MÓDULO 1: FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN

Índice Conceptos básicos de la inversión

2

Concepto de Capital Financiero

3

Comparación de capitales financieros

3

Ley financiera

8

Capitalización simple

14

Capitalización compuesta

22

Introducción

23

Descuento comercial simple

24

Descuento racional simple

26

Descuento racional compuesto

Tipos de interés y rentabilidad

32

Tipos de interés

34

Rentabilidad

Rentas Financieras

46

Definiciones

47

Clasificaciones

48

Rentas Financieras Constantes

50

Rentas Financieras Variables

Capitalización

Descuento

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MÓDULO 1: FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN

Capítulo 1. Conceptos básicos de la inversión

1.1 Fenómeno financiero. Concepto de Capital Financiero

1.2 Comparación de capitales financieros

1.3 Ley financiera 1.3.1 Operación financiera

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1.1 Fenómeno financiero. Concepto de Capital Financiero Capítulo 1: Conceptos básicos de la inversión

Cuando se dispone de una cantidad de dinero (capital) se puede destinar, o bien a gastarlo (satisfaciendo alguna necesidad), o bien a invertirlo para recuperarlo en un futuro más o menos próximo, según se acuerde. De la misma manera que estamos dispuestos a gastarlo para satisfacer una necesidad, estaremos dispuestos a invertir siempre y cuando la compensación económica nos resulte suficiente. En este sentido el principio básico de la preferencia de liquidez establece que a igualdad de cantidad los bienes más cercanos en el tiempo son preferidos a los disponibles en momentos más lejanos. La razón es el sacrificio del consumo. Este aprecio de la liquidez es subjetivo pero el mercado de dinero le asigna un valor objetivo fijando un precio por la financiación que se llama interés. El interés se puede definir como la compensación por la renuncia temporal del dinero o coste de oportunidad de no disponer del dinero durante un tiempo. Esta compensación económica se exige, entre otras, por tres razones básicas: • Por el riesgo que se asume. • Por la falta de disponibilidad que supone desprenderse del capital durante un tiempo. • Por la depreciación del valor del dinero en el tiempo.

La cuantificación de esa compensación económica, de los intereses, depende de tres variables, a saber: • La cuantía del capital invertido. • El tiempo que dura la operación. • El tanto de interés al que se acuerda la operación.

Cuando se habla de capital financiero (C; t) nos referimos a una cuantía (C) de unidades monetarias asociada a un momento determinado de tiempo (t).

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1.2 Comparación de capitales financieros Capítulo 1: Conceptos básicos de la inversión

En una operación financiera no tiene sentido hablar de capitales iguales (aquellos en los que coinciden cuantías y vencimientos), sino que siempre estaremos refiriéndonos a capitales equivalentes. Hay equivalencia entre dos capitales cuando a su propietario le resulta indiferente una situación u otra. Es decir, si resulta indiferente cobrar hoy 1.000 euros a cobrar 1.050 euros dentro de un año, entonces diremos que ambos capitales (1.000; 0) y (1.050; 1) son equivalentes. De una manera más general, dos capitales cualesquiera, C1 con vencimiento en t1 y C2 con vencimiento en t2, son equivalentes cuando se está de acuerdo en intercambiar uno por otro. El concepto de equivalencia no significa que no haya ganancia o coste en la operación. Todo lo contrario, la equivalencia permite cuantificar ese beneficio o pérdida que estamos dispuestos a asumir en una operación concreta.

1.3 Ley financiera Capítulo 1: Conceptos básicos de la inversión

Para que una operación financiera se realice es necesario que a los intervinientes las cuantías que dan y reciben les resulten equivalentes. Es necesario que deudor y acreedor se pongan de acuerdo en cuantificar los capitales de los que se parte y a los que finalmente se llega. Esto implica elegir un método matemático que permita dicha sustitución: una ley financiera. La ley financiera se define como un modelo matemático (una fórmula) para cuantificar los intereses por el aplazamiento y/o anticipación de un capital en el tiempo. Conociendo las diferentes leyes financieras que existen y cómo funcionan se podrán sustituir unos capitales por otros, pudiéndose formalizar las diferentes operaciones financieras.

1.3.1 OPERACIÓN FINANCIERA ƒ CONCEPTO: Se entiende por operación financiera la sustitución de uno o más capitales por otro u otros equivalentes en distintos momentos de tiempo, mediante la aplicación de una ley financiera. En definitiva, cualquier operación financiera se reduce a un conjunto de flujos de caja (cobros y pagos) de signo opuesto y distintas cuantías que se suceden en el tiempo. Así, por ejemplo, la concesión de un préstamo por parte de una entidad bancaria a un cliente supone para este último un cobro inicial (el importe del préstamo) y unos pagos periódicos (las cuotas) durante el tiempo que dure la operación. Por parte del banco, la operación implica un pago inicial único y unos cobros periódicos.

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La realización de una operación financiera implica, por tanto, que se cumplan tres puntos: 1. Sustitución de capitales. Ha de existir un intercambio de un(os) capital(es) por otro(s). 2. Equivalencia. Los capitales han de ser equivalentes, es decir, debe resultar de la aplicación de una ley financiera. 3. Aplicación de una ley financiera. Debe existir acuerdo sobre la forma de determinar el importe de todos y cada uno de los capitales que compongan la operación, resultado de la consideración de los intereses generados. ƒ ELEMENTOS - Personales En una operación financiera básica interviene un sujeto (acreedor) que pone a disposición de otra (deudor) uno o más capitales y que posteriormente recuperará, incrementados en el importe de los intereses. La acción de entregar por parte del acreedor y de recibir por parte del deudor se considerará la prestación de la operación financiera. La operación concluirá cuando el deudor termine de entregar al acreedor el capital (más los intereses); a esta actuación por ambas partes se le denomina la contraprestación de la operación financiera. En toda operación financiera las cantidades entregadas y recibidas por cada una de las partes no coinciden. El aplazamiento (o adelantamiento) de un capital en el tiempo supone la producción de intereses que formarán parte de la operación y que habrá que considerar y cuantificar. Por tanto, prestación y contraprestación nunca son aritméticamente iguales. No obstante, habrá una ley financiera que haga que resulten financieramente equivalentes, es decir, que si valorásemos prestación y contraprestación en el mismo momento, con la misma ley y con el mismo tanto, entonces sí se produciría la igualdad numérica entre ambas. Tanto la prestación como la contraprestación pueden estar formadas por más de un capital que incluso se pueden solapar en el tiempo.

- Temporales Al momento de tiempo donde comienza la prestación de la operación financiera se le denomina origen de la operación financiera. Donde concluye la contraprestación de la operación financiera se le llama final de la operación financiera. Al intervalo de tiempo que transcurre entre ambas fechas se le denomina duración de la operación financiera, durante el cual se generan los intereses.

- Objetivos La realización de la operación financiera exige un acuerdo sobre aspectos tales como: la cuantía del capital de partida, la ley financiera que se va a emplear y, finalmente, el tanto de interés (coste/ganancia) unitario acordado.

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ƒ CLASIFICACIÓN Según la duración: • A corto plazo: la duración de la operación no supera el año. • A largo plazo: aquéllas con una duración superior al año.

Según la ley financiera que opera: • Según la generación de intereses: 1) En régimen de simple: los intereses generados en el pasado no se acumulan y, por tanto, no generan, a su vez, intereses en el futuro. 2) En régimen de compuesta: los intereses generados en el pasado sí se acumulan al capital de partida y generan, a su vez, intereses en el futuro.

• Según el sentido en el que se aplica la ley financiera: 1) De capitalización: sustituye un capital presente por otro capital futuro. 2) De actualización o descuento: sustituye un capital futuro por otro capital presente.

Según el número de capitales de que consta: • Simples: constan de un solo capital en la prestación y en la contraprestación. • Complejas (o compuestas): cuando constan de más de un capital en la prestación y/o en la contraprestación.

Según el interés: • A interés explícito: cuando en la operación financiera se producen los intereses al aplicar el tipo de interés. Por ejemplo, un bono a 5 años con pago anual de intereses. • A interés implícito: cuando los rendimientos se calculan sobre el valor nominal y se descuentan de dicho valor nominal. Por ejemplo, una Letra del Tesoro a 12 meses.

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Capítulo 2. Capitalización 2.1 Capitalización simple 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.1.4 2.1.5

Definición y fórmula general Magnitudes derivadas Tantos equivalentes en capitalización simple Números comerciales: concepto y cálculo Interés simple anticipado

2.2 Capitalización compuesta 2.2.1 Definición y fórmula general 2.2.2 Magnitudes derivadas 2.2.3 Tantos equivalentes en capitalización compuesta

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2.1 Capitalización simple Capítulo 2: Capitalización

2.1.1 DEFINICIÓN Y FÓRMULA GENERAL Las operaciones en régimen de capitalización simple se caracterizan porque los intereses, a medida que se van generando, no se acumulan y no generan intereses en períodos siguientes (no son productivos). De esta forma los intereses que se producen en cada período se calculan siempre sobre el mismo capital – el inicial –, al tipo de interés vigente en cada período. Este régimen financiero es propio de operaciones a corto plazo (menos de un año), salvo que las condiciones de la operación indiquen lo contrario. ƒ CONCEPTO: Operación financiera cuyo objeto es la sustitución de un capital presente por otro equivalente con vencimiento posterior, mediante la aplicación de la ley financiera en régimen de simple. ƒ DESCRIPCIÓN DE LA OPERACIÓN: Partiendo de un capital (C0) del que se dispone inicialmente – capital inicial –, se trata de determinar la cuantía final (Cn) que se recuperará en el futuro sabiendo las condiciones en las que la operación se contrata (tiempo “n” y tipo de interés “i”). ƒ CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN: Los intereses no son productivos, lo que significa que: • A medida que se generan no se acumulan al capital inicial para producir nuevos intereses en el futuro y, por tanto • Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital inicial (C0), al tanto de interés vigente en dicho período. Así pues, la fórmula general del valor de los intereses en capitalización simple, en el caso de que el tipo de interés sea constante, es:

I = C0 · i · n donde: i = Tipo de interés nominal expresado en tanto por uno y referido a un año. n = Duración de la operación, expresada en años.

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ƒ DESARROLLO DE LA OPERACIÓN: El capital al final de cada período es el resultado de añadir al capital existente al inicio del mismo los intereses generados durante dicho período. De esta forma, la evolución del montante conseguido es el siguiente:

Cn = Co + I

sustituyendo los intereses por la expresión I = C 0 · i · n

Cn = Co + (Co · i · n)

Cn = C 0 · ( 1 + i · n )

Por tanto:

Siendo el factor de capitalización = (1 + i · n) Expresión aplicable cuando el tipo de interés de la operación se mantiene constante todos los períodos. A partir de la expresión anterior (denominada fórmula fundamental de la capitalización simple) no solamente se pueden calcular montantes sino que, conocidos tres datos cualesquiera, se podría despejar el cuarto restante. Finalmente, hay que tener en cuenta que «n» lo que indica es el número de veces que se han generado (y acumulado) intereses al capital inicial, por tanto, esa variable siempre ha de estar en la misma unidad de tiempo que el tipo de interés (no importando cuál sea). ƒ CASO TIPO DE INTERÉS VARIABLE: Si el tipo de interés es variable la expresión para obtener el capital final o montante sería:

n

C n = C 0 · ( 1 + i1 + i2 + i3 + ... + in ) = C 0 ·( 1 +

∑i) j

j =1

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►EJEMPLO RESUELTO

Cálculo del montante en C.S. i = cte

Calcular el montante obtenido al invertir 2.000 euros al 8% anual durante 4 años en régimen de capitalización simple.

Co = 2.000 €

C4= ?

i = 8% = 0,08 0

4 años

Para calcular el montante utilizamos la expresión:

Cn = C0 · ( 1 + i · n )

C4= 2.000 · (1 + 0,08 x 4 ) = 2.640 €

►EJEMPLO RESUELTO

Cálculo del montante en C.S. i = vble

Se quiere conocer qué capital podremos retirar dentro de 3 años si hoy colocamos 1.000 euros al 5% de interés anual simple para el primer año y cada año nos suben el tipo de interés simple un punto porcentual. En este caso al ser el tipo de interés variable, para calcular el capital final, aplicaremos la expresión: n

Cn = C 0 · ( 1 + i1 + i2 + i3 + ... + in ) = C 0 ·( 1 +

∑i) j

j =1

C3 = C0 · ( 1+ i1 + i2 + i3 ) = 1000 · ( 1+ 0,05 + 0,06 + 0,07 ) = 1180 €

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2.1.2 MAGNITUDES DERIVADAS ƒ CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL: Partiendo de la fórmula del capital final o montante y conocidos éste, la duración de la operación y el tanto de interés (cte), bastará con despejar de la misma:

Cn = Co · ( 1 + n · i ) despejando C0 resulta:

C0 =

Cn 1+ n · i

►EJEMPLO RESUELTO

Cálculo del capital inicial en C.S. i = cte

¿Cuánto deberé invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 años de 1.500 euros para comprarme un coche, si me aseguran un 6% de interés anual simple para ese plazo?

Co = ?

Cn= 1500 € i = 6% = 0,06

0

2 años

Cn = C0 ⋅ (1 + n · i) ⇒ 1.500 = C0 ⋅ (1 + 2 · 0,06)

C0 =

1.500 = 1.339,29 € (1 + 2 · 0,06 )

ƒ CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES: Bastará con calcular los intereses de cada período, que siempre los genera el capital inicial y sumarlos. Intereses totales = I1 + I2 + … + In = C0 i1 + C0 i2 + … + C0 in Luego: n

Intereses totales = C 0 · ( i1 + i 2 + ... + in ) = C 0 ·

∑i

j

j=1

Si i1 = i2 = … = in = i = cte

Intereses totales = I1 + I2 + … + In = C 0 i + C 0 i + … + C 0 i = C 0 ·n·i Por último, si conocemos los capitales inicial y final: I = Cn - C 0

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►EJEMPLO RESUELTO

Cálculo de los intereses en C.S. i = cte

¿Qué intereses producirán 300 euros invertidos 4 años al 7% simple anual? Por suma de los intereses de cada período: Intereses totales = I1 + I2 + I3 + I4 = C0 i + C0 i + C0 i + C0 i = C0 x i x 4 = = 300 x 0,07 x 4 = 84 € También se puede obtener por diferencias entre el capital final y el inicial: In = 384 – 300 = 84 €

C4 = 300 x (1 + 0,07 x 4) = 384 ►EJEMPLO RESUELTO

Cálculo de los intereses en C.S. i = cte

¿Qué interés producirán 6.000 euros invertidos 8 meses al 1% simple mensual? In = C0 · i · n = 6.000 x 0,01 x 8 = 480 € ƒ CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS: Si se conocen el resto de elementos de la operación: capital inicial, capital final y duración, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitalización simple y despejar la variable desconocida.

Cn = 1+ n · i C0

Cn = C0 · (1 + n · i)

►EJEMPLO RESUELTO

Cn -1= n·i C0

Cn -1 C0 i= n

Cálculo del tipo de interés en C.S. i = cte

Determinar el tanto de interés anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en 5 años se obtenga un montante de 1.500 euros. DATOS: Co = 1000 €

Cn = 1500 €

Calculamos i: Cn = C0 ⋅ (1 + n ⋅ i)

n = 5 años

1.500 = 1.000 ⋅ (1 + 5 ⋅ i)

1.500 = 1+ 5 ⋅ i 1.000

1.500 −1= 5 ⋅i 1.000

i = 0,10 = 10%

ƒ CÁLCULO DE LA DURACIÓN: Por último, conociendo C0, Cn y el tipo de interés i, podemos calcular la duración mediante la expresión:

Cn -1 C0 Cn - C 0 I = = n= i C0 · i C0 · i

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2.1.3 TANTOS EQUIVALENTES EN CAPITALIZACIÓN SIMPLE Dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, son tantos equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial y durante un mismo período de tiempo producen el mismo interés o generan el mismo capital final o montante.

RELACIÓN DE EQUIVALENCIA entre el tipo de interés anual ( i ) y el tipo de interés efectivo fraccionado ( ik ): El montante obtenido utilizando i : y utilizando ik :

Cn = C0 · (1 + n · i) Cn = C0 · (1 + n·k · ik)

donde k es la frecuencia de capitalización, que indica el número de partes iguales en las que se divide el período de referencia que se tome (habitualmente el año). Igualamos

C0 · (1 + n · i) = C0 · (1 + n·k · ik)

Y simplificando obtenemos la relación de equivalencia:

i = k · ik

Por tanto, los tantos de interés equivalentes en simple son proporcionales.

2.1.4 NÚMEROS COMERCIALES: CONCEPTO Y CÁLCULO En el caso de una cuenta corriente bancaria es frecuente que, debido a los movimientos de dinero, el capital (saldo) sea variable. Cuando se da esta circunstancia, para calcular los intereses usamos los números comerciales, siendo estos el producto del capital (saldo) por la duración de su periodo:

Ni = Ci · ni De esta forma los intereses de una cuenta corriente, con saldos Ci, podemos calcularlos de la siguiente manera:

I = C1 · i ·n1 + C 2 · i ·n 2 + .... + C n · i ·n n = i·(C1 · n1 + C 2 · n 2 + .... + C n · n n ) Luego: I = i·(N1 + N2 + ... + Nn )

2.1.5 INTERÉS SIMPLE ANTICIPADO El tipo interés simple es anticipado (prepagable), y lo denotaremos i*, cuando los intereses son prepagables, es decir, al principio del periodo. La relación entre el tipo de interés simple anticipado ( i* ) y el tipo de interés al vencimiento ( i ) para operaciones a un año es la siguiente:

(1 − i * ) × (1 + i) = 1 , de donde i * =

i 1+ i

, o bien, i =

i* 1- i*

Para un plazo distinto al año se obtiene:

i* =

i 1+ i · n

, o bien, i =

i* 1- i* · n

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2.2 Capitalización compuesta Capítulo 2: Capitalización

2.2.1 DEFINICIÓN Y FÓRMULA GENERAL Las operaciones en régimen de compuesta se caracterizan porque los intereses, a diferencia de lo que ocurre en régimen de simple, a medida que se van generando pasan a formar parte del capital de partida, se van acumulando, y producen a su vez intereses en períodos siguientes (son productivos). En definitiva, lo que tiene lugar es una capitalización periódica de los intereses. De esta forma los intereses generados en cada período se calculan sobre capitales distintos (cada vez mayores ya que incorporan los intereses de períodos anteriores). ƒ CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN: Los intereses son productivos, lo que significa que: • A medida que se generan se acumulan al capital inicial para producir nuevos intereses en los períodos siguientes. • Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital existente al inicio de dicho período.

ƒ DESARROLLO DE LA OPERACIÓN: El capital al final de cada período es el resultado de añadir al capital existente al inicio del mismo los intereses generados durante dicho período. De esta forma, la evolución del montante conseguido en cada momento es el siguiente: Momento 0: C0 Momento 1: C1 = C0 + I1 = C0 + C0 i = C0 · (1 + i) Momento 2: C2 = C1 + I2 = C1 + C1 i = C1 · (1 + i) = C0 · (1 + i) · (1 + i) = C0 · (1 + i)2 Momento 3: C3 = C2 + I3 = C2 + C2 i = C2 · (1 + i) = C0 · (1 + i)2 · (1 + i) = C0 · (1 + i)3 Generalizando:

Cn = C 0 ·(1 + i)n

siendo (1+ i )n el factor de capitalización

Al igual que en capitalización simple, la duración (n) siempre ha de estar en la misma unidad de tiempo que el tipo de interés (i). Esta expresión:

-

Permite calcular el capital final o montante (Cn) en régimen de compuesta, conocidos el capital inicial (C0), el tipo de interés (i) y la duración (n) de la operación.

-

Es aplicable cuando el tipo de interés de la operación es constante. En caso contrario habrá que trabajar con el tipo vigente en cada período.

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ƒ CASO TIPO DE INTERÉS VARIABLE: Si el tipo de interés es variable la expresión para obtener el capital final o montante sería: n

Cn = C 0 · ( 1 + i1 )·(1 + i2 )·(1 + i3 )...(1 + in ) = C 0 ·

∏ (1 + i ) j

j =1

►EJEMPLO RESUELTO

Cálculo del montante en C.C. i = cte

Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al 5% anual durante 10 años en régimen de capitalización compuesta.

Co = 200 €

C10= ?

0

10 años

i = 5% = 0,05

C10 = 200 · (1 + 0,05 )10 = 325,78 € Si se hubiese calculado en simple: C10 = 200 · (1 + 0,05 · 10) = 300 € La diferencia entre los dos montantes (25,78 €) son los intereses producidos por los intereses generados y acumulados hasta el final.

►EJEMPLO RESUELTO

Cálculo del montante en C.C. i = vble

Se quiere conocer qué capital podremos retirar dentro de 3 años si hoy colocamos 1.000 euros al 5% de interés anual compuesto para el primer año y cada año nos suben el tipo de interés compuesto medio punto porcentual. En este caso al ser el tipo de interés variable, para calcular el capital final, aplicaremos la expresión: n

Cn = C 0 · ( 1 + i1 )·(1 + i2 )·(1 + i3 )...(1 + in ) = C 0 ·

∏ (1 + i ) j

j =1

C 3 = C 0 ·(1 + i1 )·(1 + i 2 )·(1 + i3 ) = 1000·(1 + 0,05 )·(1 + 0,055 )·(1 + 0,06 ) = 1.174,21 €

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2.2.2 MAGNITUDES DERIVADAS ƒ CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL: Partiendo de la fórmula de cálculo del capital final o montante y conocidos éste, la duración de la operación y el tanto de interés, bastará con despejar de la misma:

Cn = C0 · (1 + i)n

C0 =

de donde se despeja C0:

►EJEMPLO RESUELTO

Cn (1 + i)n Cálculo del capital inicial en C.C. i = cte

¿Cuánto deberé invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 años de 1.500 euros para comprarme un coche, si me aseguran un 6% de interés anual compuesto para ese plazo?

