen de la esfera:

69 Se quiere construir una pirámide de cristal de altura 5 m. La pirámide tiene una base cuadrada de lado 6 m. Calcula la cantidad de cristal necesario. Solución: Hay que calcular la superficie de los cuatro triángulos de la pirámide. Nos hace falta calcular la altura del triángulo, para ello aplicamos el teorema de Pitágoras:

h2 = 32 + 52 ⇒ h = 34 m El área de un triángulo es: 6 ⋅ 34 A triángulo = = 3 34 m2 2 El área de la base de la pirámide es: A base = 6 ⋅ 6 = 36m2 La superficie de cristal es

A cristal = A base + 4 A triángulo = 36 + 4 ⋅ 3 34 = 36 + 12 34 ≈ 105,97 m2 70 Calcula el volumen de una esfera de radio: a) 2 m b) 12 cm

Solución:

V= a)

4 4 32 π ⋅ R3 = π ⋅ 23 = π ≈ 33,51 m3 3 3 3

V=

4 4 π ⋅ R3 = π ⋅ 123 = 2304 π ≈ 7238,23 cm3 3 3

b) 71 En un cono recto el radio de la base mide 2 cm y la altura 6 cm. Calcula el área lateral del cono. Solución:

Por el teorema de Pitágoras:

g2 = 22 + 62 ⇒ g = 40 ≈ 6,32 cm El área lateral es: A = π ⋅ 2 ⋅ 6,32 ≈ 39,71cm 72 Calcula el área del siguiente poliedro:

Solución: El área está formada por dos cuadrados, un rectángulo y dos triángulos. Para calcular el área del rectángulo nos hace falta la hipotenusa del triángulo, que la calculamos por medio del teorema de Pitágoras:

D2 = 32 + 32 ⇒ D = 18 = 3 2

.

2

Área del rectángulo:

AR = 3 ⋅ 3 2 = 9 2 cm AT =

3⋅3 9 = cm2 2 2

Área de un triángulo: Área de un cuadrado:

A C = 3 ⋅ 3 = 9 cm2

A = AR + 2 A T + 2 A T = 9 2 + 2 ⋅

9 + 2 ⋅ 9 = 9 2 + 27 ≈ 39,73 cm2 2

Área total:

73 En un cono recto el radio de la base mide 8 cm y la altura 15 cm. Calcula: a) El área de la base. b) El área lateral.

c) El área de todo el cono. d) El volumen del cono.

Solución:

A base = π r 2 = π ⋅ 82 = 64 π cm2 c) Área de la base: d) Calculamos la generatriz por medio del teorema de Pitágoras: g2 = 82 + 152 ⇒ g = 17 cm e) Área lateral:

A lateral = π r g = π ⋅ 8 ⋅ 17 = 136 π cm2

Área de todo el cono:

A total = A base + A lateral = 64 π + 136 π = 200 π cm2 V=

f)

1 1 960 A base ⋅ h = 64 π ⋅ 15 = π = 320 π cm3 3 3 3

Volumen del cono:

74 Calcula el volumen de una esfera de radio: a) 4 cm b) 15 mm

Solución: V=

4 4 256 π ⋅ R3 = π ⋅ 43 = π ≈ 268,08 cm3 3 3 3

V=

4 4 π ⋅ R3 = π ⋅ 153 = 4500 π ≈ 14137,17 mm3 3 3

a)

b)

75 Solución: 76 En un cilindro recto el radio de la base mide 2 cm y la altura 10 cm. Calcula: a) El área de la base. b) El área lateral.

Solución: 77 Dada la siguiente pirámide de base un cuadrado de lado 2 cm y altura 5 cm, calcula: a) El área de la base. b) El área de las caras laterales.

Solución: a) b)

22 = 4 cm2 Área de la base: Calculamos la altura de una cara por medio del teorema de Pitágoras: 52 + 12 = h2 ⇒ h = 26 cm 2 26 = 26 cm2 2 Área de una cara lateral: Área de las cuatro caras laterales:

4 26 cm2

78 Calcula el área de la superficie de una esfera de radio 6 cm. Solución: El área es: A = 4π r 2 = 4π ⋅ 62 = 144π ≈ 452,39 cm2 79 a) Área de la base: A base = π r 2 = π ⋅ 22 = 4 π cm2 b) Área lateral: A lateral = 2 π r h = 2 π ⋅ 2 ⋅ 10 = 40 π cm2 Solución: 80 Determina la superficie mínima de papel para envolver un prisma de base un cuadrado de lado 1 m, y 2 m de altura. Solución: El área de la base es:

A base = 12 = 1 m2

. A T = 1 ⋅ 2 = 2 m2

El área de cada rectángulo lateral es: . A = 2 ⋅ A base + 4 ⋅ A T = 2 ⋅ 1 + 4 ⋅ 2 = 10 m2 . El área de todo el prisma es: 10 m2 Nos hace falta al menos de papel.

