Primos y compuestos Plan de clase (1/2) Escuela: _______________________________________ Fecha: ___________________ Profesor (a): _______________________________________________________________ Curso: Matemáticas 1 secundaria

Eje temático: SNyPA

Contenido: 7.2.1 Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos. Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen las características de los números primos y compuestos y que reconozcan a través de diferentes caminos cuando un número es divisor de otro. Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas. 1. El ingeniero José es supervisor de obras públicas en el municipio de Tecámac, en el Estado de México. Dentro de sus funciones está el organizar las cuadrillas que tienen que ir a realizar las obras públicas. Actualmente el ingeniero trabaja con dos grupos; el primero, de 50 trabajadores, atiende el lado oriente del municipio y el segundo, de 47 trabajadores, atiende el lado poniente. En cada grupo las cuadrillas deben estar integradas con la misma cantidad de trabajadores. a. ¿De cuántos trabajadores podrían ser las cuadrillas del primer grupo de manera que no queden trabajadores sin grupo? Indica todas las posibilidades.

b. ¿De cuántos trabajadores podrían ser las cuadrillas del segundo grupo? Indica todas las posibilidades.

c. Si reúne a los trabajadores de los grupos 1 y 2 para hacer un solo grupo y reorganizar las cuadrillas, ¿cuántas cuadrillas diferentes se pueden formar?

2. Considerando que 30 x 45 = 1350, a. Den un argumento de por qué 30 y 45 son divisores de 1 350.

b. Escriban al menos 2 divisores de 30 y dos divisores de 45. Verifiquen que esos números también son divisores de 1350. Den un argumento acerca de por qué se cumple esto.

c. Los números 4 y 7, ¿son divisores de 1 350? ¿Por qué?

3. Contesten lo que se solicita: 1 160 1 515 15 4 431

4 758 1 620 52 380

7 299 35 532 489

1 981 6 264 166

a. ¿Qué números de la tabla son divisibles por 2? ¿Cuáles son divisibles, por 3? ¿Cuáles por 5?

b. ¿Qué características debe tener un número para que sea divisible por 2? ¿Y para que sea divisible por 3?, ¿y por 5?

c. ¿Hay números en la tabla que tengan más de un divisor? ¿Cuáles?

Consideraciones previas: El primer problema apunta a identificar las características de los números compuestos y primos. Del primer grupo de trabajadores, es muy probable que los alumnos hagan divisiones para encontrar los divisores de 50, algunos de éstos son: 1, 2, 5, 10, etc. De aquí se puede favorecer la reflexión del significado del divisor y el resultado que se obtenga, por ejemplo 50 ÷ 2 = 25, por lo tanto, se pueden formar dos grupos de veinticinco personas. Del segundo grupo de trabajadores, es posible que procedan de la misma forma que para el primero, la conclusión que debe obtenerse es que sólo se puede hacer un grupo de 47, o bien 47 grupos con una persona cada uno, lo cuál, tiene poco sentido en términos prácticos. La resolución de este problema se puede aprovechar para discutir e inferir las características de un número primo (en este caso 47) y un número compuesto (50). Se sugiere plantear la búsqueda de otros números primos y compuestos, con la finalidad de aplicar estas nociones. En el segundo problema, para argumentar que 30 y 45 son dos divisores de 1 350, puede ocurrir que algunos alumnos recurran a la división. No obstante, conviene que vean que no hace falta hacer las divisiones pues de alguna manera éstas ya están resueltas en la expresión 30 x 45= 1350. De la misma manera, para argumentar que los divisores de 30 y los de 45 son también divisores de 1 350, si bien se pueden hacer las divisiones de 1 350 entre cada uno de esos números, hay un camino más rápido que los alumnos deben conocer y que consisten en que las multiplicaciones 6 x 5 x 45 = 1350 y 6 x 5 x 3 x 15 = 1350 son el resultado de factorizar el 30 en 6 x 5 y el 45 en 3 x 15, por lo que se puede concluir que 3, 5, 6, 15 también son divisores de 1 350.

Se sugiere propiciar que los alumnos reflexionen sobre otras conjeturas como: si un número es divisible por 6, entonces es divisible por 2 y 3, ¿entonces un número que sea divisible por 2 o 3, es siempre divisible por 6? Finalmente, con respecto a la tercera pregunta: en la escuela primaria los alumnos tuvieron un acercamiento a las regularidades de los múltiplos de 2, 3 y 5, pero es probable que realicen las divisiones para saber si los números son divisores de 2, 3 y 5. Si es así, posteriormente se debe procurar que analicen las características comunes de los múltiplos de 2, de 3, y de 5: a. b. c.

Toda cifra que tiene una terminación par o cero es divisible por 2. Si la suma de los dígitos de un número es múltiplo de 3, el número es divisible por 3. Todo número que tiene terminación en 5 o 0, es divisible por 5.

Se espera que los alumnos reconozcan que estos criterios de divisibilidad son reglas mediante las cuales se puede anticipar si un número natural es divisible o no entre otro número natural, sobre todo cuando se tienen cantidades grandes. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

Divisibilidad Plan de clase (2/2) Escuela: _______________________________________ Fecha: _____________________ Profesor (a): _______________________________________________________________ Curso: Matemáticas 1 secundaria

Eje temático: SNyPA

Contenido: 7.2.1 Formulación de los criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos. Intenciones didácticas: Que los alumnos utilicen los criterios de divisiblidad que ya conocen al hacer conjeturas sobre la divisibilidad de la suma de dos o más números naturales consecutivos. Consigna: Organizados en equipos resuelvan los siguientes problemas. 1. ¿La suma de tres números naturales consecutivos cualesquiera siempre es divisible por 3? ¿Por qué? 2. ¿La suma de cinco números naturales consecutivos cualesquiera siempre es divisible por 5? ¿Por qué? 3. ¿La siguiente afirmación es correcta? “La suma de dos números naturales consecutivos cualesquiera es divisible por 2”. De ser verdad justifiquen la respuesta, de lo contrario escriban un ejemplo con el que muestren que no es verdad y reescriban la afirmación de tal manera que sea verdadera. Consideraciones previas: Un aspecto que puede ser necesario explicar a los alumnos, es la expresión usual en matemáticas, pero extraña fuera de ese ámbito, de “números cualesquiera”. Para el problema 1, se puede sugerir a los estudiantes que hagan algunos ensayos con diferentes tercias de números consecutivos y dividir el resultado entre 3, por ejemplo, sumar 2, 3 y 4; 12, 13 y 14, 87, 88 y 89, etcétera. Posteriormente se les puede solicitar que prueben la validez de su respuesta con otras tercias seleccionadas por otros equipos, así por el número de casos en que se cumple la afirmación y al no encontrar un contraejemplo, los alumnos podrán sospechar que se trata de una propiedad verdadera. Dado que no es suficiente con mostrar muchos ejemplos para generalizar una propiedad y considerando que en el bloque anterior se inició el trabajo con literales como número general, se sugiere aprovechar la oportunidad para que, con la intervención del maestro, se pueda generalizar dicha propiedad. Dos preguntas iniciales pueden ser las siguientes: ¿cómo represento un número cualquiera?, ¿y cómo represento los dos siguientes números? La finalidad es obtener la siguiente expresión: x + (x+1) + (x+2)

Enseguida, se les puede pedir a los alumnos que simplifiquen la expresión anterior, esperando que lleguen a 3x+3. A partir de esta expresión se puede sustituir x por algunos valores naturales y verificar que efectivamente el número resultante es múltiplo de 3. Sin embargo, para llegar a una generalización, hay que centrar el análisis en que un número natural cualquiera multiplicado por 3, es decir 3x siempre es un múltiplo de 3. Falta todavía mostrar que, si a dicho múltiplo de 3 se le agrega otro múltiplo de 3 (en este caso 3), quedando la expresión 3x + 3, ésta necesariamente es un múltiplo de 3 y, por lo tanto, es divisible por 3. Es muy probable que para llegar a esta generalización se requiera de la intervención del profesor, ya que puede resultar complicado que los alumnos la hagan por sí solos. El tratamiento para el problema 2 puede ser semejante al 1. Un aspecto que puede resultar interesante, es que si el primer número es impar el resultado tendrá una terminación 5 y si el primer número es par el resultado tendrá una terminación en 0. 4. Con el tercer problema se espera que los alumnos identifiquen que la suma de dos números naturales consecutivos no es divisible entre 2 y, por tanto, reescriba el enunciado de una forma semejante a: “La suma de dos números naturales consecutivos cualesquiera no es divisible por 2”.

Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre