CALCULO I Ejercicios propuestos en examen durante los cursos 1993/1994 a 2008/2009

Jaime Fe Marqués E.T.S. Ingenieros de Caminos A Coruña

INDICE Página 1. PROBLEMAS. -Curso 93/94. -Curso 94/95. -Curso 95/96. -Curso 96/97. -Curso 97/98. -Curso 98/99. -Curso 99/00. -Curso 00/01. -Curso 01/02. -Curso 02/03. -Curso 03/04. -Curso 04/05. -Curso 05/06. -Curso 06/07. -Curso 07/08. -Curso 08/09.

.…………………………………1 ………………………………….4 ……………………………….…8 ………………………………...12 ………………………………...15 ………………………………...18 ………………………………...21 ………………………………...24 ………………………………...27 ………………………………...30 ………………………………...34 ………………………………...36 ………………………………...38 ...................................................41 ...................................................43 ...................................................44

2. INTEGRALES. -Curso 93/94. -Curso 94/95. -Curso 95/96. -Curso 96/97. -Curso 97/98. -Curso 98/99. -Curso 99/00. -Curso 00/01. -Curso 01/02. -Curso 02/03. -Curso 03/04. -Curso 04/05. -Curso 05/06. -Curso 06/07. -Curso 07/08. -Curso 08/09.

………………………………...48 ………………………………...49 ………………………………...50 ………………………………...52 ………………………………...53 ………………………………...54 ………………………………...55 ………………………………...56 ………………………………...57 ………………………………...58 ………………………………...59 ………………………………...60 ………………………………...61 ………………………………...62 ………………………………...63 ………………………………...64

3. TIPO TEST.

………………………………...66

4. SOLUCIONES. -Problemas. -Integrales. -Test.

………………………………...75 ………………………………...96 ……………………………….105

1. PROBLEMAS

Primer Parcial. Curso 93/94

1.– Sea el n´umero complejo z = a + ib, donde a=

n X cos(jθ) j=0

cosj (θ)

;

b=

n X sen(jθ) j=0

cosj (θ)

.

Obtener los valores de θ (0 < θ < π) para los que z es un n´ umero imaginario puro.

2.– Determinar los valores de a y α de modo que α = loga+i i sea un n´umero real. 3.– Calcular los siguientes l´ımites: a) l´ım [logn (n + 1)]n . n→∞

n+1 n+1 b) l´ım a n + bn , a > 0, b > 0. a +b n→∞   1 1 1 + tan 2 + · · · + tan 2 . c) l´ım tan 2 n→∞ n +1 n +2 n +n

n2 ln(5 · 21/n − 4) . n→∞ e + e1/2 + e1/3 + · · · + e1/n

d) l´ım

4.– Considerando los puntos del plano A(0, 0) y B(1, 0), se construye la sucesi´on {Pn } del siguiente modo: –El primer elemento es P1 (a, b). –Tomando Q1 como el punto medio del segmento AP1 , se traza la recta BQ1 . P2 es el punto medio del segmento BQ1 . –Se toma Q2 como el punto medio del segmento AP2 . P3 es el punto medio del segmento BQ2 . –Y as´ı sucesivamente. . . Escribir la expresi´ on de Pn . ¿Cu´al es la posici´on l´ımite cuando n tiende a infinito?

Segundo Parcial. Curso 93/94

5.– Si

∞ X

an es convergente, estudia el car´acter de

n=1

6.– Car´acter, en funci´on del par´ametro p, de

∞ X n=1

1 1 + an ,

an 6= −1 ∀n.

∞ X √ √ ( np + 1 − np ). n=1

–1–

7.– Car´acter, y suma en caso de ser convergente, de ∞ X n=1

! ∞ X (−1)n+1 Dato : = ln 2 . n

1 . (2n − 1)(2n)(2n + 1)

n=1

8.– Un dep´osito de agua tiene forma de cono recto de base circular, con el v´ertice hacia abajo. Su altura es 10 m y el radio de la base 4 m. Si el dep´ osito se llena con un caudal constante de 5 m3 /min, ¿a qu´e velocidad se eleva el nivel del agua cuando la profundidad es de 5 m?

9.– Para el trazado de una l´ınea ferroviaria de alta velocidad, el par´ametro b´asico en tramo de monta˜ na es la pendiente (Si se admite una pendiente elevada, la velocidad media del tren disminuye; a cambio, el tramo se acorta. Si, por el contrario, se impone una pendiente moderada, el tren circula m´ as deprisa; en contrapartida, la longitud del tramo aumenta). Su valor ´ optimo es aquel para el que el tren recorre el tramo en el menor tiempo posible. En Piedrafita (tramo de la futura l´ınea La Coru˜ na–Pek´ın), la longitud l y la pendiente p se relacionan por la siguiente expresi´on:  l en km l = 30 − 3p p en o /oo La velocidad media v de los trenes viene dada por:  v en km/h −p/8 v = 350 e p en o /oo Adem´ as, la pendiente debe estar comprendida obligatoriamente entre 2 o /oo y 3.5 o /oo . Con todos estos datos, el ingeniero encargado del proyecto deduce el tiempo que emplear´ıa el tren en recorrer el tramo en funci´on de su pendiente p. Derivando e igualando a 0 halla el valor de la pendiente que escoge para su propuesta de trazado. a)¿Cu´ al es el valor de la pendiente calculado de este modo? A los pocos d´ıas, el ingeniero es cesado de su puesto. b) ¿Cu´ al es el valor de la pendiente que deber´ıa haber utilizado en su propuesta de trazado, y por qu´e?

Examen Final. Curso 93/94

10.– Resolver la ecuaci´on cosh2 z + senh2 z + tanh2 z = 1, z ∈ C. I Nota:

a) cosh z =

ez + e−z ; 2

b) senh z =

ez − e−z ; 2

c) cosh2 z − senh2 z = 1.

11.– Dos individuos parten a la vez, del mismo extremo A del di´ametro AB de una circunferencia de radio r. Uno de ellos recorre la circunferencia en sentido horario con velocidad v. El otro recorre, con la misma velocidad el di´ametro AB; al llegar a B realiza el recorrido inverso y as´ı sucesivamente. Demostrar que nunca se encuentran.

–2–

12.– Sea IR, con la distancia usual. Se considera el conjunto   nn − 1 A = x ∈ IR / x = (−1) , n ∈ IN . n ◦

Hallar A, A0 , F r(A), A, Ext(A).

13.– Obtener

1 1 1 l´ım √ + p + ... + p . 2 n(n + 1) n(n + n) n

n→∞

14.– Estudiar el car´acter de

∞ X ln n 2 . n n=1

2 15.– Estudiar la convergencia uniforme de la sucesi´on funcional fn = 1 − nx2 .

1 + nx

16.– Obtener el polinomio de Taylor de grado 3 en un entorno del punto a = 1 de la funci´on f (x) =

2x + 1 . x(x + 1)

17.– Con una cartulina de 8 × 5 metros se desea construir una caja sin tapa de volumen m´aximo. Hallar las dimensiones de dicha caja.

Examen Extraordinario. Curso 93/94

18.– Hallar los n´umeros complejos z tales que su cuadrado es igual a su conjugado. r r + nr , 19.– Obtener l´ım 1 + 2nr++... 1 n→∞

r > 0.

20.– Car´acter de las series: ∞ X an n! a) nn+p n=1

b)

∞ X n=2

n . (ln n)ln n

21.– Car´acter, y suma en caso de ser convergente, de la serie: ∞ X n=1

1 . (2n − 1)2

∞ X 1 π2 Dato : = 6 n2 n=1

–3–

! .

22.– Un avi´on se desplaza en vuelo horizontal a 8 km de altura (suponemos la Tierra plana). La ruta de vuelo pasa por la vertical de un punto P del suelo. La distancia entre el avi´ on y el punto P disminuye a raz´ on de 4 km por minuto en el instante en que esta distancia es de 10 km Calcular la velocidad del avi´ on en km/h en ese instante.

23.– Sea f : [0, ∞) −→ IR dada por ( f (x) =

3 − x2 2 1 x

si 0 ≤ x ≤ 1 si x > 1 .

Estudiar si es posible aplicar el teorema de los incrementos finitos a f en el intervalo [0, 2]. En caso afirmativo, obtener el valor o valores de ξ mencionado en el teorema.

Primer Parcial. Curso 94/95

24.– Hallar el lugar geom´etrico de los afijos de z ∈ C, I tales que el argumento de a2 sea z¯

π , a ∈ IR, a 6= 0 ( z¯ = conjugado de z). 2

25.– Sea z un n´umero complejo. Se considera el tri´angulo formado por su inverso z −1 , y las ra´ıces cuadradas de z. Determinar z para que dicho tri´angulo sea equil´atero.

26.– Sea la sucesi´on recurrente an+1 =

an + 1 ; a1 = 3. 2

Estudiar la convergencia de dicha sucesi´on, y, en su caso, calcular su l´ımite.

