127

4.2.

Ecuaciones de onda para los campos y los potenciales

Veremos en esta secci´on que los campos y los potenciales cumplen ecuaciones de onda. Parte de las soluciones de estas ecuaciones tienen caracter de onda viajera, es decir, implican la propagaci´on de los campos y las magnitudes asociadas a ellos, como la energ´ıa y la cantidad de movimiento, con una velocida finita, la velocidad de la luz c ' 3 × 108 ms−1 , que es una constante universal 4 . Este hecho, no concorde con el principio de relatividad de Galileo, ser´a el punto de partida de la teor´ıa de la Relatividad de Einstein. En el caso de los campos, nos limitaremos a demostrar que, incluso en ausencia de fuentes primarias ρ y ~, es posible la propagaci´on ondas cuyos campos son automantenidos. En el de los potenciales, se tendr´a en cuenta la existencia de cargas y corrientes y se comprobar´a que los potenciales lorenzianos cumplen ecuaciones an´alogas a las de los campos. Ecuaciones de onda para los campos : En ausencia de cargas y corrientes, las ecuaciones de Maxwell toman la forma sim´etrica ~ =0 ∇·E (4.8) ~ =− ∇∧E

~ = ∇∧B

~ ∂B ∂t

(4.9)

~ =0 ∇·B

(4.10)

~ 1 1 ∂E , c= √ c2 ∂t µ0 ε0

(4.11)

y, como u ´nicas fuentes del campo, aparecen las Hallando el rotacional a 4.9 ~ =− ∇ ∧ (∇ ∧ E)

∂ ∂t

de los propios campos.

∂ ~ ∇∧B ∂t

y teniendo en cuenta 4.11 y 4.8 y que ∇ ∧ ∇ ∧ ~a = ∇(∇ · ~a) − ∇2~a ~− ∇2 E

~ 1 ∂2E =0 2 2 c ∂t

(4.12)

~ 1 ∂2B =0 (4.13) c2 ∂t2 Cada componente cartesiana de los campos Φ cumple la ecuaci´ on de D’Alembert 5 . ~− ∇2 B

∇2 Φ − 4

1 ∂2Φ =0 c2 ∂t2

En la actualidad, el metro se define en funci´ on del segundo y de la velocidad de la luz. El segundo se relaciona a una transici´ on hiperfina del Cesio 133 y a la velocidad de la luz se le asigna el valor exacto c ≡ 2, 99792458 × 108 m · s−1 . 5 En el caso de coordenadas curvil´ıneas, ´esto no es cierto.

128 Las ecuaciones de onda 4.12 y 4.13 se deducen de las ecuaciones de Maxwell por un proceso de diferenciaci´on y eliminaci´on de variables en el que se pierde informaci´on sobre los campos, en particular, sobre la relaci´on m´ utua entre ellos. Por esta raz´on, no todas sus soluciones son v´alidas y ser´a necesario exigirles que sean compatibles con las ecuaciones de Maxwell. Ecuaciones de onda para los potenciales : Prodediendo de forma an´aloga para los potenciales pero haciendo uso de las ecuaciones 3.18 a 3.21, se tiene que: ~ ~ = µ0~ + µ0 ε0 ∂ E y expresando a los campos en funci´on de los - Partiendo de ∇ ∧ B ∂t potenciales " # ~ ∂ ∂ A ~ − ∇2 A ~⇒ ~ = µ0~ + µ0 ε0 −∇V − = ∇ · (∇ · A) ∇∧∇∧A ∂t ∂t o, de otra forma, ¶ µ ~ ∂2A ∂V ~ ~ − µ0~ ∇ A − µ0 ε0 2 = ∇ ∇ · A + µ0 ε0 ∂t ∂t 2

~ = - Partiendo de ∇ · E

ρ ε0

(4.14)

y expresando al campo el´ectrico en funci´on de los potenciales ∇2 V = −

~ ρ ∂∇ · A − ∂t ε0

(4.15)

