VICERRECTORÍA

ACADÉMICA

Guía de aprendizaje Facultad: Ingeniería

______________________________

Carrera:____ Ingeniería Civil Plan Común________________________ Sede: SANTIAGO_____________________________________________ Campus:_______República_____________________________________ Año: _2012____Semestre__1____________Fecha:_30-01-2012_________ Asignatura:_Introducción a la Física________________________ Nº de Horas Pedagógicas en el semestre:_72 horas___________________ Profesor:_José Luis Moncada__________Rut.:_13.053.691-3___________ Nombre Director (a) de Carrera o Coordinador (a):_José Luis Moncada____ ____________________________________________________________

Objetivo Específico de Aprendizaje

A lo largo de esta guía de aprendizaje el estudiante aprenderá a conocer y manipular las diferentes cantidades físicas. Conocerá y aplicara técnicas utilizadas en laboratorio para medir, calcular error y informar resultados utilizando cifras significativas. Conocerá el significado de cada una de las cantidades utilizadas en física, diferenciando si estas corresponden a magnitudes escalares o vectoriales. Aprenderá y resolverá problemas geométricos y trigonométricos aplicados a la física. El estudiante podrá resolver problemas de vectores de mediana complejidad, manipulando las diferentes operaciones vectoriales (Suma y resta). El estudiante identificar conceptualmente y pondrá en práctica las propiedades fundamentales de la materia como masa, densidad, temperatura y dilatación. Aplicando las formulas y desarrollando problemas físicos.

Identificar conceptualmente y calculo de propiedades físicas como: Rapidez de cambio y descripción del movimiento, Análisis de Gráficos, Funciones y operaciones fundamentales, Concepto físico de aceleración, Fuerza, Flujo, Concepto de energía y orden. Nombre de las Unidades de Aprendizaje: Unidad I: Introducción a la Física Unidad II: Sistemas de Medición Unidad III: Vectores Unidad IV: Propiedades fundamentales de la materia: Unidad V: Propiedades Físicas

Guía de Estudio Unidad 1: Concepto de Tiempo 1. Transforme a las unidades de tiempo o longitud según se requiera. a. b. c. d. e. f. g. h.

1,5 h en 40 min en 40 min en 80 s en 49 Hz en 12 rpm en 120 rps en -1 2500 s en

………………… min …………… …… h …………………. s …………………. min ………………….rpm …………………. Hz …………………..rpm -1 ………………… min

Ciclo, intervalo de tiempo, periodo, frecuencia, fase. 2. Dos cuerpos A y B están oscilando verticalmente colgados de resortes, como se indica en la figura. La altura de cada cuerpo respecto al suelo varía en función del tiempo según el gráfico que se muestra al lado. Altura de cada péndulo 120 100

A Altura [cm]

80 60 40

A

B

20

B

0 -2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

26

Tiempo[s]

a) Identifique en el gráfico las siguientes fases, indicando en qué instante ocurre cada una: • Para el cuerpo A, la fase de altura mínima. • Para el cuerpo B, la fase en que pasa por el punto medio entre los extremos, moviéndose hacia abajo. • La fase en que es mínima la diferencia de altura entre ambos cuerpos. b) Calcule el período y la frecuencia de las oscilaciones de cada cuerpo. c) Encuentre en qué instante ambos cuerpos pasan al mismo tiempo por sus respectivas fases de altura mínima, por primera vez después de t = 0. d) Encuentre en qué instante ambos cuerpos pasarán al mismo tiempo por sus respectivas fases de mínima altura, por segunda vez después de t = 0.

e) Encuentre en qué instante ambos cuerpos pasarán al mismo tiempo por sus respectivas fases de máxima altura, por primera vez después de t = 0.

3. En cierto instante se sueltan simultáneamente los péndulos A y B desde las posiciones indicadas en la figura. El péndulo A efectúa 25 ciclos en 40 [s], mientras que el péndulo B completa 70 ciclos en el tiempo en que A realiza 90 ciclos. Cada vez que ambos pasan simultáneamente por sus posiciones de partida, se produce un destello de color naranja que dura 3,1 [s].

A B

a) Calcule el periodo de cada péndulo. b) ¿Cada cuánto tiempo coinciden ambos péndulos en la posición de partida? c) Calcule el tiempo acumulado en que se emite la luz naranja durante 1,2 [día].

