MATEMATICAS GRADO ONCE

CUARTO PERIODO

TEMAS •

Teoría de los Limites de Funciones Algebraicas

•

Teoría de los Limites de Funciones. Trigonométricas

•

Derivadas .

Teoría de los Limites de Funciones Algebraicas

1. Límite de una función en un punto. Propiedades. A) LIMITE EN UN PUNTO. A1) Límite finito: Se dice que la función y = f(x) tiene por límite l cuando x tiende hacia a, y se representa por (Es decir, que si fijamos un entorno de l de radio , podemos encontrar un entorno de a de radio , que depende de , de modo que para cualquier valor de x que esté en el entorno E(a, ) exceptuando el propio a, se tiene que su imagen f(a) está en el entorno E(l, ).) A2) Límite infinito: (A partir de ahora usaremos la notación matemática para hacer más corta la definición).

B) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES. B1)

siempre que no aparezca la indeterminación .

B2)

con

B3)

. siempre y cuando no aparezca la indeterminación

.

B4)

siempre y cuando no aparezcan las indeterminaciones

B5) que aparecen.

con

B6)

e

, siempre y cuando tengan sentido las potencias

siempre y cuando tengan sentido las potencias

que aparecen y no nos encontremos con indeterminaciones de los tipos C) LIMITES LATERALES. C1) Límite por la izquierda:

C2) Límite por la derecha:

TEOREMA: Existe el límite si y solo si existen los limites laterales (por la derecha y por la izquierda) y ambos coinciden. (Demostración inmediata). TEOREMA: Si existe el límite, éste es único. (Demostración inmediata). Todo lo dicho anteriormente es también válido si consideramos que el límite vale en lugar de l.

2. Límites en el infinito. Asíntotas de una curva. A) LIMITES EN EL INFINITO. A1) Límite finito.

A2) Límite infinito.

.

.

Todo lo referente a las propiedades de los límites vistas en la pregunta anterior es válido si escribimos en lugar de a. Hay casos que parecen indeterminaciones y no lo son realmente. B) ASÍNTOTAS DE UNA CURVA. B1) Asíntotas verticales. o alguno (o Se dice que y = f(x) tiene una asíntota vertical en x=a si ambos) de los límites laterales vale . Es decir, puede haber asíntota vertical por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. La posición de la curva respecto a la asíntota dependerá del signo de los límites laterales. Como ejemplo, determinar la asíntota vertical y su posición con respecto a la gráfica de la función

B2) Asíntotas horizontales. Se dice que y = f(x) tiene una asíntota horizontal en y=b si . La asíntota puede aparecer cuando La posición de la gráfica de la función respecto a la asíntota vertical se determina estudiando si el signo de f(x) - b es positivo o negativo cuando . Como ejemplo, determinar la asíntota horizontal y su posición con respecto a la gráfica de la función

B3) Asíntotas oblicuas. Dada la función y = f(x), si se verifica que

a)

b)

c)

entonces se dice que y = mx + h es una asíntota oblicua de dicha función para . Para estudiar la La asíntota puede aparecer cuando posición de la gráfica de la función con respecto a la asíntota basta estudiar el signo de f(x)-(mx + h). Como ejemplo, determinar la asíntota oblicua y su posición con respecto a la gráfica de la función

3. Cálculo de límites. A) INDETERMINACIÓN En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo.-

En otros casos, sobre todo en aquellos en que aparecen radicales, basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada. Ejemplo.-

B) INDETERMINACIÓN En la mayoría de los casos basta con efectuar las operaciones indicadas. Ejemplo.-

C) INDETERMINACIÓN Cuando solo aparecen funciones racionales, basta con descomponer factorialmente el numerador y el denominador. Ejemplo.-

En aquellos casos en que aparecen funciones irracionales (radicales), basta con multiplicar y dividir por la expresión radical conjugada. Ejemplo.-

D) INDETERMINACIÓN En la mayoría de los casos basta con dividir el numerador y denominador por la mayor potencia de x del denominador. Ejemplos.-

- E) INDETERMINACIONES Para determinar estos límites tendremos en cuenta que:

de donde resulta que:

pudiendo aparecer otras indeterminaciones, que resolveremos por los métodos anteriores o por métodos que aprenderemos en temas posteriores. En el caso de la indeterminación igualdad:

podemos aplicar con mayor facilidad la siguiente

Aplicar la igualdad anterior a la resolución del siguiente límite:

F) LIMITES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. En algunos casos podemos utilizar un límite muy conocido, que es:

Aplica lo anterior para resolver los siguientes límites:

(Usa la fórmula del sen(x/2))

En los casos anteriores puede ocurrir que aplicando lo dicho anteriormente no podamos resolver la indeterminación. Estos casos, al igual que en el apartado E), se resolverán en los temas siguientes aplicando la Regla de L'Hôpital.

