definiciones

teorema

demostración

ejemplos

Campos sin divergencia y potenciales vectores Jana Rodriguez Hertz Cálculo 3 IMERL

24 de mayo de 2011

definiciones

teorema

campo sin divergencia

campo sin divergencia

campo sin divergencia ~ : Ω → R3 , X ~ = (A, B, C) X

demostración

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

campo sin divergencia

campo sin divergencia

campo sin divergencia ~ : Ω → R3 , X ~ = (A, B, C) X campo sin divergencia o solenoidal si

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

campo sin divergencia

campo sin divergencia

campo sin divergencia ~ : Ω → R3 , X ~ = (A, B, C) X campo sin divergencia o solenoidal si ~ = 0, es decir div X

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

campo sin divergencia

campo sin divergencia

campo sin divergencia ~ : Ω → R3 , X ~ = (A, B, C) X campo sin divergencia o solenoidal si ~ = 0, es decir div X Ax + By + Cz = 0

ejemplos

definiciones

teorema

potencial vector

potencial vector

potencial vector ~ ,Y ~ : Ω → R3 X

demostración

ejemplos

definiciones

teorema

potencial vector

potencial vector

potencial vector ~ ,Y ~ : Ω → R3 X ~ potencial vector de X ~ si Y

demostración

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

potencial vector

potencial vector

potencial vector ~ ,Y ~ : Ω → R3 X ~ potencial vector de X ~ si Y ~ = rot Y ~ X

ejemplos

definiciones

teorema

teorema

teorema

teorema ~ : R3 → R3 X

demostración

ejemplos

definiciones

teorema

teorema

teorema

teorema ~ : R3 → R3 X ~ campo sin divergencia X

demostración

ejemplos

definiciones

teorema

teorema

teorema

teorema ~ : R3 → R3 X ~ campo sin divergencia X ~ tiene un potencial vector ⇒X

demostración

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

teorema

teorema

teorema ~ : R3 → R3 X ~ campo sin divergencia X ~ tiene un potencial vector ⇒X ~ tal que ∃Y ~ = rot Y ~ X

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

observación

observación

observación importante ~ tiene que estar definido y ser para que valga el teorema, X 3 solenoidal en todo R

ejemplos

definiciones

teorema

construcción de un potencial vector

demostración

~ = (A, B, C) dato X

demostración

ejemplos

definiciones

teorema

construcción de un potencial vector

demostración

~ = (A, B, C) dato X ~ = (P, Q, R) desconocido Y

demostración

ejemplos

definiciones

teorema

construcción de un potencial vector

demostración

~ = (A, B, C) dato X ~ = (P, Q, R) desconocido Y ~ =X ~ queremos que rot Y

demostración

ejemplos

definiciones

teorema

construcción de un potencial vector

demostración

~ = (A, B, C) dato X ~ = (P, Q, R) desconocido Y ~ =X ~ queremos que rot Y i j k ~ rot Y = ∂x ∂y ∂z P Q R

demostración

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

construcción de un potencial vector

demostración

~ = (A, B, C) dato X ~ = (P, Q, R) desconocido Y ~ =X ~ queremos que rot Y i j k ~ rot Y = ∂x ∂y ∂z P Q R ~ = (Ry − Qz , Pz − Rx , Qx − Py ) = (A, B, C) rot Y

ejemplos

definiciones

teorema

construcción de un potencial vector

demostración

  Ry − Qz = A Pz − Rx = B queremos que  Qx − Py = C

demostración

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

construcción de un potencial vector

demostración

  Ry − Qz = A Pz − Rx = B queremos que  Qx − Py = C tenemos muchos grados de libertad, así que pedimos R=0

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

construcción de un potencial vector

demostración

  Ry − Qz = A Pz − Rx = B queremos que  Qx − Py = C tenemos muchos grados de libertad, así que pedimos R = 0 (1)  −Qz = A Pz − = B (2)  Qx − Py = C (3)

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

construcción de un potencial vector

demostración

de (1) Q = −

Rz 0

A(x, y , t)dt + g(x, y )

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

construcción de un potencial vector

demostración

Rz de (1) Q = − 0 A(x, y , t)dt + g(x, y ) Rz de (2) P = 0 B(x, y , t)dt + h(x, y )

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

construcción de un potencial vector

demostración

Rz de (1) Q = − 0 A(x, y , t)dt + g(x, y ) Rz de (2) P = 0 B(x, y , t)dt + h(x, y ) Rz verifiquemos (3) Qx − Py = − 0 (Ax + By )dt + gx − hy

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

construcción de un potencial vector

demostración

Rz de (1) Q = − 0 A(x, y , t)dt + g(x, y ) Rz de (2) P = 0 B(x, y , t)dt + h(x, y ) Rz verifiquemos (3) Qx − Py = − 0 (Ax + By )dt + gx − hy Rz Qx − Py = 0 Cz + gx − hy

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

construcción de un potencial vector

demostración

Rz de (1) Q = − 0 A(x, y , t)dt + g(x, y ) Rz de (2) P = 0 B(x, y , t)dt + h(x, y ) Rz verifiquemos (3) Qx − Py = − 0 (Ax + By )dt + gx − hy Rz Qx − Py = 0 Cz + gx − hy Qx − Py = C(x, y , z) − C(x, y , 0) + gx − hy = C

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

construcción de un potencial vector

demostración

Rz de (1) Q = − 0 A(x, y , t)dt + g(x, y ) Rz de (2) P = 0 B(x, y , t)dt + h(x, y ) Rz verifiquemos (3) Qx − Py = − 0 (Ax + By )dt + gx − hy Rz Qx − Py = 0 Cz + gx − hy Qx − Py = C(x, y , z) − C(x, y , 0) + gx − hy = C Ry lo cumple, por ejemplo h(x, y ) = − 0 C(x, t, 0)dt, g(x, y ) = 0

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

construcción de un potencial vector

demostración

 Rz Ry  P = 0 RB(x, y , t)dt − 0 C(x, y , 0) z chequeemos Q = − 0 A(x, y , t)dt  R=0

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

construcción de un potencial vector

demostración

 Rz Ry  P = 0 RB(x, y , t)dt − 0 C(x, y , 0) z chequeemos Q = − 0 A(x, y , t)dt  R=0 cumple: Ry − Qz =

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

construcción de un potencial vector

demostración

 Rz Ry  P = 0 RB(x, y , t)dt − 0 C(x, y , 0) z chequeemos Q = − 0 A(x, y , t)dt  R=0 cumple: Ry − Qz = A

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

construcción de un potencial vector

demostración

 Rz Ry  P = 0 RB(x, y , t)dt − 0 C(x, y , 0) z chequeemos Q = − 0 A(x, y , t)dt  R=0 cumple: Ry − Qz = A Pz − Rx =

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

construcción de un potencial vector

demostración

 Rz Ry  P = 0 RB(x, y , t)dt − 0 C(x, y , 0) z chequeemos Q = − 0 A(x, y , t)dt  R=0 cumple: Ry − Qz = A Pz − Rx = B

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

construcción de un potencial vector

demostración

 Rz Ry  P = 0 RB(x, y , t)dt − 0 C(x, y , 0) z chequeemos Q = − 0 A(x, y , t)dt  R=0 cumple: Ry − Qz = A Pz − Rx = B Qx − Py =

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

construcción de un potencial vector

demostración

 Rz Ry  P = 0 RB(x, y , t)dt − 0 C(x, y , 0) z chequeemos Q = − 0 A(x, y , t)dt  R=0 cumple: Ry − Qz = A Pz − Rx = B Qx − Py = C

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

construcción de un potencial vector

demostración

 Rz Ry  P = 0 RB(x, y , t)dt − 0 C(x, y , 0) z chequeemos Q = − 0 A(x, y , t)dt  R=0 cumple: Ry − Qz = A Pz − Rx = B Qx − Py = C ~ =X ~ ⇒ rot Y

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1 ~ de Averiguar si existe potencial vector Y ~ X = (x − 1, −y , 2x)

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1 ~ de Averiguar si existe potencial vector Y ~ X = (x − 1, −y , 2x) ~ = (P, Q, R) tales que con Y

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1 ~ de Averiguar si existe potencial vector Y ~ X = (x − 1, −y , 2x) ~ = (P, Q, R) tales que con Y P≡0

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1 ~ de Averiguar si existe potencial vector Y ~ X = (x − 1, −y , 2x) ~ = (P, Q, R) tales que con Y P≡0 Q(1, y , z) = 1 + y 2 + z

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 1

ejemplo 1

ejemplo 1 ~ de Averiguar si existe potencial vector Y ~ X = (x − 1, −y , 2x) ~ = (P, Q, R) tales que con Y P≡0 Q(1, y , z) = 1 + y 2 + z R(1, 0, z) = ez