Co = ?

Cn= 1500 €

0

2 años

i = 6% = 0,06

Cn = C0 ⋅ (1 + i)n

1.500 = C0 ⋅ (1 + 0,06)2

C0 =

1.500 = 1.334,99 € (1 + 0,06)2

ƒ CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES: Conocidos los capitales inicial y final, se obtendrá por diferencia entre ambos:

I = Cn - C 0 En el caso de i = cte: I = C 0 ·(1 + i)n - C 0 = C 0 ·[ (1 + i)n - 1)

En el casi de i = vble I = C 0 ·

►EJEMPLO RESUELTO

n

n

j=1

j=1

]

∏ (1 + i j ) - C 0 = C 0 · [ ∏ (1 + i j ) - 1 ] Cálculo de los intereses en C.C. i = cte

¿Qué intereses producirán 300 euros invertidos 4 años al 7% compuesto anual? Calculamos primero el montante C4 = 300 (1 + 0,07)4 = 393,24 € Luego, los intereses generados serán In = 393,24 – 300 = 93,24 €

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ƒ CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS: Si se conoce el resto de elementos de la operación: capital inicial, capital final y duración, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitalización compuesta y despejar la variable desconocida. 1

1

Cn = C0 · (1 + i)n

⎛ C ⎞n i = ⎜⎜ n ⎟⎟ - 1 ⎝ C0 ⎠

⎛ Cn ⎞ n ⎜ ⎟ ⎜ C ⎟ = (1 + i) ⎝ 0⎠

Cn = (1 + i)n C0

►EJEMPLO RESUELTO

Cálculo del tipo de interés en C.C. i = cte

Determinar el tanto de interés anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en 12 años se obtenga un montante de 1.601,03 euros. DATOS: Co = 1000 €

Cn = 1601,03 €

n = 12 años

Calculamos i:

Cn = C0 ⋅ (1 + i)n

1.601,03 = (1 + i)12 1.000

1.601,03 = 1.000 ⋅ (1 + i)12 1

1

1,60103 12 = (1 + i)

i = 1,60103 12 − 1 = 0,04 = 4%

ƒ CÁLCULO DE LA DURACIÓN: Por último, conociendo C0, Cn y el tipo de interés i, podemos calcular la duración:

Cn = C0 · (1 + i)n

Cn = (1 + i)n C0 ln

ln

( ) = n·ln (1 + i) Cn C0

►EJEMPLO RESUELTO

( ) = ln (1 + i)

n=

Cn C0

ln

n

( ) Cn C0

ln (1 + i)

Cálculo de la duración en C.C. i = cte

Un capital de 2.000 euros colocado a interés compuesto al 4% anual asciende a 3.202 euros. Determinar el tiempo que estuvo impuesto. DATOS: Co = 2000 €

Cn = 3202 €

3.202 = 2.000 · (1 + 0,04)n

i = 4%

3.202 = (1 + 0,04 )n 2.000

ln (1,601) = n·ln (1,04 )

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ln

(32..202 ) = ln (1,04)n 000

n = 12 años

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2.2.3 TANTOS EQUIVALENTES EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA La definición de tantos equivalentes es la misma que la vista en régimen de simple, esto es, dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, son tantos equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial y durante un mismo período de tiempo producen el mismo interés o generan el mismo capital final o montante. En capitalización simple se comprobó que los tantos de interés equivalentes son proporcionales, es decir, cumplen la siguiente expresión:

i = k · ik Sin embargo, esta relación de proporcionalidad no va a ser válida en régimen de compuesta, ya que al irse acumulando los intereses generados al capital de partida, el cálculo de intereses se hace sobre una base cada vez más grande; por tanto, cuanto mayor sea la frecuencia de capitalización antes se acumularán los intereses y antes generarán nuevos intereses, por lo que existirán diferencias en función de la frecuencia de acumulación de los mismos al capital para un tanto de interés dado. Este carácter acumulativo de los intereses se ha de compensar con una aplicación de un tipo más pequeño que el proporcional en función de la frecuencia de cómputo de intereses. Todo esto se puede apreciar en el siguiente ejemplo, consistente en determinar el montante resultante de invertir 1.000 euros durante 1 año en las siguientes condiciones: a) Interés anual del 12% Cn = 1.000 x (1 + 0,12)1 = 1.120,00 b) Interés semestral del 6% Cn = 1.000 x (1 + 0,06)2 = 1.123,60 c) Interés trimestral del 3% Cn = 1.000 x (1 + 0,03)4 = 1.125,51 Los resultados no son los mismos, debido a que la capitalización de los intereses se está realizando con diferentes frecuencias manteniendo la proporcionalidad en los diferentes tipos aplicados. Para conseguir que, cualquiera que sea la frecuencia de capitalización, el montante final siga siendo el mismo es necesario cambiar la ley de equivalencia de los tantos.

RELACIÓN DE EQUIVALENCIA entre el tipo de interés anual ( i ) y el tipo de interés efectivo fraccionado ( ik ): El montante obtenido utilizando i : y utilizando ik :

Cn = C0 · (1 + i)n Cn = C0 · (1 + ik) n·k

donde k es la frecuencia de capitalización, que indica el número de partes iguales en las que se divide el período de referencia que se tome (habitualmente el año). Igualamos

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C0 · (1 + i)n = C0 · (1 + ik) n·k

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n

Simplificamos: (1 + i) = (1 + ik) Despejando:

i = (1 + ik )k 1

n·k

(1 + i) = (1 + ik) k

, o bien, ik

= (1 + i)1/ k 1

ƒ TANTO NOMINAL: El tanto nominal jk es un tipo de interés anual proporcional al tipo de interés efectivo fraccionado ik en capitalización compuesta. Cuando nos den el valor del tanto nominal jk, calcularemos el efectivo fraccionado de la siguiente forma:

ik =

jk k

►EJEMPLO RESUELTO

Tantos equivalentes en C.C. i = cte

Un capital de 2.000 euros se invierte durante 10 años al 4% anual nominal devengando los intereses mensualmente. Determinar: a) el tipo de interés efectivo mensual b) el tipo de interés efectivo anual. c) el montante al cabo de los 10 años. DATOS: Co = 2000 € a) i12 =

n = 10 años

j12 = 4%

j12 0,04 = = 0,00333 = 0,33% 12 12

b) i = (1 + i12 )12 1 = ( 1 +

0,04 12 ) 1 = 0,04074 = 4,074% 12

n nK c) C10 = C 0 ·(1 + i) = C 0 ·(1 + ik ) = 2000·( 1 +

0,04 120 ) = 2981,66 € 12

►EJEMPLO RESUELTO

Tantos equivalentes en C.C. i = cte

Una entidad ofrece un depósito a 2 años con pago de intereses al final de la operación. Si el efectivo anual que anuncia es un 5% ¿cuál será el nominal anual? Se pide calcular j1/ 2 ya que la frecuencia de capitalización K=1/2 (1 año es la mitad del periodo de capitalización). Calculamos en primer lugar i1/ 2 = (1 +

1 1 i) / 2

− 1 = (1 +

1 1 0,05) / 2

− 1 = 0,1025

Ahora calculamos el nominal j1/ 2 = 21 ⋅ i1/ 2 = 0,05125 = 5,125%

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MÓDULO 1: FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN

Capítulo 3. Descuento 3.1 Introducción 3.2 Descuento comercial simple 3.3 Descuento racional simple 3.3.1 Tipo de interés en las letras del tesoro 3.4 Descuento racional compuesto 3.4.1 Definición y fórmula general 3.4.2 Actualización periódica de los intereses

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3.1 Introducción Capítulo 3: Descuento

El descuento bancario es una operación de activo para las entidades financieras y uno de los servicios bancarios de financiación a corto plazo más utilizados por las empresas. La operación consiste en que la entidad financiera adelanta el importe de un título de crédito no vencido (letra de cambio, pagaré, factura, recibo…), descontando los intereses que corresponden por el tiempo que media entre la fecha del anticipo y la fecha de vencimiento del crédito, las comisiones y demás gastos. Las figuras que aparecen en la operación son: librador es la persona que emite el documento, tenedor o tomador es la persona legitimada para cobrarlo y librado es la persona obligada al pago. En términos financieros, la entidad anticipa al cliente, el valor actual descontado de un efecto comercial, y a vencimiento, el banco obtendrá el nominal. Se denomina genéricamente efecto comercial a todo tipo de documento que evidencie que existe un crédito a favor de la persona que lo posee, como consecuencia de la práctica habitual de la empresa, contra otra que ha contraído dicha obligación o deuda. Por tanto, las operaciones de descuento o de descapitalización son operaciones financieras en las que se cambia un capital futuro por un capital presente, es decir, se anticipa un capital (Cn,tn) hasta (Co,t0). Al capital que figura en el documento (letra, factura, pagaré…) o capital futuro se le denomina valor nominal (Cn). El capital en el momento presente, se le llama valor actual, valor efectivo o valor descontado (C0) . La diferencia entre el valor nominal y el valor descontado es el descuento. D = Cn – C0 El descuento depende, además de la cuantía del valor nominal, del tipo de interés nominal aplicado y del tiempo. Para el cálculo del descuento comercial en días se suele considerar el año comercial de 360 días. Sin embargo, para operaciones de pasivo las entidades financieras utilizan el año natural de 365 días. Vamos a estudiar tres sistemas financieros de descuento: 1. Descuento comercial simple. 2. Descuento racional simple. 3. Descuento racional compuesto o actualización compuesta.

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3.2 Descuento comercial simple Capítulo 3: Descuento

El descuento comercial simple es el más utilizado en la práctica bancaria y se lleva a cabo para periodos inferiores a un año. Fórmula general del valor descontado: C0 = Cn ·(1 - n · i) siendo (1-n·i) el factor de actualización. Fórmula general del descuento: D = C n

C 0 = Cn Cn ·(1 - n · i) = Cn · n · i

Donde: i = tipo de interés de descuento nominal = tanto de descuento nominal = d C0 = valor descontado n = periodo de descuento Cn = valor nominal ►EJEMPLO RESUELTO

Descuento comercial simple

Una entidad financiera descuenta una letra de cambio de 800 euros de nominal 80 días antes de su vencimiento. Sabiendo que el tipo de descuento nominal aplicado es del 9% anual, se pide: a) Valor del descuento realizado. b) Valor descontado o efectivo que abona la entidad. DATOS: Cn = 800 €

n = 80 días

a) D = Cn · n· i = 800 ·

d=i= 9%

80 · 0,09 = 16 € 360

b) C0 = Cn – D = 800 – 16 = 784 € ►EJEMPLO RESUELTO

Descuento comercial simple

Una entidad financiera descuenta una letra de cambio de 5000 euros de nominal 100 días antes de su vencimiento. Sabiendo que valor descontado o efectivo que abona la entidad es 4785 €, calcular el tipo de interés nominal utilizado. DATOS: Cn = 5000 €

n = 100 días

C0 = 4785 €

5000 4785

D = Cn · n · i

D i= = = 0,1548 = 15,48% 5000 · 100 / 360 Cn · n

►EJEMPLO RESUELTO

Descuento comercial simple

Una entidad financiera descuenta una letra de cambio de 1500 euros de nominal 90 días antes de su vencimiento. Sabiendo que el tanto de descuento es del 8% anual, que la comisión del 0,5% y que los impuestos ascienden a 30 euros, calcular el valor efectivo de la letra. 0,5 90 E = 1.500 ⋅ (1 − 360 ⋅ 0,08) − 1.500 ⋅ 100 − 30 = 1.432,5 €

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3.3 Descuento racional simple Capítulo 3: Descuento

Fórmula general del valor descontado: Partimos de la capitalización simple: Cn = Co · ( 1 + n · i ) y despejamos el valor de C0 , que sería el valor descontado: C 0 = siendo

Cn (1 + n · i)

1 el factor de actualización. (1 + n · i)

Fórmula general del descuento: D = C n

C 0 = Cn

Cn Cn · n ·i = (1 + n · i) (1 + n · i)

3.3.1 TIPO DE INTERÉS EN LAS LETRAS DEL TESORO Las Letras del Tesoro son títulos de Deuda Pública emitidos por el Estado para su financiación. Su plazo de vencimiento suele ser inferior a 18 meses, su valor nominal es de 1.000 euros y presentan la peculiaridad de que se emiten al descuento. Es decir, el suscriptor al comprar paga menos que el valor nominal del título, mientras que en el momento del vencimiento recibe dicho valor nominal. Este menor precio en el momento de la compra es la rentabilidad que ofrece el título. De esta manera, el capital invertido será el precio pagado por la letra adquirida y los intereses que se obtienen serán la diferencia entre ese precio de adquisición y el precio que se obtenga por la letra cuando se venda o cuando se amortice (1.000 euros). Para calcular la rentabilidad que obtiene el inversor hay que distinguir entre Letras con vencimiento a menos de 1 año y a más de 1 año: a) Si se emiten a plazos inferiores o iguales a los 12 meses: •

Se calculan aplicando las fórmulas del descuento racional simple.

•

Las emitidas a 12 meses (o 52 semanas) tienen una vida exacta de 364 días.

b) Si se emiten a 18 meses(*): •

Se aplican las fórmulas del descuento racional compuesto.

(*) Actualmente el Tesoro Público emite Letras a 3, 6, 9 y 12 meses, y no emite al plazo de 18 meses.

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►EJEMPLO RESUELTO

Descuento racional simple

Las Letras del Tesoro a 12 meses (364 días) se adjudicaron a un tipo de interés marginal del 2,975%. ¿Cuál es el precio marginal de la subasta o precio mínimo aceptado? DATOS: Valor nominal = Cn = 1.000 €

d = n° de días = 364

Utilizamos la ley de descuento racional simple: C 0 =

C0 = P =

1.000 364 · 0,02975 1+ 360

i = 2,975%

Cn (1 + n · i)

= 970,79 euros

►EJEMPLO RESUELTO

Descuento racional simple

El importe que se abonó por una Letra del Tesoro a 12 meses (364 días) fue de 980,75 euros. Calcula el tipo de interés de la subasta. DATOS: Valor nominal = Cn = 1.000 €

d = n° de días = 364

Utilizamos la ley de descuento racional simple: C 0 =

Sustituimos: 980,75 =

P = C0 = 980,75 €

Cn (1 + n · i)

1000 y despejamos i = 0,01941 = 1,941% 364 · i) (1 + 360

►EJEMPLO RESUELTO

Descuento racional simple

Un capital de 5000 euros se descuenta 30 días antes de su vencimiento a un 7% anual. Calcular el descuento racional simple y el descuento comercial simple. DATOS: Valor nominal = Cn = 5000 €

d = n° de días = 30

i = 7%

30 5000 · · 0,07 Cn · n · i 360 = = 29 € Descuento racional simple: D = 30 (1 + n · i) (1 + · 0,07) 360

Descuento comercial simple: D = C n · n · i = 5000 ·

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30 · 0,07 = 29,17 € 360

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3.4 Descuento racional compuesto Capítulo 3: Descuento

3.4.1 DEFINICIÓN Y FÓRMULA GENERAL En esta ley financiera el descuento se calcula sobre el valor del capital actualizado al inicio de cada periodo. Fórmula general del valor descontado: Partimos de la capitalización compuesta: Cn = C0 · (1 + i)

n

y despejamos el valor de C0 , que sería el valor descontado: C 0 = Siendo

1 (1 + i)n

Cn (1 + i)n

el factor de actualización

Fórmula general del descuento: D = C n

C 0 = Cn

►EJEMPLO RESUELTO

Cn (1 + i)

n

= Cn · ( 1

1 (1 + i)n

)

Descuento racional compuesto

Sea un capital de 5000 euros que vence dentro de 10 años. Calcular el valor descontado y el descuento utilizando la ley de actualización compuesta, siendo el tipo de interés el 5% nominal anual. DATOS: Valor nominal = Cn = 5000 €

Valor descontado: C 0 =

Cn (1 + i)

n

=

duración = 10 años

5000 (1 + 0,05)10

i = 5%

= 3069,57 €

Descuento = Cn – C0 = 5000 – 3068,57 = 1930,43 €

3.4.2 ACTUALIZACIÓN PERIÓDICA DE LOS INTERESES ►EJEMPLO RESUELTO

Descuento racional compuesto

Sea un capital de 5000 euros que vence dentro de 3 años y medio. Calcular el valor actual de dicho capital siendo el tipo de interés un 6% nominal actualizable semestralmente. DATOS: Valor nominal = Cn = 5000 €

C0 =

Cn (1 +

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j2 7 ) 2

=

j2 = 6%

duración = 7 semestres

5.000 = 4.065,45 € (1 + 0,03) 7

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►CUESTIONARIO

Capítulos 1- 3: CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO

1. ¿Cuánto vale una Letra del Tesoro, en tanto por ciento de nominal, si calculamos su valor al 3% de interés y faltan 45 días para su vencimiento? A) B) C) D)

97,20 % 99,63 % 98,30 % 100 %

2. Si se realiza un ingreso de 9.000 euros a plazo fijo durante 5 años al 4% nominal anual. Los intereses se abonan trimestralmente y se reinvierten ¿Cuál es el saldo final de la operación? A) B) C) D)

10.981,71 € 11.025,85 € 10.949,87 € 10.988,97 €

3. Si adquiriese Letras del Tesoro a 1 año (exactamente a 360 días en base a 360) por 946€, siendo su valor nominal 1.000€ ¿qué rentabilidad obtendría en cada una de las Letras a 1 año? A) B) C) D)

5,400% 5,708% 5,630% 5,880%

4. Nos ofrecen un depósito en el que se estima una rentabilidad nominal anual del 6% y que trimestralmente abonan los intereses al depósito. Si decidimos aportar 12.000 euros, ¿Cuál será el capital dentro de 4 años? A) B) C) D)

15.309,86 € 15.227,83 € 15.149,72 € 15.245,87 €

5. En una inversión financiera a un año y a efectos de conseguir la mejor rentabilidad al finalizar la operación, ¿Cuál de las siguientes operaciones escogería, suponiendo que las condiciones de la operación se mantengan durante todo el año? A) B) C) D)

Interés nominal del 4,15% pagadero anualmente. Interés nominal del 4,05% pagadero bimestralmente. Interés nominal del 4,10% pagadero trimestralmente. Interés nominal del 4,07% pagadero mensualmente.

6. En las operaciones de capitalización: A) B) C) D)

Se adelanta el cobro de un capital. Se retrasa la disponibilidad de un dinero. Se realiza un descuento sobre el valor nominal. Se generan intereses que se van acumulando siempre al capital inicial.

7. Si depositamos un capital de 5.000 € ¿Qué capital final obtendremos, si dicha imposición es a un plazo de 6 meses y es remunerada al 3% anual? A) B) C) D)

5.075 € 5.070 € 75 € Ninguna de las anteriores.

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8. Una empresa descuenta una letra de 6.000,00€ que vence dentro de 90 días. La entidad bancaria abona por la Letra 5.855 €. Calcula el tipo de interés nominal que aplica la entidad, suponiendo que no existen gastos. A) B) C) D)

9,67 % 10 % 8,32 % Ninguna de las anteriores.

9. Sabiendo que el tipo de interés nominal resultante en una subasta de Letras del Tesoro a 12 meses es 3,645%, calcular el valor efectivo de dicha Letra. A) B) C) D)

35,55 € 964,45 € 963,55 € 96,445 €

10. ¿Qué capital hay que colocar al 4% de interés nominal anual para obtener, al cabo de cuatro años, otro de 10.000 €? Se supone que el abono de intereses es trimestral y se va acumulando al capital inicial. A) B) C) D)

8.528,21 € 1.471,78 € 8.874,49 € 5.339,08 €

11. Un depósito a plazo de 3 años permite recuperar al inversor 10.500 € por cada 9.000 € de inversión. Calcula el tipo de interés nominal de dicho depósito, sabiendo que los intereses se generan cada semestre y se acumulan al capital. A) B) C) D)

8,01 % 5,20 % 10,54 % 5,50 %

12. En una operación de actualización a interés compuesto, el valor efectivo disminuye a medida que se hace menor: A) B) C) D)

La duración de la operación. El tipo de interés nominal. La frecuencia anual de actualización. Ninguna es cierta.

13. Calcular el tipo de interés nominal anual que se está aplicando en un bono cupón cero a 10 años, con cálculo semestral de intereses, si por un nominal de 1.000 € se deben pagar 610 €. A) B) C) D)

6% 4% 5% Ninguna de las anteriores.

14. El tipo de interés nominal de una imposición a plazo de 3 años es el 4% si los intereses se acumulan mensualmente al capital. Calcular el tipo de interés efectivo anual correspondiente. A) B) C) D)

4% 4,07 % 3,33% 6,01 %

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15. Un depósito a plazo ofrece un 5% de interés anual nominal con acumulación trimestral de intereses. Por un capital inicial de 8.000 €, a los dos años y tres meses obtendrá un capital final de: A) B) C) D)

8.952,58 € 8.928,24 € 8.900 € 8.946,34 €

16. Una operación de inversión de 25.000 € a cuatro años al 3,75% nominal con capitalización mensual obtendrá un capital final de: A) B) C) D)

29.039,06 € 28.750,00 € 21.522,74 € 29.045,86 €

17. En una operación en que se descuenta un efecto comercial de nominal 6.000 € y vencimiento a los 60 días a una tasa de descuento del 5% anual, el valor efectivo a percibir es, suponiendo que se aplica la fórmula del descuento simple comercial: A) B) C) D)

5.700 € 5.950 € 5.850 € Ninguna de las anteriores

18. En la misma operación de la pregunta anterior, ¿qué valor efectivo se percibirá si el descuento es por modalidad matemática o racional? A) B) C) D)

5.700,00 € 5.950,00 € 5.950,41 € Ninguna de las anteriores.

