6.

Optimización y

Programación lineal

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

224

1.

Problemas de optimización I

2.

Problemas de economía: ingresos, costes, beneficios

3.

Ecuaciones de rectas. Incidencia y paralelismo

4.

Relaciones y desigualdades

5.

Inecuaciones lineales

6.

Sistemas de inecuaciones lineales

7.

Conceptos básicos de Programación lineal

8.

Problemas de optimización II

Optimización y Programación lineal

1.- PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN I Un problema de optimización consiste en maximizar o minimizar una función y=f(x) que está relacionada con una determinada situación que previamente hay que matematizar. Generalmente la función f(x) es desconocida y hay que obtenerla a partir de la situación concreta. Lo habitual es que la función a optimizar contenga las dos variables x e y. Entonces, para poder obtener y en función de x, es necesario disponer de una ecuación de condición, que relaciona las dos variables x e y.  CAJAS En una tintorería necesitan depósitos para colocar el tinte, y para construirlos quieren aprovechar unas chapas rectangulares de 10 dm x 16 dm. Se construyen con estas chapas los depósitos por el procedimiento de cortar las esquinas de las planchas en la forma indicada en la figura, luego doblar y finalmente soldar. a) Llamando x a uno de los lados de cada uno de los cuadrados que se recortan, escribe la función V=f(x) que da el volumen del depósito conociendo x. b) ¿Para qué valor de x se obtiene un depósito de volumen máximo ?. c) En el caso de que el volumen del depósito sea máximo, ¿cuántos kilos de tinte podrá contener cada uno de los depósitos, si la densidad del tinte es 3 1,20 kg/dm . 2

3

2

a) V=x(102x)(162x)=4x(5x)(8x)=4x(4013x+x )=4x 52x +160x 3

2

La función que da el volumen es V=4x 52x +160x 2

2

b) V’=12x 104x+160=0  6x 52x+80=0  x=2 , x=20/3 (valores críticos) Usando el criterio de la segunda derivada: V’’=24x104 V’’(2)=242104=560 MÍNIMO RELATIVO. 3

Para que el volumen sea máximo debe ser x=2 dm. c) El volumen máximo es V(2)=2(1022)(1622)=144 dm

3

Si 1 dm 3 pesa 1,20 kg     x=1441,20=172,8 kg. 3 144 dm pesan x kg   Cada depósito puede contener 172,8 kg de tinte.  NÚMERO Descomponer 18 como suma de dos números positivos, de manera que el producto de uno de ellos por el cuadrado del otro sea máximo.

225

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

Si uno de los números es x, el otro es 18x. La función a maximizar es P=(18x)x 2

3

2

2

P=18x x  P’=36x3x =0  3x(12x)=0  x=0, x=12 (valores críticos). Usamos el criterio de la segunda derivada.

P’’=366x

P’’(0)=36>0  x=0 MÍNIMO RELATIVO P’’(12)=36 40 El número de litros de zumo de tipo A es superior a 40 e inferior o igual a 100, es decir:

40 < x  100 Por lo tanto, el número de litros de zumo de tipo B debe ser inferior a 60, es decir : 0  x < 60

246

Optimización y Programación lineal



CAMISAS

Una empresa textil ha fabricado 1500 camisas con un coste de producción de 3 euros. por unidad. Si vendiendo todas las camisas obtiene un beneficio de más de 6000 euros, ¿a qué precio vende cada unidad?.

Sea x el precio unitario de venta. El coste de producción es C=1500 3=4500 euros. Los ingresos obtenidos en la venta de todas las camisas son I=1500 x. Por lo tanto, los beneficios correspondientes serán: B=IC=1500x 4500. Como queremos que los beneficios superen las 6000 euros, debe cumplirse: 1500 x  4500 > 6000. De donde: 10500 1500x > 10500. Por lo tanto, x   7 . Por consiguiente, el precio unitario de venta 1500 debe ser superior a 7 euros.

6.- SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES 

REGIONES En la región adjunta, la recta que pasa por los puntos ( 1, 0) y (0, 1) divide al plano en dos semiplanos : el rayado y el blanco. ¿Qué relación debe cumplir un punto (x, y) del plano para pertenecer a uno de dichos semiplanos ?. Los puntos (x, y) que pertenecen a la recta frontera de los semiplanos cumplirán la igualdad: y=x+1 Cualquier punto (x, y) del semiplano rayado tiene una ordenada mayor que la del punto de la recta con igual abcisa, luego : y>x+1 Cualquier punto (x, y) del semiplano blanco tiene una ordenada menor que la del punto de la recta con igual abcisa, luego: y 2 x + 2

recta frontera  y = 2 x + 2 zona blanca

 y < 2 x + 2

b) La ecuación de la recta es de la forma y = m x + n. Como pasa por el punto (-3, 0)  si x = 3, y = 0  0 = 3 m + n m = 2 / 3 Como pasa por el punto (0, 2)  si x = 0, y = 2  2 = m0 + n 2 La recta buscada es y = x + 2 . 3

 n=2

Las ecuaciones de las regiones señaladas son : zona rayada y <



2 2 2 x + 2 ; recta frontera y = x + 2 zona blanca y > x + 2 3 3 3

DIBUJA REGIONES

Cada una de las inecuaciones que siguen representa una región del plano cartesiano. Dibuja dichas regiones: 1) x + y < 3

248

2) 2 x  3 y  4

3) 2 x > y  6

4) x  3 y  6

5) x + 5 y = 6

Optimización y Programación lineal



SISTEMAS DE INECUACIONES Si se cumplen simultáneamente las inecuaciones x > 40 y x  100, se suelen escribir una debajo de otra:

x  40  o bien así: x  100  

40 < x  100

Esta pareja simultánea de inecuaciones es un sistema de dos inecuaciones con una incógnita. Pueden plantearse asimismo sistemas de varias inecuaciones con varias incógnitas, como en el caso de las ecuaciones. Por ejemplo, dado el sistema de inecuaciones:

2 x  3 y  6  x0   y 0 cada inecuación representa un semiplano, con la frontera incluida. La solución del sistema será la intersección de los tres semiplanos, como se indica en la figura siguiente (región de forma triangular):

a) Escribe el sistema de inecuaciones que verifican los puntos de la región rayada, en cada uno de los casos que siguen:

249

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

1) 2  x  4

3) x  2  y  3

2) 1  y  3

4) 1  x  4  2  y  5 

5)

Ecuación de la recta r: y = m x + n Como pasa por (0, 2)  Si x = 0, y = 2  2 = m0 + n

 n=2

Como pasa por (7, 0)  Si x = 7, y = 0  0 = m7 + n

 m= 2 / 7

Luego la ecuación de la recta es

r:

y =

2 x+2 7

Ecuación de la recta s: y = m x + n Como pasa por (2, 0)  Si x = 2, y = 0  0 = m2 + n

 m = 3 / 2

Como pasa por (0, 3)  Si x = 0, y = 3  3 = m0 + n

n=3

Luego la ecuación de la recta es

s:

y =

3 x+3 2

La región está situada por debajo de las dos rectas r y s. Por lo tanto, las inecuaciones que definen la región son :

2  x + 2 7 y  2x + 14  7  de donde 2y  3x + 6  o bien 3  y   x + 3 2  y

2x + 7y  14  3x + 2y  6  

b) Representa gráficamente las soluciones de cada uno de los sistemas de inecuaciones que siguen:

250

1) x  1 x 3 y < 1

3) x  3  y  7 

4)  1 < x < 3   3 < y < 1 

5) 2x  y < 1 x  3y < 6  

x + 3y < 6  6) x  2y < 4  x + y > 0 

Optimización y Programación lineal

Solución del apartado (6):

1  x  3 y  6    y   3 x  2 ( r )   1 x  2 y  4   y  x  2 (s)  . Construimos las tablas de valores: 2   x  y  0    y   x (t)  r

s x 0 3

y 2

t x 0 2

y 2 1

x 0 1

y 0



Por lo tanto, las infinitas soluciones del sistema son los puntos señalados en la siguiente región (es el triángulo quitando los tres lados).



MEZCLANDO CAFÉ

Queremos comprar café de 5 euros / kg. y café de 4 euros / kg. para mezclarlo. Disponemos únicamente de 30 euros. ¿Cuántos kilogramos de cada tipo de café podemos comprar ?. Sea x el número de kilos de café de tipo A (de 5 euros / kg.). Debe ser x 0 Sea y el número de kilos de café de tipo B (de 4 euros / kg.).

Debe ser y 0

El precio de los x kilos de café de tipo A es: 5 x El precio de los y kilos de café de tipo B es: El precio de la mezcla es:

4y

5x+4y 5 x + 4 y  30

Este precio debe ser inferior o igual a 30 euros:

Por tanto, hay que resolver el sistema de inecuaciones:

x0  5 30 y 0  Debe ser 4y  5x+30  y   x + 4 4 5x + 4y  30  Dibujamos la recta r : y = 

5 30 , construyendo una tabla de valores: x+ 4 4

x y

2 5

6 0

251

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

Todos los puntos de esta región (incluyendo los segmentos frontera) son solución del problema.



DIETAS

Una fábrica oferta a sus trabajadores para el cobro de dietas las dos opciones siguientes: a) 20 cents. por artículo vendido más una cantidad fija. b) 10 cents. por artículo vendido más el doble de la cantidad fija. ¿Cuántos artículos y qué dietas deben fijarse para que la opción b) permita ganar menos de 20000 cents y la opción a) más de 20000 cents?. Sea y la cantidad fija (igual para las dos opciones de cobro). Sea x el número de artículos vendidos. Las dietas correspondientes a la opción a) son D = 20 x + y. Las dietas correspondientes a la opción b) son D’ = 10 x + 2 y. Como queremos que D20000, deberán cumplirse simultáneamente las inecuaciones:

20 x  y  20000  10x  2y  20000  . Este sistema de inecuaciones lineales es equivalente a  x 0  y 0  20 x  y  20000  5x  y  10000  . Despejando y en cada una de las dos primeras inecuaciones:  x 0  y 0  y  20x  20000  y  5 x  10000  (1). Dibujamos las rectas r y s, siendo r: y = 20 x + 20000 y  x 0  y 0  s: y = 5 x + 10000, construyendo previamente las tablas de valores: r x 0 1000

252

s y 20000 0

x 0 2000

y 10000 0

Optimización y Programación lineal

La región del plano definida por el sistema de inecuaciones lineales (1) es el triángulo ABC de la figura, excluyendo los tres lados. Hay, por tanto, infinitas soluciones. Una de ellas es el punto de coordenadas (500, 8000), es decir, 500 artículos vendidos y 8000 cents fijos, lo que da unas dietas de 20  500  8000  18000cents (opción a) y de 10  500  2  8000  21000cents (opción b).



EN LA RECTA

Resuelve cada una de las inecuaciones que siguen y representa el conjunto de soluciones, en cada caso, sobre la recta: a) 3x + 5 < 2x + 15

e) 2x +



1 1 x+ 3 5

b) 3x + 2 < 7x  10

f)

2x  1 4x  2  3 1

c) 2x >

g)

x +9 3

d) x + 1  2x3

x +1 x + 2  4 8

EN EL PLANO

Cada una de las inecuaciones que siguen representa una región del plano cartesiano. Dibuja dichas regiones : a) y >

2 x 1 3

e) 2x  3y + 1 < 0



b) y < 2x + 1

c) 2x + y 3 > 0

f) 3x + 5y  15

d) 4x + 3y + 6 < 0

g) 4x + 2y  6

SISTEMAS DE INECUACIONES

Representa gráficamente las soluciones de cada uno de los sistemas de inecuaciones que siguen : 1) x + 2y < 4 y < x 1  

2) x + y + 1 > 0 x  y + 1 < 0 

3) 3x + 2y < 0 2x  3y > 0 

2x + 3y < 6  4) x > 0   y>0 

3x + 4y < 12 5)  2x + y < 3   y>0

x +1 < 4   6) x > 1  y > 1 

x + y + 1 > 0  7) y  x < 0   y>0 

x  y + 1 > 0  8) x + y > 0   y>0 

253

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II



MÁS SISTEMAS DE INECUACIONES

Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones :

x + 3y  1   2x + 6y  2

1) x + 2y  1  0 2x + y  0  

2) x + y  2 x  y  3 

3) 2x  3y  4 3x + 2y  2 

4)

5) 2x  y  3  2x  y  4 

x0   6) 2x  y  x  y 3

3x + y  0  7) 2x  y  0  x2

x + y + 1  0  8) x  y + 1  2 x0  y0 



ALFARERÍA

Un artesano posee un taller de alfarería en el cual fabrica ceniceros de cerámica y jarrones. Tarda 2 horas en hacer cada jarrón y media hora para cada cenicero. Si trabaja como máximo 40 horas a la semana, ¿cuántos jarrones y ceniceros puede hacer semanalmente ?.



CINTAS

Una persona invierte mensualmente 200 euros, como máximo, en comprar cintas de vídeo y cintas de cassette. Cada cinta de vídeo le cuesta 12 euros, y cada cinta de cassette 3 euros. ¿Cuántas cintas de cada tipo puede comprar al mes ?.



VIGILANCIA INTENSIVA

El departamento de policía de una ciudad dispone de 60 coches patrulla y 140 agentes para ocuparlos. Existen dos tipos de servicio : el de vigilancia intensiva en zonas de alto riesgo, y el de vigilancia rutinaria y ayuda al ciudadano. Los coches destinados al primer tipo de servicio son ocupados por 3 agentes ; los del segundo por 2 agentes. ¿Puede montarse un servicio de 30 coches de vigilancia intensiva y 30 coches de vigilancia normal ?. Expresa gráficamente las posibles distribuciones de agentes y coches.

254

Optimización y Programación lineal



DE DOS RUEDAS

Una fábrica produce bicicletas y motocicletas. En la planta de montaje se tarda media hora en montar una bicicleta y tres cuartos de hora en una motocicleta. En la planta de acabado se invierte un tiempo de media hora en cada caso. En ambas plantas se trabaja 40 horas a la semana, pero se dispone de un tiempo variable e impredecible para poner el sistema en funcionamiento y para dejar la maquinaria en condiciones al acabar la jornada de trabajo. Por otra parte, por razones de mercado, el número de bicicletas no debe ser superior al número de motocicletas. Resuelve gráficamente el sistema de inecuaciones que se puede plantear a partir de los datos del enunciado. ¿Se pueden producir semanalmente 20 bicicletas y 30 motocicletas ?. ¿Y 25 bicicletas y 30 motocicletas ?. ¿Y 10 bicicletas y 20 motocicletas ?.



BONOS

Un inversionista dispone de 20000 euros. Puede invertir en bonos del tipo A, que dan un rendimiento del 10 por 100, y en bonos del tipo B, cuyo rendimiento es del 15 por 100. Existen unos topes legales que impiden invertir más de 8000 euros en bonos del tipo B, pero sucede lo contrario con los del tipo A, en los cuales la inversión mínima es de 5000 euros. Por otra parte, el inversionista desea colocar en bonos del tipo A tanto dinero, al menos, como en bonos del tipo B. ¿Cuánto puede invertir en cada tipo de bonos ?.



DIETA ALIMENTICIA

Una dieta alimenticia debe contener al menos 400 unidades de vitaminas, 500 unidades de minerales y 1400 calorías. El alimento A contiene, por kg, 200 unidades de vitaminas, 100 unidades de minerales y 400 calorías. El alimento B, también por kg y respectivamente, 100, 200 y 400. Cada kg del alimento A cuesta 5 euros y cada kg de B 3 euros. ¿Qué composición puede tener la dieta ?.



COMISIONES

Una fábrica paga a sus representantes 10 cents por artículo vendido más una cantidad fija de 50000 cents. Otra fábrica de la competencia paga 15 cents por artículo y 30000 cents fijos. ¿Cuántos artículos debe vender el representante de la competencia para ganar más dinero que el primero?.

255

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II



AFORISMO HINDÚ

En la sociedad hindú existe el siguiente aforismo: “Para que una relación sentimental sea satisfactoria, la edad de ella no debe sobrepasar la mitad más siete años la edad de él”. Una pareja desea saber cuál es el período de tiempo más favorable para formalizar definitivamente sus relaciones sentimentales según este aforismo. El caballero hindú tiene ocho años más que la dama. ¿Les puedes ayudar?.



EQUIPOS INFORMÁTICOS

Una instaladora de equipos informáticos tiene el siguiente contrato: a) Un sueldo fijo de 1500 euros. al mes. b) Una comisión de 30 euros por cada equipo que instala. c) Una dieta de 0,10 euros. por km recorrido. Calcula cuántos equipos ha instalado durante un mes si en su nómina consta un sueldo superior a 2500 euros. y ha recorrido 500 kilómetros.



CAFÉ Y MALTA

Un tostadero suministra a sus clientes cualquier mezcla de café y malta, siempre que: a) el peso del pedido sea superior a 100 kg.; b) La mezcla contenga el doble de peso de café que de malta. Indica la composición de cinco posibles pedidos.



VIAJE FIN DE CURSO

Para un viaje fin de curso un grupo de alumnos recauda entre 600 y 700 euros. vendiendo bocadillos y refrescos. Calcula el dinero que han obtenido proveniente de la venta de refrescos si se sabe que: a) venden el triple número de refrescos que de bocadillos; b) el precio de los bocadillos es el mismo que el de los refrescos.

256

Optimización y Programación lineal



REGIÓN

Dibuja la región del plano formada por los puntos (x, y) que cumplen las siguientes desigualdades:

x0   y0 xy2  2x  y  1 Explica detalladamente por qué el dibujo que has hecho corresponde a la región pedida.



RECINTO

x  20  Dibuja el recinto que cumple las siguientes restricciones:  y  10 x  y  100 x  3y  200 



COMERCIANTES

Un comerciante tiene x garrafas de 10 litros de aceite cada una e y botellas de 1 litro de aceite cada botella. Otro comerciante tiene y garrafas de 10 litros de aceite cada una y x botellas de 1 litro de aceite cada botella. El segundo comerciante tiene 9 litros más que el primer comerciante. Se sabe que los dos tienen más de 30 litros de aceite y menos de 50 litros de aceite. Averigua razonadamente cuántos litros de aceite tiene cada uno.



DISCOS COMPACTOS

Tres amigos, Marcos, Luis y Miguel, son aficionados a la música. Entre los tres poseen un total de discos compactos (CD) comprendidos entre 16 y 22. Marcos presta 4 CDs a Miguel, Luis presta 1 CD a Marcos y Miguel presta 2 CDs a Luis, con lo cual los tres amigos tienen ahora el mismo número de CDs. ¿Cuántos CDs pueden tener en total?.

257

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

7.- CONCEPTOS BÁSICOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL  PARALELAS 1) De todas las rectas de pendiente 3 que pasan por la región del plano definida por el sistema de inecuaciones : 3x  4y  1 2  x4  3x + 2y  1 8 

¿Cuál tiene mayor ordenada en el origen ?. ¿Y menor ?. Escribe las ecuaciones de dichas rectas. SOLUCIÓN : 3 3   y  x +3  y = x +3 r  3x  4y  1 2 4 4    x4  x4     3x + 2y  1 8  3 3 y   x + 9 y =  x + 9 s    2 2 

Una recta de pendiente 3 es t : y = 3x. Construimos una tabla de valores para cada recta: r x 0 4

s y 3 6

x 0 2

t y 9 6

x 0 1

y 0 3

No hay ninguna recta de pendiente 3 que pase por la región y que tenga mayor ordenada en el origen. La recta de menor ordenada en el origen es la que pasa por el punto P, cuyas coordenadas se obtienen como intersección de las rectas r y s :

3   r : y = 4 x + 3  P  3 s : y =  x + 9  2  

3 3 8 x + 3 =  x + 9  3x + 12 = 6x + 36  9x = 24  x = 4 2 3

3 8 8 8    3  5 . Luego P  , 5  . La recta buscada es y=3x+n. Como pasa por P, si x= , 3 4 3 3  8 entonces y=5. Luego : 5=3   n  n = 3  y = 3x  3 3 La recta de menor ordenada en el origen es y = 3x  3 y=

258

Optimización y Programación lineal

2) De todas las rectas paralelas a la de ecuación

3x + 2y = 0

yx

  5x + y  0 ¿cuál es la que tiene menor ordenada en el origen ?. ¿Y la que tiene mayor ordenada en el origen ?. que pasan por la región del plano definida por las inecuaciones

SOLUCIÓN :

yx  yx  . Por otra parte, 3x + 2y = 0  y=  3 x  5x + y  0  2  y  5x r  Construimos tablas de valores para las rectas r y t: r x 0 1

t

t y 0 5

x 0 2

y 0 5

No hay ninguna recta paralela a la dada que pase por la región y tenga mayor ordenada en el origen. La recta de menor ordenada en el origen en la misma recta dada t 3x + 2y = 0. 3) Resuelve las mismas cuestiones que en el apartado (2) para la recta de ecuación x0   y la región determinada por las inecuaciones y3  x + 2y  4 

3x + 8y = 0

SOLUCIÓN:

x0  y 0  x + 2y  4 

2y x+4  y  

1 x+2 2

r

En este caso, no hay región. El problema no tiene solución.

259

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

 RESTRICCIONES Y OBJETIVOS Un problema de programación lineal consiste en maximizar (minimizar) una función lineal, por ejemplo F(x, y) = 3x + 4y, sabiendo que las variables x, y, están sometidas a una serie de restricciones que vienen dadas por inecuaciones, por ejemplo,

x0   y 0 5x + 2y  10  x + 2y  6  En general: En un problema de programación lineal con dos variables x, y, se trata de optimizar (hacer máxima o mínima) una función, llamada función objetivo de la forma F=px+qy sujeta a una serie de restricciones dadas mediante un sistema de inecuaciones lineales: a1 x + b1 y  c1  a 2 x + b2 y  c 2  ...................  a n x + bn y  c n  Los puntos que cumplen todas las restricciones (soluciones del sistema de inecuaciones) están en un recinto poligonal finito o infinito, llamado región de validez.

Los puntos de la región de validez se llaman soluciones factibles. La solución factible que haga óptima (máxima o mínima) la función objetivo, se llama solución óptima. Si hay una única solución optima, estará situada en un vértice del recinto. Si hay infinitas soluciones óptimas, estarán en un lado del recinto. Puede ocurrir que no exista solución óptima.  Una vez representado el recinto de validez, la solución óptima se encuentra con ayuda de una recta variable que representa la función objetivo y que se desplaza paralela a sí misma.  Para localizar la solución óptima sin usar la representación gráfica, basta obtener los vértices del recinto y calcular el valor de la función objetivo en cada uno de ellos. a) Maximiza y minimiza la función objetivo F(x, y) = 5x + y, sometida a las restricciones

x0  y  x +1  0   y4 0 y + 2x  5  0

260

Optimización y Programación lineal

SOLUCIÓN :

x0  y  x +1  0  y  x  1  y4 y4 0 y + 2x  5  0   y  2x + 5  rectas r y s:

y = x 1 y = 2x + 5

 r  . Construimos las tablas de valores para las  s 

r x 0 1

s y 1 0

x 0 2

y 5 1

La función objetivo es F=5x+y  y=5x+F  Para maximizar o minimizar F, hay que maximizar o minimizar la ordenada en el origen de esta recta. Luego el problema puede plantearse así : De todas las rectas paralelas a t : y = 5x y que pasan por la región de validez, ¿cuál tiene mayor ordenada en el origen ? ¿y menor ?. t x 0 1

y 0 5

La de mayor ordenada en el origen es la que pasa por el punto P, cuyas coordenadas se obtienen como intersección de las rectas r y s :

r : y = x 1  P  s : y = 2x + 5   x  1 = 2x + 5  3x = 6  x = 2  Luego P(2, 1).   Por tanto, el máximo de F es : Fmáx= F(2, 1)=52+1=11 La recta de menor ordenada en el origen es la que pasa por el punto (0, 1). Por lo tanto, el valor mínimo de F es : Fmín = F(0, 1)=1 Otra forma de resolver el problema es la siguiente :

1  Los vértices del recinto de validez son los puntos (0, 4), (0, 1), (2, 1) y  , 4  . El último 2  punto se obtiene como intersección de la recta s con la recta y=4

261

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

Hallamos los valores de la función objetivo en cada uno de los vértices de la región de validez : F(0, 4)=50+4=4; F(0, 1)=50+(1)=1; 1 1  F(2, 1)=52+1=11; F  , 4   5   4  6 '5 2 2  Se observa que : el valor máximo es Fmáx=F(2, 1)=11 y el valor mínimo es Fmín=F(0, 1)=1. b) Maximiza y minimiza la función objetivo F(x, y) = x + 4y sobre la región delimitada por las restricciones : x + 2y  1  3x + 2y  2  x0  y0  SOLUCIÓN :

x + 2y  1  2y   x + 1  3x + 2y  2 2y  3x + 2    x0   y0  

1 1 x+ 2 2 3 y   x +1 2 y

 r  s . Construimos las tablas de valores de las rectas   

r y s, obteniendo: r x 1 2

y 0 1/2

s x 0 2

y 1 2

t x 0 4

y 0 1

1 F x + . Maximizar o minimizar F es lo 4 4 mismo que maximizar o minimizar la ordenada en el origen de esta recta. El problema es 1 equivalente a este otro: De todas las rectas paralelas a la recta t : y=  x , que pasan por el 4 recinto de validez, ¿cuál tiene mayor ordenada en el origen ?. ¿y menor ?. La función objetivo es F=x+4y  4y=x+F  y= 

En la figura se observa que: No hay máximo para la función objetivo F. El valor mínimo de F se obtiene en el punto P(1, 0) y dicho valor mínimo es F mín=1+40=1.

262

Optimización y Programación lineal

 POLÍGONO Dibuja el polígono de vértices (10, 0), (11, 0) y (6, 6) y averigua en qué punto (x, y) de la región limitada por ese polígono, alcanza el máximo la función f(x, y)=7x+4y. SOLUCIÓN :

A(10, 0)  f(10, 0)=710 + 40 = 70 B(11, 0)  f(11, 0)=711 + 40 = 77 C(6, 6)  f(6, 6)=76 + 46 = 66 Solución : El valor máximo de f se obtiene en el punto B(11, 0). USANDO EL ORDENADOR Podemos utilizar el ordenador para resolver problemas de programación lineal. Para ello usaremos el software Programación Lineal para Windows. Ejemplo.- Calcula el máximo de la función z=2x+5y con las restricciones x>0; y>0; y < 3; 3x2y6 < 0; 2x+3y > 6. Haz clic en Inicio, Programas, Aplicaciones PIE, P.Lineal. En el campo Funció objectiva teclea 2x+5y. Pulsa ENTER. Abre el menú Dades y selecciona Nova inequació. Verás que aparece un 1 a la izquierda de un campo libre a continuación de Restriccions. Introduce en ese campo la primera inecuación x>0. Pulsa ENTER. Abre el menú Dades y selecciona Nova inequació. En el campo 2 de Restriccions introduce la segunda inecuación y>0. Pulsa ENTER. De la misma forma, introduce todas y cada una de las inecuaciones restantes. A continuación abre el menú Gràfic y selecciona Sistema d’inequacions. De esta forma se mostrará el recinto de validez. Abre el menú Gràfic y selecciona Marcar escala. Aparece una trama sobre el gráfico que facilita la lectura de coordenadas. Observa que el gráfico está situado en una ventana con barra de desplazamiento. Haz clic y arrastra el cuadro de desplazamiento hacia arriba o hacia abajo y observa como se muestran en pantalla los distintos valores de la función objetivo. ¿En qué punto del recinto de validez tomará z el valor máximo?. ¿Cuál será el valor máximo de z ?.

263

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

Para averiguarlo puedes ampliar la región que te interese del gráfico, seleccionando Gràfic, Ampliar regió y dibujando con el ratón un rectángulo sobre la zona del gráfico a ampliar. Si continuas desplazando el cuadro de deslizamiento podrás obtener aproximadamente el valor máximo de z. Para salir de dudas haz clic en Solucions. Aparece una ventana con pares de inecuaciones que dan origen a posibles vértices del recinto de validez. Recuerda que si el recinto de validez es un polígono convexo, la solución, si existe, se alcanza en uno de los vértices. De esta forma puedes obtener los vértices de la región factible y los valores que toma la función objetivo en dichos puntos. Aquel en que z tome el valor más alto será la solución del problema. En nuestro caso, al hacer clic sobre el par 3 i 4, obtenemos: Intersecció de les rectes xy=0 3x2y=6 (6, 6) Verifica totes les inequacions Valor de la funció 42. Puedes comprobar que este es el valor máximo de la función objetivo.

 MÁXIMO Y MÍNIMO a) Calcula el valor máximo y mínimo de las funciones F(x, y)=4x+3y, G(x, y)=x+2y sometidas a las restricciones : y  x ; x  4 ; y  0. b) Calcula el valor mínimo y el máximo de las funciones F(x, y)=x+2y , G(x, y)=2x+y sometidas a las restricciones y  4, x  3, x  y  2, x  y  0.  MINIMIZA Minimiza la función z = 3x + 2y con las siguientes restricciones:

7x + 2y  4   4x + 5y  20

 MAXIMIZA Maximiza la función z=4x+3y, con las restricciones siguientes:

x + y  6  2x + y  10  x  y  3 

Las variables x e y no pueden ser negativas.  MAXIMIZA Y MINIMIZA

2x  3y  0 Maximiza y minimiza la función p=x+2y3 con las siguientes restricciones: 5y  9   3x  2

264

Optimización y Programación lineal

 MINIMIZA OTRA VEZ Busca los pares (x, y) que minimizan la función t = 3x + 2y, si tiene las siguientes restricciones: x + 2y  4   4x + 5y  2  FUNCIÓN OBJETIVO

Minimiza la función objetivo F=6x5y, sujeta a las restricciones:

x0  y0  xy2  3x + y  8  3x + 2y  6

 OPTIMIZA Encuentra los óptimos (máximo y mínimo) de la función objetivo restricciones :

F = 3x+3y

sujeta a las

x0

   x+y5  2x + y  2   x + 2y  2  y0



RECINTO

x  y  27 a) Dibuja el recinto limitado por las siguientes inecuaciones: x  12 .  y  6 b) Determina los vértices de este recinto. c) ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de la función f(x, y)  90  x  60  y en el recinto anterior y en qué puntos alcanza dichos valores?.



POLÍGONO

Sea P el polígono de vértices (0, 0), (6, 0), (8, 3), (4, 8) y (0, 6). Averigua en qué puntos del polígono P alcanza la función: f(x, y) = 2 x + 3 y los valores máximo y mínimo.



TRIÁNGULO

Considera el triángulo de vértices (0, 0), (2, 8) y (10, 3). Determina razonadamente: a) El punto del triángulo donde la función f(x, y)  4x  y  9 alcanza el máximo. b) El punto del triángulo donde la función g(x, y)  4x  y  12 alcanza el máximo.

265

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II



REGIÓN

x  0   y  0 Dibuja la región determinada por las inecuaciones: y  x  y  10  2y  3x f(x, y)  4x  3y sometida a las restricciones dadas por estas inecuaciones.



maximiza

la

función

OTRA REGIÓN

 y  x  2  Considera las inecuaciones:  x  y  2  3x  y  3 a) Representa gráficamente el conjunto S definido por estas inecuaciones. b) Determina si f(x, y) = 3x  2y alcanza un valor máximo y un valor mínimo en S y, en caso afirmativo, calcula dichos valores y los puntos donde se alcanzan. c) Determina si f(x, y) = 6x+4y alcanza un valor máximo y un valor mínimo en S y, en caso afirmativo, calcula dichos valores y los puntos donde se alcanzan.

8.- PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN II  CAMIONES Una empresa constructora dispone de dos tipos de camiones, A y B, y desea transportar 100 toneladas de material recién comprado al lugar de la construcción. Naturalmente desea realizar el transporte con el menor coste posible. TIPO DE CAMIONES CAMIONES DISPONIBLES CAPACIDAD (Tm) PRECIO DEL VIAJE (euros)

266

A 6 15 40

B 10 5 30

Optimización y Programación lineal

a) Con los datos de la tabla anterior, ¿cuántos camiones deben utilizar para obtener el mínimo coste ?. Sea x=número de camiones de tipo A ; y=número de camiones de tipo B. Debe cumplirse : 0x6 0  y  10 El número total de toneladas que transportarán será : 15x+5y, que no podrá ser inferior a 100 toneladas : 15x+5y100. Es decir : 3x+y20. Por lo tanto, el conjunto de restricciones es el formado por las inecuaciones :

0  x  6  0  y  10  3x + y  20 El recinto de validez es el indicado en la siguiente figura: y=3x+20 r x 0 4 5

y 20 8 5

La función objetivo es el precio : P=40x+30y, que expresado en decenas de euros es : = 4x + 3y

P

4 P . Minimizar P es equivalente a minimizar la x+ 3 3 ordenada en el origen de esta recta. El problema es equivalente a determinar la recta de menor ordenada en el origen de todas las que pasan por el recinto de validez y son 4 paralelas a la recta t : y=  x , de la que construimos una tabla de valores : 3 x y 0 0 3 4 De donde : 3y = 4x + P  y= 

Se observa en la figura que el mínimo coste se obtiene en el punto P(6, 2). Por lo tanto, la solución del problema es: 6 camiones de tipo A 2 camiones de tipo B El mínimo coste es P=46+32=30 decenas de euros=300 euros.

267

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

b) Resuelve el mismo problema suponiendo que los datos son los de la tabla siguiente : TIPO DE CAMIONES CAMIONES DISPONIBLES CAPACIDAD (Tm) PRECIO DEL VIAJE (euros)

A 8 12 50

B 5 16 90

Sea x=número de camiones de tipo A ; y=número de camiones de tipo B. Debe cumplirse : 0x8 0  y  5. El número total de toneladas que transportarán será : 12x + 16y , que no podrá ser inferior a 100 toneladas : 12x + 16y 100. Es decir : 3x + 4y 25 Por lo tanto, el conjunto de restricciones es el formado por las inecuaciones :

0x8   0 y5  3x + 4y  25  El recinto de validez es el indicado en la siguiente figura:

y

3 25 x 4 4 r

x 5 8

y 5/2 1/4

La función objetivo es el precio : P=50x+90y, que expresado en decenas de euros es: x+9y

P = 5

5 P x + . Minimizar P es lo mismo que minimizar la ordenada 9 9 en el origen de esta recta. El problema es equivalente a encontrar la recta de menor ordenada en el origen de entre todas las que pasan por el recinto de validez y son paralelas a la recta t : 5 y =  x , de la que construimos una tabla de valores : 9 De donde : 9 y =  5 x + P  y = 

268

Optimización y Programación lineal

x 0 9

y 0 5

Se observa en la figura que el coste mínimo se obtiene en el punto P(8, 1 / 4). Luego la solución del problema es : 8 camiones del tipo A 1 camión del tipo B El coste mínimo es P = 58+91=49 decenas de euros=490 euros  ALIMENTACIÓN La siguiente tabla indica la cantidad de proteínas y grasas que hay por cada 100 gramos de algunos alimentos, así como su precio : ALIMENTOS PROTEÍNAS (gr.) GRASAS (gr.) PRECIO (cents./100 gr.) POLLO 30 8 200 PESCADO 20 2 400 QUESO 26 35 500 FRUTA 2 0 300 Queremos confeccionar un menú usando solamente pescado, queso y fruta, y sabemos que toda dieta alimenticia debe contener, como mínimo, un 16% de proteínas y un 19% de grasas. ¿Qué porcentaje de cada uno de los tres alimentos deberá contener el menú para que el precio sea el menor posible ?. ¿Y si sustituimos el pescado por pollo ?. SOLUCIÓN : Particularizamos la tabla dada para 1 gramo de menú : ALIMENTOS POLLO PESCADO QUESO FRUTA

PROTEINAS (gr.) 0,3 0,2 0,26 0,02

GRASAS (gr.) 0,08 0,02 0,35 0

PRECIO (cents/gr.) 2 4 5 3

a) Pescado + queso + fruta. En un gramo de menú, hay : x=gr. de pescado

 0x1

y=gr. de queso

0y1

1xy=gr. de fruta  0  1 x y  x + y  1 Proteínas (mínimo 16%)  0,2 x + 0,26 y + 0,02(1 x y)  0,16  20x+26y+22x2y16  18x+24y14  9x+12y7 Grasas (mínimo 19%)  0,02x+0,35y+00,19  2x + 35y 19 Las restricciones del problema vienen dadas por el sistema de inecuaciones:

269

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

0 x 1 0 y 1

   x+y 1  9x +12y  7   2x + 35y  19  El recinto de validez es el indicado en la siguiente figura: y=x+1

y

9 7 x 12 12

r x 0 1

y

2 19 x 35 35

s y 1 0

x 0 1

t

y 0,58 0,17

x 0 1

y 0,54 0,49

La función objetivo es el precio del menú: P=4x+5y+3(1xy) = 4x+5y+33x3y  1 P-3 P=x+2y+3  2y=x+P3  y=  x + . Minimizar el precio P es lo mismo que 2 2 minimizar la ordenada en el origen de esta recta. El problema es equivalente a encontrar la recta de menor ordenada en el origen entre las que pasan por el recinto de validez y son 1 paralelas a la recta u: y =  x , de la que construimos una tabla de valores: 2 x 0 1

y 0 0,5

En la figura se observa que el precio se minimiza en el punto P, intersección de las rectas s yt:

9 7  x+  12 12  Resolviendo este sistema obtenemos x = 0,0584192  0,06 2 19 t : y= x+  35 35  s: y=

Además y = 0,5395189  0,54. Con lo que la cantidad de fruta es 0,40. Por tanto: La solución es :

6% de pescado 54% de queso 40% de fruta.

270

Optimización y Programación lineal

b) Pollo + queso + fruta En un gramo de menú, hay : x=gr. de pescado

 0x1

y=gr. de queso

0y1

1xy=gr. de fruta  0  1 x  y  x + y  1 Proteínas (mínimo 16%)  0,3x+0,26y+0,02(1xy)0,16 30x+26y+22x2y16  28x+24y14  14x+12y7 Grasas (mínimo 19%)  0,08x+0,35y+00,19  8x + 35y 19 Las restricciones del problema vienen dadas por el sistema de inecuaciones :

0 x 1 0 y 1

   x+y 1  14x +12y  7   8x + 35y  19  El recinto de validez es el indicado en la siguiente figura : y=x+1

y

14 7 x 12 12

r x 0 1

y

8 19 x 35 35

s y 1 0

x 0 1

y 0,58 0,58

t x 0 1

y 0,54 0,31

La función objetivo es el precio del menú : P=2x+5y+3(1xy) = 2x+5y+33x3y  1 P3 P=x+2y+3  2y=x+P3  y= x + . Minimizar el precio P es lo mismo que 2 2 minimizar la ordenada en el origen de esta recta. El problema es equivalente a encontrar la recta de menor ordenada en el origen entre las que pasan por el recinto de validez y son 1 paralelas a la recta u: y = x , de la que construimos una tabla de valores: 2

271

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

x 0 1

y 0 0,5

En la figura se observa que el precio se minimiza en el punto P, intersección de las rectas r yt:

r : y = x +1  8 19  Resolviendo este sistema obtenemos x = 0,5925925  0,59 t : y= x+  35 35   Además y = 0,4074075  0,41. Con lo que la cantidad de fruta es igual a 0. Por lo tanto: La solución es:

59% de pollo 41% de queso 0% de fruta.

 MESAS Y SILLAS Cierto fabricante produce sillas y mesas para lo que requiere la utilización de dos secciones de producción : la sección de montaje y la sección de pintura. La producción de una silla requiere 1 hora de trabajo en la sección de montaje y 2 horas en la de pintura. Por su parte, la fabricación de una mesa requiere 3 horas en la sección de montaje y 1 hora en la de pintura. La sección de montaje sólo puede estar 9 horas diarias en funcionamiento, mientras que la de pintura sólo 8 horas diarias. El beneficio que se obtiene produciendo mesas es doble que el que se obtiene produciendo sillas. ¿Cuál debe ser la producción diaria de mesas y sillas para que el beneficio sea máximo ?. SOLUCIÓN : Con los datos del problema podemos construir la siguiente tabla : MONTAJE PINTURA

SILLAS 1 2

MESAS 3 1

Sea x=número de sillas ; y=número de mesas. Debe ser x  0, y  0. La sección de montaje sólo esta disponible 9 horas diarias : x + 3y  9 La sección de pintura sólo está disponible 8 horas diarias : 2x + y  8 El conjunto de restricciones del problema es el dado por el siguiente sistema de inecuaciones :

x0   y 0 x + 3y  9  3y   x + 9 2x + y  8  y  2x + 8

   y   1 x+3 3 y = 2x + 8 s 

El recinto de validez es el de la figura siguiente:

272

   1 y =  x + 3 r  3  

Optimización y Programación lineal

r x 0 3

s y 3 2

x 0 4

y 8 0

Si 1 silla produce un beneficio de 1 euro, 1 mesa produce un beneficio de 2 euros. Por lo tanto, el beneficio produciendo sillas es x y el beneficio produciendo mesas es 2y. Luego el beneficio total es B = x + 2y (Función objetivo)

1 B x + . Para maximizar el beneficio hay que maximizar la 2 2 ordenada en el origen de esta recta. El problema es equivalente a encontrar la recta de mayor ordenada en el origen de todas las que pasan por el recinto de validez y son 1 paralelas a la recta t: y =  x , de la cual construimos una tabla de valores: 2 x y 0 0 2 -1 De donde : 2y = x + B  y = 

En la figura se observa que el beneficio máximo se obtiene en el punto P, intersección de r y s, para lo que hay que resolver el siguiente sistema :

1  x + 3 3   s : y = 2x + 8  

r : y=

Resolviendo el sistema se obtiene x = 3, y = 2.

Solución : Se deben producir 3 sillas y 2 mesas para maximizar el beneficio.  CHOCOLATE Un fabricante de chocolate elabora dos tipos de cajas de bombones, de 250 gramos y de 300 gramos respectivamente. Obtiene un beneficio de 5 euros por cada caja de las primeras, y de 6,5 euros por cada caja de las últimas. Si dispone de 100 kg. de chocolate para confeccionar las cajas, y el número de cajas pequeñas debe ser, al menos, igual al de cajas grandes, ¿cuántas de cada tipo debe hacer si desea obtener un beneficio máximo ?.

273

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

SOLUCIÓN : Sea x=número de cajas pequeñas ; y=número de cajas grandes. Debe ser x  0, y 0, x  y. Como se dispone de 100 kg =100000 de chocolate, debe ser 250 x + 300 y  100000  2,5 x + 3 y  1000 El conjunto de restricciones del problema viene dado por el siguiente sistema de inecuaciones:

     y 0     El recinto de x y   2,5 1000 2,5 1000  2,5x + 3y  1000  3y   2,5x + 1000  y   x +  y =  x + r   3 3 3 3  validez es el indicado en la siguiente figura: x0

r x 0 100

y 333,3 250

Los vértices de esta región de validez son los puntos O, P y Q. Las coordenadas de P se obtienen resolviendo el sistema formado por las ecuaciones de las rectas r e y=x:

  2,5 1000  Resolviendo el sistema, obtenemos x = y = 181,81  182. y= x+ 3 3  y= x

Luego P(182, 182). Las coordenadas de Q se obtienen como intersección de las rectas r e y=0.

  2,5 1000  Resolviendo el sistema, obtenemos x = 400, y = 0 y= x+ 3 3  y=0

Luego Q(400, 0).

274

Optimización y Programación lineal

El beneficio es B = 5 x + 6,5 y . Calculemos el beneficio en cada uno de los vértices de la región de validez: En O(0, 0)  B(0, 0) = 5 0 + 6,5 0 = 0 En Q(400, 0)  B(400, 0) = 5 400 + 6,5 0 = 2000 euros. En P(182, 182)  B(182, 182) = 5 182 + 6,5 182 = 2093 euros. Solución : El beneficio máximo se obtiene para el punto P, es decir, hay que fabricar 182 cajas pequeñas y 182 cajas grandes.  MATERIAL ESCOLAR Con el comienzo del curso se van a lanzar unas ofertas de material escolar. Unos almacenes quieren ofrecer 600 cuadernos, 500 carpetas y 400 bolígrafos para la oferta, empaquetándolo de dos formas distintas ; en el primer bloque pondrán 2 cuadernos, 1 carpeta y 2 bolígrafos ; en el segundo pondrán 3 cuadernos, 1 carpeta y 1 bolígrafo. Los precios de cada paquete serán 6,5 y 7 euros, respectivamente. ¿Cuántos paquetes les conviene poner de cada tipo para obtener los máximos beneficios ?.

 LOCOMOTORAS Una empresa compra 26 locomotoras a tres fábricas : 9 a A, 10 a B y 7 a C. Las locomotoras deben comenzar a prestar servicios en dos estaciones distintas : 11 de ellas en la estación N y 15 en la S. Los costes de traslados son, por cada una, los que se indican en la tabla (en cientos de decenas de euros) : N S

A 6 4

B 15 20

C 3 5

Averigua cómo conviene hacer el reparto para que el coste sea mínimo.

 DULCES NAVIDEÑOS En una fábrica de dulces navideños se preparan dos surtidos para lanzarlos al mercado. El primero se vende a 4,50 euros y contiene 150 gramos de polvorones, 100 gramos de mantecados y 80 gramos de roscos de vino. El segundo se vende a 5,60 euros y contiene 200 gramos de polvorones, 100 gramos de mantecados y 100 gramos de roscos de vino. Se dispone de un total de 200 kg de polvorones, 130 kg de mantecados y 104 kg de roscos de vino. La empresa de embalajes sólo le puede suministrar 1200 cajas. ¿Cuántos surtidos de cada tipo convendría fabricar ?.

275

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

 ELECTRODOMÉSTICOS En una tienda de electrodomésticos se quiere lanzar una oferta de frigoríficos a 500 euros y lavadoras a 450 euros. Cada venta de un frigorífico supone 10 minutos del tiempo de un vendedor y 5 minutos del tiempo de un instalador. La venta de una lavadora requiere 8 minutos del vendedor y 12 minutos del instalador. Se dispone de 4 vendedoras y 3 instaladores, que trabajan 4 horas diarias útiles. ¿Cuántos frigoríficos y lavadoras interesa poner a la venta durante los 20 días hábiles de la campaña ?.  DEPORTES En un curso hay 120 chicas y 156 chicos. El centro subvenciona con 180 euros cada equipo de baloncesto, formado por 5 chicos y 8 animadoras, y con 200 euros cada equipo de voleibol, formado por 6 chicas y 6 animadores. ¿Cuántos equipos de cada deporte conviene formar para conseguir la máxima subvención posible ?.

 INVERSIÓN Un inversor dispone de 100000 euros. La rentabilidad de los bonos A es del 12% y desgravan, además un 15% en la Declaración de Hacienda. Los bonos B tienen una rentabilidad del 15%, pero no desgravan. Por cada euro invertido en bonos A es preciso invertir dos en bonos B. ¿Cuánto dinero se debe colocar en cada tipo de bonos para que el rendimiento sea máximo ?.  DIETA ADELGAZANTE Doña Filomena quiere adelgazar, pero se encuentra demasiado débil. En una farmacia le ofrecen dos compuestos A y B, para que tome una mezcla de ambos en la comida, con las siguientes recomendaciones : No debe tomar más de 150 gramos de la mezcla ni menos de 50 gramos. Debe tomar siempre más cantidad de A que de B. No debe incluir más de 100 gramos de A. 100 gramos de A contienen 30 miligramos de vitaminas y 450 calorías. 100 gramos de B contienen 20 miligramos de vitaminas y 150 calorías. ¿Cuántos gramos debe tomar de cada compuesto para obtener el preparado más rico en vitaminas ?. ¿Y el más pobre en calorías ?. 276

Optimización y Programación lineal

 BONOS Un inversionista dispone de 20000 euros. Puede invertir en bonos del tipo A, que dan un rendimiento del 10 por 100, y en bonos del tipo B, cuyo rendimiento es del 15 por 100. Existen unos topes legales que impiden invertir más de 8000 euros en bonos del tipo B, pero sucede lo contrario con los del tipo A, en los cuales la inversión mínima es de 5000 euros. Por otra parte, el inversionista desea colocar en bonos del tipo A tanto dinero, al menos, como en bonos del tipo B. ¿Cuánto debe invertir en bonos de cada tipo para que el rendimiento obtenido sea máximo ?.

 FÁBRICA En una empresa se producen dos tipos de artículos, A y B, en cuya elaboración intervienen tres departamentos : cortado, montaje y embalado. Cada departamento trabaja ocho horas diarias, y mientras el producto A requiere sólo una hora de montaje y media de embalado, el producto B requiere 2 horas de cortado y una de embalado. El beneficio que se obtiene por cada unidad de A es de 4 euros, y por cada unidad de B 3,50 euros. ¿Cómo debe distribuirse la producción diaria para maximizar el beneficio ?.  VÍDEO Un productor de películas de vídeo lanza al mercado el film “El río” de Jean Renoir. Distribuye las copias en exclusiva al establecimiento Videolux, que percibe una comisión de 10 euros por copia adquirida para la venta al público, y a la cadena de grandes almacenes Baligo, que le exige 15 euros por copia. Por razones comerciales está obligado a vender a la cadena al menos la tercera parte de su producción, mientras que Videolux, debido a limitaciones de almacenaje, puede adquirir como máximo 2000 copias. El productor edita 10000 copias de la película que desea colocar de forma inmediata. ¿Cómo debe hacerlo para que los costes por comisiones sean mínimos ?.

 TELEVISIÓN a) Un técnico en electrónica fabrica receptores de TV de dos tipos. Cada receptor del primer tipo le supone 3 horas de trabajo, y cada uno del segundo tipo 2 horas, no dedicando a esta tarea más de 12 horas diarias. Cada receptor del primer tipo le supone una ganancia de 120 euros, mientras que los del segundo tipo sólo le proporcionan 90 euros. ¿Cuántos receptores de cada tipo debe fabricar al día para que obtenga un beneficio máximo ?. ¿Cuál es este beneficio diario ?. b) La adopción de un nuevo sistema de control en los receptores le supone media hora más de trabajo por cada TV del primer tipo, y un cuarto de hora para las del segundo. ¿Cuál será, ahora, la nueva estrategia de producción ?. ¿Cuáles sus beneficios ?. Si desea obtener el mismo beneficio que antes, ¿en cuánto debe incrementar el precio de cada receptor, si lo quiere hacer por igual para los dos tipos ?.

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Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

 ZONA RESIDENCIAL En unos terrenos próximos a una ciudad se desea edificar una zona residencial. Con este propósito se venden, como mínimo, 100 hectáreas de extensión, estableciendo que el espacio destinado a zona verde debe ser, al menos, los dos tercios del terreno edificado. El coste de suelo para edificar por hectárea es de 5000 euros, y el de zona verde de 3000 euros. ¿Qué superficie debe dedicarse a construcción, y cuál a zona verde, para que los costes sean mínimos ?. Comenta el resultado obtenido.

 REVISTA Se planea editar una nueva revista de viajes y gastronomía con un total de 150 páginas por número. Se llega a la decisión de no destinar a publicidad más de 40 páginas. Cada artículo de viajes se paga a 100 euros la página, y cada artículo de gastronomía a 60 euros la página. Por otro lado, se cobran 250 euros por página de publicidad. El número de páginas dedicadas a viajes debe ser, al menos, igual al de páginas dedicadas a gastronomía. ¿Cuál debe ser el número de páginas dedicadas a cada sección, y cuál a publicidad, para que el coste sea mínimo, supuesto que los costes de edición son los mismos en cualquier caso ?.

 PAGA SEMANAL Un estudiante recibe de sus padres semanalmente 20 euros, que dedica exclusivamente a ir al cine. Los locales de estreno, donde se proyecta una película, le cuestan 4 euros, y los cines de barrio, donde proyectan dos películas, 3 euros. Si desea ver, al menos, un estreno a la semana, ¿cómo debe distribuir su asistencia a ambos tipos de locales para que el número de películas que ve sea el máximo posible ?. ¿Le sobra algún dinero semanalmente ?.

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ADORNOS

Una fábrica de adornos produce broches sencillos y broches de fiesta. Se obtiene un beneficio de 4,50 euros por cada broche sencillo y de 6 euros por cada broche de fiesta. En un día no se pueden fabricar más de 400 broches sencillos ni más de 300 de fiesta, y tampoco pueden producirse más de 500 broches en total. Suponiendo que se logra vender toda la producción de un día, ¿cuál es el número de broches de cada clase que conviene fabricar para obtener un beneficio máximo?. ¿Cuál debería ser la producción para obtener máximo beneficio si se obtuvieran 6 euros por cada broche sencillo y 4,50 euros por cada broche de fiesta?.

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Optimización y Programación lineal

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COCHES

Un concesionario de coches vende dos modelos; el A, con el que gana 1000 euros por unidad vendida, y el B, con el que gana 500 euros por unidad vendida. El número x de coches vendidos del modelo A debe verificar que 50  x  75. El número y de coches vendidos de B debe ser mayor o igual que el número de coches vendidos del modelo A. Sabiendo que el número máximo de coches que puede vender es 400, determina cuántos coches debe vender de cada modelo para que su beneficio sea máximo.

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RENTABILIDAD

Un cliente de un banco dispone de 30000 euros para adquirir fondos de inversión. El banco le ofrece dos tipos de fondos, A y B. El de tipo A tiene una rentabilidad del 12% y unas limitaciones legales de 12000 euros de inversión máxima. El de tipo B presenta una rentabilidad del 8% sin ninguna limitación. Además, este cliente desea invertir en los fondos tipo B, como máximo, el doble de lo invertido en los fondos tipo A. a) ¿Qué cantidad de dinero debe invertir en cada tipo de fondo para obtener el máximo beneficio?. b) ¿Cuál será el valor de dicho beneficio máximo?. Justifica las respuestas.

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CONFITURAS

Una fábrica produce confitura de albaricoque y confitura de ciruela. El doble de la producción de confitura de ciruela es menor o igual que la producción de confitura de albaricoque más 800 unidades. También, el triple de la producción de confitura de albaricoque más el doble de la producción de confitura de ciruela, es menor o igual que 2400 unidades. Cada unidad de confitura de albaricoque produce un beneficio de 60 euros y cada unidad de confitura de ciruela, 80 euros. ¿Cuántas unidades de cada tipo de confitura se han de producir para obtener un beneficio máximo?.

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DOS PRODUCTOS

El número de unidades de dos productos, A y B, que un comercio puede vender es, como máximo, igual a 100. Dispone de 60 unidades de producto tipo A, con un beneficio unitario de 2,50 euros, y de 70 unidades tipo B, con un beneficio unitario de 3 euros. Determina las cantidades de productos tipo A y B que el comercio debe vender para maximizar sus beneficios globales.

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Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

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MÍNIMO COSTE

Una empresa fabrica tres productos, P1, P2 y P3, en dos plantas, A y B. La planta A produce diariamente 1000 unidades de P1, 3000 de P2 y 5000 de P3. La planta B produce diariamente 2000 unidades de cada uno de los tres productos. La empresa se ha comprometido a entregar a sus clientes, al menos, 80000 unidades de P1, 160000 de P2 y 200000 de P3. Sabiendo que el coste diario de producción es de 2000 euros en cada planta, ¿cuántos días debe trabajar cada planta para que se cubran los objetivos comprometidos con el mínimo coste?.