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 1

ejemplo 1

~ = (x − 1)x + (−y )y + (2x)z = 0 div Y

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 1

ejemplo 1

~ = (x − 1)x + (−y )y + (2x)z = 0 div Y ⇒ existe un potencial vector, pero no sabemos si hay uno que verifique todas las restricciones

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 1

ejemplo 1

~ = (x − 1)x + (−y )y + (2x)z = 0 div Y ⇒ existe un potencial vector, pero no sabemos si hay uno que verifique todas las restricciones ~ =X ~,P ≡0 veamos: rot Y

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 1

ejemplo 1

~ = (x − 1)x + (−y )y + (2x)z = 0 div Y ⇒ existe un potencial vector, pero no sabemos si hay uno que verifique todas las restricciones ~ =X ~,P ≡0 veamos: rot Y   Ry − Qz = x − 1 −Rx = −y ⇒  Qx = 2x

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 1

ejemplo 1

Q(x, y , z) − Q(1, y , z) =

Rx 1

Qx (t, y , z)dt

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 1

ejemplo 1

Q(x, y , z) − Q(1, y , z) = Q(x, y , z) − Q(1, y , z) =

Rx R1x 1

Qx (t, y , z)dt 2tdt

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 1

ejemplo 1

Q(x, y , z) − Q(1, y , z) = Q(x, y , z) − Q(1, y , z) = Q(x, y , z) = 1 +

y2

Rx R1x

+z +

1

Qx (t, y , z)dt 2tdt

x2

−1

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 1

ejemplo 1

Q(x, y , z) − Q(1, y , z) = Q(x, y , z) − Q(1, y , z) = Q(x, y , z) = 1 +

y2

Rx R1x

+z +

1

Qx (t, y , z)dt 2tdt

x2

− 1 = x2 + y2 + z

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 1

ejemplo 1

Q(x, y , z) − Q(1, y , z) = Q(x, y , z) − Q(1, y , z) = y2

Rx R1x 1

Qx (t, y , z)dt 2tdt

x2

+ z + − 1 = x2 + y2 + z Rx R(x, y , z) − R(1, y , z) = 1 Rx (t, y , z)dt

Q(x, y , z) = 1 +

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 1

ejemplo 1

Q(x, y , z) − Q(1, y , z) = Q(x, y , z) − Q(1, y , z) = y2

Rx R1x 1

Qx (t, y , z)dt 2tdt

x2

+ z + − 1 = x2 + y2 + z Rx R(x, y , z) − R(1, y , z) = 1 Rx (t, y , z)dt Rx R(x, y , z) − R(1, y , z) = 1 ydt

Q(x, y , z) = 1 +

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 1

ejemplo 1

Q(x, y , z) − Q(1, y , z) = Q(x, y , z) − Q(1, y , z) = y2

Rx R1x 1

Qx (t, y , z)dt 2tdt

x2

+ z + − 1 = x2 + y2 + z Rx R(x, y , z) − R(1, y , z) = 1 Rx (t, y , z)dt Rx R(x, y , z) − R(1, y , z) = 1 ydt

Q(x, y , z) = 1 +

R(x, y , z) = R(1, y , z) + yx − y

ejemplos

definiciones

teorema

ejemplo 1

ejemplo 1

Ry − Qz = x − 1

demostración

ejemplos

definiciones

teorema

ejemplo 1

ejemplo 1

Ry − Qz = x − 1 Ry (1, y , z) + x − 2 = x − 1

demostración

ejemplos

definiciones

teorema

ejemplo 1

ejemplo 1

Ry − Qz = x − 1 Ry (1, y , z) + x − 2 = x − 1 Ry (1, y , z) = 1

demostración

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 1

ejemplo 1

Ry − Qz = x − 1 Ry (1, y , z) + x − 2 = x − 1 Ry (1, y , z) = 1 R(1, y , z) − R(1, 0, z) =

Ry 0

Ry (1, t, z)dt

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 1

ejemplo 1

Ry − Qz = x − 1 Ry (1, y , z) + x − 2 = x − 1 Ry (1, y , z) = 1 R(1, y , z) − R(1, 0, z) =

Ry 0

Ry (1, t, z)dt

R(1, y , z) = R(1, 0, z) + y = ez + y

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 1

ejemplo 1

Ry − Qz = x − 1 Ry (1, y , z) + x − 2 = x − 1 Ry (1, y , z) = 1 R(1, y , z) − R(1, 0, z) =