~ = 0. Haciendo uso del mismo en 4.14 y 4.15 se Para potenciales culombianos ∇ · A obtienen las ecuaciones de onda ρ ∇2 V = − (4.16) ε0 ~ ∂2A ∂V = µ0 ε0 ∇ − µ0~ (4.17) 2 ∂t ∂t El potencial el´ectrico escalar responde a la misma ecuaci´on, la de Poisson, que el electrost´atico; es un potencial de ’tipo electrost´atico’ aunque dependiente del tiempo. La propagaci´on de la onda viene descrita exclusivamente por el potencial magn´etico vector, cuya ecuaci´on de onda es no-homog´enea. Las ecuaciones de onda se caracterizan por incluir, al menos, derivadas segundas espaciales y temporales. ~ + µ0 ε0 ∂V = 0 nos lleva a las ecuaci´ones de El uso del contraste de Lorenz ∇ · A ∂t onda de los potenciales lorenzianos ~ − µ0 ε0 ∇2 A

∂2V ρ =− 2 ∂t ε0

(4.18)

~ ∂2A = −µ0~ ∂t2

(4.19)

∇2 V − µ0 ε0 ~ − µ0 ε0 ∇2 A

129 Luego, como los campos, los potenciales lorenzianos responden ecuaciones del tipo ¤ Φ = f , ¤ ≡ ∇2 −

1 ∂2 c2 ∂ t2

(4.20)

donde ¤ es el operador de D’Alembert o dalambertiano. El potencial el´ectrico escalar no tiene por que cumplir una ecuaci´on de onda pero es evidente que, junto con el potencial vector, debe dar cuenta del car´acter propagativo de los campos.

4.2.1.

Propagaci´ on de ondas electromagn´ eticas planas en el vac´ıo

En la secci´on anterior vimos c´omo las componentes de los campos cumpl´ıan en el vac´ıo la ecuaci´on de onda de D’Alembert 4.20. De entre las posibles soluciones de esta ecuaci´on buscaremos las que tengan car´acter de onda plana. Entendemos, en un principio, por onda plana 6 , una soluci´on de la ecuaci´on de onda en la que Φ s´olo depende de una coordenada espacial ξ que, como se muestra en la figura 4.1, es la distancia de un plano, que llamaremos frente de onda, a otro, paralelo al anterior, que tomamos como origen. En un instante determinado, Φ es constante en todos los puntos de un determinado frente de onda.

n n

ξ r O

Figura 4.1: Como puede verse en la figura ξ = ~r · ~n = nx x + ny y + nz z

(4.21)

donde ~n = nx x b + ny yb + nz zb , n2x + n2y + n2z = 1 es el vector normal al frente de onda o vector unitario de propagaci´ on. 6 Estrictamente, la calificaci´ on deber´ıa concretarse a ondas planas homog´eneas para distiguirlas de las planas no homog´eneas que se definen en otros contextos [Garc´ıa Olmedo]. M´ as adelante acotaremos esta definici´ on eliminando de la misma componentes independientes de las variables espacial y temporal.

130 Para no introducir nueva notaci´on, sin p´erdida de generalidad, rotemos los ejes coordenados de forma que ~n ↑↑ x b,

ξ=x⇒∇=x b

∂ , ∂x

(∇ = ~n

∂ ) ∂ξ

(4.22)

La ecuaci´on de onda quedar´a reducida a ∂ 2 Φ(x, t) 1 ∂ 2 Φ(x, t) − =0 ∂x2 c2 ∂t2

(4.23)

la cual admite soluciones del tipo f (x − ct) y g(x + ct), donde f y g son funci´ones arbitrarias y derivables. Definiendo u ≡ x − ct y w ≡ x + ct 2 d2 f ∂f ∂f df ∂2f df ∂2f 2d f = , = c (4.24) = , = −c , ∂x du ∂x2 du2 ∂t du ∂t2 du2 Substituyendo en 4.23 confirmamos que f (u) es soluci´on y por el mismo procedimiento comprobamos que g(w) tambi´en lo es. Dado que la ecuaci´on es de segundo orden y que las funciones f (u) y g(w) son linealmente independientes, la soluci´on general es del tipo

Φ(x, t) = f (x − ct) + g(x + ct)

(4.25)

