.13.

35 = 3(10) + 5

f

La Cápsula de Revisión sugiere esto.-

EJEMPLO 1.

Sea 3 = t Y 5 = u,

t

dígito

dígito

de las

de las

decenas

unidades

entonces 35 = t (10) + u.

Si t es el dígito de decenas y u es el dígito de unidades de un número de dos dígitos, entonces 1Dt + u es el número.

10t + u representa un número de dos dígitos. Exprese la suma de 105 dígitos en términos algebraicos.

lOS

dos eCl ecuacic

Tome t = dígito de las decenas u = dígito de las unidades

10t + u es el número

Así, la suma de los dígitos EJEMPLO 2.

es t + u,

1at + u representa un número de dos dígitos. Exprese 13 menos que el número en términos algebraicos. 13 menor que el número

---;:::::-..c=::::::;-

u desd

(10t + u) -13 10

Así, la expresión

es (10t + u)

-90

EJEMPLO 3.

Invierta

los dígitos

-I

en la e

de 65.

a ca

cada lad(

65 = 6(10) + 5

X ><

t,

56 = 5(10) + 6 Así, 56 es el resultado dígitos de 65. 340

FUNCIONES

de la reversión

de los + u = 10(6

Invierta 10t EJEMPLOS. La dos Resolver PROBLEMAS 341

EJEMPLO 4.

los dígitos

de 10t + u.

+ u X1 Ou + t

Así, 10u + t es el resultado dígitos de 10t + u.

de la reversión

de los

La suma de los dígitos de un número de dos dígjtos es 10. Si los dígitos del número son invertidos, el nuevo número es el número original disminuido con 18. Encuéntrese el número origi-

nal. lOS dígitos

en expresiones

Sea t = dígito de las decenas del número original u = dígito de las unidades del número original10t + u = el número original10u + t = el número con sus dígitos invertidos

suma de los dígitos es 10.

ecuaciones. ecuación =-- -

t + u = 10 El nuevo

número es 10u + t -9t + 9u 9t -9u

18 menos que el original. = (10t + u) -18 = -18 = 18

el sistema.

(Usar sustitución.

t+u=10 9t- 9u = 18 Primero

resolver

t +

u desde cada lado.u por t. en la ecuación,---90 a cada lado. cada lado por -18.

.,

:="

. -

u = 10 para t. t = 10 -u.

9(10-u) -9u=18 90 -9u -9u = 18 90 -18u = 18 -18u = -72

u=4 t. Sustituya

+ u = 10(6) + 4;

u en una de las

t+u=10 t+4=10 t=6 Así, el número original

es 64. DE DIGITOS

.1.

EJEMPLO 6.

Represente algebraicos.

los números

en términos

Tres veces el dígito de las decenas de un de dos dígitos, aumentado por el dígito de las unidades, es 21. Si los dígitos se invierten, el nuevo número es 9 más que el número original. Encuéntrese el número original. Sea: t = dígito

-

de las decenas

del número

original.

u = dígito de las unidades del número original. 10t + u = el número original. 10u + t = el número con los dígitos Escriba dos ecuaciones

Primera

!

ecuación,--

+

3t

u

ginal. 3.

es 21

1

21

El número nuevo es 9 más que el número original. 10u + t = (10t + u) + 9 9u -9t = 9

Segunda ecuación Simplifique.

1. La suma d dos dígito vierten, er que el orig

invertidos.

dígito de las unidades '--v--l

3 veces el dígito aumentado de decenas por el , .'-~..J

RCI(

El dígito c de dos díg las unidad, el nuevo r número ori original.

5. El dígito c de dos di! las unidad, el

nuevo

original.

r

E

Resolver el sistema.

3t + u 9u -9t Divida cada lado de (2) por

.

Reordene las variables en (3) Sume

Divida

las Ecs.

cada

Encuéntrese

por

u+t=

1

(3)

1

3t + u = 21 t-u=-1 4t

4,

t

u.

Sustituir por ten (1).

(1) (2)

.

20 5

3t + u = 21 3(5) +u=21 15+u=21 u = 21

Así, el número original FUNCIONES

invierten,

E

el doble d mero origil

9. La suma dI dos dígito invierten,

E

que el dot número ori

(1)

15

u=6

342

7. La suma di

dos dígitc

t-u

(1) Y (3)

lado

21 9

1. El dígito di de dos dígi dígito de la

dígitos,

el

del númerc trese el nu

es 56

o de las!erten, el

original. original.)riginal.

La suma de los dígitos de un número de dos dígitos es 15. Si los dígitos se invierten, en nuevo número es 27 menor que el original. Encontrar el número ori-

ginal.

11

= 21

I2. 10.

El dígito de las decenas de u~ número de dos dígitos es el doble del dígito de las unidades. Si los dígitos se invierten, el nuevo número es 36 menos que el número original. Encuéntrese el número original.

La suma de los dígitos de un número de dos dígitos es 6. Si los dígitos se invierten, el nuevo número es 18 más que el original. Encontrar el número original.

4. El dígito de las unidades de un número de dos dígitos es el doble del dígito de las decenas. Si los dígitos se invierten, el nuevo número es 18 más que el número original. Encuéntrese el número

original.

El dígito de las decenas de un número 6. El dígito de las unidades de un número de dos dígitos es 3 veces el dígito de de dos dígitos es 3 veces el dígito de las unidades. Si los dígitos se invierten, las decenas. Si los dígitos se invierten, el nuevo número es 54 menos que eloriginal. el nuevo número es 36 mayor que el Encontrar el número original. original. Encontrar el número original.

.La suma de los dígitos de un número de dos dígitos es 11. Si los dígitos se invierten, el nuevo número es 7 más que el doble del original. Encontrar el número original.

8. La suma de los dígitos de un número de dos dígitos es 6. Si los dígitos se invierten, el nuevo número es 9 menor que el original multiplicado por cuatro. Encontrar el número original.

La suma de los dígitos de un número de dos dígitos es 13. Si los dígitos se invierten, el nuevo número es 4 menos que el doble del original. Encontrar el número original.

La suma de los dígitos de un número de dos dígitos es 8. Si lOS dígitos se invierten, el nuevo número es 3 más que el original multiplicado por 4. Encontrar el número original.

.El dígito de las unidades de un número de dos dígitos es 1 más que el triple del dígito de las decenas. Si se invierten los dígitos, el número obtenido es el triple del número original menos 9. Encuéntrese el nuevo número.

12. El dígito de las decenas de un número de dos dígitos es 7. Si los dígitos se invierten, el nuevo número es 9 más que el original. Encuéntrese el número nuevo.

PROBLEMAS DE DIGITOS

343

k es la constalta de propol

CAPSULA DE REVISION Fórmula triángulo

para el perímetro

Decimos-:---

de un

equilátero: s

s

p= 38 s

Si s = 5, entonces

Si s = 2, entonces

p = 3 .5 = 15.

p=3'2=6.

EJEMPLO 1. La tabla muestra los pares ordenados (2, 6), (4,12), (5,15), etc.

Encuéntrese la razón ~ por cada par de números s en la tabla siguiente. s 6 s 2 121

-

; 15

i 18 I 30

{(s.

p) p = 3s }es una función

I

s

12=3 4

-~=3

S -5

describe una variación

I sub-uno = 1<

para 1

Definición de una variación directa-

(x1, Y1) = (~

(X2, Y2) = (~ ,

:i.

Tabla de valores para la gráfica de y = 3x

~ LJ./P-=~=3

.(;-1

3 es la constante de variación 344

FUNCIONES

la pro~

pendiente es 3

cada ladc

~

Para una variación de variación

directa,

~

o la cons-

o y = kx, donde k es una constante. y varía directamente como x o y es proporcional

directamente

a x.

EJEMPLO 2.

Investigue

si l = k, es una constante.

x

-10

-15

2

-=-5

5

-=-5

-1

donde

EJEMPLO 3. (X" Y,)

\

-=-5 -4

para todo (x, y).'

y varía directamente como x y y = 32 cuando x = 4. Encontrar y cuando x = 9.

l!-=k

~=k

x1

X2

Entonces, Y

}

de los pares

Y1

-=-

Y2

X1

X2

~=l:?-

4 9 4 .Y2 = 32 .9 4Y2 = 288

la proporción.

cada lado por 4.-

de

-

lama. (XI'YI) =(4,32) (X2, Y2) = (9, Y2).

como x. La constante

Sea (X1'Y1) y (X2'Y2Y en cualquiera ordenados que satisface y = kx.

y y-sub-uno

In en

3

20

k = -5.

Así, y varía directamente proporcionalidad e,,>-5.

I

-=-5

..

~=~

4 4 Y2 = 72

Así, y =

72 cuando

x = 9. VARIACION DIRECTA

345

-Así,

mapa, 40 km son representados .¿Cuántos km son representa14 cm? de un cierto metal varía direcsu peso. Si 5 kg cuestan encontrar el costo de 8 kg.

11. En un mapa, 250 km son representados por 4 cm. ¿Cuántos km son representados por 7 cm? 13. El costo del oro varía directamente co-

mo su peso. Si 3 9 cuestan $125, encontrar el costo de 5 g. 15. En una receta, la cantidad de harina varía directamente como la cantidad de azúcar. Se usan tres tazas de harina por cada 2 tazas de azúcar. ¿Cuántas tazas de azúcar se usan por 15 tazas de harina?

y lugar dados, la altura de un varía directamente como la longide su sombra. Un edificio tiene una --170 m, mientras un mástil de sombra de 10m. ¿Qué altura el edificio? razón del peso de un objeto en la peso en Marte es de 5:2. Una pesa 60 kg en la Tierra. ¿Cuánto en Marte?

EJEMPLO.

17. En el diseño original de una casa, un pasillo de 5 m es representado por 3 cm. Encontrar las dimensiones de un cuarto representado como un rectángulo de 8 cm por 10 cm.

y varía directamente como el cuadrado de x. y = 25 cuando x = 3. Encontrar y cuando x = 2.

~-L 32

-22

~-l

9-4

100 = 9y 100 ,- - y 9

y varía directamente como el cuadrado de x. y = 36 cuando x = 2. Encontrar

y cuando x = 10. La distancia necesaria para detener un auto varía directamente como el cuadrado de su velocidad. Son necesarios 190 m para que se detenga un auto que se

desplaza a 75 km/h.

y = 100 9 .

19. Y varía directamente de x. y = 15 cuando

como el cuadrado x = 4. Encontrar y

cuando x = 6. 21. La distancia a que cae un cuerpo (cayendo libremente) varía directamente como el cuadrado del tiempo en que cae. Un ladrillo cae 22 m en 2 seg. ¿Qué distancia cae en 10 seg?

¿Cuál será la distancia requerida para detener un auto que viaja a 90 km/h?

.~-~ 752 -902

VARIACION DIRECTA

347

CAPSULA DE REVISION:

o

o o

OBJETIVOS Determinar si una relación es una variación inversa Encontrar la constante de la variación en una variación inversa Resolver problemas acerca de variaciones inversas

Digamos.-

2[==~ 6

12

40 3

Area:

12.

= 12

6 .2 = 12

El área de cada

rectángulo

4 .3

= 12

es 12

ba = 12

EJEMPLO 1.

Encontrar el producto ba' por cada par de números en la tabla siguiente.

La tabla muestra los pares ordenados (12,1),(6,2),(4,3),etc.

lllli 2

1

6 4 24

1

1 2

(-~12.1=12 +--6.2=12

3

+---

~

~

4.3=12 24 .~ = 12

x .y

=

k, dor

x .y

=

k, paré

Así, El producto ba = 12 en todos casos. -

La fórmula ba = 12 describe una variación inversa.

i (b. a)/ ba = 12} es una función.

Definición de una variación inversa,

Tabla de valores

para la gráfica

de xv

= 12.

X

y 2

1 2

6 4

1

Otros pares ordenados son (3.4), (2.6), (1,12).

También, (XI'

i

2 3 6

2 348

FUNCIONES

y~

La curva es-~hiPérbOla.

3 -12

3 6 9 12 x

-6 -4

-2 -1

y,) = (X2, Y2) =

-1~

~

Por una variación inversa,

o

donde k es una constante.

y varía i nversamente como x o ;' es inversamente proporcional

a x.

A partir de la tabla, determinar si y varía inversamente como x. Si así es, encontrar la constante de variación. Investigar

si x .y

= k es una

constante.

2.9=18 6,.3= 18 -1 (-18) = 18 -9 (-2) = 18 x.y = 18 para todos

los pares (x, y).

Así, y varía inversamente como x. La constante de variación es 18. y varía inversamente

como x y y = 5 cuando x =12.

Encuéntrese x cuando y = -4.

Y2= k

VARIACION INVERSA

349

'2.

2. ,!O. ~ !2. ~4. 'ARIACION 51 , '2'2

~

está sentada a 165 de un sube y baja. 15 kg, ¿q ué tan lejos del

10. Juan está sentado a 170 cm del puntonedio medio de un sube y baja. María pesa 65 kg Y está sentada a 210 cm del punto medio. ¿Cuánto pesa Juan si el sube y baja está en balance?

de un rectángulo sonn. Encuéntrese el ancho de

El volumen de un gas es 60 m3 con una presión de 6 kg. ¿Cuál es su volumen a la misma temperatura con una presión

.'a je 12 m.

misma área y una

~oma 5 h a 50 km/h. a 60 km/h?

de 9 kg? ¿Cuántoama

4. 8 mujeres tardan 6 h para hacer un trabajo. ¿Cuánto tiempo tardan 12 mujeres trabajando al mismo promedio de velocidad?

te inversión al 6% da la anual que una inver-100 al 4 ~ %?

6. ¿A qué por ciento de interés da $15 000 la misma ganancia anual que una inversión de $12 000 al 5%?

le un triángulo es 16 cm y la Encuéntrese la base de -:on la misma área y unale 6 cm.

8. Nancy pesa 72 kg Y Berta pesa 60 kg. Nancy esta sentada a 2 m del punto medio de un sube y baja. ¿Qué tan lejos a Nancy deberá sentarse Berta para equilibrar el sube y baja?

iene bastante dinero para comn de tela a $6.40 m. ¿Cuántos de tela de $3.60 puede comprara misma cantidad de dinero?

fina y Memo están sentados 4 m aparte en un sube y baja. Tina pesa 65 kg y Memo pesa 80 kg. ¿Qué tan lejos del centro debe estar sentada Ti na si el sube y baja está equilibrado? .os cilindros A y B tienen el mismo'olumen. Sus alturas varían inversa-nente como el cuadrado de los radiosle las bases. La altura del cilindro A es ~ m, y el radio de su base es 6 m.:ncuéntrese la altura de cilindro B si eladio de su base es 4 m.

La corriente en un circuito es de 25 amp cuando la resistencia es de 16 ohms. ¿Cuál es la corriente cuando la resistencia se aumenta a 20 ohms?

Ruiz manejó un viaje de ida y vuelta entre las ciudades Ay B en 71 h. De A a ~ el promedio de velocidad fue 60 km/h,

y de B a A un promedio de 65 km/h. ¿Qué distancia

hay entre A y B?

El peso de un cuerpo en la superficie de la Tierra o arriba de ella varía inversamente como el cuadrado de la distancia del cuerpo al centro de la Tierra. ¿Cuánto pesará un objeto de 220 kg cuando se encuentra a 370 km de la superficie? (El radio de la Tierra es de 6 500 km.) INVERSA

.

1. 1. D 23. ~ 25.

Nombre los pares ordenados en cada relación de las gráficas la imagen. ¿Es la relación una función? (Pág. 331)

2.

Ytt,

I

-6-4-2 O.

I I ~

2 4

6

-E I

x

I

I

-4-3-2-1

-~I

.-2

I

.!.,~

1

I

2

I ~

I

3 x

-4-3-2-1

4. {(-1,-1) 5. {(-2,1)

de cada relación.

Dé el dominio

2

I ~

3 4 x

y la imagen.

¿Es la relación

una la grá

(-2,-2) (0,0) (-1,1) (-1,1) (0,1) (1,1) (2,1)}

Haga la gráfica son funciones

I I

1

VI

-1" .-;¿.

-4J Haga la gráfica (Pág. 331)

.

11-'

In

imagen.

Yh-

2-

~J I

Dé el dominio

.:.+l

3.

Y/t\

3-

~ I

siguientes.

de cada relación. lineales?

-.-::

4. {(X, y) I

¿Cuáles

¿Cuáles funciones

6. {(x,y)ly=2x} 9. {(x,y)ly-3x=-1}

funcian

relaciones

son funciones?

son funciones

constantes?

7. {(x,y)lx=4} 10. {(x,y)ly=-1:

f = {(x, y) I y = X2 + 3}. Encuéntrese

cada uno.

12. f(O)

13. f(3)

14. f(-2)

o es el dominio

de cada función.

Determine

¿Cuáles

r

(Pág. 334)

8. {(x,y)ly=x+2} 11. {(x,y)ly=2x2+1}

= {(x, y) Iy

7. '(3)

(Pág. 337) f(x)

17. f(x) =3x-2

D={O,1,-1}

15. f(6) la imagen.

(Pág. 337)

18. g(x) =-x2+3

= {-3,-2,-1

¿Qué tablas expresan variaciones directas? ¿Cuáles expresan variaciones cada variación dé la constante de tal variación. (Págs. 344, 348) 19.

20.

I

21.

22.

=

16. f(-12)

I

x -1

inversas? ~ .. ..

O

1

x

2

y varía dir cuando

24. Y varía directamente como x y y = -4 cuando x es 12. Encuéntrese y cuando x es -18. 26. El costo de un metal varía directamente como Su peso. Si 3 kg cuestan $10. ¿Cuánto cuestan 24 kg?

352

ECUACIONES FRACCIONALES

y varía inversamente como x, y y es 5 cuando x es 4 Encuéntrese x cuando y es -2. 27. Li I ia pesa 50 kg Y está sentada a 180 cm del punto medio de un sube y baja. Juana pesa 60 kg. ¿Qué tan lejos del centro deberá sentarse Juana para equilibrar el sube y baja?

x I

es -8.

.El

costo

d

corr~o su ¿Cuánto

Ci

imagen.

~

ordenados en cada relación ¿Es la relación una función?

.4--

V,f\

de las gráficas

siguientes.

Dé el dominio

Y/t\

6l3~

8

.~~

~~-~-1 01 -;j-;¿- .l1-~

-6-4-2 I

I

2

I ~.1

24-

4..,

d

O ~ ~ ~~ ..!2

3 x

.

I 2

-=-6-4-;~2~

la gráfica de cada relación. ¿Cuáles relaciones son funciones? ¿Cuáles funciones lineales? ¿Cuáles funciones son funciones constantes?4.

{(x,y)lx=-2}

5. {(x,y)ly=3}

{(x, y) I y = 2x -3}.

f(x) =2x2_1

de cada función.

Encuéntrese

D={-1,O,1}

13. I

como

x

y y es 24

cuando x es 6. Encuéntrese y cuando x

180 cm,

baja.os dela equi-

... . 2. yes 18.

es -8.

.El costo de un metal varía directamente COIT~Osu peso. Si 7 9 cuestan $20.

¿Cuánto cuestan 35 g?

9. f(-10) la imagen.

11. h(x) =-3x+4

tablas expresan variaciones directas? Para cada variación, dé la constante

y varía directamente

funciones

6. {(x,y)IY=X2+1}

8. '(0)

es el dominio

I ~ 6 x

cada uno.7.

Encuéntrese

'(3)

I 4

-4-

-84

5~ndo y

y

D={-2,O,2}

¿Cuáles son las que expresan de variación.

variaciones

14.

16. Y varia inversamente como X, y Y es 8 cuando X es -4. Encuéntrese X cuando y es -2.

Moira pesa 45 kg y está sentada a 2 m del punto medio de un sube y baja. Juan pesa 50 kg. ¿Qué tan lejos del centro deberá sentarse Juan para equilibrar el sube y baja? VARIACION INVERSA

353

distributiva. -1 2 3,

2a -1

(2a

-1)

-

a-7

2

=-e-"

3a

-1(28-1)

4

2

-+=-

2 -2a + 1 -los ..

3

.2

.2.

3

.

2

(

cada lado por el MOC.. 2,

2

.2

,-

6

~..I..-2a

El MDC es

denominadores.

a-7

.2

3a

.2

I

2-2.3 --2a + 1 '

3a -+2.2

+3,

+ 1=!-=-Z 2

2,

I

2.-

1

1

3a

3 olo ~ o~

1

+ 3.2.2.

}

~.=á.

1

1

cada lado. ~

a-7

~ o2.-¡:--:-s

1

3 .3a + 6 (-2a 9a -12a -3a

+ 6

14

-2a+1

1

"

1) = -12a

1

= 3 .2 .2 .~ 2,3

¿

2.2

l.3-=~;.::-.!

1

1

+ 1) = 2 (a -7) + 6 = 2a -14 + 6 = 2a -14 6 = 5a -14 20=5a

14 a cada lado,-

4=a

= 4

~sí, la solución es 4.

los denominadores factorizados.

por el MDC,

: 5 .~~)

.a

~+~=~ 5 a 1

( ~+~) =5.a.~

5.a

5 .a.

.

5 a 4 3 5.a.-+5.a.-=5.a.5 a

= 4a;

El MDC es 5 .a.

1 2 1

4a + 15 = 10a

--;.2.a=10a

a cada lado. por 6.

.

15 = 6a

-

15 -=a

6

Así,

la solución

es ~ o 2!. 2 2

RESOLUCION DE ECUACIONES FRACCIONARIAS

3b7

~=

EJEMPLO 2.

que 7 es la solución

de

x por 7.

-"

7 + 4 = 49 -35

7 -"

2

+ 4 = 18

4

.

O -7

c

6'3-6

6

3.

-m

en forma

el conjunto sol ución de

7 m2 -5m

conveniente.

3 -5)

-----1 .3 77- 5

ryJ

descendente

4=-

-3

-

4 m.

