Triángulos que se forman Plan de clase (1/3) Escuela: _______________________________________ Fecha: ________________ Profr. (a): ______________________________________________________________ Curso: Matemáticas 2 Secundaria Eje temático: FEyM Contenido: 8.3.3 Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono. Intenciones didácticas: Que los alumnos encuentren la expresión general que relaciona el número de lados de un polígono convexo con el número de triángulos que contiene, al trazar las diagonales desde un mismo vértice. Consigna. Organizados en equipos de 5 o 6 integrantes, realicen las siguientes actividades. 1. Dibujen un polígono convexo de cualquier número de lados, no necesariamente tiene que ser regular, de manera que tengan polígonos de diferente número de lados. Después, tracen las diagonales del polígono desde un mismo vértice. ¿Qué figuras se forman al interior del polígono?___________________ 2. Completen la siguiente tabla. Polígono

Número Número de de triángulos que se lados forman

triángulo cuadrilátero pentágono hexágono heptágono octágono eneágono decágono Polígono de n lados

Consideraciones previas: Para trabajar este desafío se requiere que los estudiantes tengan sus instrumentos geométricos.

Es probable que se tenga que aclarar o recordar a los estudiantes lo que es un polígono convexo y lo que es una diagonal. En el primer caso se puede mostrar algunos ejemplos. Polígonos convexos, tienen todos sus ángulos interiores menores de 180º.

Polígonos no convexos, tienen al menos un ángulo mayor de 180º, también se llaman cóncavos.

Si se nota que los alumnos no recuerdan lo que son las diagonales, es importante ayudarlos a recordar que las diagonales unen dos vértices no consecutivos del polígono; se podría dar algunos ejemplos.

También es importante señalar que los polígonos no sean forzosamente regulares, pues la regla de los triángulos que se forman al interior de la figura se cumple para los polígonos regulares e irregulares. Se espera que con el llenado de la tabla los alumnos descubran la regularidad de que el número de triángulos que se forman dentro del polígono es igual al número de lados menos dos y que la puedan expresar algebraicamente (n – 2). Cabe aclarar que este desafío permite integrar contenidos de geometría con contenidos de álgebra al generalizar resultados y representarlo usando lenguaje algebraico.

La generalización se dará, también, desde el momento en que los estudiantes no cuenten con todos los polígonos que se enuncian en la tabla y descubran que pueden calcular el número de triángulos a partir del comportamiento que observen en los otros polígonos.

Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ __________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ __________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

La suma de todos Plan de clase (2/3) Escuela: __________________________________________ Fecha: _____________ Profr. (a): _____________________________________________________________ Curso: Matemáticas 2 Secundaria Eje temático: FEyM Contenido: 8.3.3 Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono. Intenciones didácticas: Que los alumnos establezcan y justifiquen la fórmula para obtener la suma de los ángulos internos de cualquier polígono. Consigna: La siguiente tabla es similar a la de la sesión anterior pero se le agregó una columna. Organizados en equipos, anoten los datos que faltan.

Polígono triángulo cuadrilátero pentágono hexágono heptágono octágono eneágono decágono Polígono de n lados

Número Cuántos de triángulos lados hay

Suma de los ángulos internos del polígono

n

¿Cuál es la expresión que permite calcular la suma de los ángulos internos de cualquier polígono?_______________________________________________

Consideraciones previas: Para trabajar este desafío se requiere que los estudiantes tengan sus instrumentos geométricos. Es probable que haya necesidad de recordar cuáles son los ángulos internos de los polígonos para completar la tabla, además, para que no los confundan con los ángulos centrales (porque también están en el interior del polígono). Se espera que los alumnos puedan descubrir que la suma de los ángulos internos del polígono equivale a la suma de los ángulos internos de los triángulos que se forman. Una dificultad a la que se pueden enfrentar los alumnos es la de no visualizar que los ángulos internos de los triángulos en que quedó dividido el polígono forman, entre todos, los ángulos internos del polígono.