Diremos que la soluci´on anterior resulta de la superposici´on, o interferencia de dos modos que se propagan en sentidos opuestos entre s´ı. En la figura 4.2 vemos c´omo la funci´on f se propaga sin deformarse en el sentido positivo del eje x, mientras que g lo hace en el negativo, con una velocidad de fase µ ¶ dx =c (4.26) vf = dt u=cte Efectivamente, para u = cte ⇒ du = dx − cdt = 0 La velocidad de fase es, por lo tanto, la velocidad con que se desplaza un punto de fase constante f (u0 ). Relaci´ on de estructura: Ahora bien, no todas las soluciones de la ecuaci´on de onda son f´ısicamente v´alidas puesto que hemos de comprobar si son compatibles con las ecuaciones de Maxwell. Limit´andonos al modo que viaja en la direcci´on ~n = +b x ~ = E(u) ~ ~ = B(u) ~ E , B En particular,

~ dE ~ =0⇒x ∇·E b· =0 du

(4.27)

~ ~ ~ dE dB ~ = −∂ B ⇒ x ∇∧E b∧ =c ∂t du du

(4.28)

131

f(u) f ( xg(w)

ct 1 )

f ( x- ct 2 )

g ( x+ ct 1 )

+c

g ( x+ ct 2 )

-c

x c ( t 2 -t 1 )

c ( t 2 -t 1 )

Figura 4.2: De la ecuaci´on 4.27 se deduce que d Ex = 0 ⇒ Ex = cte du Ex no puede depender ni de x ni de t. Es, pu´es, una constante trivial que de ahora en adelante consideraremos nula. De hecho, estas posibles componentes no contribuyen a la propagaci´on y transporte de energ´ıa y consideraremos que no est´an incluidas en el concepto de onda. Integrando la ecuaci´on 4.28, anulando la constante de integraci´ on por las mismas razones que nos han llevado a eliminar la componente longitudinal Ex , y teniendo en ~ ~ cuenta 4.27, concluimos que los campos E(u) y B(u) est´an ligados mediante la relaci´ on de estructura, la cual, para cada uno de los dos modos posibles, se expresa de la forma ~ =0 ~n · E ~ ~ = 1 ~n ∧ E B c

(4.29) (4.30)

E

P

B

n

Figura 4.3: ~ es perpendicular a ~n, v´ease la figura 4.3, E ~ yB ~ forman, con la direcci´on Dado que E de propagaci´on ~n, un triedro rect´angulo a derechas y la relaci´on entre las amplitudes de los campos es E = cB (4.31)

132 Cada uno de estos modos es tr´ansversal, es decir, ambos campos son paralelos a los frentes de onda y perpendiculares a la direcci´on de propagaci´on. Adem´as, son perpendiculares entre s´ı y est´an en fase 7 . ~ tiene una direcci´on fija en todos los puntos, la onda se dice que est´a polarizada Si E linealmente en dicha direcci´on. Transporte de energ´ıa: La onda plana, por extenderse hasta el infinito y transportar, como veremos a continuaci´on, una potencia infinita, es una idealizaci´on y, por tanto, no es f´ısicamente realizable. Sin embargo, mediante la superposici´on de ondas planas pueden construirse paquetes de ondas localizados espacialmente que transportan una cantidad finita de energ´ıa. El balance energ´etico, en un volumen V, para una onda progresiva en el vac´ıo, en ausencia de cargas y corrientes, es ~ =− Φ(P)

dWem dt

En nuestro caso, las densidades de energ´ıa el´ectrica y magn´etica son iguales, como puede comprobarse haciendo uso de la relaci´on 4.31. µ ¶ 1 2 B2 1 2 ε0 E + B = ε0 E 2 = ωem = ωe + ωm = 2 µ0 µ0 (4.32) ωe

= ωm

Multiplicando vectorialmente la expresi´on 4.29 por ducto, se tiene que

~ E y desarrollando el triple proµ0

~ = 1E ~ ∧B ~ = 1 E 2~n P µ0 µ0 c

(4.33)

