2. Diseño de experimentos Curso 2011-2012 Estadística

2.1 Diseños Factoriales (dos factores)

Ejemplo

V E N E N O S

ANTÍDOTO B C 0.82 0.43 1.10 0.45 0.88 0.63 0.72 0.72 0.92 0.44 0.61 0.35 0.49 0.31 1.24 0.40 0.30 0.23 0.37 0.25 0.38 0.24 0.29 0.22

A 0.31 0.45 0.46 0.43 0.36 0.29 0.40 0.23 0.22 0.21 0.18 0.23

I

II

III

D 0.45 0.71 0.66 0.62 0.56 1.02 0.71 0.38 0.30 0.36 0.31 0.33

Se analiza el efecto de tres venenos y cuatro antídotos en el tiempo de supervivencia de unas ratas. Diseño Experimentos

3

Modelo Factor 1

Factor 2

1

2

J

I

1 y111

2 y 211

y I 11

y112

y 212

y I 12

yijk

i

j

ij

uijk

Normalidad y11m y121

y 21m y 221

y I 1m y I 21

Independencia

y122

y 222

y I 22

Homocedasticidad

y12 m

y 22 m

yI 2m

I J tratamientos

y1J 1

y2 J1

y IJ 1

m replicaciones

y1J 2

y2 J 2

y IJ 2

n=m I J y1Jm

y 2 Jm

Diseño Experimentos

y IJm 4

Factor 1 2

1

...

...

1 1

Factor 2

I

1

2

11

1

21

I

1

I1

I

2

I2

...

2 1

2

12

2

2

22

...

J 1

J

1J

2

J

2J

I

J

IJ

Modelo

yijk

i I i 1 i

0

j J j 1

j

ij 0

I i 1

ij

0,

j

J j 1

ij

0,

i

: Media global i : Efecto del Factor 1 i, i=1,...,I j : Efecto del Factor 2 j, j=1,...,J ij: Interacción de niveles ij uijk : Componente aleatoria N(0, 2), Diseño Experimentos

uijk

6

Estimación del modelo :

1

i :

I 1

:

j

ij 2

J 1 :

i

y yi

j

y ij

( I 1)( J 1) 2

:

J

m

I

k 1

y ij

m

yi

j 1 k 1

y yi

y j 2 eijk

I

i 1 k 1 j

J

m

yijk y

mI

y

IJ (m 1)

yijk y

mJ

y ij

m

yijk

yijk

j

sR2

1 m

y

i 1 j 1 k 1

n

Diseño Experimentos

7

Estimación del modelo yijk yijk eijk

yijk (

Diseño Experimentos

i

j

ij

uijk

i

j

ij

eijk

i

j

ij

) yijk yij

8

Estimación

V

I

E N II

E N O

III

S

A 0.31 0.45 0.46 0.43 0.41 0.36 0.29 0.40 0.23 0.32 0.22 0.21 0.18 0.23 0.21

ANTÍDOTO B C 0.82 0.43 1.10 0.45 0.88 0.63 0.72 0.72 0.88 0.56 0.92 0.44 0.61 0.35 0.49 0.31 1.24 0.40 0.82 0.38 0.30 0.23 0.37 0.25 0.38 0.24 0.29 0.22 0.34 0.24

D 0.45 0.71 0.66 0.62 0.61 0.56 1.02 0.71 0.38 0.67 0.30 0.36 0.31 0.33 0.33

Diseño Experimentos

9

Estimación A V

I

E

Medias ij

N E

II

N

Medias ij

O S

III Medias ij

Medias

j

ANTÍDOTO B C

D

0,31 0,45 0,46 0,43

0,82 1,10 0,88 0,72

0,43 0,45 0,63 0,72

0,45 0,71 0,66 0,62

0,41 -0,038

0,88 0,067

0,56 0,032

0,61 -0,061

0,36 0,29 0,40 0,23

0,92 0,61 0,49 1,24

0,44 0,35 0,31 0,40

0,56 1,02 0,71 0,38

0,32 -0,060

0,82 0,073

0,38 -0,080

0,67 0,068

0,22 0,21 0,18 0,23

0,30 0,37 0,38 0,29

0,23 0,25 0,24 0,22

0,30 0,36 0,31 0,33

0,21 0,098

0,34 -0,139

0,24 0,048

0,33 -0,007

0,314

0,677

0,389

0,534

-0,164

0,198

-0,089

0,056

Diseño Experimentos

Medias

i

0,615

0,136

0,544

0,066

0,276

-0,202

0,479

10

Residuos RESIDUOS

V

A -0.103 0.038 0.048 0.018 0.00 0.040 -0.030 0.080 -0.090 0.00 0.010 0.000 -0.030 0.020 0.00

I

E N II

E N O

ANTÍDOTO B C -0.060 -0.128 0.220 -0.108 0.000 0.073 -0.160 0.163 0.00 0.00 0.105 0.065 -0.205 -0.025 -0.325 -0.065 0.425 0.025 0.00 0.00 -0.035 -0.005 0.035 0.015 0.045 0.005 -0.045 -0.015 0.00 0.00

III

S

D -0.160 0.100 0.050 0.010 0.00 -0.108 0.353 0.043 -0.288 0.00 -0.025 0.035 -0.015 0.005 0.00

2

s

2 eijk

2 R

IJ (m 1)

Diseño Experimentos

0,022

11

Análisis de la varianza yijk

i

j

uijk

ij

yijk

i

j

eijk

ij

yijk

y

( yi

y ) (y

j

y ) ( y ij

yi

y

j

y ) ( yijk

yijk

y

( yi

y ) (y

j

y ) ( y ij

yi

y

j

y ) eijk

I

J

m

I

( yijk

y )

J

m

I

2

i 1 j 1 k 1

( yi

y )

J

m

2

(y

i 1 j 1 k 1 I

J

i 1 j 1 k 1 I

yi

y

m

j

y )2

mJ

i 1 j 1 k 1

eijk2

J

( yi

(y

j

y )2

j 1 J

m

I

( y ij i 1 j 1

Diseño Experimentos

y ) 2 mI

i 1 I

m

i 1 j 1 k 1

I

( yijk

J

y )2

i 1 j 1 k 1

J

y )2

j

m

( y ij I

y ij )

yi

y

j

J

m

y )2

2 eijk i 1 j 1 k 1

12

Variabilidades I

J

m

VT

( yijk

y

)2

( yi

y

)2

y

)2

i 1 j 1 k 1 I

VE ( A)

mJ i 1 J

VE ( B )

mI

(y

j

j 1 I

VE ( A B )

J

m

( y ij i 1 j 1 I J

yi

y

j

y

)2

m

VNE

( yijk

y ij ) 2

i 1 j 1 k 1

VT

VE ( A) VE ( B) VE ( A B)

(n 1)

VNE

( I 1) ( J 1) ( I 1)( J 1) IJ (m 1)

Diseño Experimentos

13

Contraste de Hipótesis Si el Veneno no influye, los I niveles son iguales a efectos de tiempo de supervivencia, entonces 1

H0 :

2

1

H1 : Algún Diseño Experimentos

I

2

I i 1 i

I i

0

0

es distinto de 0 14

Contraste efecto principal de factor A H0 :

1

2

H1 : Algún

E[ s R2 ]

Si Ho es cierto, s

s s

2 A 2 R

I

mJ

i 1

VE ( A) I 1

2 A

( yi

y s

Si FA

0

es distinto de 0

i

VNE IJ (m 1)

s R2

FA

I

2

E[ s A2 ]

2

)2 I 1 FI

2 R

1; IJ ( m 1)

Se rechaza Ho

F

Diseño Experimentos

15

Contraste efecto principal de factor B H0 :

1

2

H1 : Algún

J j

es distinto de 0

VE ( B) J 1

Si Ho es cierto, s B2

FB

s B2 s R2

mI

Si FB Diseño Experimentos

J

(y

j 1

y

j

s

F

0

2 R

E[ s B2 ]

2

)2 J 1 FJ

1; IJ ( m 1)

Se rechaza Ho 16

Contraste interacción AxB H0 :

11

12

H1 : Algún

ij

es distinto de 0

VE ( A B) ( I 1)( J 1)

2 Si Ho es cierto, s AB

2 s AB 2 sR

FAB Si FAB

0

IJ

F( I

2 E[ s AB ]

2

1)( J 1); IJ ( m 1)

Se rechaza Ho A y B interaccio nan

F

Diseño Experimentos

17

Tabla de análisis de la varianza Fuentes

Suma de

Grados de

Variabilid ad

Cuadrados

Libertad.

mJ

A

mI

B A B

m

( yij

(y

j

yi

Diseño Experimentos

y

( yijk

I 1

s A2

J 1

2 B

2

j

2 eijk

Residual Total

y )

y )2

F s

y )2

( yi

Varianza

y )2

s

( I 1)( J 1)

2 s AB

IJ (m 1)

sR2

2 A

sB2 2 s AB

p valor

sR2

pA

sR2

pB

s R2

p AB

n 1

18

Tabla de análisis de la varianza Fuentes

Suma de

Grados F p valor 23.2 .0000

Variabilid ad Cuadrados. Libertad. Varianza Veneno 1.033 0.516 2 Antídoto 0.921 3 0.307 Ven Ant 0.250 6 0.041 Residual

0.801

36

Total

3.005

47

13.8 1.87

.0000 .1123

0.022

Diseño Experimentos

19

Contrastes múltiples: Factor A

i j

H0 :

i

j

H1 :

i

j

yi yj

i

j

yi sR

R.R

R.R.

tIJ(m-1)

1/2

y i

y N(

i

j

,

j

yi

2

2

mJ

mJ

yj 2 mJ

Diseño Experimentos

t IJ ( m

/2

R. Acept. H0

yj

-t

t

/2

/2

)

yi

yj

t

/ 2 sR

1)

2 mJ

LSD

Se rechaza Ho 20

Contrastes múltiples: Factor B H0 :

i

j

H1 :

i

j

i

y

j

y

i

y

y

j

y N(

i

sR

tIJ(m-1)

1/2

i

j

R.R

R.R.

i

i

y

j

,

j

2 mI

y

j 2

2

mI

mI

y

i

/2

R. Acept. H0

j

-t

t

/2

/2

)

t IJ ( m

yi

1)

y

j

t

/ 2 sR

2 mI

LSD

Se rechaza Ho

Diseño Experimentos

21

Intervalos de confianza (interacción nula)

i

i

Diseño Experimentos

yi

y

t

j

t

/2

sR mJ

/2

sR mI

22

0.72

0.75

0.62

0.65

0.52

tiempo

tiempo

Intervalos de confianza

0.42

0.55 0.45

0.32

0.35

0.22

0.25

1

2

3

A

veneno

B

C

D

antidoto

Diseño Experimentos

23

Diagnosis: homocedasticidad 0.6

0.3

0.3

0

0

-0.3

-0.3

-0.6

-0.6

residuos

0.6

A B C D

antidoto Diseño Experimentos

1

2

3

veneno 24

Heterocedasticidad 0.6

residuos

0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

valores previstos Diseño Experimentos

25

probabilidad

Normalidad 99.9 99 95 80 50 20 5 1 0.1 -0.5

-0.25

0

0.25

0.5

Residuos Diseño Experimentos

26

Diagnosis: homocedasticidad datos transformados z=1/y 1.3

1.3

0.9

0.9

0.5

0.5

0.1

0.1

-0.3

-0.3

-0.7

-0.7

-1.1

-1.1

1

2

3

A B C D

veneno

antidoto

Diseño Experimentos

27

Datos transformados 1.2

residuos

0.8 0.4 0 -0.4 -0.8 -1.2 0

1

2

3

4

5

6

valores previstos Diseño Experimentos

28

probabilidad

Normalidad (datos transformados) 99.9 99 95 80 50 20 5 1 0.1 -1.2 -0.8 -0.4

0

0.4

0.8

1.2

Residuos Diseño Experimentos

29

Tabla de análisis de la varianza datos transformados 1/y Fuentes

Suma de

Grados

Variabilid ad Cuadrados. Libertad. Varianza Veneno 34.87 17.4 2 Antídoto 20.41 3 6.80 Ven Ant 1.57 6 0.26 Residual

8.68

36

Total

65.50

47

Diseño Experimentos

F p valor 72.6 .0000 28.3 1.09

.0000 .3867

0.24

30

Comparaciones múltiples 4

4

3.6

3.6

1/tiempo

1/tiempo

intervalos de confianza

3.2 2.8 2.4

3.2 2.8 2.4

2

2

1.6

1.6 1

2

3

1

veneno

2

3

4

antidoto

Diseño Experimentos

31

Comandos en R ARCHIVO TEXTO: venenos.txt

Diseño Experimentos

32

Dos factores con interacción

Diseño Experimentos

33

0.6 0.4

0.5

medias

0.5 0.4 0.2

0.3

0.3

medias

0.6

0.7

0.7

Intervalos de Confianza

I

II VEN

Diseño Experimentos

III

A

B

C

D

ANT

34

Tabla ANOVA

Diseño Experimentos

35

Comparaciones Múltiples

Diseño Experimentos

36

Comparaciones Múltiples

Diseño Experimentos

37

Interacciones

Diseño Experimentos

38

Diagnosis

Diseño Experimentos

39

Diagnosis (Transformación)

Diseño Experimentos

40

2.2 Bloques Aleatorizados

Ejemplo de introducción Fluorita M e z c l a

1 2 3 4 5 6

0%

1%

2%

3%

4%

15.02

11.86

9.94

12.45

13.23

8.42

10.15

8.54

6.98

8.93

18.31

16.84

15.86

14.64

15.96

10.49

10.52

8.04

10.50

10.34

9.78

9.59

6.96

8.15

9.24

9.28

8.84

7.04

6.66

9.46

Se desea estudiar el efecto de la Fluorita en la reducción del coste energético en la fabricación de cemento. Se emplean 6 mezclas distintas de materias primas. Diseño Experimentos

42

Modelo

Bloques

Tratamientos 1

2

I

1

y11

y21

yI1

2

y12

y22

yI 2

y1J

y2 J

y IJ

J

yij

i Normalidad

Independencia Homocedasticidad

: Media global i : Efecto del tratamiento i, i=1,...,I j : Efecto del bloque j, j=1,2,...,J uij : Componente aleatoria N(0, 2)

I i 1 i J j 1 j

Diseño Experimentos

43

Tratamientos ... 2

1

I

...

1 1

Bloques

uij

j

2

1

1

I

1

I

2

...

2 1

2

2

2

...

J 1

J

2

J

I

J

0

0

Estimación del modelo : i: j:

Parámetros :

y

1 i

I 1 J 1

2

:

Estimadore s : 2

1

J

y

J

yij

i

j

uij

yij

i

j

eij

i 1 j

( I 1)( J 1)

J

yij

yij

j 1

j

y y eij2

s R2 I

I

yij yi

j

yi y

i 1j 1

y

I

eij

n

yij yij

i

yi

j

y

y

j

Diseño Experimentos

45

Estimación 1

2

I

1

y11

y 21

y I1

y

1

y

1

y

2

y12

y 22

yI 2

y

2

y

2

y

J

y1J

y2 J

y IJ

y

J

y

J

y

y1

y2

yI

y

i

y1

y

Diseño Experimentos

y2

y

yI

j

y

46

Estimación (ejemplo) Fluorita M e z c l a

1 2 3 4 5 6

0%

1%

2%

3%

4%

15.02

11.86

9.94

12.45

13.23

12.50

1.77

8.42

10.15

8.54

6.98

8.93

8.60

-2.13

18.31

16.84

15.86

14.64

15.96

16.32

5.59

10.49

10.52

8.04

10.50

10.34

9.98

-0.76

9.78

9.59

6.96

8.15

9.24

8.74

-1.99

9.28 11.88 1.15

8.84 11.30 0.57

7.04 9.40 -1.34

6.66 9.90 -0.84

9.46 11.19 0.46

8.26

-2.48

10.73

j

i

Diseño Experimentos

47

Residuos: Varianza residual eij

yij

i

yij

j

yi

y

j

y

Fluorita M e z c l a

0%

1%

2%

3%

4%

1

1.37

-1.21

-1.22

0.79

0.27

2

-1.33

0.98

1.27

-0.79

-0.13

3

0.84

-0.05

0.88

-0.84

-0.82

4

-0.64

-0.02

-0.60

1.36

-0.10

5

-0.11

0.28

-0.45

0.24

0.04

6

-0.13

0.02

0.12

-0.76

0.74

sR2 Diseño Experimentos

eij2 ( I 1)( J 1)

17.51 0.88 20 48

Contraste de Hipótesis Si la Fluorita no influye, los I tratamientos son iguales a efectos de coste, entonces 1

2

H0 :

I i 1 i

I

1

2

H1 : Algún

0

0

I i

es distinto de 0

Diseño Experimentos

49

Análisis de la varianza yij

i

j

yij

i

j

eij

yij

y

( yi

y ) (y

j

y ) ( yij

yi

y

j

y )

yij

y

( yi

y ) (y

j

y ) ( yij

yi

y

j

y )

I

J

I

( yij

y )

J

I

2

i 1 j 1

I

uij

( yi

y )

i 1 j 1

J

( yij

y )

i 1 j 1

Diseño Experimentos

J

j

y )

eij2

i 1 j 1

y )

2

I

i 1 j 1

I

(y j 1

J

2

J

( yi i 1

I

(y

I 2

J

2

j

y )

J

2

eij2 i 1 j 1

50

Variabilidades I

J

VT

y )2

( yij i 1 j 1 I

VE (T )

J

y )2

( yi i 1 J

VE ( B)

I

VT (y

y )

j

j 1 I

(n 1) ( I 1) ( J 1) ( I 1)( J 1)

J 2 ij

VNE

VE (T) VE (B) VNE

2

e i 1 j 1

Diseño Experimentos

51

Contraste sobre tratamientos H0 :

1

H1 : Algún sR2

2

I i

VNE ( I 1)( J 1)

FT

( yi

Diseño Experimentos

s R2

F

E[ sT2 ]

2

y )2 I 1

i 1

sR2

Si FT

2

VE(Tratamient os) I 1 I

sT2

es distinto de 0 E[ s R2 ]

Si Ho es cierto, sT2 J

0

FI

1; ( I 1)( J 1)

Se rechaza Ho 52

Explicación del contraste Si Ho es cierto yi

yi1

0

i

yi 2

yij yiJ

j, J j 1

J

E[ y i ]

,

J

N(

2

)

j

J 2

y1 , y 2 ,..., y I I

y

y1

y2

J

yI

sT2

I

N( ,

J

) I

( y i - y )2

J

i 1

i 1

E

I 1

( y i - y )2

2

I 1

Cuando Ho es cierto, sT2 y sR2 serán parecidas. Cuando Ho es falso, sT2 será mayor que sR2 . Diseño Experimentos

53

Contraste de bloques H0 :

1

2

H1 : Algún

J

FB

s B2

(y j 1

s R2

Si FB Diseño Experimentos

j

j

E[ sB2 ]

2

y )2 J 1 s R2

F

0

es distinto de 0

VE(Bloques ) J 1

Si Ho es cierto, sB2

I

J

FJ

1; ( I 1)( J 1)

Se rechaza Ho 54

Tabla de análisis de la varianza Fuentes

Suma de

Grados de

Variabilidad

Cuadrados

Libertad.

Tratamient o

Bloque

J

I

y )2

( yi (y

j

eij2

Residual Total

Diseño Experimentos

y )2

( yij

y )2

I 1

Varianza sT2

J 1

s B2

( I 1)( J 1)

s R2

F sT2 s B2

p valor

s R2

pT

sR2

pB

n -1

55

Tabla de análisis de la varianza

Diseño Experimentos

56

Sin bloques

Diseño Experimentos

57

Intervalos de confianza (ejemplo) i

yi

t

/2

sR J

Fluorita

Medias

L.inf.

L.Sup.

