´ MODELOS MATEMATICOS Un modelo matem´ atico es una descripci´ on matem´atica de un fen´omeno o situaci´on del mundo real, como por ejemplo el tama˜ no de una pobalci´on, la demanda por un producto, etc. El prop´ osito del m´ odelo es entender el fen´ omeno y si se puede hacer predicciones con respecto al comportamiento futuro.

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30 de marzo de 2012

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´ MODELOS MATEMATICOS Un modelo matem´ atico es una descripci´ on matem´atica de un fen´omeno o situaci´on del mundo real, como por ejemplo el tama˜ no de una pobalci´on, osito del m´odelo es entender el la demanda por un producto, etc. El prop´ fen´ omeno y si se puede hacer predicciones con respecto al comportamiento futuro.

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CATALOGO DE FUNCIONES BASICAS Funci´ on lineal: como sabemos la gr´afica de ella es una l´ınea recta cuya expresi´on general es f (x) = mx + b, donde m representa la pendiente y b el corte de la recta con el eje y. Una caracter´ıstica representativa de las funciones lineales es que crecen a una tasa constante. Ejemplo 1: A medida que el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y se enfr´ıa. Si la temperatura del suelo es 20o C y la temperatura a la altura de 1 Km es 10o C, exprese la temperatura T (en o C) como una funci´on de la altura h (en kil´ometros) suponiendo que es un modelo lineal adecuado.

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CATALOGO DE FUNCIONES BASICAS Funci´ on lineal: como sabemos la gr´afica de ella es una l´ınea recta cuya expresi´on general es f (x) = mx + b, donde m representa la pendiente y b el corte de la recta con el eje y. Una caracter´ıstica representativa de las funciones lineales es que crecen a una tasa constante. Ejemplo 1: A medida que el aire seco se mueve hacia arriba, se expande y se enfr´ıa. Si la temperatura del suelo es 20o C y la temperatura a la altura de 1 Km es 10o C, exprese la temperatura T (en o C) como una funci´on de la altura h (en kil´ometros) suponiendo que es un modelo lineal adecuado.

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Ejemplo 2: En la tabla se enumera el nivel promedio de bi´oxido de carbono en la atm´osfera medido en parte por mill´ on en el observatorio Mauna Loa de 1980 a 1998. Use los datos que en ella aparecen para encontrar un modelo para el nivel de bi´ oxido de carbono.

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POLINOMIOS A una funci´on P(x) se le llama polinomio si P(x) = an x n + an−1 x n−1 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 donde n es un n´ umero natural y los n´ umeros a1 , a2 , ..., an son constantes que llamaremos coeficientes del polinomio. El dominio de cualquier funci´on polinomica es R. Si el primer coeficiente an 6= 0, diremos que el grado del polinomio es n. Ejemplos: P1 (x) = x 5 −

√

5x + 1.

P2 (x) = 20x + 1. P3 (x) = 9x 20 − 1. P4 (x) = x 2 . ()

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POLINOMIOS A una funci´on P(x) se le llama polinomio si P(x) = an x n + an−1 x n−1 + ... + a2 x 2 + a1 x + a0 donde n es un n´ umero natural y los n´ umeros a1 , a2 , ..., an son constantes que llamaremos coeficientes del polinomio. El dominio de cualquier funci´on polinomica es R. Si el primer coeficiente an 6= 0, diremos que el grado del polinomio es n. Ejemplos: P1 (x) = x 5 −

√

5x + 1.

P2 (x) = 20x + 1. P3 (x) = 9x 20 − 1. P4 (x) = x 2 . ()

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Ejemplo: Desde la plataforma superior de observaci´ on de la torre CN, a 450m por arriba del suelo, se deja caer una pelota y en la gr´afica se registra su altura h por arriba del suelo a intervalos de un segudo. Encuentre un modelo que coincida con los datos y u ´selo para predecir el tiempo en que la pelota toca el suelo.

Donde h(t) = 449,36 + 0,96t − 4,9t 2

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Ejemplo: Desde la plataforma superior de observaci´ on de la torre CN, a 450m por arriba del suelo, se deja caer una pelota y en la gr´afica se registra su altura h por arriba del suelo a intervalos de un segudo. Encuentre un modelo que coincida con los datos y u ´selo para predecir el tiempo en que la pelota toca el suelo.

Donde h(t) = 449,36 + 0,96t − 4,9t 2

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FUNCIONES DE POTENCIA A una funci´on de la forma f (x) = x a , donde a es una constante la llamaremos funci´ on potencia. Estudiaremos algunos casos: I. a ∈ N: f (x) = x n , donde n es un n´ umero natural mayor que 0, sabemos que si n = 2, f es una par´abola. As´ı para todos los n pares, la gr´afica de f es similar a la de f (x) = x 2 . Si m es un n´ umero impar, la funci´on f (x) = x m es impar y su gr´afica es similar a la gr´afica de f (x) = x 3 .

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FUNCIONES DE POTENCIA A una funci´on de la forma f (x) = x a , donde a es una constante la llamaremos funci´ on potencia. Estudiaremos algunos casos: I. a ∈ N: f (x) = x n , donde n es un n´ umero natural mayor que 0, sabemos que si n = 2, f es una par´abola. As´ı para todos los n pares, la gr´afica de f es similar a la de f (x) = x 2 . Si m es un n´ umero impar, la funci´on f (x) = x m es impar y su gr´afica es similar a la gr´afica de f (x) = x 3 .

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√ 1 II. a = n1 , n ∈ N: f (x) = x n = n x es una funci´ on ra´ız. Para n = 2 es la √ funci´on ra´ız cuadrada f (x) = x, cuyo dominio es D(f ) = [0, ∞) y rango R(f ) = [0, ∞), su gr´afica es la mitad superior de la par´abola x = y 2 . Idem que para las potencias naturales, las raices pares tienen gr´afica similar a la √ de f (x) = x. √ Para el caso n = 3, f (x) = 3 x y su gr´afica es el mismo conjunto de √ puntos {(x, y ) | x = y 3 }, como es de esperarse la gr´afica de f (x) = m x √ para m impar es similar a la gr´afica de f (x) = 3 x. III. a = −1: f (x) = x −1 = x1 es la funci´ on rec´ıproca, la gr´afica de ella la hemos estudiado, sabemos adem´as que su dominio al igual que su rango son todos los n´ umeros reales distintos de 0 (R − {0}).

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√ 1 II. a = n1 , n ∈ N: f (x) = x n = n x es una funci´ on ra´ız. Para n = 2 es la √ funci´on ra´ız cuadrada f (x) = x, cuyo dominio es D(f ) = [0, ∞) y rango R(f ) = [0, ∞), su gr´afica es la mitad superior de la par´abola x = y 2 . Idem que para las potencias naturales, las raices pares tienen gr´afica similar a la √ de f (x) = x. √ Para el caso n = 3, f (x) = 3 x y su gr´afica es el mismo conjunto de √ puntos {(x, y ) | x = y 3 }, como es de esperarse la gr´afica de f (x) = m x √ para m impar es similar a la gr´afica de f (x) = 3 x. III. a = −1: f (x) = x −1 = x1 es la funci´ on rec´ıproca, la gr´afica de ella la hemos estudiado, sabemos adem´as que su dominio al igual que su rango son todos los n´ umeros reales distintos de 0 (R − {0}).

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√ 1 II. a = n1 , n ∈ N: f (x) = x n = n x es una funci´ on ra´ız. Para n = 2 es la √ funci´on ra´ız cuadrada f (x) = x, cuyo dominio es D(f ) = [0, ∞) y rango R(f ) = [0, ∞), su gr´afica es la mitad superior de la par´abola x = y 2 . Idem que para las potencias naturales, las raices pares tienen gr´afica similar a la √ de f (x) = x. √ Para el caso n = 3, f (x) = 3 x y su gr´afica es el mismo conjunto de √ puntos {(x, y ) | x = y 3 }, como es de esperarse la gr´afica de f (x) = m x √ para m impar es similar a la gr´afica de f (x) = 3 x. III. a = −1: f (x) = x −1 = x1 es la funci´ on rec´ıproca, la gr´afica de ella la hemos estudiado, sabemos adem´as que su dominio al igual que su rango son todos los n´ umeros reales distintos de 0 (R − {0}).

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FUNCIONES RACIONALES Una funci´ on racional es un cociente de dos polinomios, es decir, f (x) =

P(x) Q(x)

donde P y Q son polinomios. El dominio de f consta de todos los numeros reales x para los cuales Q(x) 6= 0. Un ejemplo de ellas es la funci´on rec´ıproca que acabamos de estudiar. Ejemplos: f (x) = g (x) = h(x) =

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1 x2 x 2 −1 x−1 x 3 −1 x 5 +x 2 −1

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FUNCIONES RACIONALES Una funci´ on racional es un cociente de dos polinomios, es decir, f (x) =

P(x) Q(x)

donde P y Q son polinomios. El dominio de f consta de todos los numeros reales x para los cuales Q(x) 6= 0. Un ejemplo de ellas es la funci´on rec´ıproca que acabamos de estudiar. Ejemplos: f (x) = g (x) = h(x) =

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1 x2 x 2 −1 x−1 x 3 −1 x 5 +x 2 −1

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FUNCIONES ALGEBRAICAS Si una funci´on puede construirse usando operaciones algebraicas entre polinomios (suma, resta, multiplicaci´ on y sacar ra´ıces) se le llama funci´ on algebraica. Las funciones que hemos estudiado hoy, son funciones algebraicas. Ejemplos: f (x) = g (x) =

1+x 5 √ x−1 √ 3 x−x+1 x 2 +1

Un ejemplo en la vida real surge en la teor´ıa de la relatividad. Donde la masa de una part´ıcula en funci´ on de su velocidad queda expresada como m0 m = f (v ) = p 1 − v 2 /c 2

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FUNCIONES ALGEBRAICAS Si una funci´on puede construirse usando operaciones algebraicas entre polinomios (suma, resta, multiplicaci´ on y sacar ra´ıces) se le llama funci´ on algebraica. Las funciones que hemos estudiado hoy, son funciones algebraicas. Ejemplos: f (x) = g (x) =

1+x 5 √ x−1 √ 3 x−x+1 x 2 +1

Un ejemplo en la vida real surge en la teor´ıa de la relatividad. Donde la masa de una part´ıcula en funci´ on de su velocidad queda expresada como m0 m = f (v ) = p 1 − v 2 /c 2

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QUIZ ¿Es el siguiente conjunto de puntos una funci´ on? {(0, 1), (1, −2), (−1, 4), (2, 6), (−2, 0)} si es as´ı, halle el dominio, rango y haga su gr´afica. Si no lo es, represente este conjunto en el plano cartesiano. Encuentre el dominio, rango y trace la gr´afica de la funci´on ( x +2 si x < 0 f (x) = 1−x si x ≥ 0

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QUIZ ¿Es el siguiente conjunto de puntos una funci´ on? {(0, 1), (1, −2), (−1, 4), (2, 6), (−2, 0)} si es as´ı, halle el dominio, rango y haga su gr´afica. Si no lo es, represente este conjunto en el plano cartesiano. Encuentre el dominio, rango y trace la gr´afica de la funci´on ( x +2 si x < 0 f (x) = 1−x si x ≥ 0

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