81 Calcula el volumen de las siguientes figuras:

a)

b)

Solución: A ⋅ h 16 ⋅ 8 128 3 V = base = = u 3 3 3 a) V = A base ⋅ h = 9 ⋅ 6 = 54 u3 b) 82 Calcula el volumen de las siguientes figuras:

a)

b)

Solución: A ⋅ h 16 ⋅ 8 128 3 V = base = = u 3 3 3 a) V = A base ⋅ h = 9 ⋅ 6 = 54 u3 b) 83 ¿Es posible meter 55 caramelos de forma esférica de radio 1 cm en una caja rectangular de lados 10, 11 y 5 cm? Solución: El volumen de un caramelo es: 4 4 V = π R3 = π ⋅ 13 ≈ 4,19 cm3 3 3 Los 55 caramelos ocupan un volumen de 4,19 ⋅ 55 = 230,45 cm3 El volumen de la caja es: V = 6 ⋅ 7 ⋅ 5 = 210 cm3 Como el volumen de la caja es menor que el de los caramelos, no se puede meter los caramelos en la caja. 84 Dado el siguiente prisma recto de base un triángulo equilátero, calcula:

a) El área de las bases. b) El área de las caras laterales. c) El área de todo el prisma. d) El volumen del prisma.

Solución:

S=

a2 3 4

El área de un triángulo equilátero de lado a es: a) Área de una base:

42 ⋅ 3 = 16 3 cm2

Área de las dos bases:

2 ⋅ 16 3 = 32 3 cm2

b) Área de una cara lateral:

8 ⋅ 12 = 96 cm2

Área de las tres caras laterales: c) Área de todo el prisma: d) Volumen del prisma:

3 ⋅ 96 = 288 cm2

288 + 32 3 cm2

16 3 ⋅ 12 = 192 3 cm3

85 Dado el siguiente prisma recto de base un rectángulo, calcula:

a) El área de las bases. b) El área de las caras laterales. c) El área de todo el prisma. d) El volumen del prisma.

Solución: e) Área de una base: Área de las dos bases: f)

5 ⋅ 3 = 15 cm2 2 ⋅ 15 = 30 cm2 7 ⋅ 5 = 35 cm2

Área de una cara lateral: 3 ⋅ 7 = 21cm2 Área de otra cara lateral: 2 ⋅ 21 + 2 ⋅ 35 = 112 cm2 Área de las cuatro caras laterales: 112 + 30 = 142 cm2 g) Área de todo el prisma: 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 105 cm 3 h) Volumen del prisma:

86 Dada la siguiente pirámide de base un cuadrado de lado 8 cm y altura 10 cm, calcula:

a) El área de la base. b) El área de las caras laterales. c) El área de toda la pirámide. d) El volumen de la pirámide.

Solución:

i) j)

82 = 64 cm2 Área de la base: Calculamos la altura de una cara por medio del teorema de Pitágoras: 102 + 42 = h2 ⇒ h = 116 = 2 29 cm 8 ⋅ 2 29 = 8 29 cm2 2 Área de una cara lateral: Área de las cuatro caras laterales:

k) Área de toda la pirámide:

4 ⋅ 8 29 = 32 29 cm2

64 + 32 29 cm2

87 Un monumento tiene forma de cono, y está hecho con cristal. La altura del monumento es de 4,2 m, y el diámetro de la base es 8 m. Calcula la superficie del monumento. Solución: Hay que calcular la generatriz del cono, para ello aplicamos el teorema de Pitágoras:

g2 = 4,22 + 42 ⇒ h = 33,64 = 5,8 m El área lateral del cono es: A = π r g = π ⋅ 4 ⋅ 5,8 = 72,88 m2 88

36π π m3 El volumen de una esfera es

. Calcula la superficie de la esfera.

Solución: Primero calculamos el radio de la esfera: 4 3 V 3 3 ⋅ 36 π 3 V = π r3 ⇒ r = 3 = = 27 = 3 m 3 4π 4π Aplicamos la fórmula de la superficie esférica: A = 4π r 2 = 4π ⋅ 32 = 36π cm2 89 Calcula el volumen y el área de la siguiente pirámide.

Solución:

V=

1 ⋅ A base ⋅ h 3

El volumen es: Nos falta calcular el área de la base. Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la apotema de la base.