0% 1% 2% 3% 4%

11.88 11.30 9.40 9.90 11.19

11.09 10.50 8.60 9.10 10.40

12.68 12.10 10.19 10.69 11.99

Diseño Experimentos

58

11 10 9

medias

12

Intervalos de Confianza (% Fluorita)

0

1

2

3

4

FLUO Diseño Experimentos

59

14 12 8

10

medias

16

Intervalos de Confianza (Mezcla)

1

2

3

4

5

6

MEZ

Diseño Experimentos

60

Contraste multiples: tratamientos H0 :

i

j

H1 :

i

j

i

yi

y

j

yj

y

j

N(

yi

yj

i

sR

R.R

R.R.

t(I-1)(J-1)

1/2 j

yi

2

2

i

i

j,

J

t( I

2 J

/2

R. Acept. H0

yj

-t

t

/2

/2

)

J

yi

1)( J 1)

yj

t

/ 2 sR

2 J

Se rechaza H 0

LSD

Diseño Experimentos

61

Contraste multiples: bloques H0 :

i

j

H1 :

i

j

i

y

j

y

i

y

j

y

y

j

N(

i

y

sR

2 I

t(I-1)(J-1)

1/2

i

j 2

i

R.R

R.R.

i

j

j,

t( I

Diseño Experimentos

I

y

i

y

R. Acept. H0

j

-t

2

I

1)( J 1)

/2

t

/2

/2

)

y

i

y

j

t

/ 2 sR

2 I

Se rechaza H 0

LSD 62

Comparación de medias Fluorita LSD

t

s

/2 R

2 J

2.085 0.93

2 6

0% 1% 2% 3% 4%

0% 0

LSD = 1.13 1% 2% 3% 0,58 2,49 1,99 0 1,90 1,40 0 -0,50 0

4% 0,69 0,11 -1,80 -1,30 0

1.13

Mezcla LSD

t

s

/2 R

1 2 3 4

2 I

2.085 0.93

2 5

1 0,00

2 3,90 0

LSD=1.24 3 4 -3,82 2,52 6,60 -1,37 0 6,34 0

5 6

5 3,76 -0,14 7,58 1,23

6 4,24 -0,35 8,07 1,72

0

0,49 0

1.24 Diseño Experimentos

63

Comparación de medias (Tukey)

4-3

4-2

3-2

4-1

3-1

2-1

4-0

3-0

2-0

1-0

95% family-wise confidence level

-4

-2

0

2

Differences in mean levels of FLUO

Diseño Experimentos

64

Comparación de medias (Tukey)

6-5

5-4

5-3

6-2

4-2

6-1

4-1

2-1

95% family-wise confidence level

-10

-5

0

5

10

Differences in mean levels of MEZ

Diseño Experimentos

65

Diagnosis: Homocedasticidad

2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2

Gráfico de residuos 2 1.5 1 0.5 0 -0.5 -1 -1.5 -2

0

1

2

3

4

5

6

Mezcla 1.6

0

1

2

Fluorita

3

4

residuos

1.2 0.8 0.4 0 -0.4 -0.8 -1.2 -1.6 5

10

15

Valores previstos

20

Diagnosis

Diseño Experimentos

2.3 Diseños Factoriales (tres factores)

67

Diseño con tres factores Factor A A1 A2 A3 A4 A5 A6

Factor B

B1 B2 B3 B4 B5 C1 C2 C3

Factores A, B y C con NA, NB, Nc niveles. Nº de Tratamientos T=NAxNBxNc Efectos principales 3 A, B , C Interacciones de orden dos 3 AxB, AxC, BxC Interacción de orden tres 1. AxBxC

Tratamiento: Cada combinación de niveles de los factores 6 x 5 x 3 = 90 Diseño Experimentos

69

K factores con N1, N2, ..., NK niveles K efectos principale s con N i 1 grados de libertad cada uno K 2

interaccio nes de orden 2, con (N i 1 )(N j 1 ) grados

de libertad K 3

interaccio nes de orden 3, con (N i 1 )(N j 1 )(N k 1 )

grados de libertad ... K K

1 interacció n de orden k, con (N 1 1 )(N 2 1 )

(N K 1 )

grados de libertad Diseño Experimentos

70

Datos

Factor 1

11

Factor 2

11

2

...

JJ

11

22

y1111

Factor 3 1

22 ......

K K

11

22

y1121

y11K 1

y 2111

y1112

y1122

y11K 2

y111 M 11

y112 M 22

y1211

2 II

...

K K

K K

11

22

y 2121

y11K 1

y I 111

y I 121

y I 1K 1

y 2112

y 2122

y11K 2

y I 112

y I 122

y I 1K 2

y11KM K K

y 211 M 11

y 212 M 22

y11KM K K

y I 11M 11

y I 12 M 22

y1221

y12 K1

y 2211

y 2221

y 22 K 1

y I 211

y I 221

y I 2K1

y1212

y1222

y12 K 2

y 2212

y 2222

y 22 K 2

y I 212

y I 222

yI 2K 2

y121 M

y122 M

y12 KM

y 221 M

y 222 M

y 22 KM

y I 21M

y I 22 M

y I 2 KM

11

22

K K

11

22

KK

11

22

y1J 11

y1J 21

y1JK1

y 2 J 11

y 2 J 21

y 2 JK1

y IJ 11

y IJ 21

y IJK1

y1J 12

y1J 22

y1JK 2

y 2 J 12

y 2 J 22

y 2 JK 2

y IJ 12

y IJ 22

y IJK 2

y1J 1M

y1J 2 M

y1JKM

y 2 J 1M

y2 J 2M

y 2 JKM

y IJ 1M

y IJ 2 M

y IJKM

......

......

......

...

......

... ...

... ...

y I 1KM KK

... ...

K K

......

Diseño Experimentos

71

Ejemplo: Proceso químico Concentración 1 4% 2 6% 3 8% 4 10%

Tres factores:

Temperatuta T-1 300º C T-2 320º C

Catalizador C-1 Ag C-2 Ag+Zn C-3 Zn

Variable respuesta: Rendimiento del proceso químico. CONCENTRACIÓN

CATALIZADOR

1

2

3

4

T-1

T-2

T-1

T-2

T-1

T-2

T-1

T-2

C-1

72.2 74.4 64.3

65.0 71.6 61.9

74.4 66.3 66.5

69.2 71.8 64.6

75.0 78.9 64.3

70.7 80.6 73.4

80.0 65.0 82.1

73.0 74.4 78.8

T-1

T-2

T-1

T-2

T-1

T-2

T-1

T-2

C-2

62.5 65.8 71.2

75.9 72.9 77.8

70.8 63.9 76.6

79.2 80.1 75.3

76.3 79.1 89.0

83.3 88.0 84.7

72.3 72.4 75.6

80.3 86.9 86.3

T-1

T-2

T-1

T-2

T-1

T-2

T-1

T-2

C-3

69.0 70.3 68.8

73.8 59.2 80.8

69.0 68.2 78.7

84.5 93.7 80.1

72.8 73.7 80.7

94.1 87.3 89.0

78.4 79.9 80.3

87.5 79.7 79.5

Diseño Experimentos

72

K

Modelo yijkm

i

j

k

I i 1 i

0

J j 1

ij

J j 1

0

K k 1

ik

0

J j 1

j

K k 1 k I ijk i

0,

ij

I i 1

ij

0,

j

0,

i

I i 1

ik

0,

k

k

K k 1

0, J j

0,

ijk

j

K k

i, k ;

I

0,

jk

J

uijkm

ijk

i

Normalidad

uijkm

jk

0,

jk

j, k , ;

ik

0,

ijk

i, j.

K tratamientos

M replicaciones

Independencia

Homocedasticidad

J

n = I

K

M

Diseño Experimentos

73

Medias yijkm

i I

j

k

ij

ik

jk

ijk

uijkm

J K M

yijk y

i 1 j 1k 1m 1

IJKM J K M

I

yijkm yi

j 1k 1m 1

JKM

y

i 1 k 1m 1 j

y

IKM J M

k 1m 1

KM

yi

j 1m 1 k

JM

i 1 j 1m 1 k I

yijkm

yijkm

J M

yijkm

yijkm

K M

y ij

I

K M

IJM K

yijkm y

i 1k 1 jk

IM

M

yijkm y ijk

m 1

M

Diseño Experimentos

74

Medias: Proceso químico Concentración

Catalizador

C-1 C-2 C-3

1 68.2 71.0 70.3 69.9

2 68.8 74.3 79.0 74.1

3 73.8 83.4 82.9 80.1

4 75.6 79.0 80.9 78.5

71.6 76.9 78.3 75.6

Temperatura

T-1 T-2

1 68.72 70.99 69.9

2 70.49 77.61 74.1

3 76.64 83.46 80.1

4 76.22 80.71 78.5

73.02 78.19 75.6

C-1 C-2 C-3

T-1

T-2

71.95 72.96 74.15 73.02

71.25 80.89 82.43 78.19

1 C-1 C-2 C-3

71.6 76.9 78.3 75.6

2

3

4

T-1

T-2

T-1

T-2

T-1

T-2

T-1

T-2

70.30 66.50 69.37

66.17 75.53 71.27

69.07 70.43 71.97

68.53 78.20 86.10

72.73 81.47 75.73

74.90 85.33 90.13

75.70 73.43 79.53

75.40 84.50 82.23

Diseño Experimentos

75

Estimación del modelo j

y yi y

k

y

i

I 1 J 1

k

y

K 1

ij

y ij

ik

yi

k

jk

y

jk

ijk 2

j

y y

s R2

y ijk

yi

y

yi

y

y

j

y ij

y

j

( I 1)( J 1)

y

k

( I 1)( K 1)

y

k

y

yi

k

y

2 eijkm

IJK ( M 1)

Diseño Experimentos

;

( J 1)( K 1) jk

eijkm

yi

y

yijkm

y ijk

j

y

k

y

( I 1)( J 1)( K 1)

76

Modelo estimado yijkm

i

yijkm

j

y

k

yi y ij

ij

y

y

yi

y y

yi

k

yi

y

jk

y

y ijk

y ij

yijkm

y ijk

y

y

jk

yi

ijk

uijkm

y

k

y

k

yi

j

jk

y

j

y

j

ik

y

k

y

k

y

y

j

y

k

Diseño Experimentos

77

Descomposición de la variabilidad I

J K M

yijkm

2

y

i 1 j 1k 1m 1

JKM

yi

2

y

IKM

i

y

j

2

IJM

j

KM

y ij i

y

2

y

2

k

y

y

2

k

yi

k

y

y

k

yi

y

jk

y

j

k

2

y

k

y

yi

y

j

JM

yi i k

IM

y

j

j k

M i

i

y ijk

y ij

yijkm

y ijk

jk

yi

y

j

y

k

y

2

j k 2

j k m

Diseño Experimentos

78

Variabilidades I

J K M

VT

yijkm

2

y

VE ( A)

JKM

i 1 j 1k 1m 1

VE ( B )

IKM

y

2

y

j

y ij i

VE (C )

IJM

y

k

y

2

yi

y

k

yi

y

jk

y

y

y

2

y

2

k

y

2

k

j

j

JM

yi i

VE ( B C )

2

k

KM

VE ( A C )

y

i

j

VE ( A B )

yi

k

IM

y

j

j k

VE ( A B C )

M

y ijk i

VNE

yi

k

y

jk

yi

y

j

y

k

2

y

j k

yijkm i

y ij

y ijk

2

j k m

Diseño Experimentos

79

Grados de libertad DESCOMPOSI CIÓN DE LA VARIABILID AD VT

VE ( A) VE ( B ) VE (C ) VE ( A B ) VE ( A C ) VE ( B C ) VE ( A B C ) VNE GRADOS DE LIBERTAD

(n 1)

( I 1) ( J 1) ( K 1) ( I 1)( J 1) ( I 1)( K 1) ( J 1)( K 1) ( I 1)( J 1)( K 1) IJK ( M 1)

Diseño Experimentos

80

Tabla ANOVA FUENTE VARIABILID AD A

JKM

yi

Gr . de Lib. 2

y

I 1

Varianzas F s A2 s2

J 1

s B2

s B2

K 1

sC2

( I 1)( J 1)

2 s AB

( I 1)( K 1)

2 s AC

( J 1)( K 1)

2 s BC

A

i

B

y

y

2

j

y

y

2

k

IKM j

C

IJM

sC2

k

A B

KM

y ij i

A C

2

y

2

k

y

y

2

k

yi

k

y

y

k

yi

y

jk

y

j

yi i

y

j

j k

M A B C

( y ijk

y ij

...

jk

j k

... y i Residual

yijkm i I

s R2

2 s AB 2 s AC

k

IM i

s R2

j

JM

B C

y

yi

s R2

y

y

j 2

y ijk

yijkm

2

y

s R2 s R2

2 s ABC

s R2

s R2

IJK ( M 1)

j k m J K M

Total

k

)2

y

2 ( I 1)( J 1)( K 1) s ABC

2 s BC

s R2

IJKM 1

i 1 j 1k 1m 1

Diseño Experimentos

81

Contraste efecto principal de factor A H0 :

1

H1 : Algún

2 i

es distinto de 0

I

FA

s A2 s R2

FI

JKM

0

I

( yi

y

)2 I 1

i 1

FI

s R2 1; IJK ( M 1)

Si FA

F

1; IJK ( M 1)

No se rechaza Ho

RR

Si FA

F

Se rechaza Ho

F Diseño Experimentos

82

Contraste interacción AxB H0 :

11

H1 : Algún

ij

es distinto de 0 VE ( A B) ( I 1)( J 1)

2 Si Ho es cierto, s AB

FAB Si FAB

2 s AB

F( I

s R2

0

IJ

12

1)( J 1); IJK ( M 1)

Se rechaza Ho A y B interaccio nan

F

Diseño Experimentos

83

Contraste interacción AxBxC H0 :

111

112

H1 : Algún

ijk

IJK

0

es distinto de 0

Si Ho es cierto

FABC

2 s ABC

Si FABC Diseño Experimentos

F( I

s R2

F

1)( J 1)( K 1); IJK ( M 1)

Se rechaza Ho 84

Análisis de la varianza

Diseño Experimentos

85

Interpretación El efecto principal del factor concentración influye significativamente (p-valor =0.0000) en el rendimiento. Más adelante se compararán las medias de los cuatro niveles de este factor. Este factor no interacciona con ningún otro. Los efectos principales de catalizador y de la temperatura son significativos, además es muy significativa la interacción de los dos factores (p-valor 0.0064). La comparación de medias de estos factores debe ser conjunta. Diseño Experimentos

86

Contrastes múltiples: Factor A H0 :

i

j

H1 :

i

j

i

yi

y

j

yj

y

i

j

yi

/2 i

j

j,

i

JKM

yj

yi

-t

2

JKM

/2

R. Acept. H0

yj

t

/2

/2

)

t IJK ( M

2 JKM

sR

tIJK(M-1)

1-

2

N(

R.R

R.R.

Si yi

1)

yj

t

s

/2 R

2 , JKM

se rechaza Ho

Diseño Experimentos

87

78 76 74

medias

72

74

76

medias

75 k1

k2

k3

k4

con

Diseño Experimentos

70

72

70

medias

78

80

80

80

Intervalos de Confianza

t1

t2 temp

c1

c2

c3

cat

88

Interacción: Cat. x Temp. C-1 C-2 C-3

T-1

T-2

71.95 72.96 74.15 73.02

71.25 80.89 82.43 78.19

71.6 76.9 78.3 75.6

Medias

Interacción Cat x Temp 84.00 82.00 80.00 78.00 76.00 74.00 72.00 70.00

Temp - 1 Temp - 2

0

1

2

3

4

Catalizador

Diseño Experimentos

89

Selección de temperatura y catalizador.

Las mejores combinaciones corresponden a la temperatura 2, con el catalizador 2 o el 3. Diseño Experimentos

90

2.0

3.0 con

4.0

1.4

-5

0

5

10 1.0

-10

-5

0

5

residuals(mod_qui)

10 1.0

-10

residuals(mod_qui)

5 0 -5 -10

residuals(mod_qui)

10

Diagnosis del modelo

1.8

temp

1.0

1.5

2.0

2.5

cat

Diseño Experimentos

91

Instrucciones de R utilizadas ARCHIVO TEXTO: quimico.txt

Diseño Experimentos

92

3.0

Análisis de 3 factores con menos observaciones Cuando no existe interacción de orden tres. No es necesario replicar para analizar el experimento. La variabilidad explicada por el término A B C se convierte en Variabilidad Residual con (I-1)(J-1)(K-1) grados de libertad. Las expresiones anteriores siguen siendo válidas, sustituyendo M=1 (sin replicación) y con (I-1)(J-1)(K-1) como grados de libertad de la varianza residual.

Cuando no existe ninguna interacción Se puede reducir considerablemente el número de observaciones si el número de niveles de los tres factores es el mismo: CUADRADO LATINO

Diseño Experimentos

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Tabla ANOVA tres factores (sin replicación) FUENTE VARIABILID AD A

JK

yi

Gr . de Lib.

y

2

I 1

Varianzas F s A2 s2

J 1

s B2

K 1

sC2

( I 1)( J 1)

2 s AB

( I 1)( K 1)

2 s AC

( J 1)( K 1)

2 s BC

A

i

B

y

y

2

j

y

y

2

k

IK

s B2

j

C

IJ k

A B

K

y ij i

A C B C

2

y

2

k

y

y

2

k

yi

k

y

y

k

yi

y

jk

y

j

yi y

j

j k

( yijk Residual

y ij

2 s AB 2 s AC

y

J K

Total

yijk

y

j 2

y

k

2 s BC

s R2 s R2 s R2

...

jk

j k

... y i I

s R2

k

I i

s R2

j

J i

y

yi

sC2

s R2

y

)

2

( I 1)( J 1)( K 1) s R2

IJK 1

i 1 j 1k 1

Diseño Experimentos

94

Ejemplo: Obleas Horno AS 1 1 2 1 2 2 1 3 2 1 4 2

1 122.2 138.4 131.0 147.4 120.5 140.6 100.0 117.0

Temperatura 2 103.2 144.3 133.4 138.0 102.8 126.6 105.8 134.4

3 115.8 159.8 121.8 147.5 120.0 141.9 114.7 131.7

Se ha realizado un experimento para analizar la influencia de la temperatura y el acabado superficial (AS) en el espesor de óxido conseguido en obleas de silicio. El experimento se repitió en cuatro hornos diferentes. ( Cada uno de los datos del cuadro representa la media de los espesores medidos en el centro de cada una de las 30 obleas que caben en un horno)

Diseño Experimentos

95

ANOVA: Obleas

Diseño Experimentos

96

Comparación de medias

El AS que produce mayor espesor es el 2 El horno que produce media mayor es el 2, aunque no es significativamente distinto del 1. Diseño Experimentos

97

Cuadrado latino Permite analizar tres factores con K niveles cada uno, utilizando sólo K2 observaciones. Deben ser nulas las interacciones de orden 2 y orden 3. Diseño Experimentos

1

2

3

4

5

1

C

A

D

B

E

2

D

C

B

E

A

3

E

B

A

D

C

4

B

E

C

A

D

5

A

D

E

C

B

98

Ejemplo: Aditivos gasolina Una organización de consumidores estudió la eficacia de cinco aditivos que según los fabricantes reducían el consumo de combustible. Se realiza un diseño experimental con cinco conductores, cinco vehículos y cinco aditivos, eligiendo las 25 combinaciones que se muestran en la tabla, junto con una medida del consumo. 1

Conductor

1 2 3 4 5

Vehículo 3

2

C

A

71

D

64

D

C

65

B

B

63 66 D

73

A

77 A

85 D

79

70

82 C

74

E

Aditivo A B C D E

82

82 D

C

77

A

E

A

E

78

81

68

B

5 E

68

64

E

4 B

88 C

74 B

78

80

88

Diseño Experimentos

99

Modelo: Cuadrado Latino yij (k )

i

j

k

uij ( k )

1

2

3

4

5

1

y11(3)

y 21(1)

y31( 4)

y 41( 2)

y51(5)

2

y12 ( 4)

y 22 (3)

y32 ( 2)

y 42 (5)

y52 (1)

3

y13(5)

y 23( 2)

y33(1)

y 43( 4)

y53(3)

4

y14 ( 2)

y 24 (5)

y34 (3)

y 44 (1)

y54 ( 4)

5

y15 (1)

y 25 ( 4)

y35 (5)

y 45 (3)

y55 ( 2)

K i 1 i

0

K j 1

j

0

K k 1 k

0

Normalidad

uij (k )

Independencia

K2 Observaciones

Homocedasticidad Diseño Experimentos

100

Estimación yij ( k )

i

K K

( )

K

K

yij ( k )

i 1j 1

yi

2

y

y

K

y

K

k 1 (k )

K

( )

yi

( )

j

y

j( )

y

( )

K 1

k

y

(k )

y

( )

K 1

y

yij ( k )

2

yij ( k )

i 1 j( )

i

eij ( k )

K

yij ( k )

j 1 ( )

uij ( k )

k

K

yij ( k ) y

j

K 1

( )

yi

y

( )

j( )

2 ij ( k )

e

s R2

( K 1)( K 2)

y

(k )

2y

( )

;

Diseño Experimentos

101

Descomposición de la variabilidad yij ( k ) yij ( k )

y

( )

( yi

K K

i

y

( )

( ))

(y

j( )

y

j j( )

uij ( k )

k

y

( ))

K

y

(y

(k )

y

( ))

eij ( k )

2

yij ( k )

y

( )

yi

y

( )

i 1j 1

K

( )

2

K

i

y j

2 ( )

(k )

y

2

eij ( k )

( )

k

i

2

j

Grados de Libertad ( K 2 1)

( K 1) ( K 1) ( K 1) ( K 1)( K 2)

Diseño Experimentos

102

Tabla ANOVA FUENTE VARIABILID AD A

K

yi

( )

y

j( )

y

(k )

y

2 ( )

Gr. de Lib.