Se les puede ayudar a que visualicen este hecho con algún polígono, por ejemplo:

Que los alumnos observen, por ejemplo, que el ángulo B quedó dividido en tres ángulos y que los tres pertenecen a alguno de los triángulos. De esta manera que, se espera que observen que:   

En un polígono de n lados, se forman n – 2 triángulos La suma de los ángulos internos es n – 2 por 180 grados, Es decir, 180 (n – 2).

Si es necesario, se les puede apoyar a través de preguntas para que lleguen a esta expresión, por ejemplo, ¿cuál es la relación entre el número de lados del polígono y el número de triángulos que se forman? ¿Cuánto suman los ángulos interiores de cualquier triángulo? En este caso, al igual que el desafío anterior, también se vinculan geometría y álgebra. Se sugiere plantear como actividad complementaria “La suma de los ángulos interiores de un triángulo”, en EMAT, México, SEP, 2000, pp. 46, 47.

Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ __________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ __________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

Movilización de conocimientos Plan de clase (3/3) Escuela: ___________________________________________ Fecha: _____________ Profr. (a): _____________________________________________________________ Curso: Matemáticas 2. Secundaria Eje temático: FEyM Contenido: 8.3.3 Formulación de una regla que permita calcular la suma de los ángulos interiores de cualquier polígono. Intenciones didácticas: Apliquen la fórmula para calcular la suma de los ángulos internos de un polígono en la resolución de problemas. Consigna: Organizados en equipos, resuelvan los siguientes problemas. 1. ¿Cuánto es la suma de los ángulos internos de un polígono de 13 lados? ______________ ¿Cómo lo calcularon? ___________________________________

2. Si la suma de los ángulos internos de un polígono es igual a 1620°, ¿Cuántos lados tienen el polígono?______ ¿Cómo se llama?___________________________________

3. ¿Cuánto mide cada ángulo interno de un dodecágono regular?____________ ¿Cómo lo saben?___________________________________________________

4. En el centro de la plaza de mi pueblo hay un kiosco de forma octagonal donde se presentan artistas y diversos eventos. Quieren colocar en cada esquina un adorno y para que la base del adorno quede justa, necesitan saber cuánto miden los ángulos internos del piso del kiosco. ¿Cuál es la expresión que permite calcular la medida de un ángulo interno del piso del kiosco?__________________________

5. La siguiente figura muestra una parte de un polígono regular. ¿De qué polígono se trata?_______________ ¿Cómo lo saben ?____________________________________ _____________________________________________________________________

140 140 140

Consideraciones previas: Para trabajar este desafío se requiere que los estudiantes tengan sus instrumentos geométricos. En el problema 1 se trata de una sustitución directa con la fórmula que encontraron en el ( ). desafío anterior: En el problema 2 hay una vinculación directa con álgebra debido a que se puede resolver planteando la ecuación: (

)

Esta ecuación puede ser resuelta con un procedimiento convencional o también se puede apoyar a los alumnos para que la resuelvan analizando la información que da esta igualdad. Por ejemplo, se sabe que un número expresado como ( ) multiplicado por 180 da 1620º, para saber cuál es ese número dividimos 1620 entre 180 y resulta 9. Este 9 es equivalente a ( ), por lo tanto, . Los problema 3 y 4 requieren que los alumnos recuerden que un polígono regular tiene todos sus ángulos iguales, por lo tanto, una vez que se sustituye el valor de en la fórmula se debe dividir el resultado entre el número de ángulos, que también es . Sería conveniente que después de resolver estos dos problemas, en la puesta en común motivara a los alumnos a que encuentren la fórmula para calcular la medida de un ángulo interior de un polígono regular de lados. Se espera que lleguen a la expresión: (

)

Finalmente, el problema 5 puede resolverse con la ecuación:

(

)

Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ __________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ __________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre