POTENCIAS −2

1. 2.

3.

a) 4.

−1

⎛3 3⎞ ⎛1 7⎞ Halla sin calculadora ⎜ − ⎟ ⎜ − ⎟ + 4 . ⎝2 4⎠ ⎝3 9⎠ Simplifica utilizando las propiedades de las potencias: 36 ⋅ 25 ⋅ 52 34 ⋅16 ⋅ 9−1 152 ⋅ 8−1 a −3 b − 4 c 7 b) c) d) a) 3 3 a −5 b 2 c −1 9 ⋅ 4 ⋅5 5−1 ⋅ 35 63 ⋅102 Expresa los siguientes radicales mediante potencias de exponente fraccionario y simplifica: 5

3

a2 ⋅ a

b)

x2

x x Resuelve sin utilizar la calculadora:

3

1

c)

4

d)

a3 3

84

6.

b) 3 343 c) 4 625 a) 5 32 Expresa como potencia de base 2: 1 1/ 5 b) ( −32 ) a) 2 Calcula utilizando potencias de base 2, 3 y 5:

7.

3 4 −1 ( −5) ⋅ ( −8) ⋅ ( −9 ) 1 ⎛ 3⎞ ⎛ 1⎞ ⎛2⎞ 1 a) 4 ⋅ ⋅ ⎜ − ⎟ b) ⎜ − ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ c) 3 ⎝ 2⎠ 152 ⋅ 204 ⎝ 2⎠ ⎝9⎠ 8 Expresa en forma de potencia, efectúa las operaciones y simplifica:

5.

d)

e)

0, 25

( 2) 8

c)

9.

2

d)

0, 001

23 4

d) 3

3

( −30 )

−1

⋅152

103

1 1 1 1 ⋅6 c) 3 a 2 ⋅ 4 a −2 ⋅ d) ⋅ 6 4 ⋅161/ 4 a 4 4 8 a a Justifica las igualdades que son verdaderas y escribe el resultado correcto en las falsas: 2 −2 −3 ⎛ 1 ⎞ a 2 ⋅ b −2 3−2 − 5−2 8 80 −2 ⎛1⎞ a) −2 2 = 1 b) ( 3−2 ) ⎜ ⎟ = 1 c) −1 −1 = d) ⎜ ⎟ − ( −3) = a ⋅b 3 −5 15 9 ⎝3⎠ ⎝ 27 ⎠ Demuestra, utilizando potencias, que:

a) 8.

a 3 ⋅ a −1

f)

4

3

4

x 2 x3 ⋅ x2 x

a)

( 0,125)

1/ 3

b) 161/ 4 ⋅ 3

= 2 −1

b)

( 0, 25 )

−1/ 2

=2

RADICALES 10. Introduce los factores dentro de cada raíz: 1 2 3x b) 4 3 c) a) 2 3 3 x 8 4 11. Saca de la raíz los factores que puedas:

d)

3 3 25 5 9

a)

16

c)

b) 4 8

d)

b)

3

f)

13 15 5

a a + 9 16

k)

( )

32a 3 45b 4

e) 2 4 4

1000

e)

125a 2 16b

g)

16 a3

i)

3

8a 5

f)

1 1 + 4 9

h)

4a 2 + 4

j)

4

25a 2 b c6

l)

8

0, 0016

c)

(x y )

f)

81 64

f)

10

2

12. Simplifica: a)

6

0, 027

4

1+

9 16

d)

12

a 4 b8

e)

8

3

− 108

d)

12

64 y 3

e)

4

2

2 2

3 4

x7 x2

13. Simplifica los siguientes radicales: a)

3

24

b)

6

c)

27

14. Reduce a índice común y ordena de menor a mayor: b) c) a) 4 4 , 3 3 , 2 6, 3 4 15. Realiza la operación y simplifica, si es posible: 2 1 2⋅ c) 3 12 d) a) 4 27 ⋅ 5 6 b) 8 16. Efectúa y simplifica, si es posible:

(

a)

3

2⋅ 3

b)

3

a⋅3

)

1 ⋅ a a

(

6

4

32

⎛ c) ⎜ ⎜ ⎝

6,

) 6

5

3

3

e) 32 ⎞ ⎟ 8 ⎠⎟

4

d)

10

3

625

8

24

4

25

72 ,

3

3

d)

9,

4 ⋅ 3

f) 2

3

3

6

100

27 8

2 3 3

4

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1

17. Expresa con una única raíz:

a3 ⋅ 5 a 4

4

a)

4 3

b)

4

3

c)

24 8

a

18. Racionaliza los denominadores y simplifica: 2 3 2 −1 72 + 3 32 − 8 2 3 b) c) d) e) a) 3 2 3+ 3 18 2 8 19. Calcula y simplifica: 3 80 a) 5 125 + 6 45 − 7 20 + c) 125 + 54 − 45 − 24 2 21 d) 2 6 27 − 3 4 9 + 6 10 243 b) 3 16 + 2 3 2 − 3 54 − 3 250 5 20. Simplifica al máximo las siguientes expresiones:

(

d) 2 6 4 3 − 7 2

a) 3 3 16 − 2 3 250 + 5 3 54 − 4 3 2

2 18 1 −4 + 5 125 3

b)

8 45

3a 5 21. Realiza las operaciones y reduce si es posible: c) 7 3 81a − 2 3 3a 4 +

a) b) c)

e)

(5

f)

( 2 + 7 3 )( 5 + 3 2 )

3

(5 + 4 3 ) (4 − 2 5 ) ( 4 + 3 2 )( 4 − 3 2 ) 2

d)

2

e) f)

22. Efectúa y simplifica: a) b) c)

( ( (

3+ 6+

5−

) −( 3 − 2) 5)⋅2 2 6 )( 5 + 6 ) 2

2

d)

2

e) f)

23. Racionaliza y simplifica: 2 3− 2 c) a) 18 2 b)

2 3+

2

1−

3−

5

e)

)

3

f)

5−2

b) 1

25. Opera y simplifica:

(

d)

12 24. Racionaliza y efectúa: 3 2 − a) 3− 2 3+ 2

1

3 1+

1

+ 3

1+

(3 (4 (6

)(

2− 3 3 2+4 3

) 5 )( 4 3)

5 −2 3 2 −2

)

2

2+2 5

)

2

2 +5

(2 5 − 3 2 ) ( 2 − 1)( 2 + 1) 3 ( 2 + 3 )( 6 − 1) 2

11 2 5 +3 3 6+2 2 3 3+2 7−

5

7+

5

−

7+

5

7− 5

.

3 1−

)

3

26. Comprueba que 6 + 27 ⋅ 6 − 27 es un número entero. 27. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica: 98 − 18 ⋅ 30 3 a) a 3 − 2a 4 a 2 + 3a 6 a 3 − 8 a12 b) 96 28. Efectúa las siguientes operaciones y simplifica: 5 2 4 2 1 1 7 1 1 − − + + − b) c) a) 2 −1 2 +1 3− 2 3 − 2 2− 3 6 6 +3 2 3

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2

POTENCIAS (Soluciones) 1.

0

2.

a)

3. 4.

a) a 10 a) 2

5 2

b)

24 ⋅ 5 33

9

−

b) x b) 7

1 2

5 6

a) 2

6.

a) − 32 ⋅ 2−1

7.

a) a

8.

a) F

9.

a) 2 −1

7 4

a4 b4

1 2 ⋅3 8

c) a c) 5

−

a 2 ⋅ c8 b6

d) x 6 d) 0.5

b) 32 ⋅ 2 −8

c) 2 2 ⋅ 32 c) 53

b) 1

c) a

b) V

c) V

−

d)

7

3 4

1 2

b) −2

5.

−

−

c)

1 3

d) 2

d) − d) 2

e) 16

f) 0.1

5 6

3 2 ⋅ 52 4

−

5 3

d) V

b) 2

RADICALES (Soluciones) 10. a)

3

23 ⋅ 3

b)

3

24

c)

3 2x

d)

3

3 5

e)

23

g)

4 a a2

i)

5 a 12

k) 4 2

j)

1 4 25a 2 b c c2

l)

11. a) 2 3 2

c) 10 10

e)

5a 5 4 b

b) 8 2

d) 2a 3 a 2

f)

13 6

h) 2 a 2 + 1

0.3

b)

0.2

c)

5 2

d)

3

ab 2

e)

xy

13. a) 2 3 3

b)

3

c) −3 3 4

d)

4

4y

e)

3 2 4

12. a)

f)

f)

3

3 25

4a 3b 2 4

2a 5

x3

f) 1

14. a)

6

23 , 6 32 , 6 23 ;

4

4= 2 1 d) x < 3 y x ≥ −2 a) x < 3 o x ≥ 5 b) x > 0 y x < 4 Expresa, usando intervalos, los números que cumplen cada una de estas expresiones: b) x ≥ 5 c) 2 x < 8 d) x − 1 ≤ 6 e) x + 2 > 9 f) a) x < 7 x−5 ≥1 Averigua qué valores de x cumplen: b) x − 4 ≤ 7 c) x + 3 ≥ 6 a) x − 2 = 5

d) 2 x + 9 < 3

e) 3 x − 7 ≥ 5

Expresa cada uno de los siguientes apartados como un único intervalo: b) [ −1, 3) ∪ ( 0, 3] c) (1, 6] ∪ [ 2, 7 ) a) (1, 6] ∪ [ 2, 5 )

f)

d)

3 − 2x ≤ 7

[ −1, 3) ∩ ( 0, 4 )

Se llama distancia entre dos números a y b, al valor absoluto de la diferencia entre ellos: d ( a, b ) = a − b

Halla la distancia entre los siguientes pares de números: a) 7 y 3 b) 4 y 11 c) –3 y –9 d) –3 y 4 10. Escribe en forma de intervalo los siguientes entornos: a) Centro –1 y radio 2 b) Centro 2,5 y radio 2,01 c) Centro 2 y radio 1/3 11. Describe como entornos los siguientes intervalos: c) ( −2, 2; 0, 2 ) d) ( −4; −2,8 ) a) ( −1, 2 ) b) (1,3; 2,9 ) 12. Comprueba si es verdadera o falsa cada una de las siguientes expresiones: b) − a = − a c) a + b = a + b d) a ⋅ b = a ⋅ b a) a < b ⇔ − b < a < b 13. Escribe, mediante intervalos, los valores que puede tener x para que se pueda calcular la raíz en cada caso: x a) x − 4 b) 2 x + 1 c) − x d) 3 − 2x e) − x − 1 e) 1 + 2 NOTACIÓN CIENTÍFICA 14. Efectúa y da el resultado en notación científica con tres cifras significativas: a)

b)

( 3,12 ⋅10

−5

+ 7, 03 ⋅10−4 ) ⋅ 8,3 ⋅108

c)

4,32 ⋅103

(12,5 ⋅10

7

5, 431 ⋅103 − 6,51⋅104 + 385 ⋅ 102 8, 2 ⋅10−3 − 2 ⋅10−4

− 8 ⋅109 )( 3,5 ⋅10−5 + 185 )

9, 2 ⋅106 15. Ordena de menor a mayor los números de cada apartado. Para ello, pasa a notación científica los que no lo estén: a) 3, 27 ⋅1013 ; 85, 7 ⋅1012 ; 16. Efectúa:

b) 1,19 ⋅10−9 ; 0, 05 ⋅10 −7 ;

453 ⋅1011

2000 ⋅10−12

2 ⋅10−7 − 3 ⋅10−5 . 4 ⋅106 + 105

17. Expresa en notación científica y calcula:

60 0003 ⋅ 0, 000024 1002 ⋅ 72 000 000 ⋅ 0, 00025

B+C . A ⎛A ⎞ y D = 6, 2 ⋅10−6 , calcula ⎜ + C ⎟ ⋅ D . ⎝B ⎠

18. Considera los números: A = 3, 2 ⋅107 ; B = 5, 28 ⋅10 4 ; C = 2, 01 ⋅105 . Calcula 19. Si A = 3, 24 ⋅106 ; B = 5,1 ⋅10 −5 ; C = 3,8 ⋅1011

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6