ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERÍA EXAMEN FINALPRECÁLCULO Mayo 20 de 2002

ARITMÉTICA 1.

[11 (7 − 4 ) − 9 (7 − 4 )] ÷ 2 es igual a : a. b. c. d.

2.

2

a. b. c.

3

1

− ×

5 1

−

b.

1 7

c.

25

a. b. c. d.

4 9

6. Una persona está caminando alejándose de un farol, con una fuente de luz a 6 metros del piso. Esta persona tiene 2 metros de altura. ¿ A qué distancia del farol estará cuando su sombra tenga 5 metros de largo?

15 4

+

7. Un número fraccionario que es menor que 1 tiene números positivos para el numerador y el denominador. Si se suma 3 tanto al numerador como al denominador, el valor del nuevo fraccionario: a. b. c. d.

Se ha incrementado en 1 Se ha incrementado en 3 Está más próximo a 1 No ha cambiado. TRIGONOMETRIA

8. Si

 5 12 coor ( s ) =  − ;  13 13

 ,  

entonces,

el

enunciado correcto es:

1 9

es igual a:

a.

12  5 coor ( 2 π − s ) =  ;− 13  13

b.

 5 12 coor ( π + s ) =  − ;  13 13

c.

 5 12   coor ( π − s ) =  ;   13 13 

d.

12  5 coor ( − s ) =  ;− 13  13

7 6 4 5 1 3 13 15

4. El valor de a. b. c. d.

d.

7 16

3 −1

a su mínima

1 36 24

2 2

d. 3.

, es:

5

a.

3 −3 + 3 −2

expresión se obtiene:

3 5 12 2

El resultado de simplificar la expresión 3 2

5. Al simplificar

725 6 3125 5

Página 1 de 8

9. El

valor

 (125 )( 625 )  log 5   25  

es igual a:

a. b. c. d.

15 m. 10 m. 5 m.

12 m.

a. b. c. d.

2 6 8 4

   

   

máximo de es :

f ( x ) = 2 sen ( 4 x + 6 )

   

la

función

10. Cuáles de las siguientes afirmaciones son Verdaderas 3   19 π   1  =  − , coor  − 3   2 2    

I.

 5π sec   4

II.

III. Si

  4π  = cos    5  

tan (γ ) =

cos (γ ) = 3

a. b. c. d.

12. Cuál de representa

4 3

π  y = 2 cos  2 x − 6 

a.

   

, entonces,

las

3

siguientes la

gráficas función

13. El

  7π  sen    2

  +1  

− π/6

La I y II. La I y III La II y III Todas son Falsas

11. Dos personas situadas en los puntos A y B respectivamente, disparan sendas flechas hacia el punto C y dan ambas en el blanco. Las coordenadas del punto B son: C  5 3 ,5     3 

−1

a. b. c. d. π/6

π/3

π/2

2 π/3

5 π/6

π

Gráfica No. 2

a. b. c. d.

1 −1

π/6

π/3

π/2

2 π/3

5 π/6

π

sen ( x )

(

sen 90 − x

cos ( − x )

)

)

− sen ( x )

15. Elija la función que se representa en la gráfica:

−3

3

1 –1 0 No está definido

7 π/6

−2

c.



(

2

− π/6



) ÷ cos (2 π )

14. La expresión equivalente a sen 360 − x es:

−3 3

  π   + cos  −  + tan (π   2   

expresión

7 π/6

−2

b.

la

es:

1

y

de

Gráfica No. 1

2

sen (γ ) = 4

valor

Gráfica No. 3

2

2

1

1

45° B

60° A

− π/6

−1

a.

(10 , 0 )

−2

 5 3 + 15    ,0   3   

−3

b.

2

c.

 15 − 5 3    ,0   3    

d.

 10 3 , 0     

d.

π/3

π/2

2π/3

5π/6

π

−1 −2

Gráfica No. 4

1 − π/6

−1

−3

1

7π/6

3

−2

Página 2 de 8

π/6

π/6

π/3

π/2

2 π/3

5 π/6

π

7 π/6

a. b. c. d.

y = sen ( x )

y = sen ( x + 2 )

y = sen (πx )

y = 2 sen ( x )

2

3

4

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16. Para

x ≠

kπ

1 − cos ( 2 x sen ( 2 x

a. b. c. d.

donde k ∈ Ζ , la expresión

2

)

)

19. Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas?

es idéntica a ,:

(x ) tan ( 2 x ) sen ( x ) tan ( x )

I

π sen  2

II

cos( α − β ) = − cos α

III

 9π tan   2

cot

a. b. c. d.

17. Una ecuación de una función coseno que tiene amplitud

1 2

, período

encuentra desfasada

π 2

6π

y se

a la derecha

es:

π   + sen  3   

 5π   = sen   6   

21. Al simplificar

   

, para β

 3π cos 2   4

  − sen 2  

 3π   4 

  se  

obtiene: =π

a. b.

 =0  

4 0 2

c.

La I La II Todas son verdaderas Todas son Falsas

2

d. 22.

20. Si el ángulo C del triángulo ABC es obtuso, cos (B ) = x , entonces, el lado AC mide:

2

   3     tan  Arccos  −  es:  2       1

a.

3

b.

1

−

3

a.

π  1 y = cos  x −  2 3 6 

b.

y =

c.

π   y = cos  3 x −  2 6 

d.

y =

1

a.

π  1 cos  x +  2 3 6 

b.

c 2 + a 2 + 2 acx

c.

c2 − x2

d.

a 2 + c 2 − 2 acx

1

1

1 2

cx

a

2

+c

c.

2

d.

−

3 3

23. En la figura el lado x puede encontrarse aplicando

π  1 cos  x −  3 2 

X

B 10 30°

18. El valor de x para 0 ≤ x ≤ 360 en la ecuación 2 sen 2 ( x ) + 3 sen ( x ) + 1 = 0 es: a. b. c. d.

210º , 270º. 210º , 330º. 210º , 270º , 330º. 30º , 210º.

Página 3 de 8

c

A

b

a

C

a. b. c. d.

20 Teorema de Pitágoras. Ley de Cosenos. Ley de Senos. Definición del Coseno.

24. Haciendo un trabajo de reparación hay que cambiar el cable AC. La longitud que hay que cambiar , en metros, es: C C A 30º

26. Al evaluar − x 3 − xy − y 2 para x = −2 y y = 5 se obtiene: a. b. c. d.

−43

−27 23

b. c. d.

100 3 3








a.

m

m

4 2m 10 2 3 100 m

m



25. Si en el intervalo  π , 

3π   2 

se trazan las

gráficas de las funciones y = sen ( x ) , y = cos ( x ) , y = tan ( x ) se observa que: a. b. c. d.

sen ( x )

crece, cos ( x ) decrece, crece sen ( x ) decrece, cos ( x ) crece, tan ( x ) crece sen ( x ) crece, cos ( x ) crece, tan ( x ) decrece sen ( x ) decrece, cos ( x ) decrece, tan ( x ) crece tan ( x )

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La pendiente de una recta horizontal es indefinida. II La pendiente de una línea vertical es cero. III La gráfica de y = f ( − x ) .es la reflexión con respecto al eje y de la gráfica de y = f ( x ) a. b. c. d.

Solo I. Solo II. Solo III Solo I y II

28. Si de − 1 − obtiene: a. − 2 x 2 b. −2 c. 0 2 d. 2 x

x2

29. La expresión equivalente a: a. b. c. d.

2

2

2

2

a −b a +b 2

2

2

2

a − ab + b a + ab + b

31. En representación de intervalo, solución de − 3 ( x + 1 ) < 2 x + 2 es:

−7

I

50

a. b. c. d.

27. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) correctas:

45º

B

30. El resultado de: ( a + b )2 − 2ab es:

ALGEBRA

(

restamos − 1 − x 2

( a − b )(b − a )( − a + b ) es

a 3 − 3 a 2 b + 3 ab 2 − b 3 a 3 − 3 ab + b 3

se

( −∞ , − 1 ) ( −1 , ∞ ) (1, ∞ ) ( −∞ , 1 )

32. Sea f ( x ) = 2 x es igual a: a. b. c. d.

−1

Si

f ( m ) = 17 ⇒ f ( m − 1)

9 10 15 16

33. Las acciones de ISA dan una rentabilidad anual que se obtiene con la función R ( x ) = 0 ,14 x , donde x es el dinero invertido. El valor de 0,14 indica: a.

( a + b )3

a3 −b3

)

a. b. c. d.

la

b. c. d.

Por cada peso invertido se obtienen 14 pesos de ganancia anuales. Por cada 100 pesos invertidos se obtienen 14 pesos de ganancia. Por cada 14 pesos invertidos se obtienen 100 pesos de ganancia. Por cada 100 pesos invertidos se pierden 14 pesos.

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Las preguntas 34 y 35 se relacionan con la siguiente situación: Para x años f ( x ) representa el precio de un terreno que se valoriza y g ( x ) representa el precio de una máquina que se devalúa. El precio de compra está representado por f (0 ) y g ( 0 ) ..

35. En qué momento el valor del terreno alcanza el valor de la máquina? a. b. c. d.

Entre 1 y 5 años después de su compra Entre 5 y 10 años después de su compra A los 5 años No lo alcanza

36. Cuál de las siguientes inecuaciones representa esta gráfica: 18000

f(x)

15000 10000 8000

-2

0

6

g(x) 10

34. Si a los ocho años el dueño decide vender ambas propiedades: a. b. c. d.

Recibe la misma cantidad de dinero que pagó por los dos. Recibe más del dinero que pago por los dos. Recibe menos dinero del que pagó por los dos Recibe más dinero del que pagó por la máquina y menos del que pagó por el terreno.

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38. El conjunto solución de x + 1 < 3 es: a. b. c. d.

0< x x +1

d.

x − 3 > x −1

40. Se tiene las funciones a.

x +4 ≤2

b.

x −2 ≤ 4

c. d.

x +2 ≤ 4

y = x

Ninguna de las anteriores.

37. El conjunto de puntos sobre la siguiente recta numérica -4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Se representa en términos de valor absoluto como: a.

2 ≥0

b.

2− x

c.

2− x

d.

x ≥2

a. b. c. d.

y = − x2 −4

y

, entonces sus gráficas:

Se cortan en un punto. No se cortan. Se cortan en dos puntos. No hay modo de saberlo

41. Un rayo de luz viaja, por encima del eje x y en dirección a él, a lo largo de la recta x + y = 1 Cuando llega al eje x se refleja. ¿Cuál es la ecuación de la trayectoria del rayo? a.

x+y =1

≤0

b.

y = −x +1

≥0

c.

y = −x +1

d.

x = −y +1

42. La −2x

2

expresión equivalente a + 5 x − 1 al completar cuadrados

Las preguntas 46, 47 y 48 relacionadas con la siguiente gráfica

están

es: a.

5  x −  4 

   

2

−

16

5  − 2  x −  4  5  − 2  x − 4 

   

2

c.

5  − 2  x −  4 

2

d.

4 g(x)

− +

41

3 f(x)

16 17

−

1

33

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

-1

8

-4

2 x 2 + 4 x 2 = 196

( 2 x )2 + (2 ( x + 1))2 = 196 ( 2 x + ( 2 x + 2 )) 2 = 196 x 2 + ( x + 1 )2 = 196 2

(

2

)

44. La relación x x − 1 ≥ 0 es verdadera solamente para : x ≥1 −1 ≤ x ≤ 1 x = 0 , x ≥ 1, x ≤ −1 x ≥0

45. Uno de los factores de 3 ax 2 − 3 ax − 18 a es : x −3

x −1 x +3 x −2

Página 6 de 8

g (x ) =

c.

g (x ) = −

d.

g (x ) = −

46.

f ( x ) ≥ 2 para los siguientes intervalos de dominio:

a. b. c. d.

( −∞ ,1] [5 , ∞ ) [−4 , ∞ ) ( −∞ , 0 ] [6 , ∞ ) ( −∞ , −1] [2 , ∞ )

47. Los valores de x para los cuales es f ( x ) < g ( x ) son: a. b. c. d.

( 4 , −2 ) ( −∞ , −1) (2 , ∞ ) ( −2 , 4 ) ( −1, 2 )

2 3

2 3

( x − 1) 2

( x + 1) 2 2 3 2 3

g (x )

es

+4

+4

( x + 1) 2

+4

( x + 1) 2

−4

49. La solución de ( 15 x + 8 ) 2 ≥ 0 es : a.

 8   x ∈ℜ x ≥ −  15  

b.

