Apuntes de Curvas Algebraicas por Enrique Arrondo(∗)

Versi´ on de 22 de Enero de 2016 El objetivo de estas notas es presentar una introducci´ on a las curvas algebraicas planas, es decir, curvas en el plano af´ın o proyectivo definidas por los ceros de un polinomio. La filosof´ıa general es que, en el plano proyectivo sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, las curvas son completas en el sentido de que no les falta ning´ un punto. Por ejemplo, el Teorema de B´ ezout permite saber exactamente en cu´ antos puntos se cortan dos curvas. Se pueden contar otros invariantes (f´ ormulas de Pl¨ ucker), como el n´ umero de puntos de inflexi´ on o rectas tangentes a la curva desde un punto (generalizando a una curva arbitraria las nociones de recta polar o c´ onica dual, que se deben haber estudiado para c´ onicas en Geometr´ıa Proyectiva). Aparte de estos resultados globales (que incluyen el estudio de sistemas lineales), necesitaremos estudiar localmente las curvas, decidiendo cu´ antas veces una curva pasa por un mismo punto, y en qu´ e forma lo hace. En una u ´ltima secci´ on esbozaremos brevemente c´ omo se generalizan todos los conceptos y resultados obtenidos cuando estudiamos geometr´ıa en dimensi´ on superior, es decir, consideramos ceros de un n´ umero arbitrario de polinomios en un espacio de dimensi´ on cualquiera.

1. Ecuaciones impl´ıcitas 2. Intersecci´ on de curvas. Lema de Study 3. Sistemas lineales de curvas 4. Curvas parametrizadas 5. Estudio local de puntos. Tangentes 6. Estudio local de puntos. Ramas 7. Intersecci´ on de curvas. Teorema de B´ezout 8. Curva dual. F´ ormulas de Pl¨ ucker 9. Curvas de g´enero bajo 10. Geometr´ıa de dimensi´ on superior ´ Departamento de Algebra, Facultad de Ciencias Matem´aticas, Universidad Complutense de Madrid, 28040 Madrid, [email protected]. Puede hacerse libre uso de este material siempre que se cite la procedencia. (∗)

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1. Ecuaciones impl´ıcitas Empezaremos comparando las diferencias que hay entre el espacio af´ın y el proyectivo a la hora de definir subconjuntos mediante polinomios. Lo primero que haremos ser´a estudiar si los polinomios definen funciones, y en ambos casos encontraremos ciertos problemas, algunos quiz´ a insospechados. Observaci´ on 1.1. En el caso af´ın, un polinomio f ∈ k[X1 , . . . , Xn ] define autom´aticamente una funci´ on (llamada funci´ on polinomial) Ank → k y tiene sentido hablar del valor del polinomio y de cu´ ando se hace o no cero. Podemos tener, sin embargo, el problema de que dos polinomios distintos definan la misma funci´on. Por ejemplo, si p es un n´ umero primo, p 2 los polinomios X Y − 1, XY − 1 ∈ Zp [X, Y ] definen la misma funci´on en AZp ya que, por el Peque˜ no Teorema de Fermat, ap = a para cada a ∈ Zp . Por otra parte, en el espacio proyectivo un polinomio cualquiera no define una funci´ on 3 ni puede decirse siquiera cu´ ando se anula. Por ejemplo, el polinomio F = X0 − X1 X2 ∈ k[X0 , X1 , X2 ] no puede decirse si se anula o no en el punto (1 : 1 : 1) ya que (1 : 1 : 1) = (2 : 2 : 2) y, mientras que F (1, 1, 1) = 0, por otro lado tambi´en F (2, 2, 2) = 4 6= 0. El problema que se presenta en el caso af´ın se resuelve inmediatamente cuando estemos trabajando en cuerpos infinitos: Lema 1.2. Si k es un cuerpo infinito, entonces para todo f ∈ k[X1 , . . . Xn ] no nulo existe alg´ un a ∈ Ank tal que f (a) 6= 0. Como consecuencia, dos polinomios distintos definen siempre funciones distintas. Demostraci´ on: Lo demostraremos por inducci´on sobre n. El caso n = 1 es consecuencia de que un polinomio f ∈ k[X] no nulo tiene siempre un n´ umero finito de ra´ıces (como mucho tantas como el grado). Supongamos pues que el resultado es cierto para polinomios en n − 1 variables. Tomamos entonces cualquier polinomio f ∈ k[X1 , . . . Xn ] no nulo y veamos existe alg´ un punto en que no se anula. Escribiendo f como polinomio en la variable Xn , lo podemos escribir como f = g0 (X1 , . . . , Xn−1 ) + g1 (X1 , . . . , Xn−1 )Xn + . . . + gd (X1 , . . . , Xn−1 )Xnd con gd (X1 , . . . , Xn−1 ) 6= 0. Por hip´otesis de inducci´on, existir´a (a1 , . . . , an−1 ) tal que gd (a1 , . . . , an−1 ) 6= 0. Eso quiere decir que el polinomio f 0 = g0 (a1 , . . . , an−1 ) + g1 (a1 , . . . , an−1 )Xn + . . . + gd (a1 , . . . , an−1 )Xnd ∈ k[Xn ] es no nulo. Por tanto, ya sabemos que existir´a alg´ un an ∈ k que no sea ra´ız de f 0 . Entonces, llamando a = (a1 , . . . , an−1 , an ) se tendr´a f (a) = f 0 (an ) 6= 0, como quer´ıamos. 2

La parte final del enunciado es inmediata, ya que si f, g ∈ k[X1 , . . . , Xn ] son polinomios distintos, entonces f − g es no nulo, por lo que existir´a a ∈ Ank tal que f (a) − g(a) 6= 0. Por tanto, las funciones polinomiales definidas por f y g toman distinto valor en el punto a, por lo que son distintas. A lo largo de estas notas supondremos siempre que nuestro cuerpo k es infinito. Definici´ on. Una hipersuperficie algebraica en Ank es un conjunto de puntos de la forma V (f ) := {(a1 , . . . , an ) ∈ An | f (a1 , . . . , an ) = 0} donde f ∈ k[X1 , . . . , Xn ] es un polinomio no constante. Si n = 2 diremos que V (f ) es una curva plana af´ın, y normalmente indicaremos a las variables X, Y en lugar de X1 , X2 . Para estudiar el caso proyectivo, necesitaremos la siguiente: Definici´ on. Se llama polinomio homog´eneo a un polinomio F ∈ k[X0 , . . . , Xn ] tal que todos sus monomios tienen el mismo grado. Lema 1.3. Sea F ∈ k[X0 , . . . , Xn ] un polinomio no nulo. Entonces F es homog´eneo de grado d si y s´ olo si F (T X0 , . . . , T Xn ) = T d F (X0 , . . . , Xn ) en k[X0 , . . . , Xn , T ]. Demostraci´ on: Es claro que, si F es homog´eneo de grado d entonces F (T X0 , . . . , T Xn ) = d T F . Rec´ıprocamente, supongamos F (T X0 , . . . , T Xn ) = T d F . Escribimos la descomposici´on F = F0 + F1 + . . . + Fr en suma de polinomios homog´eneos con Fi homog´eneo de grado i. Tendremos entonces una igualdad F (T X0 , . . . , T Xn ) = F0 (T X0 , . . . , T Xn ) + F1 (T X0 , . . . , T Xn ) . . . + Fr (T X0 , . . . , T Xn ) y, usando nuestra hip´ otesis y el hecho de que ya hemos demostrado la otra implicaci´ on d r obtenemos una igualdad de polinomios T F = F0 + F1 T + . . . + Fr T . Igualando los coeficientes de las potencias de T en cada miembro se obtiene que F = Fd (y tambi´en Fi = 0 si i 6= d), es decir, que F es homog´eneo de grado d. Recordemos que un polinomio se puede derivar respecto de sus variables, independientemente de que el cuerpo k sea o no R o C. La expresi´on de la derivada, as´ı como las propiedades que satisface (regla de Leibniz, regla de la cadena,...) es como en el caso cl´asico de derivadas de funciones reales o complejas. Notaci´ on. Escribiremos Fi =

∂F ∂Xi .

An´alogamente Fij = 3

∂2F ∂Xi ∂Xj .

Corolario 1.4 (Identidad de Euler). Si F ∈ k[X0 , . . . , Xn ] es un polinomio homog´eneo de grado d, entonces F0 X0 + . . . + Fn Xn = dF . Demostraci´ on: Derivamos respecto de T en la igualdad F (T X0 , . . . , T Xn ) = T d F en k[X0 , . . . , Xn , T ] del Lema 1.3. Por la regla de la cadena, tendremos: F0 (T X0 , . . . , T Xn )X0 + . . . + Fn (T X0 , . . . , T Xn )Xn = dT d−1 F Haciendo T = 1 obtenemos el resultado.

Observaci´ on 1.5. Obs´ervese que, en el Lema 1.3, para que F sea homog´eneo, no es suficiente pedir la condici´ on F (tX0 , . . . , tXn ) = td F (X0 , . . . , Xn ) para todo t ∈ k. Por ejemplo, el polinomio F := X p + X ∈ Zp [X] cumple F (tX) = tp X p + tX = tX p + tX = tF (X) pero no es homog´eneo. Sin embargo, si k es infinito, entonces dicha condici´on ya es suficiente. En efecto, tal condici´ on implica que F (T X0 , . . . , T Xn ) y T d F (X0 , . . . , Xn ) son polinomios en k[X1 , . . . , Xn , T ] que definen la misma funci´on en An+1 , luego por el Lema k 1.2 son iguales, y usando entonces el Lema 1.3 se sigue que F es homog´eneo de grado d. El Lema 1.3 nos indica que se puede decir cu´ando un polinomio homog´eneo en k[X0 , . . . , Xn ] se anula o no en un punto del espacio proyectivo, ya que el anularse no depende del vector escogido para representar al punto. Sin embargo, un polinomio homog´eneo sigue sin definir una funci´on en Pnk . Por ejemplo, no puede indicarse el valor de F = X0 X2 − X12 para el punto (0 : 1 : 0), ya que dicho punto es igual, por ejemplo, al punto (0 : −3 : 0), y se tiene F (0, 1, 0) = −1 6= −9 = F (0, −3, 0). Definici´ on. Una hipersuperficie algebraica en Pnk es un conjunto de puntos de la forma V (F ) := {(a0 : . . . : an ) ∈ Pnk | F (a0 , . . . , an ) = 0} donde F ∈ k[X0 , . . . , Xn ] es un polinomio homog´eneo no constante. Si n = 2, diremos que V (F ) es una curva proyectiva plana. Ejercicio 1.6. Demostrar que los divisores de un polinomio homog´eneo son necesariamente polinomios homog´eneos. Ejercicio 1.7. Demostrar que la aplicaci´on P1k → P2k definida por (t0 : t1 ) 7→ (t20 : t0 t1 : t21 ) est´a bien definida y da una biyecci´on entre P1 y V (X0 X2 − X12 ). 4

Ejercicio 1.8. Demostrar que la aplicaci´on P1k → P2k definida por (t0 : t1 ) 7→ (t30 : t0 t21 : t31 ) est´a bien definida y da una biyecci´on entre P1 y V (X0 X22 − X13 ). Ejercicio 1.9. Demostrar que est´a bien definida la aplicaci´on P1k → P2k definida por (t0 : t1 ) 7→ (t30 : t0 t21 − t30 : t31 − t20 t1 ), que su imagen es V (X0 X12 − X0 X22 + X13 ) y que s´ olo un punto de la imagen tiene dos preim´agenes distintas. Recordamos la relaci´ on fundamental entre el espacio af´ın y el proyectivo. Veremos el espacio af´ın dentro del proyectivo mediante la inclusi´on Ank ,→ (a1 , . . . , an ) 7→

Pnk (1 : a1 : . . . : an ).

La imagen de esa inclusi´ on es el complementario del hiperplano V (X0 ), llamado hiperplano del infinito, y un punto (0 : a1 : . . . : an ) del infinito se ve como la direcci´on del vector (a1 , . . . , an ). En realidad, el complementario de cualquier otro hiperplano es un espacio af´ın. Como cada punto de Pnk tiene alguna coordenada distinta de cero, nos bastar´ a n considerar s´ olo los hiperplanos de la forma V (Xi ) (a los conjuntos Ui := Pk \ V (Xi ) se les suele llamar abiertos b´ asicos). En concreto, la intersecci´on de una hipersuperficie V (F ) ⊂ Pnk con {X0 6= 0} ser´ a V (f ), donde f (X1 , . . . , Xn ) = F (1, X1 , . . . , Xn ). Esto justifica la siguiente: Definici´ on. Dado un polinomio homog´eneo F ∈ k[X0 , X1 , . . . , Xn ], se llama deshomogeneizado de F respecto de la variable Xi al polinomio F (X0 , . . . , Xi−1 , 1, Xi+1 , . . . , Xn ) ∈ k[X0 , . . . , Xi−1 , Xi+1 , . . . , Xn ]. Por simplicidad de notaci´ on, en los enunciados consideraremos s´olo el hiperplano V (X0 ) y deshomogeneizaci´ on respecto de X0 .. Lema 1.10. Dado f ∈ k[X1 , . . . , Xn ], de grado d, los polinomios homog´eneos cuyo deshoX1 n ,..., X mogeneizado es f son de la forma X0l F , con l ≥ 0, donde F := X0d f ( X X0 ), que es 0 un polinomio homog´eneo de grado d. Demostraci´ on: Si el deshomogeneizado de un polinomio homog´eneo G de grado d0 es f , entonces 0

G(X0 , X1 , . . . , Xn ) = X0d G(1,

0 X1 Xn X1 Xn ,..., ) = X0d f ( ,..., ). X0 X0 X0 X0

0

Xn 1 Es claro que X0d f ( X a homog´eneo de grado d0 ) si y s´ olo X0 , . . . , X0 ) es un polinomio (y ser´ 0 si d ≥ d, de donde se deduce el resultado.

Definici´ on. Se llama homogeneizado del polinomio f ∈ k[X1 , . . . , Xn ] de grado d al poliX1 n nomio F := X0d f ( X ,..., X X0 ), donde d es el grado total de f . A la hipersuperficie V (F ) 0 5

se le llama completado proyectivo de V (f )(∗) . Notaci´ on. En general, para saber si estamos en el caso homog´eneo o no, escribiremos letras may´ usculas para los polinomios en k[X0 , . . . , Xn ], y min´ usculas para los polinomios en k[X1 , . . . , Xn ]. Obs´ervese que entonces muchos polinomios homog´eneos (y como mucho uno irreducible) tienen el mismo deshomogeneizado. En particular, el que el deshomogeneizado de un polinomio homog´eneo sea irreducible no implica que dicho polinomio homog´eneo sea irreducible tambi´en. Esto s´ olo ocurrir´a si el polinomio homog´eneo es el “m´as peque˜ no” de entre los que tienen el mismo deshomogeneizado (es decir, si el polinomio es un polinomio homogeneizado). Dicho de forma m´as precisa, tenemos el siguiente resultado: Lema 1.11. Sea f ∈ k[X1 , . . . , Xn ] y F su homogeneizado. Se tiene: (i) Si f = f1 f2 , entonces F = F1 F2 , donde cada Fi es el homogeneizado de fi . (ii) Si F = F1 F2 , entonces f = f1 f2 , y cada fi es el deshomogeneizado de Fi . (iii) f es irreducible si y s´ olo si F es irreducible. (iv) Si f = f1r1 . . . fsrs es la descomposici´on en factores irreducibles de f , entonces F = F1m1 . . . Frmr es la descomposici´on en factores irreducibles de F , donde cada Fi es el homogeneizado de fi . (v) Si g es otro polinomio, y su homogeneizado es G, entonces f y g son primos entre s´ı si y s´olo si F y G son primos entre s´ı. Demostraci´ on: Veamos primero (i). Si f = f1 f2 , entonces deg(f ) = deg(f1 ) + deg(f2 ). Entonces tendremos deg(f )

F = X0

f(

X1 Xn X1 Xn deg(f2 ) X1 Xn deg(f1 ) ,..., ) = X0 f1 ( ,..., )X0 f2 ( ,..., ) = F1 F2 . X0 X0 X0 X0 X0 X0

Para demostrar (ii), si F = F1 F2 con F1 , F2 de grados respectivos d1 y d2 estrictamente positivos, entonces, deshomogeneizando, f = F (1, X1 , . . . , Xn ) = F1 (1, X1 , . . . , Xn )F2 (1, X1 , . . . , Xn ). (∗)

El lector agudo habr´ a notado que, en principio, esta definici´on no es consistente: una misma hipersuperficie puede estar definida por distintos polinomios, y los correspondientes homogeneizados podr´ıan definir completados proyectivos distintos. En realidad, esto no ocurre en cuerpos as´ı en cuerpos algebraicamente cerrados, en que la ecuaci´on de una hipersuperficie es u ´nica salvo multiplicaci´on por constante. Demostraremos esto, en el caso de curvas, en el Corolario 2.11 6

Como el grado de cada Fi (1, X1 , . . . , Xn ) es como mucho di y la suma de los grados es deg(f ) = deg(F ) = d1 + d2 (por ser F = F1 F2 ), se sigue que cada Fi (1, X1 , . . . , Xn ) tiene grado precisamente di , luego es el deshomogeneizado de fi . Veamos ahora (iii). Supongamos que f sea irreducible de grado d. Entonces no puede ser F = F1 F2 con F1 , F2 de grado estrictamente positivo, ya que (ii) implicar´ıa que f ser´ıa reducible. De la misma forma, si F es irreducible, por (i) se tiene que f no puede ser reducible. Las partes (iv) es consecuencia de (iii) y de aplicar (i) recursivamente. Finalmente, la parte (v) es consecuencia de (iv), puesto que las descomposiciones en irreducibles de F y G vienen de las de f y g, es claro que F y G tendr´an un factor com´ un si y s´olo si ya lo ten´ıan f y g. Una primera aplicaci´ on del resultado anterior, tomando n = 1, es que los polinomios homog´eneos en dos variables funcionan como los polinomios en una variable. Aunque ya desarrollaremos esto a´ un m´ as en la secci´on 4, veamos a continuaci´on, un primer ejemplo de este hecho. Teorema 1.12. Si F ∈ k[X0 , X1 ] es un polinomio homog´eneo no nulo de grado d, entonces: (i) (a0 : a1 ) ∈ V (F ) si y s´ olo si a1 X0 − a0 X1 divide a F . (ii) V (F ) consiste en como mucho d puntos. (iii) Si k es algebraicamente cerrado, F factoriza en factores lineales. Demostraci´ on: Escribimos F = X0r F 0 , donde F 0 no es divisible por X0 (es decir, el coeficiente de X1d−r en F es distinto de cero). Entonces, el resultado es evidente para (a0 : a1 ) = (0 : 1), ya que F (0, 1) = 0 si y s´olo si r > 0. Si suponemos ahora a0 6= 0, entonces F (a0 , a1 ) = 0 si y s´ olo si F 0 (a0 , a1 ) = 0, es decir, si y s´olo si F 0 (1, aa01 ) = 0. Eso es equivalente a que aa10 sea una ra´ız del deshomogeneizado de F 0 , y por la regla de Ruffini eso es equivalente a que X1 − aa01 divida a tal deshomogeneizado. Usando el Lema 1.11(i), concluimos que es equivalente a que X1 − aa10 X0 divida a F 0 . Como X1 − aa01 X0 es primo con X0 , eso es equivalente a que X1 − aa10 X0 (o equivalentemente a1 X0 − a0 X1 ) divida a F . Esto demuestra (i). La parte (ii) es ahora una consecuencia inmediata de que F admite como mucho d factores lineales, y la parte (iii) se obtiene porque el deshomogeneizado de F 0 factoriza en factores lineales, y podemos aplicar el Lema 1.11(iv). Observaci´ on 1.13. Usemos el Teorema 1.12 para convencernos de que tiene que existir un Teorema de B´ezout. Lo haremos en varios pasos: 7

1) En primer lugar, si tenemos una curva C = V (F ) definida por un polinomio homog´eneo F ∈ k[X0 , X1 , X2 ] de grado d, veamos cu´al es su intersecci´on con una recta (esto que vamos hacer servir´ıa lo mismo para una hipersuperficie). Como una recta proyectiva se puede parametrizar, podemos escribir cualquier recta de la forma
L = { (A0 (t0 , t1 ) : A1 (t0 , t1 ) : A2 (t0 , t1 ) | (t0 : t1 ) ∈ P1k } donde A0 , A1 , A2 ∈ k[T0 , T1 ] son polinomios homog´eneos de grado uno. Los puntos de intersecci´ on de C y L vendr´ an dados entonces por los valores (t0 : t1 ) tales que F (A0 (t0 , t1 ), A1 (t0 , t1 ), A2 (t0 , t1 )) = 0, es decir, los puntos de V (P ) ∈ P1k , donde P := F (A0 (T0 , T1 ), A1 (T0 , T1 ), A2 (T0 , T1 )) ∈ k[T0 , T1 ], que es un polinomio homog´eneo de grado d (salvo que sea cero, en cuyo caso L ⊂ C). Por el Teorema 1.12, si k es algebraicamente cerrado, el conjunto V (P ) consistir´ a en d puntos, contados con multiplicidad. 2) Supongamos que tenemos ahora un conjunto
D = { A0 (t0 , t1 ) : A1 (t0 , t1 ) : A2 (t0 , t1 ) | (t0 : t1 ) ∈ P1k } donde esta vez A0 , A1 , A2 ∈ k[T0 , T1 ] son polinomios homog´eneos de grado arbitrario e. Aunque en la secci´ on 4 veremos que D es una curva, hay una forma de intuirlo a priori, que es cortando con una recta L. Como ahora es D lo que tenemos parametrizado, nos convendr´a tener L en impl´ıcitas (en general, para calcular una intersecci´on de dos objetos, conviene tener uno parametrizado y el otro en impl´ıcitas). Sea entonces u0 X0 +u1 X1 +u2 X2 una ecuaci´ on de L. Entonces, la intersecci´on de D y L se obtendr´a ahora estudiando los puntos (t0 : t1 ) ∈ P1k tales que u0 A0 (t0 , t1 ) + u1 A1 (t0 , t1 ) + u2 A2 (t0 , t1 ) = 0. Como el polinomio u0 A0 (T0 , T1 ) + u1 A1 (T0 , T1 ) + u2 A2 (T0 , T1 ) es homog´eneo de grado e (salvo que sea cero, que ocurre cuando D ⊂ L), obtenemos, si k es algebraicamente cerrado, e soluciones contadas con multiplicidad. Esto hace sospechar que D sea una curva definida por un polinomio de grado e. 3) Finalmente, intersequemos los conjuntos C y D de 1) y 2). Los puntos de intersecci´on vendr´ an dados por las soluciones (t0 : t1 ) ∈ P1k del polinomio homog´eneo F (A0 (T0 , T1 ), A1 (T0 , T1 ), A2 (T0 , T1 )) ∈ k[T0 , T1 ], que ahora tiene grado de (salvo que sea cero, en cuyo caso D ⊂ C). Por tanto, en el caso en que k sea algebraicamente cerrado, obtendremos de puntos contados con multiplicidad. Hay dos problemas principales para poder concluir de aqu´ı. El primero es que no toda curva se puede parametrizar como en 2) (de hecho, es muy raro que una curva se pueda parametrizar; ya lo discutiremos en la secci´on 9). El segundo es que, aunque as´ı fuera, habr´ıa que demostrar que la multiplicidad de intersecci´ on no depende de la parametrizaci´on escogida. En la secci´on siguiente ya veremos un modo para calcular la intersecci´on de dos curvas en impl´ıcitas, pero seguiremos teniendo el problema de ver que la multiplicidad con la que salen los puntos de intersecci´ on est´a bien definida. 8

Vamos a centrarnos de nuevo en el estudio de polinomios que sean ecuaciones impl´ıcitas de curvas. Empecemos notando que, en principio, una definici´on general de curva puede presentar a´ un anomal´ıas. Ejemplo 1.14. En la Observaci´ on 1.1 vimos que un polinomio, por ejemplo X p Y −XY ∈ Zp [X, Y ] puede anularse en todos los puntos, lo que har´ıa que la curva que define es todo el plano af´ın (el Lema 1.2 excluye tal posibilidad si el cuerpo es infinito). Se puede dar sin embargo el caso opuesto, que una curva sea un conjunto muy peque˜ no, por ejemplo en A2R la curva V (X 2 + Y 2 ) es un solo punto y V (X 2 + Y 2 + 1) es el conjunto vac´ıo. Adem´ as, esto nos crea tambi´en el problema de que ecuaciones bien distintas dan lugar a la misma curva, ya que, por ejemplo, V (X(X 2 + Y 2 + 1)) = V (X). El lector habr´ a notado que para encontrar estos ejemplos hemos tenido que usar un cuerpo como R que no es algebraicamente cerrado. Veamos que, en efecto, ese problema no se da para cuerpos algebraicamente cerrados. Empezamos con un primer resultado que necesitaremos y que nos indica en particular que (por el Lema 1.2) para estos cuerpos tampoco tenemos el problema de curvas o hipersuperficies que sean todo el espacio: Lema 1.15. Todo cuerpo algebraicamente cerrado es infinito. Demostraci´ on: En efecto, veamos que un cuerpo finito k no puede ser nunca algebraicamente cerrado. En efecto, si a1 , . . . am son los elementos de k, entonces es claro que f (X) = (X − a1 ) . . . (X − am ) + 1 no puede tener ninguna ra´ız en k, por lo que k no es algebraicamente cerrado. En realidad, si el lector sabe un m´ınimo de teor´ıa de cuerpos finitos sabr´a que, si k es un cuerpo finito, su cardinal es pn , una potencia de un n´ umero primo, y que el polinomio pn de la demostraci´ on no es m´ as que f (X) = X − X + 1. Proposici´ on 1.16. Si k es algebraicamente cerrado y f ∈ k[X, Y ] es un polinomio no constante, entonces V (f ) es un conjunto infinito (y propio) de puntos. Demostraci´ on: Que V (f ) sea un subconjunto propio de A2k es una consecuencia de los Lemas 1.2 y 1.15. Para ver la infinitud, observamos primero que, como f es no constante, depender´a de alguna de las variables, por ejemplo de Y . Entonces, podemos escribir f = f0 (X) + f1 (X)Y + . . . + fd (X)Y d donde f0 , . . . , fd ∈ k[X], fd 6= 0 y d > 0. Como fd tiene un n´ umero finito de ra´ıces, al ser k infinito (por el Lema 1.15), existen infinitos valores a ∈ k tales que fd (a) 6= 0. Para cada uno de esos valores, el polinomio f (a, Y ) ∈ k[Y ] tiene grado d > 0, luego tiene al menos una ra´ız b ∈ k, luego (a, b) ∈ V (f ). Al variar a, obtenemos infinitos puntos de V (f ). 9

Corolario 1.17. Si k es algebraicamente cerrado y F ∈ k[X0 , X1 , X2 ] es un polinomio no constante, entonces V (F ) es un conjunto infinito (y propio) de puntos. Demostraci´ on: Como F es no constante, su deshomogeneizado respecto de alguna variable es no constante, luego su intersecci´ on con alg´ un plano af´ın es infinita, por la Proposici´ on 2 1.16. Que V (F ) sea propio se obtiene del Lema 1.2, ya que si V (F ) = Pk , entonces F se anular´ıa en todos los puntos de A3k .

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2. Intersecci´ on de curvas. Lema de Study Ahora que hemos fijado las condiciones para que una curva sea un conjunto propio con infinitos puntos, veamos que, en las mismas condiciones, la intersecci´on de dos curvas, sin embargo, es en general un n´ umero finito de puntos. Lo id´oneo (como muestra la Observaci´on 1.13) ser´ıa tener una curva parametrizada. Como eso no es siempre posible, hay que ver c´omo intersecar dos curvas dadas mediante sus ecuaciones impl´ıcitas. La t´ecnica clave para esto es el uso de la resultante de dos polinomios, que recordamos brevemente aqu´ı (quien no haya visto antes este concepto, puede entenderlo mirando el caso homog´eneo en el Teorema 4.6): Definici´ on. Dado un dominio de factorizaci´on u ´nica A, se llama resultante de los polin nomios f = a0 + a1 X + . . . + an X (con an 6= 0) y g = b0 + b1 X + . . . + bm X m (con bm 6= 0) de A[X] al elemento an 0 0 ... 0  a0 a1 . . .   an 0 ... 0  0 a0 . . . an−1 ..  m filas .   0 . . . 0 a a . . . a a 0 1 n−1 n res(f, g) =  bm 0 ... 0  b0 b1 . . . bm−1  0  0 b0 . . . bm−2 bm−1 bm 0 . . . n filas .. ..  . .   0 ... 0 b0 b1 . . . bm−1 bm La utilidad de la resultante es el siguiente resultado que nos limitamos a recordar (una demostraci´ on en el caso homog´eneo, que es id´entica a la que se hace en el caso cl´asico, se puede ver el Teorema 4.6): Teorema 2.1. Sea A un dominio de factorizaci´on u ´nica y sean f = a0 +a1 X +. . .+an X n , g = b0 + b1 X + . . . + bm X m dos polinomios en A[X] de grados respectivos n y m (es decir, an , bm 6= 0). Entonces f y g tienen un factor com´ un de grado positivo si y s´ olo si res(f, g) = 0. La resultante tiene otras propiedades que necesitaremos, y que recordamos en forma de ejercicio: 00 ] y sean los poliEjercicio 2.2. Sea A un D.F.U., sea A0 = A[X10 , . . . , Xn0 , X100 , . . . , Xm 0 0 00 00 nomios f = (X − X1 ) . . . (X − Xn ) y g = (X − X1 ) . . . (X − Xm ) de A0 [X]. Demostrar que Y res(f, g) = (Xj00 − Xi0 ) i = 1, . . . , n j = 1, . . . , m

11

[Indicaci´on, ver que res(f, g) es divisible por todos los polinomios Xj00 − Xi0 y comparar grados y coeficiente de mayor grado como polinomios en X10 , . . . , Xn0 ]. Concluir de lo anterior que, si A es un D.F.U. y f, g ∈ A[X] tienen grados respectivos n y m, y adem´ as g es m´onico y tiene ra´ıces β1 , . . . , βm (cada una repetida tantas veces como su multiplicidad), entonces res(f, g) = f (β1 ) . . . f (βm ). Una primera aplicaci´ on inmediata de la resultante es para pasar de param´etricas a impl´ıcitas en curvas afines: Proposici´ on 2.3. Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado. Entonces, dados dos polinomios no constantes p, q ∈ k[T ], el conjunto de puntos C = {(p(t), q(t)) ∈ A2k | t ∈ k} es una curva af´ın. Demostraci´ on: Un punto (a, b) est´a en C si y s´olo si los polinomios p(T ) − a y q(T ) − b tienen alguna ra´ız com´ un. Como k es algebraicamente cerrado, esto es equivalente a que tengan alg´ un factor com´ un de grado positivo. Por tanto, por el Teorema 2.1, esto es equivalente a que se anule res(p(T ) − a, q(T ) − b). Es inmediato observar (por ser p, q de grado positivo) que, si llamamos f (X, Y ) := resT (p(T ) − X, q(T ) − Y ), entonces f (a, b) = res(p(T ) − a, q(T ) − b) para todo (a, b) ∈ A2k . De todo lo anterior se deduce C = V (f ).

Ejemplo 2.4. Cuando la parametrizaci´on no es polinomial sino racional (es decir, dada por cocientes de polinomios) aparecen algunos problemas. Por ejemplo, si consideramos el conjunto  t t C= ( , ) | t ∈ k \ {−1, 1} t+1 t−1 que un punto (a, b) est´e en C es equivalente a que los polinomios T −a(T +1) y T −b(T −1) tengan una ra´ız com´ un. Sin embargo, mientras que −X 1 − X = −X − Y + 2XY, f (X, Y ) := resT (T − X(T + 1), T − Y (T − 1)) = Y 1−Y no es cierto que, por ejemplo, f (1, 1) sea la resultante de T − 1(T + 1) y T − 1(T − 1), ya que en realidad ambos polinomios son constantes (incluso ya s´olo a = 1 o b = 1 dar´ıa problemas. En realidad, lo que ocurre en este caso es que C ⊂ V (f ), pero el contenido es estricto, ya que el punto (1, 1) ∈ V (f ) s´olo se obtendr´ıa haciendo tender t a infinito. En realidad, veremos en la secci´ on 4 que, completando con los puntos del infinito, las cosas ya funcionan bien. Ejemplo 2.5. Otra aplicaci´ on de la resultante, que de nuevo desarrollaremos m´ as en el caso proyectivo porque all´ı funciona mejor, es el c´alculo de los puntos de intersecci´ on 12

de curvas. En efecto, si tenemos dos curvas V (f ) y V (g) en A2k , un punto (a, b) estar´ a en la intersecci´ on de ambas si y s´ olo si los polinomios f (X, b) y g(X, b) de k[X] tienen a X = a como ra´ız com´ un. La existencia de una ra´ız com´ un es, como en el ejemplo anterior, equivalente a que la resultante de f (X, b) y g(X, b) sea cero. Pero tambi´en como en el ejemplo anterior, no es cierto que tal resultante se obtenga calculando primero la resultante resX (f, g) de f y g (vistos como polinomios en la indeterminada X y con coeficientes en k[Y ]) y luego sustituyendo Y por b. De todas formas, las ra´ıces de resX (f, g), que es un polinomio en k[Y ], son los posibles valores de las coordenadas b de los puntos de intersecci´ on de V (f ) y V (g). El lector puede considerar el ejemplo de los polinomios f = XY + 1 y g = XY − 1, que representan dos curvas planas afines sin puntos de intersecci´on. Sin embargo, 1 Y = 2Y, resX (f, g) = −1 Y que tiene como ra´ız Y = 0. En realidad, aunque las dos curvas no tengan intersecci´on en la recta af´ın Y = 0, s´ı que se cortan en el punto del infinito de dicha recta. Esto indica de nuevo que la resultante funciona mejor en el caso proyectivo. Pasemos por tanto al caso proyectivo. Hemos visto que surgen problemas cuando tenemos un polinomio que, a pesar de tener cierto grado en una indeterminada, su grado baja al dar a las otras indeterminadas alg´ un valor concreto. En el caso homog´eneo, un modo de evitar esto es considerar polinomios cuyo coeficiente respecto de la variable que queremos, por ejemplo X2 , es distinto de cero. Esto es equivalente a decir que el punto (0 : 0 : 1) no est´ a en la curva definida por dicho polinomio. El resultado siguiente va a ser la clave en esta direcci´ on. Teorema 2.6. Sean F, G ∈ k[X0 , X1 , X2 ] dos polinomios homog´eneos primos entre s´ı y tales que (0 : 0 : 1) ∈ / V (F G). Entonces, la resultante de F y G como polinomios en X2 es un polinomio homog´eneo en k[X0 , X1 ] de grado deg(F ) deg(G). Demostraci´ on: Podemos escribir F = Ad (X0 , X1 ) + Ad−1 (X0 , X1 )X2 + . . . + A1 (X0 , X1 )X2d−1 + A0 (X0 , X1 )X2d G = Be (X0 , X1 ) + Be−1 (X0 , X1 )X2 + . . . + B1 (X0 , X1 )X2e−1 + B0 (X0 , X1 )X2e donde cada Ai , Bi es homog´eneo de grado i. N´otese que la condici´on (0 : 0 : 1) ∈ / V (F G) es equivalente a que A0 (X0 , X1 ), B0 (X0 , X1 ) (que en realidad son constantes) son ambos no nulos. Por tanto, F y G tienen grados respectivos d y e como polinomios en la 13

indeterminada X2 , luego su resultante es Ad Ad−1 . . . A0 Ad . . . A1 0 .. . ... 0 Ad 0 R(X0 , X1 ) = Be Be−1 . . . B1 Be . . . B2 0 .. . 0 ... 0 Be

0 A0

0 0

... ...

Ad−1 B0 B1

... 0 B0

A1 ... 0... .. .

Be−1

...

B1

0    0   e filas   A0  0   0  d filas    B0

Para ver que es homog´eneo de grado de aplicaremos el Lema 1.3 (n´otese que R es no nulo puesto que F y G no tienen factores comunes). Observamos que se tiene d A0 0 0 ... 0  T Ad T d−1 Ad−1 . . .   T d Ad . . . T A1 A0 0 ... 0  0 .  e filas ..   d d−1 ... 0 T Ad T Ad−1 . . . T A1 A0 0 R(T X0 , T X1 ) = e  B0 0 ... 0  T Be T e−1 Be−1 . . . T B1  T e Be . . . T 2 B2 T B1 B0 0 . . . 0  0 d filas .. ..  . .   0 ... 0 T e Be T e−1 Be−1 . . . T B1 B0 Efectuamos ahora la siguiente operaci´on en la matriz del determinante anterior: dejamos la u ´ltima fila igual, la pen´ ultima la multiplicamos por T , la antepen´ ultima por T 2 , y as´ı sucesivamente hasta la fila e + 1, que la multiplicamos por T d−1 ; a continuaci´ on, repetimos el mismo proceso a partir de la fila e-´esima, que dejamos igual, la anterior la multiplicamos por T , la anterior por T 2 , y as´ı hasta la fila primera que la multiplicamos por T e−1 . Obtenemos entonces: T 1+2+...+(d−1) T 1+2+...+(e−1) R(T X0 , T X1 ) = d+e−1 Ad T 0 0 = d+e−1 Be T 0 0

T d+e−2 Ad−1 T d+e−2 Ad

. . . T e−1 A0 . . . T e−1 A1 .. .

... T Be−1 d+e−2 T Be

0 ... ... .. .

...

0

d+e−2

0 T e−2 A0

0 0

... ...

T d Ad T d B1 T d B2

T d−1 Ad−1 T d−1 B0 T d−1 B1

... 0 d−2 T B0

T A1 ... 0... .. .

T e Be

T e−1 Be−1

...