19. A que tipo de interés habría que invertir un capital hoy para que se duplique en 10 años: A) B) C) D)

6,25 % 5,53 % 7,18 % 8,11 %

20. En una operación financiera de 1 año, el tipo de interés a vencimiento es del 3%, ¿cuál es el tipo de interés simple anticipado? A) B) C) D)

3,09 % 3% 2,91 % Ninguna de las anteriores.

21. Un cliente abre una cuenta corriente bancaria ingresando 3000 €. El tipo de interés anual simple es del 4%. Al cabo de 10 días ingresa otros 1000 € más y 40 días después retira 500 €. Si 30 días después la entidad financiera liquida los intereses, ¿cuál será su importe? A) B) C) D)

11800 € 32,33 € 6,03 € Ninguna de las anteriores.

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22. ¿Cuál es el criterio para aplicar la ley simple o la compuesta en las operaciones de capitalización? A) B) C) D)

El plazo. La frecuencia de pago de intereses. La reinversión de intereses. No existe ningún criterio.

23. ¿Cual es el criterio para la aplicación de la ley simple o la compuesta en operaciones de descuento? A) B) C) D)

El plazo. La frecuencia de pago de intereses. La reinversión de intereses. No existe ningún criterio.

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MÓDULO 1: FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN

Capítulo 4. Tipos de interés y rentabilidad 4.1 Tipos de interés 4.1.1 Tasa nominal y efectiva en interés compuesto 4.1.2 Tipos de interés spot y forward 4.2 Rentabilidad 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4 4.2.5 4.2.6

Rentabilidad nominal y real Rentabilidad Simple Tasa Anual Equivalente (TAE) Tasa Interna de Rentabilidad (TIR) Tasa de Rentabilidad Efectiva (TRE) Tasa Geométrica de Rentabilidad (TGR)

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4.1 Tipos de interés Capítulo 4: Tipos de interés y rentabilidad

4.1.1 TASA NOMINAL Y EFECTIVA EN INTERÉS COMPUESTO El tanto nominal jk es un tipo de interés anual proporcional al tipo de interés efectivo fraccionado ik en capitalización compuesta. Por tanto, la relación entre el tanto nominal capitalizable k-esimalmente jk y el tanto efectivo k-esimal es:

ik =

jk k

donde k es la frecuencia de capitalización.

Como vimos en el capítulo 2, el tipo efectivo anual compuesto = i = (1 + ik )k

1

Luego sustituyendo: Tipo efectivo anual compuesto

i = ( 1+

jk k ) -1 k

y despejando jk en función de i : Tanto nominal

jk = k · [

1 (1 + i) k

-1

]

▪ Si k > 1 el tipo de interés efectivo anual (i) es mayor que el tanto nominal (jk) ▪ Si k = 1, entonces i = j1 ▪ Si k < 1 el tipo de interés efectivo anual (i) es menor que el tanto nominal (jk) ►EJEMPLO RESUELTO

Tanto nominal y tanto efectivo

Calcular el tipo de interés efectivo anual correspondiente a una operación de capitalización al 10% nominal pagadero semestralmente. DATOS: Tanto nominal pagadero semestralmente = j2 = 10% SE PIDE: Tanto efectivo anual = i Utilizamos la expresión: i = ( 1 +

i = ( 1+

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j2 2 0,10 ) - 1= ( 1+ 2 2

)2

jk k ) - 1 para k = 2 k

1 = 0,1025 = 10,25% >10% = j2

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4.1.2 TIPOS DE INTERÉS SPOT Y FORWARD Las operaciones al contado se liquidan a un tipo de interés al contado o “spot” y las operaciones a plazo, es decir, contratadas en una fecha pero materializadas en una fecha futura, se liquidan a un tipo de interés a plazo o “forward”. Para vencimientos superiores al año se aplica el interés compuesto, y para vencimientos inferiores a un año el interés simple. La curva de tipos de interés o curva de rendimientos (yield curve) es la representación gráfica en un eje de coordenadas, de los tipos spot observados en el mercado (eje vertical) asociadas a los vencimientos de los activos (eje horizontal); en un momento dado. La Estructura Temporal de los Tipos de Interés (ETTI) es la curva construida con los tipos de interés correspondientes a los bonos cupón cero sin riesgo. Esta curva nos proporciona hoy las expectativas sobre la evolución de tipos futuros, es decir, si la expectativa es de evolución de tipos al alza (curva ascendente), a la baja (curva descendente) o de no variación (curva plana). ►EJEMPLO RESUELTO

Tipo de interés spot

Calcular el tipo spot correspondiente a una operación financiera de duración 2 años, siendo el nominal del activo 1000 euros y el valor efectivo hoy 910,55 euros. DATOS: Valor nominal = Cn = 1000 € Valor efectivo = C0 = 910,55 €

n = 2 años

El vencimiento del activo financiero es superior al año, luego utilizaremos interés compuesto:

Cn = C0 · (1+i)n

sustituyendo: 1000 = 910,55 · (1+i)2

Y despejando: tipo spot asociado al plazo de 2 años = i = 0,0479 = 4,79% ►EJEMPLO RESUELTO

Tipo de interés forward

Sean dos activos A y B, el primero con un rendimiento del 6% a 1 año y el B con un rendimiento del 7% a dos años. ¿Cuál será el tipo forward o implícito para una inversión a un año, dentro de un año?

iA = 6%

0

iforward = ?

1

2

iB = 7% Planteamos la siguiente igualdad:

(1 + i A )1·(1 + i forward )1 = (1 + iB ) 2

Sustituimos

(1 + 0,06)1·(1 + i forward )1 = (1 + 0,07) 2 y despejamos i forward = 0,08 = 8%

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4.2 Rentabilidad Capítulo 4: Tipos de interés y rentabilidad

4.2.1 RENTABILIDAD REAL La rentabilidad real de una inversión considera, además de la rentabilidad financiera, otras variables tales como la fiscalidad, los gastos de gestión, las comisiones y la tasa de inflación. Para calcular la rentabilidad real, teniendo en cuenta estas variables, utilizaremos la siguiente expresión:

(1 + rREAL ) · (1 + Π ) = (1 + rFF )

Así pues, rREAL =

1 + rFF 1+ Π

siendo

rREAL = La rentabilidad real Π = La tasa de inflación rFF = La rentabilidad financiero fiscal

1

►EJEMPLO RESUELTO

Rentabilidad REAL

Calcular la rentabilidad real de una inversión que ha tenido una rentabilidad financierofiscal del 4%, siendo la tasa de inflación del 4,5%. DATOS:

rFF = 4%

Π = 4,5%

SE PIDE:

rREAL = ?

Para calcular la rentabilidad real utilizamos la expresión :

rREAL =

1 + rFF 1+ Π

1=

1 + 0,04 - 1 = - 0,0048 = - 0,48 % Rentabilidad real negativa. 1 + 0,045

►EJEMPLO RESUELTO

Rentabilidad REAL

Calcular la tasa de inflación sabiendo que una inversión que ha tenido una rentabilidad financiero-fiscal del 6% y una rentabilidad real del 3%. DATOS:

rFF = 6%

rREAL = 3%

SE PIDE:

Π= ?

Para calcular la tasa de inflación utilizamos la expresión (1  rREAL ) · (1   )  (1  rFF ) (1  0,03) · (1   )  (1  0,06)

34

 

1,06  1  0,029126  2,91% 1,03

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4.2.2 RENTABILIDAD SIMPLE ( RS ) La expresión para determinar la rentabilidad simple RST es:

RS T =

PT + D T - P0 P0

donde

PT:precio del título al final del periodo T DT:suma de los ingresos percibidos durante el periodo T P0:precio del título al inicio del periodo

La rentabilidad simple supone que los dividendos y otros rendimientos se perciben al final del periodo, o que se reinvierten a una tasa del 0% si se perciben antes.

►EJEMPLO RESUELTO

Rentabilidad simple

Hace dos años se adquirieron acciones de una compañía, siendo su cotización 15€. Calcular la rentabilidad simple de cada uno de los dos años de una acción, sabiendo que su cotización al final del primer año fue 18€ y al final del segundo año 17,1€.

15€

18€

0

1

17,1€

2

Para conocer en qué porcentaje se ha revalorizado anualmente la acción calculamos la rentabilidad simple: RS1 =

18 - 15 = 20% 15

RS 2 =

►EJEMPLO RESUELTO

17,1 - 18 = - 5% 18

Rentabilidad simple

Hace 6 meses compramos 100 acciones a 35 €/acción, pagando 44 € de comisión y hoy la acción cotiza a 36,50€. Calcular la rentabilidad simple de la acción, sabiendo que hace 3 meses se cobró un dividendo de 1,20 € por acción.

P0  100  35  44  3.544 P1  100  36,50  3.650 D1  100  1,20  120 3.650  120  3.544  6,37% RS1  3.544

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35

4.2.3 TASA ANUAL EQUIVALENTE ( TAE ) El Banco de España, obliga a todas las entidades financieras a incluir este índice desde el año 1990, en que publica la norma 8/1990 sobre “Transparencia de las operaciones y protección de la clientela”. El significado exacto es Tasa Anual Equivalente o Tasa Anual Efectiva. Es un indicador que, en forma de tanto por ciento anual, revela el coste o rendimiento efectivo de un producto financiero, ya que incluye el interés y los gastos y comisiones bancarias. Así, si una operación financiera no tiene comisiones ni gastos, su TAE coincidiría con el tipo de interés efectivo anual. La TAE se calcula de acuerdo con una fórmula matemática estandarizada que tiene en cuenta el tipo de interés nominal de la operación, la frecuencia de los pagos (mensuales, trimestrales, etc.), las comisiones y algunos gastos de la operación. En el caso de los créditos, no se incluyen en el cálculo del coste efectivo algunos conceptos, como los gastos que el cliente pueda evitar en uso de las facultades que le concede el contrato, los gastos a abonar a terceros o los gastos por seguros o garantías (salvo que la entidad imponga su suscripción para la concesión del crédito). El cálculo de la TAE está basado en el tipo de interés compuesto en la hipótesis de que los intereses obtenidos se vuelven a invertir al mismo tipo de interés y debe calcularse con importes brutos (sin tener en cuenta aspectos fiscales). La TAE es muy útil porque permite comparar distintos productos u opciones de inversión, con independencia de sus condiciones particulares. Esto es así especialmente entre productos de igual naturaleza, en los que los restantes elementos, y en particular el riesgo que tienen, son idénticos. Las entidades están obligadas a informar sobre la TAE de sus operaciones en la publicidad que hagan de sus productos, en los contratos que formalicen con sus clientes, en las ofertas vinculantes que realicen y en los documentos de liquidación de operaciones activas y pasivas.