32 = a2 + 1,52 ⇒ a = 6,75 = 2,6 A base = 6 ⋅ El área de la base es:

3 ⋅ 2,6 = 23,4 2

V=

1 ⋅ 23,4 ⋅ 7 = 54,6 3

Luego el volumen es: Para calcula el área de la pirámide nos falta calcular la altura de un triángulo de la pirámide, aplicando el teorema de Pitágoras:

l2 = h2 + a2 ⇒ l = 72 + 2,62 = 7,47 Un triángulo de la pirámide tiene de área: 3 ⋅ 7,47 A triángulo = = 11,21 2 El área de toda la pirámide es: A = A base + 6 ⋅ A triángulo = 23,4 + 6 ⋅ 11,21 = 90,66

90 Calcula el área de las caras de un tetraedro de arista 4 cm. Solución:

El tetraedro está formado por cuatro triángulos equiláteros de lado 4 cm. 4⋅h A= = 2⋅h 2 Cada triángulo tiene de área: . Nos falta calcular la altura h del triángulo. Aplicando el teorema de Pitágoras: El área de un triángulo es: El área del tetraedro es:

42 = 22 + h2 ⇒ h = 16 − 4 = 12 = 2 3 cm

A = 2 ⋅ h = 2 ⋅ 2 3 = 4 3 cm

2

.

A T = 4 ⋅ A = 4 ⋅ 4 3 = 16 3 ≈ 27,71 cm2

91 ¿Cuántos litros de agua caben en un depósito como el de la figura?

Solución: Volumen del cilindro: VC = π R2 H = π 62 12 ≈ 1357,17 m3 Volumen de la semiesfera: 1 1 4 2 VE = ⋅ π R3 = π ⋅ 63 ≈ 452,38 m3 2 2 3 3

.

Como un metro cúbico tiene 1000 litros, en el depósito caben: 1000 ⋅ (1357,17 + 452,38 ) = 1809550 l 92 Calcula el lado de un cubo con igual volumen que una esfera de diámetro 3,2 m. Solución: Primero calculamos el volumen de la esfera: 4 4 Vesfera = π r 3 = π 1,63 = 17,16 m3 3 3 Como el volumen del cubo debe ser igual al de la esfera:

Vesfera = Vcubo ⇒ 17,16 = l3 ⇒ l = 3 17,16 = 2,58 m 93 Calcula el volumen y el área del siguiente prisma.

Solución:

V = A base ⋅ h El volumen es: Nos falta calcular el area de la base. Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la apotema de la base. 42 = a2 + 22 ⇒ a = 12 = 3,46 A base = 6 ⋅

4 ⋅ 3,46 = 41,52 2

El área de la base es: V = 41,52 ⋅ 10 = 415,2 Luego el volumen es: El área de todo el prisma es: A = 2 ⋅ A base + 6 ⋅ A cara = 2 ⋅ 41,52 + 6 ⋅ 4 ⋅ 10 = 323,04

94 En un cilindro recto el radio de la base mide 8 cm y la altura 15 cm. Calcula: a) El área de la base. b) El área lateral. c) El área de todo el cilindro.

Solución:

g) h) i)

A base = π r 2 = π ⋅ 82 = 64 π cm2 Área de la base: A lateral = 2 π r h = 2 π ⋅ 8 ⋅ 15 = 240 π cm2 Área lateral: A total = 2 ⋅ A base + A lateral = 2 ⋅ 64 π + 240 π = 368 π cm 2 Área de todo el cilindro:

95 Pepe se ha comprado una bola de cristal. La bola mide 12 cm de diámetro. Pepe quiere averiguar cuanto 3 pesa la bola, ¿podrías calcular su peso sabiendo que 1 cm pesa 30 g?

Solución: Volumen total de la esfera: 4 4 V = π R3 = π ⋅ 63 ≈ 904,78 cm3 3 3 Luego pesará: 904,78 ⋅ 30 = 27143 g = 27,143 kg 96 Calcula la superficie total de una semiesfera de diámetro 4,6 cm. Solución: El área de una esfera entera es: A e = 4π r 2 = 4π ⋅ 2,32 ≈ 66,48 cm2 Como es una semiesfera es la mitad más el área de un círculo de radio el radio de la esfera: 66,48 A= + π ⋅ 2,32 ≈ 49,86 cm2 2 97 Tenemos una esfera de radio 2 m dentro de otra de radio 5 m. Calcula el volumen que hay entre las dos esferas. Solución: El volumen que hay entre las dos esferas es igual a la resta del volumen de la mayor menos el volumen de la menor. 4 4 4 4 4 π R3 − π r 3 = π 53 − π 23 = π (125 − 8) = 156 π ≈ 490,09 m3 3 3 3 3 3 . 98 Se quiere pintar un edificio esférico radio 12 m, ¿cuánta superficie hay que pintar? Solución: Necesitamos calcular el área de la superficie de la esfera: A = 4 π R2 = 4π ⋅ 122 = 576 π ≈ 1809,56 m2 99 Calcula el área de las caras de un icosaedro de arista 2 cm. Solución: El icosaedro está formado por veinte triángulos equiláteros de lado 2 cm. 2⋅h A= =h 2 Cada triángulo tiene de área: . Nos falta calcular la altura h del triángulo. Aplicando el teorema de Pitágoras: El área de un triángulo es: El área del icosaedro es:

22 = 12 + h2 ⇒ h = 4 − 1 = 3 = 3 cm

A = h = 3 cm

.