4. Función continua en un punto y en un intervalo. Diremos que la función y = f(x) es continua en x = a si: a. Existe f(a), es decir, f(x) está definida en x=a. b. Existe el

.

c. Ambos valores coinciden, es decir

.

Si tenemos en cuenta la definición de límite, podemos obtener la siguiente definición equivalente:

Diremos que y = f(x) es continua en el (a,b) si es continua en cada uno de los puntos del intervalo abierto (a,b). Diremos que y = f(x) es continua por la derecha en x=a si

.

Diremos que y = f(x) es continua por la izquierda en x=a si

.

Diremos que y = f(x) es continua en el [a,b] si: a. y = f(x) es continua en el intervalo abierto (a,b). b. y = f(x) es continua por la derecha en x=a. c. y = f(x) es continua por la izquierda en x=b. . (La demostración es TEOREMA: Si y = f(x) es continua en x = a existe el inmediata) Sin embargo, el teorema recíproco no es cierto en general. Como ejemplo comprobarlo para:

TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL SIGNO Sea y=f(x) una función continua en x=a siendo f(a) distinto de 0 x=a en el que los valores de f(x) tienen el mismo signo que f(a).

existe un entorno de

Demostración: Supongamos que f(a)>0 (si fuese negativo, se razonaría de modo similar). Tomemos

. Por la continuidad de y=f(x) en x=a se tiene que:

Es decir:

Por lo tanto: f(x)>0. (Como se quería demostrar) TEOREMA DE ACOTACIÓN DE LA FUNCIÓN Si y = f(x) es continua en x = a y = f(x) está acotada en un cierto entorno de x = a.

Demostración: Tomemos

. Por la continuidad de y = f(x) en x = a se tiene que:

de modo que

es un intervalo acotado, por lo tanto y=f(x) está

acotada en el entorno

de x=a.

5. Operaciones con funciones continuas. Sean f(x) y g(x) dos funciones continuas en x=a, se tiene entonces que: a.

es continua en x=a.

b. c. d.

es continua en x=a. es continua en x=a si

.

es continua en x=a suponiendo que f(a)>0 (para que tenga sentido la potencia).

TEOREMA: Si f(x) es continua en x=a y g(x) es continua en y=f(a) continua en x=a.

es

Demostración:

De lo dicho anteriormente resulta que:

6. Discontinuidades. Se dice que una función y = f(x) es discontinua en x = a si no es continua en dicho valor de x, es decir, no cumple alguna de las tres condiciones de continuidad. TIPOS DE DISCONTINUIDADES A) Evitable: Cuando existe el pero no coincide con el valor de f(a) por una de estas dos razones, son distintos los valores o no existe f(a). B) De salto: Cuando existe el límite por la derecha y por la izquierda (siendo ambos finitos) pero no coinciden.

C) Asintótica: Cuando alguno de los límites laterales (o ambos) no es finito. Puede ser asintótica por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. D) Esencial: Cuando no existe alguno de los límites laterales (o ambos). Puede serlo por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. Si y = f(x) tiene una discontinuidad evitable en x = a, llamaremos verdadero valor de la función en x=a al

. Dicho valor es el que convierte a la función en continua.

Si y = f(x) tiene una discontinuidad de salto en x=a, llamaremos salto de la función en x=a al valor

.

Estudiar, como aplicación de lo anterior, la continuidad y discontinuidades de las funciones elementales vistas en el capítulo anterior y de las funciones definidas a trozos.

7. El Teorema del valor intermedio de Bolzano y el Teorema de existencia de extremos absolutos de Weierstrass. TEOREMA DE BOLZANO Si y = f(x) es una función continua en el [a,b] siendo distintos los signos de dicha tal

función en los extremos del intervalo, es decir, que f(c)=0.

Demostración: Supongamos que f(a)0 (Se razona de forma análoga si ocurre lo contrario). Si el teorema está demostrado. En caso contrario, la función tomará en dicho punto un valor del mismo signo que f(a) o que f(b). Sea

el nuevo intervalo donde hay cambio de signo.