27.– Estudiar el car´acter de la serie ∞ X 1 · 3 · 5 · 7 · · · (2n + 1) n=1

2 · 4 · 6 · 8 · · · 2n

· np

seg´ un el valor del par´ ametro p ∈ IR.

28.– Estudiar la convergencia y, en su caso, sumar la serie ∞ X n=0

n2 , (n + 2)! 2n

–4–

ex

∞ X xn = n! n=0

!

29.– Consideremos un cuadrado, D1, inscrito en un c´ırculo de radio R, C1. A este cuadrado, D1, a su vez, le inscribimos un c´ırculo C2. Este proceso se repite n veces. Se pide calcular el l´ımite, cuando n tiende a infinito, de: a) El ´ area sombreada de la Figura 1. b) La suma de los per´ımetros de los c´ırculos. c) El ´ area sombreada de la Figura 2.

Segundo Parcial. Curso 94/95

30.– Sea f (x) = arcsen

2x se pide: x2 + 1

a) Obtener el desarrollo de Taylor, explicitando los coeficientes. b) Calcular el radio de convergencia del desarrollo en serie de f (x) mediante el criterio de Cauchy. Definir el rango estricto de valores de x para los que la serie converge. c) A la vista del resultado,¿existir´a alguna otra funci´on conocida con el mismo desarrollo? d) Relacionar ambas funciones, mediante una expresi´on algebraica, identificando todos los par´ ametros.

31.– Un cilindro se ha obtenido haciendo girar, alrededor del eje OX, un rect´angulo tal que su base est´a sobre el eje OX y todo el rect´angulo est´a contenido dentro de la regi´on del plano limitada por la curva y = 2 1 y el eje OX. Encontrar el cilindro de superficie lateral m´axima. x +x+1

32.– Sea la funci´on de dos variables:  2 y z = f (x, y) = 2x  0

x 6= 0 x = 0.

Calcular en el origen los l´ımites direccionales y el funcional, as´ı como sus derivadas direccionales y parciales. ¿Es diferenciable en dicho punto?

–5–

33.– Sea z = f (x, y) = x2 y. a) Calcular d2 f . b) Si x = 2t e y = t2 , expresa el resultado anterior en funci´on de t. c) Considera ahora la funci´ on compuesta h / z = f (2t, t2 ) = h(t). Calcula d2 h. ¿Coincide el resultado con el del apartado anterior? d) Considera en general z = f (x, y) = f [x(t), y(t)] = h(t). ¿Sabr´ıas hallar la relaci´on entre dh y df ? ¿Y entre d2 h y d2 f ?

Examen Final. Curso 94/95

34.– Si A y B son los afijos de dos n´umeros complejos, tales que A y B son sim´etricos respecto a y = x , C es el afijo de la suma, y D el afijo del producto, se pide: a) Lugar geom´etrico de C. b) Lugar geom´etrico de D. c) Lugar geom´etrico de A , si el ´angulo CBD= π 2 radianes. d) Lugar geom´etrico de B , si el ´angulo CBD= π 2 radianes.

35.– Estudiar, en funci´on del par´ametro p, el car´acter de la serie

∞ X

np



n=2

 √1 − √ 1 . n n−1

36.– Una rana de 1 cm de longitud desea atravesar una charca de longitud 4 m. Se coloca con las patas traseras justo en el borde de la misma y empieza a saltar, con descansos de dos segundos entre salto y salto. Si cada salto mide 3/4 del anterior y el primero es de un metro, se pide: a) Averiguar si lograr´ a tocar con su cabeza el otro lado de la charca. b) Suponiendo que consiga su prop´osito y considerando instant´aneos los saltos, calcular la expresi´ on exacta del tiempo necesario para ello (se dejar´a indicada la expresi´on obtenida).

37.– Se encarga a una f´abrica una chapa de ancho 3B m, que se va a utilizar plegada convenientemente para construir un canal´on de drenaje de aguas pluviales. La secci´ on que se ha adoptado para el canal es trapecial, seg´ un la figura.

–6–

El caudal que desagua la secci´ on llena viene dada por Q = KA5/3 , donde Q es el caudal desaguado (m3 /seg), K una constante dimensional (m−1/3 seg −1 ) y A el ´area de la secci´ on llena (m2 ). Se pide: a) Demostrar que el caudal ser´a m´aximo cuando el ´area sea m´axima. b) Obtener el valor de θ que hace que el caudal desaguado sea m´aximo.