4

m=-1m+5=-1(m-5)----orden

3

+=5 -m

m 4

-5m;

el MDCes m(m -5).;ada

m

lado por el MDC, }

m=-5] 1

3x-í

Mostrar EJEMPLO Encuentre "n-5 -5). 3 !O :ada ~sí, lAS 'R--'5

-3

n(m -5).

Hacer multipli-

= m(m -5)

.~

m

'7f(~

1

=

":; 1

: -3m;

-5)4 = 4m-

-3n

r + m(-3) r -3m

20-

cada lado.-

.

= (m -5)4 = 4m -20

3m

3m

en cada lado.lado por 7.-

el conjunto solución es {~}. ECUACIONES FRACCIONARIAS

B1

Parte del trabajo hecho en 1 h x

Mauricio completa 1 del en 1 día "5 trabajo.

}

1

Parte del trabajo hecho en h h

h -

x

x

en 3 días

-h

=X

1 3 del 3 '"5 o "5 trabajo.

Helena completa en

1 día

.1

del

x trabajo.

3 ..! 'X

o ~ del 'X trabajo.

REPRESENTACION DE CANTIDADES DE TRABAJO

365

~

¿Qué parte fraccionaria

del trabajo

es completada

por cada persona?

4. José 5.6.Linda

1. 2.

Horas para Horas trabajo total trabajadasl 7 2 4 58

Juan

3. I María

3x + 1

Resolv bajo

3

EJERCICIOS PARTE A ¿Qué parte fraccionaria

del trabajo

es completada

por cada uno

cuando

trabajan

conjuntamente? 1. Le toma a Joaquín 5 h Y a Pancho x h para hacer un trabajo. Trabajando juntos, terminaron en 3 h. 3. Le lleva a María x y a Paco 2 x h para realizar el trabajo. Trabajando juntos, finalizaron sus labores en 12 h. 5. Le toma a Luis 2m h y a Jaime m + 1 h para levantar un galpón. Trabajando juntos, lo finalizaron en 14 h. 7. Le toma a Marcos 3m + 1 día y a Eduardo m -4 días en plantar un campo. Trabajando juntos, terminaron en 3 días. 9.

Le toma a Helena ~ a Juana 5 días para finalizar la tarea si trabajan juntas. Juana lo puede hacer sola en 7 días.

2.

Le toma a Juana m h ya Paula 8 pelar las paredes de un cuarto. jando juntas, terminaron su , 4. Le toma a Rodolfo 3x + 1 h y a 2x + 4 h para reparar una radio. jando j~ntos, completaron su

6 h. 6. Le toma a Angélica 2x + 3 días x días para pintar una cocina. do juntas, terminaron el trabajo días. 8. Le toma a Joyce a -2 h y a Leo 4 h en encerar el piso. ~ . completaron su trabajo en 3 h. 10. Trabajando juntos, le toma a r Tina 10 h para limpiar la casa. debería tomar 30 h para hacer el

solo.

PARTE B ¿Qué parte fraccionaria 11. Le toma a Eleonora

del trabajo es completada 5 h Y a Eduardo el

doble para hacer un trabajo. Trabajando juntos, ellos completan la labor en x h. 13. Le toma

tres

días más que a Marta en hacer el jo. Trabajando juntos, terminan c en ax días. 14. bores Le toma Enrique x h para 1- -,

para terminar sus labores. juntos, finalizan su tarea

trabajo. Le toma a Silvla 1 h más realizar la misma tarea. ~ .,

a Daniel

veces más Trabajando

x h y a Mario

en 5 h.

366

por cada uno cuando trabajan 12. Le toma a Marta 4 días y a t

ECUACIONES FRACCIONALES

tos, terminaron

en 6 h.

de las

~

un traba

Parte,

Juan puede pintar

Parte del trabajo hecho en 1 día

una casa en 5 días.

Número de días trabajados

1 5

EJEMPLO 1

na

Parte completada del trabajo

x

x "5=5

Parte que Parte que Joaquín hizo + Juana realizó , yJ' Y

i

1

x x

10=10 I

J

=

Trabajo conjunto "--YJ

i

!

! x -= 10

x

10; el MDC es 5.2.

1

x

5+~=1

cada lado por 5.2. 5 .2

(~ + --.!.--) = 5

1

multiplicaciones

1

1

de una

x -+ 5

hacer

5-5

x

!

5 .2;

x

Número de horas trabajando juntos

1 5 1 10

I

Jua-

las partes fraccionarias es un trabajo total.

1

Le toma a Joaquín 5 h ya Juana 10 h en pintar un depósito. ¿Cuánto tiempo tardarán para hacer el trabajo si lo realizan juntos?

Joaquín

juntos...

x

x

Parte del trabajo hecho en 1 h x = h trabajadas

,

del trabajo

..-5

XII

2'-+,5...1).-:

-5

1 1

5 .2

5.2

X

-

.' 2

-,6./1.=5 1 1 2x + 1x = 10 3x = 10

1

x=- 10 3 Así, tardarán 3~ h si trabajan juntos. PROBLEMAS

DE TRABAJO

367

~=?r.1

E'JEMPLO 2.

Marcos puede construir una cerca de alambradQ en el doble de tiempo que le tomará a Enrique hacerlo. Trabajando juntos, pueden construir la cerca en 7 h. ¿CuÁnto tiempo de trabajo le tomará a cada uno?

A María puel

Sea x = horas para Enrique ~Qlo.

.

2x = horas

~

para Marcos

Parte que Enrique

hizo

hizo

solo. I I

gía en 3 h. hacerla en trabajandc Juntos,

+ parte que Marcos 7

= 1.

7

-+

-=

x

Multiplicar

Distribuir

cada

2

.x;

lado

hacer

por

el MDC,

2 .x

2 .x

(2

1

7

x

1

2x

para hacer

1

2.x

1

I

le tomará

+ --2-

2 .x.- x1 +!Z

multiplicaciones.

=2"x"-:¡1

.-. A

Jorge pue Flora lo a~ bajo en 1 t Flora hace

7

z.1 x1 14 + 7 = 2x 21 = 2x 10; = x

Horas para Marcos solo. Horas para Enrique solo

Así, le tomará a Enrique 10!

EJEMPLO 3.

E

un prado

h ya

Marcos 21 h.

Trabajando juntas, Patty y Lupe pueden una casa en 14 h. Si le toma a Lupe 30 h realizar sola el trabajo, ¿cuánto tiempo le .~

Trabajandc pueden lin rá a Luisa Josefina p¡ to tiempo

sola?

a Patty sola?

Para realiz 4 h, a Gu Sea x = horas para Patty sola.

¿Cuánto todos

Parte que Lupe hizo + parte que Patty hizo = 1

~+~ 30

Multiplicar

cada lado por el MOC,

1 Distribuir

30 .x;

hacer

multiplicaciones.

=1

x

14

1

~=

16

!~

4

o 261

30'

N' 1

14x + 420 = 30x 420 = 16x

261= x

4

ECUACIONES FRACCIONALES

...

'Jff'x'-+30'X'.-=30'x.1

al

igUi le I junt

Así, le tomará a Patty 26 ~ h. 368

a

=30.x"-:¡-

14

1

Sumar -14x en cada lado.

1

30, X ( ~+~ 30 x

30 .X.

ti junt

2 h?

a Enrique)nstruir la

le tomará Parte de la labor hecha

1

7

X

X

7.-=-

-

María puede preparar un equipo de cirugía en 3 h. Otra enfermera, Caria, puede hacerla en 4 h. ¿Cuánto tiempo tardarán trabajando juntas?

~~

21 h.

Eduardo

y Eisa

pueden

podar

Un albañil puede construir una pared de tejas en 6 días. Un ayudante lo puede hacer solo en 8 días. ¿Cuánto tiempo tardarán trabajando juntos?

hacer sola la tarea. ¿Cuánto tiempotomará a Eduardo?

Ambas, Patty y Lupe pueden preparar una cena con pavo asado en 6 h. Sola, a Lupe le tomará 8 h. ¿Cuánto tiempo le tomará a patty?

puede escribir cartas en 4 h. Si)ra lo ayuda, pueden completar el tra-jo en 1 h. ¿Cuánto tiempo le tomará a)ra hacer esta tarea sola?

Noé puede despachar periódicos en dos veces el tiempo que le toma a Jaime. ¿Cuánto tiempo le tomará a cada uno si pueden hacer juntos el trabajo en 3 h?

"rabajando juntas, Josefina y Luisa)ueden limpiar la casa en 6 h. Le toma-á a Luisa tres veces más tiempo que alosefina para hacer sola la tarea. ¿Cuán-o tiempo le tomará a cada una por síiola?

Trabajando juntos, dos carpinteros pueden construir una casa en 5 meses. Le tomará a uno de ellos dos veces más de tiempo para hacerlo solo. ¿Cuánto tiempo le tomará a cada uno separadamente?

prado en 3 h. Le tomará a Eisa 5 hra

pintar

30 h para ) le tomará

comple-Ida de trabajo

.l=!!

~

x

x

alambrado ntos, rge rcos !den arte ra :va I.Marta )BLEMAS ~ ría

j

realizar una tarea le tomará a Rosa 1, a Guillermo 3 h y a Miguel 5 h. uánto tiempo les tomará si trabajanjos juntos?

, Para hacer un trabajo sola, le tomará a Juana 3 h, a María 5 h Y a Joaquín 6 h. ¿Cuánto tiempo les tomará si todos trabajan juntos?

puede podar el jardín en 4 h. Leomará a Roberto 3 h. ¿Cuánto tiempo leomará a Carlos si, trabajando juntos,os tres pueden hacer el trabajo en 1 h?

puede construir un escritorio en 3 semanas. A Juan le tomará 5 semanas. ¿Cuánto tiempo le tomará a Mario si, trabajando los tres juntos, pueden hacer el trabajo en 1 semana?

puede hacer un traje en 5 h. Lenará a Juana dos veces más de tiemal igual que a Jerónimo. ¿Cuántompo le tomará.a Juana si, trabajandojos

Jaime puede reparar una radio en 8 h. Le tomará a Enrique tres veces más tiempo que a Clara. ¿Cuánto tiempo le tomará a Clara si, trabajando juntos, los tres lo pueden hacer en 4 h?

juntos, 2 h?

los tres lo pueden

hacer

DE TRABAJO

3

)ara lúmero de ~esolver cada Así, EJEMPLO Qesolver ECUACIONES ;,,;,

la ecuación, .3x

.4 :>

+

=

.~84 '-v-'

'"' 'un

i

t

t

ígitos dos dpasado ~do el paSipunto pun to

dígito el

tres dígitos pasado el punto J.!IMDCes1.000.

~_.

de dlgitos

-, --,---

I

'-v-'

pasado cual-

t

MDC = , 000.

tres ceros.

J

)ar el MDC para cada ecuación. 03x -.004 = .72x + 1.8 .2x + .04 = 5x -.36

EJEMPLO 2. dígitos ti punto decimal

03x -.004

=. 72x +

-.-'-V-' i t

t

tres

~

dos

1.8 1 1 .2x + .04 = 5 (x)

ti i

uno:uno

--"-

.5x -1.2

número de dígitos pasado cual-punto decimal es uno. MDC = 10.Tlultiplicar

~

'"""' e I M D C es 1 OO.

= 6.4.

10(.5x -1.2) = -10(1.2) = 5x -12 = 5x =

por 10, mueva el punto , un lugar a la derecha. . 12 en cada lado.~

10(6.4)10(.5x) 10(6.4) 64 76

x=~

lado por 5.-

la solllción

.;- 5 = .2 -~

5

o 15.! 5

es 15~ o 15.2.

.15x -7.2

4.

= 8.5.

número de dígitos pasado cualpunto decimal es dos. MDC = 100. ' lado por 100. .multiplicar por 100, mueva el punto , -' --lugares a la derecha.---J,

lado.-

-

cada lado por 15.-

Así, la solución

idos

dos ninguno dos

1 I

-.3ij

t

I

~I M DC es 1 000.

EJEMPLO 3.

i

es 104~. CON

Ut:CIMALt:b

EJERCICIOS PARTE A Resolver.

Las respuestas

pueden ser escritas

1. .O3x=.2 4. .1x-2.4=1.17 7. .18x-24=.1x+.6 10. .O12x-4=.112x+1

en fracciones

o Identifl nales o Escribi males en forn

o en forma decimal.

2. .O16=.32x 5. .OO7=.7x-.21 8. 5-.03x=.7~-.11 11. :7x-1=.6x+.OO2

3. .OO4x-7.1 =.12 6.2.1x=.72+1.8x 9. .7x-.2=.13x-80 12. .5-.08x=.OO4x+.2

PARTE B

EJEMPLO. Resolver Distribuir

.02(4) .08

.02.

.02 (.3) = --' 2

100

02 (4 -.3x)

~

6~ftft

=

dos Multiplicar

cada lado por el MOC, 1000:--""

J

-.02 (.3x) = .15x+ 3.2 -.006x =. 15x + 3.2

--y-" i

.006

= .15x + 3.2. ::;

i

--. i

,-

tres

dos

uno

1000(.08.006x) 1000(.08) -1 000(.006x) 80 -6x -156x

= 1 000(.15x+ = 1 000(.15x) = 150x = 3120 --3

120

"

-

3.2) + 1000(3.2) + 3 200

o -20

x=~ cadanúr

Así, la solución

Resolver.

Las respuestas

13. .03(4-.2x)=.17x-1.2 15. .3x -2.91 = S -.2(3

pueden darse en fracciones

es -20.

~ es el enterc

o en forma decimal.

14. .01(S-.2x)=.7S+.198x 16. 47.S82 -.01 (.2 + 3x) = 7.9x

-.01x)

17. .04(.2-.1x)=J:.12+.02x

18. .1(2-7x)=7.1-3x

PARTE C Resolver.

Las respuestas

pueden ser escritas

19. .3x-.02[.7-.1(5-.04x)] 374

ECUACIONES FRACCIONALES

=.006

en fracciones 20. 7-.04[6x-

o en forma decimal. (2-.01x)]

=.005

-=9

-9

Escriba i como un

¡ Escriba ~ como un I

decimal. .875 8~ ~

6

I decimal. : .833 ... I 6 Y"51iOO : ~

60

:

20

56

I

18

40

:

20

40 -1-

O

l = .875 8 t

I

18

I

2

La línea

: ~ = .833 "'--signifi~a. :6 t 3 repetlclo.nes.

decimal finito

de un número racional.

..

Un número escrito

racional

decimal periódico

es un número

en la forma"*

que puede ser

donde a y b son enteros

y

li b:#: 0.1 EJEMPLO 1.

el entero

b mismo

Demostrar que los enteros números racionales. -16

I

1

I I

-16=-

y b es 1.

Así,

-16,

-16,

O

I

1

I I

0=-

O, 1 y 23 son

O, 1 y 23 son

1

I

1

I I

1 =-

números

23 23=1

racionales:

Cada entero es un número racional.

EJEMPLO 2.

--

2 3

-9

-16

forma~

b'

donde a y b son

I I I

5

I I I

2 } As ,, ~3' ~2 Y -~ 16 son números racionales. ,

-9

16

'

NUMEROS RACIONALES

375

EJEMPLO 3.

Escriba cada uno como ~ donde b es 10, 100 Y1 000.

Demuestre que los siguientes meros racionales. .7

I

!

:

- 7 10

!

decimales

son nú-

I

2.591

-.06

-

!

:

~

-6

~

2591

100

Así,

.7, -.06

Multiplicar cac mal se mueve

-

1000

Multiplicar cac Sumar las Ecs

2.591 son números racionales.

y

Dividir cada la

Cada decimal

EJEMPLO 4.

--

Demuestre

finito

es un número racional.

que .33 es un número racional.

_a línea significa que el 3 se repite. .33 = .3333...

Sea n = .3333 (1)

.,.

Multiplicar cada lado por 10; el punto decImal se mueve un lugar:. .

10n = 3.3333 (2) -1n =.~~33 (3) 9n = 3.0000 9n =3

Multiplicar cada lado de la Ec. (1) por -1 . Sume las Ecs. (2) y (3).~ Divida cada lado por 9.

.

o

n=-

3 9

0-

1 3

A

1. -18.

.77 Luego,

EJEMPLO 5.

.33 es el racional

~.

B

Mostrar que .944 es un número racional. Sea n = .9444 (1).

se mUE

Multiplicar cada lado por 10; el punto decimal se mueve un lugar.

.

Multiplicar cada lado de la 6c. (1) por -1. Sumar las Ecs. (2) y (3).

.

10n = -1n

= -.9444

.

n= A

'

SI,.

9 -

l ' 44 es e numero

Cada decimal 376

n=.1616

ECUACIONES FRACCIONALES

cada lad

8.5

Se divide cada lado por 9. entero

-cadé las Ecs. I

(3)

9n = 8.5000 9n = 8.5

o 8.5 8.5 (10) -~ ""'9 = -9(10) -90-

9.4444 (2)

repetido

9 85

17

goO

18

. raciona

' -17 18'

es un número racional.

c

I CAPSULA DE REVISION Juan invirtió $400 al 6% pOr un año. ¿Cuánto ganó de interés? i = p = r= t=

? $400 6% 1 año

i = prt = 400 (.06) (1) = 24. LCambie el porcentaje a un decimal.

Así, él ganó un interés de $24.

invertil

Fórmula de interés

EJEMPLO

1.

Marita pidió prestado x pesos al 7~% de por un año. Escriba una expresión algebraica la cantidad de interés que pagó.

í = prt

Use la fórmula. Sustituya

= x(.O75) (1) = .O75x

7 ~ % = .075

Así, EJEMPLO 2.

378

el interés que pagó Marita.

-c:--=

.0606%.

10ú, ECUACIONES FRACCIONALES

=

.5 a

Los González invirtieron $1 000 por un año. Ellos ganaron $60 de interés. ¿Cuál fue la tasa de retorno?

6 =

1000

.O75x representa

i = prt 60 = 1 OOO(x) (1) 60 1000 = );

Use la fórmula Sustituya.60

.

.

Así, la tasa de retorno fue de 6%

presta( presta(

~~:§~

=Iena ~rincipal Irasa (Interés Así, Iván !~ Interés ,025(1 (Interés PROBLEMAS

invirtió una suma de dinero al 5~% y otra116%. Ella invirtió $300 más al 6% que al 5~%.Si su interés total por 1 año es $133, encuéntrese a cantidad que invirtió a cada tasa. Sea x = cantidad + 300 = cantidad

(en dólares) invertida al 5~ % .~ (en dólares) invertida al 6%. I Tiempo

xx+300

055 06

Interés(i

I

anoI ano

= prt)

I

.O55xj

06(x + 300)

al 5~%) + (Interés al 6%) .055x + .06(x + 300) .055x + .06x + 18 55x + 60x + 18,000 115x x x + 300

= = = = = = =

(Interés total) 133 133 133 000 115 000 1 000 1 000 + 300 o 1300

Elena invirtió

$1 000 al 5~% y $1 300 al 6%.

pidió un préstamo de $1 900, una parte en unbanco con una tasa de interés de 8% y el resto a su padre al 5%. Al fin de 6 meses, él debe $64 deinterés. ¿Cuánto pidió a cada uno?

Sea x = cantidad (en dólares) que debe al 8%.1 900 -x = cantidad (en dólares) que debe al5%. (i = prt)

Tiempo I

Principal x1

08

900 -x

05

04x 900 -x)

al 8%) + (Interés al 5%) .04x + .025 (1 900 -x) .04x + 47.5 -.025x 40x + 47 500 -25x 1 5x x 1 900 -x él pidió $800 aI5%.

un

préstamo

= = = = = = =

(Interés total) 64 64 64 000 16 500 1 100 1 900 -1 1 00

de $1 100 al 8%

DE INVERSION

y PRESTAMOS

u 800Así, y de

379

EJEMPLO 5.

Alba invirtió la mitad de su dinero al 5~% y I de su dinero al 5;%. Si su interés total al fin un año es $136, encuéntrese la cantidad original

de su dinero. Sea x = cantidad ~ x = cantidad ~ x = cantidad

Represente las cantidades prestadas en expresiones algebraicas-

original de dinero. (en pesos) invertida (en pesos) invertida

al 5~% al 5~o/('

1. Memo

pi

7 ~% de i interés

Hágase

3 5-%

un cuadro.,

= 5.75% = .0575

4

Lisa

1 5-% 2

po

~

= 5.5%

= .055

Escribauna ecuación. Sustituya. Multiplique Multiplique

-. .

cada lado por 4. cada lado ,por 1 000..

(Interés al 5~%) + (Interés al 5~%) = (Interés

.115x + .055x = 115x + 55x = 170x = x=

.

EJEMPLO 6.

invertidas

en

Hágase un cuadro.

invertida

I

~x+~x=136 2 4

Así, la suma original $3200.

Represente las cantidades términos algebraicos.

invin

demás al un año tu

544 544 000 544 000 3 200

de dinero de Alba

Harry tenía $600. Invirtió una parte al 6% y resto al 5%. Al fin de 1 año, su retorno total estas inversiones fue de $34. ¿Cuánto invirtió cada lado? Sea x = cantidad 600 -x = cantidad

(en dólares) (en dólares)

invertida invertida

al 6%. al 5%.

Unos ami niq. Una demás al 6% era el al 4%. El era $96. tasa de in

.Melba teni 5% y lo d~ su gananc virtió

en Ci

..

Los J uárez al 5% y I( Escriba una ecuación.. Sustituya.

Multiplique

(Interés

al 6%)

--

cada lado por 100.

+ (Interés al 5%) .06x + .05 (600 -x) .06x + 30 -.05x 6x + 3,000 -5x 1x x 600 -x

= = = = = = =

(Interés 34 34 3 400 400 400 600 -400

años su ¿Cuánto ir

Ana

o Así, él invirtió 380

ECUACIONES FRACCIONALES

$400 al 6% y $200 al 5%.

invirti y 1/1.

ganó $595 cantidad

01

5~% 5~o/C'

544 000 544000 ~ 200

Alba

era

Memo pidió un préstamo de $5 000 al 71% de interés por un año. ¿Cuánto de interés pagó al fin de un año?

