Matemáticas – 3º E.S.O.

2013/14

TEMA 6: Cuerpos geométricos Repaso examen 1.- Estoy construyendo una piscina de 25 metros de largo, 15 metros de ancho y 2 metros de alto. Quiero cubrir las paredes y el fondo con azulejos de forma cuadrada de 3 cm de lado. ¿Cuántos azulejos necesitaré? (Sol: 594445 azulejos)

2m 15m 25m

− Primero hay que calcular la superficie que queremos cubrir: Como se trata de un prisma, A = Perímetro base ⋅ altura + Área base (solamente se cuenta una vez el área de la base porque solamente se recubre el suelo de la piscina, ya que por arriba está abierta).

BASE: Perímetro = 25 ⋅ 2 + 15 ⋅ 2 = 50 + 30 = 80 m

15m

Abase = base ⋅ altura → Abase = 25 ⋅ 15 = 375 m 2 25m Así:

A = Perímetro base ⋅ altura + Área base → A = 80 ⋅ 2 + 375 → A = 160 + 375 → A = 535 m 2 − Ahora calculamos la superficie que tienen los azulejos:

3cm

3cm

A = lado 2 → A = 3 ⋅ 3 → A = 9 cm 2 − Por último se calcula el número de azulejos que se necesitan para cubrir la piscina:

Para ello basta dividir la superficie que se quiere cubrir entre la superficie de los azulejos con los lo vamos a hacer. Antes, como la superficie de la piscina está en metros cuadrados y la de los azulejos en centímetros cuadrados, tenemos que hacer un cambio de unidades para que haya concordancia.

1

A piscina = 535 m 2 → A piscina = 5350000 cm 2 Aazulejo = 9 cm 2 5350000 = 594.444,44 azulejos , pero como los azulejos se compran 9 enteros, podríamos decir que necesitaríamos 594.445 azulejos

Número de azulejos:

2.- Una madre compra a su hija una caja de sus bombones favoritos. La caja tiene forma de prisma triangular de 20 cm de larga y 4 cm de lado de la base. ¿Cuál es la cantidad de papel mínima que se necesita para envolverla? (Sol: 253,84 cm2)

20cm 4cm Lo que hay que calcular es la superficie de la caja de bombones.

A prisma = Perímetro base ⋅ altura + 2 ⋅ Área base BASE: Perímetro = 4 ⋅ 3 = 12 cm 4cm

4cm 4cm

Abase =

base ⋅ altura 4 ⋅ 3,46 13,84 → Abase = → Abase = → 2 2 2 → Abase = 6,92 cm 2

Como no tenemos la altura del triángulo, hay que calcularla. Para ello se aplica el teorema de Pitágoras:

x 2 = 4 2 − 2 2 → x 2 = 16 − 4 → x 2 = 12 → x = 12 → x

4cm

→ x = 3,46 cm

2cm Así: A = Perímetro base ⋅ altura + 2 ⋅ Área base → A = 12 ⋅ 20 + 2 ⋅ 6,92 → A = 240 + 13,84 →

→ A = 253,84 cm 2

2

3.- Se va a restaurar el lateral y la parte superior de una torre con forma de prisma octogonal de 20 m de alta. La base es un octógono regular de 6 m de lado y 2 metros de apotema. Si la empresa de restauración cobra 75 euros por cada metro cuadrado, ¿cuál será el precio de la restauración? (3600€)

20m

2m 6m − Primero calculamos los metros cuadrados que hay que restaurar:

A prisma = Perímetro base ⋅ altura + Área base (solamente ponemos el área de una base porque se va a restaurar, además del lateral la torre, la parte superior de la misma). BASE: Perímetro = 6 ⋅ 8 = 48 m 6m

Abase =

perímetro ⋅ apotema 48 ⋅ 2 → Abase = → 2 2

2m

→ Abase = 48 m 2 − Como sabemos lo que cuesta restaurar un metro cuadrado (75€), para calcular el precio de la restauración basta multiplicar el precio del metro cuadrado por el área que hay que restaurar: Precio restauración = 75 ⋅ 48 = 3600 euros

4.- Una pizzería hace pizzas de varios tamaños y las vende en cajas hexagonales de 30 cm de lado y 4 cm de alto. ¿Qué cantidad de cartón se necesita para cada caja? (Sol: 5396,40 cm2)

4cm

30cm Habría que calcular el área de la caja: A prisma = Perímetro base ⋅ altura + 2 ⋅ Área base

3

BASE: Perímetro = 30 ⋅ 6 = 180 cm

Abase = x

perímetro ⋅ apotema 180 ⋅ 25,98 → Abase = → 2 2

30cm

→ Abase =

30cm

4676,40 → Abase = 2338,20 cm 2 2

15cm

Como no tenemos la apotema de la base, hay que calcularla, y para ello aplicamos el teorema de Pitágoras. Recordar también que en el hexágono el radio mide lo mismo que el lado: x 2 = 30 3 − 15 2 → x 2 = 900 − 225 → x 2 = 675 → x = 675 → x = 25,98 cm Así el área de la caja es: A prisma = Perímetro base ⋅ altura + 2 ⋅ Área base →

→ A = 180 ⋅ 4 + 2 ⋅ 2338,20 cm 2 → A = 720 + 4676,40 → A = 5396,40 cm 2 5.- Sabiendo que la arista lateral de una pirámide mide 13 cm y cuya base es un hexágono regular de 10 cm de lado, calcula: a) La altura de la cara de la pirámide. (Sol: 12 cm)

El triángulo rojo es un triángulo rectángulo en el que los catetos y la hipotenusa son:

13cm x

Altura cara lateral x

Arista lateral 13cm

Mitad lado base 5cm 10cm Aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos lo que estamos buscando: x 2 = 13 2 − 5 2 → x 2 = 169 − 25 → x 2 = 144 → x = 144 → x = 12 cm

b) La altura de la pirámide. (Sol: 8,31 cm) Para calcular la altura de la pirámide tenemos otro triángulo rectángulo dentro de ella en el que uno de los catetos es lo que queremos calcular:

4

Altura pirámide x x

Arista lateral 13cm

13cm Radio base 10cm (recordar que en un hexágono el radio mide lo mismo que un lado)

10cm 10cm Aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos lo que estamos buscando: x 2 = 13 2 − 10 2 → x 2 = 169 − 100 → x 2 = 69 → x = 69 → x = 8,31 cm

6.- Considera una pirámide de base cuadrada cuya arista de la base mide 40 cm y cuya arista lateral mide 56 cm. Calcula: a) La apotema de la pirámide. (Sol: 52,31 cm)

56cm

Recordar que la apotema de la pirámide es lo que hemos llamado en clase altura de la cara. Podemos calcularla aplicando el teorema de Pitágoras en el siguiente triángulo:

Altura cara lateral x 40cm

Arista lateral 56cm

Mitad lado base 20cm

x 2 = 56 2 − 20 2 → x 2 = 3136 − 400 → x 2 = 2736 → x = 2736 → x = 52,31 cm b) La altura de la pirámide. (Sol: 48,34 cm)

De la misma manera, aplicándole el teorema de Pitágoras al siguiente teorema obtenemos lo que buscamos:

Altura pirámide x

Altura cara lateral 52,31cm

Apotema base: 20cm

5

x 2 = 52,312 − 20 2 → x 2 = 2736,34 − 400 → x 2 = 2336,34 → x = 2336,34 → → x = 48,34 cm 7.- Hallar el área lateral de una pirámide pentagonal que tiene de lado de la base 6 cm y tal que la arista lateral de la pirámide es de 9 cm. (Sol: 127,20 cm2) Alateral = 9cm

Perímetro base ⋅ altura cara 2

Para calcular el área lateral nos hace falta el perímetro de la base que se puede calcular fácilmente y la altura de la cara que tampoco nos la dan.

6cm − Cálculo del perímetro de la base: Pbase = 6 ⋅ 5 = 30 cm − Cálculo de la altura de la cara: para calcular la altura de la cara, al igual que hemos hecho en los ejercicios anteriores, vamos a aplicarle el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo que he dibujado en rojo dentro de la pirámide cuyos lados son los siguientes elementos de la pirámide:

Altura cara lateral x

Arista lateral 9cm

Mitad lado base 3cm x 2 = 9 2 − 3 2 → x 2 = 81 − 9 → x 2 = 72 → x = 72 → x = 8,48 cm

Ya tenemos toda la información que nos hace falta para calcular el área lateral: Alateral =

Perímetro base ⋅ altura cara 30 ⋅ 8,48 254,40 → Alateral = → Alateral = → 2 2 2

→ Alateral = 127,20 cm 2

6

8.- Se quiere levantar un monumento en forma de pirámide. Su base será cuadrada, y la altura prevista, de 30 metros. Si se necesitan 811,2 m3 de piedra, ¿cuál es la medida de la arista de la base? (Sol: 9,01 m) Acordaros que cuando el problema os dé como dato el área o el volumen de la figura, debéis escribir la fórmula, ya que con ella podréis calcular alguno de los elementos que os hagan falta para resolver el ejercicio. En este caso nos dan el volumen: V=

Abase ⋅ altura pirámide 3

Sustituyendo los datos nos queda la siguiente ecuación: V=

Abase ⋅ altura pirámide A ⋅ 30 811,2 → 811,2 = base → 811,2 = 10 ⋅ Abase → Abase = → 3 3 10

→ Abase = 81,12 m 2 Pero la base es un cuadrado, y sabemos que el área del cuadrado es A = l 2 . Sustituyendo el área que acabamos calcular el esta fórmula nos vuelve a quedar una ecuación con la que podemos calcular el lado de la base, o lo que es lo mismo, la arista de la base que es lo que nos piden: A = l 2 → 81,12 = l 2 → l = 81,12 → l = 9,01 m

9.- El diámetro de la base y la generatriz de un cono miden 13 cm. Halla la altura del cono. (Sol: 11,26 cm)

Altura

13cm

La altura del cono se puede calcular aplicándole el teorema de Pitágoras al siguiente triángulo rectángulo que hay dentro del cono (dibujado en rojo):

Altura cono x

Generatriz 13cm

13cm Radio base 6,5cm (recuerda que el radio de una circunferencia es la mitad del diámetro)

x 2 = 13 2 − 6,5 2 → x 2 = 169 − 42,25 → x 2 = 126,75 → x = 126,75 →

→ x = 11,26 cm

7

10.- Una copa tiene forma de cono de 10,2 cm de generatriz y 9,5 cm de diámetro de la circunferencia superior. a) Cada vez que se limpia, ¿qué superficie de cristal hay que limpiar? (Sol: 152,13 cm2)

Hay que calcular el área lateral del cono. No hace falta calcular el área total porque la copa está abierta, por lo tanto no tiene base: Alateral = π ⋅ radio ⋅ generatriz → Alateral = 3,14 ⋅ 4,75 ⋅ 10,2 → → Alateral = 152,13 cm 2 b) ¿Qué cantidad de líquido cabe en la copa? (Sol: 213,25 cm3) V=

π ⋅ radio 2 ⋅ altura

Pero la altura no nos la da el problema, así que habrá que calcularla, y 3 para ello se aplica el teorema de Pitágoras en el mismo triángulo rectángulo que antes: - Cálculo de la altura: Altura cono x

Generatriz 10,2cm

x 2 = 10,2 2 − 4,75 2 → x 2 = 104,04 − 22,56 → → x 2 = 81,48 → x = 81,48 → x = 9,03 cm

Radio base 4,75cm (recuerda que el radio de una circunferencia es la mitad del diámetro)

Ahora ya tenemos toda la información que necesitamos para calcular el volumen: V=

π ⋅ radio 2 ⋅ altura 3

3,14 ⋅ 4,75 2 ⋅ 9,03 639,74 →V= →V = → V = 213,25 cm 3 3 3

11.- Una esfera tiene un área de 435 cm2. Calcular el radio y el volumen de la esfera. (Sol: 5,88 cm y 851,14 cm3) − Cálculo del radio:

A = 4 ⋅ π ⋅ radio 2 → 435 = 4 ⋅ 3,14 ⋅ r 2 → 435 = 12,56 ⋅ r 2 → r 2 =

435 → r 2 = 34,63 → 12,56

→ r = 34,63 → r = 5,88 cm − Cálculo del volumen: V =

4 ⋅ π ⋅ radio 3 4 ⋅ 3,14 ⋅ 5,88 3 2553,42 →V = →V = → V = 851,14 cm 3 3 3 3

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12.- Una esfera tiene un volumen de 10 dm3. Calcula el área de la esfera. (Sol: 1,34 cm3) Para calcular el área necesitamos el radio. Para calcularlo utilizamos la fórmula del volumen de una esfera: 4 ⋅ π ⋅ radio 3 4 ⋅ 3,14 ⋅ r 3 30 12,56 ⋅ r 3 30 V= = → 10 = → → 30 = 12,56 ⋅ r 3 → r 3 = → 3 3 3 3 12,56 → r 3 = 2,39 → r = 3 2,39 → r = 1,34 cm 3 13.- El volumen de un cilindro es 24033,18 dm3 y su altura mide 34 dm. ¿Cuál es su radio? (Sol: 15 dm) V = π ⋅ radio 2 ⋅ altura → 24033,18 = 3,14 ⋅ r 2 ⋅ 34 → 24033,18 = 106,76 ⋅ r 2 → r 2 =

24033,18 106,76

r 2 = 225,11 → r = 225,11 → r = 15 dm

14.- Una lata de conservas tiene 16,6 cm de altura y 8,4 cm de radio de la base. a) ¿Qué cantidad de metal se necesita para su construcción? (Sol: 1318,8 cm2) A = 2 ⋅ π ⋅ radio ⋅ altura + 2 ⋅ π ⋅ radio 2 → A = 2 ⋅ 3,14 ⋅ 8,4 ⋅ 16,6 + 2 ⋅ 3,14 ⋅ 8,4 2 →

→ A = 875,68 + 443,12 → A = 1318,8 cm 2 b) ¿Cuál es el volumen de la lata? (Sol: 3677,87 cm3) V = π ⋅ radio 2 ⋅ altura → V = 3,14 ⋅ 8,4 2 ⋅ 16,6 → V = 3677,87 cm 3

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