3.4 Efectúa esta división (12 (4)) mediante un cociente de potencias.
[12 (4)]4 124 (4)4 20 736 256 81 3.5 Realiza estas operaciones de dos maneras distintas. a) (3 8 5)4
b) (2 3 (3))3
a) (3 8 5)4 1204 207 360 000 3
c) (6 2)4
3
d) ((15) 3)
(3 8 5)4 34 84 54 81 4 096 625 207 360 000
b) (2 3 (3)) 183 5 832
(2 3 (3))3 23 33 (3)3 8 27 (27) 5 832
c) (6 2)4 34 81
(6 2)4 64 24 1 296 16 81
3
d) ((15) 3) (5)3 125
((15) 3)3 (15)3 33 3 375 27 125
3.6 Copia en tu cuaderno estas igualdades y completa los huecos con los números que correspondan en cada caso. a) (3 2)4 4 24 16
c) ( 3)3 (2)3
b) ((2) ) (2) 53 (8)
d) ((6) ) (6) 2
a) (3 2)4 34 24 81 16 1 296
c) (6 3)3 (2)3 8
3
3
b) ((2) 5) (2)3 53 (8) 125 1 000
4
4
d) ((6) 2) (6)4 24 1296 16 81
3.7 Escribe los siguientes productos en forma de potencia y determina su valor. a) 33 32 3
b) 23 2 26
a) 33 32 3 36 729
b) 23 2 26 210 1 024
3 POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA
3.8 Copia estas igualdades en tu cuaderno y complétalas con los números que faltan. c) (2)2 (2)3 (2) a) 33 32 27 d) 33 32 3 3 b) (5)2 (5) (5)2 25 a) 33 32 27 9 243 b) (5)2 (5) (5)2 25 (5) 25 3 125 3.9 Calcula el resultado de estas multiplicaciones. a) (2)4 (2) a) (2)4 (2) ( 2)5 32
c) (2)2 (2)3 (2)5 32 d) 33 32 3 36 729
b) (2)4 (2)3 b) (2)4 (2)3 (2)7 128
3.10 Expresa estas multiplicaciones en forma de producto de potencias de la misma base. b) (5)2 125 a) 9 (3)3 (3) a) 9 (3)3 (3) 32 (3)3 (3) (3)2 (3)3 (3) (3)6 36 b) (5)2 125 (5)2 53 52 53 55 3.11 Escribe el producto (4)2 4 43 como potencia de 4 y de base 2. (4)2 4 43 42 4 43 46
(4)2 4 43 16 4 64 24 22 26 212
3.12 Escribe en forma de potencia los siguientes cocientes y determina su valor. a) 35 32 c) (5)4 (5)4 b) 26 22 d) (8)7 (8)2 a) 35 32 33 27 b) 26 22 24 16
c) (5)4 (5)4 (5)0 1 d) (8)7 (8)2 (8)5 32 768
3.13 En cada caso del ejercicio anterior, calcula el dividendo y el divisor, y halla luego el cociente. Comprueba que coinciden los resultados. a) 35 32 243 9 27 b) 26 22 64 4 16
3.14 Calcula el resultado de estas divisiones. b) (3)5 (3)3 a) 74 72 a) 74 72 72 49
c) (15)4 153
b) (3)5 (3)3 (3)2 9
c) (15)4 153 154 153 151 15
3.15 Copia en tu cuaderno y completa estas igualdades con los números que correspondan. c) (3)12 (3) (3)3 a) 25 23 2 d) 7 75 78 b) (5)3 (5)2 (5) a) 25 23 22 4 b) (5)3 (5)2 (5)1 5
c) (3)12 (3)9 (3)3 27 d) 713 75 78 5 764 801
3.16 Expresa cada división en forma de cociente de potencias de la misma base. a) 54 25 b) (81) (3)3 c) (343) ( 49) a) 54 25 54 52 b) (81) (3)3 (3)4 (3)3 c) (343) (49) (73) [(72)] [(73)] [(72)] 73 72
3 POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA
3.17 Calcula las siguientes potencias de potencias. 2 a) (34)
5 7
c) (((1)2)
d) (((10) )
b) ((3) ) 4 2
)
2 2 2
2 3
)
7 2 5
c) (((1) ) ) (1)70 1
a) (3 ) 3 6 561 8
2 2
3
d) (((10)2) ) (10)8 100 000 000
b) ((3)2) (3)6 729
3.18 Copia estas expresiones en tu cuaderno y completa los espacios con los números que faltan. 4 a) 312 (34) c) (3)8 ((3)) b) 524 (5) d) 1 (237) 3
4
a) 312 (34) 4 8 12 24 b) 524 (56) (53) (52) (51)
c) (3)8 ((3)2) 0 d) 1 (237)
3.19 Copia en tu cuaderno y completa esta tabla. Potencia Base Exponente Potencia Signo de potencia
((7)4)2
7
8
(7)8
Potencia de potencia
Base
Exponente
Potencia
Signo
((7)4)2
7
8
(7)8
15 5
13
75
(13)75
5 2 3
10
235
(10)
30
5
236
(5)36
15 5
((13) )
((13) ) 10
(((10) ) ) 6 (((5)2)3)
235 (5)36
3.20 Expresa las siguientes potencias como potencias de potencias. c) 163 a) 42 2 b) 9 d) (25)4 2
3
a) 42 (22) 2 b) 92 (32)
c) 163 (42) 4 d) (25)4 [(5)2]
3.21 Haz una tabla de cuadrados perfectos comprendidos entre 100 y 300. Números
10
11
12
13
14
15
16
17
Cuadrados perfectos
100
Números
10
11
12
13
14
15
16
17
Cuadrados perfectos
100
121
144
169
196
225
256
289
3.22 Averigua si estos números son cuadrados perfectos y, en el caso de que lo sean, halla su raíz cuadrada exacta. a) 28 c) 256 e) 225 g) 220 b) 121 d) 400 f) 444 h) 1 600 a) 52 25 y 62 36 → 52 28 62. Luego 28 no es cuadrado perfecto. b) 121 112. Luego 121 es cuadrado perfecto. c) 256 162. Luego 256 es cuadrado perfecto. d) 400 202. Luego 400 es cuadrado perfecto. e) 225 152. Luego 225 es cuadrado perfecto. f) 212 441 y 222 484 → 212 444 222. Luego 444 no es cuadrado perfecto. g) 142 196 y 152 225 → 142 220 152. Luego 220 no es cuadrado perfecto. h) 1 600 402. Luego 1 600 es cuadrado perfecto.
3 POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA
3.23 Copia estos cálculos en tu cuaderno y complétalos con los números que correspondan. b) 2 < 375 < 2 a) 112 < 130 < 122 La raíz entera de 130 es . La raíz entera de 375 es . Resto: 375 2 Resto: 130 112 a) 112 130 122 La raíz entera de 130 es 11. Resto: 130 112 130 121 9
b) 192 375 202 La raíz entera de 375 es 19. Resto: 375 192 375 361 14
3.24 Escribe cada número entre dos cuadrados consecutivos, e indica el valor de la raíz cuadrada entera y el resto de cada número. a) 18 b) 21 c) 75 d) 140 e) 150 f) 1 003 a) 16 18 25 → 42 18 52 → 18 4. 2 2 b) 16 21 25 → 4 21 5 → 21 4. c) 64 75 81 → 82 75 92 → 75 8. 2 d) 121 140 144 → 11 140 122 → 140 11. e) 144 150 169 → 122 150 132 → 150 12. 1 003 31. f) 961 1 003 1 024 → 312 1 024 322 →
3.25 La raíz cuadrada entera de un número es igual a 32. ¿Cuál es el mayor valor que puede tener el resto? El número está comprendido entre 322 1 024 y 332 1 1 088. Luego el mayor valor que puede tener el resto es 1 088 1 024 64. 3.26 Averigua cuántas cifras tienen las raíces cuadradas de los siguientes números. a) 95 b) 190 c) 1 200 d) 38 692 a) Una cifra
b) Dos cifras
c) Dos cifras
3.27 Calcula por aproximaciones la raíz cuadrada entera de estos números. a) 18 b) 110 c) 2 500 a) La raíz cuadrada entera de 18 tiene una cifra. 32 9 18 42 16 18 52 25 18 La raíz cuadrada entera de 18 es 4. b) La raíz cuadrada entera de 110 tiene dos cifras. 102 100 110 112 121 110 La raíz cuadrada entera de 110 es 10. c) La raíz cuadrada de 2 500 tiene dos cifras. 452 2 025 2 500 482 2 304 2 500 492 2 401 2 500 502 2 500 La raíz cuadrada de 2 500 es 50. (Esta raíz es exacta.) d) La raíz cuadrada de 4 324 tiene dos cifras. 602 3 600 4 324 652 4 225 4 324 662 4 356 4 324 La raíz cuadrada entera de 4 324 es 65.
d) Tres cifras
d) 4 324
3 POTENCIAS Y RAÍZ CUADRADA
3.28 Estima entre qué centenas se encuentra la raíz cuadrada de los siguientes números. a) 12 500 b) 52 000 c) 95 600 a) 1002 10 000 12 500 2002 40 000 12 500 La raíz cuadrada de 12 500 se encuentra entre 1 centena y 2 centenas. b) 2002 40 000 52 000 3002 90 000 52 000 La raíz cuadrada de 52 000 se encuentra entre 2 centenas y 3 centenas. c) 3002 90 000 95 600 4002 160 000 95 600 La raíz cuadrada de 95 600 se encuentra entre 3 centenas y 4 centenas. 3.29 Calcula la raíz cuadrada entera de estos números aplicando la regla explicada en el texto. a) 520 b) 6 321 c) 15 361 a)