 8   x ∈ℜ x ≤ −  15  

-3

-5

a. b. c. d.

b.

8

43. El cuadrado de la suma de dos números pares consecutivos es 196. La ecuación que representa este texto es:

a. b. c. d.

g (x ) = −

2

-2

a. b. c. d.

a. 17 2

b.

48. La ecuación de la función

c. d.

{x ∈ℜ

x ≥0

}

ℜ

50. Cuando a, b y c son mayores que cero,  a log  b c 

a.

  es igual   log ( a )

log ( b ) +

1 2

a:

log (c ) 1

b.

log ( a ) − log ( b ) +

c.

log ( a ) −

d.

1   log ( a ) −  log ( b ) + log (c )  2  

log ( b ) log  

2

log (c )

c  

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51. El polinomio que expresa el área de la figura es:

53. La gráfica que corresponde a la función y = ( x − 1)( x + 2 )( x − 3 ) es:

54. Para qué valores de x está definida la 10 − x

siguiente expresión:

a.

2X

-3

3X+2

-2

-1

1

2

3

.

x +4

( − ∝ , −4 ) ( −4 , 10 ] ( −4 , 10 ] [0 , 10 ] ℜ − {−4 }

a. b. c. d.

55. Una de las siguientes afirmaciones es verdadera: b. 3X

a. b. c. d.

15 x 2 + 6 x

-3

20 x

x ≠ −1 y x ≠ −

b. c. d.

-1

1

2

3

+ 8x

c. x

2

+ 5x + 4

2x2 + 3x +1 1 2

b. c. d.

5

para

:

-3

-2

-1

1

2

3

)

2

= log 2 a

log a e

x +1

= ln ( x + 1)

valor

x +3

a. b. c. d.

(

2 log a x + 1 = (2 x + 2 ) log a

56. El

16 x 2 + 8 x

52. Simplificar

a.

-2

19 x 2 + 8 x 2

log a ( x + 1) = ( log a x )( log a 1)

a.

X

=

3

25

de x +3

57. La solución de

d.

x +1 x+4 2x +1 x −4 2x −1

Página 7 de 8

-3

-2

-1

1

2

3

   

a.

 3 − , ∞  5

b.

3   −∞ , −   5  

c. d.

en

la

expresión

es:

3 -3 0 5

x +1 2x +1 x +4

x

∅

( 0,∞ )

5x + 3 x

>0

es:

58. Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas para la función representada en el plano cartesiano I.

f ( x ) es

II.

f (x ) > 0

f(x) 2

-1

60. Si se tiene la ecuación y = − ( x + 3 )3 − 2 se puede afirmar que su gráfica es: a.

impar. en el

b.

intervalo ( −2 ; 2 )

1

III.

-2

∀x

c.

si

x ≤ 1 ⇒ f ( x ) − 1, 5 ≤ 1,5

d. a. b. c. d.

Solo III La I y la II La II y la III La III y la I

59. Dadas las siguientes gráficas, decir cuál afirmación es falsa: h(x)

g(x) 2

La misma de x 3 desplazada 3 unidades a la derecha y dos unidades hacia abajo. La reflexión de x 3 desplazada 3 unidades a la derecha y dos hacia abajo. La misma de x 3 desplazada 3 unidades a la izquierda y dos unidades hacia abajo. La reflexión de x 3 desplazada 3 unidades a la izquierda y dos hacia abajo.

62. Sea g ( x ) la función representada a continuación 3

3

-3

La gráfica de

3 g (x )

a.

b. 9

61. Se debe fabricar una caja con base cuadrada y sin tapa a partir de un trozo cuadrado de cartón, cortando cuadrados de 4 pulgadas en cada una de las esquinas y doblando los costados. La caja debe tener 100 pulgadas cúbicas. ¿ Cuál es el tamaño de la pieza de cartón necesaria?

9 6 3

4

-3

f(x)

−4

a. b. c. d.

3

d.

j (x) 3

2

−2

−3

3

c. 4

es:

3

2 2

j (x )

no está definida para x = 1. es función g ( x ) es la función inversa de f ( x ) f ( x ) no

h ( x ) = j ( x + 1)

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a. b. c. d.

3 pulgadas de lado 13 pulgadas de lado 18,5 pulgadas de lado 4,5 pulgadas de lado

−9

9

6

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