Varianzas

K 1

s A2

K 1

sB2

K 1

sC2

F s A2

i

B

K

y

2 ( )

s B2

j

C

K

y

2 ( )

k

eij2( k )

Residual i K

yij ( k )

sR2 sR2

( K 1)( K 2) sR2

j K

Total

sC2

sR2

y

2 ( )

K2 1

i 1 j 1

Diseño Experimentos

103

Tabla análisis de la varianza

Diseño Experimentos

104

75 65

70

medias

80

85

Comparación: vehículos

1

2

3

4

5

VEH

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105

Dise˜ no de experimentos 1. En una planta piloto se obtiene un nuevo producto mediante un proceso qu´ımico. Con el fin de mejorar el rendimiento se emplean dos catalizadores distintos y se trabaja con tres temperaturas diferentes. Los resultados del experimento son

Catalizador A B

Temperatura 20 300 400 115 125 130 140 110 120 115 105 135 145 100 110 0

(a) Contrastar si los factores Temperatura y Catalizador tienen efectos significativos. (α = 0.05) (b) ¿Qu´e tratamiento se debe utilizar para obtener el mayor rendimiento, si se desea garantizar una probabilidad de error tipo I total, αT = 0.03? 2. Se pretende estudiar el efecto que produce los factores (1) Porcentaje de algod´on (10%, 20% y 30%) (2) Tipo de confecci´on (A y B) en la resistencia al desgaste de ciertos tejidos de fibra sint´etica. Se ha realizado el siguiente dise˜ no con tres replicaciones

A

B

10% 20% 30% 115 120 126 112 135 118 133 139 142 107 110 132 114 102 114 108 117 125

(a) Construir la tabla de An´alisis de la Varianza y contrastar la influencia de los dos factores y la presencia de la interacci´on. (b) Hacer un contraste de diferencia de medias y decidir el tratamiento m´as adecuado para conseguir la mayor resistencia al desgaste. 3. Cierto Organismo P´ ublico (O.P.) encargado de certificar la composici´on de aleaciones de metales preciosos, debe seleccionar entre dos Laboratorios al m´as capacitado para la realizaci´on de futuros an´alisis de gran precisi´on. Para tomar la decisi´on les somete a la siguiente prueba: Prepara tres aleaciones A, B y C que contienen proporciones distintas de oro. De cada una de ellas env´ıa cuatro muestras a cada uno de los dos laboratorios. As´ı pues, cada laboratorio recibe un lote de 12 muestras (codificadas) ordenadas aleatoriamente sin conocer como han sido obtenidas. Los resultados recibidos por el O.P. son (entre par´entesis las medias de las casillas):

1

Lab. I

Lab. II

Aleac. A 10.96 11.03 11.08 11.01 (11.02) 10.97 10.96 10.94 10.95 (10.955)

Aleac. B 10.95 11.00 11.04 10.97 (10.99) 10.97 10.96 10.97 10.98 (10.97)

Aleac. C 11.07 11.01 10.97 11.03 (11.02) 11.02 11.00 11.01 11.01 (11.01)

(a) Determinar si existen diferencias entre los resultados de los laboratorios y si ´estos han encontrado diferencias entre las aleaciones. (b) Aceptando que los datos cumplen la hip´otesis de normalidad, indicar si podemos aceptar que verifican el resto de las hip´otesis del modelo y en caso negativo que medidas se deben adoptar para analizar los datos. (c) Realizar un test de raz´on de varianzas para contrastar que las varianzas de los dos laboratorios son iguales, sabiendo que las tres aleaciones tienen composici´on distinta. Interpretar el resultado. (d) El O.P. conoce ex´actamente el porcentaje en oro de la aleaci´on A (11 %), de la B (11.02 %) y de la C (11.04 %). Con esta informaci´on comparar los resultados de los laboratorios. 4. Complete la tabla ADEVA siguiente y diga de que dise˜ no se trata.

Factor 1 Factor 2 Factor 3 Int. Segundo orden Int. Tercer orden TOTAL

Suma de Cuad. 20 5

G.L. 2

Varianzas 1.25 10 0.25

44

29

5. Se ha realizado un dise˜ no factorial sin replicaci´on con tres factores A, B, C con 5, 5 y 4 niveles respectivamente. Si la interacci´on de tercer orden es nula, obtener la descomposici´on de la variabilidad e indicar los grados de libertad de cada t´ermino. 6. Para estudiar el efecto de tres factores (A,B,C) en el tiempo de fraguado del hormig´on se ha realizado un experimento factorial completo a dos niveles con tres replicaciones (24 datos en total). Los resultados de la estimaci´on han sido: Media 92.5

A B AB 2.4 3.3 8.5

C AC BC ABC 15.0 -1.4 2.65 0.72

Teniendo en cuenta que la varianza residual obtenida es sˆ2R = 18.8, indicar qu´e efectos son significativos para un nivel de significaci´on α = 0.05. 2

7. Una caracter´ıstica de la calidad de la gasolina es su ´ındice de octanos. Una refiner´ıa de petr´oleo tiene cinco f´ormulas que pueden emplearse para la obtenci´on de gasolina con plomo o sin plomo. (a) Para determinar que f´ormula proporciona mayor ´ındice de octanos, con cada una de ellas se ha repetido 10 veces en el laboratorio el proceso de fabricaci´on de gasolina con plomo. Si el coeficiente de determinaci´on del an´alisis de la varianza de los resultados es igual a 0.20, contrastar con α = 0.05 si existen diferencias entre las cinco f´ormulas para este tipo de gasolina. (b) Los valores medios (¯ yi• ) para cada f´ormula son: F´ormula 1 Media 89.2

2 3 4 5 90.1 90.7 90.5 89.5

Contrastar con α = 0.05 que f´ormulas proporcionan ´ındices de octanos significativamente distintos y cuales no. (c) Debido a los problemas medio-ambientales gran parte de la producci´on futura debe estar libre de plomo. Para determinar que f´ormula de las anteriores produce mejores resultados en cuanto al ´ındice de octanos , se realizo un dise˜ no experimental similar al anterior (cinco f´ormulas, 10 observaciones en cada f´ormula) para la obtenci´on de gasolina sin plomo. El coeficiente de determinaci´on en este caso es igual a 0.25 y el ´ındice medio para cada f´ormula es,

F´ormula 1 2 3 4 5 Media 88.0 89.5 88.5 90.2 89.8 Contrastar (α = 0.05) si existe interacci´on entre los factores tipo de gasolina (con y sin plomo) y f´ormula. 8. Para comprobar las propiedades de rigidez de dos materiales A y B a tres temperaturas se ha realizado un experimento con 4 replicaciones. Las medias se proporcionan en la tabla. Teniendo en cuenta que la varianza residual ha sido 1.69 y que el an´alisis de la varianza ha indicado: (1) que existen diferencias significativas entre los dos materiales, (2) que no existen diferencias entre las tres temperaturas y (3) que la interacci´on de los dos factores es muy significativa, calcula y dibuja los intervalos de confianza (α = 0.01) para la comparaci´on de los dos materiales, de las tres temperaturas y de la interacci´on. Interpretar los resultados.

3

9. Para estudiar la influencia de la temperatura y la presi´on sobre el rendimiento de un proceso qu´ımico se ha realizado un experimento con 5 valores de presi´on y 4 valores de temperatura. Los resultados se muestran en la tabla siguiente.

Presi´on

1 2 3 4 5

Medias

Temperatura 10 20 65,58 96,71 66,32 101,5 74,42 99,81 80,24 104,11 79,61 112,14 73,24 102,85

30 124,20 130,37 134,63 138,42 143,58 134,24

40 156,63 161,38 160,59 166,96 170,68 163,19

Medias 110,71 114,89 117,36 122,43 126,50 118,38

(a) Considere solamente el efecto de la presi´on y estudie si es significativo (α = 0, 05), sabiendo que las varianzas muestrales corregidas para los datos correspondientes a cada presi´on son b s21 = 149, 85; b s22 = 164, 62; b s23 = 143, 95; b s24 = 145, 11; b s25 = 154, 94.

(b) Incorpore el efecto de la temperatura en un modelo adecuado para los datos. Interprete el resultado.

(c) Calcule un intervalo de confianza al 95% para la varianza del error experimental de los modelos de los dos apartados anteriores. Interprete las diferencias. 10. Se desea estudiar la fuerza de percusi´on de una perforadora en funci´on de la VELOCIDAD de giro (baja y alta) y de un coeficiente mec´anico que denominaremos RATIO (0.15, 0.30, 0.45 y 0.60). Se ha experimentado en las ocho posibles combinaciones de ambos factores, replicando cada experimento dos veces. Los resultados se muestran en la tabla siguiente

Vel. Baja Vel. Alta Media

0.15 0.30 0.45 0.60 Media 270 245 260 275 266.875 278 249 272 286 283 285 286 294 286.125 286 280 287 288 279.25 264.75 276.25 285.75 276.5

Las variabilidades explicadas por el RATIO, la VELOCIDAD y la interacci´on RAT x VEL son respectivamente 925, 1482.25 y 418,75 y la Variabilidad Total es 3034. (a) Completa la tabla de an´alisis de la varianza e indica qu´e efectos son significativos para α = 0.05. (b) Interpreta el resultado, indicando c´omo influye el RATIO y la VELOCIDAD en la fuerza de la perforadora. Dibuja el gr´afico que permite interpretar la interacci´on. Proporciona el intervalo de confianza para la media de la combinaci´on RATIO 0.30, y VELOCIDAD baja.

4

(c) Cada tratamiento tiene dos observaciones, llamando Dij = |Yij1 − Yij2 | , al valor absoluto de la diferencia de estas observaciones, demuestra que Dij2 → χ21 2σ2 2 y que SD =

P2

i=1

P4

j=1

16

2 Dij

es un estimador centrado de la varianza del modelo factorial.

(d) Sup´on que la varianza de las observaciones a velocidad baja es σ 21 y de las observaciones a velocidad alta es σ 22 . Utilizando el resultado del apartado 3, realiza el siguiente contraste con nivel de significaci´on 0.05, H0 : σ 21 = σ 22 H1 : σ 21 6= σ 22

11. Cuando un lenguaje de alto nivel es compilado, el tiempo de ejecuci´on depende del compilador. Un ingeniero de software desea comparar tres compiladores (A, B y C), para ello ha seleccionado 5 programas muy distintos, cada uno de los cuales ha sido compilado por los tres compiladores. Los tiempos de CPU se proporcionan a continuaci´on: A B C Medias

1 122.9 113.8 131.2 122.7

2 147.4 135.1 152.8 145.1

3 189.6 173.8 192.7 185.3

4 200.9 199.3 219.8 206.7

5 Medias 307.3 193.6 296.6 183.7 318.9 203.1 307.6

La variabilidad total es 62899.2, y las variabilidades explicadas por el tipo de compilador y tipo de programa son 937.2 y 61868.9, respectivamente. Da un intervalo de confianza (95%) para la diferencia de las medias entre los dos compiladores m´as r´apidos. 12. Se ha realizado el an´alisis de la varianza de un dise˜ no con un u ´ nico factor a 10 niveles con 6 observaciones para cada nivel. El nivel cr´ıtico que muestra la tabla ADEVA es p = 0.5832. Los niveles cr´ıticos de los contrastes individuales de igualdad de medias son mayores de 0.05 para todas las parejas excepto para la comparaci´on entre los niveles 3 y 7 que ha sido igual a 0.0405. ¿Es posible este resultado? ¿Qu´e se puede concluir del an´alisis? ¿Qu´e procedimiento sugiere para realizar los contrastes individuales? 13. Se ha realizado un dise˜ no factorial sin replicaci´on con tres factores A, B, C con 5, 5 y 4 niveles respectivamente. Si la interacci´on de tercer orden es nula, obtener la descomposici´on de la variabilidad e indicar los grados de libertad de cada t´ermino. 14. Sea un dise˜ no factorial con 4 factores a 3, 4, 2 y 5 niveles. Calcular el n´ umero de par´ametros totales correspondientes a efectos principales e interacciones de orden 2, 3 y 4. 5

15. Un ingeniero ha estudiado el efecto que tienen 5 niveles de iluminaci´on en una operaci´on de ensamblado. El departamento en el que se ha experimentado tiene cuatro estaciones de trabajo, que representan una fuente potencial de variabilidad. Para cada estaci´on de trabajo y nivel de iluminaci´on se ejecut´o la operaci´on de ensamblado, midiendo la holgura en micras. Los resultados fueron: ESTAC. 1 2 3 4 y¯•j

ILUMINACION 1 2 3 4 5 y¯i• 131 116 88 75 104 102.8 92 96 97 70 75 86.0 128 129 99 94 105 111.0 121 107 84 89 86 97.4 118 112 92 82 92.5 y¯•• = 99.3

(a) Contrastar (α = 0.05) si la iluminaci´on o la estaci´on de trabajo influye en los resultados del ensamblado. (b) Comparar los niveles de iluminaci´on y los niveles de las estaciones de trabajo. Indicar en cada caso cuales se pueden considerar distintos y cuales no. (c) Calcular la varianza te´orica del valor medio previsto para cada observaci´on. (d) Explicar por qu´e no se debe contrastar la hip´otesis H0 : µ1 = µ2 = ... = µm del modelo b´asico de an´alisis la varianza (un factor), mediante contrastes de la t de  de  m pares de muestras. Student a cada uno de los 2 16. Se realiza un experimento para estudiar la influencia de 2 factores en el rendimiento de un proceso, donde el factor que se encuentra a 3 niveles (Alto, medio y bajo) es la temperatura, el otro factor, catalizador, tiene dos niveles: catalizador I y II. Los datos del experimento se muestran en la siguiente tabla:

CI CII

Alto Medio Bajo 279 172 176 174 277 130 397 348 434 (215.6) (193.6) (393) 253 238 387 252 367 323 417 427 423 (292.6) (314) (422.3)

(Nota: Los n´ umeros entre parentesis son las medias de las casillas) (a) Contrastar con α = 0.05 que efectos son significativos. Interprete el resultado. (b) Determinar el intervalo con el 99% de confianza para la varianza del error experimental.

6

(c) Dar un intervalo para una observaci´on realizada en condiciones o´ptimas. Si se realizan 10 experimentos en estas condiciones, determinar el intervalo que con probabilidad igual al 95% contiene a todas ellas. Utilice la aproximaci´on tαg = zα (1 −

zα + 1 −1 ) 4g

donde g son los grados de libertad de la t y zα el valor de la normal est´andar, tal que P (Z ≥ zα ) = α 17. Un laboratorio de An´alisis Cl´ınicos ha adquirido un nuevo equipo (B) para medir el colesterol en la sangre de los enfermos. Para evaluar si el nuevo equipo est´a ajustado se decide analizar muestras de 5 enfermos que previamente han sido analizadas con otro equipo (A), dando como resultado Enfermo 1 2 3 4 5 Media Equipo A 215 305 247 221 286 254.8 Equipo B 224 312 251 232 295 262.8 Contrastar con α = 0.05 existen diferencias entre los dos equipos. 18. Para estudiar el consumo de aceite de un motor se prueban 4 motores distintos con 3 tipos de aceites obteniendo 12 medidas de consumo. Se ha obtenido: Variabilidad explicada por aceite = 100 Variabilidad explicada por motor = 80 Variabilidad Total = 220 Se pide escribir la tabla ADEVA correspondiente, y obtener conclusiones. 19. Para determinar el consumo de energ´ıa el´ectrica para usos dom´esticos se ha medido el consumo medio por persona en las distintas estaciones del a˜ no en siete comunidades aut´onomas para 1989, habi´endose obtenido los siguientes resultados: ˜ COMUNIDAD INVIERNO PRIMAVERA VERANO OTONO MEDIAS 1 13.1 11.4 10.6 11.5 11.65 2 13.4 12.1 11.1 12.0 12.15 3 13.8 12.1 11.4 12.9 12.55 4 14.0 12.8 11.7 12.6 12.77 5 14.4 12.6 12.5 13.4 13.22 6 14.8 13.4 13.0 14.0 13.80 7 15.6 14.2 14.1 14.4 14.57 MEDIAS 14.16 12.66 12.06 12.97 12.96 (a) Analizar si el factor estaci´on del a˜ no es influyente, sabiendo que sˆ2y = 1.53.(No considerar el factor Comunidad). 7

(b) Razonar estad´ısticamente cu´al es la estaci´on de mayor consumo y la de menor, utilizando el an´alisis anterior. Calcular los intervalos de confianza para el consumo medio de cada estaci´on del a˜ no. (c) Sabiendo que la variabilidad explicada por el factor comunidad es 23.62, construir una nueva tabla de la varianza, con dos factores, y decidir qu´e factor es significativo. (d) Utilizar los resultados del apartado anterior para realizar un contraste de igualdad de medias del efecto estaci´on y comparar los resultados con los del apartado 2, justificando las diferencias encontradas. ( NOTA: Utilizar α = 0.05 en todos los contrastes ) 20. Se realiza un experimento para estudiar si la presencia de fluorita reduce el coste de fabricaci´on de clinker de cemento en tres tipos diferentes de mezcla. Los resultados del mismo (en miles de pesetas por Tm) se muestran en la siguiente tabla: FLUORITA 0% 1% 2% 3% 4% y 5 X 3 X

MI MII MIII y i• 15.4 10.6 17.8 14.6 10.3 5.5 10.9 8.9 7.4 1.2 8.1 5.5 10.7 6.5 9.6 8.9 13.5 11.6 15.5 13.5 11.4 7.1 12.4

e2ij = 10.2 y¯•• = 10.3

i=1 j=1

(a) Determinar si el tipo de mezcla y el nivel de fluorita a˜ nadido influyen significativamente en el coste de fabricaci´on. Se supone que no existe interacci´on entre los dos factores. (b) Contrastar que porcentaje de fluorita produce el menor coste del clinker. 21. El an´alisis de la varianza de un dise˜ no en bloques aleatorizados proporciona los siguientes resultados: V T = 232, V E(factor) = 156, V E(bloque) = 15 y V NE = 61. El n´ umero de niveles del factor es 5 y el n´ umero de bloques 8. Construir la tabla ADEVA. ¿ Cu´al ser´ıa el resultado del an´alisis si no se tiene en cuenta el efecto de los bloques ? Indicar en qu´e circunstancias es preferible cada uno de los modelos. 22. Se ha realizado un experimento con tres factores, (A, B y C), con 4, 3, y 5 niveles, sin replicaciones. El modelo propuesto no incluye las interacciones de orden 3, por lo que la variabilidad explicada por estas interacciones se pretende utilizar para estimar la varianza residual. Los resultados proporcionan para la variabilidad explicada por las interacciones de orden 3 un valor igual a 234.5; que es muy superior a lo esperado. Debido a ´esto se repiti´o por completo el experimento, obteni´endose para este segundo experimento un valor de 158.7 8

(para la variabilidad explicada por la interacciones de orden 3). Proponer un procedimiento para contrastar si se ha producido un cambio significativo en esta variabilidad de uno a otro experimento, indicando las hip´otesis en las que se basa el contraste. (Dejar el resultado del contraste indicado en funci´on de los valores cr´ıticos de la tabla correspondiente.) 23. 8.25. (2-96) En un modelo de an´alisis de la varianza se ha observado que la desviaci´on t´ıpica (ˆ si ) y la media (y i ) de las observaciones de cada tratamiento est´an relacionadas linealmente, sˆi = ky i , donde k es una constante. ¿ Cu´al de las siguientes transformaciones es la m´as adecuada para corregir la heterocedasticidad ? z = log y, z = y 2 o z = ky 24. La oxidaci´on es una etapa de la fabricaci´on de chips y consiste en a˜ nadir una capa de o´xido sobre la placa silicio (oblea). Se est´a experimentando con 6 tratamientos (Ti ) para seleccionar el que proporciona un mayor espesor de ´oxido en un mismo tiempo de proceso. Una caracter´ıstica que influye en el espesor es el acabado superficial de la oblea, por lo que se tomaron 5 tipos distintos de acabado (Oj ). De cada tipo (Oj ) se tomaron 6 obleas y se asignaron aleatoriamente a los tratamientos. En la tabla se proporciona el espesor obtenido en cada oblea y las medias por filas y columnas.

O1 O2 O3 O4 O5

T1 85.60 89.30 84.70 87.60 87.30 86.90

T2 90.90 91.50 87.50 90.50 93.10 90.70

T3 93.00 93.60 90.90 95.60 94.90 93.60

T4 80.50 83.20 81.00 84.60 82.70 82.40

T5 85.20 87.80 83.20 87.60 86.70 86.10

T6 88.90 91.00 86.30 91.10 88.70 89.20

87.35 89.40 85.60 89.50 88.90 88.15

VT = 465.1

(a) Contrastar si el tipo de oblea y el tratamiento influyen en el espesor del o´xido. Elegir el tipo de oblea y tratamiento m´as adecuado, indicando si son significativamente distintos del resto. (b) Para fijar los seis tratamientos, se seleccionaron dos temperaturas (t1 , t2 ) y tres presiones (p1 , p2 , p3 ) y se combinaron de forma que T1 = (t1 , p1 ), T2 = (t1 , p2 ), T3 = (t1 , p3 ) T4 = (t2 , p1 ), T5 = (t2 , p2 ) y T6 = (t2 , p3 ). Calcular las variabilidades explicadas por la temperatura, la presi´on y su interacci´on (t × p). (c) Indicar si sus efectos son significativos, suponiendo nulas las interacciones de los factores O × t, O × p y O × t × p. 25. Demostrar que en un modelo de bloques aleatorizados, µ ˆ, α ˆ i y βˆ j son independientes. 26. Un centro ha realizado un experimento para mejorar la resistencia a la tensi´on de ciertos muelles de acero. En una etapa del proceso el muelle caliente se sumerge en aceite templado. Se han estudiado tres factores, A (temperatura del acero antes de la inmersi´on, con tres niveles), B (temperatura del ba˜ no de aceite, dos niveles) y C (concentraci´on de carbono en el acero, dos niveles). El experimento se ha replicado tres veces. En la tabla se muestra la media y la varianza (corregida) para los tres datos de cada tratamiento.

9

A 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

B 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

C 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

yi sˆ2i 40.2 0.25 61.1 2.68 35.9 2.43 57.1 4.44 49.0 3.49 70.3 7.77 46.7 5.08 67.6 1.03 41.9 4.27 62.7 11.41 37.1 1.33 60.3 6.13

(a) Dar un intervalo del 95 % de confianza para la varianza del error experimental, σ 2 . (b) Indicar si los efectos principales de A, B y C son significativamente distintos de cero. (c) Dado σ 2 , construir un intervalo que cumpla que la probabilidad de que sˆ2i (la varianza muestral corregida de un tratamiento) est´e contenido en ´el sea igual a 0.95. Sustituir σ 2 por su estimador y con ayuda de este intervalo, discutir si se puede rechazar la hip´otesis de homocedasticidad de las observaciones. 27. Estimar por m´axima verosimilitud los par´ametros µ, αi y β j del modelo de bloques aleatorizados. Obtener la distribuci´on de estos estimadores, indicando su media y varianza. 28. Explicar por qu´e en un modelo de dos factores con interacci´on es necesario poner las condiciones I X i=1

αi = 0,

J X j=1

β j = 0,

I X

(αβ)ij = 0 para todo j,

y

J X

(αβ)ij = 0 para todo i.

j=1

i=1

¿Se podr´ıan haber puesto otras condiciones distintas a las anteriores? Justificar la respuesta. 29. La calidad de un producto qu´ımico despues de un largo periodo de almacenamiento depende del conservante empleado y de las caracter´ısticas de almacenamiento. Se ha estudiado el efecto de cuatro conservantes distintos (columnas) y cinco almacenamientos (filas) sobre la degradaci´on del producto:

1 2 3 4 5 Medias

1 2 3 15.1 11.0 18.8 8.1 4.3 11.8 15.3 11.5 15.6 8.0 4.4 11.0 13.5 9.3 15.8 12.0 8.1 14.6 10

4 Medias 10.3 13.8 3.8 7.0 9.2 12.9 5.8 7.3 18.2 14.2 9.46 11.04

La tabla de an´alisis de la varianza para los datos anteriores es:

Almacen. Conserv. Residuos Total

Suma de Cuadrados 205.488 123.676 61.484 390.648

Grados de Libertad 4 3 12 19

S. Cuadrados F Medios 51.372 10.03 41.225 8.05 5.123

Nivel Cr´ıtico 0.0008 0.0033

(a) Elegir con α = 0.05 el conservante y el almacenamiento que producen menor degradaci´on. (b) El an´alisis de los residuos muestra como at´ıpica la observaci´on y54 = 18.2. Un examen qu´ımico confirma el resultado an´omalo por lo que se recomienda eliminar la observaci´on. Seg´ un el modelo de dos factores sin interacci´on, la predicci´on de la observaci´on yIJ (eliminada) es: SI∗ S∗J S∗∗ ybIJ = + − (J − 1) (I − 1) (I − 1)(J − 1)

donde I = 5, J = 4, SI∗ es la suma de las observaciones de la fila I (sin incluir la eliminada), S∗J es la suma de las observaciones de la columna J (sin incluir la eliminada), y S∗∗ es la suma de las observaciones restantes no incluidas en la fila I ni en la columna J. Obtener la distribuci´on (media y varianza) del error de predicci´on eIJ = yIJ − ybIJ .

(c) Cuando, como en el caso anterior, falta una observaci´on se recomienda el siguiente procedimiento: sustituir la observaci´on faltante por su predicci´on y aplicar los contrastes habituales teniendo en cuenta que los residuos tienen un grado de libertad menos. La nueva descomposici´on de la variabilidad es: VT=339.63, VE(Conservantes)=166.02, VE(Almacenamiento)=164.02 y VNE=9.59. Contestar al apartado 1 con esta modificaci´on e interpretar las diferencias. 30. Una instalaci´on t´ıpica de almacenamiento de combustible en una Estaci´on de Servicio (gasolinera) est´a formada por un tanque enterrado de gran capacidad, al que se encuentran conectados distintos surtidores. La cantidad total de gasolina suministrada en un d´ıa se puede determinar midiendo directamente la variaci´on que se ha producido en el tanque de almacenamiento (Y1j ) o por la suma de los suministros de los distintos surtidores (Y2j ). La comparaci´on de ambas medidas permite determinar p´erdidas en la instalaci´on enterrada y otras anomal´ıas. En el proceso de comparaci´on es necesario tener en cuenta que las medidas est´an afectadas por errores aleatorios. Durante 20 d´ıas se han tomado los valores anteriores en un gasolinera: D´ıa→ Y1j Y2j

1 4116,2 4143,6

2 5627,0 5632,0

3 2820,4 2868,1

4 2521,8 2477,7

5 2973,5 2955,4

6 2834,9 2851,9

7 2335,7 2312,7

8 2590,8 2630,6

9 2182,7 2208,9

10 2621,4 2635,9

D´ıa→ Y1j Y2j

11 4323,6 4305,4

12 1880,7 1877,9

13 2131,4 2159,2

14 3349,6 3366,7

15 2545,0 2566,1

16 2247,3 2281,4

17 1817,5 1854,6

18 1461,3 1461,5

19 1646,5 1607,3

20 1955,4 1956,4

11

(a) Llamando Dj = Y1j − Y2j a la diferencia en las medidas de un mismo d´ıa, contrastar con α = 0.05 H0 : µD = 0 H1 : µD 6= 0 donde Dj tiene distribuci´on N(µD , σ D ). Calcular el nivel cr´ıtico del contraste aproximando la distribuci´on t de Student por la normal. (b) Los datos anteriores pueden ser analizados mediante un modelo de bloques aleatorizados tomando el tipo de medida (tanque, surtidores) como un factor y los d´ıas como bloques. Demostrar con caracter general que en el modelo de bloques aleatorizados si el factor tiene dos niveles la varianza residual cumple: 1 sb2R = sb2D 2

donde sb2D es la estimaci´on de σ 2D del apartado 1.

(c) Teniendo en cuenta lo anterior, demostrar que el contraste correspondiente al factor en el modelo de bloques aleatorizados es equivalente al contraste del apartado 1. 31. Una forma alternativa de la ecuaci´on del modelo para comparar I tratamientos es yij = µ + τ i + uij ,

i = 1, 2, ..., I;

j = 1, 2, ..., m

donde µ es la media global τ 1 , τP ametros que determinan los efectos de cada tratamiento, cumplen 2 , ..., τ I son los par´ I que i=1 τ i = 0

uij son variables aleatorias independientes con id´entica distribuci´on normal de media cero y varianza σ 2 . (a) Obtener el estimador m´aximo veros´ımil de τ i , indicar su distribuci´on de probabilidad, media y varianza. P (b) Calcular la esperanza de la variabilidad explicada (V E = m Ii=1 b τ 2i ) cuando los par´ametros τ i no son todos nulos.

(c) Calcular la correlaci´on entre b τ i y un residuo eij cualquiera (del mismo o diferente tratamiento). Que implicaci´on tiene este resultado en el contraste de an´alisis de la varianza.

32. Un ingeniero est´a estudiando m´etodos para mejorar ciertas propiedades mec´anicas de una aleaci´on met´alica. Los dos factores que considera m´as importantes son la cantidad de Manganeso y la temperatura de templado. Se dise˜ na un experimento empleando tres niveles para el factor manganeso y dos para la temperatura, en total 3×2 = 6 tratamientos. Se dispone de 6 hornos diferentes para realizar la fundici´on. Cada horno requiere un operador y se disponen de seis operadores cada uno de los cuales es capaz de manejar los seis hornos. Dise˜ nar un experimento que con 36 observaciones permita estudiar las diferencias entre los 12

seis tratamientos y que tenga en cuenta el tipo de horno y el operador como variables bloques. Construir la tabla de an´alisis de la varianza, indicando los grados de libertadad de cada variabilidad, separando en ella el factor manganeso, el factor temperatura y su interacci´on. (Los bloques y los factores no interaccionan). (Nota: no es necesario indicar en la tabla como se obtienen las distintas variabilidades). 33. Una asociaci´on de consumidores para comprobar la utilidad de ciertos compuestos que seg´ un sus fabricantes reducen el consumo de gasolina de los autom´oviles realiz´o el siguiente experimento: eligi´o al azar 9 veh´ıculos nuevos de distintas marcas con cilindrada similar y con cada uno de ellos recorri´o tres veces un mismo trayecto con conductores distintos. Adem´as en cada uno de estos tres trayectos emple´o un tratamiento diferente para la gasolina:   A: B: Tratamiento  C:

Gasolina con Cyber-Gas Gasolina con Consumin Gasolina sin aditivo

En la tabla siguiente se muestra el consumo en litros de gasolina en cada uno de los recorridos y el tipo de tratamiento (letra latina). N´ umero Veh´ıculo 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Media Columna

Conductores 1 2 3 15,5 (A) 15,6 (B) 16,6 (C) 13,0 (B) 13,3 (A) 13,0 (C) 11,8 (B) 13,1 (C) 12,5 (A) 14,4 (A) 14,8 (C) 15,0 (B) 12,4 (B) 14,3 (A) 14,1 (C) 15,6 (C) 15,3 (A) 14,7 (B) 12,7 (C) 12,0 (B) 12,0 (A) 14,2 (C) 14,0 (B) 15,1 (A) 12,6 (A) 13,5 (C) 12,3 (B) 13,58

13,99

13,92

Media fila 15,90 13,10 12,47 14,73 13,60 15,20 12,23 14,43 12,80 Media Total 13,83

  A:13,89 Media de B:13,42 Tratam.  C:14,18

El an´alisis de los datos se realiza con el siguiente modelo yijk = µ + αi + β j + γ k + uijk d´onde yijk representa el consumo en litros, µ la media global; αi , i = 1, 2, ..., 9 y β j , j = 1, 2, 3 los efectos correspondientes a los veh´ıculos (filas) y los conductores (columnas). La estimaci´on e interpretaci´on de estos par´ametros es similar al modelo de bloques aleatorizados. Adem´as se incluye los par´ Pametros γ k , k = 1, 2, 3 que miden el efecto de los tratamientos (tipo ´ ltimo, uijk la componente aleatoria son variables de aditivo) y cumplen 3k=1 γ k = 0. Por u aleatorias independientes con distribuci´on normal de media cero y varianza σ 2 para todas las observaciones. (a) Obtener razonadamente los estimadores m´aximo veros´ımiles de γ k . 13

(b) La tabla del an´alisis de la varianza del modelo anterior es

Tratamiento Veh´ıculo Conductor Residual Total

Suma de Cuadrados 2,67 40,2 0,876

Grados de Libertad 2 8 2

2,73 46,4

14 26

Varianza 1,31 5,02 0,438

F p-Valor 6,7 0,0091 25,7 0,0000 2,2 0,1428

0,195

¿Reducen los aditivos el consumo de gasolina? ¿ Existen diferencias significativas entre Cyber-gas (A) y Consumin (B)? (Realizar los contrastes con nivel de significaci´on 0.05). (c) Demostrar que el dise˜ no anterior, independientemente de los valores num´ericos (yijk ) obtenidos, es un dise˜ no ortogonal, es decir que cumple: VT = VE(Veh´ıculos) + VE(Conductores) + VE(Tratamientos) + VNE (Nota.- Es suficiente con demostrar la ortogonalidad del vector correspondiente a los tratamientos con respecto a los otros tres). 34. Un inform´atico quiere comparar los tiempos de ejecuci´on de tres programas realizados en lenguajes diferentes que realizan el mismo proceso. Para hacer la comparaci´on utilizan 4 ordenadores con microprocesadores distintos. Los tiempos requeridos por cada programa en cada ordenador han sido: ORDENADOR ↓ 1 2 3 4 y¯•j

PROGRAMA A B C 1,36 2,23 1,54 0,97 0,70 0,76 1,79 1,74 1,84 0,64 0,69 0,74 1,19 1,34 1,22

y¯i• 1,71 0,81 1,79 0,69 1,25

¿Existen diferencias significativas en los tiempos requeridos por los 3 programas? 35. Se ha realizado un experimento con dos factores cada uno de ellos con 3 niveles. El 20% de la variabilidad total est´a explicada por la interacci´on de los dos factores y el 40% de la variabilidad total es debida a la variabilidad residual. Determinar el n´ umero de replicaciones necesarias en cada tratamiento para que la interacci´on sea significativa con α = 0.01. (Explicar el procedimiento de c´alculo, dejando el resultado indicado en funci´on de las tablas).

14

36. Un investigador quiere estudiar el efecto de sexo (hombre, mujer) y tipo de formaci´on (ciencias, letras) en el dominio del ingl´es escrito en profesores universitarios. Para ello analiza el n´ umero de incorrecciones gramaticales en art´ıculos cient´ıficos enviados a publicaci´on. Para cada combinaci´on de niveles de los factores se han elegido al azar tres profesores. En la tabla se proporciona el n´ umero de fallos detectados en art´ıculos de 15 p´aginas

Hombre Mujer

Letras 8, 6, 13 5, 10, 6

Ciencias 22, 28, 33 12, 14, 9

Contrastar con nivel de significaci´on 0.05 si los efectos principales y la interacci´on son significativos. Tener en cuenta que P (F1,8 ≤ 5.32) = 0.95, siendo F1,8 la distribuci´on F con grados de libertad 1 y 8. Interpretar los resultados. 37. Un alumno, como trabajo de la asignatura de estad´ıstica, ha comparado tres marcas distintas (A,B,C) de palomitas de ma´ız precocinadas. Cada marca puede prepararse friendolas en una sart´en (m´etodo 1) o en el horno microondas (m´etodo 2). El alumno ha realizado un dise˜ no factorial completo 3×2 con cinco replicaciones en cada uno de los seis tratamientos. La variable respuesta medida es el porcentaje de granos de ma´ız que no se han inflado adecuadamente. Los resultados del experimento se muestran en la tabla, en cada tratamiento se proporciona la media y entre par´entesis la desviaci´on t´ıpica corregida para las cinco replicaciones. Contrastar si la interacci´on entre los dos factores es significativa.

Sart´en Horno

A 5.5 (1,4) 3.8 (1,3)

B 3.6 (1,8) 3.4 (0,9)

C 7.5 (2,5) 4.3 (1,3)

38. Se ha realizado un experimento con dos factores, A (temperatura con tres niveles), B (concentraci´on con cuatro niveles). El experimento se ha replicado 5 veces. En la tabla se

15

muestra la media y la varianza (corregida) para los 5 datos de cada tratamiento. A 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3

B 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

yi 240 261 235 257 249 270 246 267 241 262 237 260

sˆ2i 1.2 1.6 1.4 2.4 1.4 5.7 5.8 1.7 4.2 9.4 1.3 6.1

Escribir la tabla de an´alisis de la varianza. 39. Se desea estudiar la influencia de 2 factores en el error de medida de un equipo de visi´on artificial. Un factor F es la distancia focal, para el que se han fijado 4 niveles y el otro factor L es el nivel de iluminaci´on con 2 niveles. Adem´as se dispone de 2 equipos diferentes para realizar las medidas. Se ha tomado un patr´on y se ha medido en las combinaciones indicadas en la tabla, donde yijk es el error obtenido al situar la distancia focal i, con iluminaci´on j y el equipo k. F −→ 1 L −→ 1 Equipo 1 y111 Equipo 2 y112

2 1

3 1

4 1

1 2

2 2

3 2

4 2

y211 y212

y311 y312

y411 y412

y121 y122

y221 y222

y321 y322

y421 y422

Construir la tabla de an´alisis de la varianza, que incluya los efectos principales debidos a la distancia focal (F ), la iluminaci´on (L) y el equipo, y adem´as la interacci´on F ×L, suponiendo que son nulas el resto de interacciones. 40. Cierta industria de lentes para gafas desea comparar dos tipos de recubrimiento antireflectante A, B. Los dos tipos tienen id´entico aspecto y prestaciones, pero antes de decidirse por uno u otro desean comprobar si el tipo de recubrimiento influye en el desgaste que sufre la lente. Para ello construyen gafas con una lente de cada tipo que distribuyen entre 10 personas seleccionadas al azar que habitualmente utilizan gafas. Al cabo de seis meses miden el desgaste y se obtienen los valores que se indican en la tabla.

16

Persona 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Lente A 6.7 5.0 3.6 6.2 5.9 4.0 5.2 4.5 4.4 4.1

Lente B 6.9 5.8 4.1 7.0 7.0 4.6 5.5 5.0 4.3 4.8

¿Qu´e tipo de recubrimiento recomendar´ıa a los fabricantes con el criterio de m´ınimo desgaste?. 41. Demuestre que en un modelo en bloques aleatorizados, con I niveles para el factor y J niveles para el bloque, con modelo yij = µ+αi+ β j +uij ,el valor esperado de la variabilidad explicada por el factor es: E[V E(α)] = P (I − 1)σ 2 + J Ji=1 α2i ,siendo σ 2 la varianza del error experimental. 42. Se desea comprobar si el orden en el que aparecen las preguntas de un examen test influye en resultado obtenido por el alumno. Se han preparado dos examenes, el Test A tiene las preguntas en orden de dificultad creciente y el Test B a la inversa. Se ha elegido una muestra aleatoria de 20 alumnos y se han emparejado seg´ un su habilidad, de forma que los dos alumnos de cada pareja han demostrado durante el curso una habilidad similar. De cada pareja, un alumno se ha asignado aleatoriamente al Test A y el otro al Test B. Los resultados finales del ejercicio han sido (cada pareja es una columna) Test A: Test B:

83 82 95 92 76 62 70 74

91 60 89 69 70 72 52 63 48 80 76 74

¿Es evidente que las puntuaciones del Test B son mas bajas que las del Test A? 43. El an´alisis de la varianza de un dise˜ no en bloques aleatorizados proporciona los si-guientes resultados: V T = 129, V E(factor) = 38, 5 y V E(bloque) = 82, 5. El n´ umero de niveles del factor es 4 y el n´ umero de bloques 4. Construir la tabla de an´alisis de la varianza y hacer los contrastes correspondientes con nivel de significaci´on 0,05. 44. Se ha estudiado la influencia de la cantidad de cierto aditivo en la opacidad de un material pl´astico que se puede fabricar por tres m´etodos de extrusi´on. El objetivo es conseguir el tratamiento con opacidad m´ınima. Cada tratamiento se ha replicado 5 veces, los valores medios y las desviaciones t´ıpicas corregidas para cada caso se proporcionan en la tabla 1. La tabla 2 corresponde al an´alisis de la varianza. Se ha comprobado que se verifican las condiciones de normalidad y homocedasticidad. 17

M´etodo 1 1 2 2 3 3

Extrus. Aditivo Interac. Residual Total

Aditivo 1 2 1 2 1 2

Suma de cuadrad. 2.210 47.636 37.572 24.728 112.146

Medias 9.5 9.3 10.0 8.1 11.5 6.0

g.l. 2 1 2 24 29

Desv. T´ıp. 0.83 0.67 1.53 (TABLA 1) 0.77 0.78 1.23

Var. F p-valor 1.105 1.072 0.358 47.636 46.2 0.000 (TABLA 2) 18.786 18.2 0.000 1.030

(a) A la vista de los resultados de las dos tablas indica qu´e m´etodo de extrusi´on es aconsejable para conseguir la opacidad m´ınima. (b) Da un intervalo del 95% de confianza para la opacidad media en las condiciones o´ptimas. (c) Sea di = y i1 − y i2 la diferencia entre las medias observadas en los dos niveles del factor aditivos para el m´etodo de extrusi´on i. Calcula el valor esperado y la varianza de di en t´erminos de los par´ametros del modelo factorial. (d) Si E(di) = 0 para los tres m´etodos, obt´en la distribuci´on de probabilidad de 5 d21 + d22 + d23 × . 2 σ2 45. Se ha estudiado el efecto de tres hornos diferentes y dos temperaturas (290 o C y 320 o C) en la duraci´on de cierto componente. Para cada combinaci´on de horno y temperatura se ha replicado el experimento 3 veces. En la tabla siguiente se proporcionan las medias y desviaciones t´ıpicas de los datos de cada tratamiento. Temperatura o C 290 o C 320 o C Media Desv. T. Media Desv. T. Horno 1 245.6 8.50 180.0 2.65 Horno 2 191.0 15.39 144.0 2.65 Horno 3 187.0 4.58 134.3 8.62

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Fuente Horno Temp. HxT Residual Total

Suma Cuadrado 9646.3 13667.6 274.8 837.3 24426

Grados Libertad 2 1 2 12 17

Varianza F p-valor 4823.2 69.1 0.000 13667.6 195.9 0.000 137.4 1.97 0.182 69.8

Seleccionar el horno y la temperatura que proporcionan m´axima duraci´on, haciendo los contrastes de igualdad de medias con nivel de significaci´on 0.01.

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