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VIAJE DE ESTUDIOS

Los estudiantes de un instituto pretenden vender dos tipos de lotes, A y B, para sufragarse los gastos del viaje de estudios. Cada lote de tipo A consta de una caja de mantecados y cinco participaciones de lotería; y cada lote de tipo B consta de dos cajas de mantecados y dos participaciones de lotería. Por cada lote de tipo A vendido, los estudiantes obtienen un beneficio de 12,25 ε y, por cada lote de tipo B, de 12,50 ε. Por razones de almacenamiento, pueden disponer, a lo sumo, de 400 cajas de mantecados. Los estudiantes solo cuentan con 1200 participaciones de lotería y desean maximizar sus beneficios. a) Determina la función objetivo y expresa, mediante inecuaciones, las restricciones del problema. b) ¿Cuántas unidades de cada tipo de lote deben vender los estudiantes para que el beneficio obtenido sea máximo?. Calcula dicho beneficio.

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CAMPAÑA PUBLICITARIA

Un grupo musical va a lanzar su nuevo trabajo al mercado. La casa discográfica considera necesario realizar una campaña de publicidad, combinando dos posibilidades: anuncios en televisión, con un coste estimado de 10000 euros por anuncio, y cuñas radiofónicas, con un coste estimado de 1000 euros por cuña. No obstante, no pueden gastar más de 1 millón de euros para dicha campaña, a lo largo de la cual se tienen que emitir al menos 50 y no más de 100 cuñas. Un estudio de mercado cifra en 10000 el número de copias que se venderán por anuncio de televisión emitido, y en 2000 copias por cuña radiofónica emitida. a) ¿De cuántos anuncios y cuñas radiofónicas podrá constar esta campaña?. Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) ¿Qué combinación de ambos se debería realizar para vender el mayor número de copias posible?. ¿Se llegan a gastar el millón de euros?. 280

Optimización y Programación lineal

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PERFUMES

Una empresa se dedica a la producción de frascos de perfume y de agua de colonia a partir de tres factores productivos: F1, F2 y F3. Las unidades de dichos factores utilizadas en la producción de cada tipo de frasco se detallan en la siguiente tabla: F1 F2 F3

PERFUME 1 2 0

AGUA DE COLONIA 2 0 4

Sabiendo que el precio de venta de un frasco de perfume es de 50 euros, de uno de agua de colonia es de 20 euros y que la empresa dispone de 240 unidades de F1, 360 de F2 y 440 de F3: a) Calcula el número de frascos de cada tipo que debe fabricar la empresa para maximizar sus beneficios. Explica los pasos seguidos para obtener la respuesta. b) ¿Se consumen todas las existencias de F1, F2 y F3 en la producción de los frascos que maximiza los beneficios?.

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CARTONAJES

Un trabajador de una fábrica de envases de cartón hace cajas de dos tipos. Para hacer una caja del primer tipo, que se vende por 12 cents, gasta 2 metros de cinta adhesiva y 0,5 m de rollo de papel de cartón. Para hacer una del segundo tipo, que se vende a 8 cents, gasta 4 m de cinta adhesiva y 0,25 m del mismo rollo de papel cartón. Si se dispone de un rollo de cinta adhesiva que tiene 440 m y otro rollo de papel cartón de 65 m, ¿cuántas cajas de cada tipo deben hacerse para que el valor de la producción sea máximo?.

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MEZCLA

Se desea realizar una mezcla con dos sustancias, A y B, que ha de contener como mínimo 10 unidades de cada una de ellas. Estas sustancias nos las venden dos proveedores en forma de lotes. El lote del primer proveedor es tal que los contenidos de B y de A están en relación de 4 a 1 y hay una unidad de A. El lote del segundo proveedor es tal que los contenidos de A y de B están en relación de 4 a 1 y hay una unidad de B. El primer proveedor vende cada lote a 10 euros, precio que es la mitad de a lo que vende el segundo el suyo. Ambos proveedores nos venden lotes enteros o fracciones de ellos. ¿Qué número de lotes hemos de comprar para que el coste sea mínimo?. ¿Cuál es el coste mínimo?.

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Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

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GRANDES ALMACENES

En unos grandes almacenes se ha iniciado una campaña de venta de lavadoras y de televisores. Se ha calculado que un vendedor invierte 8 minutos en la venta de una lavadora y 10 en la venta de un televisor, mientras que un instalador dedica 12 minutos a una lavadora y 5 minutos a un televisor. Se dispone de 4 vendedores y 3 instaladores, cada uno de los cuales dedica 5 horas diarias a la venta o a la instalación de los electrodomésticos durante los 16 días que dura la campaña. Si se sabe que se obtiene un beneficio de 450 euros por televisor y de 500 euros por lavadora vendidos, ¿cuántas lavadoras y cuántos televisores conviene poner a la venta para obtener máximo beneficio?.

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GANANCIA MÁXIMA

Me ofrecen la posibilidad de vender hasta un máximo de 24 toneladas de dos productos, A y B, y me dan una comisión de 150 euros por tonelada vendida de A y de 100 euros por tonelada de B. Averigua razonadamente cuántas toneladas debo vender de A y cuántas de B para maximizar la ganancia.

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PATÉS

Una fábrica de productos alimenticios elabora patés de dos variedades distintas en envases de 100 gramos de peso neto. Cada envase de la variedad A contiene 80 gramos de hígado de cerdo y 20 gramos de fécula, y los de la variedad B, 60 gramos de hígado de cerdo y 40 gramos de fécula. Durante los procesos de elaboración no pueden manipularse más de 240 kilogramos de hígado de cerdo ni más de 100 kilogramos de fécula. Sabiendo que los beneficios por lata son de 30 céntimos (variedad A) y 24 céntimos (variedad B): a) Halla el número de latas que habría que fabricar para obtener un beneficio máximo. b) ¿Cuál sería dicho beneficio máximo?. Justifica las respuestas.

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PIENSO

Un ganadero debe suministrar un mínimo de 4 mg de vitamina A y 6 mg de vitamina B por cada kilogramo de pienso que da a sus reses. Dispone para ello de dos tipos de pienso, P 1 y P2, cuyos contenidos vitamínicos por kilo son los que aparecen en la siguiente tabla: P1 P2

A 2 4

B 6 3

Si el kilo de pienso P1 vale 40 cents, y el de P2, 60 cents, ¿cómo debe mezclar los piensos para suministrar las vitaminas requeridas con un coste mínimo?.

282

Optimización y Programación lineal

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MAQUETAS

En una fábrica de maquetas de aviones se construyen dos tipos de maquetas, A y B. La fábrica está dividida en dos salas: una de montaje y otra de acabado. Para la fabricación de cada modelo A se requieren 3 horas semanales en la sala de montaje y 3 en la de acabado. La fabricación de cada modelo B requiere 5 horas semanales en la sala de montaje y 3 en la de acabado. La sala de montaje puede estar funcionando como máximo 150 horas a la semana, y la de acabado, 120. Si el beneficio es de 300 dólares en cada modelo A y de 400 en cada modelo B, ¿cuántos modelos de cada tipo habrá que fabricar cada semana para maximizar los beneficios (suponiendo que se venden todos) ?.



AUTOMÓVILES

Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio ?.

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Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II

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TARTAS

Una confitería es famosa por sus dos especialidades de tartas: la tarta Imperial y la tarta de Lima. La tarta Imperial requiere para su elaboración medio kilo de azúcar y 8 huevos, y tiene un precio de venta de 12 euros. La tarta de Lima necesita 1 kilo de azúcar y 8 huevos, y tiene un precio de venta de 15 euros. Debido a una mala previsión, se encuentran con la imposibilidad de realizar pedidos de huevos y azúcar, y elaborados ya todos los demás productos que ofertan, les quedan en el almacén 10 kilos de azúcar y 120 huevos para la preparación de las citadas tartas. a) ¿Qué combinaciones de especialidades pueden hacer?. Plantea el problema y representa gráficamente el conjunto de soluciones. b) ¿Cuántas unidades de cada especialidad han de producirse para obtener el mayor ingreso por ventas?. ¿A cuánto asciende dicho ingreso?.

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JOYAS

Un órfebre fabrica dos tipos de joyas. La unidad de tipo A se hace con 1 gramo de oro y 1,5 g de plata y se vende a 40 euros. La de tipo B se vende a 50 euros y lleva 1,5 gramos de oro y 1 g de plata. Si solo dispone de 750 g de cada metal, ¿cuántas joyas ha de fabricar de cada tipo para obtener el máximo beneficio?.

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