ASIGNATURA FISICA II AÑO 2012 GUIA NRO. 1 LEY DE COULOMB Y CAMPO ELÉCTRICO Bibliografía Obligatoria (mínima) Capítulo 23 Física de Serway – Tomo II Apunte de la cátedra: Capìtulo I PREGUNTAS SOBRE LA TEORIA Las “preguntas sobre la teoría” pretenden desarrollar en el alumno la habilidad de expresar con sus propias palabras los conceptos fundamentales de la Guía. Es necesario tratar de responderlas para poder abordar la resolución de los “problemas” y contestar las “cuestiones”. 1-¿Qué es la Electrostática? 2-a) Enuncie la Ley de Coulomb de la Electrostática. b) Escriba su expresión matemática vectorial. c) Explique cada una de sus variables y el significado general de la Ley. 3- Describa el experimento que permitió a Coulomb enunciar su Ley. 4- Distinga entre distribuciones discretas de carga y distribuciones continuas de carga. 5-¿Qué es el campo eléctrico? 6-Escriba y explique el significado general de la expresión del campo eléctrico de una carga puntual y de n cargas puntuales (distribución discreta de cargas). Explique el significado de cada variable presente. 7-Escriba y explique el significado general de la expresión del campo eléctrico de una distribución contínua de cargas para los siguientes casos: Cuerpo cargado “en longitud” Cuerpo cargado “en superficie” Cuerpo cargado “en volumen” 8-a) Enuncie la Ley de Acción de Masas b) Escriba su expresión matemática vectorial. c) Explique cada una de sus variables y el significado general de la Ley. 3- Describa el experimento que permitió a Coulomb enunciar su Ley. 9- Distinga entre distribuciones discretas de masa y distribuciones continuas de masa. 10-¿Qué es el campo gravitatorio?

11-Escriba y explique el significado general de la expresión del campo gravitatorio de una masa puntual y de n masas puntuales (distribución discreta de masas). Explique el significado de cada variable presente. 12-Escriba y explique el significado general de la expresión del campo gravitatorio de una distribución continua de masa. 13-¿Cómo se construyen y que significan las líneas de campo eléctrico? 14-¿Cómo se construyen y que significan las líneas de campo gravitatorio? 15- Mencione las unidades en el Sistema Internacional de: fuerza, carga, masa, campo eléctrico, campo gravitatorio. PROBLEMAS Resolver los “problemas” implica la aplicación de conceptos o leyes que forman parte de la Guía a situaciones concretas. 1- En los vértices de un cuadrado de lado igual a 1m se ubican respectivas masas de 10 g cada una. ¿Cuál es la fuerza gravitacional que recibe una de ellas debido a las restantes? 2- ¿Cuál es la fuerza electrostática que se ejercen mutuamente un electrón y un protón en el átomo de hidrógeno? Compárela con la fuerza de interacción de masas (gravitatoria) que aparece entre los mismos. 3- Las dos pequeñas esferas de la figura presentan idéntico modulo de su carga eléctrica (igual signo en el caso a y distinto signo en el caso b) y un radio despreciable frente a la distancia que las separa, por lo que pueden ser consideradas cargas puntuales. Se encuentran en equilibrio en la posición mostrada debido a la repulsión o atracción electrostática según el caso. ¿Cuál es el valor de la carga que poseen si la masa de ambas es de 1 mg?

4- En los vértices de un triángulo de lado a se hallan tres cargas puntuales con carga q. Hallar la fuerza que recibe una de ellas debido a las restantes.

5- Para la distribución de masas del problema 1 calcular: a) el valor del campo gravitatorio en el centro del cuadrado. b) el valor del campo gravitatorio en un punto ubicado en la mitad de un lado c) la expresión del campo gravitatorio en todo punto del espacio. 6- Para la distribución de cargas de problema 4 calcular: a)el valor del campo eléctrico en el punto donde se encuentra una de las cargas. b)el valor del campo eléctrico en el centro del triángulo. c)a expresión del campo eléctrico en todo punto del espacio. 7- Hallar la expresión del campo eléctrico en todo punto del eje x de la distribución lineal de cargas, de longitud L, mostrada en las figuras, y cuya densidad lineal de carga λ es uniforme.

8- Hallar el campo eléctrico en todo punto del eje axial de la espira circular de radio “a” y densidad lineal de carga λ mostrada en la figura. Atender al caso particular del campo eléctrico en el centro de la espira.

CUESTIONES Contestar las “cuestiones” implica la aplicación de conceptos o leyes que forman parte de la Guía a situaciones concretas. 1- Comparar las propiedades de la carga eléctrica con las de la masa gravitatoria. Discutir las semejanzas y diferencias entre ambas y entre el campo gravitatorio y el campo eléctrico. 2- ¿Cómo sería nuestro mundo si la carga del protón fuese ligeramente mayor en valor que la del electrón?

3- Si el convenio de signos para las cargas se variase de modo que la carga electrónica fuese positiva y la del protón negativa ¿debería escribirse la Ley de Coulomb del mismo modo o de modo diferente? 4- ¿Qué implica decir que la carga eléctrica de un sistema se conserva? 5- ¿Por qué, cuando el aire está húmedo, los fenómenos electrostáticos se atenúan? ¿Sucede lo mismo si el aire contiene, por ejemplo, vapores de tetracloruro de carbono? 6- ¿Por qué la sal común es soluble en agua y no en aceite? 7- Se cuelga de un hilo una bola pequeña, de poco peso y conductora, sin carga eléctrica neta. Cuando se acerca a dicha bola una carga positiva, la bolita se ve atraída hacia la carga ¿Como se explica esto? Si la bola es un aislante en lugar de un conductor, sigue siendo atraída ¿Cómo? ¿Sería distinto el caso si la carga que se acerca a la bola fuese negativa en lugar de positiva? ¿En qué? 8- El campo eléctrico de una carga puntual ¿tiene un sentido siempre de alejamiento de la carga? 9- La carga del electrón ¿es la menor carga posible? 10- Las líneas de campo eléctrico ¿nunca divergen desde un punto del espacio? 11- Las líneas de campo eléctrico ¿nunca pueden cortarse en un punto del espacio? 12- Diálogo entre dos estudiantes: Juan: ¿Tenés idea de la naturaleza de las fuerzas que dan lugar a la cohesión de los cuerpos, tanto se trate de planetas como de piedras? Pedro: Elemental Juan. Si los materiales que constituyen nuestra Tierra se mantienen unidos, es evidentemente por las mismas razones por las que nosotros permanecemos sobre la Tierra, retenidos por la gravedad. Por lo tanto, es la gravedad la responsable de la cohesión de la materia. Juan: ¿Y vos pensás que lo que es válido para un planeta también lo es para una piedra? Pedro: Por supuesto. ¿No están hechos el planeta y la piedra de la misma materia? Juan: Pero ¿cómo es posible que entre las partes de una piedra exista una atracción gravitacional lo bastante grande como para explicar su cohesión, cuando no sentimos la atracción gravitacional de esta piedra sobre nosotros, por ser demasiado débil, contrariamente a la de la Tierra? Pedro: Entonces, ¿cuál es su explicación? Juan: Para mí, se trata de fuerzas electrostáticas, debidas a la atracción recíproca de las partículas negativas (electrones) y positivas (núcleos) que constituyen la materia. Por

otra parte, vos sabés que las fuerzas eléctricas son mucho más poderosas que las fuerzas gravitacionales, y que la atracción eléctrica entre un electrón y un protón es unas 1040 veces mayor que su atracción gravitacional, que debe por lo tanto estar completamente enmascarada. Pedro: Eso es absurdo. Te olvidás que además de las atracciones eléctricas entre las partículas negativas y positivas, existen repulsiones entre las negativas (entre sí) y las positivas (entre sí). Como la materia es globalmente neutra, estas atracciones y repulsiones se compensan y las fuerzas se anulan. ¿Qué piensa Ud de estos argumentos? ¿Quién tiene razón? ¿Qué fuerzas, las eléctricas o las gravitacionales, aseguran la cohesión de la materia? ¿Es el caso de un planeta el mismo que el de una piedra? ¿Por qué uno es esférico y el otro puede tener cualquier forma? ¿Cuál es la diferencia?

APLICACIONES TECNOLOGICAS 1-Precipitador Electrostático 2- Fotocopiadora OBJETIVOS DE LA UNIDAD TEMATICA N° 1 (Guía Nro. 1) Al finalizar esta unidad el alumno podrá: Comprender y explicar el concepto de carga eléctrica, su conservación, el hecho de que se encuentra acompañada de masa formando partículas elementales, así como la ley que explica las acciones mutuas entre las cargas eléctricas (Coulomb), el principio de superposición de efectos, el principio de conservación de la carga en sistemas aislados y la importancia del hecho de que la carga se presente cuantizada. Describir la expresión matemática que permite calcular la fuerza sobre una carga puntual debido a otras cargas puntuales e indicar el por qué de la necesidad de introducir una constante de proporcionalidad en la Ley de Coulomb. Explicar la relevancia conceptual de la definición del Campo Eléctrico a partir de dicha ley, tanto en la interpretación de la interacción de cargas en reposo como en el análisis de las trayectorias de cargas en movimiento e interacciones a distancia en general. Comprender y describir el hecho de que la Ley de Coulomb se puede extrapolar al estudio de interacciones entre cuerpos cargados (con exceso o defecto de electrones) al igual que entre cargas elementales y en un amplio rango de longitudes, y explicar su importancia para concebir la estructura y comportamiento de la materia. Distinguir entre distribuciones discretas y continuas de carga, reconociendo en estas últimas una herramienta de aproximación para simplificar el cálculo. Apreciar en las líneas de campo eléctrico una forma de describir el mismo, esto lo pondrá de manifiesto explicando su concepto, utilidad y limitaciones, y demostrando

que su definición se relaciona con la dependencia del campo eléctrico con la inversa del cuadrado de la distancia. Reconocer y enunciar similitudes del campo eléctrico y el campo gravitatorio, tanto en su concepción teórica como en su cálculo, comparar ambos consolidando la comprensión de los campos en general, pudiendo justificar similitudes y diferencias. Dada una distribución discreta de carga deberá poder hallar la fuerza neta sobre una determinada carga puntual o el campo eléctrico que producen en todo punto del espacio, aplicando la ley de Coulomb y el principio de superposición. Dada una distribución continua de carga (lineal, superficial o volumétrica) deberá hallar el campo eléctrico debido a la misma en todo punto del espacio aplicando la expresión integral del campo eléctrico, para el caso de distribuciones con marcada simetría como hilos infinitos y finitos, circunferencias y círculos. Dada una distribución discreta de masa deberá poder hallar la fuerza neta sobre una determinada masa puntual o el campo gravitatorio que producen en todo punto del espacio, aplicando la ley de acción de masas y el principio de superposición. Dada una distribución continua de masa (lineal, superficial o volumétrica) deberá hallar el campo gravitatorio debido a la misma en todo punto del espacio aplicando la expresión integral del campo gravitatorio, para el caso de distribuciones con marcada simetría como: hilos infinitos y finitos, circunferencias y círculos. Aplicar los conocimientos adquiridos en esta unidad a la resolución de situaciones problemáticas de la electrostática en general, tal como los presentados en la Guía.

APÉNDICE MATEMÁTICO –GUIA NRO. 1 – FÍSICA II Vectores. Operaciones vectoriales. Bases. Sistemas de coordenadas Vector, en matemáticas, cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido al mismo tiempo Suma de vectores Dados dos vectores A y B como representamos, definimos la suma A + B = C de forma tal que Cx = Ax + Bx y Cy = Ay + By. Como las coordenadas del vector suma (C) se obtiene como suma de escalares, la suma de vectores es conmutativa pudiendo escribir A + B = B + A.

Observamos en el esquema, que si trazamos un paralelogramo tal que los sumandos sean dos lados del mismo, el vector suma, es el vector que tiene como origen el origen común, y como extremo el vértice opuesto. A este procedimiento se le conoce como: suma por el método del paralelogramo. También puede observarse que trasladando al vector A, de forma que su origen coincida con el extremo de B, el vector suma es el vector que tiene como origen el origen de B, y como extremo el extremo de A. A este procedimiento se le llama suma por el método de la poligonal, dado que queda determinado un polígono (en nuestro caso un triángulo).

Si debemos sumar más de dos vectores, puede demostrarse que se cumple la asociativa: A + B + C = (A + B) + C Resta de vectores Definimos la operación: A - B = D tal que A = B + D (cumpliendo la propiedad uniforme).

De acuerdo al método de la poligonal:

Y por coordenadas cartesianas:

Dx = Ax - Bx ; Dy = Ay - By Observamos que las coordenadas del vector diferencia, son la diferencia de las coordenadas del vector minuendo manos las del vector sustraendo Producto de un escalar por un vector Si a las coordenadas de un vector A, las multiplicamos por un mismo escalar M, obtenemos las coordenadas de un nuevo vector P, cuyas coordenadas son: Px = M Ax ; Py = M Ay donde el módulo del vector P es por el teorema de Pitágoras:

su argumento es de acuerdo a la definición de tangente trigonométrica:

Si representamos a estos cartesianos, obtenemos:

vectores en un par de ejes

Definimos entonces, el producto del escalar M y el vector A como el vector P tal que el valor del vector P es el valor del vector A multiplicado por el escalar M, siendo iguales sus argumentos representando la operación como: MA=P Si el escalar M es positivo, el vector P tiene el mismo sentido que el vector A. En cambio si el escalar M es negativo, el vector P tiene sentido opuesto que A.

Vectores unitarios- Versores Los vectores unitarios, llamados versores, son vectores cuyo módulo vale uno. El versor A, es un vector que tiene la dirección del vector A; su módulo es la unidad y su notación es. Es la misma notación del vector, aÑadiÉndole un acento circunflejo. Podemos escribir que:

A=A Trabajando en un espacio tridimensional, las coordenadas de un vector A respecto a un sistema referencial (x; y; z) ortogonal, son una terna de números (Ax; Ay; Az).

Definimos tres versores ortogonales en los sentidos positivos de los ejes (x; y; z) respectivamente, que denominaremos: Multiplicando las coordenadas del vector por sus correspondientes versores, obtenemos las componentes del vector en las direcciones de los ejes del sistema referencial como representamos anteriormente. Así se cumple que:

Signo matemático de un vector Como ya hemos visto, un vector con la dirección de la recta r orientada, puede escribirse como el producto de un escalar por un versor como mostramos.

V=V El escalar V puede ser positivo o negativo, dependiendo de si el vector tiene igual sentido que el versor ere o sentido opuesto. En el caso mostrado es positivo. Si la recta erre está cambiando su dirección, por ejemplo respecto a un sistema referencial ortogonal, el versor erre en cada instante es:

donde cada uno de los sumandos son las componentes del versor entre y los escalares A; B y C siendo positivos o negativos según los ángulos que forme el versor respecto con los ejes x; y, z del sistema referencial. De acuerdo al teorema de Pitágoras debe cumplirse:

Por lo tanto el versor erre no tiene un signo asignado respecto al sistema referencial x; y; z. y tampoco lo tiene el vector V. Resumiendo: un vector cuya dirección cambie respecto un sistema referencial, no tiene un signo matemático asociado pero si lo tienen sus componentes.

Producto interno (escalar) Como el vector A puede ser escrito como:

Observamos por el teorema de Pitágoras que los escalares de la relación anterior cumplen: A2 = Ax2 + Ay2 + Az2 se define el, como el producto del vector por si mismo, de manera que se cumpla: A2 = A A = A2 = Ax2 + Ay2 + Az2 Observamos que este producto del vector A por el vector A, da como resultado un escalar. Por este motivo, a este producto se le denomina producto escalar de vectores. Concluimos que el producto escalar de dos vectores define un escalar de forma que: A B = Ax.Bx + Ay.By + Az.Bz Observaciones: •

El producto escalar de dos vectores es conmutativo cumpliéndose que:

AB=B A •

Si elegimos un sistema referencial de forma que uno de los factores tenga componente nula en uno de los ejes como representamos, nos queda:

A B= Ax Bx + Ay By y como By = 0 A B= Ax B = (A cos a) B = A B cos a El producto escalar de dos vectores es igual al producto de sus módulos por el coseno del ángulo que forman. Entendiéndose por el ángulo formado por dos vectores, es el menor ángulo definido por las direcciones de los vectores. El producto escalar de dos vectores perpendiculares, es nulo.

Notación versorial Con notación versorial, el producto escalar se realiza aplicando la propiedad distributiva del producto frente a la suma, recordando que el producto escalar de versores perpendiculares es cero, como se muestra:

A B 1 x 1 x cos 0' = 1 1 x 1 x cos 90' = 0 1 x 1 x cos 90' = 0 1 x 1 x cos 0' = 1 1 x 1 x cos 90' = 0 1 x 1 x cos 0' = 1

A B = AxBx+AyBy+AzBz

•

El producto escalar, no tiene operación inversa. Con esto queremos decir que: si conocemos el resultado de un producto escalar y uno de los vectores factor, el otro vector esté indeterminado. Existen infinitas soluciones. Por este motivo, la división entre vectores, carece de significado y no se define.

Producto externo (vectorial) Así como en el producto escalar de vectores, multiplicamos entre sí las coordenadas de igual dirección, podemos definir otro producto en el cual se multipliquen las componentes perpendiculares, siendo nulos los productos de componentes de igual dirección. Definimos entones el producto vectorial de dos vectores como: A x B = AxBy - AyBx donde las coordenadas, son las que corresponden a un sistema referencial coplanar con los vectores factores. Demostraremos que este producto es el área de un paralelogramo cuyos lados son iguales a los módulos de los vectores.

El área del paralelogramo coloreado en verde, es el área PxPy restándole las áreas tramadas donde las de igual trama, son iguales.

Área = PxPy - 2(AxAy / 2) - 2(BxBy / 2) -2BxAy

Área = (Ax + Bx)(Ay + By) - AxAy - BxBy -2BxAy = AxBy - AyBx por lo tanto: A x B = área = AxBy - AyBx Observaciones:

•

En un espacio bidimensional, el producto vectorial es un escalar igual al área de un paralelogramo definido por los vectores factores.

•

Este producto, por ser definido mediante una diferencia, no es conmutativo por lo que el resultado puede ser positivo o negativo (posee asociado un signo), por lo que A x B = - B x A.

•

Si los factores se definen en coordenadas polares, y d y b son los argumentos de A y B respectivamente, podemos escribir: A x B = AxBy - BxAy = AB cosd senb - AB cosb send = AB sen (b - d) A x B = AB sena

De esta última manera de expresar el producto, deducimos que el signo debe estar determinado por la función sin(a). La cual es negativa para ángulos comprendidos entre 180º y 360º (p y 2p radianes), no pudiendo darse, por la definición de ángulo entre vectores. Debemos convenir (como lo hacen los matemáticos) que si medimos el ángulo a desde el primer factor hacia el segundo mediante una rotación, y esta es anti-horaria, el signo de la función seno, es positivo. De acuerdo a las observaciones anteriores, corresponde preguntarnos, qué significado tiene un área negativa? Si consideramos a este producto en un espacio tridimensional, definido por un triedro positivo como mostramos, observamos que el área del paralelogramo (en color verde), definido por los vectores factores, puede determinarse como una combinación de las áreas definidas por las componentes en los tres planos del triedro de los vectores A y B como mostramos.