2

.

A T = 20 ⋅ A = 20 ⋅ 3 ≈ 34,64 cm2

.

10 Determina la superficie mínima de papel para envolver un prisma hexagonal regular de 1 m de lado de la 0 base y 2 m de altura.

Solución:

Dividimos el hexágono en seis triángulos equiláteros, la altura de este triángulo es por el teorema de Pitágoras:

12 = a2 + 0,52 ⇒ a = 0,75 = 0,87 m A base = 6 ⋅

1⋅ 0,87 = 2,61 m2 2 . A T = 1 ⋅ 2 = 2 m2

El área de la base es:

El área de cada rectángulo lateral es: . A = 2 ⋅ A base + 6 ⋅ A T = 2 ⋅ 2,61 + 6 ⋅ 2 = 17,22 m2 El área de todo el prisma es: . 2 17,22 m de papel. Nos hacen falta al menos

10 Calcula el área de las caras de un icosaedro de arista 6 cm. 1 Solución:

El icosaedro está formado por veinte triángulos equiláteros de lado 6 cm. 6⋅h A= = 3⋅h 2 Cada triángulo tiene de área: . Nos falta calcular la altura h del triángulo. Aplicando el teorema de Pitágoras: El área de un triángulo es: El área del icosaedro es:

62 = 32 + h2 ⇒ h = 36 − 9 = 27 = 3 3 cm

A = 3 ⋅ h = 3 ⋅ 3 3 = 9 3 cm

.

2

.

A T = 20 ⋅ A = 20 ⋅ 9 3 = 180 3 ≈ 311,77 cm2

.

10 Calcula el área de las caras de un tetraedro de arista 6 cm. 2 Solución: El tetraedro está formado por cuatro triángulos equiláteros de lado 6 cm. 6⋅h A= = 3⋅h 2 Cada triángulo tiene de área: . Nos falta calcular la altura h del triángulo. Aplicando el teorema de Pitágoras:

62 = 3 2 + h2 ⇒ h = 36 − 9 = 27 = 3 3 cm

.

El área de un triángulo es: El área del tetraedro es:

A = 3 ⋅ h = 3 ⋅ 3 3 = 3 3 cm2

. A T = 4 ⋅ A = 4 ⋅ 3 3 = 9 3 ≈ 15,59 cm2

10 Determina la superficie mínima de papel para envolver una pirámide de base un cuadrado de 1 m de lado, y 3 2 m de altura. Solución:

A base = 12 = 1 m2 El área de la base es: . La altura de cada triángulo es por el teorema de Pitágoras: h2 = 22 + 0,52 ⇒ h = 2,06 m AT =

1 ⋅ 2,06 = 1,03 m2 2

El área de cada triángulo lateral es: . A = A base + 4 ⋅ A T = 1 + 4 ⋅ 1,03 = 5,12 m2 El área de toda la pirámide es: . 5,12 m2 Nos hace falta al menos de papel.

10 Determina la superficie mínima de papel para envolver una pirámide hexagonal regular de 1 m de lado de la 4 base y 2 m de altura. Solución:

Dividimos el hexágono en seis triángulos equiláteros, la altura de este triángulo es por el teorema de Pitágoras:

12 = a2 + 0,5 2 ⇒ a = 0,75 = 0,87 m A base = 6 ⋅

1⋅ 0,87 = 2,61 m2 2

El área de la base es: . La altura de cada triángulo es por el teorema de Pitágoras: h2 = 22 + 0,872 ⇒ h = 2,18 m

AT =

1 ⋅ 2,18 = 1,09 m2 2

. El área de cada triángulo lateral es: A = A base + 6 ⋅ A T = 2,61 + 6 ⋅ 1,09 = 9,15 m2 El área de toda la pirámide es: . 9,15 m2 Nos hace falta al menos de papel.

10 El radio de una esfera mide 2,1 m. Calcula: 5 a) El área de la superficie. b) El volumen de la esfera. Solución: j)

Área de la superficie:

A = 4 π r 2 = 4 ⋅ π ⋅ 2,12 ≈ 55,42 m2

V= k) Volumen de la esfera:

4 3 4 πr = π ⋅ 2,13 ≈ 38,79 m3 3 3