Ry 0

Ry (1, t, z)dt

R(1, y , z) = R(1, 0, z) + y = ez + y ⇒ R(x, y , z) = ez + y + yx − y

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 1

ejemplo 1

Ry − Qz = x − 1 Ry (1, y , z) + x − 2 = x − 1 Ry (1, y , z) = 1 R(1, y , z) − R(1, 0, z) =

Ry 0

Ry (1, t, z)dt

R(1, y , z) = R(1, 0, z) + y = ez + y ⇒ R(x, y , z) = ez + y + yx − y = ez + yx

ejemplos

definiciones

teorema

ejemplo 1

ejemplo 1

conclusión:

demostración

ejemplos

definiciones

teorema

ejemplo 1

ejemplo 1

conclusión: ~ = (0, x 2 + y 2 + z, ez + yz) Y

demostración

ejemplos

definiciones

teorema

ejemplo 1

ejemplo 1

conclusión: ~ = (0, x 2 + y 2 + z, ez + yz) Y ~ es el único potencial vector de X

demostración

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 1

ejemplo 1

conclusión: ~ = (0, x 2 + y 2 + z, ez + yz) Y ~ es el único potencial vector de X cumpliendo las restricciones dadas.

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 1

ejemplo 1

conclusión: ~ = (0, x 2 + y 2 + z, ez + yz) Y ~ es el único potencial vector de X cumpliendo las restricciones dadas. chequear que es el único.

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 2

recordar

recordar ~ esté definido y sea solenoidal en todo R3 es necesario que X para que valga el teorema

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplos

ejemplo 2

ejemplo

ejemplo ~ = 0 en R3 \ {0}, y X ~ no tiene potencial un ejemplo donde div X vector

definiciones

teorema

ejemplo 2

ejemplo 2

ejemplo 2 el campo gravitacional

demostración

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 2

ejemplo 2

ejemplo 2 el campo gravitacional ~ G = − GMm(x,y ,z)3 = −CG ~r3 X (x 2 +y 2 +z 2 ) 2

r

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 2

ejemplo 2

ejemplo 2 el campo gravitacional ~ G = − GMm(x,y ,z)3 = −CG ~r3 X (x 2 +y 2 +z 2 ) 2

r

es solenoidal (no tiene divergencia)

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 2

ejemplo 2

rx = xr , ry = yr , rz =

z r

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 2

ejemplo 2

rx = xr , ry = yr , rz = Ax = −CG r

3 −3xr r 2 x r6

z r

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 2

ejemplo 2

rx = xr , ry = yr , rz = Ax = −CG r

3 −3xr r 2 x r6

Ax = −CG r

2 −3x 2

r5

z r

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 2

ejemplo 2

rx = xr , ry = yr , rz = Ax = −CG r

3 −3xr r 2 x r6

Ax = −CG r

2 −3x 2

By =

r5 r 2 −3y 2 −CG r 5

z r

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 2

ejemplo 2

rx = xr , ry = yr , rz = Ax = −CG r

3 −3xr r 2 x r6

Ax = −CG r

2 −3x 2

By = Cz =

r5 r 2 −3y 2 −CG r 5 2 2 −CG r −3z r5

z r

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 2

ejemplo 2

rx = xr , ry = yr , rz = Ax = −CG r

3 −3xr r 2 x r6

Ax = −CG r

2 −3x 2

By = Cz =

z r

r5 r 2 −3y 2 −CG r 5 2 2 −CG r −3z r5

~ G = Ax + By + Cz ⇒ div X

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 2

ejemplo 2

rx = xr , ry = yr , rz = Ax = −CG r

3 −3xr r 2 x r6

Ax = −CG r

2 −3x 2

By = Cz =

z r

r5 r 2 −3y 2 −CG r 5 2 2 −CG r −3z r5

~ G = Ax + By + Cz = 0 ⇒ div X

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 2

ejemplo 2

~ = (P, Q, R) supongamos que existiera Y

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 2

ejemplo 2

~ = (P, Q, R) supongamos que existiera Y tal que rot(P, Q, R) =

~r r3

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 2

ejemplo 2

~ = (P, Q, R) supongamos que existiera Y tal que rot(P, Q, R) =

~r r3

(la constante −CG no tiene importancia)

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 2

ejemplo 2

~ = (P, Q, R) supongamos que existiera Y tal que rot(P, Q, R) =

~r r3

(la constante −CG no tiene importancia) ⇒ Ry − Qz =

x r3

(1)