►EJEMPLO RESUELTO

TAE

Un cliente solicita un préstamo por 4.000 € que debe devolver a final de año en un sólo pago que comprende el capital más los intereses (calculados mensualmente). El tipo de interés nominal del préstamo es del 6% y la entidad financiera deduce los gastos de gestión, por lo que realmente se entrega al cliente 3.950 €. Calcular la TAE. Primero calculamos la contraprestación en t=1 (devolución del capital más intereses, siendo j12 = 6%):

 0,06  Contraprestación = C1  C 0 ·(1  i)n  P·(1  i12 )12  4000·1   12  

12

 4246,71 €

Y a continuación, calculamos la TAE planteando la siguiente equivalencia financiera: 3950 

36

4246,71 1  TAE

Despejando: TAE = 7,51%

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►EJEMPLO RESUELTO

TAE_RETRIBUCIÓN EN ESPECIE

Un cliente contrata el Depósito iPhone. El producto consiste en que el cliente realiza una imposición de 20.000 euros y en el momento de la contratación se lleva un smartphone de los que llevan impresa una manzanita. Al cabo de un año recupera los 20.000 euros. Si la TAE anunciada es del 3%, hallar el valor del iPhone. El cliente aporta 20.000 euros pero se lleva el iPhone, por lo que realmente está renunciando a 20.000 menos el valor del regalo (X). Hallamos X para que 20.000 – X capitalizados un año se conviertan en 20.000: (20.000  X)  (1  0,03)  20.000

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X  582,52 €

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4.2.4 TASA INTERNA DE RENTABILIDAD ( TIR ) La Tasa Interna de Retorno o Tasa Interna de Rentabilidad (TIR) de una inversión, está definida como la tasa de interés con la cual el valor actual neto o valor presente neto (VAN o VPN) es igual a cero.

El VAN o VPN es calculado a partir de los flujos positivos y negativos de capital, trasladando todas las cantidades futuras al presente. La expresión que permite calcular el VAN es: N

VAN =

D0 +

Qj

∑(1 + i)

j

j =1

Donde:

VAN = Valor Actual Neto. Do = Desembolso inicial. Qj = Flujo de Caja en el periodo j. i = tasa de descuento o actualización

La obtención del VAN constituye una herramienta fundamental para la evaluación y gerencia de proyectos, así como para la administración financiera.

La Tasa Interna de Retorno (TIR) es el tipo de descuento que hace igual a cero el VAN. Así pues, para calcular la TIR plantearemos la siguiente ecuación: N

D0 +

∑(1 +QTIR) i

i

=0

TIR

i =1

Esta tasa interna de rentabilidad TIR corresponde a la rentabilidad del inversor, asumiendo que los flujos periódicos se reinvierten a una tasa igual a la TIR.

►EJEMPLO RESUELTO

Cálculo de la TIR

Un cliente adquirió 2.000 participaciones de un fondo de inversión que cotizaban a 4 €. Al cabo de un año vendió 600 participaciones que en ese momento cotizaban a 5 €. Si al cabo de dos años la cotización de la participación del fondo es de 6 €, calcular la TIR de esta inversión. El desembolso inicial de la inversión = Do = 2.000 · 4 = 8.000 € En t = 1, cobra Q1 = 600 · 5 = 3.000 € En t = 2, cobra Q2 = 1.400 · 6 = 8.400 € Para calcular la TIR de este flujo de cobros y pagos planteamos la siguiente ecuación: N

D0 +

∑(1 +QTIR) i

i =1

i

=0

8.000 +

3.000 1

(1 + TIR )

+

8.400 (1 + TIR ) 2

=0

TIR = 22,92%

Nota: La ecuación que resulta, en general, es muy complicada de resolver manualmente por lo que el cálculo se realiza por tanteo o usando calculadora financiera.

38

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4.2.5 TASA DE RENTABILIDAD EFECTIVA ( TRE ) En el cálculo de la Tasa de Rentabilidad Efectiva (TRE) se considera que un capital cobrado puede reinvertirse al tipo de interés vigente. Para calcular la TRE:

Primero, calculamos el montante (Cn) de la inversión capitalizando los flujos de caja al tipo de interés correspondiente. A continuación, planteamos la siguiente ecuación:

C n = C 0 ·(1 + TRE)n y despejamos la tasa TRE

1 n 

C TRE   n   C0 

1

Si el tipo de interés de reinversión es menor que la TIR  TRE < TIR Si el tipo de interés de reinversión es mayor que la TIR  TRE > TIR

►EJEMPLO RESUELTO

Cálculo de la TRE

¿Cuál ha sido la rentabilidad efectiva de la siguiente operación si suponemos que el inversor reinvierte los cupones anuales y amortiza el bono a vencimiento? Compra: Vencimiento: Cupón anual: Valor nominal: TIR de adquisición: Precio de compra:

15-05-2001 15-05-2005 4,5% 1.000 € 6,25% 93,97%

Tipos de interés a un año 15-05-2001: 3,50% 15-05-2002: 3,80% 15-05-2003: 4,70% 15-05-2004: 5,25%

Primero calculamos el valor final de los cupones percibidos y del nominal a vencimiento utilizando los tipos de interés dados: Cn=45·(1+0,038)·(1+0,047)·(1+0,0525)+45·(1+0,047)·(1+0,0525)+45·(1+0,0525)+1045= = 1193,42 €

A continuación, planteamos la siguiente ecuación: C n = C 0 ·(1 + TRE )n

y sustituyendo: 1193,42 = 939,7 · (1+TRE)4

Despejando la tasa de rentabilidad efectiva: TRE = 0,06157 = 6,16 % < TIR ya que los tipos de interés de reinversión han sido inferiores a la TIR.

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4.2.6 TASA GEOMÉTRICA DE RENTABILIDAD ( TGR ) La Tasa Geométrica de Rentabilidad (TGR) (Time-weighted rate of return) es la rentabilidad del gestor de la cartera y se calculará realizando la media geométrica de las rentabilidades simples de los diferentes periodos. Para ello seguiremos los siguientes pasos: Primero, determinamos las rentabilidades simples para cada subperiodo de inversión. A continuación, planteamos la igualdad:

(1 + TGR)n = (1 + RS1 )·(1+ RS 2 )·...·(1 + RSn ) Y por último despejamos la TGR: 1

TGR = [(1 + RS1 )·(1+ RS 2 )·...·(1 + RSn )]n

1

Esta es la rentabilidad que mide sólo la actuación del gestor quitando la influencia de las decisiones del inversor de aportar o retirar fondos de la cartera. Comparando la TIR y la TGR se puede analizar el grado de acierto de la política de entradas y salidas de capital de la inversión llevada a cabo: ▪ Si TIR > TGR, el inversor ha acertado en sus decisiones. ▪ Si TIR = TGR, el resultado es indiferente de la política llevada a cabo. ▪ Si TIR < TGR, el inversor se ha equivocado en su política

►EJEMPLO RESUELTO

Cálculo de la TGR

Un gestor aconsejó a un inversor adquirir participaciones de un fondo de inversión que cotizaban a 4 €. Al cabo de un año las participaciones cotizan a 6 € y a los dos años cotizan a 5 €. Calcular la tasa geométrica de rentabilidad. Primero, determinamos las rentabilidades simples para cada año:

RS1 =

6-4 = 0,5 = 50% 4

RS 2 =

5-6 = - 0,1667 = - 16,67% 6

A continuación, hallamos la media geométrica:

TGR  (1  RS1 )·(1  RS 2 )

40

1 2

1  (1  0,50)·(1 - 0,1667)

1 2

1 = 11,8 %

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►EJEMPLO RESUELTO

Cálculo de la TGR

Las rentabilidades anuales de un FI en el periodo 2009 – 2013 han sido 4,41%, 0,78%, 2,92%, 4,55% y 4,44%. Calcular la Rentabilidad Acumulada del fondo y la Tasa Geométrica de Rentabilidad a 3 y 5 años En primer lugar calculamos las rentabilidades acumuladas y posteriormente calculamos las rentabilidades anualizadas:

A 3 años

1  R ACUM

3 AÑOS

 1,0292  1,0455  1,0444  1,12380

(1  R ANUAL 3 AÑOS ) 3  1,1238

 R ACUM 3 AÑOS  12,38%

 R ANUAL 3 AÑOS  0,03967  3,97%

A 5 años

1  R ACUM

5 AÑOS

 1,0441 1,0078  1,0292  1,0455  1,0444  R 5 AÑOS  18,25%

(1  R ANUAL 5 AÑOS ) 5  1,1825

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 R ANUAL 5 AÑOS  0,03409  3,41%

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►CUESTIONARIO

Capítulo 4: TIPOS DE INTERÉS Y RENTABILIDAD

1. Sean dos activos A y B, el primero con un rendimiento del 8% a 1 año y el B con un rendimiento del 10% a dos años. ¿Cuál será el tipo forward o implícito para una inversión a un año, dentro de un año? A) B) C) D)

El 10% El 12% El 11,5% Ninguno de los anteriores.

2. La rentabilidad efectiva de un bono es mayor que su TIR cuando: A) B) C) D)

El tipo de interés es superior a su TIR. El tipo de interés es inferior a su TIR. El tipo de interés es igual a su TIR. Ninguna de las anteriores.

3. La TAE de una operación sin comisiones que rinde un 4% nominal acumulable trimestralmente es: A) B) C) D)

4% 1% 4,074% 4,06%

4. Una entidad bancaria oferta una póliza de ahorro al 5,35% TAE. ¿Cuál es el interés nominal aplicado, si el abono de intereses es trimestral? A) B) C) D)

5,22% 5,25% 5,46% 5,35%

5. Para calcular el coste o la rentabilidad de una operación financiera teniendo en cuenta la frecuencia de capitalización o descuento y también los gastos y comisiones, se utiliza: A) B) C) D)

Tipo de interés nominal. Tipo de interés efectivo. TAE. Ninguno de los anteriores.

6. Indica cuál de las siguientes afirmaciones es correcta: A) La TAE siempre es superior al tipo de interés nominal. B) La TAE la definen, para cada operación, las propias entidades financieras estableciendo los criterios para su cálculo. C) La TAE tiene en cuenta todos los gastos de una operación. D) La TAE puede coincidir, en algún caso, con el tipo de interés efectivo. 7. La TAE de una operación sin comisiones que rinde un 3% nominal acumulable bimestralmente es: A) B) C) D)

3,0000 % 3,0225 % 3,0378 % 0,5000 %

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8. Una persona compra unas acciones por 6.250 €. Al cabo de 1 año recibe unos dividendos de 180 €, y a los 2 años de 240 €. Si vende las acciones a los 3 años por 7.500€ y paga en ese momento 40 € en concepto de gastos, la ecuación que permite determinar la TIR, i, de la inversión es: A)

B)

C)

D)

180 (1+i) 180 (1+i)

+ +

180 (1+i) 180 (1+i)

+ +

240 (1+i)

2

240 (1+i)

2

240 (1+i)

2

240 (1+i)

2

+ +

7.540 (1+i)

3

7.460 (1+i)

+



3

= 6.250 = 6.250

7.500 (1+i)

= 6.210

3

7.540 (1+i)

3

+ 6.250

9. En un préstamo hipotecario sin comisión de apertura que cobra una comisión de cancelación del 1% y cuya tasa de interés nominal es del 6% liquidable mensualmente la Tasa Anual Equivalente será: A) B) C) D)

5% 6% 6,17 % 6,37 %

10. La tasa de crecimiento del PIB de un determinado país han sido: 8%, 6%, 4%, 2%, en los últimos 4 años. Su media geométrica es: A) B) C) D)

5% 6% 3,98% 4,98%

11. Si las rentabilidades obtenidas por un fondo de inversión durante los últimos 3 años han sido, respectivamente, 8’12%, - 3’23% y 5’80%, la tasa geométrica de rentabilidad será: A) B) C) D)

10,69 % 3,26 % 5,34 % 3,45 %

12. ¿Cuál será la rentabilidad real de una inversión que ha tenido una rentabilidad financiero-fiscal del 8% y una tasa de inflación del 4%? A) B) C) D)

4% 3,265 % 3,846 % 3,455 %

13. ¿Cuál es la TIR de un proyecto cuya inversión es de 1.000 € y los flujos de caja son de 300 € (año 1), 400 € (año 2) y 500 € (año 3)? A) B) C) D)

20 % 8’90 % 12’50 % 9’18 %

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14. Si ésta es la situación del mercado interbancario de depósitos del Euribor: Tipos Tipos Tipos Tipos Tipos Tipos

a a a a a a

1 2 3 6 9 12

mes meses meses meses meses meses

2’25 % 2’27 % 2’30 % 2’41 % 2’53 % 2’66 %

¿Qué previsión está haciendo el mercado de cómo van a estar los tipos de interés para el plazo de 3 meses de hoy en 6 meses? A) B) C) D)

2’630 % 2’506 % 2’737 % Ninguna de las anteriores.

15. ¿Qué es la TIR? A) La tasa de rentabilidad que se va a conseguir en cualquier tipo de inversión, independientemente del tipo de reinversión. B) La tasa anual equivalente a una operación de tipo de interés simple, pero sólo el interés es pospagable o vencido e inmediato. C) La tasa de actualización que hace que el VAN de una inversión sea cero. D) La tasa nominal de una inversión. 16. ¿Cuál será la rentabilidad geométrica anualizada de una inversión que genera los siguientes flujos de caja anuales? Años 1 2 3 A) B) C) D)

Inicio de inversión 200 € 250 € 350 €

la Fin de inversión 250 € 350 € 400 €

la

26,40% 18,37% 66,67% 25,99%

17. Una persona compra unas acciones por 6.250 €. Al cabo de 1 año recibe unos dividendos de 180 €, y a los 2 años de 240 €. Si vende las acciones a los 3 años por 7.500 € y paga en ese momento 40 € en concepto de gastos y considerando que los dividendos se reinvierten a una tasa del 1’5% anual, la tasa de rentabilidad efectiva de la operación, expresada en término anual, es: A) B) C) D)

6,077 % 8,742 % 6,453 % 8,072 %

18. Si la TIR de una cartera en el último semestre ha sido del 8% y la TGR del 13%, podemos concluir que: A) El inversor se ha equivocado en la elección de los momentos de compra y venta de los activos de la cartera. B) El inversor ha acertado en la elección de los momentos de compra y venta de los activos de la cartera. C) El inversor ha acertado en la selección de los títulos que forman la cartera. D) El inversor se ha equivocado en la selección de los títulos que forman la cartera.

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MÓDULO 1: FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN

Capítulo 5. Rentas Financieras 5.1 Definiciones 5.2 Clasificación 5.3 Rentas Financieras Constantes 5.4 Rentas Financieras Variables

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5.1 Definiciones Capítulo 5: Rentas Financieras

RENTA: Un conjunto de capitales (M1; x1) (M2; x2) ...... (Mn; xn) con vencimientos equidistantes

 x0 Luego

M1  x1

M2  x2

M3  x3

 xn-1

Mn  xn

x2 - x1 = x3 - x2 == xn - xn-1

TERMINO DE LA RENTA: es cada uno de los capitales que la constituyen. ORIGEN DE LA RENTA: es el momento en el que comienza la operación = x0. FINAL DE LA RENTA: es el momento en el que se extingue la operación = xn. DURACION DE LA RENTA: xn - x0

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5.2 Clasificación Capítulo 5: Rentas Financieras

1. Según el número de términos de que constan las rentas Temporales: Son aquellas rentas que constan de un número finito de términos. Perpetuas:

Son aquellas rentas que constan de un número ilimitado de términos. Un ejemplo de renta perpetua lo representa la pensión de jubilación de una persona.

2. Según el momento de la valoración de la renta Inmediatas:

Son aquellas en las que la valoración actual de la renta tiene lugar en el primer período en el que la duración de la renta se encuentra dividido.

Diferidas:

Son aquellas en las que la valoración actual de la renta tiene lugar en un número determinado de períodos antes del vencimiento del primer término de la renta. Este número, que lo indicaremos por d, recibe el nombre de período de diferimiento.

Anticipadas: Son aquellas en las que la valoración de la renta tiene lugar en un número determinado de períodos después del vencimiento del último término de la renta. Este número, que lo indicaremos por f, recibe el nombre de período de anticipación. 3. Según la naturaleza de la cuantía de los términos Constantes: Son aquellas cuyos términos son todos de igual cuantía. Variables:

Son las que están constituidas por términos diferentes y que normalmente seguirán una determinada ley de variación.

Cuando los términos de la renta son constantes e iguales a la unidad de capital, se dice que la renta es unitaria 4. Según el vencimiento de los términos de la renta Prepagables: Son aquellas en las que cada término vence en el extremo inferior del correspondiente período. Pospagables: Son aquellas en las que cada término vence en el extremo superior del correspondiente período. A las rentas prepagables algunos autores las denominan con pago anticipado, y las pospagables, rentas con pago por vencido.

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5.3 Rentas financieras constantes Capítulo 5: Rentas Financieras

5.3.1 RENTA ANUAL, DE TÉRMINOS CONSTANTES, POSPAGABLE, INMEDIATA Y TEMPORAL

 0

M  1

M  2

M  3

 n-1

▪ Valor Actual = VA = ( Va)n i = M ·

M  n

1 - (1 + i) -n (1 + i)n - 1 = M· = M·a n i i i·(1 + i)n

siendo an i = valor actual de la renta unitaria =

▪ Valor Final = VF = ( Vs)n i  M ·

1 - (1  i)-n i

(1  i)n  1  M·s n i i

siendo Sn i = valor final de la renta unitaria =

(1  i)n  1 i

5.3.2 RELACIONES Valor Actual y Valor Final: Valor Final = Valor Actual  (1  i)n Rentas prepagables: VA/VF Prepagable = VA/VF Pospagable  (1  i) si es anual Rentas diferidas: VA Diferida = VA Inmediata  (1  i)  d siendo d = número de periodos antes del primer periodo de la renta Rentas anticipadas: VF Anticipada = VF Inmediata  (1  i) f siendo f = número de periodos después del ultimo término de la renta

Rentas perpetuas constantes: ( Va)∞i = M ·

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1 i

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►EJEMPLO RESUELTO

Valor Actual de una Renta Constante

Sea un préstamo de 60.000 €, amortizado según el sistema francés durante 3 años. Siendo el tipo de interés del 5% anual, calcular la anualidad (término amortizativo) constantel. Recordamos previamente la expresión del valor actual de una renta anual constante, inmediata, temporal y pospagable:

M  1

 0

M  2

M  3

▪ Valor Actual = VA = ( Va)n i  M ·

 n-1

M  n

1 - (1  i) -n (1  i)n - 1  M·  M·a n i i i·(1  i) n

Para calcular la anualidad M, realizamos una equivalencia financiera en t = 0 entre la prestación (60.000€) y la contraprestación formada por las tres anualidades: 60.000 = M ·

1 - (1 + i) -n i

Sustituyendo

60.000 = M ·

1 - (1 + 0,05) -3 0,05

Despejamos y operamos, obteniendo M = 22.032,51 €

►EJEMPLO RESUELTO

Valor Final de una Renta Constante

Un cliente, planificando su jubilación, ha estimado que necesitará dentro de 5 años un ahorro de 100.000 €. Quiere conocer cuánto debe aportar al mes en un producto de ahorro que le garantiza el 2% de interés nominal anual (dicha aportación mensual se realizaría al principio del mes y los intereses se reinvierten con periodicidad mensual). Planteamos una equivalencia financiera en t=5: El capital en t=5 (100.000€) lo igualamos al valor final de la renta de las aportaciones mensuales y prepagables:

100.000  C 

(1  i12 ) 60  1 ·(1  i12 ) i12

C = aportación mensual

sustituimos

i12 

i12 = tipo de interés efectivo mensual

j12 0,02  12 12 60 = nº de aportaciones mensuales

Multiplicamos por (1+i12) ya que la renta es prepagable.