Si

el teorema está demostrado. En caso contrario, repetimos el proceso

anterior, obteniéndose una sucesión de intervalos encajados tales que cada uno es la mitad del anterior y la función toma valores opuestos en los extremos de cada intervalo. Dicha sucesión define un número real Demostremos que f(c)=0.

.

Supongamos que por el TEOREMA DE CONSERVACIÓN DEL SIGNO, existirá un entorno de c donde se mantendrá el mismo signo que en c. Sin embargo, por la construcción anterior, dicho entorno contendrá uno al menos de los , donde la f(c)=0. función tomaba valores opuestos. Llegamos pues a una contradicción Consecuencia: Si y = f(x) es continua en a,b y k es un valor comprendido entre los valores de f(a) y f(b) (o al revés) Bolzano a g(x)=f(x)-k.)

(Basta aplicar el Teorema de

TEOREMA DE WEIERSTRASS: Si y = f(x) es continua en [a,b] máximo y el mínimo absoluto en dicho intervalo [a,b].

f(x) alcanza el

Demostración: A) Veamos, en primer lugar, que f(x) está acotada en [a,b]. Supongamos que no lo está. Consideremos el punto medio y

y los subintervalos

f(x) no está acotada en uno de ellos, al menos, que llamaremos

.

Dividamos en dos mitades y llamemos a aquella parte de las dos (al menos) en la que f(x) no está acotada. Repitamos el proceso indefinidamente, obteniendo una sucesión de intervalos encajados, cada uno la mitad del anterior, donde f(x) no está acotada. Sea c el número real que define esta sucesión. Como f es continua en [a,b] f es continua en c por el TEOREMA DE ACOTACIÓN DE LA FUNCIÓN, existirá un entorno de c en el que la función está acotada. Pero en dicho entorno y por construcción estarán incluidos a partir de uno todos los , donde la función no estaba acotada. Llegamos a una contradicción, luego f(x) está acotada en [a,b]. B) Veamos, a continuación, que f(x) alcanza el máximo en [a,b]. (Análogamente se demuestra que alcanza el mínimo). Si f(x) está acotada en [a,b] siendo m el ínfimo o extremo inferior y M el supremo o extremo superior. Si en algún punto de [a,b] resulta que f(x)=M, el teorema estará demostrado. g(x) está acotada en [a,b] M no es el extremo superior de f, en contra de lo supuesto. Luego necesariamente ha de existir un f(x) alcanza un máximo absoluto en [a,b]. Consecuencia (Teorema de Darboux): Si y=f(x) es continua en [a,b] f(x) toma en dicho intervalo todos los valores comprendidos entre el máximo y el mínimo. ( Su demostración es inmediata a partir de la consecuencia del teorema de Bolzano y del teorema de Weierstrass

Teoría de los Limites de Funciones. Trigonométricas Teorema: Si c es un número real en el dominio de la función trigonométrica indicada, se cumplen las siguientes propiedades:

Recuerda: Las siguientes identidades trigonométricas:

Ejemplos para discusión:

Ejercico de práctica:

Tema: Límites en el infinito Los tipos de límites en los que f(x) tiende a algún valor finito cuando x se hace infinito se conocen como límites en el infinito. Ejemplo: Considera la función:

Completa la siguiente tabla de valores según x aumenta indefinidamente. x

f(x)

1 2 10 100 1000 10,000 Observa que al completar la tabla, los valores de la función f(x) se aproximan a cero según x aumenta indefinidamente. Esto se representa simbólicamente como:

Completa la próxima tabla de valores según x disminuye indefinidamente. x

f(x)

-1 -2 -10 -100 -1000 -10,000 Observa que al completar la tabla, los valores de la función f(x) se aproximan a cero según x disminuye indefinidamente. Esto se representa simbólicamente como:

Si f es una función y L es un número real, entonces:

representan los límites en el infinito. En ambos casos, la recta y = L se conoce como la asíntota horizontal. En el ejemplo anterior como:

la asíntota horizontal es y = 0. Dibuja la gráfica en el espacio provisto.

Nota: La gráfica de una función de x puede tener a lo sumo dos asíntotas horizontales. Los límites en el infinito comparten muchas propiedades de los límites discutidos anteriormente. Teorema: Si r es un número positivo y c un número real cualquiera, entonces :

. Además, si xr está definido para x 3). (También se pueden usar números romanos). Para la función derivada de derivada de

se escribe

, se escribe

. De modo parecido, para la segunda

, y así sucesivamente.