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 2

ejemplo 2

~ = (P, Q, R) supongamos que existiera Y tal que rot(P, Q, R) =

~r r3

(la constante −CG no tiene importancia) ⇒ Ry − Qz = Pz − Rx =

y r3

x r3

(2)

(1)

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 2

ejemplo 2

~ = (P, Q, R) supongamos que existiera Y tal que rot(P, Q, R) =

~r r3

(la constante −CG no tiene importancia) ⇒ Ry − Qz = Pz − Rx = Qx − Py =

y r3 z r3

x r3

(2) (3)

(1)

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 2

ejemplo 2

~ = (P, Q, R) supongamos que existiera Y tal que rot(P, Q, R) =

~r r3

(la constante −CG no tiene importancia) ⇒ Ry − Qz = Pz − Rx = Qx − Py =

y r3 z r3

x r3

(1)

(2) (3)

aquí no podemos suponer que hay una componente cero

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 2

ejemplo 2

~ = (P, Q, R) supongamos que existiera Y tal que rot(P, Q, R) =

~r r3

(la constante −CG no tiene importancia) ⇒ Ry − Qz = Pz − Rx = Qx − Py =

y r3 z r3

x r3

(1)

(2) (3)

aquí no podemos suponer que hay una componente cero ~ es porque debemos demostrar que ningún campo Y solución

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 2

ejemplo 2

fijamos z0 6= 0. Entonces de (1) y (2)

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 2

ejemplo 2

fijamos z0 6= 0. Entonces de (1) y (2) P(x, y , z) − P(x, y , z0 ) = (z − z0 ) ry3 +

Rz z0

Rx dt

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 2

ejemplo 2

fijamos z0 6= 0. Entonces de (1) y (2) P(x, y , z) − P(x, y , z0 ) = (z − z0 ) ry3 + Q(x, y , z) − Q(x, y , z0 ) = −(z − z0 ) rx3

Rz

Rx dt Rz + z0 Ry dt z0

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 2

ejemplo 2

fijamos z0 6= 0. Entonces de (1) y (2) P(x, y , z) − P(x, y , z0 ) = (z − z0 ) ry3 + Q(x, y , z) − Q(x, y , z0 ) = −(z − z0 ) rx3

Rz

Rx dt Rz + z0 Ry dt

Qx − Py = Qx (x, y , z0 ) − Py (x, y , z0 )+

z0

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 2

ejemplo 2

fijamos z0 6= 0. Entonces de (1) y (2) P(x, y , z) − P(x, y , z0 ) = (z − z0 ) ry3 + Q(x, y , z) − Q(x, y , z0 ) = −(z − z0 ) rx3

Rz

Rx dt Rz + z0 Ry dt

Qx − Py = Qx (x, y , z0 ) − Py (x, y , z0 )+ −(z − z0 ) 2r

2 −3(x 2 +y 2 )

r5

z0

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 2

ejemplo 2

fijamos z0 6= 0. Entonces de (1) y (2) P(x, y , z) − P(x, y , z0 ) = (z − z0 ) ry3 + Q(x, y , z) − Q(x, y , z0 ) = −(z − z0 ) rx3

Rz

Rx dt Rz + z0 Ry dt

Qx − Py = Qx (x, y , z0 ) − Py (x, y , z0 )+ 2

−(z − z0 ) 2r −3(x r5 Rz z0 (Ryx − Rxy )dt

2 +y 2 )

z0

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplos

ejemplo 2

ejemplo 2

fijamos z0 6= 0. Entonces de (1) y (2) P(x, y , z) − P(x, y , z0 ) = (z − z0 ) ry3 + Q(x, y , z) − Q(x, y , z0 ) = −(z − z0 ) rx3

Rz

Rx dt Rz + z0 Ry dt z0

Qx − Py = Qx (x, y , z0 ) − Py (x, y , z0 )+ 2

−(z − z0 ) 2r −3(x r5 Rz z0 (Ryx − Rxy )dt

2 +y 2 )

Qx −Py = Qx (x, y , z0 )−Py (x, y , z0 )−(z −z0 ) 2z

2 −x 2 −y 2

r5

6=

z r3

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 2

ejemplo 2

en efecto para cada (x, y ) fijos, tenemos

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 2

ejemplo 2

en efecto para cada (x, y ) fijos, tenemos Qx − Py = O(1)

ejemplos

definiciones

teorema

demostración

ejemplo 2

ejemplo 2

en efecto para cada (x, y ) fijos, tenemos Qx − Py = O(1) mientras que:

z r3

= O(z −2 )

ejemplos