2. La Sra. Díaz invirtió $5 000 por un año. Ganó $300 de interés. ¿Cuál fue la tasa de retorno?

Lisa invirtió $1 800, una parte al 5% y lo demás al 6%. Su interés total al fin de un año fue $96. Encuéntrese la cantidad invertida en cada lado.

4. El Sr. Gómez tenía $2 500. Invirtió una parte al 5~ % y lo demás al 5%. Al fin de 3 arios, su ganancia total era $420. ¿Cuánto invirtió en cada lado?

Unos amigos le prestaron dinero a ToniD.o Una parte se le prestó al 4% y lo demás al 6%. La cantidad prestada al 6% era el doble de la cantidad prestada al 4%. El interés total al fin de un año

6. Unos amigos le prestaron dinero a Dolores. Le prestaron una parte al 8% y lo demás al 5%. La cantidad prestada al 5% era $1 200 más que la cantidad prestada al 8%. El interés total después de ~ año era $160. Encuéntrese la cantidad de cada préstamo.

era $96. ¿Cuánto le prestaron y elD por

total

a cada

tasa de interés?

invirtió en al 6 % .ja al 5 % .

total}

400 o 200

l. -x 16% ja terés

7. Melba tenía $1 300. Invirtió una parte al 5% y lo demás al 6%. Al fin de 2 arios, su ganancia total era $146. ¿Cuánto invirtió en cada lado?

8. Rubén invirtió $800, una parte al 4% y lo demás al 5%. Al fin de 3 años su ganancia total era $111 .¿Cuánto invirtió en cada lado?

9. Los Juárez invirtieron $10 000, una parte al 5% y lo demás al 4 ~%. Al fin de 6 años su ganancia total era $2 880. ¿Cuánto invirtieron en cada lado?

10. Los López inv.irtieron $5 000, una parte al 6% y lo demás al 6 ~ %. Al fin de 4 años su ganancia total era $1 245. ¿Cuánto invirtieron a cada tasa de interés.

11. Ana invirtió la mitad de su dinero al 5;%, y 1/4 al 6%. Al fin de 2 ai'\os ella ganó $595 en interés total. ¿Cuál era la cantidad original de dinero?

12. Beto invirtió 1/3 de su dinero al 6% y 3/5 al 6~ %. Al fin de 3 anos había ganado $531 en int~rés total. ¿Cuál era la cantidad original de dinero? PROBLEMAS DE INVERSION y PRESTAMOS

381

~~

Fracciones

Complejas

6 denominador

i}denominador

numerador

~} denominador Definición de una fracción compleja:

EJEMPLO 1.

Simplifique

2 3

1 5 3

o5

0-

2 3

Multiplique

el numerador

por 3 .5; ~b --

y denominador

a .c

b. c

1 30505

1

2

.z 5, 31 3

k.1s' 1

10 3

382

ECUACIONES FRACCIONALES

,~

2

3a +3 EJ EM PLO 2.

Simplificar

!+~ 2 6

3a =-:;-

~+~ 1 3 -

los denominadores.

3a

MDC

2

de -, 1

-,

3

a

-, 2

--numerador 3

5

es 3 .2.

3.2

a

y denominador

.2

2 2

3.2 factores comunes en cada producto.

factores

restantes

en cada

}

2.~

-

1

a

1

1

3oi°:t+3o'1°r1 1

pro-

5 1

1

18a+4

3a + 5

EJEMPLO 3.

3

5

3

a

2

a

---=-+

-1

3 -5 =-+-

.5

a

2

7

, 2' 3'

4

es3.

Distribuir

3.

2 .a .a:

Dividir

Multiplicar

factores

restantes

2

z+~ 3 a2

2

3

-5

a

- 2--

Z+~ 3 a.a

..

2 .a

3.2.a.a

. a.

a a. a tanto el numerador como el por el MOC.

comunes en cada producto.

5

a

-+-

los denominadores. 3 -5

Simplificar

3

factores

( 8+2 ) 3

-5

}

en cada

producto.

FRACCIONES COMPLEJAS

383

o

Simpli

m2

-m

MDC

-6

=

= (m -:

Multiplicar amb denominador p<

Usar la propied los factores corr

Multiplicar producto.

el re~ Comb

1 3

110+2

c

(

5-2 5 ' 2

)

c 3 2+5

(~

5,2

+ ..!.

2)

5c+6 1

1

C

1

.5'2.~+5'2'l),i 1

.2

1

1

5 EJEMPLO

1.

+ ?:.--

m-3

Simplificar

1

7

+

m2-m-6

m+2 1

m-3

7

5 m-m

-6 = = (m -3)

(m -3) (m + 2); (m + 2).

ambos numerador y por el MDC (m -3)

7

.+

(m -3)

}

(m + 2)

(m -3)

m -3

(m -t 2)

(m + 2).

(m -3) (m + 2) [. (m -3) (m + 2) + 1

5

1

1

de los factores de cada los términos similares.

.'

~~

1

(m--f--2) .-~

m-+-2", 1

(m-3)(m+"2). (~)(m+2)

}

.-

(m -3)

7

1

.resto Combinar

1ñ""""+"""2)

7

(.m-3") (m + 2) .-.m=:~,-tla propiedad distributiva. Dividir comunes en cada producto.

7

5 (m-3 --+

1

-

1

+ (m-3)(m +2). ~ 1

m+9

FRACCIONES

AUN MAS COMPLEJAS

385

1

2

.

EJEMPLO 2.

+

a

Simplificar

-16

a2 + 6a

1

4

a ~MDC

Multiplicar ambos, numerador y denominador por el MOC, a(a ,+ 6).

Usar

la propiedad

distributiva.

Dividir

factores comunes de cada producto.

lOS

}

4

a(~

1

~+¿(a

+6)

.á 1

Multiplicar los factores restantes de cada producto. Combinar los términos seme-

o

}

-n-

~

jantes. Factorizar el numerador doro Después escribirlos

y el denOminaen su forma más }

simple.

EJEMPLO 3.

Simplificar

(b

c:::~~~) b 2 + 5b

ECUACIONES FRACCIONALES

+

-1

b-3

3) (b + 8) + (-b"-=-"3).

, -24 + 5

es a (a + 6)

ar D ~

Obtener pk

~~~~solv~r

cada lado.

trar y SI X = 3. 2x + 3y = 10 -n_.

,x;

multiplicar

para y. y luego enc

-'A

~x 3y = 1 O ~ ~

y=-

-

.-I

.,- -= -lU-

Dividir

si x = 3, enton

/

-

cadi

10 -2(3) 3 -

""'~ -o!o IV

ar la pro~ Dividir los f

aJ

a; a

5t dE lar

2.

La fórmula para el perímetro de un rectángulo es

'"

p = b+ a. + b + a , o p = 2b+ 2a. Resolver P = 2b+ 2a para b. Luego encontrar b s; P = 46 --n

Tornar

2b

de un solo

lado

b está solo en un lado. Dividir cada lado entre 2 La fórmula se resuelve pa

P -2a

-28

a cada

lado.

p=2b

-

= =b o

encontrar

p-

b=2

)

Ahora,

-

~~

- 2ap -2~

Sumar

b si p = 46 Y a =

b= p-2a ~ 2

-

46- 2

-

46-1

2

'"

2 88

ECUACIONES

FRACCION/J

:enar losPa ello,

~

Reemplazar p por 46 y a p

-12

-o

14

s

Resolver pktMDC cada 3R -120 cada 210-120 5 EJEMPLO Resolver

3.

pkt -m

= 5m

para k.

m = 5m m m

pkt de un solo lado. Sumar m aJada. Reescribir pkt, luego podemos -en cualquier orden. .

cada lado por pt. .

4.

R = 70. R

5

40

-=-t+-

3

1

1

lado por 3. propiedad distributiva. los factores comunes.

~1

= St + 120 -120

a cada lado.

lado entre

53R=3"' -(+3.40

1

un lado solo. -120

(§t+~ 3 1 )

3, ~=3 1 }

es 3.

3R -120 3R -120

5.-

r j

= 5t

=r

3R -120

o t=

5

3(70)~_~ 5 5 = 18

= 18 5.

ax = c -bx

en x.

ax = c -bx

términos x sólo de un lado. , sumar bx a cada lado.

bx

bx

ax + bx = c monomio común x. --lado por (a + b), pues x está por (a + b).

}

x (a + b) = c

x (a + b) = --.!?a+b a'+b c

X=m FORMULAS

389

EJERCICIOS PARTE A Resolver para x.

1. ax = 2 5. x + 3a = O 9. 2x -c = d

13. 8 -2x = kx x

b

c

17.3=2+6

4. bc = 2x 8. 5 = x -3c 12. 7x + 2a = 6h 16. mx=px-t

3. 3x = 3a 7. x-4a=O 11. 4a + 2x = 3b 15. 3ax = ax + b

2. 6. 10. 14.

rx = 5 2c + x = a bx -7 = 3c ax = 4 -cx m p x 18.5+3=15

19. .!-=~ 2a c

Resolver cada fórmula para la variable indicada. Después evaluar. 21. Resolver p = 45 para 5. Luego encontrar 5sip = 28. 23. Resolver p = 25 + b para 5. Luego encontrar 5 si P = 52 y b = 14. 25. Resolver C = 27Tr para r. Luego encontrar r si C = 12.56 m y 1T == 3.14. 27. Resolver V = bah para h. Luego encontrarh si V = 48 cm; b = 2 cm ya = 6 cm.

22. Resolver A = pti para i. Luego encontrarisip = 180, A = 270yt =~. 24. Resolver b = a + 15d para d. Luego encontrar d si b = 125 Y a = 35. 26. Resolver i = prt para r. Luego encontrar r si i = 30, p = 200 Y t = 4. 28. Resolver C = 5fd2 para f. Luego encontrar f si C = 20 Y d = 2.

El contr soni~o I La resis

de dos en un cirl ralelo es

PARTE B

Resolver en x. 30. 6x -6a 33. 2 -2bx 36. 4x -ax

29. 5a + 2bx = 3c 32. 3b -3c = 2bx -3c 35. a 2 -ax + 4 = 2x -4a

31. ax -c = 2d + 3c 34. 7a + 3x = 6a + 4x 37. ax + bx = a2 + 2ab + b2

= 2x + 10a = -4b + 3bx = 16 -a2

PARTE C Resolver cada fórmula

en la variable

indicada.

Después evaluar. Simpli'

40. Resolver T = 1Tr(r + b) para b. Luego encontrar bsi T = 942, r = 10 Y 1T= 3.14. 42. Resolver T = 21Tr(r + h) para h. Luego encontrar h si T = 301.44, r = 4 Y 1T=

3.14. 390

ECUACIONES FRACCIONALES

41. Resolver encontrar

A = P + prt para p. Lp si A = 134.40, r = .06 Y

= 2. 43. Resolver A = b + c + a en a. Luego 3 encontrar a si A = 34, b = 39 Y c =

~ b-2 11 21.

Resolver

1

y verificar

~~=~ 3

.6 3. ~ (x -4) :5.-

x

3

extrañas.

+ ..!

2 + x + 5 -2x -= 2

+-"-= X

x -7

para las soluciones

2 ~+~=1 :5 x 4. 7

-1 3

-+-=.

Y+ 3

X2 -7x

y -7

y2 -4y

13

y

3a -4

3.~

-21

15 4

b

5. Juana y

den cort puede ha po le ton7

8. Jorge puede reparar un radio en 5 h. Si Tina lo ayuda, terminan el trabajo en 2 h. ¿Cuánto tiempo le tomaría a Tina hacerlo sola? 10. Juana puede construir una mesa en 2 semanas. Lo que le podría tomar a Juan 5 semanas, ¿cuánto tiempo le tomaría a Iván, trabajando con ellos, si los tres pueden completarel trabajo en 1 semana?

Dos hom construir ría a uno que le tc po le tom

Resolver. 9. .O5x = 4

13.

12. .6x+3=.21x+18

que cada uno es número racional.

-18

2

(Pág. 372)

,O3x= 7 Mostrar

4

6. b+2+b2=-4=~

(Págs. 364, 367) 7. Mona y Martín, trabajando juntos pueden cortar el pasto en 5 h. Mona lo podría hacer sola en 9 h. ¿En cuánto tiempo lo podría hacer Martín? 9. Dos hombres trabajando juntos pueden construir una casa en 7 meses. Uno de ellos lo hacía en 3 veces más del tiempo en que lo haría el otro. ¿Cuánto tiempo le tomaría a cada uno hacerlo?

Resolver.

1.-

2

-23

Resolver

(Págs. 355, 360)

15. O

16. 7;

.01 (2 -.5x)

= .48 -.003x

(Pág. 375)14.

17. 4.66

Mostrar

que

12. -14

19. .1818

18. .322

Simplificar. Simplificar. 20.

(Págs. 382, 385)

4

3

3 1 "5 + "2

5

22. 1 -~

b2+E 2

-.!.§. X

7b+W

X2

1

5---

X

X2

25. x -5 +

para la variable

28. 8 -5x indicada.

30. Resolver a = mpq para p. Luego encontrar p si a = 32, m = 2 y q = 7.

392

ECUACIONES FRACCIONALES

3

2

5

3+21 18.

5

1---

m

x-2

para

Resolver para x. (Pág. 388) 26. bx -8 = 3m 27. 5a + mx = tr Resolver cada fórmula

1

16. 7 +"3

= kx

Después evaluar.

29. 6a + 5x = 4a + 3x (Pág. 388)

31. Resolver k = 1/4fd2 para f. Luego encontrar f si k = 7 y d = 2.

.mx-4= cada .Resolver

m

trar b si m

i,

Y-6

Y+2

--

y2 -6y

--x +

-16

15

14

6. Rolando puede componer una V T en 9 h. Si Lisa lo 'ayuda terminan la compostura en 4 h. ¿Cuánto tiempo le tomaría a Lisa hacer sola el trabajo? , 8. Juan puede construir un escritorio en 4

io en 5, trabajo enriaa I

mesa en

si

semanas, lo que le tomaría a José 5 semanas. ¿Cuánto tiempo le tomaría a Saúl si, trabajando juntos, los tres pueden terminar el trabajo en 2 semanas?

los

en1 '

.O5x = 4 .OO3x

10. .5x + 2 = .32x + 12

que cada uno es un número racional. 13. 831

-14

14. .44

15. .1212

~+.! 7 3

-5 2

7 1.7 a-2 --

3+21 1 -

5

mm2

17 --m

14

+ a-5

-- 3

a2 -2a 19.

x-2+m

5

--~

m2

~+5 x+3

para x.

4a + 3x

mx -4

= 2a

cada fórmula Luego en-

21. 7 + 2x = tx para la variable

indicada.

22. 5x -4b

= 3x + 8b

Después evaluar.

Resolver m = abd para b. Luego encontrar b si m = 28, a = 2 Y d = 7.

FORMULAS

393