El área en color verde, es el área del paralelogramo definido por los vectores A y B. Las áreas en color amarillo; azul y roja, son las proyecciones del área verde respecto a los planos (x;y), (y;z) y (z;x) respectivamente y son las proyecciones del área verde respecto a los planos antes mencionados. Cada una de estas áreas valen: |área|xy = AxBy - AyBx |área|zx = AzBx - AxBz

|área|yz = AyBz - AzBy Estas áreas frente a traslaciones o rotaciones del sistema referencial, se transforman igual que los vectores. Por lo tanto tiene un comportamiento, desde el punto de vista matemático, igual que los vectores. Podemos asociar un vector a cada una de estas áreas de manera que el módulo del vector, sea el área; la dirección del vector nos indique la dirección del plano en el espacio y el sentido del vector, el signo del área. La única recta que determina la dirección de un plano en el espacio, es la recta normal (perpendicular) al plano y resulta cómodo expresar estas áreas en notación versorial obteniendo: |área|xy

= (AxBy - AyBx)

|área|zx

= (AzBx - AxBz)

|área|yz

= (AyBz - AzBy)

Por lo tanto, el área verde tendrá un vector asociado, que es la suma vectorial de los tres vectores antes definidos y le llamamos S. En un espacio tridimensional, podemos asociar al producto externo de vectores, otro vector cuyo módulo es el área del paralelogramo definido por los factores; su dirección es perpendicular al área y su sentido es definido arbitrariamente mediante una convención de signos, como ser la regla de la mano derecha o del tornillo. Por esta razón, también se le llama producto vectorial. Pero no alcanza que un elemento se comporte en forma parecida a un vector para serlo, es necesario que cumpla con todas las caracterçisticas, y el vector S no se comporta adecuadamente en una simetría especular, razón por la cual se le suele denominar seudo-vector. Regla de la mano derecha y del tornillo Sean dos vectores A y B como los representados en la figura, y deseamos realizar la operación A x B = C. Ubicamos los vectores con el origen común. La dirección del seudo-vector C es perpendicular al plano determinado por los vectores A y B

. Si determinamos el sentido con la regla de la mano derecha, colocamos los dedos índice, medio, anular y meñique en el sentido del primer factor (en nuestro ejemplo el vector A) y cerramos la mano rotando los dedos antes mencionados el ángulo a. El dedo pulgar queda indicando el sentido del seudo-vector C. En cambio si aplicamos la regla del tornillo, ubicamos un tornillo perpendicular al plano determinado por los dos factores, y lo giramos en el sentido que se debe rotar el primer factor sobre el segundo para que gire el ángulo a. El sentido que avanza el tornillo, es el sentido del seudo-vector producto, Notación versorial Observemos la elegancia y sencillez de la notación versorial

Aplicando la propiedad distributiva del producto frente a la suma:

y por definición de producto externo:

Coordenadas cartesianas y polares. Bases. Relaciones El plano cartesiano es un sistema rectangular, debido a que las coordenadas de un punto geométricamente describen un rectángulo. Si hacemos que este punto represente un vector de magnitud r que parte desde el origen y que tiene ángulo de giro θ , tendríamos otra forma de definir un punto.

Sería suficiente, para denotar al punto de esta manera, mencionar el valor de r y el valor de θ. Esto se lo va a hacer indicando el par ordenado (r, θ ), en este caso se dice que son las coordenadas polares del punto. Base Polar. Algunas veces conviene representar un punto P en el plano por medio de coordenadas polares planas (r, θ), donde r se mide desde el origen y θ es el ángulo entre r y el eje x (ver figura).

Para establecer la relación entre coordenadas cartesianas y polares es suficiente proyectar r sobre los ejes x e y. De la gráfica se sigue que:

Las dos ecuaciones anteriores permiten expresar las coordenadas cartesianas en términos de las polares. Recíprocamente, las coordenadas polares pueden expresarse en términos de las cartesianas en la forma:

En forma vectorial podemos escribir

Es posible introducir una pareja de vectores unitarios y perpendiculares, en las direcciones en que se incrementan r y θ. Estos vectores se expresan en términos de .

Recíprocamente

y