38.– Sea la funci´on f (x) =

x(ln x)2 , (x − 1)2

x ∈ IR.

a) Redefinir adecuadamente la funci´on y = f (x), de modo que sea continua en [0, 2]. 0

b) Obtener el valor de l´ım f (x). x→0+

1 ), se pide: 39.– Dada la funci´on f (x, y, z) = ln( xyz a) Regiones del espacio en las que est´a definida. b) Regiones del espacio en las que es diferenciable. c) Expresi´ on de su Hessiano en el punto (1,–1,–1). d) Obtener los tres primeros t´erminos del desarrollo en serie de Taylor en (1,–1,–1). e) Calcular la expresi´ on m´ as desarrollada posible de su diferencial n-´esima.

Examen Extraordinario. Curso 94/95

40.– Obtener todas las soluciones posibles de la siguiente ecuaci´on, y representarlas gr´aficamente: sen z = i senh z;

z ∈ C. I

41.– Se considera el conjunto A ⊂ IR,  A=

[ /  6n − 3 1 0≤x≤2 x= , n ∈ IN x= , n ∈ IN . 2n 3n

Hallar los conjuntos adherente, interior, derivado y frontera de A.

42.– Calcular el siguiente l´ımite,  l´ım

n→∞

an + b an + c

n ;

a ∈ IR; b, c ∈ IR+ .

–7–

43.– Estudiar, en funci´on de los valores de los par´ametros α y β, el car´acter de la serie ∞ X

nα eβ

√

n

α, β ∈ IR.

;

n=1

44.– Siendo α y β las ra´ıces reales positivas de la ecuaci´on ax2 + bx + c = 0, hallar, en funci´on de a, b, c, α y β, el desarrollo en serie de McLaurin de la siguiente funci´on: y = ln(cx2 − bx + a);

a, c ∈ IR+ .

45.– Sea la funci´on: y = f (x) =

  x sen(π/x) sen 

1 sen(π/x)

1 si x 6= 0, x 6= n 1. si x = 0 ´o x = n

0

Estudiar su continuidad y derivabilidad.

46.– Se considera la familia de funciones de dos variables: f (x, y) =

tan(x2 + y 2 ) . p + x2 + y 2

a) En el caso de ser p = 0, se pide: a.1. Hallar el valor que hay que asignar a la funci´on en el origen para que sea continua en dicho punto. a.2. Estudiar su continuidad en el resto de R2 . a.3. Calcular en el origen sus derivadas direccionales y parciales. Tomar como valor de la funci´ on en ese punto el hallado en el apartado a.1. b) Si p = 1, se pide: b.1. Estudiar su diferenciabilidad en el origen. q q  π , π , calcular su diferencial total en M . b.2. En caso de ser diferenciable en M 2 2

Primer Parcial. Curso 95/96

47.– Dado el n´umero complejo z, se define la transformaci´on w = unidad, hallar el lugar geom´etrico descrito por w.

48.– Calcular: l´ım

n→∞

n X i=1

i · sen

1 n2 + i

–8–

1 . Si z tiene m´ odulo (1 + z 2 )

49.– Sea la sucesi´on de t´ermino general an =

bn n−b , b ∈ IR. 1 + 2 + ... + n + (n + 1)

Teniendo en cuenta que b2 = 1, se pide: a) Seg´ un los distintos valores de b, estudiar el car´acter de la serie

∞ X

an .

n=1

b) Seg´ un los distintos valores de b, calcular la suma de la serie, en los casos en que proceda.

Segundo Parcial. Curso 95/96

50.– Sea f (x) = exx . Se pide: a) Calcular la expresi´ on de su derivada n-´esima f n (x). b) Obtener el desarrollo de McLaurin, explicitando los coeficientes. c) Calcular el radio de convergencia del desarrollo en serie de f (x). d) Dar la expresi´ on, particularizada para la funci´on f (x), del resto de Lagrange. 2

51.– Demostrar que la ecuaci´on e−x = ln x se satisface exactamente para un valor de x. 52.– Sea z = f (x, y) = 1 −

p x2 + y 2 . Sean O(0,0) y P(1,1). Se pide:

a) Estudiar la continuidad en O, calculando el l´ımite funcional por la definici´on de l´ımite. b) Derivada direccional en O. c) Continuidad de las derivadas parciales en O. d) Diferenciabilidad en O. e) Diferenciabilidad en P. f ) Diferencial de la funci´ on en P, si existe. g) Calcular y dibujar el vector gradiente en P, si existe. h) Dibujar la curva de nivel que pasa por P. Relaci´on entre este resultado y el g). i) ¿Posee la funci´ on alg´ un extremo relativo?

Examen Final. Curso 95/96

53.– Demostrar que se cumple (a, b, c, d ∈ IR):  a)

0