T B1

0    0   e filas   A0  0   0  d filas    B0

Tenemos entonces que de la u ´ltima columna no podemos sacar nada, de la pen´ ultima pode2 mos sacar T , de la antepen´ ultima T , y as´ı sucesivamente hasta la primera, que podemos 14

sacar T d+e−1 , y nos queda entonces el determinante que define R(X0 , X1 ). Tendremos por tanto T 1+2+...+(d−1) T 1+2+...+(e−1) R(T X0 , T X1 ) = T 1+2+...+(d+e−1) R(X0 , X1 ) es decir T

d2 −d+e2 −e 2

R(T X0 , T X1 ) = T

d2 +2de+e2 −d−e 2

R(X0 , X1 )

de donde se deduce R(T X0 , T X1 ) = T de R(X0 , X1 ), y por el Lema 1.3 se sigue que R es homog´eneo de grado de, como quer´ıamos demostrar. Corolario 2.7 (Teorema d´ebil de B´ezout). Sean F, G ∈ k[X0 , X1 , X2 ] dos polinomios homog´eneos primos entre s´ı de grados respectivos d y e. Entonces, si k es infinito, V (F ) ∩ V (G) consiste como mucho en de puntos. Demostraci´ on: Veamos en primer lugar que V (F ) ∩ V (G) es finito. Para ello, escogemos coordenadas de forma que el punto (0 : 0 : 1) no est´e en ninguna de las dos curvas (es algo que podemos hacer porque V (F G) no es todo P2k , por el Corolario 1.17). Observamos que si (a0 : a1 : a2 ) ∈ V (F ) ∩ V (G) entonces los polinomios f (X2 ) := F (a0 , a1 , X2 ) y g(X2 ) := G(a0 , a1 , X2 ) tienen a2 como ra´ız com´ un, luego res(f, g) = 0. Como (0 : 0 : 1) no est´a ni en V (F ) ni en V (G), entonces F tiene un t´ermino en X2d y G tiene un t´ermino en X2e , luego deg(f ) = d y deg(g) = e. Esto quiere decir que la resultante de f y g es un determinante de orden d + e, precisamente el que se obtiene sustituyendo X0 = a0 y X1 = a1 en la resultante R := resX2 (F, G) de F y G como polinomios en X2 . En otras palabras, si (a0 : a1 : a2 ) ∈ V (F ) ∩ V (G), entonces (a0 : a1 ) (que tiene sentido ya que (0 : 0 : 1) no est´ a en la intersecci´on de las curvas) es una ra´ız de R ∈ k[X0 , X1 ], que es homog´eneo por el Teorema 2.6. Por el Teorema 1.12, hay una cantidad finita de posibilidades para (a0 : a1 ). Para cada una de dichas posibilidades, los posibles valores de a2 est´an entre las ra´ıces de f (X2 ) := F (a0 , a1 , X2 ), que de nuevo es una cantidad finita por ser f no nulo. Esto concluye que el n´ umero de puntos de V (F ) ∩ V (G) es finito. Para acotar el n´ umero de puntos refinamos un poco m´as la demostraci´on anterior, pero usando fuertemente que ya sabemos que V (F ) y V (G) se cortan en un n´ umero finito de puntos, que llamaremos p1 , . . . , pr . Entonces, tenemos un n´ umero finito de pares de puntos pi , pj de la intersecci´ on, y denotaremos Lij a una ecuaci´on de la recta que pasa por pi , pj . Por tanto, podemos tomar coordenadas de forma que (0 : 0 : 1) no est´e ni en Q V (F ), ni en V (G) ni en ninguna de las rectas V (Lij ), ya que V (F G i,j Lij ) no es todo P2k por el Corolario 1.17. Entonces, repitiendo la demostraci´on anterior, nos volvemos a encontrar con una cantidad finita de posibilidades (a0 : a1 ), de hecho como mucho de, aplicando el Teorema 1.12 y el hecho de que R tiene grado de por el Teorema 2.6. La diferencia ahora es que sabemos que, para cada uno de los (a0 : a1 ), los posibles puntos 15

(a0 : a1 : a2 ) ∈ V (F ) ∩ V (G) est´ an en la recta V (a1 X0 − a0 X1 ), que pasa por (0 : 0 : 1), luego contiene como mucho un punto de intersecci´on. En realidad, en la demostraci´ on anterior hemos visto mucho m´as: que, si el cuerpo k es algebraicamente cerrado, se obtienen exactamente de puntos de intersecci´on, aunque cada uno de ellos contado con cierta “multiplicidad”. El problema es que, a priori, esta “multiplicidad” de cada punto de intersecci´on podr´ıa depender de la elecci´on de coordenadas que tomemos. Si no dependiera, obtendr´ıamos lo que se conoce como el Teorema de B´ezout. De hecho, las siguientes secciones ir´an encaminadas a definir con precisi´on la noci´on de multiplicidad de intersecci´ on, que coincidir´a con la que aparece en la demostraci´on anterior. Corolario 2.8. Si f, g ∈ k[X, Y ] no tienen factores comunes, entonces V (f )∩V (g) consiste en un n´ umero finito de puntos. Demostraci´ on: Si k es un cuerpo finito, no hay nada que demostrar, puesto que entonces 2 Ak ser´a tambi´en finito. Supondremos por tanto que k es infinito. Tomamos los homogeneizados F, G de f, g, que tampoco tendr´an factores comunes por el Lema 1.11(iii). Por el Teorema d´ebil de B´ezout V (F ) ∩ V (G) es una cantidad finita de puntos, y como V (f ) ∩ V (g) es un subconjunto suyo (concretamente es su intersecci´on con {X0 6= 0}) entonces tambi´en es finito. Teorema 2.9 (Lema de Study). Sea f ∈ k[X, Y ] un polinomio irreducible tal que V (f ) tiene infinitos puntos. Entonces, para todo g ∈ k[X, Y ] se tiene que V (f ) ⊂ V (g) si y s´ olo si f divide a g. Demostraci´ on: Es evidente que, si f divide a g, entonces V (f ) ⊂ V (g), as´ı que basta demostrar la otra implicaci´ on. Si ocurre V (f ) ⊂ V (g), entonces se tiene que V (f ) ∩ V (g) es un conjunto infinito de puntos. Por el Corolario 2.8, f y g tienen alg´ un factor com´ un. Como f es irreducible, se sigue que f divide a g. La misma demostraci´ on prueba: Teorema 2.10 (Lema de Study proyectivo). Sea F ∈ k[X0 , X1 , X2 ] un polinomio homog´eneo irreducible tal que V (F ) tiene infinitos puntos. Entonces, para todo polinomio homog´eneo G ∈ k[X0 , X1 , X2 ] se tiene que V (F ) ⊂ V (G) si y s´olo si F divide a G. Corolario 2.11 (Teorema de los Ceros de Hilbert). Si k es algebraicamente cerrado, y f ∈ k[X, Y ] es un polinomio cuya factorizaci´on en factores irreducibles es f = f1m1 . . . frmr , entonces son equivalentes: (i) V (f ) ⊂ V (g) 16

(ii) f1 . . . fr divide a g (iii) Existe m ∈ N tal que f |g m . En particular, V (f ) = V (g) si y s´ olo si f y g tienen los mismos factores irreducibles. Demostraci´ on: Demostraremos c´ıclicamente las implicaciones: (i) ⇒ (ii): Como k es algebraicamente cerrado, entonces por la Proposici´on 1.16, cada V (fi ) es infinito. Entonces, como V (f ) ⊂ V (g), se tiene tambi´en V (f : i) ⊂ V (g), y por el Lema de Study, cada fi divide a g. Como los fi son primos dos a dos, se sigue que f1 . . . fr divide a g. (ii) ⇒ (iii): Basta tomar m =m´ ax{m1 , . . . , mr }. (iii) ⇒ (i): De f |g m obtenemos V (f ) ⊂ V (g m ), y el resultado sigue de la igualdad V (g m ) = V (g). Finalmente, si V (f ) = V (g) y la factorizaci´on en factores irreducibles de g es g = . . . gsns , por (ii) tendremos que cada fi divide a g, luego debe ser uno de los factores irreducibles gj de g. Intercambiando el papel de f y g, cada gj tiene que ser un fi , lo que termina la demostraci´ on.

g1n1

De la misma forma se prueba: Corolario 2.12 (Teorema de los Ceros proyectivo). Si k es algebraicamente cerrado, y F ∈ k[X0 , X1 , X2 ] es homog´eneo y factoriza en factores irreducibles como F = F1m1 . . . Frmr , entonces son equivalentes: (i) V (F ) ⊂ V (G) (ii) F1 . . . Fr divide a G (iii) Existe m ∈ N tal que F |Gm . En particular, V (F ) = V (G) si y s´olo si F y G tienen los mismos factores irreducibles. A partir de aqu´ı supondremos siempre que, salvo que se diga lo contrario, el cuerpo k es algebraicamente cerrado. Definici´ on. Se llama ecuaci´ on minimal (o reducida) de una curva (af´ın o proyectiva) a un polinomio de grado m´ınimo que defina la curva. Por los Corolarios 2.11 y 2.12, una ecuaci´on es minimal si y s´olo si no tiene factores m´ ultiples, y tal ecuaci´ on es u ´nica salvo multiplicaci´on por constante. Obviamente, dada cualquier ecuaci´ on de una curva, quitando sus factores m´ ultiples se obtiene una ecuaci´ on minimal. Definici´ on. Se llama grado de una curva al grado de una ecuaci´on minimal suya. 17

Definici´ on. Se llama curva irreducible (af´ın o proyectiva) a una curva C tal que si C = C1 ∪C2 (con C1 , C2 curvas, afines o proyectivas, seg´ un el caso), entonces C = C1 o C = C2 . Proposici´ on 2.13. Una curva es irreducible si y s´olo si su ecuaci´on minimal es irreducible. Demostraci´ on: Lo haremos en el caso af´ın, siendo igual el caso proyectivo. Si un polinomio f ∈ k[X, Y ] sin factores m´ ultiples es reducible, entonces se puede escribir de forma no trivial como f = gh, con g, h primos entre s´ı. Entonces V (f ) = V (g) ∪ V (h), y adem´ as V (f ) 6= V (g) y V (f ) 6= V (h), por el Corolario 2.11. Por otra parte, si fuera f irreducible y V (f ) = V (g) ∪ V (h), entonces f es la ecuaci´ on minimal de V (gh), lo que quiere decir que gh tiene a f como un u ´nico factor irreducible, luego necesariamente V (g) = V (f ) = V (h). Teorema 2.14. Toda curva (af´ın o proyectiva) se escribe de forma u ´nica como uni´ on finita de curvas irreducibles. Demostraci´ on: De nuevo, lo haremos s´olo en el caso af´ın. Dada una curva, tomamos una ecuaci´ on minimal que factorizar´a en factores irreducibles f = f1 . . . fr . Por tanto, V (f ) = V (f1 ) ∪ . . . ∪ V (fr ). Por la Proposici´on 2.13, cada V (fi ) es irreducible, lo que demuestra la existencia de la descomposici´on. Por otra parte, si V (f ) = V (g1 ) ∪ . . . ∪ V (gs ) es otra descomposici´ on (en que tomamos cada gi minimal, y por tanto irreducible), entonces cada V (fi ) est´ a contenido en V (g1 ) ∪ . . . ∪ V (gs ) = V (g1 . . . gs ), y por el Lema de Study fi divide a g1 . . . gs , luego al ser fi irreducible divide a alg´ un gj , es decir coincide con ´el salvo multiplicaci´ on por constante. An´alogamente, cada gj debe coincidir con alg´ un f i , y por tanto las dos descomposiciones son iguales.

Definici´ on. Se llama componente irreducible de una curva a cada una de las curvas irreducibles que aparecen en la descomposici´on dada por el Teorema 2.14. Terminamos la secci´ on con un par de criterios de irreducibilidad que ser´an muy u ´tiles. Empezamos recordando el conocido criterio de Eisenstein: Teorema 2.15. Sea A un DFU, y sea f = a0 + a1 X + . . . + ad X d ∈ A[X] un polinomio primitivo (i.e. sus coeficientes no tienen un factor com´ un) tal que existe un elemento irreducible p ∈ A que satisface alguna de las dos condiciones siguientes: (i) p divide a a0 , a1 , . . . , ad−1 pero no divide a ad , y p2 no divide a a0 . (ii) p divide a a1 , . . . , ad pero no divide a a0 , y p2 no divide a ad . Entonces f es irreducible. 18

Demostraci´ on: Posiblemente el lector conozca s´olo un versi´on, y ´esta sea que, si se satisface (i), entonces f es irreducible. En realidad, que (ii) implica que f es irreducible se demuestra de la misma forma, pero es tambi´en consecuencia de la primera versi´on. En efecto, si se satisface (ii), entonces de la primera versin del criterio lo que se deduce es que el polinomio ad + ad−1 X + . . . + a1 X d−1 + a0 X d es irreducible. Pero por el Lema 1.11(iii) esto es equivalente a que su homogeneizado F := ad X0d +ad−1 X0d−1 X1 +. . .+a1 X0 X1d−1 +a0 X1d sea irreducible. Y por el mismo lema, su deshomogeneizado respecto a X1 , que es precisamente f , es irreducible. Y terminamos con otro criterio muy pr´actico, llamado criterio de Gibson o de las formas: Lema 2.16. Sean f, g ⊂ k[X1 , . . . , Xn ] dos polinomios homog´eneos primos entre s´ı y de grados consecutivos. Entonces f + g es un polinomio irreducible. Demostraci´ on: Si fuera f + g = h1 h2 , como f + g tiene s´olo monomios de dos grados consecutivos, necesariamente uno de los hi tendr´ıa que ser homog´eneo. Pero esto implicar´ıa que hi divide a cada componente homog´enea de f + g, es decir, divide a f y a g. Como f y g son primos entre s´ı, esto es imposible salvo que hi fuera una constante.

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3. Sistemas lineales de curvas Veamos que ya con el Teorema D´ebil de B´ezout se puede hacer mucha geometr´ıa. Por empezar con un ejemplo, veremos en esta secci´on que por cinco puntos del plano uno se espera que pase una u ´nica c´ onica, por lo que si por seis puntos pasa alguna c´onica, deben estar en posici´ on especial. El siguiente resultado caracteriza cu´ando ocurre esto. Teorema 3.1. Sean A1 , A2 , A3 , B1 , B2 , B3 ∈ P2k distintos tales que ning´ un Bj est´ a alineado con dos de los Ai y ning´ un Ai est´a alineado con dos de los Bj . Consideramos los puntos C1 = A2 B3 ∩ A3 B2 C2 = A1 B3 ∩ A3 B1 C3 = A1 B2 ∩ A2 B1 . Entonces los puntos A1 , A2 , A3 , B1 , B2 , B3 est´an en una misma c´onica, si y s´olo si los puntos C1 , C2 , C3 est´ an en una misma recta.

Demostraci´ on: Obs´ervese en primer lugar que los puntos C1 , C2 , C3 existen, ya que nuestras hip´otesis prueban que las rectas Ai Bj y Aj Bi son distintas si i 6= j. Adem´as, estos tres puntos son distintos dos a dos. Por ejemplo, si C1 = C2 , entonces la recta C1 B3 (no puede ser C1 = B3 , porque entonces A2 , A3 , B2 , B3 estar´ıan alineados) contendr´ıa los puntos A1 , A2 , con lo que A1 , A2 , B3 estar´ıan alineados, contra nuestra hip´otesis. Si llamamos Fij a la ecuaci´on de la recta Ai Bj observamos entonces que F := F12 F23 F31 y G = F21 F32 F13 son dos polinomios homog´eneos de grado tres que se anulan en A1 , A2 , A3 , B1 , B2 , B3 , C1 , C2 , C3 . Por tanto, para cualesquiera λ, µ ∈ k (no ambos nulos) la curva V (λF + µG) pasa por todos esos puntos. La idea central que vamos a usar en la demostraci´ on es bien simple: cada vez que fijemos un punto P = (a0 : a1 : a2 ) ∈ P2k , es 20

inmediato que existen λ, µ ∈ k no ambos nulos tales que λF (a0 , a1 , a2 )+µG(a0 , a1 , a2 ) = 0, y por tanto, una curva V (λF + µG) que pasa por P . Supongamos en primer lugar que los puntos A1 , A2 , A3 , B1 , B2 , B3 est´an en una misma c´onica C. Fijando P ∈ C \ {A1 , A2 , A3 , B1 , B2 , B3 }, podremos encontrar λ, µ tales que la curva D = V (λF + µG) pase por P . Tendremos entonces que la c´onica C y la c´ ubica D tienen en com´ un siete puntos distintos, A1 , A2 , A3 , B1 , B2 , B3 , P . Entonces, el Teorema D´ebil de B´ezout implica que C y D tienen alguna componente en com´ un. Distinguimos dos casos. –Si C es una c´ onica irreducible, entonces necesariamente C ⊂ D, luego D = C ∪ L para alguna recta L. N´ otese que en este caso ning´ un Ci puede estar en C, ya que esto implicar´ıa que C tiene rectas trisecantes, lo que contradir´ıa de nuevo el Teorema D´ebil de B´ezout. Por tanto, C1 , C2 , C3 ∈ L. –Si C es una c´ onica reducible, nuestras hip´otesis implican que debe ser C = A1 A2 A3 ∪ B1 B2 B3 . Sin p´erdida de generalidad podemos suponer P ∈ A1 A2 A3 . Esto implica que la recta A1 A2 A3 corta a D en cuatro puntos, por lo que el Teorema d´ebil de B´ezout implica D = A1 A2 A3 ∪ D0 para alguna c´onica D0 . Como no puede ser Bi ∈ A1 A2 A3 , necesariamente B1 , B2 , B3 ∈ D0 . Por tanto, la c´onica D0 contiene tres puntos alineados, luego debe ser D0 = B1 B2 B3 ∪ L para alguna recta L. En resumidas cuentas D = A1 A2 A3 ∪ B1 B2 B3 ∪ L. Sin embargo, ning´ un Ci est´ a en ninguna de las dos primeras rectas (queda como ejercicio para el lector), luego C1 , C2 , C3 ∈ L. Supongamos, rec´ıprocamente, que existe una recta L que contiene a C1 , C2 , C3 . Fijamos ahora P ∈ L \ {C1 , C2 , C3 }. Como antes, existir´a una curva D = V (λF + µG) que pase por P . Entonces la c´ ubica D y la recta L comparten los cuatro puntos C1 , C2 , C3 , P . El Teorema d´ebil de B´ezout implica que D y L tienen una componente com´ un, es decir, L ⊂ D y por tanto D = L ∪ C, donde C es una c´onica. El resultado se concluye si demostramos que ning´ un Ai o Bi est´ a en la recta L. En efecto, si por ejemplo A1 ∈ L, la recta L ser´ıa la recta A1 C2 (que contiene a B3 ) y tambi´en la recta A1 C3 (que contiene a B2 ); esto dar´ıa el absurdo de que A1 , B2 , B3 est´an alineados, en contra de nuestra hip´otesis. Una consecuencia inmediata del Teorema 3.1 son los siguiente resultados cl´asicos: Corolario 3.2 (Teorema de Pascal). Dada una c´onica irreducible C ⊂ P2 y seis puntos diferentes suyos A1 , A2 , A3 , B1 , B2 , B3 , entonces los puntos C1 = A2 B3 ∩ A3 B2 21

C2 = A1 B3 ∩ A3 B1 C3 = A1 B2 ∩ A2 B1 . est´an alineados. Corolario 3.3 (Teorema de Pappus). Dadas dos rectas distintas L1 , L2 y puntos distintos A1 , A2 , A3 ∈ L1 y B1 , B2 , B3 ∈ L2 (ninguno de ellos el punto de intersecci´on de L1 y L2 ), los puntos C1 = A2 B3 ∩ A3 B2 C2 = A1 B3 ∩ A3 B1 C3 = A1 B2 ∩ A2 B1 . est´an alineados. La clave de la demostraci´ on del Teorema 3.1 ha sido el hacer combinaciones lineales de dos ecuaciones, lo que al lector le habr´a recordado los haces de rectas o de c´onicas. En cambio, en este caso, al ser las ecuaciones de grado tres, se trata de un haz de c´ ubicas. Es a este tipo de conceptos al que vamos a dedicar la secci´on. Observamos en primer lugar que cada curva de grado d tiene una ecuaci´on minimal que es un elemento del espacio vectorial Vd de polinomios homog´eneos de grado d en k[X0 , X1 , X2 ]. La ecuaci´ on minimal es u ´nica salvo multiplicaci´on por constante, luego en realidad a cada curva de grado d le podemos asociar de forma u ´nica un punto del espacio proyectivo P(Vd ), que en adelante denotaremos como Pd . N´otese que, en cambio, no todo elemento de Pd corresponde a una ecuaci´on minimal de una curva, puesto que Pd contiene tambi´en clases de ecuaciones no minimales, es decir, polinomios en Vd con factores m´ ultiples. A estos nuevos objetos los llamaremos curvas no reducidas (por ejemplo, las curvas reducidas en P2 son lo que en Geometr´ıa Proyectiva se suele llamar rectas dobles, es decir, la ecuaci´ on de una recta al cuadrado). En toda esta secci´on hablaremos de curva de grado d en este sentido m´ as general de ecuaci´on de grado d, no necesariamente reducida (y definido m´ odulo multiplicaci´ on por constante). Por tanto, podemos ya identificar Pd con el conjunto de todas las curvas de grado d (reducidas o no) de P2k . Lema 3.4. El espacio vectorial Vd de los polinomio homog´eneos de grado d en las variables
X0 , X1 , X2 tiene dimensi´ on d+2 on d(d+3) . 2 , y el espacio projectivo Pd tiene dimensi´ 2 Demostraci´ on: Una base de Vd son los monomios de grado d en las variables X0 , X1 , X2 , as´ı
que todo el Lema es equivalente a demostrar que el n´ umero de tales monomios es d+2 2 . Un monomio de grado d viene dado por un producto Xi1 . . . Xid , donde i1 , . . . , id ∈ {0, 1, 2}. 22

Como el orden del producto no importa, hay tantos monomios como combinaciones con repetici´on de los tres elementos 0, 1, 2 tomados de d en d, y ese n´ umero es bien sabido(∗)



d+2 d+2 d+2 . que es d+2 = . Por tanto, dim(V ) = , y dim(P ) = − 1 = d(d+3) d d d 2 2 2 2

Observaci´ on 3.5. Con la notaci´on anterior, tomando el sistema de referencia de Pd aso-ciado a la base de Vd dada por los monomios de grado d, las coordenadas homog´eneas de una curva de grado d, vista como un punto de Pd , no son otra cosa que los coeficientes de la ecuaci´ on correspondiente de grado d. Ejemplo 3.6. Si d = 2, entonces P2 tiene dimensi´on 5, y sus elementos son c´onicas “de verdad” (es decir, o no degeneradas o pares de rectas) o bien rectas dobles. Si ponemos coordenadas, la ecuaci´ on de una c´onica es de la forma u00 X02 + u01 X0 X1 + u02 X0 X2 + u11 X12 + u12 X1 X2 + u22 X22 , luego el correspondiente punto de P2 ser´a (u00 : u01 : u02 : u11 : u12 : u22 ). Obs´ervese que, dentro de P2 , las rectas dobles (es decir, las c´onicas nuevas que hemos tenido que admitir) corresponden a puntos (u00 : u01 : u02 : u11 : u12 : u22 ) tales que la matriz   u00 12 u01 21 u02  1 u01 u11 1 u12  2 2 1 1 u u u22 02 12 2 2 tiene rango uno. Tal condici´ on est´a carcterizada por el anulamiento de los menores de orden dos de la matriz, que son polinomios homog´eneos de grado dos en las coordenadas de P2 . Aunque est´ a fuera del alcance de estas notas, para d arbitrario se tiene un resultado an´alogo: el conjunto de puntos de Pd que corresponden a ecuaciones no minimales est´ a caracterizado por la anulaci´ on de polinomios homog´eneos en las coordenadas de Pd (un conjunto de un espacio proyectivo definido de esa forma, es decir, mediante la anulaci´ on de polinomios homog´eneos, es lo que se llama un conjunto proyectivo, y generaliza la noci´ on de curva algebraica; dedicaremos la secci´on 10 a esbozar una introducci´on a esta teor´ıa). Lo mismo ocurre, por ejemplo, si queremos estudiar el conjunto de curvas reducibles (o curvas singulares, que estudiaremos m´as adelante), que en el caso d = 2 vienen caracterizadas porque la matriz anterior es degenerada; dicha condici´on se expresa mediante la anulaci´on del determinante, que es ahora un polinomio homog´eneo de grado tres. Sin (∗)

Una forma r´ apida de recordar que las combinaciones con repetici´on de m elementos
tomados de d en d es m+d−1 es asociar a cada elecci´on 1 ≤ i1 ≤ i2 ≤ . . . ≤ id ≤ m de d d n´ umeros entre 1, . . . , m la elecci´ on 1 ≤ i1 < i2 + 1 < . . . < id + d − 1 ≤ m + d − 1 de d n´ umeros distintos entre 1, . . . , m + d − 1. Esto da una biyecci´on entre las combinaciones con repetici´ on de m elementos tomados de d en d y las combinaciones sin repetici´ on de
m+d−1 m + d − 1 elementos tomados de d en d, que son . d 23

embargo, los subconjuntos de Pd que vamos a considerar en esta secci´on son los m´as sencillos posibles: aqu´ellos definidos por ecuaciones homog´eneas de grado uno, es decir, los subespacios lineales de Pd . Proposici´ on 3.7. El conjunto de curvas de grado d que pasan por un punto de P2k es un hiperplano de Pd . Por tanto, el conjunto de curvas de grado d que pasan por r puntos distintos de P2k es un subespacio lineal de Pd de dimensi´on al menos d(d+3) − r. En 2 d(d+3) 2 particular, por r ≤ 2 puntos de Pk pasa alguna curva de grado d. Demostraci´ on: Una curva de grado d viene dada por un polinomio de la forma ud,0,0 X0d + ud−1,1,0 X0d−1 X1 + ud−1,0,1 X0d−1 X2 + . . . + u00d X2d (por simplicidad, no usamos ahora la notaci´on del ejemplo 3.6, sino que ponemos s´ olo i j k tres sub´ındices a los coeficientes uijk , indicando que es el coeficiente de X0 X1 X2 ). Por la Observaci´on 3.5, las coordenadas homog´eneas de tal curva son(ud,0,0 : ud−1,1,0 : ud−1,0,1 : d(d+3) 2

. . . : u00d ) ∈ Pk

. Entonces, fijado un punto a = (a0 : a1 : a2 ) ∈ P2k , el subconjunto d(d+3)

de curvas de grado d que pasan por a son los puntos de Pk 2 que satisfacen la ecuaci´ on d−1 d−1 d d a0 Ud,0,0 + a0 a1 Ud−1,1,0 + a0 a2 Ud−1,0,1 + . . . + a2 U00d = 0, que es un hiperplano. Definici´ on. Se llama sistema lineal de curvas a un subespacio proyectivo de alg´ un Pd . Observaci´ on 3.8. Si d > 1, no todos los sistemas lineales de curvas de grado d son conjuntos de curvas que pasan por unos puntos dados. Por ejemplo, el conjunto de c´ onicas 2 2 2 de ecuaci´on t0 X0 + t1 X1 + t2 X2 no tiene ning´ un punto en com´ un, luego no puede ser de esa forma. Definici´ on. Se llama punto base de un sistema lineal a un punto que est´a en todas las curvas del sistema. Se llama lugar base de un sistema lineal al conjunto de sus puntos base. Observaci´ on 3.9. En general uno se espera que el lugar base de un sistema lineal “grande” sea vac´ıo. Por ejemplo, dado un sistema lineal Λ, si consideramos dos curvas de Λ de ecuaciones respectivas F y G, los puntos base de Λ estar´an en la intersecci´on de V (F ) y V (G), que ya sabemos que es un conjunto finito si F y G no tienen factores comunes. Por tanto, lo esperado ser´ıa que otra tercera curva de Λ no pasara ya por ninguno de esos puntos (es exactamente lo que ocurre en el ejemplo de la Observaci´on 3.8, en que las curvas de ecuaciones X02 , X12 y X22 no tienen puntos en com´ un). Cabe observar, sin embargo, que si tomamos esa tercera curva con ecuaci´on de la forma t0 F + t1 G, entonces s´ı que pasa por los puntos de V (F ) ∩ V (G). Obs´ervese que las curvas de ecuaci´on t0 F + t1 G forman una recta en Pd (precisamente la recta generada por los puntos que corresponden a las curvas 24

de ecuaci´on F y G). Por tanto, en un sistema lineal de dimensi´on uno s´ı que hay puntos base, y lo esperado es que sean d2 puntos (contados con multiplicidad). Es para sistemas lineales de dimensi´ on mayor en que lo esperado es no tener puntos base (por ejemplo, el sistema de la Observaci´ on 3.8 tiene dimensi´on dos). Definici´ on. Se llama haz de curvas a un sistema lineal de dimensi´on uno. Lema 3.10. Sea Λ un sistema lineal de curvas que tiene dimensi´on al menos uno. Entonces son equivalentes (i) Λ es un haz ´nica curva de Λ que pase por a. (iii) Existe un punto a ∈ P2k tal que hay una u (ii) Existen dos puntos a, a0 ∈ P2k tales que no hay ninguna curva de Λ que pase al mismo tiempo por a y a0 . Demostraci´ on: Veamos c´ıclicamente las implicaciones. (i) ⇒ (ii): Tomando un punto a que no est´e en alguna curva de Λ, se tendr´a que Λ no est´a en el hiperplano Ha ⊂ Pd de las curvas de grado d que pasan por a. Por tanto, la intersecci´on en Pd de la recta Λ con el hiperplano Ha es un punto, es decir, existe una u ´nica curva de Λ que pasa por a. (ii) ⇒ (iii): Sea a ∈ P2k tal que hay una u ´nica curva C de Λ que pase por a. Tomando 0 a ∈ / C no habr´ a ninguna curva de Λ que pase al mismo tiempo por a y a0 . (iii) ⇒ (i): Si Λ no fuera un haz, entonces dim Λ ≥ 2, luego para todo a, a0 ∈ P2k la intersecci´on en Pd de Λ con los hiperplanos Ha y Ha0 tiene dimensi´on al menos cero, con lo que tal intersecci´ on es siempre no vac´ıa, lo que contradice (iii). Obs´ervese que, si d = 2, el n´ umero esperado de puntos del lugar base de un haz de c´onicas es cuatro (v´ease Observaci´on 3.9), y que por otro lado lo esperado es que las c´onicas que pasan por cuatro puntos formen un haz (v´ease Proposici´on 3.7). Estudiemos con precisi´on cu´ ando cuatro puntos determinan un haz. Teorema 3.11. El sistema lineal de c´onicas que pasan por cuatro puntos es un haz si y s´ olo si los cuatro puntos no est´ an alineados. Demostraci´ on: Sean a1 , a2 , a3 , a4 los cuatro puntos y llamemos Λ al sistema lineal de c´onicas que pasan por a1 , a2 , a3 , a4 . Por la Proposici´on 3.7, el sistema lineal Λ tiene dimensi´on al menos uno, luego por el Lema 3.10 ser´a un haz si y s´olo si existe a ∈ P2 por el que pasa una u ´nica c´ onica de Λ. Demostraremos el resultado seg´ un la posici´on relativa de a1 , a2 , a3 , a4 : 25

–Si a1 , a2 , a3 , a4 est´ an alineados en una recta L, entonces una c´onica de Λ consiste en la uni´on de L con otra recta. En particular, dados cualquier a ∈ P2 , la uni´on de L y una recta que pase por a es es una c´ onica de Λ. Como hay infinitas de ellas, Λ no es un haz. –Si hay tres puntos, por ejemplo a1 , a2 , a3 , en una recta L, entonces cualquier c´ onica 2 de Λ debe ser la uni´ on de L y otra recta que pase por a4 . Por tanto, fijando a ∈ Pk que no est´e en L ni sea a4 , existe una u ´nica c´onica de Λ que pasa por a (concretamente la uni´ on de L con la recta generada por a y a4 ), luego Λ es un haz. –Si en a1 , a2 , a3 , a4 no hay tres puntos alineados, fijamos a alineado con a1 , a2 (y distinto de ellos). Entonces, es evidente que s´olo hay una c´onica de Λ que pasa por a, que es la uni´on de las rectas a1 a2 y a3 a4 , con lo que se concluye que Λ es un haz. Corolario 3.12. Existe una u ´nica c´onica que pasa por cinco puntos si y s´olo si no hay ninguna recta que contenga cuatro de los puntos. Adem´as, en tal caso, la c´onica es irreducible si y s´ olo si no hay ninguna recta que contenga a tres de los puntos. Demostraci´ on: Basta ir estudiando las distintas posiciones relativas de los puntos: –Si existe una recta L que pasa por cuatro de los puntos, la uni´on de L y cualquier recta que pase por el quinto punto es una c´onica que pasa por los cinco puntos, y hay infinitas de ellas. –Si hubiera tres puntos alineados pero no cuatro, claramente la recta que contiene los tres puntos tiene que formar parte de cualquier c´onica que pase por los cinco puntos. Como los otros dos puntos no pueden estar en esa recta, la u ´nica c´onica que pasa por los cinco puntos es la uni´ on de la recta que pasa por tres de ellos y la recta que une los otros dos puntos restantes. –Si no hay tres puntos alineados entre los cinco, ya sabemos por el Teorema 3.11 que el sistema lineal de c´ onicas que pasan por cuatro de los puntos es un haz Λ. Una de tales c´ onicas es un par de rectas, una que pase por dos de los cuatro puntos y otra por los otros dos. Por hip´ otesis, tal c´onica no pasa por el quinto punto, luego Λ no est´ a contenido en el hiperplano de P2 dado por las c´onicas que pasan por el quinto punto. Por tanto, el conjunto de las c´ onicas que pasan por los cinco puntos, que es la intersecci´ on de Λ con tal hiperplano, consiste en un solo punto, es decir, s´olo hay una c´onica que pase por los cinco puntos. Adem´ as, la c´onica es irreducible, pues si fuera la uni´on de dos rectas necesariamente habr´ıa tres puntos alineados.

Observaci´ on 3.13. La demostraci´on anterior nos da tambi´en un modo pr´actico para calcular la u ´nica c´ onica que pasa por cinco puntos. Obviamente, el u ´nico caso interesante es cuando no hay tres puntos alineados. Supongamos, por ejempo, que tenemos los puntos 26

(1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1), (1 : 1 : 1), (1 : 2 : 3). Tomando dos pares de rectas podemos generar el haz de las c´ onicas que pasan por los cuatro primeros puntos. Por ejemplo, X2 (X0 − X1 ) y X1 (X0 − X2 ) son ecuaciones de dos c´onicas que pasan por (1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1), (1 : 1 : 1). Como las c´onicas por esos cuatro puntos forman un haz, necesariamente son de ecuaci´ on t0 X2 (X0 − X1 ) + t1 X1 (X0 − X2 ). Para que pase por el quinto punto (1 : 2 : 3) debe ser −3t0 − 4t1 = 0, luego (t0 : t1 ) = (4 : −3), y la c´ onica buscada tiene ecuaci´on 4X2 (X0 − X1 ) − 3X1 (X0 − X2 ), es decir, −3X0 X1 + 4X0 X2 − X1 X2 . Para d = 3 (y en general para d ≥ 3), los n´ umeros no funcionan tan bien como para c´onicas. En efecto, el n´ umero esperado de puntos base de un haz de c´ ubicas es nueve; por contra, el sistema lineal de c´ ubicas que pasan por nueve puntos tiene dimensi´on esperada cero (es decir, nos esperamos s´ olo una), mientras que para obtener un haz lo esperable ser´ıa considerar conjuntos de c´ ubicas que pasan por ocho puntos. Veamos en primer lugar cu´ando tal conjunto es un haz. Teorema 3.14. El sistema lineal de c´ ubicas que pasan por ocho puntos es un haz si y s´ olo si no est´ an todos en una c´ onica o cinco en una recta. Demostraci´ on: Llamando a1 , . . . , a8 a los puntos y Λ al sistema lineal de c´ ubicas que pasan por a1 , . . . , a8 , por la Proposici´ on 3.7 tal sistema tendr´a dimensi´on al menos uno. Usando el Lema 3.10, el sistema Λ es un haz si y s´olo si existe a ∈ P2k por el que pasa una u ´nica c´ ubica de Λ. Iremos distinguiendo casos: –Si a1 , . . . , a8 est´ an en una misma c´onica C, entonces para cada a ∈ P2k la uni´ on de C y cuaquier recta que pase por a es una c´ ubica de Λ que pasa por a1 y a2 , luego Λ no es un haz. –Si hay cinco puntos, por ejemplo a1 , . . . , a5 , en una recta L, para cada puntos a ∈ P2k , por la Proposici´ on 3.7 existe un sistema de dimensi´on al menos uno de c´onicas que pasan por a6 , a7 , a8 , a, y la uni´ on de cualquiera de esa c´onicas y L es una c´ ubica de Λ que pasa por a, luego Λ no es un haz. Podemos suponer entonces para los siguientes casos que no hay ninguna c´onica que contenga a los puntos a1 , . . . , a8 ni ninguna recta que contenga cinco de ellos y hay que ver en todos los casos que existe a ∈ P2k por el que pasa una u ´nica c´ ubica de Λ. –Si hay una recta L que pasa por cuatro de los puntos a1 , . . . , a8 , por ejemplo por a1 , . . . , a4 , entonces las c´ ubicas de Λ son exactamente las que son uni´on de L y una c´ onica que pase por a5 , . . . , a8 . Como a5 , . . . , a8 no pueden estar en una recta (pues la uni´on de L y dicha recta ser´ıa una c´ onica que contiene a a1 , . . . , a8 ), entonces el Teorema 3.11 implica 27

que las c´onicas que pasan por a5 , . . . , a8 forman un haz. Tomando a fuera de L y de alguna de las c´onicas del haz, existir´ a una u ´nica c´onica C del haz que pase por a. Entonces, hay una u ´nica c´ ubica de Λ que pase por a, concretamente la uni´on de L y C, luego Λ es un haz en este caso. –Si hay tres puntos entre a1 , . . . , a8 en una recta pero no hay cuatro alineados, sea L la recta que contiene esos tres puntos, que supondremos que son a1 , a2 , a3 . Como los otros cinco puntos a4 , . . . , a8 no contienen cuatro alineados, s´olo hay una c´onica C que pasa por ellos, por el Corolario 3.12. Por tanto, fijando un punto a de L distinto de a1 , a2 , a3 , las c´ ubicas de Λ que pasan por a contienen necesariamente a L, luego deben ser L m´ as una c´onica que pase por a4 , . . . , a8 , que es necesariamente C. La unicidad de esta c´ ubica demuestra que Λ es un haz. Podemos suponer entonces para los casos restantes que no hay tres puntos alineados entre los ocho puntos. Obs´ervese que entonces cualquier c´onica que contenga al menos cinco puntos de a1 , . . . , a8 es necesariamente irreducible. Seguimos distinguiendo casos: –Si hay una c´ onica C que contiene siete de los ocho puntos, por ejemplo a1 , . . . , a7 , entonces cualquier c´ ubica de Λ es la uni´on de C con una recta que pasa por a8 , tomando a fuera de C distinto de a8 , la u ´nica c´ ubica de Λ que pasa por a es la uni´on de C y la recta aa8 , de lo que se concluye que Λ es un haz. –Si hay una c´ onica C que contiene seis de los ocho puntos, por ejemplo a1 , . . . , a6 , tomamos un punto a ∈ C distinto de a1 , . . . , a6 . Entonces, una c´ ubica de Λ que pase por a es necesariamente la c´ onica C m´ as la recta a7 a8 . Esto demuestra que Λ tambi´en es un haz en este caso. –Finalmente, supongamos que tenemos una c´onica C que pasa por a1 , . . . , a5 pero no por a6 , a7 , a8 . Para este caso usaremos la parte (iii) del Lema 3.10. Tomamos entonces a, a0 ∈ C distintos de a1 , . . . , a5 , y si existiera una c´ ubica de Λ que pasara por a, a0 ser´ıa necesariamente la uni´ on de C y una recta. Pero tal recta deber´ıa contener a a6 , a7 , a8 , lo que es absurdo porque no pod´ıan estar alineados. Por tanto, no existe tal c´ ubica y Λ es un haz. El siguiente resultado nos explica que, para recuperar un haz de c´ ubicas a partir de los nueve puntos base esperados, nos sobra uno de los nueve puntos. Corolario 3.15. Si C es una c´ ubica irreducible, entonces el sistema lineal de c´ ubicas por ocho puntos distintos de C es un haz. En particular, si otra c´ ubica D corta a C en nueve puntos distintos, entonces cualquier c´ ubica que pase por ocho de los nueve puntos pasa tambi´en por el noveno. Demostraci´ on: Basta demostrar que el sistema de c´ ubicas que pasan por ocho de los nueve puntos es un haz, porque entonces tales c´ ubicas tendr´an como ecuaci´on una combinaci´ on 28

de las ecuaciones de C y D, luego se anular´an en los nueve puntos de intersecci´on de C y D. Pero eso es inmediato por el Teorema 3.14, ya que, al ser C irreducible, no puede cortar a una recta en m´ as de tres puntos ni a una c´onica en m´as de seis puntos.

Observaci´ on 3.16. El resultado anterior nos muestra que no podemos aspirar a un resultado como el Corolario 3.12. En efecto, dados nueve puntos distintos a1 , . . . , a9 , si queremos caracterizar cu´ ando determinan una u ´nica c´ ubica, podr´ıamos proceder como en la demostraci´ on del corolario. En el caso en que no haya ni ocho puntos en una c´ onica ni cinco en una recta, el Teorema 3.14 nos permitir´ıa decir que el conjunto Λ de c´ ubicas que pasan por a1 , . . . , a8 es un haz. Sin embargo, a diferencia de la demostraci´ on del Corolario 3.12, no podemos garantizar que haya una c´ ubica de Λ que no pase por a9 , ya que podr´ıamos encontrarnos con la situaci´on del Corolario 3.15. Por tanto, necesitar´ıamos imponer tambi´en la condici´ on de que a1 , . . . , a9 no sean la intersecci´on de dos c´ ubicas, pero eso es b´asicamente poner como hip´otesis lo que queremos probar.

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4. Curvas parametrizadas Mientras que en Geometr´ıa Diferencial es m´as f´acil trabajar con curvas parametrizadas, en Geometr´ıa Algebraica la situaci´on es m´as complicada, ya que en general una curva definida por un polinomio no tiene por qu´e poder parametrizarse por polinomios, ni incluso por cocientes de polinomios. En caso de posible parametrizaci´on, veremos que el caso de curvas proyectivas es siempre mejor, ya que no hacen falta denominadores. Empezamos ilustrando este hecho con un ejemplo Ejemplo 4.1. Retomemos el Ejemplo 2.4. Hab´ıamos visto que el conjunto de puntos  t t C= ( , ) | t ∈ k \ {−1, 1} t+1 t−1 era la curva V (2XY − X − Y ) menos el punto (1, 1). Una primera cosa que podemos hacer es, como dec´ıamos antes, quitar denominadores a base de ver la curva en el plano proyectivo. Efectivamente, como (1 :


t t : ) = (t + 1)(t − 1) : t(t − 1) : t(t + 1) , t+1 t−1

ya tenemos puntos incluso cuando t = 1, −1. En efecto, si t = 1 obtenemos el punto (0 : 0 : 1), mientras que para t = −1 obtenemos el punto (0 : 1 : 0), que son precisamente los puntos del infinito de V (2X1 X2 − X0 X1 − X0 X2 ), completado proyectivo de V (2XY − X − Y ). Seguimos teniendo el problema de que el punto (1 : 1 : 1) del completado proyectivo no se obtiene para ning´ un valor de t. Dado que ese punto parec´ıa corresponder al valor infinito del par´ametro t, vamos a intentar formalizar esto. Para eso, vemos t como un punto de A1k , y a˜ nadimos a la recta af´ın su punto del infinito vi´endola dentro de P1k . Esto quiere decir que un punto (t0 : t1 ) ∈ P1k se ve como el par´ametro t = tt10 . Por tanto, la parametrizaci´ on queda, quitando denominadores, como (


t1 t1 t1 t1 t1 t1 + 1)( − 1) : ( − 1) : ( + 1) = (t21 − t20 : t21 − t0 t1 : t21 + t0 t1 ), t0 t0 t0 t0 t0 t0

y ahora para el punto del infinito (t0 : t1 ) = (0 : 1) se obtiene efectivamente el punto (1 : 1 : 1). Veamos ahora qu´e tipo de parametrizaci´on como la anterior tiene sentido. Si queremos que sea polinomial, parece razonable que los polinomios sean homog´eneos. Si tomamos A0 , A1 , A2 ∈ k[T0 , T1 ] homog´eneos de grados respectivos d0 , d1 , d2 , y queremos definir ϕA0 ,A1 ,A2

P1k −→ (t0 : t1 ) 7→

P2k (A0 (t0 , t1 ) : A1 (t0 , t1 ) : A2 (t0 , t1 )) 30

en principio no est´ a bien definida, porque si cambiamos el representante, entonces la imagen de (λt0 : λt1 ) ser´ıa (λd0 A0 (t0 , t1 ) : λd1 A1 (t0 , t1 ) : λd2 A2 (t0 , t1 )), que en principio ser´ a distinto de (A0 (t0 , t1 ) : A1 (t0 , t1 ) : A2 (t0 , t1 )), a no ser que d0 = d1 = d2 . Por tanto, a partir de ahora consideraremos polinomios homog´eneos A0 , A1 , A2 del mismo grado d. Adem´as, para que la imagen de un punto (t0 : t1 ) tenga sentido necesitaremos que los tres polinomios no se anulen nunca a la vez en ning´ un (t0 : t1 ), es decir, que t1 T0 − t0 T1 no divida simult´ aneamente a A0 , A1 , A2 . Para ello, supondremos siempre que A0 , A1 , A2 no tienen factores comunes. Estudiemos los casos de grado peque˜ no. Ejemplo 4.2. Si A0 , A1 , A2 tienen grado uno, entonces no pueden ser todos proporcionales entre s´ı, pues en tal caso todos se anular´ıan en el mismo punto. Por tanto, si escribimos A0= a0 T0 + b0 T1 , A1 = a1 T0 + b1 T1 , A2 = a2 T0 + b2 T1 , entonces se tiene que  a0 a1 a2 tiene rango dos, luego la imagen de ϕA0 ,A1 ,A2 es precisamente la recta genb0 b1 b2 erada por los puntos (a0 : a1 : a2 ) y (b0 : b1 : b2 ). Recuperamos entonces la parametrizaci´ on habitual de una recta proyectiva. N´otese que se pod´ıa haber razonado tambi´en del siguiente modo: dentro del espacio vectorial de dimensi´on dos de los polinomios de grado uno en k[T0 , T1 ], los elementos A0 , A1 , A2 son un sistema de generadores y satisfacen una relaci´ on de dependencia lineal no trivial de la forma λ0 A0 + λ1 A1 + λ2 A2 = 0, luego la imagen de ϕA0 ,A1 ,A2 est´ a contenida en la recta V (λ0 X0 + λ1 X1 + λ2 X2 ), y no es dif´ıcil comprobar que en realidad se tiene la igualdad. Ejemplo 4.3. Supongamos ahora que A0 , A1 , A2 son homog´eneos de grado dos. Retomando el u ´ltimo argumento del ejemplo anterior, distinguimos dos casos: –Si A0 , A1 , A2 generan todo el espacio vectorial (de dimensi´on tres) de los polinomios homog´eneos de grado dos en k[T0 , T1 ], entonces la imagen de ϕA0 ,A1 ,A2 son los puntos de la forma    2  X0 t0  X1  = P  t0 t1  X2 t21 donde las filas de P son los coeficientes de A0 , A1 , A2 , y por hip´otesis det(P ) 6= 0. Por tanto, haciendo el cambio    0 X0 X0  X1  = P  X10  X2 X20 la parametrizaci´ on en las nuevas coordenadas queda (X00 : X10 : X20 ) = (t20 : t0 t1 : t21 ), y el 2 Ejercicio 1.7 muestra que tales puntos son la c´onica V (X00 X20 − X10 ) o lo que es lo mismo (si estamos en caracter´ıstica distinta de dos), de ecuaci´on matricial.   0  0 0 −1 X0 ( X00 X10 X20 )  0 2 0   X10  = 0. −1 0 0 X20 31

Por tanto, en las coordenadas iniciales, la imagen matricial  0 0 ( X0 X1 X2 ) (P −1 )t  0 2 −1 0

de ϕA0 ,A1 ,A2 ser´a la c´onica de ecuaci´ on    −1 X0 0  P −1  X1  = 0. 0 X2 2

Adem´as, como toda c´ onica irreducible es proyectivamente equivalente a V (X00 X20 − X10 ), se concluye que las im´ agenes de todas las ϕA0 ,A1 ,A2 son exactamente todas las c´ onicas 2 irreducibles de Pk . –Si A0 , A1 , A2 generan un subespacio de dimensi´on dos de polinomios, entonces satisfacen una relaci´ on de dependencia lineal, que por simplicidad supondremos que es de la forma A2 = λ0 A0 + λ1 A1 . Por tanto, en este caso la imagen de ϕA0 ,A1 ,A2 est´a contentida en la recta V (X2 − λ0 X0 − λ1 X1 ). En realidad, podemos descomponer ϕA0 ,A1 ,A2 de la siguiente forma: P1k (t0 : t1 )

−→ 7→

−→ P1k (A0 (t0 , t1 ) : A1 (t0 , t1 )) (t0 : t1 ) 7→

P2k (t0 : t1 : λ0 t0 + λ1 t1 )

Mientras la segunda aplicaci´ on es una parametrizaci´on “razonable” de la recta V (X2 − λ0 X0 − λ1 X1 ), la primera aplicaci´on no es inyectiva, ya que en general cada punto (s0 : s1 ) ∈ P1k tiene dos preim´ agenes (t0 : t1 ). En efecto, decir que la imagen de (t0 : t1 ) es (s0 : s1 ) quiere decir que los vectores (A0 (t0 , t1 ), A1 (t0 , t1 )) y (s0 , s1 ) son proporcionales, A0 (t0 , t1 ) A1 (t0 , t1 ) = 0, que es una ecuaci´on de grado dos en t0 , t1 , que en es decir, s0 s1 general se anula en dos puntos (t0 : t1 ) ∈ P1k . Por tanto, nuestra parametrizaci´on ϕA0 ,A1 ,A2 original consiste en “recorrer la recta dos veces”. En grado superior las cosas son m´as complicadas. Por ejemplo, los Ejercicios 1.8 y 1.9 nos dan dos comportamientos distintos de parametrizaciones de grado tres. Para entender mejor la situaci´ on general comenzaremos estudiando un poco m´as en detalle los polinomios homog´eneos en dos variables. La filosof´ıa general es que se comportan como los polinomios en una variable (ya vimos un primer indicio en el Teorema 1.12), aunque en general funcionan mejor en muchos aspectos. Empezamos con una definici´on inspirada en el Teorema 1.12. Definici´ on. Llamaremos ra´ız de un polinomio homog´eneo F ∈ k[T0 , T1 ] a cualquier punto de V (F ). Se llama multiplicidad de una ra´ız (t0 : t1 ) de F a la mayor potencia de t1 T0 −t0 T1 que divide a F . Cuando la multiplicidad es uno, diremos que se trata de una ra´ız simple, y en caso contrario diremos que es una ra´ız m´ ultiple Teorema 4.4. Si k es un cuerpo cuya caracter´ıstica no es un divisor de d, un polinomio F ∈ k[T0 , T1 ] tiene una ra´ız m´ ultiple (t0 : t1 ) ∈ P1k si y s´olo si (t0 : t1 ) es una ra´ız de F0 y F1 . 32

Demostraci´ on: Evidentemente, una ra´ız m´ ultiple (t0 : t1 ) de F es una ra´ız tanto de F0 como de F1 . Rec´ıprocamente, si (t0 : t1 ) es una ra´ız de F0 y F1 , por la identidad de Euler tendremos que dF (t0 , t1 ) = 0, luego nuestra hip´otesis sobre la caracter´ıstica implica que (t0 : t1 ) es una ra´ız de F . Por el Teorema 1.12(i) podremos escribir F = (t1 T0 − t0 T1 )G para cierto polinomio G ∈ k[T0 , T1 ], y basta ver que (t0 : t1 ) es una ra´ız de G. Eso es evidente derivando en la anterior igualdad respecto de T0 , T1 y evaluando en (t0 , t1 ), ya que obtenemos F0 (t0 , t1 ) = t1 G(t0 , t1 ) y F1 (t0 , t1 ) = −t0 G(t0 , t1 ). Como (t0 : t1 ) es una ra´ız de F0 y F1 y no se anulan a la vez t0 y t1 , se sigue el resultado. Ejemplo 4.5. Si tenemos un polinomio cuadr´atico F := aT12 + bT0 T1 + cT02 (lo escribimos de este modo para que sea el homogeneizado de aT 2 + bT + c), entonces tendr´a una ra´ız m´ ultiple si y s´ olo si F0 = bT1 +2cT0 y F1 = 2aT1 +bT0 tienen una ra´ız com´ un. Como son de grado uno, la u ´nica forma de compartir ra´ız es ser proporcionales, lo que es equivalente a la b 2c = b2 −4ac, que, como no pod´ıa ser de otra forma, es el discriminante anulaci´on de 2a b de aT 2 + bT + c. En general, el discriminante de un polinomio de una variable se suele definir como la resultante de un polinomio y su derivada. Sin embargo, la resultante de f (T ) = aT 2 + bT + c y f 0 (T ) = 2aT + b es −a(b2 − 4ac), que no es exactamente el discriminante. Esto en realidad es un indicio de que los polinomios homog´eneos funcionan mejor. De hecho, para ellos existe tambi´en la noci´on de resultante, que estudiamos a continuaci´on, y que veremos que tambi´en funciona mejor. Teorema 4.6. Sea A un dominio de factorizaci´on u ´nica. Entonces, dos polinomios F = d−1 e−1 d d e a0 T0 + a1 T0 T1 + . . . + ad T1 y G = b0 T0 + b1 T0 T1 + . . . + be T1e de A[T0 , T1 ] tienen un factor com´ un de grado positivo si y s´olo si Res(F, G) = 0, donde a0 0 0 Res(F, G) = b0 0 0

a1 a0

... ad . . . ad−1 .. .

0 ad

... b1 b0

0 ... ... .. .

a0 be−1 be−2

a1 be be−1

...

0

b0

b1

0 0

... ...

. . . ad−1 0 ... be 0 . . . .. . ...

be−1

0    0   e filas   ad  0   0  d filas    be

Demostraci´ on: Como el resultado es evidente si alguno de los polinomios es nulo (puesto que en tal caso cualquier polinomio se puede considerar factor suyo, y se tiene por otra parte que Res(F, G) = 0), supondremos que F y G son ambos no nulos. Dado que A[T0 , T1 ] es un dominio de factorizaci´ on u ´nica, es claro que F y G tienen un factor com´ un de grado 0 0 positivo si y s´ olo si existen polinomios F , G de grados respectivos menores que los de F 33

y G tales que F G0 = GF 0 . Multiplicando por ejemplo por una potencia de X0 , podemos suponer que F 0 tiene grado d − 1 y que G0 tiene grado e − 1. Entonces la existencia de F 0 y G0 es equivalente a la existencia de elementos c0 , c1 , . . . , cd−1 , d0 , d1 , . . . , de−1 ∈ A, no todos nulos, tales que (d0 T0e−1 + d1 T0e−2 T1 + . . . + de−1 T1e−1 )F = (c0 T0d−1 + c1 T0d−2 T1 + . . . + cd−1 T1d−1 )G. En otras palabras, el sistema homog´eneo en las variables c0 , c1 , . . . , cd−1 , d0 , d1 , . . . , de−1 (supondremos d ≥ e) a0 d0 a1 d0 .. .

−b0 c0 −b1 c0

+a0 d1

ae−1 d0 ae d0 ae+1 d0 .. .

+ae−2 d1 +ae−1 d1 +ae d1

... ... ...

+a0 de−1 +a1 de−1 +a2 de−1

ad−1 d0 ad d0

+ad−2 d1 +ad−1 d1 +ad d1

... ... ...

+ad−e de−1 +ad−e+1 de−1 +ad−e+2 de−1

−be−1 c0 −be c0

=0 =0

−b0 c1 −be−2 c1 −be−1 c1 −be c1

... ... ... ... ... ...

=0 =0 =0 −b0 cd−1 −b1 cd−1 −b2 cd−1

=0 =0 =0

−be cd−1

=0

.. . ad de−1

tiene soluci´ on no trivial. Obs´ervese que, quitando denominadores el que el sistema anterior tenga soluci´ on no trivial en elementos A es equivalente a que tenga soluci´on no trivial en ´ elementos del cuerpo de fracciones de A. Podemos usar entonces al Algebra Lineal para concluir que el sistema tiene soluci´on no trivial si y s´olo si el determinante de la matriz de coeficientes es cero. Pero, cambiando de signo las d u ´ltimas columnas de la matriz de coeficientes y trasponiendo, obtenemos exactamente la matriz que define Res(F, G), lo que demuestra el resultado. Definici´ on. Se llama resultante homog´enea de dos polinomios homog´eneos en dos variables F, G a la expresi´ on Res(F, G) del teorema anterior. Para distinguirla de la resultante como polinomios en alguna de las variables, seguiremos nuestra notaci´on ya habitual de usar may´ usculas para el caso homog´eneo. Se llama discriminante de un polinomio homog´eneo F en dos variables a Disc(F ) = Res(F0 , F1 ). Ejercicio 4.7. Demostrar, usando la definici´on como determinante del Teorema 4.6, las siguientes propiedades de la resultante homog´enea(∗) : (∗)

Los resultados que se piden aqu´ı son m´ as generales, y se basan en realidad en que, 34

(i) Si F, G son homog´eneos del mismo grado d, entonces 2

2

Res(F (λT0 , µT1 ), G(λT0 , µT1 )) = λd µd Res(F, G) [Indicaci´ on: Usar el mismo truco que en la demostraci´on del Teorema 2.6]. (ii) Si F, G son homog´eneos del mismo grado, entonces
Res F (T0 + λT1 , T1 ), G(T0 + λT1 , T1 ) = Res(F, G)
Res F (T0 , T1 + λT0 ), G(T0 , T1 + λT0 ) = Res(F, G) [Indicaci´ on: Escribir la expres´on determinantal de la resultante y manipular las columnas]. (iii) Usando los apartados anteriores, demostrar que, si F es un polinomio homog´eneo de grado d, entonces
Disc F (aT0 + bT1 , cT1 ) = (ac)d(d−1) Disc(F)
Disc F (aT0 , bT0 + cT1 ) = (ac)d(d−1) Disc(F). (iv) Deducir que, si F es un polinomio homog´eneo de grado d, entonces a Disc(F (a00 T0 + a01 T1 , a10 T0 + a11 T1 ) = 00 a10

d(d−1) a01 Disc(F) a11

[Indicaci´ el cambio de variable usando  on: Descomp´  ongase   una igualdad matricial a00 a11 −a01 a10 a00 a01 a01 1 0 a11 como = ]. a10 a10 a11 0 a11 1 a11 Teorema 4.8. Sean A0 , A1 , A2 ∈ k[T0 , T1 ] tres polinomios homog´eneos de grado d sin factores comunes. Entonces existe un polinomio F ∈ k[X0 , X1 , X2 ] homog´eneo de grado d tal que: (i) Res(X0 A1 − X1 A0 , X0 A2 − X2 A0 ) = X0d F Res(X0 A1 − X1 A0 , X1 A2 − X2 A1 ) = X1d F Res(X0 A2 − X2 A0 , X1 A2 − X2 A1 ) = X2d F como ocurre en el caso de resultantes cl´asicas, la resultante de F y G se puede calcular, salvo constante, como el producto G(a1 , b1 ) . . . G(ad , bd ), donde (a1 : b1 ), . . . , (ad : bd ) son las ra´ıces de F . De la misma forma, el discriminante de F es, salvo constante, el producto a bi de todos los posibles i aj bj 35

(donde las resultantes son resultantes homog´eneas como polinomios en T0 , T1 ).  (ii) (A0 (t0 , t1 ) : A1 (t0 , t1 ) : A2 (t0 , t1 )) ∈ P2k | (t0 : t1 ) ∈ P1k = V (F ) Demostraci´ on: Obs´ervese que existe una relaci´on X1 (X0 A2 − X2 A0 ) = X2 (X0 A1 − X1 A0 ) + X0 (X1 A2 − X2 A1 )

(∗)

Por tanto X1d Res(X0 A1 − X1 A0 , X0 A2 − X2 A0 ) = Res(X0 A1 − X1 A0 , X1 (X0 A2 − X2 A0 )) = = Res(X0 A1 − X1 A0 , X2 (X0 A1 − X1 A0 ) + X0 (X1 A2 − X2 A1 )) = = Res(X0 A1 − X1 A0 , X0 (X1 A2 − X2 A1 )) = X0d Res(X0 A1 − X1 A0 , X1 A2 − X2 A1 ) lo que implica la existencia de F (que en principio podr´ıa ser cero) tal que Res(X0 A1 − X1 A0 , X0 A2 − X2 A0 ) = X0d F Res(X0 A1 − X1 A0 , X1 A2 − X2 A1 ) = X1d F An´alogamente, X1d Res(X0 A2 − X2 A0 , X1 A2 − X2 A1 ) = Res(X1 (X0 A2 − X2 A0 ), X1 A2 − X2 A1 ) = = Res(X2 (X0 A1 − X1 A0 ) + X0 (X1 A2 − X2 A1 ), X1 A2 − X2 A1 ) = = Res(X2 (X0 A1 − X1 A0 ), X1 A2 − X2 A1 ) = = X2d Res(X0 A1 − X1 A0 , X1 A2 − X2 A1 ) = X2d X1d F lo que implica Res(X0 A2 − X2 A0 , X1 A2 − X2 A1 ) = X2d F y demuestra (i), salvo que F tenga grado d, que ser´a autom´atico cuando veamos que F no es nulo. Esto u ´ltimo lo dejamos hasta demostrar (ii). Veamos ahora (ii), es decir, que el conjunto C = {(A0 (t0 , t1 ) : A1 (t0 , t1 ) : A2 (t0 , t1 )) ∈ P2k | (t0 : t1 ) ∈ P1k } es la curva V (F ). En primer lugar, si (x0 : x1 : x2 ) est´a en C, eso quiere decir que existe alg´ un (t0 : t1 ) ∈ P1k tal que (x0 : x1 : x2 ) = (A0 (t0 , t1 ) : A1 (t0 , t1 ) : A2 (t0 , t1 )), es decir, la matriz   x0 x1 x2 M := A0 (t0 , t1 ) A1 (t0 , t1 ) A2 (t0 , t1 ) 36

tiene rango uno. Esto quiere decir que existe una ra´ız com´ un (t0 : t1 ) ∈ P1k de los polinomios x 0 A2 − x 2 A0 ,

x 0 A1 − x 1 A0 ,

x1 A2 − x2 A1

de k[T0 , T1 ]. Por tanto, sus resultante homog´eneas dos a dos son cero, y dichas resultantes consisten en sustituir X0 , X1 , X2 por x0 , x1 , x2 en las resultantes de (i) (aunque alguno de los tres polinomios fuera cero). Por tanto, se anulan todos los xdi F (x0 , x1 , x2 ). Como alg´ un xi debe ser distinto de cero, entonces necesariamente F (x0 , x1 , x2 ) = 0, luego est´ a en la curva V (F ). Rec´ıprocamente, sea (x0 : x1 : x2 ) ∈ V (F ), y veamos que est´a en C. Supongamos, por ejemplo, x0 6= 0 (siendo los otros casos sim´etricos). De (i) sabemos que entonces que, al sustituir X0 , X1 , X2 por x0 , x1 , x2 en Res(X0 A1 − X1 A0 , X0 A2 − X2 A0 ), se obtiene el valor cero. Esto implica que los polinomios x0 A1 − x1 A0 , x0 A2 − x2 A0 tienen alg´ un factor com´ un (o bien porque alguno de ellos es cero o bien porque la resultante de ambos polinomios es cero), y por tanto alguna ra´ız com´ un, ya que k es algebraicamente cerrado. 1 Si llamamos (t0 : t1 ) ∈ Pk a esa ra´ız com´ un, de (*) se sigue tambi´en que (t0 : t1 ) es tambi´en ra´ız de x1 A2 − x2 A1 , por lo que la matriz M anterior tiene rango uno y por tanto (x0 : x1 : x2 ) = (A0 (t0 , t1 ) : A1 (t0 , t1 ) : A2 (t0 , t1 )) (como A0 , A1 , A2 no tienen un factor com´ un, no se anulan los tres a la vez en (t0 : t1 )). Veamos finalmente que F no es nulo, es decir, que C no es todo P2k . En efecto, alg´ un Ai 6= 0, lo que quiere decir que s´ olo hay una cantidad finita de valores (t0 : t1 ) tales que Ai (t0 , t1 ) = 0. Por tanto, la intersecci´on de C con la recta V (Xi ) es un conjunto finito de puntos, por lo que C no puede ser todo P2k . Definici´ on. Una curva parametrizable es una curva como en el Teorema 4.8. Teorema 4.9. Toda curva parametrizable es irreducible. Demostraci´ on: Supongamos que podemos escribir  (A0 (t0 , t1 ) : A1 (t0 , t1 ) : A2 (t0 , t1 )) ∈ P2k | (t0 : t1 ) ∈ P1k = V (F ) ∪ V (G) Por tanto F (A0 (t0 , t1 ), A1 (t0 , t1 ), A2 (t0 , t1 )) · G(A0 (t0 , t1 ), A1 (t0 , t1 ), A2 (t0 , t1 )) = 0 para todo (t0 : t1 ) ∈ P1k , luego F (A0 (T0 , T1 ), A1 (T0 , T1 ), A2 (T0 , T1 )) · G(A0 (T0 , T1 ), A1 (T0 , T1 ), A2 (T0 , T1 )) = 0 como polinomios en k[T0 , T1 ] (por ser k infinito). Por tanto, alguno de los dos factores es cero. Si, por ejemplo F (A0 (T0 , T1 ), A1 (T0 , T1 ), A2 (T0 , T1 )) = 0, entonces necesariamente 

(A0 (t0 , t1 ) : A1 (t0 , t1 ) : A2 (t0 , t1 )) ∈ P2k | (t0 : t1 ) ∈ P1k ⊂ V (F ) 37

luego se da necesariamente la igualdad. Esto demuestra que la curva es o bien V (F ) o bien V (G), con lo que es irreducible El resultado anterior implica que, en el Teorema 4.8, el polinomio F que aparece es necesariamente la potencia de un polinomio irreducible. No siempre ocurre que el exponente es uno: Ejemplo 4.10. Veamos c´ omo funciona el Teorema 4.8 en los casos del Ejemplo 4.3. Si empezamos con la parametrizaci´on del Ejercicio 1.7, es decir, A0 = T02 , A1 = T0 T1 , A2 = T12 , entonces, por ejemplo, Res(X0 A1 − X1 A0 , X0 A2 − X2 A0 ) = X02 (X0 X2 − X12 ), con lo que obtenemos de nuevo la c´onica V (X0 X2 − X12 ). Si en cambio tomamos tres polinomios linealmente dependientes, como A0 = T02 , A1 = T12 , A2 = T02 + T12 , entonces Res(X0 A1 − X1 A0 , X0 A2 − X2 A0 ) = X02 (X0 + X1 − X2 )2 , con lo que obtenemos la recta V (X0 + X1 − X2 ). El exponente dos con que aparece la ecuaci´on indica que la recta est´ a recorrida dos veces. Las parametrizaciones homog´eneas explican un poco mejor las parametrizaciones afines, y por qu´e en este caso se suelen necesitar denominadores: Ejemplo 4.11. Retomemos la curva V (2XY − X − Y ) del Ejemplo 4.1. Ya hemos visto que su completado proyectivo V (2X1 X2 − X0 X1 − X0 X2 ) se pod´ıa parametrizar mediante (T12 −T02 : T12 −T0 T1 : T12 +T0 T1 ). Al deshomogeneizar respecto de X0 es cuando obtenemos denominadores, que se anulan precisamente para los valores (t0 : t1 ) = (1 : 1), (1 : −1), que dan los puntos del infinito de la curva, mientras que al deshomogeneizar el par´ametro respecto de T0 es cuando perdemos el punto (1, 1), que corresponde al valor infinito del par´ametro. Parece claro entonces que se puede mejorar la parametrizaci´on, haciendo corresponder al valor infinito del par´ametro un punto del infinito del par´ametro. Por ejemplo, podemos componer con nuestra parametrizaci´on cualquier proyectividad de P1k que mande (0 : 1) (el punto del infinito de la recta) a (1 : 1) (el valor del par´ametro que corresponde al punto del infinito (0 : 0 : 1)). Esto puede conseguirse, por ejemplo, con (t00 : t01 ) 7→ (t0 : t1 ) = (t00 + t01 : t01 ). Se obtiene as´ı una nueva parametrizaci´on
2 2 2 (t00 : t01 ) 7→ t01 − (t00 + t01 )2 : t01 − (t00 + t01 )t01 : t01 + (t00 + t01 )t01 = 2

2

= (−t00 − 2t00 t01 : −t00 t01 : t00 t01 + 2t01 ) que, deshomogeneizando tanto respecto de t00 como de X0 , produce una nueva parametrizaci´on de V (2XY − X − Y ) de la forma t0 , −t0 ). t 7→ ( 0 1 + 2t 0

38

Obs´ervese que siempre quedar´ a una parametrizaci´on con denominadores, ya que el valor infinito del par´ ametro s´ olo puede ir a uno de los dos puntos del infinito. En realidad, s´ olo se pueden parametrizar sin denominadores las curvas con un s´olo punto del infinito y de forma que por ese punto “se pase s´olo una vez” (el dar sentido a esta expresi´on ser´a uno de los objetivos fundamentales de este curso). Definici´ on. Sea ϕ : P1k → P2 una parametrizaci´on de una curva. Se llama reparametrizaci´ on de la curva, o bien parametrizaci´ on equivalente a toda parametrizaci´on de la forma ϕ ◦ ψ, donde ψ es una proyectividad de P1k . Observaci´ on 4.12. Para las curvas parametrizadas, es f´acil dar otra “demostraci´on” del Teorema de B´ezout. En efecto, si tenemos una parametrizaci´on ϕA0 ,A1 ,A2 de grado d que “s´olo da una vuelta” (es decir, que el polinomio F del Teorema 4.8 es de grado d), entonces, para cualquier G ∈ k[X0 .X1 X2 ] homog´eneo de grado e, el polinomio P (T0 , T1 ) := G(A0 , A1 , A2 ) ∈ k[T0 , T1 ] es homog´eneo de grado de (salvo que sea cero, lo que es equivalente a decir que G es divisible por F ). Por tanto, P tiene de soluciones contadas con su multiplicidad. Como cada ra´ız de P da un punto de la curva V (F ), la multiplicidad de intersecci´ on de V (F ) y V (G) en cada punto puede definirse como la suma de las multiplicidades de las ra´ıces que corresponden al punto (recu´erdese que la curva puede pasar varias veces por el mismo punto, es decir, que un mismo punto puede corresponder a varios valores del par´ ametro). Adem´ as, si reparametrizamos la curva, el nuevo polinomio P 0 consistir´a en aplicar a P el cambio de variable, por lo que los factores y sus multiplicidades ser´an los correpondientes transformados de P . Por tanto, esta noci´on de multiplicidad de intersecci´on es invariante por reparametrizaciones. Adem´as, es invariante por cambio de coordenadas. En efecto, si hacemos el cambio (X0 X1 X2 ) = (X00 X10 X20 )P , donde P es una matriz invertible de orden 3, la nueva parametrizaci´ on ser´ a (A00 A01 A02 ) := (A0 A1 A2 )P −1 y la nueva ecuaci´on de V (G) ser´ a 0 0 0 0 0 0 0 G (X0 , X1 , X2 ) := G((X0 X1 X2 )P ). Por tanto, para calcular las multiplicidades de intersecci´on hay que calcular
P 0 (T0 , T1 ) := G0 (A00 , A01 , A02 ) = G (A00 , A01 , A02 )P = G(A0 , A1 , A2 ) = P (T0 , T1 ) con lo que se obtiene el mismo polinomio. Evidentemente, dos parametrizaciones de grado uno de una recta son siempre equivalentes (ya que cada parametrizaci´on es una proyectividad de P1k en la recta). Del mismo modo, de un cl´ asico teorema de Chasles se deduce que dos parametrizaciones de grado dos de una c´onica irreducible son siempre equivalentes. En realidad, lo mismo es cierto para parametrizaciones de grado d de curvas irreducibles de grado d. Este u ´ltimo resultado permitir´ıa dar una definici´ on mucho m´as general de la que damos a continuaci´on (que es s´ olo para d = 1). 39

Definici´ on. Se llama multiplicidad de intersecci´ on de una recta L con una curva C en un punto a ∈ L ∩ V (F ) a la multiplicidad de la ra´ız (t0 : t1 ) de F (A0 , A1 , A2 ) ∈ k[T0 , T1 ], donde F es una ecuaci´ on minimal de C, ϕA0 ,A1 ,A2 es una parametrizaci´on de grado uno de L y ϕA0 ,A1 ,A2 (t0 : t1 ) = a. Denotaremos a tal multiplicidad multp (L, C). Aparte de no depender de cambios de coordenadas en el par´ametro o en el plano, tal multiplicidad se puede calcular con parametrizaciones afines, lo que nos ser´a muy u ´til en la secci´on siguiente.

40

5. Estudio local de puntos. Tangentes En esta secci´ on vamos a empezar a estudiar los distintos tipos de puntos que puede tener una curva. Lo primero que vamos a hacer es estudiar c´omo pueden ser las distintas rectas que pasan por el punto. Para ello, simplificaremos en primer lugar suponiendo que nuestra curva es af´ın y que el punto que queremos estudiar es el origen. Sea entonces f una ecuaci´ on minimal de una curva que pasa por (0, 0). Una recta que pase por (0, 0) tiene de ecuaci´ on impl´ıcita λX + µY = 0, y por tanto se puede parametrizar como (µt, −λt). Por tanto, la multiplicidad de intersecci´on de la recta y la curva en (0, 0) ser´a el n´ umero de veces que f (µT, −λT ) pueda dividirse por T (ya que es el valor t = 0 el que da el origen en la parametrizaci´on de la recta. Si escribimos la descomposici´ on en componentes homog´eneas de f (llamaremos r al menor natural tal que f tiene monomios de grado r): f = fr + . . . + fd tendremos entonces f (µt, −λt) = fr (µ, −λ)tr + . . . + fd (µ, −λ)td lo que indica que la multiplicidad de intersecci´on es al menos r, y que es mayor si y s´ olo si fr (µ, −λ) = 0, lo que ocurre si y s´ olo si (ver Teorema 1.12(i)) fr es divisible por la ecuaci´ on λX + µY de la recta. Definici´ on. Se llama multiplicidad de una curva C en un punto p al m´ınimo de las multiplicidades de intersecci´ on en p de C con las rectas que pasan por p. Denotaremos por multp C a tal multiplicidad. Se llama recta tangente a C en un punto p ∈ C a cualquier recta L tal que multp (L, C) > multp C. Llamaremos cono tangente a la curva C en el punto p ∈ C a la uni´ on de las rectas tangentes. Un punto singular de una curva C es un punto p ∈ C tal que multp C > 1, mientras que un punto regular o no singular o liso es un punto p ∈ C tal que multp C = 1. En este u ´ltimo caso existe una u ´nica recta tangente a C en p, que denotaremos por Tp C. Observaci´ on 5.1. N´ otese que la descomposici´on f = fr + . . . + fd es en realidad el desarrollo en serie de Taylor del polinomio f en p = (0, 0) (para eso hace falta que la caracter´ıstica del cuerpo sea mayor que el grado de f . Entonces la multiplicidad de C en p no es sino el m´ınimo r tal que alguna derivada de orden r de f no se anula en p. Adem´ as, la ecuaci´on del cono tangente es fr , y en particular, si el punto p es regular, la ecuaci´ on ∂f ∂f de la recta tangente es f1 = ∂X (p)X + ∂Y (p)Y . Si C es ahora una curva af´ın de ecuaci´ on minimal f y el punto que estudiamos no es el origen, sino un punto arbitrario p = (a, b), entonces basta hacer una traslaci´ on de vector (a, b) para obtener: 41

Proposici´ on 5.2. Sea C una curva af´ın de ecuaci´on minimal f . Entonces: ∂f ∂f (i) Un punto p ∈ C es un punto liso de C si y s´olo si el par ( ∂X (p), ∂Y (p)) no es ∂f ∂f id´enticamente nulo. En tal caso, la ecuaci´on de Tp C es ∂X (p)(X −a)+ ∂Y (p)(Y −b) = 0.

(ii) Si el grado de f es mayor que la caracter´ıstica del cuerpo la multiplicidad de C en un punto p = (a, b) es r si y s´ olo si r es el orden m´ınimo tal que alguna derivada de orden r de f en p no se anula. Demostraci´ on: Basta hacer una traslaci´on al origen y aplicar lo que hemos visto en la Observaci´ on 5.1. La condici´ on sobre la caracter´ıstica es porque, para calcular el t´ermino i-´esimo del desarrollo en serie de Taylor hay que dividir entre i!, que no tiene sentido si el cuerpo es de caracter´ıstica positiva y menor o igual que i. Para la parte (i) no hay ning´ un problema con la caracter´ıstica, ya que depende s´olo de la parte de grado uno del desarrollo en serie de Taylor. Observaci´ on 5.3. En el caso de caracter´ıstica peque˜ na, el criterio para estudiar la multiplicidad debe ser el de el grado de las componentes homog´eneas. Por ejemplo, si consideramos el polinomio f = X 2 + Y 3 con coeficientes en un cuerpo de caracter´ıstica ∂f ∂f dos, entonces ∂X = 0 y ∂Y = 3Y 2 = Y 2 . Por tanto, la curva V (f ) (que es irreducible por el Lema 2.16) tiene como u ´nico punto singular el punto (0, 0) y, como hemos visto, su multiplicidad es dos, ya que f tiene parte homog´enea de grado dos. Sin embargo, todas las parciales de orden dos (y por tanto, las sucesivas) son id´enticamente nulas. Lo mismo ocurrir´ a para la curva de ecuaci´on f = X 2 + Y 3 + Y 2 + Y . En este caso, ∂f ∂f 2 2 2 2 ´nico punto singular ∂X = 0 y ∂Y = 3Y +1 = Y +1 = (Y +1) = (Y −1) , que tiene como u el (1, 1) y todas las parciales de orden al menos dos son nulas. En este caso, haciendo el 2 3 cambio X = X 0 + 1, Y = Y 0 + 1, obtenemos la ecuaci´on anterior X 0 + Y 0 luego el punto singular, que en estas nuevas coordenadas es el origen, tiene multiplicidad dos. De hecho, deshaciendo el cambio de coordenadas, podemos escribirf = (X − 1)2 + (Y − 1)3 , que ser´ıa el desarrollo en serie de Taylor en el punto singular, pero que hay que calcularlo sin derivadas (ya que no podemos dividir entre 2! ni 3!, puesto que son cero). Estudiamos a continuaci´ on c´ omo estudiar la regularidad un punto de una curva proyectiva. Proposici´ on 5.4. Sea C ⊂ P2k una curva de ecuaci´on minimal F y a un punto de la curva. Entonces: (i) El punto a es singular de C si y s´olo si F0 (a) = F1 (a) = F2 (a) = 0. (ii) Si a es un punto regular de C, entonces la ecuaci´on de la recta tangente a C en a es F0 (a)X0 + F1 (a)X1 + F2 (a)X2 . 42

(iii) Si la caracter´ıstica de k es cero o mayor que el grado de C, el punto p tiene multiplicidad r en C si y s´ olo si todas las derivadas parciales de orden menor que r de F se anulan en p, pero alguna derivada parcial de orden r no se anula. Demostraci´ on: Supondremos, por simplicidad, que la coordenada a0 de a es distinta de cero, siendo sim´etricos los casos restantes. Entonces, la ecuaci´on minimal de C ∩ {X0 6= 0} es f (X, Y ) = F (1, X, Y ). Por tanto, decir que a es un punto no singular es equivalente ∂f a1 a2 ∂f a1 a2 a que ∂X ( a0 , a0 ) y ∂Y ( a0 , a0 ) no sean ambos nulos, es decir F1 (1, aa01 , aa02 ) y F2 (1, aa10 , aa02 ) no son ambos nulos, que es lo mismo que decir que F1 (a) y F2 (a) no son ambos nulos. Esto demuestra una implicaci´ on de (i). Para demostrar la otra, bastar´a ver que no puede ocurrir que F1 (a) y F2 (a) se anulen pero que no se anule F0 (a). En efecto, sustituyendo las variables por las coordenadas de a en la identidad de Euler dF = F0 X0 + F1 X1 + F2 X2 , tendremos (ya que F (a) = 0 por ser a un punto de C) que a0 F0 (a) = −a1 F1 (a) − a2 F2 (a), luego la anulaci´ on de F1 (a) y F2 (a) implica tambi´en la anulaci´on de F0 (a) cuando a0 6= 0. Para demostrar (ii), observamos que la ecuaci´on de la recta tangente en el plano af´ın {X0 6= 0} es ∂f a1 a2 ∂f (a)(X − ) + (a)(Y − ) = 0 ∂X a0 ∂Y a0 La ecuaci´on homog´enea de la recta ser´a, por tanto, F1 (a)(X1 −

a1 a2 X0 ) + F2 (a)(X2 − X0 ) = 0 a0 a0

2 F2 (a) que, como ya hemos observado antes, El coeficiente de X0 ser´ a, por tanto a1 F1 (a)+a −a0 es igual a F0 (a), lo que demuestra (ii).

Finalmente, para demostrar (iii) basta demostrar que es equivalente el anularse en a de todas las derivadas de orden menor o igual que s de F (1, X, Y ) al anularse de todas las derivadas de orden s de F en a. Lo haremos por inducci´on sobre s, siendo trivial el caso s = 0 (y en realidad el caso s = 1 lo hemos hecho separadamente en (i)). Supongamos por tanto que sabemos que el resultado es cierto para s − 1. Por una parte, si se anulan en a todas las derivadas parciales de orden s de F , aplicando la identidad de Euler a cada derivada parcial de orden s − 1 tenemos (d − s + 1)

=

∂sF

X + s−1−i−j 0

∂X0i+1 ∂X1j ∂X2

∂ s−1 F ∂X0i ∂X1j ∂X2s−1−i−j ∂sF

=

X + s−1−i−j 1

∂X0i ∂X1j+1 ∂X2

∂sF ∂X0i ∂X1j ∂X2s−i−j

X2

y usando la hip´ otesis sobre la caracter´ıstica, se sigue que se anula en a cada derivada ∂ s−1 F de orden s − 1 de F . Por tanto, por hip´otesis de inducci´on, se anulan ∂X i ∂X j ∂X s−1−i−j 0

1

2

43

en a todas las derivadas parciales de orden menor o igual que s − 1 de F (1, X, Y ). Por tanto, se anulan en a todas las derivadas de orden menor o igual que s de F (1, X, Y ) (las de orden s se obtienen inmediatamente de la anulaci´on de las correspondientes de F ). Rec´ıprocamente, si se anulan todas las derivadas de orden menor o igual que s de F (1, X, Y ), entonces en particular se anulan las de orden menor o igual que s − 1, y por hip´otesis de inducci´ on se anulan las derivadas parciales de orden s − 1 de F . Veamos ahora s F por inducci´ on sobre i que se anulan en a todas las derivadas ∂X i ∂X∂j ∂X s−i−j de orden s. 0

1

2

Si i = 0, es inmediato, por el hecho de que se anulan en a las derivadas parciales de orden s de F (1, X, Y ). Supongamos entonces i > 0 y que el resultado es cierto para i − 1 y ∂ s−1 F ve´amoslo para i. Aplicamos ahora la identidad de Euler a ∂X i−1 ∂X y tendremos j ∂X s−i−j 0

(d − s − 1) ∂sF

X + s−i−j 0

∂X0i ∂X1j ∂X2 Como

∂ s−1 F ∂X0i−1 ∂X1j ∂X2s−i−j

∂

s−1

F

∂X0i−1 ∂X1j ∂X2s−i−j s

∂ F

X + s−i−j 1

∂X0i−1 ∂X1j+1 ∂X2

1

2

= ∂sF

∂X0i−1 ∂X1j ∂X2s+1−i−j

X2 .

es una derivada de orden s − 1, se anula en a, y tambi´en se anulan s F ∂sF y ∂X i−1 ∂X∂j ∂X s+1−i−j , ya que se deriva ∂X0i−1 ∂X1j+1 ∂X2s−i−j 0 1 2 s F ıamos tanto, tambi´en ∂X i ∂X∂j ∂X s−i−j se anula en a, como quer´ 0 1 2

en a, por hip´ otesis de inducci´ on, i − 1 veces sobre X0 . Por demostrar.

Observaci´ on 5.5. N´ otese que, si queremos calcular los puntos singulares de una curva af´ın (por ejemplo la de ecuaci´ on f = X 2 + Y 2 − 1), no basta con estudiar los puntos ∂f ∂f ∂f ∂f que se anulan para ∂X y ∂Y (en nuestro ejemplo ∂X = 2X y ∂Y = 2Y se anulan en el punto (0, 0)) ya que podr´ıan no estar en la curva (como, en efecto, ocurre con el punto (0, 0), que no est´ a en la curva de ecuaci´on f = X 2 + Y 2 − 1). Sin embargo, en el caso proyectivo, gracias a la identidad de Euler F0 X0 + F1 X1 + F2 X2 = dF , un punto que se anule para F0 , F1 , F2 se anula autom´aticamente (salvo que el grado d sea un m´ ultiplo de la caracter´ıstica del cuerpo) para F . Veamos que la noci´ on de tangente que hemos definido coincide con la ya conocida de Geometr´ıa Proyectiva para rectas y c´onicas: Ejemplo 5.6. Si C es una recta, entonces su ecuaci´on minimal es de la forma F = u0 X0 + u1 X1 + u2 X2 , luego F0 = u0 , F1 = u1 y F2 = u2 . Esto indica que la recta tangente a C en cualquier punto es la propia recta C. Ejemplo 5.7. Si C es una c´ onica, podemos escribir su ecuaci´on minimal de la forma   X0 F = ( X0 X1 X2 ) M  X1  X2 44

donde M es una matriz sim´etrica 

u00 M =  u01 u02

u01 u11 u12

 u02 u12  u22

y por tanto F = u00 X02 + 2u01 X0 X1 + 2u02 X0 X2 + u11 X12 + 2u12 X1 X2 + u22 X22 de donde obtenemos: F0 = 2u00 X0 + 2u01 X1 + 2u02 X2 F1 = 2u01 X0 + 2u11 X1 + 2u12 X2 F2 = 2u02 X0 + 2u12 X1 + 2u22 X2 es decir ( F0 (a) F1 (a) F2 (a) ) = 2 ( a0

a1

a2 ) M.

Por tanto, a es singular en C (en nuestro sentido) si y s´olo si ( a0 a1 a2 ) M = 0 (tendremos que suponer que la caracter´ıstica del cuerpo no es dos), es decir, a es singular en el sentido de Geometr´ıa Proyectiva. Adem´as, cuando a es un punto regular, la recta tangente (en nuestro sentido) tiene ecuaci´ on   X0 ( F0 (a) F1 (a) F2 (a) )  X1  X2 es decir, 

( a0

a1

 X0 a2 ) M  X1  X2

que es la ecuaci´ on de la recta polar de a respecto de C, y por tanto la recta tangente en el sentido de Geometr´ıa Proyectiva (ver Ejemplo 8.5). Observaci´ on 5.8. Obs´ervese que, en el ejemplo anterior surgen problemas si trabajamos sobre un cuerpo de caracter´ıstica dos, ya que todas las derivadas parciales se anular´ıan. En realidad, el problema en caracter´ıstica dos es que no se puede hablar de la matriz de una c´onica (ya que las entradas de la matriz de fuera de la diagonal son coeficientes de la ecuaci´on de la c´ onica divididos por 2, que en este caso es cero). Si nos cogemos la ecuaci´ on 2 m´as sencilla de una c´ onica, F = X0 X2 − X1 , s´ı que tendremos F1 = 0, lo que quiere decir que el coeficiente de X1 de cualquier recta tangente es siempre cero. En otras palabras, todas las rectas tangentes pasan por el punto (0 : 1 : 0). Las curvas que satisfacen esta 45

propiedad de que todas sus tangentes pasen por un mismo punto se llaman curvas extra˜ nas, y puede demostrarse que, salvo cambio de coordenadas, esta c´onica en caracter´ıstica dos es la u ´nica curva extra˜ na. Una de las extra˜ nezas principales de esta c´onica es que su c´ onica 2∗ dual es un haz de rectas, es decir, una recta en Pk , por lo que ya no es cierto que la dual de la dual sea la propia c´ onica(∗) . En general, cuando uno tiene que derivar, se encuentra con problemas de este tipo cuando la caracter´ıstica del cuerpo es baja. Aunque basta suponer que la caracter´ıstica sea mayor que el grado de la curva en la que trabajemos, a partir de ahora supondremos que nuestro cuerpo base tiene caracter´ıstica cero, para evitar estos problemas extra˜ nos. Ejercicio 5.9. Demostrar que el conjunto de rectas tangentes de la curva V (X0 X22 − X13 ) ∗ forma una curva en P2 dando una ecuaci´on en u0 , u1 , u2 que caracterice cu´ando la recta de ecuaci´on u0 X0 + u1 X1 + u2 X2 es tangente a la curva [Indicaci´on: Parametrizar la curva y, para cada punto de ella calcular la recta tangente en funci´on de los par´ametros; comprobar entonces que el conjunto de rectas tangentes se puede parametrizar tambi´en]. Definici´ on. Un punto regular de una curva se dice que es un punto de inflexi´ on si la multiplicidad de intersecci´ on en el punto de la curva y de su recta tangente es al menos tres. Si la multiplicidad de intersecci´ on es tres se dice que es un punto de inflexi´ on ordinario. Lema 5.10. Sean a, b ∈ k 3 representantes de dos puntos distintos de P2k y sea F ∈ k[X0 , X1 , X2 ] un polinomio homog´eneo. Si escribimos f (T ) = F (a + bT ), entonces su expresi´on como polinomio en k[T ] empieza por f (T ) = F (a + T b) =F (a) + (F0 (a)b0 + F1 (a)b1 + F2 (a)b2 )T +    b0 F00 (a) F01 (a) F02 (a) 1    + (b0 b1 b2 ) F10 (a) F11 (a) F12 (a) b1  T 2 + . . . 2 F20 (a) F21 (a) F22 (a) b2 Demostraci´ on: N´ otese que en realidad la expresi´on que buscamos es el desarrollo en serie de Taylor de f en T = 0, que ser´ a finita por ser f un polinomio. Basta entonces observar que, aplicando la regla de la cadena para derivar f (T ) = F (a0 + b0 T, a1 + b1 T, a2 + b2 T ), se obtiene f 0 (T ) = b0 F0 (a0 + b0 T, a1 + b1 T, a2 + b2 T )+ (∗)

En realidad, usando la parametrizaci´on del Ejercicio 1.7, se demuestra que la tangente en el punto (t20 : t0 t1 : t21 ) es V (t21 X0 + t20 X2 ), luego la curva dual se puede parametrizar como (u0 : u1 : u2 ) = (t21 : t20 ) y, como en la segunda parte del Ejemplo 4.10, obtendremos como ecuaci´ on impl´ıcita la recta doble de ecuaci´on u21 , es decir el haz doble de las rectas que pasan por (0 : 1 : 0). 46

+b1 F1 (a0 + b0 T, a1 + b1 T, a2 + b2 T ) + b2 F2 (a0 + b0 T, a1 + b1 T, a2 + b2 T )


f 00 (T ) = b0 b0 F00 (a + bT ) + b1 F01 (a + bT ) + b2 F02 (a + bT ) +
b1 b0 F10 (a + bT ) + b1 F11 (a + bT ) + b2 F12 (a + bT ) + b2 b0 F20 (a + bT ) + b1 F21 (a + bT ) + b2 F22 (a + bT )




Haciendo T = 0 se obtiene entonces f (0) = F (a) f 0 (0) = F0 (a)b0 + F1 (a)b1 + F2 (a)b2 

  F00 (a) F01 (a) F02 (a) b0 00    f (0) = (b0 b1 b2 ) F10 (a) F11 (a) F12 (a) b1  F20 (a) F21 (a) F22 (a) b2

Observaci´ on 5.11. Del Lema 5.10 se sigue que, si tomamos a ∈ V (F ) (por abuso de notaci´on escribiremos de la misma forma al punto a que al represente escogido en el lema), la recta que pasa por a y b corta a V (F ) con multiplicidad al menos dos si y s´ olo si F0 (a)b0 + F1 (a)b1 + F2 (a)b2 = 0, con lo que volvemos a obtener que los puntos b de la recta tangente a C en a son los que satisfacen dicha ecuaci´on. Tambi´en puede obtenerse del lema que la multiplicidad del punto a es el m´ınimo r tal que alguna derivada de orden r de F no se anula en a.   F00 F01 F02 Definici´ on. La matriz MF =  F10 F11 F12  se llama matriz hessiana del polinomio F20 F21 F22 F , y su determinante HF se llama hessiano del polinomio F (n´otese que, si F es homog´eneo de grado d, entonces HF es homog´eneo de grado 3(d−2). Denotaremos por MF (a) y HF (a) a los valores de MF y HF en un punto a. El hecho de que la matriz Hessiana aparezca en un desarrollo en serie de Taylor relativo a F sugiere que, lo mismo que la parte de grado uno representa la recta m´as cercana a V (F ) en a, la matriz hessiana representar´a a una c´onica muy parecida a V (F ) y a su recta tangente en a. El siguiente resultado nos confirma esto. 47

Lema 5.12. Sea C ∈ P2k una curva de ecuaci´on minimal F de grado d y sea a ∈ C. Entonces a es un punto liso de C si y s´olo si es un punto liso de la c´onica de matriz MF (a). Adem´as, en tal caso, la recta tangente a dicha c´onica en a es Ta C. Demostraci´ on: Por la identidad de Euler aplicada a F0 , F1 , F2 , se tiene aMF (a) = (d − 1)(F0 (a) F1 (a) F2 (a)). Como a es liso para la c´ onica si y s´olo si aMF (a) no es cero, se sigue que esto es equiva(∗) lente a que a es un punto liso de C. Adem´as, en este caso, la polar de a respecto de la c´onica definida por MF (a) es V (F0 (a)X0 + F1 (a)X1 + F2 (a)X2 ), que es Ta C y pasa por a. Por tanto, a es un punto liso de dicha c´onica, y su recta tangente en ´el es Ta C. Teorema 5.13. Si C ⊂ P2k es una curva de ecuaci´on minimal F , entonces C ∩ V (HF ) = Sing(C) ∪ Flex(C). Demostraci´ on: En primer lugar, del Lema 5.12 se sigue que los puntos singulares de C est´an en V (HF ). Por tanto, basta ver que un punto liso a ∈ C es de inflexi´on si y s´ olo si est´a en V (HF ). Del Lema 5.10 se sigue que el punto a es un punto de inflexi´on si y s´ olo si cada punto b = (b0 : b1 : b2 ) de la recta tangente satisface   b0 F00 (a) F01 (a) F02 (a)    (b0 b1 b2 ) F10 (a) F11 (a) F12 (a) b1  = 0, F20 (a) F21 (a) F22 (a) b2 

es decir, que la c´ onica definida por la matriz Hessiana contiene a la recta tangente a C en a, luego en particular es una c´ onica degenerada y la matriz Hessiana tiene determinante nulo, es decir a ∈ V (HF ). Rec´ıprocamente, si HF (a) = 0 implica que la c´onica de matriz MF (a) es un par de rectas, y por el Lema 5.12, una de las rectas debe ser Ta C. Ejemplo 5.14. Sea F = X0 X22 − X13 . Entonces es f´acil ver que 

0  MF = 0 2X2

0 −6X1 0

 2X2 0  2X0

por lo que HF = 24X1 X22 . Entonces V (F ) ∩ V (HF ) consiste s´olo en el punto singular (1 : 0 : 0) y el punto (0 : 0 : 1), que es no singular, luego es un punto de inflexi´on. Puede (∗)

Aqu´ı es importante que la caracter´ıstica no divida a d − 1 48

verse tambi´en que en esta intersecci´on el punto de inflexi´on aparece s´olo al intersecar con la parte V (X1 ) de V (HF ), y que la multiplicidad de intersecci´on es 1. Por tanto, el punto singular (1 : 0 : 0) aparece con multiplicidad de intersecci´on 8 al cortar V (F ) y V (HF ), a pesar de tener s´ olo multiplicidad 2 como punto de la curva. Obs´ervese tambi´en que, si queremos calcular los puntos de inflexi´on de una curva af´ın, el modo m´ as eficiente es calcular los puntos de inflexi´on de su proyectado proyectivo. Por ejemplo, la curva V (Y 2 −X 3 ) no tiene puntos de inflexi´on, ya que su completado proyectivo V (X0 X22 − X13 ) acabamos de ver que s´olo tiene al punto (0 : 0 : 1) como punto de inflexi´ on, y es un punto de la recta del infinito. En realidad, muchas veces para estudiar una curva af´ın conviene estudiar su comportamiento en sus puntos del infinito. Recordamos los siguientes dos ejemplos de Geometr´ıa Proyectiva. Ejemplo 5.15. Consideremos la hip´erbola V (XY − 1). Su completado proyectivo es la c´onica X1 X2 − X02 , que tiene como puntos del infinito (0 : 1 : 0) y (0 : 0 : 1). Las rectas tangentes en ellos son, respectivamente, V (X2 ) y V (X1 ), y sus restricciones al af´ın son V (Y ) y V (X), que son precisamente las as´ıntotas de la hip´erbola. Ejemplo 5.16. Si consideramos ahora la par´abola V (Y − X 2 ), su completado proyectivo es V (X0 X2 − X12 ), que tiene un u ´nico punto en el infinito, el (0 : 0 : 1). La recta tangente en dicho punto es ahora V (X0 ), la recta del infinito, luego no produce ninguna recta en el af´ın. De hecho, el modo de aproximarse la par´abola al punto del infinito (que representa la direcci´on vertical) no es, en este caso, asint´otico. Los ejemplos anteriores justifican las siguiente definiciones: Definici´ on. Se llama as´ıntota de una curva af´ın a toda recta af´ın cuyo completado proyectivo sea una recta tangente al completado proyectivo de la curva en alg´ un punto del infinito. Se dice que una curva af´ın tiene una rama parab´ olica en una direcci´on dada si el completado proyectivo de la curva pasa por el punto del infinito correspondiente a dicha direcci´ on, y la recta del infinito es tangente al completado proyectivo en ese punto.

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6. Estudio local de puntos. Ramas En la secci´ on anterior hemos visto que la multiplicidad de intersecci´on de una curva con una recta en un punto se puede calcular bien gracias a que la recta se puede parametrizar. De hecho, el tener una curva parametrizada, nos permite saber tambi´en “cu´antas veces” pasa la curva por cada punto, ya que el mismo punto puede venir de varios valores distintos del par´ametro. En esta secci´ on, definiremos de modo m´as formal el n´ umero de veces que una curva pasa por un punto (´esa ser´a la noci´on de rama: cada forma distinta de pasar una curva por un punto). Lo primero que veremos es que, de un modo “formal”, toda curva se puede parametrizar cerca de cualquier punto. De hecho, para puntos lisos, eso es lo que dir´ıa el teorema de la funci´on impl´ıcita en el caso en que el cuerpo base sea C. Adem´as, en este caso, nos esperamos que haya una sola rama. Antes de iniciar la teor´ıa espec´ıfica, veamos en un ejemplo c´omo se har´ıa eso: Ejemplo 6.1. Sea la curva de ecuaci´on minimal f = X 2 − Y 3 + 2Y 2 − Y . Como ∂f on impl´ıcita dice que existir´a una funci´on g(X) ∂y (0, 0) = −1 6= 0, el teorema de la funci´ (definida en un entorno de X = 0) tal que g(0) = 0 y f (X, g(X)) = 0. De esta funci´ on g se puede obtener mucha informaci´on, por ejemplo sus derivadas en el origen, a base de ir derivando. En efecto, derivando en la igualdad X 2 − g(X)3 + 2g(X)2 − g(X) = 0, se obtendr´a 2X − 3g 0 (X)g(X)2 + 4g 0 (X)g(X) − g 0 (X) = 0 luego, haciendo X = 0 y sabiendo que g(0) = 0 se obtiene g 0 (0) = 0. Obviamente se puede reiterar el proceso y calcular g 00 (0) = 2 y en general, por recurrencia, cada derivada. De este modo, podemos determinar todo el desarrollo en serie de Taylor de g en X = 0. Si estamos en el caso de funciones anal´ıticas sobre los complejos, el desarrollo en serie de Taylor determina completamente la funci´on. De hecho, en pocos cuerpos m´as tiene sentido hablar de desarrollo en serie de Taylor que converja a una funci´on, pero a´ un as´ı podemos seguir escribiendo en modo meramente formal, sin pensar en convergencia, una serie infinita g(X) = a0 + a1 X + a2 X 2 + . . .. No tendr´a sentido evaluar en ning´ un punto salvo en X = 0, y ser´ a g(0) = a0 , luego la condici´on g(0) = 0 se traduce en a0 = 0. El resto de coeficientes, en lugar de con el teorema de la funci´on impl´ıcita, se pueden intentar calcular usando la igualdad X 2 − (a0 + a1 X + a2 X 2 + . . .)3 + 2(a0 + a1 X + a2 X 2 + . . .)2 − (a0 + a1 X + a2 X 2 + . . .) = 0 en que igualando a cero cada coeficiente (empezando por el t´ermino independiente) obtenemos −a30 + 2a20 − a0 = 0 50

−3a20 a1 + 4a0 a1 − a1 = 0 1 − 3a20 a2 − 3a0 a21 + 4a0 a2 + 2a21 − a2 = 0 .. . La primera ecuaci´ on en realidad no dice nada nuevo, porque ya sabemos que a0 = 0. A partir de aqu´ı, la segunda ecuaci´ on implica a1 = 0 (que corresponde a g 0 (0) = 0, que ya vimos). De nuevo, usando ahora la tercera ecuaci´on, se tiene a2 = 1 (que corresponde ahora a g 00 (0) = 2). No es dif´ıcil ver que cada ecuaci´on nos dar´a el valor de cada ai en funci´ on de a0 , a1 , . . . , ai−1 , con lo que se pueden calcular por recurrencia todos los coeficientes de la serie g(X). N´otese tambi´en que en realidad la primera ecuaci´on da otra posibilidad para a0 , que es a0 = 1. Esto es porque la curva pasa tambi´en por el punto (0, 1), que resulta ser un punto singular. Precisamente por ello, el teorema de la funci´on impl´ıcita no garantiza la existencia de una funci´ on g(X) tal que g(0) = 1 y f (X, g(X)) = 0. Sin embargo, si ahora hacemos a0 = 1, y empezamos la iteraci´ on anterior, la segunda ecuaci´on no da ninguna restricci´ on 2 ya que se anula id´enticamente. Pasando a la tercera ecuaci´on, obtenemos 1 − a1 = 0, lo que ahora da dos posibilidades para a1 (y por tanto, dos series distintas). Aunque ahora no sea tan inmediato, para cada soluci´on a1 = 1 y a1 = −1 se obtiene por recurrencia ya una u ´nica serie g(X) con f (X, g(X)) = 0. La justificaci´on geom´etrica es f´acil: resulta que la curva pasa dos veces por el punto (0, 1) (y sus rectas tangentes son V (X − Y + 1) y V (X + Y − 1)), y cada una de las veces que pasa corresponde a la “parametrizaci´ on” 0 (T, g(T )) (n´ otese que (1, g (0)) da precisamente el vector director de cada recta tangente). En esta secci´ on, demostraremos que el m´etodo anterior (con alguna peque˜ na variaci´ on) funciona siempre, y daremos un algoritmo expl´ıcito para calcular m´as f´acilmente los posibles desarrollos en series en cada punto, ya sea singular o no. Definici´ on. Se llama serie formal de potencias en la indeterminada T con coeficientes en un anillo A a una expresi´ on de la forma p(T ) = a0 +a1 T +a2 T 2 +. . ., con a0 , a1 , a2 , . . . ∈ A. Con las operaciones naturales de suma y producto, las series formales forman un anillo que denotaremos por A[[T ]]. Por analog´ıa con los desarrollos en serie de Taylor, escribiremos p(0) := a0 y p0 (0) := a1 . El siguiente resultado (o m´ as bien la demostraci´on) muestra que, para trabajar con series de potencias, basta trabajar formalmente. Lema 6.2. Sea f = a0 + a1 T + . . . ∈ k[[T ]] una serie formal. Entonces: (i) Existe una u ´nica serie g ∈ k[[T ]] tal que f g = 1 si y s´olo si con a0 6= 0. (ii) Si a0 6= 0, para cada n ∈ N, existe alguna serie g ∈ k[[T ]] tales que g n = f . Adem´ as, si n no divisible por la caracter´ıstica de k, existen exactamente n de tales series. 51

Demostraci´ on: Para (i), si f = a0 + a1 T + a2 T 2 + . . ., buscamos g = b0 + b1 T + b2 T 2 + . . . tal que a0 b0 = 1 a0 b1 + a1 b0 = 0 a0 b2 + a1 b1 + a2 b0 = 0 .. . De la primera ecuaci´ on ya se deduce que a0 6= 0 es una condici´on necesaria, as´ı que veamos que es tambi´en suficiente. Como a0 6= 0, entonces de la primera ecuaci´on sacamos una u ´nica posibilidad para 1 b0 , que es b0 = a0 . A partir de este valor de b0 , la segunda ecuaci´on nos dice que hay una u ´nica posibilidad para b1 . En general, conocidos los valores de b0 , b1 , . . . , bi−1 a partir de las i primeras ecuaciones, la ecuaci´on a0 bi +a1 bi−1 +. . .+ai b0 = 0 da una u ´nica posibilidad para bi (usando de nuevo que a0 no se anula). Por tanto, por recurrencia, obtenemos una u ´nica serie g Para (ii), se usa tambi´en recurrencia, aunque sea un poco m´as lioso de escribir. De nuevo buscamos una serie g = b0 + b1 T + b2 T 2 + . . . que esta vez debe cumplir bn0 = a0   n n−1 b b1 = a1 1 0     n n−2 2 n n−1 b0 b1 + b b2 = a2 2 1 0     n n−3 3 n! n n−1 n−2 b0 b1 + b0 b1 b2 + b b3 = a3 3 (n − 2)!1!1! 1 0 .. . Aunque no sea f´ acil escribir la ecuaci´on general, lo importante ahora son dos cosas. La primera, que de la primera ecuaci´ on obtenemos tantas posibilidades para b0 como ra´ıces n-´esimas tenga a0 , que siempre existen al ser k un cuerpo algebraicamente cerrado, y son exactamente n por nuestra suposici´ on sobre la caracter´ıstica de k. La segunda es que, una vez fijado un valor de b0 , podemos como antes calcular cada bi de forma u ´nica en funci´ on de b0 , b1 , . . . , bi−1 y ai . En efecto, cada expresi´on para ai es la suma de todos los posibles n0 n1 n! . . . bi ni con 0 · n0 + 1 · n1 + . . . i · ni = i. En particular, la inc´ognita bi s´ olo n0 !...ni ! b0 b1
n n−1 aparece en el sumando 1 b0 bi , luego se puede despejar en funci´on de b0 , b1 , . . . , bi−1 y ai (porque n0 6= 0, y tambi´en n 6= 0 somo elemento de k, por la hip´otesis sobre la 52

caracter´ıstica). Como en el caso (i), se construyen as´ı por recurrencia tantas series como posibles valores de b0 . El resultado anterior est´ a diciendo que las unidades del anillo k[[T ]] son las series que tienen t´ermino independiente. Por tanto, cada serie distinta de cero se podr´a escribir de forma u ´nica como T r p donde p es una unidad. Esto demuestra que el producto de dos series no nulas es no nula (luego k[[T ]] es un dominio de integridad) y adem´as el cociente ) de dos series siempre se puede escribir de la forma p(T T r , es decir, una serie infinita en que una cantidad finita de t´erminos pueden tener exponente negativo (en otras palabra, una serie de Laurent). Definici´ on. Denotaremos con k((T )) al cuerpo de fracciones de k[[T ]]. Cada elemento no nulo p ∈ k((T )) se puede escribir de forma u ´nica como p = T r q(T ), con r ∈ Z y q(T ) ∈ k[[T ]] con q(0) 6= 0 (es decir, r es el menor exponente de T que tiene coeficiente no nulo en p). Diremos que r es el orden de p, y lo escribiremos como O(p). Por convenio, O(0) = ∞ Ejercicio 6.3. Demostrar que el orden de k((T ))∗ satisface las siguientes propiedades: (i) O(f g) = O(f ) + O(g) (ii) O(f + g) ≥ min{O(f ), O(g)}, d´andose la igualdad cuando O(f ) 6= O(g). (iii) O(f ) ≥ 0 si y s´ olo si f ∈ k[[T ]]. (iv) O(f ) > 0 si y s´ olo si f ∈ k[[T ]] y f no es una unidad. Generalizamos ahora el Ejemplo 6.1. Consideraremos no s´olo polinomios en X, Y , sino que permitiremos que sean series formales en X (en realidad, el resultado es cierto cuando trabajamos con series formales en X, Y , pero es un concepto que no necesitaremos usar). Teorema 6.4 (de la funci´ on impl´ıcita formal). Sea f (X, Y ) ∈ k[[X]][Y ] tal que f (0, 0) = 0 ∂f y ∂Y (0, 0) 6= 0. Entonces existe una u ´nica serie formal p ∈ k[[X]] tal que p(0) = 0 y f (X, p(X)) = 0. Demostraci´ on: Escribimos f = p0 (X) + p1 (X)Y + . . . + pd (x)Y d donde p0 , p1 , . . . , pd ∈ k[[X]]. M´ as concretamente escribiremos p0 (X) = a00 + a01 X + a02 X 2 + . . . p1 (X) = a10 + a11 X + a12 X 2 + . . . 53

.. . pd (X) = ad0 + ad1 X + ad2 X 2 + . . . Las hip´otesis del enunciado equivalen a decir que a00 = 0 y a10 6= 0. Tenemos que ver que existe una u ´nica expresi´ on p(X) = b1 X + b2 X 2 + . . . tal que p0 (X) + p1 (X)(b1 X + b2 X 2 + . . .) + . . . + pd (X)(b1 X + b2 X 2 + . . .)d = 0 Si en la identidad anterior igualamos a cero cada coeficiente de X i (obs´ervese que no hay t´ermino independiente por ser a00 = 0), obtendremos, para el coeficiente de X, a01 + a10 b1 = 0 01 . Para el coeficiente de X 2 tendremos lo que da como u ´nico posible valor b1 = − aa10

a02 + a11 b1 + a10 b2 + a20 b21 que de nuevo permite calcular ahora de forma u ´nica b2 en funci´on de a02 , a11 , b1 , a10 , a20 . Como b1 lo tenemos determinado de antes, podemos determinar el u ´nico posible valor de i b2 . En general, el coeficiente de X para i general ser´a m´as complicado de escribir, pero tendr´a el aspecto (expresi´ on en algunos ajk y en b1 , b2 , . . . , bi−1 ) + a10 bi = 0 lo que de nuevo permite determinar de forma u ´nica el valor de bi . El resultado anterior permite dar una parametrizaci´on de una curva V (f ) cerca del punto (0, 0), suponiendo que sea un punto liso de la curva. En efecto, X = t, Y = p(t) ser´ıa una parametrizaci´ on de la curva, aunque en realidad p no tome valores. Obs´ervese que, al querer despejar la Y en funci´ on de la X como serie formal s´olo tiene sentido tomar el valor X = 0. Podr´ıamos generalizarlo todo tomando series formales de la forma p(T − a), pero preferimos a partir de ahora estudiar puntos de la forma (0, b) (cosa que siempre podremos conseguir con una simple traslaci´ on). Muchas veces supondremos tambi´en b = 0. Definici´ on. Se llama parametrizaci´ on formal en (a, b) de una curva af´ın de ecuaci´ on minimal f a un par (p(T ), q(T )) de series formales p, q ∈ k[[T ]] tales que f (p, q) = 0, p(0) = a y q(0) = b. 54

Como hemos dicho, por comodidad, trabajaremos muchas veces con parametrizaciones formales en (0, 0), algo que siempre se puede conseguir con una traslaci´on. An´alogamente, se puede dar la definici´ on para curvas proyectivas Definici´ on. Se llama parametrizaci´ on formal en (a0 : a1 : a2 ) de una curva proyectiva de ecuaci´on minimal F a una terna (p0 (T ), p1 (T ), p2 (T )) de series formales no todas de orden estrictamente positivo tales que F (p0 , p1 , p2 ) = 0, (p0 (0) : p1 (0) : p2 (0) = (a0 : a1 : a2 ). Observaci´ on 6.5. Obs´ervese que, en el caso proyectivo, multiplicar las series formales de una parametrizaci´ on por una unidad en k[[T ]] (es decir, una serie sin t´ermino independiente), produce una nueva parametrizaci´on, que puede considerarse equivalente. En realidad, una parametrizaci´ on formal de una curva proyectiva podr´ıa verse como un punto 2 de Pk((T )) . En efecto, dados tres elementos p0 , p1 , p2 ∈ k((T )) no todos nulos, multiplicando todos ellos por T r , donde r es el m´aximo de los ´ordenes de p0 , p1 , p2 obtendremos tres series formales, y no todas de orden estrictamente positivo. N´otese que si, por ejemplo, a0 6= 0, entonces una parametrizaci´on formal (p0 (T ), p1 (T ), p2 (T )) en (a0 : a1 : a2 ) es (T ) p2 (T ) equivalente a (1, pp10 (T ) , p0 (T ) ). Como, por el Lema 6.2(i), p0 es una unidad en k[[T ]], se obtiene una parametrizaci´ on formal de la curva af´ın V (F ) ∩ {X0 6= 0}. Ejemplo 6.6. Volvamos a la curva V (2XY − X − Y ) del Ejemplo 4.1. La ten´ıamos parametrizada mediante ( T T+1 , T T−1 ). Ahora bien, por el Lema 6.2(ii), si vemos T + 1 y T − 1 como series formales, tienen inversa para el producto, y se ve enseguida 1 = 1 − T + T2 − T3 + ... 1+T 1 = −1 − T − T 2 − T 3 − . . . −1 + T luego podemos parametrizar la curva mediante (X, Y ) = (T − T 2 + T 3 − T 4 + . . . , −T − T 2 − T 3 − T 4 − . . .) (ya vimos en el Ejemplo 4.11 que era imposible parametrizarla por polinomios). A partir de aqu´ı es f´ acil sacar tambi´en una parametrizaci´on como la del Teorema de la Funci´ on 2 3 4 Impl´ıcita. En efecto, bastar´ıa despejar de la igualdad X = T − T + T − T + . . . la T en funci´on de la X y sustituir luego en la expresi´on de Y . El modo de hacer esto es, de nuevo, suponer que podemos escribir T = a1 X +a2 X 2 +a3 X 3 +. . . (n´otese que para X = 0 debemos obtener el valor T = 0, por lo que la serie formal no tiene t´ermino independiente), y entonces deber´ıa ser (a1 X + a2 X 2 + a3 X 3 + . . .) − (a1 X + a2 X 2 + a3 X 3 + . . .)2 + 55

+(a1 X + a2 X 2 + a3 X 3 + . . .)3 − (a1 X + a2 X 2 + a3 X 3 + . . .)4 + . . . = X luego, igualando coeficientes, debe ser a1 = 1 a2 − a21 = 0 a3 − 2a1 a2 + a31 = 0 .. . lo que va dando por recurrencia a1 = 1, a2 = 1, a3 = 1, . . . (en realidad, se puede obtener X = X + X 2 + X 3 + . . ., pero quer´ıamos hacer directamente de X = T T+1 que T = 1−X ´enfasis en el m´etodo general, con vistas al pr´oximo Teorema 6.7). Con esta expresi´on, ya podemos calcular el valor de Y en funci´on de X, concretamente: Y = −T − T 2 − T 3 − T 4 − . . . = −(X + X 2 + X 3 + . . .) − (X + X 2 + X 3 + . . .)2 − −(X + X 2 + X 3 + . . .)3 − (X + X 2 + X 3 + . . .)4 − . . . = −X − 2X 2 − 4X 3 − . . . (como antes, esta u ´ltima expresi´ on se pod´ıa haber obtenido directamente del hecho de que X la igualdad 2XY − X − Y = 0 implica Y = 2X−1 , que desarrollado nos da la serie formal que hemos encontrado). Este ejemplo nos muestra que, aparte de la estructura de anillo, las series formales tienen otra operaci´ on. En efecto, una serie formal debe interpretarse como un desarrollo en serie de Taylor, aunque sin preocuparse por la convergencia (aunque si k = C, puede demostrarse que las series que salen de forma natural en esta secci´on son convergentes). En otras palabras, pueden considerarse como funciones de una variable en un entorno de t = 0. Por tanto, pueden componerse, aunque para que tenga sentido, la primera serie que operemos deber´ a mandar el cero al cero. Definici´ on. Se llama composici´ on de las series formales f, g ∈ k[[T ]], donde g(0) = 0, a la serie f ◦ g = c0 + c1 T + c2 T 2 + . . . dada por c0 = a0 c1 = a1 b1 + a2 b1 c2 = a1 b2 + a2 b21 + a2 b2 .. . 56

siendo f (T ) = a0 + a1 T + a2 T 2 + . . . ,

g(t) = b1 T + b2 T 2 + . . .

Obviamente, la definici´ on anterior (que dejamos s´olo indicada) es el modo natural de agrupar la expresi´ on a0 + a1 (b1 T + b2 t2 + . . .) + a2 (b1 t + b2 t2 + . . .)2 + . . . N´otese que, si g tuviera t´ermino independiente b0 ser´ıa imposible determinar el valor de c0 , que tendr´ıa que ser c0 = a0 + a1 b0 + a2 b20 + . . . Teorema 6.7 (funci´ on inversa formal). Sea f ∈ k[[T ]] tal que f (0) = 0. Entonces existe una serie g ∈ k[[T ]] tal que g(0) = 0 y f (g(T )) = T si y s´olo si O(f ) = 1 (es decir, f (0) = 0 y f 0 (0) 6= 0). Adem´ as, en este caso, la serie g es u ´nica y se tiene tambi´en g(f (T )) = T y 1 0 g (0) = f 0 (0) . Demostraci´ on: Escribiendo de nuevo f = a1 T + a2 T 2 + a3 T 3 + . . ., buscamos ahora g = b1 T + b2 T 2 + b3 T 3 + . . . tal que T = a1 (b1 T +b2 T 2 +b3 T 3 +. . .)+a2 (b1 T +b2 T 2 +b3 T 3 +. . .)2 +a3 (b1 T +b2 T 2 +b3 T 3 +. . .)3 +. . . o equivalentemente a1 b1 = 1 a1 b2 + a2 b21 = 0 a1 b3 + 2a2 b1 b2 + a3 b31 = 0 y, en general, igualando a cero el coeficiente de T i obtenemos que a1 bi + (expresi´ on que depende de a1 , . . . , ai y de b1 , . . . , bi−1 ) = 0. Por tanto, es necesario que a1 6= 0 (usando la primera ecuaci´on), y en tal caso cada bi se obtiene de forma u ´nica a partir de los bj con j < i y de los ak , luego g existe. Adem´ as, 1 1 g 0 (0) = b1 = a1 = f 0 (0) . Si ahora consideramos la u ´nica h tal que g(h(T )) = T , se tendr´a, sustituyendo T por h(T ) en la igualdad f (g(T )) = T , h(T ) = f (g(h(T ))) = f (T ) lo que demuestra tambi´en g(f (T )) = T . Definici´ on. Llamaremos serie invertible a una serie formal de orden uno. Su inversa la denotaremos por f −1 (OJO: no confundir esta inversa para la composici´on con la inversa 1 f para el producto). Ejercicio 6.8. Demostrar que O(f ◦ g) = O(f )O(g) para cualesquiera series formales f, g ∈ k[[T ]]. En particular, el orden de una serie coincide con el de su composici´on con cualquier serie invertible. 57

Lema 6.9. Toda serie f ∈ k[[T ]] de orden r ≥ 1 se puede escribir como la potencia r-´esima de una serie invertible. Demostraci´ on: Por definici´ on de orden, podremos escribir f (T ) = T r g(T ), con g(0) 6= 0. Por el Lema 6.2(ii) existir´ a alguna serie formal h(T ) tal que g(T ) = h(T )r (y obviamente
r ser´a h(0) 6= 0). Por tanto, f (T ) = T h(T ) , y evidentemente T h(T ) es una serie invertible, ya que su orden es 1. Obviamente, si (p, q) es una parametrizaci´on de una curva, tambi´en lo es (p ◦ f, q ◦ f ) para cualquier serie tal que f (0) = 0. Sin embargo, si f no es invertible, no podemos volver atr´as. Definici´ on. Se llama reparametrizaci´ on de una parametrizaci´on (p, q) a una nueva parametrizaci´on de la forma (p ◦ f, q ◦ f ). Dos parametrizaciones equivalentes son dos parametrizaciones obtenidas una a partir de la otra mediante una reparametrizaci´on en la que f es invertible. Es un simple ejercicio comprobar que la relaci´on ser parametrizaci´ on equivalente es, en efecto, una relaci´ on de equivalencia. Teorema 6.10. Toda parametrizaci´on formal (p, q) en (a, b) de una curva af´ın es equivalente a una parametrizaci´ on de la forma (a + T r , g(T )), con g ∈ k[[T ]]. Adem´as, necesariamente r = O(p − a) y cualquier otra parametrizaci´on de esa forma se escribe como (a + T r , g(ωT )), donde ω es una ra´ız r-´esima de la unidad. Demostraci´ on: Sea r = O(p − a) (que es necesariamente positivo). Por el Lema 6.9, podemos escribir p(T ) − a = f (T )r para alguna serie invertible f (T ). Reparametrizando
con f −1 , tendremos que a + T r , q(f −1 (T ) es una parametrizaci´on equivalente a la parametrizaci´ on original (p, q). Adem´ as, si (a + T s , g˜(t)) es equivalente a (p, q) (y por tanto equivalente a la (a + T r , g(T )) que acabamos de encontrar), deber´a existir alguna f invertible tal que (a + T r , g(T )) = (a + f (T )s , g˜(f (T ))). De la igualdad f (T )s = T r se sigue f´acilmente que s = r y f (T ) = ωT , donde ω es una ra´ız r-´esima de la unidad. Lema 6.11. Dada una parametrizaci´on formal, entonces son equivalentes: (i) La parametrizaci´ on es de la forma (p ◦ f, q ◦ f ), con O(f ) > 1. (ii) La parametrizaci´ on es equivalente a una parametrizaci´on de la forma (p(T m ), q(T m )) para alg´ un m > 1. (iii) Las parametrizaciones equivalentes del Teorema 6.10 son de la forma (a+T mr , q(T m )) para alg´ un m > 1. 58

Demostraci´ on: Probaremos las implicaciones c´ıclicamente. (i) ⇒ (ii): Por el Lema 6.9, podemos escribir f (T ) = g(T )m , con g serie invertible y m = O(f ) (que es mayor que uno por hip´otesis). Entonces (p ◦ f, q ◦ f ) es equivalente a (p ◦ f ◦ g −1 , q ◦ f ◦ g −1 ) y se tiene (p ◦ f ◦ g −1 (T ), q ◦ f ◦ g −1 (T )) = (p(T m ), q(T m )). (ii) ⇒ (iii): Sea r = O(p − a). Por el Lema 6.9, existe f invertible tal que p − a = f r . Podremos escribir entonces

p(T m ), q(T m ) = a + f (T m )r , q(f −1 (f (T m )) Usando de nuevo el Lema 6.9, se tendr´a f (T m ) = g(T )m , con g invertible. Entonces nuestra parametrizaci´ on ser´ a equivalente (reparametrizando con g −1 ) a (a + T mr , q(f −1 (T m )). (iii) ⇒ (i): Es evidente, ya que la parametrizaci´on (a+T mr , q(T m )) es la reparametrizaci´ on r m de (a + T , q(t)) mediante T , que tiene orden m > 1.

Definici´ on. Se llama parametrizaci´ on reducida a una parametrizaci´on que no es como en el Lema 6.11. Definici´ on. Se llama rama de una curva V (f ) en un punto (a, b) ∈ V (f ) a una clase de parametrizaci´ on formal reducida de V (f ) en (a, b). Si (p, q) es un representante de esa rama, se llama multiplicidad de la rama en el punto al m´ınimo de los ´ordenes de p−a, q −b. Obviamente, la misma noci´ on sirve para curvas proyectivas, basta deshomogeneizar respecto de alguna de las variables. Dedicaremos el resto de la secci´on a estudiar c´omo encontrar las ramas de una curva en un punto. La clave ser´ a la siguiente: Observaci´ on 6.12. Volvamos ahora al Teorema 6.10 y supongamos a = 0, es decir, que tenemos una parametrizaci´ on de una curva V (f ) de la forma (T r , q(T )). Esto quiere decir 1 1 que f (T r , q(T )) = 0. Formalmente, eso quiere decir f (X, q(X r )) = 0, es decir, que q(X r ) es una ra´ız de f considerado como polinomio en la variable Y y coeficientes en k[X]. Esto nos lleva a la siguiente definici´ on: Definici´ on. Se llama serie de Puiseux a un elemento de k{{X}} :=

S∞

r=1

1

k[[X r ]].

Observaci´ on 6.13. N´ otese que, aunque permitamos exponentes racionales, los exponentes de las series de Puiseux deben tener siempre un com´ un denominador. Por ejemplo, 1 2 3 1 + X 2 + X 3 + X 4 + . . . no es una serie de Puiseux, ya que los denominadores se hacen 1 1 arbitrariamente grandes. Sin embargo, p(X) = 1 + X 3 + X 2 s´ı es una serie de Puiseux, ya 59

2

3

1

que podemos escribir p(X) = 1+X 6 +X 6 , luego p(X) = q(X 6 ), donde q(T ) = 1+T 2 +T 3 . Adem´as, 6 es el m´ınimo denominador que podemos tomar en este caso. Definici´ on. Si p es una seria de Puiseux, llamaremos m´ınimo denominador com´ un de p al 1 m´ınimo r tal que p ∈ k[[X r ]] (en otras palabras, r es el m´ınimo entero positivo r tal que 1 existe una serie formal q ∈ k[[T ]] tal que p(X) = q(X r ); es decir, r es el m´ınimo entero positivo tal que p(T r ) es una serie formal q ∈ k[[T ]]). Se llama orden de una serie de Puiseux p al m´ınimo exponente m ∈ Q tal que el coeficiente de X m en p es no nulo. En 1 otras palabras, si p(X) = q(X r ) para alguna serie formal q ∈ k[[T ]], entonces O(p) = O(q) r . Obviamente, el orden O(p) de una serie formal puede ser un n´ umero racional no entero. Ejercicio 6.14. Demostrar que k{{X}} es un anillo, que tiene un u ´nico ideal maximal y que tal ideal no admite un n´ umero finito de generadores. Observaci´ on 6.15. Sea f ∈ k[X, Y ] un polinomio irreducible y sea p(X) ∈ k{{X}} una serie de Puiseux tal que p(T r ) ∈ k[[T ]]. Entonces es claro que: (i) La serie p(X) es una ra´ız de f (visto como polinomio con coeficientes en k{{X}}) si y s´olo si (T r , q(T )) es una parametrizaci´ on de f en (0, q(0)). (ii) La parametrizaci´ on (T r , q(T )) es reducida si y s´olo si r es el menor denominador com´ un de p(X). (iii) Las series de Puiseux que dan lugar a parametrizaciones equivalentes a (T r , q(T )) son 1 exactamente las de la forma pω (X) = q(wX r ), donde ω es una ra´ız r-´esima de la unidad. (iv) Si k tiene caracter´ıstica cero, todas las ra´ıces de f son distintas, y para cada parametrizaci´ on reducida (T r , q(T )) de f en (0, q(0)) existen exactamente r series de Puiseux que dan lugar a parametrizaciones equivalentes a q, precisamente las series p = p1 , pω , pω2 , . . . , pωr−1 . Esto es porque, al ser k de caracter´ıstica cero, hay exactamente r ra´ıces de la unidad, que son 1, ω, ω 2 , . . . , ω r−1 . Adem´as, las ra´ıces de f son todas distintas ya que la resultante entre f y su derivada (respecto de Y ) es distinta de cero, puesto que f y f 0 no pueden compartir factores de grado positivo (ya que f es irreducible y su derivada tiene grado uno menor que el grado de f ). OJO: N´otese que, como siempre que se trabaja con radicales (y los exponentes racionales no son sino radicales), la notaci´ on puede dar lugar a enga˜ nos. Si partimos de una serie de r Puiseux p(X) que viene de una serie formal q(T ) = p(T ), entonces parecer´ıa que se tiene una cadena de igualdades 1

1

pω (X) = q(ωX r ) = p((ωX r )r ) = p(X) lo que es patentemente falso. En realidad, si 1

2

p(X) = c0 + c1 X r + c2 X r + . . . 60

entonces q(T ) = c0 + c1 T + c2 T 2 + . . . y por tanto 1

2

pω = c0 + c1 ωX r + c2 ω 2 X r + . . . Llegamos pues al problema de encontrar las ra´ıces de un polinomio f ∈ k[X, Y ] visto como polinomio en la variable Y , sospechando que puedan ser series de Puiseux. Podemos intentar hacer como en el Ejemplo 6.1 para encontrar series de Puiseux que sean ra´ıces de polinomios f ∈ k[X, Y ]. Obs´ervese que no es una tarea f´acil, ya que en principio no sabemos cu´ al es el com´ un denominador r que necesitaremos. Una primera respuesta nos viene de la siguiente generalizaci´ on del Teorema de la Funci´on Impl´ıcita a las series de Puiseux: Lema 6.16. Sea f = p0 (X) + p1 (X)Y + . . . + pd (x)Y d , donde p0 , p1 , . . . , pd son series de Puiseux, p0 (0) = 0 y p1 (0) 6= 0. Entonces existe una u ´nica serie de Puiseux q tal que 1 q(0) = 0 y f (X, q(X)) = 0. Adem´as, si los coeficientes de f est´an en k[[X r ]], entonces 1 tambi´en la ra´ız q est´ a en k[[X r ]]. 1

Demostraci´ on: Sea r ∈ N cualquiera tal que p0 , p1 , . . . , pd ∈ k[[X r ]]. Entonces, g(X 0 , Y ) = r f (X 0 , Y ) satisface las hip´ otesis del Teorema de la Funci´on Impl´ıcita Formal. Por tanto, existe una serie formal p(X 0 ) ∈ k[[X 0 ] tal que p(0) = 0 y g(X 0 , p(X 0 )) = 0, es de1 r cir, f (X 0 , p(X 0 )) = 0. Entonces, si tomamos q(X) = p(X r ), se tendr´a q(0) = 0 y f (X, q(X)) = 0. Para ver la unicidad, si q1 , q2 fueran dos soluciones, entonces tomamos r tal que 1 r r p0 , p1 , . . . , pd , q1 , q2 ∈ k[[X r ]] y se tendr´ıa que q1 (X 0 ) y q2 (X 0 ) ser´ıan dos funciones r r impl´ıcitas para g, luego q1 (X 0 ) = q2 (X 0 ), es decir, q1 (X) = q2 (X) como series de Puiseux.

En general, si queremos calcular las ra´ıces de un polinomio f en Y con coeficientes polinomios (o m´ as en general, series de Puiseux) en X, m´as que intentar averiguar a priori el com´ un denominador r de las ra´ıces, intentaremos averiguar cu´al es el primer coeficiente distinto de cero. En concreto, si queremos que una sustituci´on en f del tipo Y = cX q + . . . (con c 6= 0) cancele el t´ermino de menor grado necesitamos dos cosas: (i) Que si el exponente de menor grado en f (X, cX q + . . .) es d, entonces cada vez que X i Y j tiene coeficiente distinto de cero en f , tiene que ser i + qj ≥ d. (ii) Que se cancelen entre s´ı todos los coeficientes no nulos (por tanto al menos dos) de los X i Y j tales que i + qj = d. Obs´ervese que no est´ a claro ni qui´en debe ser este d. Todo esto se puede visualizar de forma gr´ afica. Para ello, pintamos en el plano todos los puntos (i, j) tales que el 61

coeficiente de X i Y j de f (el conjunto de tales puntos lo llamaremos soporte de f ). En ese plano buscamos posibles rectas de la forma i + qj = d que dejen arriba a la derecha a todo el soporte de f (condici´ on (i)) y que pasen por al menos dos puntos del soporte (condici´ on (ii)). Definici´ on. Dado un polinomio f ∈ k{{X}}[Y ], se llama soporte de f al conjunto de pares (i, j) tales que f tiene un coeficiente no nulo en X i Y j . Se llama pol´ıgono de NewtonPuiseux a la uni´ on, en el primer cuadrante de los semiplanos de la forma i + qj ≥ d donde i + qj = d es una recta que pasa por al menos dos puntos del soporte de f . Observaci´ on 6.17. En este lenguaje, la hip´otesis p1 (0) 6= 0 del Lema 6.16 nos est´ a diciendo que, si (0, 1) est´ a en el soporte de f (es decir, el pol´ıgono de Newton de f tiene un solo lado), entonces existe una u ´nica ra´ız, q con q(0) = 0. Ejemplo 6.18. Consideremos la curva de ecuaci´on minimal f = Y 6 − XY 2 + 2X 3 Y − X 5 + X 5 Y 2 y estudiemos sus posibles parametrizaciones formales en (0, 0). Obs´ervese primero que el cono tangente en (0, 0) es V (XY 2 ), con lo que nos esperamos que la curva pase una vez en la direcci´ on de V (X) y dos veces o una sola vez con multiplicidad dos en la direcci´ on de V (Y ). El pol´ıgono de Newton de tal polinomio viene dado en la siguiente figura:

A efectos pr´ acticos, el pol´ıgono se construye siempre as´ı: En primer lugar, se toma el punto (i1 , j1 ) m´ as a la izquierda (i.e. con i1 m´ınimo) y m´as abajo (i.e. con el correspondiente j1 m´ınimo), en nuestro caso el (0, 6). Alrededor de este punto se hace girar en el sentido contrario a las agujas del reloj a una semirrecta vertical, hasta que toque el primer punto (i2 , j2 ) del soporte, en nuestro caso, el punto (1, 2) (si hubiera varios, se tomar´ıa el que estuviera m´ as abajo). Ahora alrededor de este nuevo punto se contin´ ua girando la semirrecta, hasta que toque a un nuevo punto (i3 , j3 ), en nuestro caso el (5, 0) (est´a tambi´en el (3, 1), pero hemos dicho que tomar´ıamos siempre el que estuviera m´ as abajo). El pol´ıgono se termina cuando lleguemos al punto m´as bajo (y a la izquierda) 62

del soporte, en nuestro caso el (5, 0). N´otese que este proceso acaba siempre, porque los valores j1 , j2 , . . . son naturales estrictamente decrecientes. Estudiemos las posible ra´ıces que pueden salir de cada uno de los lados: 1) Empezamos por el lado de v´ertices (0, 6) y (1, 2), es decir, la recta i + 41 j = 32 , que corresponde a los monomios Y 6 − XY 2 . Esto deber´ıa producir alguna ra´ız que empezase 1 1 como q = cX 4 + . . ., es decir, de la forma q = X 4 (c + q1 ), donde q1 es una serie de Puiseux con q1 (0) = 0. La parte de grado m´as peque˜ no de f (X, q(X)) ser´a 1

1

3

(cX 4 )6 − X(cX 4 )2 = (c6 − c2 )X 2

luego debe ser c6 − c2 = 0, es decir, tenemos las posibilidades c = 1, −1, i, −i (recu´erdese que queremos c 6= 0). N´ otese que obtenemos cuatro soluciones, tantas como la altura del lado que estamos considerando.(∗) Escogemos de momento el valor c = 1 (es decir, buscamos ahora ra´ıces de la forma 1 q = X 4 (1 + q1 )), y veamos que el modo de calcular q1 es por recurrencia. En efecto, q1 ser´a ahora una ra´ız del polinomio 1

3

3

f (X, X 4 (1 + Y1 )) = X 2 (1 + Y1 )6 − X 2 (1 + Y1 )2 + 2X

13 4

(1 + Y1 ) − X 5 + X

11 2

(1 + Y1 )2 =

7
3 7 = X 2 (4Y1 + 14Y12 + 20Y13 + 15Y14 + 6Y15 + Y16 ) + 2X14 (1 + Y1 ) − X 2 + X 4 (1 + 2Y1 + Y12 )

Buscamos entonces ra´ıces del polinomio 7

7

f1 (X, Y1 ) := (4Y1 +14Y12 +20Y13 +15Y14 +6Y15 +Y16 )+2X14 (1+Y1 )−X 2 +X 4 (1+2Y1 +Y12 ) que est´a en las hip´ otesis del Lema 6.16, luego tendr´a una u ´nica ra´ız q1 con q1 (0) = 0, que 1 4 on adem´as estar´ a en k[[X ]]. Dicha ra´ız la podemos calcular o bien como en la demostraci´ del Teorema de la Funci´ on Impl´ıcita Formal o bien usando el pol´ıgono de Newton de f1 (que tiene s´ olo un lado, de v´ertices (0, 1) y ( 74 , 0)). En concreto, q1 empezar´a como 7 q1 = − 12 X 4 + . . ., luego la ra´ız q de f empezar´a como 1 1 1 1 7 1 q = X 4 (1 + q1 ) = X 4 (1 − X 4 + . . .) = X 4 − X 2 + . . . 2 2

que da lugar a la parametrizaci´ on 1 (X, Y ) = (T 4 , T − T 8 + . . .) 2 (∗)

Es pr´ actico observar que hay un modo r´apido de obtener el inicio de esta ra´ız. Se iguala a cero la parte de f que corresponde al lado que estudiamos, es decir, hacemos Y 6 − XY 2 = 0. Si despejamos Y de aqu´ı, obtendremos Y 4 = X, que da como soluci´ on 1 4 Y = cX , con c = 1, −1, i, −i, que es el primer t´ermino de la ra´ız q que estamos hallando. 63

El resto de ra´ıces para los otros valores de c se pueden calcular de la misma forma, aunque hay un truco mucho m´ as sencillo. Por el Teorema 6.10, las parametrizaciones equivalentes a la anterior se obtienen cambiando T por c, con c = 1, −1, i, −i, luego son de la forma 1 1 1 1 (T 4 , T − T 8 + . . .), (T 4 , −T − T 8 + . . .), (T 4 , iT − T 8 + . . .), (T 4 , −iT − T 8 + . . .) 2 2 2 2 que correponden, respectivamente a las ra´ıces 1 1 1 1 1 1 1 1 X 4 − X 2 + . . . , −X 4 − X 2 + . . . , iX 4 − X 2 + . . . , −iX 4 − X 2 + . . . 2 2 2 2 Resumiendo, este lado nos ha dado una u ´nica rama, precisamente en la direcci´on de V (X) (el hecho de tener tangente vertical explica que no se haya podido parametrizar como (T, p(T ))).

2) Estudiamos ahora el lado de v´ertices (1, 2), (3, 1), (5, 0), es decir, la recta i + 2j = 5, que corresponde ahora a los monomios −XY 2 + 2X 3 Y − X 5 . Usando el truco del pie de p´agina anterior, debemos resolver Y 2 − 2X 2 Y + X 4 = 0, que tiene una ra´ız doble Y = X 2 . Es decir, al tener altura dos, nos esper´abamos dos ra´ıces, pero nos ha salido s´olo una contada dos veces. Veamos qu´e consecuencias tiene ahora esto. La ra´ız que buscamos ser´ a 2 entonces de la forma q = X (1 + q1 ), con q1 (0) = 0, y q1 ser´a por tanto ra´ız de f (X, X 2 (1 + Y1 )) = X 12 (1 + Y1 )6 − X 5 (1 + Y1 )2 + 2X 5 (1 + Y1 ) − X 5 + X 9 (1 + Y1 )2 =
= X 5 − Y12 + X 4 (1 + 2Y1 + Y12 ) + X 7 (1 + 6Y1 + 15Y12 + 20Y13 + 15Y14 + 6Y15 + Y16 ) Para calcular ahora las ra´ıces de f1 (X, Y1 ) := −Y12 + X 4 (1 + 2Y1 + Y12 ) + X 7 (1 + 6Y1 + 15Y12 + 20Y13 + 15Y14 + 6Y15 + Y16 ) observamos que no podemos aplicar el Lema 6.16. De hecho, el pol´ıgono de Newton de este nuevo polinomio tiene un solo lado, de v´ertices (0, 2) y (4, 0) (n´otese que la altura del pol´ıgono de Newton es dos, igual a la multiplicidad de la soluci´on anterior). Como los v´ertices del pol´ıgono corresponden a los monomios −Y12 + X 4 , encontramos ahora dos posibles ra´ıces q1 = ±X 2 + . . .. Se deja al lector que compruebe que la sustituci´ on 2 f1 (X, X (±1 + Y2 )) da lugar, para cada uno de los dos signos, una u ´nica ra´ız Y2 = q2 (usando el Teorema de la Funci´ on Impl´ıcita Formal, aunque se deducir´a tambi´en de la pr´oxima demostraci´ on). Obtenemos entonces dos ra´ıces q = X 2 (1 + q1 ) = X 2 (1 ± X 2 + . . .) = X 2 ± X 4 + . . . lo que da lugar a dos parametrizaciones no equivalentes (X, Y ) = (T, T 2 ± T 4 + . . .) Por tanto, tenemos dos ramas distintas, ambas en la direcci´on de V (Y ). Veamos ahora que el m´etodo anterior funciona siempre: 64

Teorema 6.19. Sea f ∈ k{{X}}[Y ] un polinomio tal que f (0, Y ) es no nulo y divisible por Y . Entonces, si k es algebraicamente cerrado, existe alguna serie de Puiseux p(X) que es ra´ız de f y tal que p(0) = 0. Demostraci´ on: Nuestras hip´ otesis sobre f son equivalentes a que f no tenga t´ermino independiente y contenga alg´ un monomio de la forma Y j (es decir, que alg´ un punto del soporte es de la forma (0, j)). Podemos suponer tambi´en que el soporte de f contiene alg´ un punto de la forma (i, 0), ya que, en caso contrario, f ser´ıa divisible por Y , y en particular Y = 0 ser´ıa una ra´ız. Tomamos ahora q, d ∈ Q tal que sop(f ) ⊂ {i + qj ≥ d} y la recta i + qj = d corte a sop(f ) en (i1 , j1 ), . . . , (ir , jr ) con r ≥ 2 (es decir, la recta es un lado del pol´ıgono de Newton-Puiseux), y suponemos los r puntos ordenados de izquierda a derecha, es decir, i1 ≤ . . . ≤ ir y j1 ≥ . . . ≥ jr . La parte de f que corresponde a los puntos de ese lado del pol´ıgono ser´ a entonces de la forma a1 X i1 Y j1 + . . . + as X ir Y jr con todos los ai no nulos. Por tanto, haciendo la sustituci´on Y = cX q + . . ., la parte de grado m´as peque˜ no ser´ a (usando que ik + qjk = d para i = 1, . . . , r): a1 X i1 (cX q )j1 + . . . + as X ir (cX q )jr = (a1 cj1 + . . . + ar cjr )X d es decir, c debe ser una ra´ız no nula del polinomio (que factoriza en factores lineales por ser k algebraicamente cerrado): g(T ) := a1 T j1 + . . . + ar T jr = T jr (a1 T j1 −jr + . . . + ar ) = a1 T jr

Y (T − cl )ml l

donde las cl son las ra´ıces distintas no nulas, cada una con multiplicidad ml . N´otese que P entonces el n´ umero de tales ra´ıces, contadas con multiplicidad, es l ml = j1 − jr , es decir, la altura del lado del pol´ıgono. Como observamos en el pie de p´agina del Ejemplo 6.18, estas soluciones Y = cX q de c´omo debe empezar la ra´ız de f se pueden obtener directamente de la parte de f que corresponde al lado del pol´ıgono escribiendo a1 X i1 Y j1 + . . . + as X ir Y jr = a1 X d−qj1 Y j1 + . . . + as X d−qjr Y jr = Y Y Y jr Y Y j1 d d Y jr ) + . . . + a ( ) ) = X g( ) = a X ( ) ( q − cl )ml = r 1 Xq Xq Xq Xq X l P Y Y (Y − cl X q )ml = a1 X i1 Y jr (Y − cl X q )ml . = a1 X d+q(−jr − l ml ) Y jr

= X d (a1 (

l

l

65

Tenemos entonces que, si existe la p(X) buscada, se puede escribir como p(X) = cX q + X q p1 (X), con p1 (0) = 0, donde c es una de las cl . Para ver c´omo tendr´ıa que ser esta p1 para que f (X, p(X)) = 0, llamamos m a la multiplicidad de c como ra´ız de g y escribimos entonces Y g(T ) = a1 (T − c)m T jr (T − cl )ml . cl 6=c

Si hacemos el cambio de variable Y = X q (c + Y1 ), por la construcci´on del pol´ıgono de Newton-Puiseux, tal sustituci´ on da grado en X estrictamente mayor que d en cada i1 j 1 monomio distinto de los de a1 X Y + . . . + as X ir Y jr (expresi´on que vimos que era igual a X d g( XYq )). Tendremos entonces: Y
f (X, X q (c + Y1 )) = X d g(c + Y1 ) + . . . = X d (a1 Y1m (c + Y1 )jr (c − cl + Y1 )ml + . . .) cl 6=c

donde los puntos suspensivos indican que todos los sumandos contienen alguna X. Por tanto, la serie p1 que buscamos tiene que ser una ra´ız del polinomio f1 (X, Y1 ) :=

Y f (X, X q (c + Y1 )) m jr = a Y (c + Y ) (c − cl + Y1 )ml + . . . 1 1 1 Xd cl 6=c

que tiene un monomio en Y1m y ninguno con un exponente menor. De este modo, hemos reducido el calcular una ra´ız p de f a calcular una ra´ız p1 de f1 . La ventaja es que la altura del pol´ıgono de Newton-Puiseux de f1 es ahora m (salvo que f1 fuese divisible por Y1 , en cuyo caso la serie nula p1 = 0 ser´ıa una ra´ız), en principio mucho menor que la altura del P pol´ıgono de Newton-Puiseux de f , ya que m ≤ l ml = j1 − jr y este u ´ltimo n´ umero es s´ olo la altura de un lado del pol´ıgono de f . Aplicando este proceso a f1 y reiterando, vamos encontrando una sucesi´on de polinomios f1 (X, Y1 ), f2 (X, Y2 ), . . . en que cada fn est´a en (k{{X}})[Yn ] y de modo que una ra´ız Yn = pn (X) de fn con pn (0) = 0 proporciona autom´aticamente una ra´ız Y = p(X) de f con p(0) = 0. El proceso se puede parar porque alg´ un fn sea divisible por Yn , en cuyo caso Yn = 0 es ya una ra´ız de fn (en realidad, podr´ıamos seguir calculando las dem´ as s posibles ra´ıces de fn escribiendo fn = Yn gn , donde gn ya no es divisible por Yn y por tanto le podemos seguir aplicando el algoritmo). Tambi´en podemos parar el proceso en cuanto alg´ un fn tenga al punto (0, 1) en el soporte, ya que la Observaci´on 6.17 nos garantiza que en tal caso fn tiene una u ´nica ra´ız Yn = pn (X) con pn (0) = 0. En caso contrario, como la sucesi´on de enteros positivos dada por la altura de los sucesivos pol´ıgonos de Newton-Puiseux de los fn va decreciendo, y llegar´a un momento en que necesariamente estacione. Como estamos suponiendo que no llegamos a altura uno, estacionar´ a en alg´ un entero m > 1 (en realidad puede demostrarse que es un caso que 66

se da s´olo si f tiene alg´ un factor m´ ultiple). Entonces se llega a un polinomio fn , cuyo pol´ıgono tiene s´ olo un lado de altura m, que debe corresponder a que se puede escribir fn = a(Yn − cn X qn )m + . . ., es decir que el lado viene dado por los puntos del soporte (0, m), (qn , m − 1), (2qn , m − 2) . . . , (mqn , 0). 1

Si fn ∈ (k[[X r ]])[Y ], eso quiere decir que podemos escribir qn = brn , con bn ∈ N, y el lado del pol´ıgono tendr´ a de ecuaci´ on i + brn j = mbr n . Como al reiterar se obtienen siempre polinomios de las mismas caracter´ısticas, el nuevo polinomio fn+1 (X, Yn+1 ) :=

fn (X, X

bn r

(cn + Yn+1 ))

X

mbn r

= aYnm + . . . ,

1

cuyos coeficientes siguen en k[[X r ]], tiene necesariamente de nuevo pol´ıgono de NewtonPuiseux de altura m y con un solo lado , que corresponder´a al hecho de que se puede escribir bn+1 fn+1 (X, Yn+1 ) = a(Yn+1 − cn+1 X r )m + . . .. Reiterando el procedimiento llegamos a una ra´ız de fn de la forma Y = cn X

bn r

+ cn+1 X

bn +bn+1 r

1

+ . . . ∈ k[[X r ]]

y por tanto es una serie de Puiseux. El resultado anterior demuestra (haciendo una traslaci´on al origen) que, dado cualquier punto (a, b) en una curva V (f ), existe siempre al menos una parametrizaci´on formal de V (f ) en el punto. Adem´ as, por el Lema 6.11, podemos tomarla siempre reducida. Como siempre, lo mismo vale para curvas proyectivas. En otras palabras, hemos visto que por cada punto de una curva tenemos al menos una rama (y que la rama es u ´nica si el punto es liso). Daremos m´ as detalles en la secci´on siguiente, concretamente en el Teorema 7.2. Terminaremos esta secci´ on con dos resultados m´as sobre las ra´ıces de Puiseux. Corolario 6.20. Si k es algebraicamente cerrado, el cuerpo de fracciones de k{{X}} es algebraicamente cerrado. Demostraci´ on: Sea f = p0 (X) + p1 (X)Y + . . . + pn (X)Y n un polinomio en la variable Y cuyos coeficientes son cocientes de series de Puiseux. Podemos quitar denominadores y suponer que p0 , p1 , . . . , pn son series de Puiseux, y –multiplicando todo por X, si hiciera falta– que p0 (0) = 0. Por otra parte, tomamos el m´ınimo valor a de O(p1 )/1, . . . , O(pn )/n. Y0 0 Entonces, si escribimos f 0 (X, Y 0 ) := f (X, X como a ) tendremos que los coeficientes de f 0 polinomio en Y son series de Puiseux, y adem´as una de ellas es una serie con t´ermino independiente. Por tanto, podemos aplicar el Teorema 6.19 y encontrar una ra´ız p de f 0 . Entonces Xpa es una ra´ız de f . 67

Proposici´ on 6.21. Si f ∈ k{{X}}[Y ] es m´onico en la variable Y , entonces todas las ra´ıces de f est´ an en k{{X}}. Demostraci´ on: Lo hacemos por inducci´on sobre el grado de f en la indeterminada Y , siendo trivial el caso en que el grado es uno. Si ahora f tiene grado d > 1 en Y , consideramos una ra´ız a de f (0, Y ). Entonces, el polinomio g(X, Y ) := f (X, Y + a) es m´onico en Y y satisface g(0, 0) = 0, luego por el Teorema 6.19 existe p ∈ k{{X}} tal que g(X, p(X)) = 0. Por tanto, a + p(X) ∈ k{{X}} es una ra´ız de f . Por la regla de Ruffini, podemos escribir
f (X, Y ) = Y − a − p(X) h(X, Y ) donde h ∈ k{{X}}[Y ] es m´ onico de grado d − 1 en Y . Por hip´otesis de inducci´on, todas las ra´ıces de h est´ an en k{{X}}, es decir, todas las ra´ıces de f est´an en k{{X}}, lo que concluye la demostraci´ on.

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7. Intersecci´ on de curvas. Teorema de B´ezout En esta secci´ on podremos utilizar todo lo visto en la secci´on anterior para definir por fin formalmente multiplicidad de intersecci´on de dos curvas en un punto. Como consecuencia podremos demostrar ya rigurosamente el Teorema de B´ezout, del que veremos una primera aplicaci´ on, en concreto el contar el n´ umero de puntos de inflexi´on de una curva con singularidades sencillas. Podemos empezar definiendo la multiplicidad de intersecci´on de una curva con una rama de una curva, ya que una rama no es m´as que una parametrizaci´on. As´ı que, de la misma forma que para curvas parametrizadas, est´a bien definida la siguiente noci´on (que no depende de representantes o de cambio de variable): Definici´ on. Se llama multiplicidad de intersecci´ on de una rama con una curva V (g) en un punto (a, b) al orden de g(p, q), donde (p, q) es un representante de la rama. Como en el caso de curvas, se puede definir la noci´on de tangente a una rama, a partir del siguiente: Lema 7.1. Sea (a+cr T r +. . . , b+dr T r +. . .) un representante de una rama de multiplicidad r (por tanto al menos uno entre cr , dr 6= 0). Entonces la multiplicidad de intersecci´ on de la rama con cualquier recta que pase por (a, b) es mayor o igual que r, d´andose la igualdad si y s´olo si la recta no es la que pasa por (a, b) en la direcci´on del vector (cr , dr ). Demostraci´ on: Una recta que pasa por (a, b) tiene la forma V (λ(X − a) + µ(Y − b)). Para calcular su multiplicidad de intersecci´on con la rama en (a, b) hay que calcular el orden de λ(cr T r + . . .) + µ(dr T r + . . .) = (λcr + µdr )T r + . . . Por tanto, el orden es siempre al menos r, y es igual a r exactamente cuando λcr +µdr 6= 0, que corresponde al hecho de que la direcci´on de la recta no es la del vector (cr , dr ).

Definici´ on. Se llama recta tangente a una rama de multiplicidad r en un punto a la u ´nica recta cuya multiplicidad de intersecci´on con la rama en el punto es mayor que r. Comprobemos que las rectas tangentes a una curva en un punto son exactamente las rectas que son tangentes a alguna de las ramas de la curva en el punto. Teorema 7.2. Sea C una curva plana. Entonces la ecuaci´on del cono tangente a C en un punto p es el producto de las distintas rectas tangentes a las distintas ramas de C en p, cada una de ellas elevada a la multiplicidad de la rama. En particular, hay un n´ umero 69

finito de ramas en p, y la suma de sus multiplicidades es la multiplicidad del punto en la curva. Demostraci´ on: Haciendo un cambio de variable, supondremos que el punto es (0, 0), que el polinomio f es m´ onico en Y y que ninguna de las rectas del cono tangente es V (X). Por la Proposici´ on 6.21, las ra´ıces de f como polinomio en la variable Y son series de Puiseux distintas. Sean q1 , . . . , qs las ra´ıces de f que no se anulan en X = 0. Por la Observaci´ on 6.15 (y usando su notaci´ on), el resto de las ra´ıces se podr´an agrupar como p1,ω1 (X), p1,ω12 (X), . . . , p1,ωr1 (X) 1

p2,ω2 (X), p2,ω22 (X), . . . , p2,ωr2 (X) 2

.. . 2 (X), . . . , pm,ω rm (X) pm,ωm (X), pm,ωm m

para series de la forma pi (X) = ci,mi X

mi ri

+ ci,mi +1 X

mi +1 ri

+ ...

donde cada ωi es una ra´ız ri -´esima de la unidad. Entonces se podr´a escribir f (X, Y ) =

s Y

m
Y
(Y − qj (X) (Y − pi,ωi (X))(Y − pi,ωi2 (X)) . . . (Y − pi,ωri (X)) i

j=1

i=1

Como la ecuaci´ on del cono tangente es el sumando homog´eneo de grado menor de f , bastar´a ver cu´ al es en cada factor: –En los factores de la forma Y − qj (X), como qj (0) 6= 0, hay t´ermino independiente, que es la parte de grado m´ as peque˜ no. –Para los factores de la forma (Y −pi,ωi (X))(Y −pi,ωi2 (X)) . . . (Y −pi,ωri (X)), observai mos primero que no puede ser mi < ri (suponiendo ci,mi 6= 0) ya que entonces el sumando de menor grado del factor ser´ıa un m´ ultiplo de una potencia de X, en contradicci´on con que el cono tangente a C en el origen no contiene la recta V (X). Esto quiere decir que podemos suponer mi = ri (tomando ahora ci,ri = 0 si hiciera falta) y que pi (X) da lugar a una rama de multiplicidad ri de recta tangente V (Y − ci,ri X). N´otese que entonces la parte homog´enea de grado menor en (Y − pi,ωi (X))(Y − pi,ωi2 (X)) . . . (Y − pi,ωri (X)) es i precisamente (Y − ci,ri X)ri . El resultado es ahora una consecuencia inmediata de estas dos observaciones. Podemos ya definir de forma precisa multiplicidad de intersecci´on de dos curvas en un punto: 70

Definici´ on. Se llama multiplicidad de intersecci´ on de dos curvas C y D en un punto a ∈ C ∩ D a la suma de las multiplicidades de intersecci´on en a de cada rama de C en a con D. Denotaremos por multa (C, D) a tal multiplicidad. N´otese que, cuando C es una recta, tiene una u ´nica rama en cada punto, y esta nueva definici´on coincide con la dada al final de la secci´on 4. Obs´ervese que en principio la multiplicidad de intersecci´on depende del orden en que consideremos C y D, aunque pronto demostraremos que no es as´ı. Para ello, relacionaremos esta multiplicidad de intersecci´ on con la multiplicidad de las ra´ıces de la resultante que obten´ıamos en el Teorema D´ebil de B´ezout, lo que nos permitir´a acabar demostrando el Teorema de B´ezout en su totalidad. Empezamos con un par de propiedades u ´tiles, que nos pueden permitir saber la multiplicidad de intersecci´ on sin necesidad de hacer ning´ un c´alculo. Proposici´ on 7.3. Si a es un punto de intersecci´on de dos curvas C y D, entonces para toda rama R de C en a se tiene multa (R, D) ≥ multa (R) multa (D), con igualdad si y s´ olo si Ta R no es una de las rectas del cono tangente de D en a. Demostraci´ on: Mediante un cambio de variables y paso al af´ın podemos suponer a = (0, 0) y Ta R = V (Y ). Por tanto, una parametrizaci´on reducida de R es de la forma (T r , cT s +. . .), con s > r = multa (R). Por otra parte, la descomposici´on de una ecuaci´on minimal de D ser´a de la forma g(X, Y ) = gm (X, Y ) + . . . + gd (X, Y ), con m = multa (D). Por tanto, el t´ermino de menor grado de g(T r , cT s + . . .) s´olo puede ser un T rm , que aparecer´a si y s´ olo m si gm tiene t´ermino en X , es decir, si y s´olo si gm , que es la ecuaci´on del cono tangente no es divisible por Y . Proposici´ on 7.4. Si a es un punto de intersecci´on de dos curvas C y D, entonces multa (C, D) ≥ multa (C) multa (D), con igualdad si y s´olo si C y D no comparten ninguna recta tangente en a. Demostraci´ on: Sean R1 , . . . , Rs las ramas de C en a, y sean m1 , . . . , mr sus multiplicidades respectivas. Entonces, por la Proposici´on 7.3, se tiene multa (Ri , D) ≥ mi multa (D), con igualdad si y s´ olo si la tangente a Ri en a no es tangente a D en a. Como, por definici´ on, s multa (C, D) = Σi=1 multa (Ri , D) y, por el Teorema 7.2, ser´a multa (C) = m1 + . . . + ms , el resultado se sigue sumando las s desigualdades anteriores. Ya finalmente, demostramos un lema t´ecnico que ser´a crucial a la hora de demostrar el Teorema de B´ezout, ya que nos indica que la multiplicidad de intersecci´on que hemos definido coincide con la multiplicidad que nos aparec´ıa en la demostraci´on del Teorema D´ebil de B´ezout. 71

Lema 7.5. Si F, G ∈ k[X0 , X1 , X2 ] son polinomios homog´eneos primos entre s´ı, F y G son m´onicos en la variable X2 , y resX2 (F, G) = Πi (ai X0 + bi X1 )ri es la descomposici´ on en factores irreducibles de RX2 (F, G), entonces cada ri es la suma de las multiplicidades de intersecci´on de V (F ) y V (G) en los puntos de la recta V (ai X0 + bi X1 ). Demostraci´ on: Obviamente, si hacemos un cambio de variable en X0 , X1 , entonces la resultante de los polinomios correspondientes se obtiene haciendo el mismo cambio de variable en el polinomio resultante. Por tanto, bastar´a ver que, si X1s es la m´ axima potencia de X1 que divide a RX2 (F, G), entonces s es la suma de las multiplicidades de intersecci´on de V (F ) y V (G) en los puntos de la recta V (X1 ). Escribimos F = F0 (X0 , X1 )X2d + F1 (X0 , X1 )X2d−1 + . . . + Fd (X0 , X1 ) con Fi , Gi homog´eneos de grado i y F0 = 1. Si llamamos f, g ∈ k[X, Y ] a los deshomogeneizados respectivos de F y G, entonces es claro que el deshomogeneizado de RX2 (F, G) es Ry (f, g). Por tanto, hay que ver que, si X s es la m´axima potencia de X que divide a RY (f, g), entonces s es la suma de las multiplicidades de intersecci´on de V (f ) y V (g) en los puntos de la forma (0, b). Por otra parte (ver Ejercicio 2.2), sabemos que RY (f, g) = g(X, p1 ) . . . g(X, pd ), donde p1 , . . . , pd son las ra´ıces de f como polinomio en Y . Adem´as, por la Proposici´on 6.21, tenemos que p1 , . . . , pd son series de Puiseux (luego cada una de ellas dar´a lugar a una rama de V (f ) en el punto (0, pi (0)), y adem´as cada rama en un punto (0, b) viene de alguna ra´ız). Usando la Observaci´on 6.15, sabemos que las ra´ıces est´an agrupadas por ramas. En concreto, usando la notaci´on de dicha observaci´on, sean pω , pω2 , . . . , pωr las ra´ıces que corresponden a la rama representada por la parametrizaci´on reducida (T r , q(T )). Entonces, si el orden de g(T r , q(T )) es m, es claro que el orden de cada g(X, pωi ) es m r . Esto quiere decir que el orden de g(X, pω )g(X, pω2 ) . . . g(X, pωr ) es m, que es precisamente la multiplicidad de intersecci´ on en (0, q(0)) de la rama con V (g). Por tanto, el orden de g(X, p1 ) . . . g(X, pd ) es la suma de las multiplicidades de intersecci´on de V (g) con todas las ramas de V (f ) en todos los puntos de la forma (0, b), como quer´ıamos. Teorema 7.6 (B´ezout). Sean C, D ⊂ P2k dos curvas sin componentes comunes. Entonces P p∈C∩D multp (C, D) = deg(C) deg(D). Demostraci´ on: Basta rehacer la demostraci´on del Teorema D´ebil de B´ezout (Corolario 2.7), pero usando ya el Lema 7.5. En efecto, tomamos coordenadas de modo que el punto (0 : 0 : 1) no est´e ni en C ni en D ni en ninguna recta que una dos puntos de intersecci´ on de C y D. Entonces, podemos tomar ecuaciones minimales F y G de C y D respectivamente que sean m´ onicas en X2 . Por el Teorema 2.6, la resultante de F y G respecto de X2 es un 72

polinomio homog´eneo de grado deg(F ) deg(G) en X0 , X1 . Entonces factorizar´a como resX2 (F, G) = Πi (ai X0 + bi X1 )ri P y evidentemente i ri = deg(F ) deg(G) = deg(C) deg(D). Basta por tanto ver que los ri son las multiplicidades de intersecci´on de las curvas C y D en los distintos puntos. Esto es as´ı porque cada punto de intersecci´on est´a en alguna de las rectas V (ai X0 + bi X1 ), y adem´as, por la elecci´ on de coordenadas, cada recta V (ai X0 + bi X1 ) contiene un u ´nico punto de intersecci´ on pi . Pero el Lema 7.5 implica que multpi (C, D) = ri , lo que concluye la demostraci´ on.

Observaci´ on 7.7. Obs´ervese que la demostraci´on anterior demuestra que el orden de las curvas no influye a la hora de calcular multiplicidades de intersecci´on. En efecto, la multiplicidad de intersecci´ on de D y C en un punto pi es la multiplicidad de la ra´ız (−bi : ai ) en resX2 (G, F ). Y, como resX2 (F, G) y resX2 (G, F ) difieren como mucho en el signo, se tiene multpi (D, C) = multpi (C, D). Apliquemos ahora el Teorema de B´ezout a un caso concreto. Vimos en el Teorema 5.13 que los puntos de la intersecci´on de una curva con su curva hessiana nos da los puntos de inflexi´on m´ as los puntos singulares de la curva. Si la curva es de grado d, su curva hessiana es de grado 3(d − 2), luego 3d(d − 2) es el n´ umero de puntos de inflexi´on m´ as el n´ umero de puntos singulares, cada uno de ellos contados con cierta multiplicidad de intersecci´on (la ecuaci´ on HF de la curva hessiana podr´ıa no ser minimal; de todas formas, entenderemos la multiplicidad de intersecci´on de la curva con su hessiana la suma de las multiplicidades de intersecci´ on con cada una de las componentes de la hessiana, contadas tantas veces como se repitan). Nuestro objetivo ahora es determinar las multiplicidades de intersecci´ on que obtenemos. Empecemos con los puntos de inflexi´on. Lema 7.8. Si a ∈ C ⊂ P2k es un punto de inflexi´on liso tal que multa (C, Ta C) = r, entonces multa (C, HF (a)) = r − 2, donde F es una ecuaci´on minimal de C. En particular, si C no contiene rectas entonces tiene un n´ umero finito de puntos de inflexi´on. Demostraci´ on: Haciendo un cambio de coordenadas podemos suponer que a = (1 : 0 : 0) y Ta C = V (X2 ). Esto quiere decir que una ecuaci´on minimal de C tiene el aspecto F (X0 , X1 , X2 ) = X0d−1 X2 + cX0d−r X1r + . . ., con c 6= 0, y una parametrizaci´on formal de C en a es de la forma  X =1   0 X1 = T   X2 = − cT r + . . . 73

Entonces F00 = (d − 1)(d − 2)X0d−3 X2 + c(d − r)(d − r − 1)X0d−r−2 X1r + . . . F01 = cr(d − r)X0d−r−1 X1r−1 + . . . F02 = (d − 1)X0d−2 + . . . F11 = cr(r − 1)X0d−r X1r−2 + . . . y, por tanto, bT r HF (1, T, −cT r + . . .) = cr(d − r)T r−1 + . . . (d − 1) + . . .

cr(d − r)T r−1 + . . . cr(r − 1)T r−2 + . . .

(d − 1) + . . .

donde b = −c(d − 1)(d − 2) + c(d − r)(d − r − 1) (aunque no importe cu´al es el valor concreto). Como es claro que el t´ermino de menor grado es cr(r − 1)(d − 1)2 T r−2 , se sigue que multa (C, HF (a)) = r − 2. En particular, es un valor finito, luego hay un n´ umero finito de puntos de inflexi´ on. El hecho de que C no contenga rectas es precisamente lo que implica que r sea un valor finito para cualquier punto de inflexi´on.

Definici´ on. Se llama punto de inflexi´ on ordinario a un punto de inflexi´on a de una curva C tal que multa (C, Ta C) = 3. Veamos ahora qu´e ocurre con los puntos singulares m´as sencillos. Para ver cu´ales son, estudiemos las curvas de grado m´ as peque˜ no que tengan puntos singulares. Como una c´onica irreducible es lisa, tendremos que considerar c´ ubicas: Ejemplo 7.9. Sea C ⊂ P2k una c´ ubica irreducible. Observamos en primer lugar que C tiene como mucho un punto singular, ya que, si no, la recta que pasa por dos puntos singulares cortar´ıa a C con multiplicidad al menos dos en cada punto singular (por la Proposici´on 7.3), contradiciendo el Teorema de B´ezout. De nuevo por la Proposici´on 7.3 y el Teorema de B´ezout, el punto singular no puede tener multiplicidad mayor estrictamente que dos, as´ı que necesariamente es un punto doble, y por el Teorema 7.2 tendr´a o bien dos ramas lisas o una rama doble. Estudiemos separadamente los dos casos: –Supongamos primero que el punto singular tiene dos ramas lisas. Las tangentes a las ramas no pueden ser iguales, pues en tal caso la recta tangente cortar´ıa a C al menos con multiplicidad cuatro en el punto singular. Por el mismo motivo, ninguna de las rectas tangentes a C en el punto singular puede ser de inflexi´on. –Si en cambio el punto singular tiene una u ´nica rama que es doble, de nuevo por el Teorema de B´ezout la recta tangente a la rama corta con multiplicidad exactamente tres. 74

Esto motiva las siguientes definiciones: Definici´ on. Se llama nodo ordinario de una curva C a un punto doble a ∈ C con dos tangentes distintas, y de forma que cada una de ellas corte a la curva con multiplicidad tres en a (o dicho de otro modo, que cada recta tangente corte a la rama correspondiente con multiplicidad dos, es decir, que ninguna de las ramas es de inflexi´on). Definici´ on. Se llama c´ uspide a un punto singular que tenga una sola rama. Una c´ uspide ordinaria es una c´ uspide que es un punto doble tal que la recta tangente corta a la curva en el punto con multiplicidad tres. Veamos las multiplicidades de intersecci´on en estos puntos entre la curva y su hessiana. Lema 7.10. Si a ∈ C ⊂ P2k es un punto doble ordinario, entonces multa (C, HF (a)) = 6, donde F es una ecuaci´ on minimal de C. Demostraci´ on: Mediante un cambio de variable suponemos a = (1 : 0 : 0) y el cono tangente a C en b es V (X1 X2 ). Pasando al af´ın, la ecuaci´on minimal de la curva ser´a de la forma f (X, Y ) = XY +t´erminos de mayor grado. Adem´as, como mult(0,0) (V (f ), V (X)) = 3, necesariamente Y 3 es la m´ axima potencia de Y que divide a f (0, Y ), y sim´etricamente 3 X es la m´ axima potencia de X que divide a f (X, 0). Por tanto, f tiene monomios de la 3 forma c1 X y c2 Y 3 , con c1 , c2 6= 0. Homogeneizando, una ecuaci´on minimal de C tiene el aspecto F = X0d−2 X1 X2 + c1 X0d−3 X13 + c2 X0d−3 X23 . . . con c1 , c2 6= 0 y las ramas de C en a se pueden parametrizar como  X =1   0 X1 = − c2 T 2 + . . .   X2 = T

 X =1   0 X1 = T   X2 = − c1 T 2 + . . . Entonces tendremos:

F0 = (d − 2)X0d−3 X1 X2 + (d − 3)c1 X0d−4 X13 + (d − 3)c2 X0d−4 X23 + . . . F1 = X0d−2 X2 + 3c1 X0d−3 X12 + . . . F2 = X0d−2 X1 + 3c2 X0d−3 X22 + . . . F00 = (d−2)(d−3)X0d−4 X1 X2 +(d−3)(d−4)c1 X0d−5 X13 +(d−3)(d−4)c2 X0d−5 X23 +. . . F01 = (d − 2)X0d−3 X2 + 3(d − 3)c1 X0d−4 X12 + . . . F02 = (d − 2)X0d−3 X1 + 3(d − 3)c2 X0d−4 X22 + . . . F11 = 6c1 X0d−3 X1 + . . . F12 = X0d−2 + . . . F22 = 6c2 X0d−3 X2 + . . . 75

Por tanto, sustituyendo la parametrizaci´on de la primera rama en la ecuaci´ on del determinante hessiano tendremos: −2c1 (d − 3)T 3 + . . . c1 (2d − 7)T 2 + . . . (d − 2)T + . . . = 6c1 T + . . . 1 + ... HF (1, T, −c1 T 2 + . . .) = c1 (2d − 7)T 2 + . . . 2 (d − 2)T + . . . 1 + ... −6c1 c2 T + . . . = (2c1 (d − 2)(2d − 7) − 6c1 (d − 2)2 + 2c1 (d − 3))T 3 + . . . = −2c1 (d − 1)2 T 3 + . . . lo que demuestra que la multiplicidad de intersecci´on de dicha rama con la curva hessiana en el punto a es tres. Por simetr´ıa, la otra rama corta tambi´en con multiplicidad tres, lo que concluye el resultado. Lema 7.11. Si a ∈ C ⊂ P2k es una c´ uspide ordinaria, entonces multa (C, HF (a)) = 8, donde F es una ecuaci´ on minimal de C. Demostraci´ on: De nuevo, podemos suponer que a = (1 : 0 : 0) y que el cono tangente es 2 V (X2 ). Entonces la rama de C en a se puede parametrizar  X =1   0 X1 = T 2   X2 = cT 3 + . . . con c 6= 0, con lo que una ecuaci´ on minimal de C tiene el aspecto F = X0d−2 X22 − c2 X0d−3 X13 + . . . luego F0 = (d − 2)X0d−3 X22 − (d − 3)c2 X0d−4 X13 + . . . F1 = −3c2 X0d−3 X12 + . . . F2 = 2X0d−2 X2 + . . . F00 = (d − 2)(d − 3)X0d−4 X22 + (d − 3)(d − 4)c2 X0d−5 X13 + . . . F01 = −3(d − 3)c2 X0d−4 X12 + . . . F02 = 2(d − 2)X0d−3 X2 + . . . F11 = −6c2 X0d−3 X1 + . . . F22 = 2X0d−2 + . . . (y adem´as cada monomio de F12 contiene alg´ un X1 o X2 ). Sustituyendo la parametrizaci´ on de la rama en la ecuaci´ on de la curva hessiana en el punto obtenemos: 2(d − 3)c2 T 6 + . . . −3(d − 3)c2 T 4 + . . . 2(d − 2)cT 3 + . . . HF (1, T 2 , cT 3 + . . .) = −3(d − 3)c2 T 4 + . . . −6c2 T 2 + . . . (orden ≥ 2) 2(d − 2)cT 3 + . . . (orden ≥ 2) 2 + ... 76


= − 24(d − 3)c4 + 24(d − 2)2 c4 − 18(d − 3)2 c4 T 8 + . . . = 6(d − 1)2 c4 T 8 + . . . de donde se obtiene el resultado. Podemos ya por fin contar el n´ umero de puntos de inflexi´on de una curva: Teorema 7.12. Si una curva irreducible C ⊂ P2k tiene como u ´nicas singularidades δ nodos ordinarios y κ c´ uspides ordinarias, y sus puntos de inflexi´on son todos ordinarios, entonces tiene exactamente i = 3d(d − 2) − 6δ − 8κ puntos de inflexi´on distintos. Demostraci´ on: Basta juntar el Teorema 5.13 con los Lemas 7.8, 7.10 y 7.11. Ejemplo 7.13. Podemos aplicar ahora el Teorema 7.12 para calcular el n´ umero de puntos de inflexi´on de cada tipo de c´ ubica irreducible (ver Ejemplo 7.9). Observemos en primer lugar que los puntos de inflexi´ on son todos ordinarios, ya que, por el Teorema de B´ezout, una recta no puede cortar a una c´ ubica con multiplicidad mayor que tres en ning´ un punto. Por tanto tendremos que: –si la c´ ubica es lisa, tendr´ a nueve puntos de inflexi´on; –si la c´ ubica es nodal, tendr´ a tres puntos de inflexi´on; –si la c´ ubica es cuspidal, tendr´a un solo punto de inflexi´on. Se puede deducir de aqu´ı que todas las c´ ubicas nodales son proyectivamente equivalentes, y lo mismo ocurre para las c´ ubicas cuspidales: Teorema 7.14. Toda c´ ubica irreducible nodal se puede escribir, en un adecuado sistema de coordenadas como V (X0 X12 − X0 X22 − X13 ). Demostraci´ on: Dada una c´ ubica nodal, podemos escoger coordenadas de modo que el nodo sea (1 : 0 : 0) con cono tangente V (X12 − X22 ) y que un punto de inflexi´on sea (0 : 0 : 1) con tangente V (X0 ). La condici´ on sobre el nodo es equivalente a que una ecuaci´on minimal de on la curva sea de la forma F = X0 (X12 −X22 )+ t´erminos de grado tres en X1 , X2 , y la condici´ sobre la inflexi´ on es equivalente a que los t´erminos de grado tres en X1 , X2 consistan s´ olo 3 en un monomio de la forma cX1 , con c 6= 0. Por tanto, una ecuaci´on minimal es de la forma F = X0 (X12 − X22 ) + cX13 . Haciendo el cambio (X0 : X1 : X2 ) = (cX00 : X10 : X20 ) se llega al resultado. Teorema 7.15. Toda c´ ubica irreducible cuspidal se puede escribir, en un adecuado sistema de coordenadas como V (X0 X22 − X13 ). Demostraci´ on: Dada una c´ ubica cuspidal, podemos escoger coordenadas de modo que la c´ uspide sea (1 : 0 : 0) con recta tangente V (X2 ) y que su u ´nico punto de inflexi´ on sea 77

(0 : 0 : 1) con recta tangente V (X0 ). Como antes, estas condiciones son equivalentes a que una ecuaci´ on minimal de la c´ ubica sea de la forma F = X0 X22 + cX13 , y un cambio de variable (X0 : X1 : X2 ) = (−cX00 : X10 : X20 ) permite como para la c´ ubica nodal demuestra 2 que cada c´ ubica cuspidal es proyectivamente equivalente a V (X0 X2 − X13 ). Para las c´ ubicas lisas, la situaci´on ya no es la misma, ya que existen infinitas clases de equivalencia de c´ ubicas lisas m´ odulo equivalencia proyectiva, como veremos en el Teorema 8.18.

78

8. Curva dual. F´ormulas de Pl¨ ucker Intentaremos imitar ahora lo que ocurre para c´onicas proyectivas irreducibles: que el conjunto de sus rectas tangentes forma otra c´onica en el plano proyectivo dual. La primera diferencia sustancial es que no tiene que ser cierto que el conjunto de rectas tangentes de una curva irreducible de grado d sea una curva en el dual del mismo grado; de hecho tal grado no s´olo no es d en general, sino que depender´a de m´as cosas que del grado d de la curva de partida, en concreto de los tipos de puntos singulares que tenga. Esto mismo ocurr´ıa en el c´ alculo del n´ umero de puntos de inflexi´on de una curva. Las f´ormulas de este tipo es lo que se llama f´ ormulas de Pl¨ ucker. Veamos en primer lugar la existencia de curva dual como curva en el plano proyectivo dual, para lo cual ser´ a crucial el siguiente: Teorema 8.1. Dada una curva C ∈ P2k de grado d, existe un polinomio homog´eneo G ∈ k[U0 , U1 , U2 ] de grado d(d − 1) tal que G(u0 , u1 , u2 ) = 0 si y s´olo si la recta V (u0 X0 + u1 X1 + u2 X2 ) corta con multiplicidad al menos dos a C en alg´ un punto. En particular, por el Teorema de B´ezout, G(u0 , u1 , u2 ) 6= 0 si y s´olo si la recta V (u0 X0 + u1 X1 + u2 X2 ) corta a C exactamente en d puntos distintos. Demostraci´ on: La demostraci´ on guarda muchas similitudes con la del Teorema 4.8. Dada una recta V (u0 X0 + u1 X1 + u2 X2 ) hay distintas formas de parametrizarla, dependiendo de qu´e valor u0 , u1 , u2 sea no nulo. En concreto, se trata de escoger dos puntos entre las filas de la matriz   0 u2 −u1  −u2 0 u0  . u1 −u0 0 De este modo, tenemos los siguientes polinomios que se obtienen al sustituir en una ecuaci´on minimal F de C las posibles parametrizaciones: A0 (T0 , T1 ) := F (−U2 T0 + U1 T1 , −U0 T1 , U0 T0 ) A1 (T0 , T1 ) := F (U1 T0 , −U0 T0 + U2 T1 , −U1 T1 ) A2 (T0 , T1 ) := F (−U2 T1 , U2 T0 , −U1 T0 + U0 T1 ) dependiendo, respectivamente, de si u0 , u1 , u2 son distintos de cero. La idea ser´ıa tomar en cada uno de los casos el discriminante del correspondiente polinomio, que ser´a homog´eneo de grado 2d(d − 1) en U0 , U1 , U2 (los coeficientes de cada Ai son homog´eneos de grado d en U0 , U1 , U2 , y la matriz del discriminante es de orden 2(d − 1)). La clave es que estos discriminantes est´ an relacionados mediante el polinomio com´ un G buscado de la siguiente forma: d(d−1) Disc(Ai ) = Ui G 79

En efecto, por ejemplo tenemos la igualdad A0 (−U1 T1 , U0 T0 − U2 T1 ) = F (U0 U1 T0 , −U02 T0 + U0 U2 T1 , −U0 U1 T1 ) = U0d A1 (T0 , T1 ), luego el Ejercicio 4.7(iv) implica 2d(d−1)

(U0 U1 )d(d−1) Disc(A0 ) = U0

Disc(A1 )

lo que implica la existencia de un polinomio G de grado d(d − 1) tal que Disc(A0 ) = d(d−1) d(d−1) U0 G y Disc(A1 ) = U1 G. De la misma forma, si tomamos A0 (−U1 T0 + U0 T1 , −U2 T0 ) = F (−U0 U2 T1 , U0 U2 T0 , −U0 U1 T0 + U02 T1 ) = U0d A2 (T0 , T1 ), y de nuevo por el Ejercicio 4.7(iv) obtenemos 2d(d−1)

(U0 U2 )d(d−1) Disc(A0 ) = U0 d(d−1)

y por tanto tambi´en Disc(A2 ) = U2

Disc(A2 )

G.

A la vista de esto, dada una recta V (u0 X0 + u1 X1 + u2 X2 ) con ui 6= 0, se tiene que corta a C con multiplicidad dos en alg´ un punto si y s´olo si Ai tiene una ra´ız m´ ultiple, y por el Teorema 4.4 eso es equivalente a que su discriminante sea cero, lo que es equivalente a que G(u0 , u1 , u2 ) sea cero, como quer´ıamos. Obs´ervese que, a priori, el polinomio G del enunciado anterior podr´ıa ser cero, cosa que descartaremos en breve (ver Corolario 8.8). Ejemplo 8.2. Al igual que ocurre en el caso de la ecuaci´on impl´ıcita de una parametrizaci´on (Teorema 4.8), la ecuaci´ on G podr´ıa no ser una ecuaci´on reducida, con un exponente indicando el n´ umero de veces que se recorre la curva dual (ver Ejemplo 4.10). En realidad, eso ocurre s´ olo en el caso de las curvas extra˜ nas, que ya dijimos en la Observaci´on 5.8 que se daba s´olo para c´ onicas en caracter´ıstica dos. En efecto, tomemos F := X0 X2 − X12 . Entonces, si tomamos A0 := F (−U2 T0 + U1 T1 , −U0 T1 , U0 T0 ) = −U0 U2 T02 + U0 U1 T0 T1 − U02 T12 se tiene (A0 )0 = −2U0 U2 T0 + U0 U1 T1 (A0 )1 = U0 U1 T0 − 2U02 T1 −2U0 U2 U0 U1 = U02 (4U0 U2 − U12 ) Disc(A0 ) = Res((A0 )0 , (A0 )1 ) = U0 U1 −2U02 80

Por el Teorema 8.1, la ecuaci´ on de la c´onica dual es 4U0 U2 − U12 (que es la que se obtendr´ıa usando Geometr´ıa Proyectiva). Sin embargo, si el cuerpo base es de caracter´ıstica dos, esa ecuaci´on se convierte en −U12 , es decir, obtenemos el haz doble de las rectas que pasan por (0 : 1 : 0), tal y como vimos en la Observaci´on 5.8. Ejemplo 8.3. N´ otese que la ecuaci´on G del Teorema 8.1 no es todav´ıa la ecuaci´ on del conjunto de rectas tangentes a la curva C. En efecto, si C tiene un punto singular, cualquier recta que pase por dicho punto singular cortar´a a C con multiplicidad al menos dos en dicho punto. Por tanto G contendr´a como factores a las ecuaciones (lineales) de los haces de rectas que pasan por los puntos singulares de C. Por ejemplo, si C es la c´ ubica 2 3 de ecuaci´on F := X0 X2 − X1 , entonces tendremos A0 := F (−U2 T0 + U1 T1 , −U0 T1 , U0 T0 ) = −U02 U2 T03 + U02 U1 T02 T1 + U03 T13 (A0 )0 = −3U02 U2 T02 + 2U02 U1 T0 T1

−3U02 U2 0 Disc(A0 ) = U02 U1 0

(A0 )1 = U02 U1 T02 + 3U03 T12 2U02 U1 0 0 −3U02 U2 2U02 U1 0 = 3U09 (27U0 U22 + 4U13 ) 0 3U03 0 U02 U1 0 3U03

Seg´ un el Teorema 8.1, el conjunto de rectas que cortan a C con multiplicidad al menos dos en alg´ un punto tiene ecuaci´ on G = 3U03 (27U0 U22 + 4U13 ). El factor U0 corresponde al haz de rectas que pasan por el punto (1 : 0 : 0), que es el punto singular de C. Por tanto, la curva dual tendr´ a ecuaci´ on 27U0 U22 + 4U13 (que es la que tiene que haberse obtenido en el Ejercicio 5.9). N´ otese que en esta curva dual hay un punto que corresponde a una recta que pasa por el punto singular (1 : 0 : 0) de C. En efecto, si hacemos U0 = 0, ∗ obtenemos el punto (u0 : u1 : u2 ) = (0 : 0 : 1) ∈ P2k , que corresponde a la recta V (X2 ), que es precisamente la recta tangente a C en el punto singular (1 : 0 : 0). Por tanto, esta ∗ curva dual V (27U0 U22 + 4U13 ) ⊂ P2k es exactamente el conjunto de rectas tangentes a C en alg´ un punto, sea singular o no. De hecho, aunque el punto (1 : 0 : 0) ∈ P2k sea singular ∗ para C, el correspondiente punto (0 : 0 : 1) ∈ P2k no es singular para la curva dual (y m´as precisamente, es un punto de inflexi´on). Obs´ervese que sin embargo esta curva dual ∗ s´ı que tiene un punto singular, que es el punto (1 : 0 : 0) ∈ P2k , que es una c´ uspide y corresponde a la recta V (X0 ), que es la recta tangente a C en al punto (0 : 0 : 1) ∈ P2k , que es un punto de inflexi´ on de C (el u ´nico punto de inflexi´on, seg´ un el Teorema 7.12). Esta dualidad inflexi´ on/c´ uspide no es una casualidad, como veremos m´as adelante. ∗

Definici´ on. Se llama curva dual de una curva C ⊂ P2k a la curva C ∗ ⊂ P2k de ecuaci´ on 0 0 G ∈ k[U0 , U1 , U2 ], donde G es el polinomio obtenido a partir de G (del Teorema 8.1) 81

quitando todos los factores lineales que correspondan a haces de rectas que pasan por los puntos singulares de C. Se llama clase de una curva C al grado d∗ de su curva dual. Puede demostrarse (aunque no es inmediato) que, como ocurre en el Ejemplo 8.3, la curva C ∗ es exactamente el conjunto de rectas tangentes a C en alg´ un punto, singular o no ∗ (desde luego, en C est´ an todas las rectas tangentes a C que no pasan por ning´ un punto singular de C). N´otese tambi´en que, en el Ejemplo 8.3, el grado de la curva dual coincide con el grado de F , lo que en general no ser´a lo habitual. De hecho, en caso de no tener puntos singulares, el grado de la curva dual habr´ıa sido seis. Si hemos llegado a grado tres es porque la ecuaci´ on del haz de rectas por el punto singular (que es una c´ uspide) ha aparecido con multiplicidad tres. Como ocurre en el caso de los puntos de inflexi´on, cada tipo de singularidad dar´ a lugar a una multiplicidad distinta del factor lineal correspondiente. Como el lector imaginar´ a, intentar calcular la multiplicidad que corresponde a cada tipo de singularidad parece una tarea complicada (ya es suficientemente complicado el modo de calcular la ecuaci´ on G, como para ahora adivinar con qu´e exponente aparecen sus posibles factores lineales). Intentaremos otro camino bastante m´as directo que nos permitir´a usar de nuevo multiplicidades de intersecci´on: Observaci´ on 8.4. Dado que una recta en el plano dual consiste en un haz de rectas en 2 Pk , es decir, el conjunto de rectas de P2k que pasan por un punto dado a = (a0 : a1 : a2 ), vamos a intentar calcular m´ as a mano cu´antas rectas tangentes a una curva pasan por un punto a suficientemente general (que ser´a entonces lo mismo que intersecar la presunta curva dual con una recta suficientemente general, es decir, deber´ıamos obtener el grado de la curva dual). Si F es una ecuaci´on minimal de la curva, entonces la recta tangente a b = (b0 : b1 : b2 ) ∈ V (F ) (que supondremos que es un punto liso de la curva) pasa por a si y s´ olo si F0 (b)a0 +F1 (b)a1 +F2 (b)a2 = 0. Por tanto, los puntos (lisos) de V (F ) cuya tangente pasa por a son los puntos que est´ an adem´as en la curva de ecuaci´on a0 F0 + a1 F2 + a2 F2 (que tiene grado d − 1). Ejemplo 8.5. En el caso en que la curva es una c´onica de matriz sim´etrica M (ver Ejemplo 5.7), ya vimos que, si F es la ecuaci´on de la c´onica, entonces se tiene ( F0 F1 F2 ) = 2 ( X0 X1 X2 ) M. Por tanto, la ecuaci´ on a0 F0 +a1 F2 +a2 F2 de la observaci´on anterior se puede escribir como 

 a0 ( X0 X1 X2 ) M  a1  a2 82

que es la ecuaci´ on de lo que, en Geometr´ıa Proyectiva, se llama recta polar del punto a respecto de la c´ onica. Damos, pues, la siguiente: Definici´ on. Dada una curva C de ecuaci´on minimal F , se llama curva polar del punto a = (a0 : a1 : a2 ) respecto de la curva C a la curva P (a, C) = V (a0 F0 + a1 F1 + a2 F2 ). Observaci´ on 8.6. La noci´ on de curva polar no depende de En efecto, si hacemos un cambio de coordenadas  m00 m01 ( X0 X1 X2 ) = ( X00 X10 X20 )  m10 m11 m20 m21

la elecci´on de coordenadas.  m02 m12  m22

¯ =X ¯ 0 M , entonces el punto a tendr´a coordenadas que escribiremos, por brevedad, como X  0   a0 a0  a01  = (M t )−1  a1  a02 a2 mientras que la curva C tendr´ a como ecuaci´ on minimal ¯ 0 ) := F (X ¯ 0M ) = F 0 (X00 , X10 , X20 ) = F 0 (X = F (m00 X00 + m10 X10 + m20 X20 , m01 X00 + m11 X10 + m21 X20 , m02 X00 + m12 X10 + m22 X20 ) y, por la regla de la cadena, ser´ a 



m00 ¯ 0 ) F 0 (X ¯ 0 ) F 0 (X ¯ 0 ) = F0 (X ¯ 0 M ) F1 (X ¯ 0 M ) F2 ( X ¯ 0 M )  m01 F00 (X 1 2 m02

m10 m11 m12

 m20 m21  . m22

Por tanto, la ecuaci´ on de la curva polar en las nuevas coordenadas es  0   a 0

a0 ¯ 0 )  a0  = F0 (X ¯ 0 M ) F1 ( X ¯ 0 M ) F2 (X ¯ 0 M )  a1  ¯ 0 ) F 0 (X ¯ 0 ) F 0 (X F00 (X 1 1 2 a02 a2 que no es otra cosa que hacer el cambio de coordenadas en la ecuaci´on original de la curva polar. En las consideraciones que hemos hecho antes necesit´abamos trabajar con puntos no singulares de la curva. De hecho, se tiene: 83

Proposici´ on 8.7. Dado un punto a ∈ P2 , si definimos Σ = {b ∈ C | a ∈ Tb C}, entonces C ∩ P (a, C) = Σ ∪ Sing(C). Demostraci´ on: Evidentemente los puntos singulares de C est´an en cualquier P (a, C), ya que anulan todas las derivadas de F . Por tanto, hay que ver que para un punto b ∈ C no singular se tiene que b ∈ P (a, C) si y s´olo si a ∈ Tb C. Pero esto es precisamente lo que hemos visto en la Observaci´ on 8.4. Este primer resultado ya nos permite demostrar que el polinomio que define la curva dual no es id´enticamente nulo. Lo haremos en el caso irreducible de grado al menos dos, aunque en realidad, con un poco m´as de esfuerzo, se puede demostrar para curvas que no sean uni´on de rectas. Corolario 8.8. Si C ⊂ P2k un curva irreducible de grado d ≥ 2. Entonces el polinomio G del Teorema 8.1 no es cero. En particular: ∗

(i) La curva dual C ∗ ⊂ P2k es un subconjunto propio. (ii) El conjunto de rectas cuya intersecci´on con C no son d puntos distintos forma una ∗ curva en P2k . Demostraci´ on: Tomamos por ejemplo a = (1 : 0 : 0) (en realidad sirve cualquier punto). Entonces P (a, C) viene definido por F0 , que necesariamente es no nulo (si F0 = 0, entonces(∗) F ser´ıa un polinomio homog´eneo de grado d en X1 , X2 , luego definir´ıa una uni´ on de rectas, en contra de la hip´ otesis). Como F es irreducible, F0 (que tiene grado menor) no puede compartir componentes con F , luego V (F ) ∩ V (F0 ) es un conjunto finito de puntos (por el Teorema D´ebil de B´ezout). Por tanto, la Proposici´on 8.7 implica que hay s´olo una cantidad finita de rectas que pasan por a y que cortan a C con multiplicidad al menos dos en alg´ un punto. Por tanto hay infinitas rectas que pasan por a que no est´an en V (G), lo que demuestra que G no es el polinomio nulo. La consecuencia (i) se sigue de que, por definici´on, la ecuaci´on de la curva dual es un divisor de G. La consecuencia (ii) es simplemente porque, por definici´on de G, el conjunto de rectas cuya intersecci´ on con C no son d puntos distintos es precisamente V (G). Hemos llegado con la Proposici´on 8.7 al punto de partida. Para calcular el grado de la curva dual o bien calculamos la ecuaci´on G del Teorema 8.1 o bien calculamos el n´ umero de puntos de intersecci´ on de la curva con una curva polar general. En ambos casos obtenemos (∗)

En este punto es fundamental que la caracter´ıstica del cuerpo sea cero o suficientemente grande, para evitar que F0 pueda se cero a pesar de que F dependa de X0 . 84

como resultado d(d − 1), pero debemos descontar la contribuci´on de los puntos singulares de la curva. Es esperable, aunque no lo demostraremos, que la contribuci´on a la ecuaci´ on G de un punto singular de la curva sea la misma que la mutiplicidad de intersecci´on en ese punto de la curva con la curva polar. Un primer indicio es que, para puntos lisos que no sean de inflexi´ on, tal multiplicidad de intersecci´on sea uno, como indica el siguiente: Lema 8.9. Si b ∈ C es un punto liso tal que multb (C, Tb C) = r, entonces para cada a ∈ Tb C se tiene: ( r − 1 si a 6= b multb (C, P (a, C)) = r si a = b. Demostraci´ on: Haciendo un cambio de coordenadas podemos suponer que b = (1 : 0 : 0) y Tb C = V (X2 ). Esto quiere decir (v´ease la demostraci´on del Lema 7.8) que una parametrizaci´ on formal de C en b es de la forma  X =1   0 X1 = T   X2 = − cT r + . . . con c 6= 0, y una ecuaci´ on minimal de C tiene el aspecto F (X0 , X1 , X2 ) = X0d−1 X2 + cX0d−r X1r + . . . Un punto a ∈ Tb C tiene coordenadas (a0 : a1 : 0), con lo que la ecuaci´on de la polar a b respecto de C est´ a definida por

a0 F0 + a1 F1 = a0 (d − 1)X0d−2 X2 + c(d − r)X0d−r−1 X1r + . . . + a1 rcX0d−r X1r−1 + . . . Sustituyendo en esta ecuaci´ on la parametrizaci´on formal de la curva en el punto tenemos que el t´ermino de menor grado es rca1 T r−1 si a1 6= 0 −(r − 1)ca0 T r si a1 = 0 Como a1 = 0 es equivalente a a = b se sigue el resultado. Pasamos ahora a la contribuci´on de los puntos singulares dependiendo del tipo de singularidad. Lema 8.10. Si b es un punto doble de C con dos tangentes distintas, entonces se tiene multb (C, P (a, C)) ≥ 2 con igualdad si y s´olo si a no est´a en ninguna recta tangente a C en b. Demostraci´ on: Mediante un cambio de variable suponemos b = (1 : 0 : 0) y el cono tangente a C en b es V (X1 X2 ). Esto quiere decir que una ecuaci´on minimal de C tiene 85

el aspecto F = X0d−2 X1 X2 + . . .. La curva polar a b en un punto a = (a0 : a1 : a2 ) tiene ecuaci´on a0 F0 + a1 F1 + a2 F2 = a0 ((d − 2)X0d−3 X1 X2 + . . .) + a1 (X0d−2 X2 + . . .) + a2 (X0d−2 X1 + . . .) Entonces la recta tangente a P (a, C) en b es V (a2 X1 + a1 X2 ) que es distinta de V (X1 ) y V (X2 ) si a1 , a2 6= 0 (que es nuestra hip´otesis de que a no est´a ni en V (X1 ) ni en V (X2 )). El resultado se sigue ahora de la Proposici´on 7.4. Lema 8.11. Si b es una c´ uspide ordinaria de C, entonces multb (C, P (a, C)) ≥ 3, con igualdad si y s´ olo si a no est´ a en la recta tangente a C en b. Demostraci´ on: Como en la demostraci´on del Lema 7.11, podemos suponer que b = (1 : 0 : 0) y que el cono tangente es V (X22 ). Entonces el lugar de C en b se puede parametrizar  X =1   0 X1 = T 2   X2 = cT 3 + . . . con c 6= 0, y una ecuaci´ on minimal de C tiene el aspecto F = X0d−2 X22 − c2 X0d−3 X13 + . . . de donde F0 = (d − 2)X0d−3 X22 − (d − 3)c2 X0d−4 X13 + . . . F1 = −3c2 X0d−3 X12 + . . . F2 = 2X0d−2 X2 + . . . Entonces la curva polar a b en un punto a = (a0 : a1 : a2 ) tiene ecuaci´on a0 ((d − 2)X0d−3 X22 − (d − 3)c2 X0d−4 X13 + . . .) + a1 (−3c2 X0d−3 X12 + . . .) + a2 (2X0d−2 X2 + . . .). Sustituyendo en esta ecuaci´ on la parametrizaci´on de C en b se obtiene 2a2 cT 3 + . . ., luego multb (C, P (a, C)) ≥ 3, con igualdad si y s´olo si a2 6= 0, es decir, si y s´olo si a no est´a en la recta tangente a C en b. Observaci´ on 8.12. Los resultados anteriores nos indican ya (aunque s´olo en modo intuitivo) cu´al deber´ıa ser el grado de la curva dual en el caso de que las u ´nicas singularidades de la curva original sean nodos y c´ uspides ordinarias. En efecto, sabemos que la ecuaci´ on G del Teorema 8.1 factoriza como Y G = G0 · Hbmb b∈Sing(C)

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donde Hb es la ecuaci´ on (lineal) del haz de rectas que pasan por b, que aparece con cierta multiplicidad. El Lema 8.10 nos dice que, si b es un nodo ordinario, mb debe ser dos. Adem´as, como las rectas tangentes a C en b cuentan con multiplicidad mayor, deben anularse en G0 , es decir, que est´ an en la curva dual. De la misma forma, el Lema 8.11 indica que, si b es una c´ uspide ordinaria, mb debe ser tres, y la recta tangente a C en b tambi´en est´ a en la curva dual. Por tanto, si las singularidades de C son exactamente δ nodos ordinarios y κ c´ uspides ordinarias, deber´ıa ser deg(G0 ) = d(d − 1) − 2δ − 3κ. Como lo que hemos afirmado en la observaci´on anterior no es evidente (por muy intuitivo que parezca), calculemos el grado de la curva dual usando el Teorema 8.1 (sabiendo ya que G es un polinomio no nulo), es decir, que el grado de una curva es el n´ umero de puntos distintos que se obtiene al cortar la curva con una recta suficientemente general (en concreto, que no pase por ning´ un punto singular y que no sea tangente a la curva, es decir, que no corresponda a un punto de la curva dual). Para aplicar esto a C ∗ , necesitaremos saber qu´enes son sus puntos singulares y, sobre todo, saber cu´al es su curva dual. Teorema 8.13. Si C ⊂ P2k es una curva irreducible de grado d ≥ 2, entonces: (i) (C ∗ )∗ = C. (ii) Cada punto de inflexi´ on ordinario de C da lugar a una rama de C ∗ que es una c´ uspide ordinaria. (iii) Cada bitangente (en exactamente dos puntos, y que no son de inflexi´on) de C da lugar a un nodo ordinario de C ∗ . (iv) Cada c´ uspide ordinaria de C da lugar a una rama de C ∗ que es una inflexi´on ordinaria. (v) Cada nodo ordinario de C da lugar a una bitangente de C ∗ . Demostraci´ on: Sea Tb C un punto de C ∗ que corresponde a un punto liso de b ∈ C. Las ∗ rectas que pasan por ese punto de P2k son los haces de rectas de P2k que pasan por un punto a ∈ Tb C. La intersecci´ on de cada haz con C ∗ son las rectas tangentes a C que pasan por a. Por el Lema 8.9, la multiplicidad de intersecci´on del haz con C ∗ es r − 1, salvo que a = b, en que la multiplicidad de intersecci´on es r. Eso demuestra que C ∗ tiene en Tb C un punto de multiplicidad r − 1 con recta tangente dada por el haz de rectas que pasan por b. Por tanto, b ∈ (C ∗ )∗ , es decir C y (C ∗ )∗ se cortan en infinitos puntos (los puntos lisos de C), luego C, que es irreducible, est´a contenida necesariamente en (C ∗ )∗ . Por otra parte, tambi´en hemos probado que la recta tangente a C ∗ en un punto Tb C, con b liso en C (y todos los puntos de C ∗ , salvo un n´ umero finito, son de esa forma). Por tanto, cada posible ∗ ∗ componente de (C ) corta a C en infinitos puntos, luego est´a contenida en C. Luego toda (C ∗ )∗ tambi´en est´ a contenida en C, lo que demuestra (i). De paso, particularizando la demostraci´ on anterior cuando b es un punto de inflexi´ on ∗ (es decir, r = 3), se obtiene una c´ uspide ordinaria de C (o m´as bien una rama, ya que la 87

tangente en el punto de inflexi´ on puede ser tangente en m´as puntos de C, y por tanto dar lugar al mismo punto de C ∗ ). Esto demuestra (ii). La parte (iii) es clara, y las partes (iv) y (v) son las duales respectivas de (ii) y (iii), usando (i)

Definici´ on. Llamaremos curva ordinaria a una curva C ⊂ P2k tal que las u ´nicas singu∗ laridades de C y C son nodos y c´ uspides ordinarias, es decir, que sus puntos de inflexi´ on son ordinarios y sus bitangentes lo son s´olo en dos puntos, ninguno de ellos de inflexi´ on. Obs´ervese que el n´ umero de bitangentes (y de puntos de inflexi´on) es necesariamente finito, ya que dan puntos singulares de C ∗ . Podemos ya por fin calcular el grado de la curva dual: Teorema 8.14. Sea C ⊂ P2k una curva ordinaria de grado d ≥ 2, y cuyas u ´nicas singu∗ laridades son δ nodos ordinarios y κ c´ uspides ordinarias. Entonces C tiene grado d∗ = d(d − 1) − 2δ − 3κ. Demostraci´ on: Por el Corolario 8.8(ii) aplicado a C ∗ , el grado de C ∗ ser´a el n´ umero de ∗ 2∗ puntos distintos que se obtengan al cortar C con una recta de Pk que no est´e en cierta ∗ curva de (P2k )∗ . En concreto, tal recta no debe estar ni en la curva dual de C ∗ ni pasar ∗ por un punto singular de C ∗ . Como una recta de P2k es el haz de rectas que pasan por un cierto punto a ∈ P2k , la condici´ on es (por el Teorema 8.13), que a no est´e ni en C (que ∗ es la curva dual a C ), ni en ninguna recta bitangente o de inflexi´on (que son las rectas que son puntos singulares de C ∗ ). Por simplicidad, supondremos tambi´en que a no est´e en ninguna recta tangente en los puntos singulares. Por la Proposici´ on 8.7 y los Lemas 8.9, 8.10 y 8.11, habr´a exactamente d∗ puntos en C cuya tangente pase por a, que adem´as ser´an puntos lisos de C. Como a no est´a en C, cada una de tales rectas tangentes es necesariamente la recta que pasa por a y el correspondiente punto de C encontrado. Adem´ as, como a no est´a en ninguna recta bitangente, dos puntos distintos de C dar´ an lugar a dos rectas tangentes distintas que pasen por a. De este modo, encontramos exactamente d∗ rectas tangentes distintas a C que pasan por a, por lo que d∗ es el grado de C ∗ . Podemos agrupar entonces todas las f´ormulas que tenemos y sus duales: Teorema 8.15 (F´ ormulas de Pl¨ ucker). Sea C ⊂ P2k una curva ordinaria de grado d ≥ 2, clase d∗ , con δ nodos ordinarios, κ c´ uspides ordinarias, i puntos de inflexi´on y b rectas bitangentes. Entonces: 88

(i) d∗ = d(d − 1) − 2δ − 3κ. (ii) i = 3d(d − 2) − 6δ − 8κ (iii) d = d∗ (d∗ − 1) − 2b − 3i (iv) κ = 3d∗ (d∗ − 2) − 6b − 8i Demostraci´ on: La f´ ormula (i) es el Teorema 8.14, y la f´ormula (ii) es el Teorema 7.12. Las f´ormulas (iii) y (iv) son las duales respectivas de (i) y (ii) (es decir, las dos primeras f´ormulas aplicadas a C ∗ ).

Ejemplo 8.16. Se pueden hacer m´as combinaciones con las f´ormulas de Pl¨ ucker. Consideremos, por ejemplo, una curva C irreducible ordinaria lisa de grado d ≥ 2. Entonces, las dos primeras f´ ormulas de Pl¨ ucker dan d∗ = d(d − 1) i = 3d(d − 2) y sustituyendo estos valores en la tercera, tendremos d = (d2 − d)(d2 − d − 1) − 2b − 9d(d − 2). De aqu´ı se deduce b=

1 4 1 (d − 2d3 − 9d2 + 18d) = d(d − 2)(d − 3)(d + 3). 2 2

En concreto, si d = 4, se obtiene que una cu´artica lisa con todos sus puntos de inflexi´ on ordinarios tiene 28 rectas bitangentes. Terminamos esta secci´ on volviendo a la clasificaci´on de c´ ubicas irreducibles, observando que en el caso liso hay infinitos tipos. Comenzamos por un lema t´ecnico que nos ser´a adem´ as u ´til m´ as adelante. Lema 8.17. Si C ⊂ P2k es una c´ ubica lisa y a ∈ C es un punto de inflexi´on, entonces existen exactamente 4 rectas tangentes a C que pasan por a. Demostraci´ on: Los puntos de tangencia ser´an los puntos b de la intersecci´on de C con P (a, C). Sabemos que nos deben quedar seis puntos contados con multiplicidad. Distinguimos dos casos: –Si b = a, entonces, por el Lema 8.9, como multa (C, Ta C) = 3 (recordemos que los puntos de inflexi´ on deben ser ordinarios), se tiene que multa (C, P (a, C)) = 3. 89

–Si b 6= a, el punto b no puede ser de inflexi´on, ya que entonces Tb C cortar´ıa a C en b con multiplicidad al menos tres, y adem´as cortar´ıa en el punto a, contradiciendo el Teorema de B´ezout. Por tanto multb (C, Tb C) = 2, y el Lema 8.9 implica que multb (C, P (a, C)) = 1. Por tanto, aparte de b = a, hay otros tres puntos b ∈ C tales que Tb C 3 a. Por el Teorema de B´ezout, las rectas tangentes en estos tres puntos son distintas, y adem´ as son distintas de Ta C, con lo que obtenemos exactamente cuatro rectas tangentes a C que pasen por a. Teorema 8.18. Toda c´ ubica irreducible lisa se puede escribir, en un adecuado sistema de coordenadas como V (X0 X22 − X1 (X1 − X0 )(X1 − λX0 )) para alg´ un λ 6= 0, 1. Demostraci´ on: Dada una c´ ubica irreducible lisa C, tomamos coordenadas de forma que a = (0 : 0 : 1) sea un punto de inflexi´on y su recta tangente sea V (X0 ). Esto quiere decir que una ecuaci´ on minimal de C es de la forma F = X0 G − X13 . Usando el Lema 8.17, podemos escoger entonces coordenadas de modo que las rectas tangentes a C que pasen por a sean V (X0 ), V (X1 ), V (X1 − X0 ) y V (X1 − λX0 ) (n´otese que λ no lo podemos fijar, ya que es precisamente la raz´on doble de las cuatro rectas, que puede tomar un valor arbitrario). Como P (a, C) tiene de ecuaci´on F2 = X0 G2 , eso quiere decir que los puntos b 6= a tales que Tb C 3 a est´ an en la recta V (G2 ). Adem´as, G2 no puede depender s´ olo de X0 , X1 , porque en tal caso F ser´ıa de la forma F = A(X0 , X1 )X2 + B(X0 , X1 ), y el punto (1 : 0 : 0) ser´ıa singular. Podemos entonces hacer un cambio de coordenadas que deje fijos X0 , X1 pero que transforme G2 en 2X2 . Entonces, en estas nuevas coordenadas, G = X22 + H(X0 , X1 ), luego podemos escribir la ecuaci´on F como F = X0 X22 − X13 + X0 H(X0 , X1 ). Como al cortar con V (X2 ) debemos obtener los puntos (1 : 0 : 0), (1 : 1 : 0) y (1 : λ : 0), necesariamente −X13 + X0 H(X0 , X1 ) = −X1 (X1 − X0 )(X1 − λX0 ), lo que termina la demostraci´ on. Como hay infinitos valores de λ y el n´ umero de puntos de inflexi´on y el de las posibles permutaciones de las rectas tangentes que pasan por un punto de inflexi´on son siempre un n´ umero finito, esto demuestra que hay infinitos tipos de c´ ubicas lisas. De hecho, el tipo de c´ ubica viene dado por λ salvo permutaci´on en las rectas. Recordemos que, al 1 λ , λ−1 , permutar cuatro puntos (o hiperplanos), la raz´on doble λ cambia a λ1 , 1 − λ, 1−λ 2

3

−λ+1) 0 Puede comprobarse que, definiendo j(λ) = (λλ2 (λ−1) 2 , se tiene que j(λ) = j(λ ) si y 1 λ s´ olo si λ0 es uno de los valores λ, λ1 , 1 − λ, 1−λ , λ−1 , λ−1 ubicas lisas son λ . Por tanto, dos c´ proyectivamente equivalentes si y s´olo si tienen el mismo invariante j. λ−1 λ .

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9. Curvas de g´enero bajo La topolog´ıa ha jugado siempre un papel importante en la geometr´ıa. De hecho, los teoremas m´ as importantes de la geometr´ıa suelen tener trasfondo topol´ogico. En esta secci´on veremos que tambi´en la geometr´ıa de las curvas depende fuertemente de su topolog´ıa, m´ as en concreto del g´enero topol´ogico de las mismas, para cuya definici´on daremos por supuestos algunos resultados topol´ogicos que recordaremos brevemente. La construcci´ on general se hace para curvas proyectivas complejas. Dada una curva 2 C ⊂ PC irreducible, consideraremos C˜ el conjunto de ramas de C, y llamaremos π : C˜ → C a la aplicaci´ on que manda cada rama de C al punto de C en el que est´a definida la rama. Entonces para cada punto de C˜ tenemos la correspondiente parametrizaci´on de la rama, que puede demostrarse que es anal´ıtica, y por tanto tenemos una biyecci´on entre un disco ˜ Cuando la curva es irreducible, esto dota complejo y un entorno peque˜ no entorno de C. a C˜ de una estructura de superficie topol´ogica (llamada superficie de Riemann asociada a la curva C), que es conexa, compacta, orientable y sin borde. Es un hecho conocido de topolog´ıa que toda superficie topol´ogica conexa, compacta, orientable y sin borde es homeomorfa a una superficie esf´erica con g asas, y se dice que g es el g´enero topol´ ogico de la superficie. Por ejemplo, si g = 1 la superficie es homemomorfa a un toro, es decir, la superficie de un donut (o de una rosquilla, si queremos ser m´as castizos). Definici´ on. Se llama g´enero de una curva proyectiva irreducible ˜ topol´ogico de C.

C ⊂ P2C al g´enero

Hay un modo pr´ actico de calcular el g´enero topol´ogico de una superficie topol´ogica. Consideremos una triangulaci´ on de la misma. Esto consiste, a grandes rasgos, en poner la superficie como uni´ on de pol´ıgonos cerrados, con la condici´on de que la intersecci´on de dos pol´ıgonos es o bien una arista o bien un v´ertice o bien el vac´ıo. Por ejemplo, dar una triangulaci´ on en una superficie esf´erica es lo mismo que considerar un poliedro. En tiempos era un resultado que se explicaba incluso en Primaria que, dado cualquier poliedro, se satisfac´ıa el famoso Teorema de Euler v+c=a+2 donde v, a, c son respectivamente el n´ umero de v´ertices, aristas y caras del poliedro. Es decir, el n´ umero v − a + c es siempre dos, independientemente del poliedro, es decir, independientemente de la triangulaci´ on. En realidad, este resultado es cierto para cualquier superficie topol´ ogica S (e incluso para cualquier variedad topol´ogica de cualquier dimensi´ on): Dada cualquier triangulaci´ on de S, el n´ umero v −a+c es independiente de la triangulaci´ on, y se llama caracter´ıstica de Euler de S, y se denota por χ(S). El teorema siguiente permite caracterizar el g´enero topol´ogico de una superficie topol´ogica conexa, compacta, orientable y sin borde a partir de su caracter´ıstica de Euler: 91

Teorema 9.1. La caracter´ıstica de Euler de una esfera con g asas es 2 − 2g. Demostraci´ on: Lo haremos por inducci´on sobre g. El caso g = 0 es precisamente el cl´ asico Teorema de Euler. Supongamos ahora g > 0 y que el teorema es cierto para una esfera con g − 1 asas. Consideramos entonces una superficie S 0 que sea homeomorfa a una esfera con g − 1 asas. La idea es pegarle una nueva asa. Para ello, tomamos una triangulaci´ on 0 de S suficientemente fina como para que contenga dos pol´ıgonos disjuntos, que podemos tomar que sean tri´ angulos; por ejemplo, si P es un pol´ıgono de cualquier triangulaci´ on de 0 S , tomamos dos tri´ angulos disjuntos A y B en su interior, y a˜ nadiendo adecuadamente aristas podemos llegar a una triangulaci´on como la que queremos (ver figura).

Quitamos esos dos tri´ angulos y tapamos los huecos pegando un prisma triangular (sin base ni tapa), haciendo coincidir la base del prisma con un tri´angulo y la tapa del prisma con el otro (ver figura).

Obtenemos entonces una esfera con g asas con una triangulaci´on en que: –El n´ umero de de caras de esta triangulaci´on es el de la triangulaci´on de S 0 , menos los dos tri´ angulos que hemos quitado m´as las tres paredes del prisma (la base y la tapa del prisma no cuentan, ya que no estaban). Por tanto, c = c0 − 2 + 3 = c0 + 1. –El n´ umero de aristas de la nueva triangulaci´on es el de la triangulaci´on de S 0 (aunque hayamos quitado dos tri´ angulos, sus aristas siguen siendo aristas de la nueva triangulaci´ on) 0 m´as las tres aristas verticales del prisma. Por tanto, a = a + 3. 92

–El n´ umero de v´ertices no var´ıa, ya que ni desaparecen los v´ertices de los tri´angulos que hemos quitado ni el prisma aporta v´ertices nuevos (puesto que los v´ertices del prisma son exactamente los v´ertices de esos dos tri´angulos). Por tanto, v = v 0 . Podemos calcular entonces la caracter´ıstica de Euler de la nueva superficie topol´ ogica S, que ser´ a χ(S) = v − a + c = v 0 − (a0 + 3) + (c0 + 1) = v 0 − a0 + c0 − 2 = 2 − 2(g − 1) − 2 = 2 − 2g (donde hemos usado la hip´ otesis de inducci´on χ(S 0 ) = 2 − 2(g − 1)). Aplicamos ahora el resultado anterior para calcular el g´enero topol´ogico de una curva con singularidades ordinarias. Teorema 9.2. El g´enero de una curva irreducible compleja C de grado d cuyas u ´nicas (d−1)(d−2) singularidades son δ nodos ordinarios y κ c´ uspides ordinarias es − δ − κ. 2 Demostraci´ on: Observamos primero que hay una cantidad finita de cada uno de los siguientes tipos de recta: –tangentes en un punto de inflexi´on, –tangentes en un punto singular, –que pase por un punto singular y que sea tangente en otro punto de C (basta observar que la intersecci´ on de C con la polar del punto singular da una cantidad finita de puntos), –tangente en dos puntos distintos de C, -recta que pase por dos puntos singulares. Tomamos entonces un punto a ∈ P2k que no est´e ni en C ni en ninguna de las rectas anteriores. Tomamos L una recta que no pase por a y consideramos la composici´on ϕ : C˜ → C → L con la proyecci´ on desde a sobre L. Por nuestras hip´otesis, P (a, C) corta a C en ∗ d := d(d − 1) − 2δ − 3κ puntos lisos p1 , . . . , pd∗ (con multiplicidad uno por el Lema 8.9), en los δ nodos r1 , . . . , rδ (con multiplicidad dos por el Lema 8.10) y en las κ c´ uspides s1 , . . . , sκ (con multiplicidad tres por el Lema 8.11). Observamos entonces que la imagen inversa por ϕ de un punto de L consiste en d puntos, excepto para ϕ(p1 ), . . . , ϕ(pd∗ ), ϕ(s1 ), . . . , ϕ(sκ ), en que la imagen inversa consiste en d − 1 puntos distintos (n´otese que, aunque la imagen inversa por la proyecci´ on de la imagen de un nodo son d − 1 puntos de C, cada nodo da ˜ lugar a dos puntos de C). Fijamos una triangulaci´ on en L suficientemente fina para que tenga como v´ertices los puntos ϕ(p1 ), . . . , ϕ(pd∗ ), ϕ(r1 ), . . . , ϕ(rδ ), ϕ(s1 ), . . . , ϕ(sκ ) y de forma su imagen inversa ˜ Si la triangulaci´on en L tiene v v´ertices, entonces, por por ϕ sea una triangulaci´ on de C. lo observado anteriormente, la triangulaci´on de C tendr´a v˜ v´ertices, donde v˜ = dv − d∗ − κ = dv − d(d − 1) + 2δ + 2κ. 93

Claramente, si a es el n´ umero de aristas de la triangulaci´on de L, entonces el n´ umero de aristas de la triangulaci´ on de C˜ es a ˜ = da y, si c es el n´ umero de caras de la triangulaci´ on de L, entonces el n´ umero de caras de la triangulaci´on de C es c˜ = dc. Teniendo en cuenta que, por ser L una superficie esf´erica (ya que es P1C ), v −a+c = 2, entonces la caracter´ıstica de Euler de C es ˜ = v˜ −˜ χ(C) a +˜ c = d(v−a+c)−d(d−1)+2δ +2κ = 2d−d2 +d+2δ +2κ = −d2 +3d+2δ +2κ luego, por el Teorema 9.1, el g´enero de C es ˜ 2 − χ(C) d2 − 3d + 2 − 2δ − 2κ (d − 1)(d − 2) g= = = −δ−κ 2 2 2 lo que demuestra el resultado.

La demostraci´ on anterior deja bastante claro que el mismo tipo de c´alculo se puede hacer para una curva con singularidades arbitrarias. De hecho, basta ver simplemente cu´anto hace disminuir el g´enero cada tipo de singularidad. Lo que est´a claro es que (d−1)(d−2) − g es el n´ umero de puntos singulares, cada uno contado un cierto n´ umero de 2 (d−1)(d−2) , y cuando veces. Por tanto, el n´ umero de puntos singulares nunca puede superar 2 se alcanza entonces g = 0. Por otra parte, el hecho de que el g´enero sea cero es una condici´on necesaria para que una curva se pueda parametrizar. En efecto, si tenemos una parametrizaci´on buena de una curva C, es decir, que no recorra la curva varias veces, (ver Ejemplo 4.10), entonces ˜ y por tanto χ(C) ˜ = χ(P1 ) = 2. Como tendremos un homeomorfismo de P1C con C, C indicamos al inicio de la secci´ on, esta simple condici´on topol´ogica caracteriza el hecho de que una curva se pueda parametrizar, es decir, que la condici´on de tener g´enero cero es suficiente para que la curva se pueda parametrizar. Este profundo resultado se puede demostrar sin usar directamente la topolog´ıa (y por tanto sin trabajar sobre el cuerpo de ´ los n´ umeros complejos). Esta es la idea subyacente al resultado siguiente: Teorema 9.3. Si C es una curva irreducible de grado d, entonces el m´aximo n´ umero de 1 puntos singulares que puede tener es 2 (d − 1)(d − 2). Adem´as, una curva con tal n´ umero de puntos singulares se puede parametrizar. Demostraci´ on: El resultado es inmediato para d = 1, 2, as´ı que supondremos d ≥ 3. 2 puntos singulares. Como Pd−2 Supongamos que C tiene 1 + 21 (d − 1)(d − 2) = d −3d+4 2
d d2 −d−2 tiene dimensi´ on 2 − 1 = podemos siempre encontrar una curva D de grado d − 2 2 d2 −3d+4 d2 −d−2 d2 −3d+4 que pase por los puntos singulares y otros − = d − 3 puntos de C. 2 2 2 Como la multiplicidad de intersecci´ on de C y D en los puntos singulares de C es al menos 94

dos, obtenemos, contando multiplicidades, al menos (d2 − 3d + 4) + (d − 3) = d2 − 2d + 1 = d(d − 2) + 1 puntos de intersecci´ on entre C y D. Como C es irreducible, esto contradice el Teorema de B´ezout. 2

puntos singuSupongamos ahora que C tiene exactamente 12 (d − 1)(d − 2) = d −3d+2 2 lares. Con el mismo razonamiento anterior, el sistema lineal Λ de curvas de grado d − 2 2 que pasan por los d −3d+2 puntos singulares y otros d − 3 puntos de C tiene dimensi´ on por 2 d2 −3d+2 d2 −d−2 − − (d − 3) = 1, y el n´ umero de puntos de intersecci´on entre C y lo menos 2 2 cualquiera de esas curvas es por lo menos (d2 − 3d + 2) + (d − 3) = d(d − 2) − 1. Tomando entonces dos puntos m´ as a, a0 ∈ C, una curva de Λ que pase por a, a0 cortar´ıa a C por lo menos en d(d − 2) + 1 puntos contados con multiplicidad, lo que es absurdo. Por tanto no existen curvas de Λ que pasen por a, a0 , luego el Lema 3.10 implica que Λ es un haz de curvas, y podemos definir una parametrizaci´on Λ → C que asocia a cada curva D en Λ el punto que queda al quitar de C ∩ D los d(d − 2) − 1 puntos fijos. Como vimos en el Ejemplo 4.11, una parametrizaci´on restringida a una curva af´ın se obtiene ya a partir de cocientes de polinomios en k[T ], que es lo que se llama funciones racionales. Es por esto que se suele dar la siguiente: Definici´ on. Una curva racional es una curva de g´enero cero (es decir, una curva parametrizable). Observaci´ on 9.4. Es claro que la hip´otesis de que la curva sea irreducible es fundamental en el Teorema 9.3. Por ejemplo, un par de rectas tiene un punto singular (y de hecho una recta doble tiene todos los puntos singulares), o una c´ ubica formada por la uni´on de una recta y una c´ onica irreducible tiene dos puntos singulares (si la recta no es tangente a la c´onica). De hecho, la uni´ on de d rectas en “posici´on general” es una curva de grado d con
1 d on de dos de las rectas). 2 = 2 d(d − 1) puntos singulares (los puntos de intersecci´ Veamos un ejemplo no trivial de parametrizaci´on, usando el Teorema 9.3 (y su demostraci´on, que es constructiva): Ejemplo 9.5. Consideramos la cu´ artica de ecuaci´on F := X02 X12 + X02 X22 − 2X12 X22 . Esta ecuaci´on es irreducible aplicando el criterio de Eisenstein (ver Teorema 2.15(ii)) viendo F como polinomio en la indeterminada X0 , y tomando como elemento irreducible p = X1 + iX2 . Claramente los puntos (1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1) son singulares (y no puede haber m´as por el Teorema 9.3). Consideramos el punto (1 : 1 : 1), que tambi´en pertenece a la curva. El haz de c´ onicas que pasan por (1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0), (0 : 0 : 1), (1 : 1 : 1) consiste en las c´onicas de ecuaci´ on G := t0 X2 (X0 − X1 ) + t1 X1 (X0 − X2 ). Usando la resultante de F y G respecto de X2 , obtenemos X02 X12 (X0 − X1 )(t20 X0 + t21 X0 − t20 X1 − 2t0 t1 X1 + t21 X1 ). 95

Las primeras soluciones corresponden a (1 : 0 : 0), (0 : 1 : 0), (1 : 1 : 1) (no sale el punto (0 : 0 : 1) por haber hecho la resultante respecto de X2 ), mientras que la u ´ltima soluci´ on (X0 : X1 ) = (t20 + 2t0 t1 − t21 : t20 + t21 ) corresponde al restante punto de intersecci´on. Para calcular la u ´ltima coordenada podemos tomar otra resultante, esta vez respecto de X1 , y obtenemos X02 X22 (X0 − X2 )(t20 X0 + t21 X0 + t20 X2 − 2t0 t1 X2 − t21 X2 ) que ahora nos da como soluci´ on (X0 : X2 ) = (−t20 + 2t0 t1 + t21 : t20 + t21 ). Poniendo juntas ambas soluciones tenemos que el punto que obtenemos es
(t20 + 2t0 t1 − t21 )(−t20 + 2t0 t1 + t21 ) : (t20 + t21 )(−t20 + 2t0 t1 + t21 ) : (t20 + t21 )(t20 + 2t0 t1 − t21 ) que nos da la parametrizaci´ on buscada. Observaci´ on 9.6. Volvamos ahora a la topolog´ıa, y consideremos una c´ ubica irreducible C. Por el Ejemplo 7.9, tenemos tres casos: –Si C es lisa, entonces el Teorema 9.2 nos dice que su g´enero es uno (tales curvas se llaman el´ıpticas), es decir, es homeomorfa a un toro. Si pinchamos un toro por un punto y desde ah´ı recortamos un meridiano y un paralelo, podemos ver un toro como un rect´angulo en el que identificamos lados paralelos. Otra forma de verlo es ir repitiendo los rect´angulos, peg´andolos uno junto a otro hasta embaldosar con ellos todo el plano. Esto es lo mismo que ver el toro como el cociente de R2 por Z2 , que tiene estructura de grupo abeliano. Eso s´ı, esta estructura no es u ´nica, ya que el elemento neutro es precisamente el punto por el que hemos pinchado, as´ı que parece que lo hemos podido escoger. –Si C es una c´ ubica cuspidal, entonces tiene g´enero cero, y est´a en biyecci´on con P1k (para esto no hace falta suponer que k = C), y si a C le quitamos el punto singular entonces est´a en biyecci´ on con P1k menos un punto, que es la recta af´ın A1k . La recta af´ın est´ a en biyecci´on con la recta vectorial subyacente una vez fijado un origen de la recta, y entonces, con la suma del espacio vectorial, volvemos a encontrar una estructura de grupo abeliano. –Si C es una c´ ubica nodal, entonces tiene de nuevo g´enero cero, y ahora es parametrizable pero de modo que dos puntos distintos de P1k van a parar al nodo. En este caso, tendremos que el conjunto de puntos lisos de C est´a en biyecci´on con P1k menos dos puntos. A su vez, este conjunto est´ a en biyecci´on con k \ {0} (que ahora con el producto tiene 96

estructura de grupo abeliano) una vez que hayamos escogido un punto unitario (1 : 1) en P1k y de forma que los dos puntos que hemos quitado son (0 : 1) y (1 : 0). En cualquiera de los casos, parece que el conjunto de puntos lisos de una c´ ubica irreducible tenga de forma bastante natural (una vez escogido un elemento que har´ a de neutro) una estructura de grupo. Una primera tentaci´on natural de definir una operaci´ on en una c´ ubica C ser´ıa la siguiente: dados dos puntos a, b ∈ C, se le puede asociar de forma natural un tercer punto, considerando el tercer punto de intersecci´on de la recta ab con C. Aunque no haremos los detalles, esto vale tambi´en en los casos l´ımite. Por ejemplo, si a = b, entonces habr´ıa que considerar la recta tangente a C en a y considerar el otro punto de intersecci´ on de dicha recta con C (en a tenemos que la multiplicidad de intersecci´ on ya es dos, y podr´ıa ser incluso tres, en cuyo caso el tercer punto volver´ıa a ser a). Los puntos singulares s´ı que dan problemas. Por ejemplo, si C tiene un nodo, en ese punto en realidad habr´ıa dos ramas, y no se puede decir c´omo sumar una rama con la otra (o sumar el punto con ´el mismo, si decidimos no separar el punto en dos). Sin embargo, es claro que la recta que une dos puntos de una c´ ubica no puede pasar adem´as por un punto singular, luego el tercer punto de una recta generada por dos puntos lisos es siempre un punto liso. Restringiremos por tanto nuestra operaci´on a los puntos lisos de C, y demos las definiciones precisas (omitiendo los casos l´ımite): Definici´ on. Dada una c´ ubica irreducible C ⊂ P2k y C0 su conjunto de puntos lisos, definimos la operaci´ on ∗ : C0 × C0 → C0 que asocia a cada par de puntos a, b ∈ C0 el punto a ∗ b ∈ C0 de la recta ab distinto de a y b. Se podr´ıa decir con m´as precisi´on diciendo que a ∗ b es el u ´nico punto tal que existe una recta que corta a C en a, b, a ∗ b, cada punto con multiplicidad igual a tantas veces como lo hemos repetido. Observaci´ on 9.7. De la definici´ on de ∗ se sigue que a ∗ b = c es equivalente tambi´en a b = a ∗ c o a a = b ∗ c. Por tanto, si a ∗ b = a0 ∗ b, se seguir´a que a = a0 . Claramente la operaci´ on es conmutativa, pero es evidente que no tiene elemento neutro. De hecho, si queremos dar estructura de grupo, el neutro lo debemos fijar a priori (como ya hemos observado en los distintos tipos de c´ ubica) y dar una definici´on algo m´ as complicada: Definici´ on. Dada una c´ ubica irreducible C ⊂ P2k , su lugar liso C0 y un punto o ∈ C0 , definimos la operaci´ on + : C0 × C0 → C0 que asocia a cada par de puntos a, b ∈ C0 el punto a + b := o ∗ (a ∗ b) ∈ C0 . Teorema 9.8. Dada una c´ ubica irreducible C ⊂ P2k y un punto o ∈ C0 , la operaci´ on + apenas definida da a C0 una estructura de grupo abeliano en que o es el elemento neutro. Demostraci´ on: La conmutatividad de ∗ implica inmediatamente la conmutatividad de +. 97

Adem´as, es evidente que, para cualquier a ∈ C0 , a + o es, por definici´on el tercer punto de C en la recta generada por o y a ∗ o. Como por definici´on a ∗ o est´a alineado con a y o, ese tercer punto es necesariamente a. Por tanto, a + o = a para cualquier a ∈ C0 , luego en efecto o es el elemento neutro de la suma. Para la existencia de inverso de cualquier a ∈ C0 , buscamos un elemento a0 ∈ C0 tal que a + a0 = o, es decir, (a ∗ a0 ) ∗ o = o. Por la Observaci´on 9.7, esto es equivalente a a ∗ a0 = o ∗ o. Luego, llamando o0 = o ∗ o, la condici´on a ∗ a0 = o0 es equivalente, de nuevo por la Observaci´ on 9.7, a a0 = a ∗ o0 . Tendremos entonces que a0 = a ∗ o0 es el opuesto de a. Finalmente, para ver la asociatividad, tomamos tres puntos distintos a, b, c ∈ C0 , y bastar´a ver (a + b) ∗ c = a ∗ (b + c). Consideramos la c´ ubica D uni´on de las rectas generadas por a, b; c, a + b y o, b ∗ c, que corta a C adem´as en los puntos a ∗ b, (a + b) ∗ c, b + c. Consideramos tambi´en la c´ ubica D0 uni´on de las rectas generadas por b, c; a, b + c y o, a ∗ b, que corta adem´ as a C en b ∗ c, a ∗ (b + c), a + b. Por tanto, D0 pasa por ocho de los nueve puntos de intersecci´ on de C y D, luego por el Corolario 3.15(∗) debe pasar tambi´en por (a + b) ∗ c. Eso quiere decir que (a + b) ∗ c = a ∗ (b + c), como quer´ıamos. En la demostraci´ on de la existencia de opuesto aparece un punto extra o0 . Puede ser natural evitarse tal punto haciendo que coincida con o. Esto es equivalente a decir que o es un punto de inflexi´ on. En tal caso, tenemos la siguiente buena propiedad: Teorema 9.9. Sea C una c´ ubica irreducible, y sea + la suma en el que el neutro es un punto de inflexi´ on o. Entonces tres puntos a, b, c ∈ C0 est´an alineados si y s´olo si a + b + c = o. Demostraci´ on: Decir que a, b, c est´en alineados es lo mismo que decir a ∗ b = c, o equivalentemente a + b = o ∗ c. Seg´ un la demostraci´on del Teorema 9.8 y teniendo en cuenta 0 que o = o por ser o un punto de inflexi´on, o ∗ c es el opuesto de c, luego a + b = o ∗ c es equivalente a decir a + b + c = o, como quer´ıamos. Teorema 9.10. Sea C una c´ ubica irreducible y sean a, b ∈ C puntos de inflexi´on de C. Entonces a ∗ b es tambi´en un punto de inflexi´on de C. Demostraci´ on: Si tomamos una suma en C0 en que el neutro sea un punto de inflexi´ on o, entonces se tendr´ a, por el Teorema 9.9, que un punto c ∈ C0 es de inflexi´on si y s´ olo si (∗)

En realidad, en el Corolario 3.15, los nueve puntos eran distintos todos entre s´ı, mientras que en nuestro caso puede haber repeticiones; el resultado sigue siendo cierto para puntos repetidos, pero eso ya no lo demostraremos. 98

c + c + c = o. Por tanto, como tenemos a, b de inflexi´on ser´a a + a + a = o y b + b + b = o. Tambi´en, como a, b, a ∗ b est´ an alineados, ser´a a + b + (a ∗ b) = o. Sumando tres veces, tendremos (a + a + a) + (b + b + b) + (a ∗ b + a ∗ b + a ∗ b) = o + o + o. Como a + a + a = o, b + b + b = o y o + o + o = o, se sigue a ∗ b + a ∗ b + a ∗ b = o, luego a ∗ b tambi´en es un punto de inflexi´on.

Observaci´ on 9.11. Particularicemos ahora todo lo que hemos visto a los distintos tipos de c´ ubica. Fijamos para ello una suma en que el neutro o es un punto de inflexi´ on, y sabemos que entonces los puntos de inflexi´on son aquellos puntos a tales que a + a + a = 0, es decir, los puntos de torsi´ on de orden tres. Vimos en la Observaci´on 9.6 de d´onde deber´ıa venir la estructura de grupo, luego pod´ıamos haber anticipado cu´antos elementos de torsi´ on de orden tres hay en cada caso: –Si C es la c´ ubica cuspidal, entonces la estrucura de grupo es la aditiva de k, cuyo u ´nico punto de torsi´ on (de cualquier orden) es el neutro. Esto coincide con el hecho de que C tiene un u ´nico punto de inflexi´on, con lo que el Teorema 9.10 no dice nada. –Si C es la c´ ubica nodal, la estructura de grupo es la multiplicativa de k \ {0}, cuyos elementos de torsi´ on de orden tres son las tres ra´ıces c´ ubicas de la unidad. En efecto, C tiene tres puntos de inflexi´ on, y el Teorema 9.10 dice que est´an alineados. –Si C es una c´ ubica lisa, su estructura de grupo es la de R2 /Z2 , y los puntos de torsi´ on 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 de orden tres son las clases de (0, 0), ( 3 , 0), ( 3 , 0), (0, 3 ), ( 3 , 3 ), ( 3 , 3 ), (0, 3 ), ( 3 , 3 ), ( 3 , 3 ), es decir, nueve puntos, que coincide con el n´ umero de puntos de inflexi´on. El hecho de que esos nueve puntos tengan una configuraci´on tan especial como dice el Teorema 9.10 (dados dos cualesquiera de ellos hay un tercero que est´a alineado con ellos) implica que como mucho hay tres puntos de inflexi´on reales, todos ellos alineados. Aunque no sea una demostraci´ on, el lector puede convencerse de ello intentando dibujar nueve puntos en el plano con tal propiedad: ya ver´ a que es imposible. Para la c´ ubica lisa, usando de nuevo la estructura de grupo de R2 /Z2 , se obtiene que el n´ umero de puntos de torsi´ on de orden n es n2 . Por ejemplo, hay cuatro puntos de torsi´on de orden dos. Un punto b es de torsi´on de orden dos si y s´olo si b + b = o, es decir, b + b + o = o, lo que quiere decir, por el Teorema 9.9, que o est´a en la recta tangente a C en b. Como vimos en el Lema 8.17, hay efectivamente cuatro de esos puntos. El Teorema 9.9 puede generalizarse: Ejercicio 9.12. Demostrar que, si + es la suma en una c´ ubica lisa C en que el neutro o es un punto de inflexi´ on, entonces a1 + . . . + a3n = 0 si y s´olo si existe una curva de grado 99

n que corta a C precisamente en a1 , . . . , a3n (en que cada punto aparece repetido tantas veces como su multiplicidad de intersecci´on).

100

10. Geometr´ıa de dimensi´on superior A lo largo de estas notas hemos estudiado curvas algebraicas planas, es decir, subconjuntos del plano af´ın o proyectivo definidos por una u ´nica ecuaci´on. En esta u ´ltima secci´ on, daremos una m´ınima introducci´ on a la geometr´ıa algebraica, que consiste en el estudio de variedades algebraicas, i.e. definidas por un n´ umero arbitrario de polinomios en espacios afines o proyectivos de cualquier dimensi´on. Empezamos con la definici´on precisa: Definici´ on. Se llama conjunto af´ın a un subconjunto de Ank definido por los ceros de un ciertos polinomios de k[X1 , . . . , Xn ]. En otras palabras, dado cualquier subconjunto S ⊂ k[X1 , . . . , Xn ], define el conjunto af´ın V (S) = {a ∈ Ank | f (a) = 0 para todo f ∈ S}. De la misma forma, para el caso proyectivo tenemos: Definici´ on. Se llama conjunto proyectivo a un subconjunto de Pnk definido por los ceros de un ciertos polinomios homog´eneos de k[X0 , . . . , Xn ]. En otras palabras, dado cualquier subconjunto S ⊂ k[X1 , . . . , Xn ] de polinomios homog´eneos, define el conjunto proyectivo V (S) = {a ∈ Pnk | F (a) = 0 para todo F ∈ S}. Ya vimos en el Ejemplo 3.6 c´omo de forma natural aparec´ıan conjuntos proyectivos, en concreto dentro del espacio proyectivo Pd que parametriza las curvas de grado d de P2k . Vamos a estudiar alg´ un ejemplo m´as representativo: Ejemplo 10.1. Podemos generalizar lo visto en la secci´on 4, en el sentido de que cualquier curva parametrizada se puede expresar en ecuaciones impl´ıcitas. Por ejemplo, consideremos el conjunto C := {(t30 : t20 t1 : t0 t21 : t31 ) ∈ P3k | (t0 : t1 ) ∈ P1k }. Claramente, los puntos de C satisfacen las ecuaciones S := {X0 X2 − X12 , X0 X3 − X1 X2 , X1 X3 − X22 }. Rec´ıprocamente, supongamos que un punto a = (a0 : a1 : a2 : a3 ) ∈ P3k satisface esas tres ecuaciones. Si fuera a0 = 0, entonces de a0 a2 − a21 = 0 deducir´ıamos a1 = 0, y entonces de a1 a3 − a22 = 0 se concluye a2 = 0. Por tanto, a = (0 : 0 : 0 : 1), y por tanto est´a en C a, tomando (t0 : t1 ) = (0 : 1). Si, por el contrario, a0 6= 0, llamamos t := aa01 , y se tendr´ usando las ecuaciones que satisface a: t2 =

a0 a2 a2 a21 = 2 = 2 a0 a0 a0 101

t3 = tt2 = y por tanto a = (1 :

a0 a3 a3 a1 a2 a1 a2 = 2 = 2 = a0 a0 a0 a0 a0

a1 a2 a3 : : ) = (1 : t : t2 : t3 ) a0 a0 a0

lo que implica que a est´ an en C, tomando (t0 : t1 ) = (1 : t). Hemos demostrado, por tanto, C = V (S), luego es un conjunto proyectivo. Es natural decir que C es una curva, es decir, que tiene dimensi´ on uno (esta curva se llama c´ ubica alabeada). Adem´as, su grado debe ser tres, ya que si cortamos con un plano V (u0 X0 + u1 X1 + u2 X2 + u3 X3 ), obtendremos los puntos (t30 : t20 t1 : t0 t21 : t31 ) en los que (t0 : t1 ) es una ra´ız de u0 T03 +u1 T02 T1 +u2 T0 T12 +u3 T13 , que tiene tres ra´ıces contadas con multiplicidad; por tanto, la intersecci´on de C con un plano son tres puntos contados con multiplicidad. Ejercicio 10.2. Generalizar el ejercicio anterior demostrando que C = {(tn0 : tn−1 t1 : . . . : t0 tn−1 : tn1 ) ∈ Pnk | (t0 : t1 ) ∈ P1k } 0 1 es un conjunto proyectivo, y que un conjunto de ecuaciones viene dado por los menores de orden dos de la matriz   X0 X1 . . . Xn−2 Xn−1 X1 X2 . . . Xn−1 Xn (tal conjunto proyectivo se llama curva racional normal de grado n). La pregunta clave es: ¿c´ omo se puede deducir en general cu´ales deber´ıan ser la dimensi´on y el grado de un conjunto proyectivo mirando s´olo al conjunto S de ecuaciones que lo definen? Porque desde luego, en el Ejemplo 10.1 uno se esperar´ıa que tres ecuaciones “independientes” (en un sentido que habr´ıa que precisar) definieran algo de codimensi´ on tres, mientras que hemos observado que se obtiene una curva, que s´olo tiene codimensi´ on dos. M´as complicado a´ un parece la cuesti´on de determinar el grado: ¿c´omo es posible que tres ecuaciones de grado dos den lugar a algo de grado tres? En realidad, lo primero que habr´ıa que pensar es si hemos escogido las ecuaciones adecuadas. De hecho, en el caso de curvas planas, ten´ıamos para cada curva una ecuaci´on minimal (´ unica salvo multiplicaci´ on por contante). El resultado clave es el Corolario 2.12 (o 2.11 en el caso af´ın), en el que se dice que los polinomios que se anulan en una curva son precisamente los m´ ultiplos de su ecuaci´on minimal. En otras palabras, en el caso af´ın, los polinomios que se anulan en una curva forman un ideal, y una ecuaci´on minimal no es sino un generador de tal ideal. Esto nos lleva a lo siguiente: Definici´ on. Se llama ideal de un conjunto af´ın X ⊂ Ank a I(X) = {f ∈ k[X1 , . . . , Xn ] | f (a) = 0 para todo a ∈ X}. 102

En el caso proyectivo, en que s´olo las ecuaciones homog´eneas tienen sentido, la definici´on hay que cambiarla ligeramente: Definici´ on. Se llama ideal de un conjunto proyectivo X ⊂ Pnk a I(X) = ideal generado por {F ∈ k[X0 , . . . , Xn ] | F (a) = 0 para todo a ∈ X}. El resultado clave ahora es: Teorema 10.3 (de la base de Hilbert). Todo ideal de un anillo de polinomios admite un n´ umero finito de generadores. A ra´ız de este resultado (que no demostraremos), se concluye que todo conjunto algebraico (af´ın o proyectivo) puede determinarse por un n´ umero finito de ecuaciones (en el caso proyectivo no es dif´ıcil ver que los generadores finitos de I(X) pueden tomarse homog´eneos). Sin embargo, esto no resuelve nuestro problema. Se puede demostrar que el conjunto S del Ejemplo 10.1 genera I(C) (m´as en general, lo mismo es cierto para la curva racional normal del Ejercicio 10.2). Adem´as, no es excesivamente dif´ıcil demostrar (el lector puede intentar demostrarlo como desaf´ıo) que I(C) no puede generarse por dos elementos, con lo que seguimos con el mismo problema de saber c´omo calcular dimensi´ on y grado a partir de las ecuaciones. Un problema a˜ nadido es el siguiente: si esperamos obtener la informaci´on de un conjunto algebraico X a partir de I(X), ¿c´omo determinar cu´al es este ideal y sus generadores? En el caso de curvas planas, de nuevo la clave es el Corolario 2.11 o 2.12 (seg´ un estemos en el caso af´ın o proyectivo): dada una curva definida por un polinomio, el ideal de la curva son los polinomios tales que una potencia suya est´e en el ideal generado por el polinomio dado. Adem´ as, el ideal de la curva est´a generado por un polinomio que consiste en quitar los factores repetidos del polinomio de partida. Sin embargo, volviendo al Ejemplo 10.1, sabemos que C est´ a definida por los tres polinomios de S, pero ¿c´omo calcular a partir de ellos I(C)? (ya hemos dicho antes que puede demostrarse que en este caso se da la “casualidad” de que el ideal generado por los elementos de S es precisamente I(C)). La respuesta general a esta pregunta viene dada por la generalizaci´on de los Corolarios 2.11 ´ y 2.12, para lo que necesitaremos primero recordar una definici´on de Algebra: Definici´ on. Se llama radical de un ideal I de un anillo A a: √

I = {f ∈ A | f r ∈ I para alg´ un r ∈ N}

(es un simple ejercicio comprobar que √ tal que I = I.

√

I es un ideal de A). Un ideal radical es un ideal I

103

Teorema 10.4 (de los ceros de Hilbert(∗) ). Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado, sea S ⊂ k[X1 , . . . , Xn ] y sea X = V (S) ⊂ Ank . Entonces, si I es el ideal generado por S en √ k[X1 , . . . , Xn ], se tiene I(X) = I. En el caso proyectivo hay que tener una peque˜ na precauci´on con el conjunto vac´ıo, debido a que se puede obtener de dos formas distintas: Teorema 10.5 (de los ceros proyectivo). Sea k un cuerpo algebraicamente cerrado, sea S ⊂ k[X0 , . . . , Xn ] un subconjunto de polinomios homog´eneos, sea I el ideal generado por S en k[X0 , . . . , Xn ] y sea X = V (S) ⊂ Pnk . Entonces: (i) X = ∅ si y s´ olo si existe d0 ∈ N tal que I contiene todos los polinomios homog´eneos √ de grado d ≥ d0 (que es lo mismo que decir que I contiene a X0 , . . . , Xn ). √ (ii) Si X 6= ∅, se tiene I(X) = I. El Teorema de los Ceros nos da una biyecci´on entre conjuntos algebraicos e ideales radicales (en el caso proyectivo hay que tener la precauci´on de que el conjunto vac´ıo puede corresponder a dos ideales radicales, el total y el generado por X0 , . . . , Xn ). Esto es la generalizaci´on de lo que vimos para curvas planas de que hay una biyecci´on entre el conjunto de curvas planas y el conjunto de ecuaciones minimales, salvo multiplicaci´on por constante no nula. De hecho dos polinomios generan el mismo ideal si y s´olo si difieren en la multiplicaci´on por una constante no nula; y el ideal generado por un polinomio es radical si y s´ olo si el polinomio es una ecuaci´ on minimal (es decir, no tiene factores m´ ultiples). Recordemos que, a la hora de hablar de sistemas lineales, tuvimos que considerar tambi´en ecuaciones no minimales (y por tanto ideales no radicales), a fin de que el conjunto de curvas de un mismo grado forme un espacio proyectivo. De este modo, tambi´en eran curvas objetos como rectas dobles, por ejemplo. En el caso de conjuntos algebraicos generales, tambi´en deberemos considerar a veces objetos m´as generales (llamados esquemas) que, esencialmente, consiste en considerar ideales que no son radicales. Esto tambi´en permite que los conjuntos que parametrizan variedades algebraicas del mismo tipo sean m´as “completas”. Ejemplo 10.6. Retomemos el Ejemplo 10.1 de la c´ ubica alabeada. C = {(t30 : t20 t1 : t0 t21 : t31 ) ∈ P3k | (t0 : t1 ) ∈ P1k }. Dijimos que un plano corta a C en tres puntos contados con multiplicidad. Si queremos que nos aparezca multiplicidad mayor que uno, podemos cortar con el plano V (X3 ), que (∗)

Conviene indicar que el nombre original en alem´an del teorema es Nullstellensatz, ya que en los textos en ingl´es no est´ a traducido, y hay que buscarlo por ese nombre 104

nos da la ra´ız t1 = 0 triple, es decir, que obtendremos el punto (1 : 0 : 0 : 0) contado tres veces. Como las ecuaciones de C eran S = {X0 X2 − X12 , X0 X3 − X1 X2 , X1 X3 − X22 } las ecuaciones del punto triple ser´ an S 0 := {X0 X2 − X12 , X0 X3 − X1 X2 , X1 X3 − X22 , X3 } o, equivalentemente S 00 := {X0 X2 − X12 , X1 X2 , X22 , X3 }. Por tanto, el ideal I generado por S 00 representar´a al punto (1 : 0 : 0 : 0) con multiplicidad √ tres. Obs´ervese que no es un ideal radical, ya que X22 ∈ I (es decir, X2 ∈ I), pero X2 ∈ / I. Podemos identificar el plano V (X3 ) con el plano proyectivo P2k de coordenadas X0 , X1 , X2 , luego del mismo modo se ve que el ideal generado por X0 X2 −X12 , X1 X2 , X22 define el punto (1 : 0 : 0) con multiplicidad tres. Si en lugar de ver esas ecuaciones en P2k las vemos en k 3 (que identificaremos con A3k , y usaremos coordenadas X, Y, Z en lugar de X0 , X1 , X2 ), podemos decir que el ideal generado por XZ − Y 2 , XY, Y 2 representa a la recta V (Y, Z) con multiplicidad tres. En realidad, a efectos pr´ acticos, el Teorema de los Ceros no ayuda mucho, ya que no es tarea f´acil (salvo para programas especializados de ordenador) calcular el radical de un ideal. Evitaremos pues los m´etodos algebraicos de c´alculo de dimensi´on y grado a partir del ideal, y nos centraremos en su descripci´on geom´etrica. La idea es el Corolario 8.8(ii), que indica que una curva corta a una recta general en un n´ umero d de puntos distintos, y este n´ umero d es precisamente el grado. Nos basaremos en esta idea, aunque de momento sea imprecisa: Definici´ on. Se llama dimensi´ on de un conjunto algebraico X a r ∈ N tal que un subespacio lineal “general” de codimensi´ on r corte a X en un n´ umero finito de puntos. El n´ umero de tales puntos se llama grado de X. Obs´ervese que esta definici´ on, aparte de coincidir con la que tenemos en el caso de curvas planas, hace que en el Ejemplo 10.1 el conjunto C tenga dimensi´on uno y grado tres, ya que cualquier plano de P3k corta a C en tres puntos. Del mismo modo, la curva racional normal del Ejercicio 10.2 es, en efecto, una curva y tiene grado n. Para que la definici´ on anterior sea precisa, necesitamos decir qu´e entendemos por subespacio lineal “general”. En el caso de curvas proyectivas, el subespacio es un hiperplano de Pn , as´ı que, generalizando la situaci´on del Corolario 8.8(ii), un hiperplano general ser´ a n∗ un elemento de Pk que est´e fuera de un conjunto proyectivo. Para ser precisos en el caso 105

general, necesitar´ıamos conocer en primer lugar el conjunto de los subespacios lineales de un espacio proyectivo. Para ver c´ omo podr´ıamos hacer eso, analicemos el caso conocido del espacio dual: Observaci´ on 10.7. Todos sabemos que al espacio dual Pnk ∗ le podemos dar coordenadas (u0 : . . . : un ) representando el hiperplano de ecuaci´on u0 X0 + . . . + un Xn . Hay una forma alternativa de ver estas coordenadas, si el hiperplano lo tenemos descrito como generado por n puntos independientes. En efecto, si un hiperplano est´a generado por los puntos a1 , . . . , an , y escribimos ai = (ai0 : . . . : ain ), entonces la ecuaci´on del hiperplano es X0 a10 . . . an0

X1 a11 .. . an1

... ... .. .

Xn a1n .. . . . . ann

y por tanto los coeficientes del hiperplano son, salvo el orden y el signo, los menores de orden m´aximo de la matriz a10 . A =  ..

a11 .. .

an0

an1



 . . . a1n ..  .. . . . . . ann

cuyas filas son las coordenadas de los puntos que generan el hiperplano. Evidentemente, si cambiamos los puntos que generan el hiperplano, la ecuaci´on nos tiene que quedar la misma (o un m´ ultiplo). Esto se puede ver de la siguiente forma: Cada punto del hiperplano se obtiene mediante una combinaci´on lineal de las filas de A, es decir, multiplicando A a la izquierda por un vector fila (en el que ponemos los coeficientes de la combinaci´on lineal. Entonces, un nuevo sistema de puntos que generen el hiperplano se obtiene multiplicando A a la izquierda por una matriz invertible P de orden n. Los menores de orden n de la nueva matriz P A ser´ an entonces los menores de orden n de A multiplicados por el determinante de P , que es una constante distinta de cero. Por tanto, los coeficientes de la ecuaci´ on del hiperplano son los mismos que antes, pero multiplicados todos por det(P ). En general, esta idea de tomar los menores de orden m´aximo de una matriz cuyas filas generan el subespacio sirve para dar coordenadas al conjunto de subespacios lineales de dimensi´ on dada en un espacio proyectivo. Hagamos en detalle el primer caso no trivial: Ejemplo 10.8. Sea X el conjunto de todas las rectas de P3 . Cada recta L estar´a generada por las filas de una matriz   a0 a1 a2 a3 A= . b0 b1 b2 b3 106

Para cada par de columnas i, j ∈ {0, 1, 2, 3} (tomaremos siempre i < j) definimos aj . bj

a pij = i bi

Como hemos observado antes, cualquier otro par de puntos que generen la misma recta se podr´an escribir como las filas de 0

A =



a00 b00

a01 b01

a02 b02

a03 b03



 =

 λ0 λ1 = λ 6= 0 (la matriz λ0 con µ0 µ1 µ0 anterior). Se tendr´ a entonces p0ij

0 a = 0i bi

 aj λ0 = bj µ0

λ1 µ1



λ0 µ0

λ1 µ1

ai bi

λ1 µ1



a0 b0

a1 b1

a2 b2

a3 b3



 juega el papel de P en la observaci´ on

 aj λ0 = bj µ0

λ1 ai µ1 bi

aj = λpij . bj

Por tanto, (p01 : p02 : p03 : p12 : p13 : p23 ) y (p001 : p002 : p003 : p012 : p013 : p023 ) determinan el mismo punto de P5k (como los dos puntos que determinan la recta son distintos, necesariamente alg´ un pij es no nulo). Tenemos, por tanto, una aplicaci´on g1,3 : X → P5k y nos preguntamos si es inyectiva (es decir, si cada recta queda determinada un´ıvocamente a partir de los pij ) y si es suprayectiva, es decir, si cualquier elecci´on de coordenadas pij corresponde a una recta de P3k . Estudiemos ambas cuestiones al mismo tiempo, es decir, tomemos (p01 : p02 : p03 : p12 : p13 : p23 ) ∈ P5k y veamos cu´ando corresponde a una recta de P3k , y siesa recta ´nica. Supongamos, por ejemplo, p01 6= 0. Esto quiere decir que  es u a0 a1 la matriz es invertible. Multiplicando A a la izquerda por la inversa de dicha b0 b1 matriz, obtenemos que la recta a la que corresponda (p01 : p02 : p03 : p12 : p13 : p23 ) se puede generar por las filas de una matriz 0

A =



1 0 0 1

a02 b02

a03 b03

 .

Tendremos entonces (p01 : p02 : p03 : p12 : p13 : p23 ) = (1 : b02 : b03 : −a02 : −a03 : a02 b03 − a03 b02 ) 107

y por tanto p 02  = b02   p  01      p03   = b03   p  01     p12 = − a02 p  01     p13    = − a03   p  01     p23    = a02 b03 − a03 b02 p01 lo que demuestra dos cosas: –En primer lugar, mirando las cuatro primeras igualdades anteriores, un elemento (p01 : p02 : p03 : p12 : p13 : p23 ) ∈ P5k s´olo puede provenir de una recta de P3k , en concreto 12 la generada por los puntos (1 : 0 : − pp01 : − pp13 ) y (0 : 1 : pp02 : pp03 ). 01 01 01 (p01

–En segundo lugar, mirando ahora tambi´en la quinta y u ´ltima igualdad, el elemento : p02 : p03 : p12 : p13 : p23 ) viene de una recta si y s´olo si p23 p12 p03 p13 p02 =− + p01 p01 p01 p01 p01

es decir p01 p23 − p02 p13 + p03 p12 = 0. Si cambi´asemos la hip´ otesis p01 6= 0 por otra coordenada, los puntos que generan la recta cambiar´ıan, pero lo que no cambia es la ecuaci´on que deben satisfacer las coordenadas. Llegamos entonces a que la imagen de g1.3 es la cu´adrica V (p01 p23 − p02 p13 + p03 p12 ), llamada cu´ adrica de Klein. En general, tenemos lo siguiente: Ejercicio 10.9. Sea G(k, n) el conjunto de subespacios lineales de dimensi´on k de Pnk (llamado grassmannina de k-espacios en Pnk ). Sea Λ ∈ G(k, n) un subespacio generado por las filas de la matriz   a00 a01 . . . a0n . .. ..  .. A =  .. . . . ak0 ak1 . . . akn
y, para cada elecci´ on de k + 1 columnas i0 < i1 < . . . < ik (obs´ervese que hay n+1 k+1 elecciones) sea a0,i0 . . . a0,ik .. . .. pi0 ,...,ik = ... . . ak,i . . . ak,i 0

108

k

(n+1)−1 Demostrar que la aplicaci´ on (llamada inmersi´ on de Pl¨ ucker) G(k, n) → Pkk+1 que manda cada subespacio Λ al punto cuyas coordenadas son los pi0 ,...,ik (llamadas coordenadas de Pl¨ ucker) est´ a bien definida, es inyectiva, y tiene como imagen un conjunto proyectivo (esta u ´ltima parte es complicada, y el lector no debe desmoralizarse si no logra una demostraci´ on). Como modo alternativo para obtener ecuaciones de la imagen si k = 1, demostrar que un punto est´ a en la imagen de la inmersi´on de Pl¨ ucker si y s´olo si la matriz   0 p01 . . . p0n 0 . . . p1n   −p01  . ..  ..   . . . . −p0n −p1n . . . 0 tiene rango dos, en cuyo caso la recta correspondiente de Pnk es la generada por las filas de la matriz (este hecho ya lo hemos encontrado, para n = 2, en la demostraci´on del Teorema 8.1). Con todo lo anterior, ya podemos precisar la definici´on de dimensi´on y grado, basada en la siguiente generalizaci´ on del Corolario 8.8(ii): Teorema 10.10. Sea X ⊂ Pnk un conjunto proyectivo. Entonces, existen n´ umeros natun+1 −1 (n−r+1) (i.e. Z es un subconjunto rales r y d y un conjunto proyectivo Z ⊆ / G(n−r, n) ⊂ P propio del conjunto del conjunto de todos los subespacios de codimensi´on r en Pnk ) tal que, si Λ ∈ G(n − r, n) \ Z, entonces la intersecci´on de X y Λ consiste exactamente en d puntos distintos. Aunque esta definici´ on est´ a enunciada s´olo para conjuntos proyectivos, puede hacerse tambi´en para conjuntos afines, sin m´as que tomar su completado proyectivo. No entraremos en detalles (la construcci´ on del completado proyectivo requiere alguna sutileza), m´ as que nada porque, como el caso de curvas tendr´ıa que haber demostrado ya a estas alturas, la geometr´ıa que funciona bien es la proyectiva sobre un cuerpo algebraicamente cerrado. A este caso nos ce˜ niremos sobre todo. Ejemplo 10.11. Si consideramos en P2k el conjunto X definido por las ecuaciones X0 X2 , X1 X2 , nos damos cuenta de que obtenemos la uni´on de la recta V (X2 ) y el punto (0 : 0 : 1). Obs´ervese que cualquier recta V (u0 X0 + u1 X1 + u2 X2 ) distinta de V (X2 ) (i.e. u0 , u1 no se anulan los dos) y que no pase por (0 : 0 : 1) (i.e. u2 6= 0) corta a X en un solo punto. Por tanto, en el Teorema 10.10 podemos tomar, por ejemplo, Z = V (U0 U2 ), y llegamos a que X tiene dimensi´ on uno y grado uno. N´otese que, en cambio, una recta que pase por (0 : 0 : 1) corta a X en dos puntos. Esto indica que tanto la dimensi´on como el grado de una variedad algebraica los determinan las partes “m´as grandes” de la misma. Esta noci´on de descomponer en partes es la generalizaci´on de las componentes irreducibles que vimos para curvas: 109

Definici´ on. Un conjunto proyectivo X ⊂ Pnk se dice que es irreducible si la u ´nica forma de escribir X como X = X1 ∪ X2 , con X1 , X2 conjuntos proyectivos, es tomando X1 = X o X2 = X. La misma definici´ on vale cambiando la palabra “proyectivo” por “af´ın”. La generalizaci´ on de la Proposici´on 2.13 es ahora: Ejercicio 10.12. Demostrar que un conjunto algebraico (af´ın o proyectivo) es irreducible si y s´olo si I(X) es un ideal primo. La descomposici´ on en componentes irreducibles es m´as complicada, y se basa en la descomposici´ on primaria de cualquier ideal de un anillo de polinomios (o al menos, en la noetherianidad de tales anillos). El motivo esencial de tal dificultad se explica en parte por el hecho de que, para variedades arbitrarias, las componentes irreducibles pueden tener entre ellas distintas dimensiones, como hemos visto en el Ejemplo 10.11. Veamos ahora hasta qu´e punto se puede generalizar el estudio local en un punto. En el caso de curvas, aunque el algoritmo es mucho m´as complicado que en el caso de curvas planas, se puede hablar de ramas en un punto como clases de equivalencia de parametrizaciones formales (que se ve que existen siempre), y por tanto de rectas tangentes. Para dimensi´ on superior, la situaci´on no es tan simple. Estudiemos primero un ejemplo, y tomaremos, como siempre en estos casos, el origen de un conjunto af´ın: Ejemplo 10.13. Consideremos X = V (f ) ⊂ A3k , con f = XZ − Y 2 + X 3 , y estudiemos el punto (0, 0, 0) (el u ´nico punto en el que se anulan todas las derivadas parciales de f ). Cortemos X con cualquier recta que pase por el origen. Tal recta se podr´a parametrizar como (X, Y, Z) = (at, bt, ct), con (a, b, c) 6= (0, 0, 0). La multiplicidad de intersecci´on de X con la recta en el punto ser´ a la multiplicidad de la ra´ız T = 0 del polinomio f (aT, bT, cT ) = (ac − b2 )T 2 + a3 T 3 es decir, la multiplicidad es siempre al menos dos, y es mayor precisamente para las rectas en que ac − b2 = 0. Llegamos, por tanto, a la misma noci´on de cono tangente que ten´ıamos para curvas, y de nuevo la ecuaci´ on de tal cono es la parte homog´enea de grado menor de la ecuaci´ on de la hipersuperficie f . Ahora bien, hay serias diferencias con el caso de curvas. En primer lugar, el cono tangente ahora no es la uni´on de los planos tangentes a X en (0, 0, 0). De hecho, bien pensado, X deber´ıa tener infinitos planos tangentes en el punto, precisamente los planos tangentes al cono V (XZ − Y 2 ) (que se puede ver que son l´ımite de planos tangentes a X en los puntos lisos). El cono tangente es, sin embargo, uni´on de rectas (y no planos) que pasan por (0, 0, 0). Puede demostrarse que dichas rectas son las rectas tangentes a las distintas curvas contenidas en X que pasan por (0, 0, 0). Podemos dar ya la siguiente: 110

Definici´ on. Dado un conjunto algebraico X y un punto a ∈ X, se llama cono tangente de X en a, a la uni´ on de las rectas tangentes en a a las curvas de X que pasan por a. Tal vez la definici´ on quede m´ as clara con un ejemplo m´as: Ejemplo 10.14. Consideremos la curva C = {(t3 , t4 , t5 ) ∈ A3k | t ∈ k}. Se comprueba sin dificultad que C = V (Y 2 −XZ, Z 2 −X 2 Y, X 3 −Y Z), y de hecho puede llegar a demostrarse que I(C) est´ a generado por esos tres polinomios. Sin herramientas de cono tangente, sino directamente con la parametrizaci´on, est´a claro que el punto (0, 0, 0) es triple y con una sola recta tangente, en concreto V (Y, Z), que deber´ıa contar tres veces. Efectivamente, si tomamos las partes homog´eneas de grado menor de los generadores del ideal, tendr´ıamos que el cono tangente ser´ıa V (Y 2 − XZ, Z 2 , Y Z), que ya vimos en el Ejemplo 10.6 que define esa recta tres veces. Ejemplo 10.15. Calcular el cono tangente en el origen de la curva V (X 2 Y − X 8 , XY 2 + Z 9 ) ⊂ A3k [La moraleja del ejercicio es que no basta con calcular las partes homog´eneas de los generadores del ideal, sino que hay que considerar todo posible polinomio del ideal]. Podemos ya dar las definiciones, aunque no sean muy precisas: Definici´ on. Se llama cono tangente a un conjunto algebraico X en un punto a ∈ X a la uni´on de las rectas tangentes en a a todas las curvas de X que pasan por a. Se llama m´ ultiplicidad de un punto de una variedad algebraica al grado de su cono tangente (que puede contar con multiplicidad, como vimos en el Ejemplo 10.14). Un punto liso de una variedad algebraica es un punto para el que el cono tangente tiene grado uno, en cuyo caso se llama espacio tangente. Si a es liso en X, denotaremos por Ta X al espacio tangente a X en a. Se puede demostrar que la dimensi´on del cono tangente coincide con la dimensi´ on m´axima de las componentes de X que pasan por a, y si a es un punto liso entonces X tiene una u ´nica componente que pasa por a, de dimensi´on igual a la de Ta XA efectos pr´ acticos, Ta X es la intersecci´on, cuando F recorre el conjunto de polinomios homog´eneos de I(X) (o, en este caso, basta tomar un sistema de generadores), de V (F0 (a)X0 + . . . + Fn (a)Xn ) (donde, como siempre, Fi indica la derivada parcial de F respecto de Xi ). De nuevo, la definici´on an´aloga se puede hacer para el caso af´ın. Cuando a no es liso, tal intersecci´ on da un espacio lineal que contiene al cono tangente, y que se llama espacio tangente de Zariski. El teorema m´ as importante que hemos visto en estas notas, el de B´ezout, se puede generalizar a conjuntos proyectivos. El Ejemplo 10.11 nos muestra que necesitamos tener cuidado sobre la dimensi´ on de las componentes. Damos aqu´ı un enunciado bastante general atendiendo a estas precauciones: Teorema 10.16. Sean X1 , . . . , Xs ⊂ Pnk conjuntos proyectivos de dimensi´on pura (i.e. 111

para cada i = 1, . . . , s, cada componente de Xi tiene la misma dimensi´on ri ). Sea ci := n − ri la codimensi´ on de Xi . Entonces: (i) Cada componente irreducible de X1 ∩ . . . ∩ Xs tiene codimensi´on como mucho c1 + . . . + cs . (ii) Si c1 + . . . + cs = n y X1 ∩ . . . ∩ Xs es un n´ umero finito de puntos, entonces tal n´ umero de puntos es, contando multiplicidades, deg(X1 ) · · · deg(Xs ). La noci´ on de multiplicidad de intersecci´on es muy dif´ıcil de definir en general (ya lo ha sido para la intersecci´ on de dos curvas planas). De hecho, la topolog´ıa algebraica, y en concreto los grupos de homolog´ıa fueron introducidos con la finalidad de definir con precisi´on la noci´ on de multiplicidad de intersecci´on para conjuntos proyectivos complejos (como en la secci´ on 9, considerados como variedades topol´ogicas, y por tanto definiendo ciclos en el espacio proyectivo complejo, visto como espacio topol´ogico ambiente). El modo de entender el Teorema 10.16 es el siguiente: la codimensi´on esperada de la intersecci´ on de conjuntos proyectivos es la suma de las codimensiones, y cuando eso ocurre entonces se puede “calcular” la intersecci´on. Obs´ervese en particular que el ideal de un conjunto proyectivo de codimensi´on c tiene que estar generado necesariamente por al menos c ecuaciones. Ya en el primer ejemplo que hemos visto (Ejemplo 10.1) el ideal no puede generarse por tantas ecuaciones como la codimensi´on. De hecho, es muy especial que el ideal de un conjunto proyectivo est´e generado por tantos elementos como la codimensi´on (un comjunto proyectivo as´ı se llama intersecci´ on completa). Probablemente la conjetura abierta m´ as importante en geometr´ıa proyectiva (debida a Hartshorne) sea que toda variedad proyectiva lisa de dimensi´on r en Pnk es intersecci´on completa si r > 32 n. Finalmente, analicemos brevemente algo que el lector deber´ıa haber echado de menos. En cualquier materia matem´ atica merecedora de tal calificativo, despu´es de introducir los objetos con los que se va a trabajar, se introducen los morfismos entre ellos, que son aplicaciones que respetan la estructura (aplicaciones lineales de espacios vectoriales, homomorfismos de grupos o anillos, aplicaciones continuas de espacios topol´ogicos, aplicaciones diferenciables de variedades diferenciables,...). Para varidades algebraicas definidas por polinomios, lo esperable ser´ıa definir morfismo como una aplicaci´on polinomial. Sin embargo, no es tan simple como eso: Ejemplo 10.17. La biyecci´ on P1k → P2k definida por (t0 : t1 ) 7→ (t20 : t0 t1 : t21 ) del Ejercicio 1.7 deber´ıa ser un isomomorfismo entre P1 y V (X0 X2 − X12 ). Sin embargo, la u ´nica forma de definir su inversa es mediante ( (a0 : a1 ) si (a0 : a1 : a2 ) 6= (0 : 0 : 1) (a0 : a1 : a2 ) 7→ (a1 : a2 ) si (a0 : a1 : a2 ) 6= (1 : 0 : 0) (obs´ervese que (a0 : a1 ) = (a1 : a2 ) en V (X0 X2 − X12 )). 112

Este ejemplo indica que la noci´on de morfismo debe ser local, en el sentido de que alrededor de cada punto puede definirse mediante polinomios, aunque globalmente no tenga por qu´e poderse definir por polinomios (aunque puede demostrarse que, a posteriori, un morfismo entre conjuntos afines se puede definir globalmente por polinomios). No daremos la definici´on precisa de morfismo, sino que nos limitaremos a ver la diferencia fundamental entre los conjuntos afines y proyectivos. En el caso proyectivo, puede demostrarse que la imagen por un morfismo de un conjunto proyectivo sigue siendo un conjunto proyectivo (por eso la imagen de cualquier parametrizaci´on es siempre un conjunto proyectivo). Sin embargo, en el caso af´ın, los morfismos no conservan conjuntos afines: basta pensar en la imagen de la hip´erbola V (XY − 1) sobre cualquiera de los ejes coordenados, que es toda la recta menos un punto. La situaci´on puede ser m´as complicada a´ un: Ejemplo 10.18. Consideremos la aplicaci´on A2k → A2k definida por (x, y) 7→ (x, xy). La imagen de la recta V (Y − λ) es la recta V (Y − λX). Por tanto, la imagen de la aplicaci´on es la uni´ on de las rectas que pasan por (0, 0) con pendiente finita (es decir, todas las rectas excepto la recta vertical V (X)). Podemos escribir entonces la imagen   como A2k \ V (X) \ V (X, Y ) . En general, se llama conjunto constructible a un conjunto af´ın menos un conjunto af´ın al que previamente se le ha quitado otro conjunto af´ın, al que a su vez previamente se le ha quitado... (y as´ı una cantidad finita de veces). Lo que s´ı puede llegar a demostrarse es que la imagen por un morfismo de un conjunto constructible es siempre constructible. Terminamos analizando lo que pasa en el caso en que el cuerpo no sea algebraicamente cerrado, en concreto cuando tomamos k = R. En tal caso, los morfismos hacen cosas m´ as 2 2 complicadas. Por ejemplo, la imagen de la circunferencia V (X + Y − 1) al proyectar sobre cualquiera de los ejes coordenados es el intervalo [−1, 1], que ya hay que definirlo por desigualdades. Un conjunto definido por igualdades y desigualdades polinomiales es lo que se llama un conjunto semialgebraico, y el estudio de tales conjuntos es el objeto de la llamada geometr´ıa algebraica real. El resultado clave en este campo es que la imagen por un morfismo de un conjunto semialgebraico es un conjunto semialgebraico.

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