La otra notación común para la diferenciación es debida a Leibniz. Para la función derivada de , se escribe:

Con esta notación, se puede escribir la derivada de f en el punto a de dos modos diferentes:

Si

, se puede escribir la derivada como

Las derivadas sucesivas se expresan como

o para la enésima derivada de o de y respectivamente. Históricamente, esto viene del hecho que, por ejemplo, la tercera derivada es

la cual se puede escribir como

La notación de Leibniz es muy útil, por cuanto permite especificar la variable de diferenciación (en el denominador); lo cual es pertinente en caso de diferenciación parcial. También facilita recordar la regla de la cadena, porque los términos "d" parecen cancelarse simbólicamente:

En la formulación popular del cálculo mediante límites, los términos "d" no pueden cancelarse literalmente, porque por sí mismos son indefinidos; son definidos solamente cuando se usan juntos para expresar una derivada. En análisis no-estándar, no obstante, se puede ver como números infinitesimales que se cancelan. La notación de Newton para la diferenciación respecto al tiempo, era poner un punto arriba del nombre de la función:

y así sucesivamente. Esta notación de Newton se usa principalmente en mecánica, normalmente para derivadas de tiempo tales comos velocidad y aceleración, y en teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. Usualmente solo se usa para las primeras y segundas derivadas.

Diferenciabilidad [editar] Una función es diferenciable en un punto x si su derivada existe en ese punto; una función es diferenciable en un intervalo si es diferenciable en todos los puntos del intervalo. Si una función no es continua en un punto x, no tiene línea tangente y, por tanto, la función no es diferenciable en ese punto; sin embargo, aunque una función sea continua en x, puede no ser diferenciable en dicho punto. En otras palabras, diferenciabilidad implica continuidad, pero no su recíproco. La derivada de una función diferenciable puede ser, a su vez, diferenciable. La derivada de una primera derivada se llama derivada segunda. De un modo parecido. La derivada de una derivada segunda es la derivada tercera, y así sucesivamente. Esto también recibe el nombre de derivación sucesiva o derivadas de orden superior.

Cociente de diferencias de Newton [editar]

La derivada de una función es la pendiente geométrica de la línea tangente del gráfico de en . Sin el concepto que se va a definir, no es posible encontrar directamente la pendiente de la línea tangente a una función dada, porque solamente se conoce un punto en la línea tangente: . La idea es aproximar la línea tangente con múltiples líneas secantes que tienen distancias progresivamente más pequeñas entre los dos puntos que cruzan. Cuando se toma el límite de las pendientes de las líneas secantes de esta progresión, se consigue la pendiente de la línea tangente. Se define, pues, la derivada tomando el límite de la pendiente de las líneas secantes, al acercarlas a la línea tangente. Para encontrar las pendientes de las líneas secantes próximas, se elige un número relativamente pequeño . representa un cambio relativamente pequeño en , y puede ser positivo o negativo. La pendiente de la línea que cruza los dos puntos y es

.

Inclinación de la secante de la curva y=f(x)

Esta expresión es el cociente de diferencias de Newton. La derivada de f en x es el límite del valor del cociente diferencial, conforme las líneas secantes se aproximan a la línea tangente:

. Si la derivada de existe en todos los puntos , se puede definir la derivada de como la función cuyo valor en cada punto es la derivada de en . Puesto que sustituir por 0 produce una división por cero, calcular directamente la derivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador, de manera que se puede cancelar la del denominador. Y eso es posible fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de las funciones simples.

Sea una función continua, y su curva. Sea decir donde no hace un ángulo. En el punto

la abscisa de un punto regular, es de se puede trazar la

tangente a la curva. Su coeficiente director, o sea su pendiente, es derivado de en . La función

, el número

es la derivada de .

En el punto de contacto, conociendo la pendiente de la tangente, es decir puede saber a qué ritmo crece o decrece la función. El signo de función (si crece o no).

, se

determina en

En este gráfico se ve que donde es creciente, las tangentes apuntan hacia arriba (mirando de izquierda a derecha), y por lo tanto

es positiva, como en el punto

( ), mientras que donde es decreciente, las tangentes apuntan hacia abajo y ). En los puntos y , que son máximo y negativa, como en el punto ( mínimo local, la tangente es horizontal, luego

es

.

La función derivada se puede calcular sin dibujar la curva de f. En efecto, gracias a una propiedad geométrica de la tangente, se tiene la fórmula:

Por ejemplo, sea

entonces:

Lista de derivadas de funciones elementales [editar] Artículo principal: Anexo:Tabla de derivadas

Ejemplo [editar] Sea la función números reales (denotado por

, definida sobre el conjunto de los ). Para conocer sus variaciones se observa su derivada:

Para encontrar el signo de

, se tiene que factorizar:

lo anterior que se hace resolviendo una ecuación de segundo grado. En la tabla siguiente se establece los signos de los factores (descartando el factor 6, siempre positivo), luego el signo de la derivada, y para terminar las variaciones de la función .

El signo de la derivada primera muestra cuando crece o decrece la función.

Generalizaciones [editar] El concepto simple de derivada de una función real de una sola variable ha sido generalizado de varias maneras: •

• • •

• •

•

Derivada fraccional, que extiende el concepto de derivada de orden superior a orden r, r no necesita ser necesariamente un número entero como sucede en las derivadas convencionales. Derivada parcial, que se aplica a funciones reales de varias variables. Derivada direccional, extiende el concepto de derivada parcial. Función diferenciable, que se aplica a funciones reales de varias variables que poseen derivadas parciales según cualquiera de las variables (El argumento de una función de varias variables pertenece a un espacio del tipo de dimensión n finita). Derivada funcional, que se aplica a funcionales cuyos argumentos son funciones de un espacio vectorial de dimensión no finita. Derivada de una distribución, extiende el concepto de derivada a funciones generalizadas o distribuciones, así puede definirse la derivada de una función discontinua como una distribución. Función holomorfa, que extiende el concepto de derivada a cierto tipo de funciones de variables complejas

Ejercicios 1. Use la definición de la derivada de una función, para calcular y� o f

�(x) si

y evaluarla en

.

Solución De acuerdo a la definición 9.2., se tiene:

(indeterminado de la forma

)

En particular, Obsérvese que y� no existe en de

es

y por lo tanto, aunque el dominio

, el dominio de su derivada es

.

2. Sea f una función cuyo dominio es el conjunto R de los números reales y tal que: y

> para todo x e y. Además, f(0)=1

existe. Probar que f �(x) existe para todo x y

Solución De acuerdo a la definición de la derivada, se tiene para f:

(Hipótesis) (factor común)

.

(1) Ahora,

y como por hipótesis, , se tiene que:

(2).

De la igualdad (2) se deduce también que

existe.

Sustituyendo (2) en (1) se concluye que: y además f �(x) existe.

3. Considere la función f definida por:

Determine el valor de las constantes a y b para que f �(1) exista.

Solución En primer lugar si f �(1) existe (f es derivable en x = 1), entonces de acuerdo al teorema 1 (sección 9.3.), f es continua en x = 1. O equivalentemente, .

Esto es,

(1)

Ahora, decir que f �(1) existe, equivale a afirmar que f �+(1) y f �(1) (las derivadas laterales) existen y son iguales.

Pero,

Asi que:

(Porqué?)

(2)

Igualmente,

(3) (Porqué?) Sustituyendo (1) en (3), se tiene:

Es decir,

(4)

De (2) y (4) puesto que las derivadas laterales son iguales, se concluye que a = 2 y en consecuencia, b = -1. Con los valores de a y b asi encontrados, la función f puede escribirse asi:

4. Use las reglas de derivación para calcular la derivada de las siguientes funciones:

a.

b.

c.

d.

Solución a) Por la regla de la cadena:

Pero,

(R.D.7 )

Luego, b) Antes de usar las reglas de derivación se debe expresar la función g (t) con exponentes racionales. Asi:

Entonces:

(Se usaron las reglas: R.D.5. y R.D.8.).

c.

Pero,

Luego,

d. En primer lugar note que:

Asi que:

Pero,

Luego,

5. De dos funciones f y g se sabe que: ;

;

y

¿En que valor de x es posible calcular

? ¿A que es igual?

¿En que valor de x es posible calcular

? ¿A que es igual?

Solución La regla de la cadena (R.D.8.) establece que : Existen de acuerdo a la información inicial solo dos valores de x para evaluar, esto es x = 3 y x = 5. Si x = 3, pero no tenemos información acerca de los valores g(3) ni g �(3). Asi que no es posible calcular

en x = 3.

Si x = 5, Pero,

. y

Luego, Se puede verificar y se deja como ejercicio que la información dada es insuficiente para calcular

y

. (¡Verifique!).

6. Si las variables x e y están ligadas implícitamente por la fórmula:

ó y �.

, hallar

Solución

La ecuación: equivalentes:

puede escribirse en las formas

(1) Derivando implícitamente la igualdad (1) se tiene:

, de donde,

7. Suponga que y (x) es una función diferenciable de la variable x; y además las variables x e y están ligadas por la fórmula: (1) Suponga que y(1)=1. Hallar

siguiendo estos pasos:

a) Demuestre que: b) Use la parte a. para calcular y�(1). c) Derive la ecuación obtenida en a. para demostrar que:

d) Use la ecuación obtenida en c. para calcular conocen

y

).

(Nota: Se

Solución a. Derivando implícitamente en (1) se obtiene:

(2) b. Teniendo en cuenta que y (x): y depende de x, se puede escribir (2) así:

Sustituyendo x por 1 en la última igualdad, se tiene:

Esto es,

De donde, c. Derivando implícitamente en (2) se obtiene:

(3) d. Como y depende de x (es decir y (x)): Se puede escribir (3) así:

Sustituyendo x por 1 en la última igualdad, se tiene:

Pero,

Luego,

Esto es,

De donde,

y

.

8. Determine las ecuaciones de la recta tangente y de la recta normal (recta perpendicular a la tangente) LN a la curva de ecuación:

, en el punto P (3, 1).

Solución Note en primer lugar que el punto de tangencia P (3, 1) pertenece a la curva (fig. 1.)

fig. 1. La pendiente de

, viene dada por:

Pero,

Asi que, Usando ahora la forma: punto � pendiente de la ecuación de la recta, se tiene entonces para : ecuación de la recta tangente.

, es la

Ahora, como , se deduce que . Usando nuevamente la forma: punto � pendiente de la ecuación de la

recta, se tiene para

:

es la

ecuación de la recta normal.

9. Encontrar la ecuación de la recta normal a la curva de ecuación x+12y-6=0

, que es paralela a la recta de ecuación:

Solución En la fig. 2. aparece la gráfica de la curva y de la recta dada.

fig. 2. Si se denota por LN la recta normal, como

a

, se tiene que

Para determinar la ecuación de de tangencia. Para ello, se usa el hecho de que tangente).

es paralela

(sección 4.5.). , hace falta conocer el punto P(x1, y1) (

: pendiente de la

De otro lado,

Asi que Este último resultado, indica que existen dos puntos de tangencia a saber: P1 (2, 9) y P2 (-2, -7). En consecuencia, existen dos rectas normales que verifican las condiciones iniciales del problema.

Una de ellas, pasa por P1 (2, 9) y pendiente

.

Su ecuación viene dada por:

La otra, pasa por P2 (-2, -7) y pendiente Su ecuación viene dada

.

por:

10. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva:

en el punto (3, 1).

Solución En primer lugar note que: que el punto (3, 1) pertenece a la curva.

, indicando con esto

Ahora,

Para determinar ecuación: Esto es,

De donde,

Luego,

Es decir,

se usa derivación implícita en la

Asi que la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto (3, 1), viene dada por:

11. Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de 20 mts/seg. Hallar: a. La velocidad cuando han transcurrido 1 y 3 seg. b. El tiempo que tarda en alcanzar la altura máxima. c. La altura máxima alcanzada. d. La rapidez al llegar de nuevo al suelo.

Solución Partiendo de la ecuación del movimiento conocida en

física: , en donde: m/seg (velocidad inicial); g es la aceleración (gravedad), que se toma aproximadamente en 10 m/seg2 y cuya dirección positiva es hacia abajo, se puede escribir: S = f(t) = 20t� 5t2 (1)

a. La velocidad en cualquier instante t, viene dada por: Esto es,

(2)

(Velocidad cuando ha transcurrido 1 seg.)

(Velocidad cuando han transcurrido 3 seg.)

b. Del enunciado inicial y de la parte a) puede notarse que: Cuando t = 0, V = 20 m/seg. Cuando t = 1, V = 10 m/seg. Cuando t = 3, V = -10 m/seg. Estos resultados indican que hubo un instante en el cual la velocidad fue V = 0, es en ese instante cuando la pelota alcanza su altura máxima. pero altura máxima).

seg. (tiempo que tarda en alcanzar la

Ahora, como en la ecuación (1), S indica la posición (distancia) en cada

instante t, se tiene en particular para t = 2, S = 20(2) � 5(2)2 = 20 m. (altura máxima). d. Para determinar la rapidez al llegar de nuevo al suelo, debe determinarse primero, el tiempo que tarda en hacerlo y luego sustituir este valor de t en (2). Para ello se hace S = 0 en (1): 0 = 20 t � 5 t

2

t = 0 (momento del lanzamiento) en que regresa al suelo)

t = 4 (momento

Ahora

la rapidez es

12. Determine, si existen los extremos absolutos (máx. y mín.) de la función:

en el intervalo [-3,2]

Solución Como f es continua en el intervalo dado, la existencia de máximo y mínimo absoluto esta garantizada por el teorema 2 de la sección 9.9.3. Para determinarlos, se aplica la regla práctica dada en la observación del mismo teorema. Considere los puntos críticos por medio de la derivada.

son los únicos puntos críticos. Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores: .

Máximo absoluto de f en

es

Mínimo absoluto de f en

es

13. Determine, si existen los extremos absolutos de la función: [-5,4]

en el intervalo

Solución La continuidad de f en el intervalo , garantiza la existencia de extremos absolutos de f en dicho intervalo. Se debe determinar primero los puntos críticos por medio de la

derivada. El único punto crítico de f es x = 3, donde la derivada no existe. (Note que

no tiene solución).

Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores:

Máximo absoluto de f en

es

Mínimo absoluto de f en

es

14. Considere la función f definida por:

Determine los extremos absolutos de f en el intervalo [-3,3] .

Solución La función es continua en todos los puntos del intervalo (verifique). Por el teorema 2 (sección 9.9.3.), f (x) posee máximo y mínimo absoluto en el intervalo considerado. Para determinarlos, se consideran primero los puntos críticos de f:

Puesto que y , la derivada no existe en x = 1 y por lo tanto corresponde a un punto crítico de f. De otro lado, la derivada no se anula en ningún punto del intervalo. En consecuencia, el único punto crítico es x = 1. Los extremos absolutos de f se escogen entre los siguientes valores:

Máximo absoluto de f en

es

Mínimo absoluto de f en

es

15. Analizar si

satisface las hipótesis del T.V.M.

para derivadas en el intervalo y en caso afirmativo, determine el valor(es) de C que satisfacen la conclusión.

Solución i.

ii.

es continua en

¿Porqué?

es derivable en

¿Porqué?

Como f cumple la hipótesis del T.V.M., entonces, existe por lo menos un

C,

tal que:

Pero,

Asi que:

Por lo tanto, De donde, De estos dos valores, el único que pertenece al intervalo (1, 3) es

que es la única solución buscada.

16. Para la función derivadas en el intervalo [-2, 2].

, estudiar las condiciones del T.V.M. para

Solución i. Claramente la función es continua en [-2, 2]. ii. , no existe en el punto x = 0. Luego, no se cumple la condición ii. del teorema, y en consecuencia, no puede garantizarse la existencia del punto C.

Ahora,

y como

no se anula

para ningún valor real de x, entonces la igualdad: no se cumplirá en ningún C en (-2, 2).

17. a. Demostrar que si la derivada de una función es 0 en un intervalo, entonces, la función es constante en dicho intervalo. b. Use la parte a. para demostrar que: constante. Hállese el valor de dicha constante.

Solución

es

a. Note en primer lugar que f satisface las hipótesis del T.V.M. (Porqué?). Ahora, sean función.

dos puntos cualquiera del intervalo [a, b] y sea f la

Para probar la parte a. es suficiente probar que obliga a que la función sea constante. Según el T.V.M., existe un número C entre

y como

y

, lo cual

tal que:

, se concluye entonces

.

que b. 9.6.)

(TEOREMA SECCIÓN

. Como constante.

, se sigue de la parte a. que

es una función

Para hallar el valor de la constante, basta evaluar la función en algún número específico, el cual se puede elegir arbitrariamente, por ejemplo,

.

Se tiene entonces, Luego, secante y la tangente).

. para todo x. (x en el dominio común de la

Este resultado no debe sorprender puesto que identidad trigonométrica conocida. 18. Evaluar los siguientes límites:

a.

b.

Solución

, es una

a. El límite es indeterminado de la forma . Para eliminar la indeterminación, se divide numerador y denominador por x; así:

Como

, x < 0 y se puede escribir

en el numerador.

Luego,

b. Este límite también es indeterminado de la forma

.

Para eliminar la indeterminación, se divide numerador y denominador nuevamente por x y como numerador, asi:

19. Evaluar el siguiente límite:

, se puede escribir

en el

Solución El límite es indeterminado de la forma:

.

Para eliminar la indeterminación, se multiplica y se divide la expresión inicial por

y luego, se divide numerador y denominador por x.

Esto es,

Ahora, como x > 0 se puede escribir fracción. De esta forma:

en el denominador de la última

20. Evaluar los siguientes límites:

a.

b. Solución a. Al dividir numerador y denominador por obtiene:

(mayor potencia de x), se

b. Nótese que como la función

es una función par,

esto es , significa esto entonces que el comportamiento de f para valores grandes de x positivos y para valores grandes de x negativos, es el mismo. Asi que,

21. Trazar la curva correspondiente a la función:

Solución Determinemos los elementos fundamentales de la curva como son: 1. Dominio natural de f (x). Los únicos valores de x para los cuales no existe la función son y

(valores de x que anulan el denominador). De esta

forma:

.

2. Interceptos:

i. Con el eje x (se hace y = o en (1)): Esta última ecuación no tiene Solución real, indicando con esto que la curva no corta al eje x.

ii. Con el eje y (se hace x = o en (1)): curva corta al eje y en el punto

Asi que, la .

3. Asíntotas: i. Verticales: son aquellos valores de x que anulen el denominador de (1). En este caso, las rectas verticales x = 2 y x = � 2 son asíntotas verticales de la curva.

Además,

ii. Horizontales:

Como: , se deduce que y = 1 es una asíntota horizontal de la curva. De otro lado,

como, , se deduce entonces que los valores de la función para valores grandes de x en valor absoluto, son mayores que 1, indicando con esto que la curva siempre está por encima de la curva. En la fig. 3. se indica el intercepto de la curva con el eje y, el comportamiento de la curva cerca de las asíntotas.

fig. 3 iii. Oblicuas: No tiene. ¿Porqué?. 4. Intervalos donde crece y decrece la curva. Extremos relativos. Para ello, se hace el análisis de la primera derivada.

Como (positivo), el signo de la derivada, solo depende del signo del factor (�14 x). Asi:

Signo de (�14 x) ó Signo de f �(x) ----------

+++++++++++++++| - - - - -

0 El diagrama indica que: f (x) es creciente en f (x) es decreciente en En consecuencia, x = 0, corresponde a la abscisa de un punto m�ximo relativo. . 5. Intervalos de concavidad. Posibles puntos de inflexión. Para ello, se hace uso de la segunda derivada.

Si Como (positivo), el signo de la segunda derivada depende del signo de los factores del denominador.

Signo de (x � 2)3- - - - - - - - - - - - - - - | +++++++++++++++ 2 Signo de (x + 2)3- - - - - - -| ++++++++ +++++++++++++++ -2 Signo de f ��(x) +++++++++| - - - - - - - |+++++++++++++++ -2 2 El signo de la segunda derivada indica que: f (x) es cóncava hacia arriba (+) en

f (x) es cóncava hacia abajo (-) en En los puntos x = �2 y x = 2 la concavidad cambia de signo, indicando con esto que hay "inflexión" pero, no existe punto de inflexión (¿Porqué?).

La fig. 4. recoge toda la información obtenida y proporciona una muy buena aproximación a la gráfica de la función dada.

fig. 4 22. Trazar la curva correspondiente a la función:

(1)

Solución 1. Dominio natural de f(x): El único valor de x para el cual no existe f es x = 1 (valor de x que anula el denominador). Asi que la función es continua para todo polinomios.

, por ser el cociente de dos

2. Interceptos:

i. Con el eje x (se hace y = 0 en (1)): punto

es el intercepto de la curva con el eje x.

. Luego el

ii. Con el eje y (se hace x = 0 en (1)): punto

. Luego el

es el intercepto de la curva con el eje y.

3. Asíntotas: i. Verticales: El único valor de x que anula el denominador es x = 1 y esta es la única asíntota vertical de la curva. De otro lado:

ii. Horizontales: No tiene (¿Porqué?). iii. Oblicuas: Como el grado del numerador es 3, una unidad mas que el grado del denominador que es 2, la curva tiene una asíntota oblicua de la forma y = mx + b. Para determinarla, se efectúa la división entre el numerador y el denominador y se obtiene:

Asi que

es la asíntota oblicua de la curva.

Para estudiar el comportamiento de la curva "cerca" de la asíntota se estudia la diferencia:

Donde

Esto es,

, para un mismo valor de x.

: la ordenada de la curva y

: ordenada de la asíntota.

Si x >0,

entonces, , indicando con esto, que para valores grandes de x (positivos), la curva esta por encima de la asíntota. Si x