 0,02  1  12   100.000  C   0,02 12

60

1

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 0,02  · 1  12  

despejamos y operamos: C = 1583,47 €

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5.4 Rentas financieras variables (fuera del programa DAF) Capítulo 5: Rentas Financieras

5.4.1 RENTA ANUAL, DE TÉRMINOS VARIABLES EN PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, POSPAGABLE, INMEDIATA Y TEMPORAL  1  qn ·(1  i)n M ·  1 1 i  q  ▪ Valor Actual = VA = A(M1; q)n i   M ·(1  i)1n  1 

▪ Valor Final = VF = S(M1; q)n i

Donde:

 (1  i)n  qn M ·  1 1 i  q   M ·(1 i)n1 n  1 

si q  1  i si q  1  i

si q  1  i si q  1  i

q = la razón de la progresión geométrica M1 = el primer término de la renta i = tipo de interés efectivo de valoración n = número de términos de la renta (temporalidad)

5.4.2 RENTA ANUAL, DE TÉRMINOS VARIABLES EN PROGRESIÓN ARITMÉTICA, POSPAGABLE, INMEDIATA Y TEMPORAL

▪ Valor Actual = VA = A(M1; π )n i  (M1 

▪ Valor Final = VF = S(M1; π )n i  (M1 

Donde:

π nπ  nπ )·an i  i i

π nπ·(1  i)n  nπ )·S n i  i i

π = la razón de la progresión aritmética M1 = el primer término de la renta i = tipo de interés efectivo de valoración n = número de términos de la renta (temporalidad)

1 - (1  i)-n i n (1  i)  1 Sn i = valor final de la renta unitaria = i an i = valor actual de la renta unitaria =

50

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►EJEMPLO RESUELTO

Valor Actual de una Renta Variable en PG

Sea un préstamo de 100.000 € con anualidades que van aumentando un 5% cada año de forma acumulativa. Siendo el tipo de interés del 10% anual y la duración 3 años, calcular las anualidades (términos amortizativos). Recordamos previamente la expresión del valor actual de una renta anual variable en progresión geométrica de razón q, inmediata, temporal y pospagable:

 0

M1  1

M2  2

M3  3

 n-1

 1  qn ·(1  i)n M1 · 1 i  q  ▪ Valor Actual = VA = A(M1; q)n i   M ·(1  i)1n  1 

Mn  n

si q  1  i si q  1  i

Para calcular la primera anualidad M1, realizamos una equivalencia financiera en t = 0 entre la prestación (100.000€) y la contraprestación formada por las tres anualidades: 1 - qn ·(1 + i) -n 100.000 = M1 · Sustituimos i = 0,10 1+ i - q

100.000 = M1 ·

1 - 1,05 3 ·(1 + 0,10 ) -3 1 + 0,10 - 1,05

q = 1+g = 1,05

y n=3

Despejando y operando M1 = 38.385 €

Las otras dos anualidades serán: M2 = M1·1,05 = 40.304,25 € M3 = M2·1,05 = 42.319,46 €

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►CUESTIONARIO

Capítulo 5: RENTAS FINANCIERAS

1. Una familia quiere hacer realidad su sueño de estar viajando durante 6 meses o más, para ello han calculado que necesitan disponer dentro de 5 años de 30.000 €. Quieren que se les calcule, en una póliza Universal que les garantiza el 4% de interés nominal anual, cuál sería la prima mensual que deben invertir (dicha aportación mensual se realizaría al principio del mes y los intereses se reinvierten con periodicidad mensual). A) B) C) D)

450’99 € 8.234’34 € 728’65 € 7.638’65 €

2. Don Luis decide comprarse un coche con el ahorro que ha generado durante unos años. Inicialmente da una entrada y pide un préstamo a 5 años por los 60.000 € que le quedarían para pagar. El tipo de interés nominal anual que le ofrecen es el 5’25% y la comisión de apertura es del 1’25% sobre el principal, y la abona de forma separada, ya que la cifra que recibe por el importe del préstamo es 60.000 €. Quiere saber a cuánto ascendería la cuota mensual constante. A) B) C) D)

1.139’16 € 1.625’15 € 7.864’89 € 7.652’34 €

3. Calcula la cuota anual de un préstamo que se amortiza por el sistema francés si el capital inicial son 15.000 €, el tipo de interés efectivo anual es el 5% y el plazo de 6 años: A) B) C) D)

2.955,26 € 3.250,00 € 2.500,00 € Ninguna de las anteriores.

4. ¿Cuántos años hacen falta para devolver un préstamo de 6.750 € si la cuota de amortización constante es de 843.75 €? A) B) C) D)

10 años 9 años 8 años Dependerá del tipo de interés del préstamo.

5. Si un cliente quiere constituir un capital final de 30.000 € en 5 años y le ofertamos un fondo que tiene una rentabilidad garantizada del 4’074% de TAE. ¿Cuál será la cuota que deberá ingresar mensualmente por vencido? A) B) C) D)

452’50 € 5.538’81 € 528’65 € 638’65 €

6. El valor actual de una renta anual pospagable con una duración de 7 años es 25.345 € (Tipo de interés 3%). ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera? A) B) C) D)

Su valor final es 31.182,27 € Su valor actual si fuese prepagable sería 25.998.65 € Su valor final si fuese prepagable sería 32.106,29 € Ninguna de las anteriores.

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7. ¿Cuál es el valor inicial de una renta constante, inmediata y pospagable de 9 períodos anuales cuyo término es de 340 € si el tipo de interés es del 3%? A) B) C) D)

2.607,82 € 2.647,28 € 2.578,90 € Ninguna de las anteriores.

8. Si la renta anterior fuera prepagable, ¿cuál sería su valor final? A) B) C) D)

3.454,10 € 3.557,72 € 3.568,13 € Ninguna de las anteriores.

9. Hoy es 28-05-06 y un cliente que cumple hoy 51 años, va a abrir un Plan de Pensiones en el que realizará una aportación anual de 5.000 € un día antes de su cumpleaños, con una garantía de rentabilidad del 3’8% anual. ¿Cuál será el capital final que tendrá al cumplir los 65 años? A) B) C) D)

85.214’83 € 90.214’83 € 93.642’99 € 82.095’21 €.

10. Calcular el valor final de una renta pospagable de 6 períodos y un término de 700 €, anticipada 4 períodos si el tipo de interés es del 4%. A) B) C) D)

5.431,75 € 3.688,00 € 4.235,23 € 4.200,00 €

11. Calcular el valor inicial de una renta prepagable de 5 periodos, con un término de 800€, diferida 3 períodos si el tipo de interés es del 4%. A) B) C) D)

3.166,12 € 3.560,00 € 3.292,77 € 4.000,00 €

12. Calcular el valor inicial de una renta pospagable de 6 períodos, cuyos términos evolucionan según una progresión aritmética de razón 15 €, siendo el capital inicial de 900 € y el tipo de interés del 4%. A) B) C) D)

9.397,36 € 9.406,65 € 4.905,52 € Ninguna de las anteriores.

13. Se ha concedido un préstamo de 18.000 € a 4 años, con un tipo de interés fijo nominal anual del 7’25% y una comisión de apertura aplicada del 1’5%, que se debe abonar independientemente del préstamo solicitado el primer día de la operación. Calcular la cuota mensual a pagar por dicho préstamo. A) B) C) D)

433’12 € 1.351’98 € 5.344’13 € 426’63 €

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14. Calcular el valor Inicial de una renta pospagable e inmediata de 14 períodos semestrales y constante, con un término semestral de 750 € utilizando un tipo de interés semestral del 1,75%. A) B) C) D)

9.241,50 € 10.500,00 € 4.580,67 € Ninguna de las anteriores.

15. Definir que tipo de renta sería la descrita a continuación: • Bono del Estado a 3 años. • Cupones anuales fijos constantes una vez al año los días 31-5-2009, 31-5-2010 y 31-5-2011. • Vencimiento 31-5-2011 A) Renta constante, perpetua, vencida y prepagable más un término adicional que es el valor nominal. B) Renta variable en progresión aritmética, temporal, vencida y pospagable más un término adicional que es el valor nominal. C) Renta constante, temporal, inmediata y pospagable más un término adicional que es el valor nominal. D) Renta constante, temporal, inmediata y prepagable más un término adicional que es el valor nominal. 16. Si se compra un televisor que tiene un valor 1.265 € y hay el compromiso de pagar 11 mensualidades vencidas de 120 €. ¿Cuál es la TAE de la operación? A) B) C) D)

0’72% 0’79% 8’21 % 8’94%

17. Para disponer de 10.000 € dentro de 3 años se formaliza un depósito a plazo fijo en el que se realizarán ingresos constantes, trimestrales y anticipados. Si el tanto de interés del depósito es del 6% nominal acumulable trimestralmente, el importe de cada ingreso será: A) B) C) D)

766’80 € 3.141’10 € 755’47 € 778,30 €

18. ¿Qué cantidad nos concederá hoy una entidad financiera que ofrece préstamos al 0,375% de interés efectivo mensual si pactamos devolver 1.300 euros al mes durante 20 años? A) B) C) D)

203.221,21 € 205.485,07 € 214.500,00 € Ninguna de las anteriores es correcta.

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►SOLUCIÓN DE LOS CUESTIONARIOS MODULO 1: FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN CAPÍTULOS 1, 2 y 3 1 B 2 A 3 B 4 B 5 C 6 B 7 A 8 A 9 B 10 A 11 B 12 D 13 C 14 B 15 D 16 A 17 B 18 C 19 C 20 C 21 B 22 C 23 A

CAPÍTULO 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

B A D B C D C B C D D C B C C D D A

CAPÍTULO 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

A A A C A C B B B A C C A A C D C B

►BIBLIOGRAFÍA Módulo 1: Fundamentos de la Inversión ▪ ALEGRE ESCOLANO, P. y otros (1990): "Ejercicios resueltos Matemáticas de las Operaciones Financieras". Ed. AC, Madrid.

de

▪ BETZUEN ZALBIDEGOITIA, Amancio (2001): "Curso de Matemáticas Financieras: Análisis Financiero Fundamental, Rentas y Constitución de Capitales". Instituto de Estudios Financiero-Actuariales. Bilbao. ▪ BETZUEN ZALBIDEGOITIA, Amancio (1992): "Curso de Matemáticas Financieras: Operaciones de Préstamos, Operaciones de Empréstito obligaciones". Instituto de Estudios Financiero-Actuariales. Bilbao. ▪ BETZUEN, Amancio; BILBAO, Alberto; GOMEZ, Rosalía; DE LA PEÑA, J.Iñaki(1994): "Matemática Financiera: Ejercicios resueltos". Instituto de Estudios Financiero-Actuariales. Bilbao. ▪ DE PABLO LOPEZ, A. (1994): "Matemática de las operaciones Financieras". Vol. 1 y 2. Ed. UNED. Madrid. ▪ GONZALEZ CATALA, V. (1991): "Enfoque práctico de las Operaciones de la Matemática Financiera". Ed. Ciencias Sociales. Madrid. ▪ Bárcena, M.J.; Fernández, K.; Ferreira, E. y Garín, M.A. (2003). Elementos de Probabilidad y Estadística Descriptiva. Servicio Editorial de la Universidad del País Vasco, UPV/EHU. ▪ J. Arteche et al. (2000). Ejercicios de estadística I. Elementos de Probabilidad y Estadística. Servicio Editorial de la UPV/EHU. ▪ Martín Pliego, F.J.; Ruiz Maya, L. (2004). Estadística I: Probabilidad, Editorial AC, 2ª edición. Madrid. ▪ Martín Pliego, J.M. Montero Lorenzo y F.J.; Ruiz Maya (2002). Problemas de Probabilidad, Editorial AC, Madrid. ▪ Tusell, F. y Garín, A. (1991). Ejercicios de Probabilidad e Inferencia Estadística. TébarFlores, Madrid. ▪ Martín Pliego, F.J. (1994). Introducción a la Estadística Económica y Empresarial. Editorial AC., Madrid. ▪ “Estadística aplicada a los negocios y la economía”. Allen L. Webster. Tercera Edición. Mc Graw-Hill: Irwin- Mc Graw-Hill.2000 ▪ “Probabilidad y Estadística. Aplicaciones y Métodos”. George C. Canavos. Editorial Mc Graw Hill. 1997 ▪ “Probabilidad y Estadística”. Ronald E. Walpole y Raymond H. Myers. Cuarta Edición. Editorial Mc Graw Hill.

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