~ = 0. donde se ha tenido en cuenta que ~n · E En consecuencia, el vector de Poynting de una onda plana progresiva admite las expresiones 2 ~ = c ε0 E 2~n = c B ~n = ωem ~c , ~c = c ~n P (4.34) µ0 Es decir, el vector de Poynting, en un instante dado, es constante dentro de cada ~ yB ~ tambi´en lo son, y su direcci´on y sentido coinciden con frente de onda, ya que E los de propagaci´on. Aparece adem´as, formalmente, como un vector densidad de flujo de energ´ıa, donde ~c representa la velocidad de arrastre, o transporte, de dicha energ´ıa. Es f´acil comprobar, integrando sobre un frente de onda, que la energ´ıa transportada por una onda plana es infinita. Fuerza sobre cargas. Transmisi´ on de cantidad de movimiento: Aunque no vamos a tratar en su forma general el problema de la conservaci´ on de la cantidad de movimiento, vamos a comprobar que una onda plana es capaz de comunicar, a una carga, cantidad de movimiento en la direcci´on de propagaci´on. 7

~ y c B est´ E an definidos, para cada modo, por la misma funci´ on espacio-temporal.

133 La fuerza que una onda plana ejerce sobre una carga q es ~ + ~v ∧ B) ~ = q[E ~ + β~ ∧ (~n ∧ E)] ~ , F~ = q(E

~ = ~v β c

por lo que la fuerza magn´etica es normalmente, para cargas con velocidades no relativistas, muy inferior a la fuerza el´ectrica |F~m | vB ∼ =β¿1 E |F~e | Este peque˜ no t´ermino de fuerza magn´etica es sin embargo el que posibilita el intercambio de momento, en la direcci´on de propagaci´on, entre la onda y la carga. Desarrollando el triple producto ~ E ~ + q(β~ · E)~ ~ n F~ = q(1 − ~n · β) con lo que la componente longitudinal de la fuerza, Fn , provocar´a un incremento de la cantidad de movimiento en la direcci´on de propagaci´on ~ · E) ~ = Fn = q(β

1 dW dpn = dt c dt

dW ~ es la potencia que el campo el´ectrico suministra a la carga. Luego, donde = q~v · E dt teniendo en cuenta que Fn dt = dpn , el momento transferido por el campo a la carga, en la direcci´on de propagaci´on y en un intervalo de tiempo arbitrario, es ∆pn =

∆W c

Lo que nos confirma que la onda, adem´as de transportar energ´ıa, transporta cantidad de movimiento. 4.2.1.1.

Ondas planas monocrom´ aticas

Un caso particular de onda es la monocrom´atica, en el que las componentes son funciones arm´onicas de t y de x. Las ondas monocrom´aticas planas que viajan en el sentido positivo del eje x pueden escribirse de las formas Φ = Φ0 cos {k (c t − x) + ϕ} = Φ0 cos (ω t − k x + ϕ) = ½ ¾ t x = Φ0 cos 2π ( − ) + ϕ T λ

(4.35)

2π donde k es el n´ umero de onda, ω = k c la frecuencia angular, T = el periodo y ω 2π ω 1 λ= la longitud de onda. La frecuencia es f = = . k 2 pi T Como puede verse en la figura 4.4

134 x=x 0

Φ

T

t t0

Φ

t 0+T

t=t 0

λ x x 0+ λ

x0

Figura 4.4:

Φ(t0 , z0 ) = Φ(t0 + T, z0 ) = Φ(t0 , z0 + λ) Estas funciones son soluci´on de la ecuaci´on 4.23 porque Φ = f (u). Por la misma raz´on, tambi´en es soluci´on de dicha ecuaci´on la funci´on compleja, (fasorial) 8 Φ = Φ0 ej (ω t−k x)

(4.36)

interpretando la amplitud como compleja Φ0 = |Φ0 | ej ϕ Obs´ervese que la funci´on real Φ es la parte real de la compleja Φ = Re(Φ)

4.3.

9

(4.37)

Potenciales retardados

Consideremos, como se muestra en la figura 4.5, el problema de determinar cual es el potencial creado en un punto P por una carga elemental ∆q(t) situada en ~r 00 y encerrada en un peque˜ no elemento de volumen ∆ v 0 . 8 9

Seg´ un la identidad de Euler ejθ = cos θ + j sen θ, donde j = Se emplear´ a la misma notaci´ on para ambas soluciones.

√

−1.