10. LIMITES DE FUNCIONES Definición de límite La función

no está definida en el punto x = 1 ya que

se anula el denominador. Para valores próximos a x = 1 tenemos

Taller matemático

1/12

Definición de límite A vista de la tabla pueden hacerse tres importantes observaciones: I) Cuando x toma valores próximos 1, la función f(x) toma valores próximos a 1/2. II) Cuanto más próximo es x a 1, más lo es f(x) a 1/2. III) Podemos acercarnos con f(x) tanto como queramos a 1/2, eligiendo x convenientemente próximo a 1. Por verificarse la tercera, diremos que ½ es el límite de la función cuando x tiende a 1. Es decir, ½ es el límite de f(x), cuando x se acerca a 1, si para cualquier valor ε, positivo y pequeño que se considere, por ejemplo ε = 0,0000001, siempre podemos encontrar valores x, suficientemente próximos a 1 pero distintos de 1, de modo que sea

Taller matemático

2/12

Definición formal de límite Se dice que la función f tiene límite L cuando x tiende al valor a, si para cada ε > 0, existe un δ > 0 tal que para los x que verifican 0 < | x – a | < δ se tiene que | f(x) – L | < ε. Abreviadamente podemos escribir

La definición dada se escribe en forma equivalente empleando intervalos en la forma:

El valor del límite es independiente del valor de la función en el punto, y que en general el valor de δ depende del ε elegido y del punto a considerado.

Taller matemático

3/12

Propiedades de los límites Las principales propiedades de los límites de funciones son las siguientes: Si y ,

entonces se verifica que: 1. Si existe el límite de una función en un punto, es único. 2.

3. 4. 5. 6.

Taller matemático

4/12

Ejemplo 1. Las funciones

y

toman los mismos valores en un entorno reducido del punto x = 1 y como es también es Ésto es lo que ocurre cuando se efectúa en forma directa el cálculo del límite

Taller matemático

5/12

Límites laterales En la definición de límite tomamos valores de x próximos al valor a en ambos lados de a. Puede ocurrir que el límite exista a condición de que tomemos valores de x próximos pero sólo a un lado del punto a, esta idea nos lleva a los límites laterales. Escribiremos

Para la existencia de límite de una función en un punto han de existir los límites laterales y coincidir, es decir,

Taller matemático

6/12

Límites laterales Ejemplo 2. La función

posee en el punto x = 1 límite por la izquierda, que vale 2, límite por la derecha, que vale 3, pero al no coincidir estos valores la función no tiene límite en ese punto.

Taller matemático

7/12

Límites infinitos y límites en el infinito Se considera la recta real ampliada, el límite de una función en un punto puede ser ó y la variable puede tender a óa y se escribe, por ejemplo,

Indeterminaciones y cálculo de límites Aparte de la indeterminación de la forma

con k ≠ 0, que

obliga a hallar los límites laterales para decidir la existencia o no del límite, existen siete indeterminaciones más, que se representan como

Taller matemático

8/12

Ejemplo 3. El límite minación.

no presenta indeter-

Ejemplo 4. El límite siguiente es indeterminado de la forma calculamos así:

y lo

Donde hemos simplificado la expresión entre x - 2, ya que numerador y denominador son polinomios múltiplos de x - 2, al tener ambos el valor x = 2 como raíz.

Taller matemático

9/12

Ejemplo 5.

El límite

presenta una indeterminación del tipo

y si simplificamos numerador y denominador, resulta

es decir, tenemos otra indeterminación. Ésta se resuelve hallando los límites laterales, que son

por lo que el límite pedido no existe.

Taller matemático

10/12

Ejemplo 6. 2 x 2  3x El límite lim 3 x  x  x 2  4



presenta una indeterminación   

que se resuelve dividiendo numerador y denominador entre la potencia mayor del denominador, que es

2

3

 2 2 x 2  3x  00   x x lim 3     lim   0. 2 x  x  x  4    x 1  1  2 1  0  0 x

x

3

No conviene dividir entre la potencia mayor del numerador, que es porque en muchos casos nos queda una indeterminación del tipo lo que nos obliga a calcular los límites laterales.

Taller matemático

11/12

Ejemplo 7. Para hallar el limite multiplicamos numerador y denominador de la fracción por la expresión conjugada del denominador, que es la que origina la indeterminación, obteniendo

Taller matemático

12/12