4. Una mosca volando bate sus alas unas 200 veces por segundo y puede volar ininterrumpidamente durante 15 [min], después de los cuales debe descansar durante 3 [min]. a) ¿Cuál es la frecuencia de las alas de la mosca, en [Hz]? b) ¿Cuál es el periodo, en [ms]? c) Si la mosca vive aproximadamente 1 mes y duerme 1/3 del tiempo cada día, calcule aproximadamente el número de veces que la mosca bate sus alas durante toda su vida. Exprese el resultado en notación científica. 5. Una llave está goteando de modo que cada intervalo de tiempo entre dos gotas sucesivas aumenta en un 10% con respecto al intervalo anterior. Si una gota observada cae a las 10:31:27 y la siguiente a las 10:32:07. a) ¿A qué hora cayó la gota anterior a la primera observada? b) ¿A qué hora cayó la gota subsiguiente a la segunda observada? 6. Un corazón normal realiza aproximadamente 75 pulsaciones por minuto. Calcule, aproximadamente, el número total de pulsaciones que habrá efectuado el corazón de una mujer desde que nació hasta que cumpla 20 años el 14 de marzo de 2009.

7. Se desea filmar el crecimiento de una planta durante 50 días, a fin de exhibirlo en una película de 10 minutos de duración que se proyecta a razón de 24 imágenes por segundo. En la película, cada cuadro de imagen tiene una longitud de 15 [mm]. a) Calcule el número de imágenes que tiene la película completa. b) ¿A qué intervalos, en minutos, deberá fotografiarse la planta? c) Calcule el largo de la película completa. 8. El ritmo de trabajo del motor de cierto refrigerador es el siguiente: funciona durante 40[s] y se detiene durante 6 [min]. a) Calcule cuántos ciclos realiza en una hora y en un día. b) Calcule el tiempo de funcionamiento del motor en una hora y en un día. c) Si el refrigerador se diseña para una vida útil de 20 años, ¿para cuánto tiempo de funcionamiento, en [día], se debería diseñar el motor?

Unidad 1: Concepto de Distancia 1. Transforme las siguientes unidades de distancia según se indica en cada caso. a. b. c. d. e. f. g. h. i. j.

1,5 Km en 657 in en 2345 ft en 564 cm en 0,5 Km en 12 mil en 120 nm en 359 m en 4567 km en 2500 nm en

………………… m …………… …… m …………………. Km …………………. m ………………….mm …………………. m …………………..m .………………… mm .………………… mil ………………… cm

2. El diámetro de la ranura de la parte superior de un recipiente metálico es de 1.94 in ¿Cuál debe ser el diámetro en mm de un anillo de empaque diseñado para insertarse en esa ranura? 3. Un galón de pintura blanca es suficiente para marcar 300 m de la línea central de una carretera ¿Cuántos galones de pintura son necesarios para pintar la línea central de un tramo de carretera de 12 km? 2

4. El área de los lentes de un telescopio es 5786 mm 2 a).- ¿Qué área es ésta en pies cuadrados (ft ). 2 b).- Un técnico pule en 45 segundos, 150 mm ¿Cuánto tiempo le lleva pulir todos los lentes? 3

5. El volumen de cierta célula bacteriana es de 1.35 μm . 3 a).- Cuál es el volumen en milímetros cúbicos (mm ). 5 b).- ¿Cuál es el volumen de 10 células en litros (L)?

6. Un matraz Erlenmeyer pesa 141.3 g cuando está vacío. Cuando se llena con agua ( =1.00 g/cm ), el matraz y su contenido pesan 283.2 g. 3

Formula de la densidad:  =m/V a).- ¿Cuál es el volumen del matraz? b).- ¿Cuánto más pesa el matraz cuando se llena con cloroformo ( =1.48 g/cm )? 3

7. La distancia entre dos picos adyacentes de una onda se denomina longitud de onda. La longitud de onda de la luz visible determina su color. La longitud de onda de una radiación de luz verde es 513 nanómetros (nm) ¿Cuál es su longitud de onda en metros?

8. La distancia por carretera ente Valparaíso y Concepción es aproximadamente 639 [km]. Usando las equivalencias: 1[mile] = 5280[ft]; 1[ft] = 12[in]; 1[in] = 2,54[cm], exprese esta distancia en [mile]: a) Transforme usando regla de tres. b) Transforme usando sustitución (factor de conversión). 9. Un barco realiza anualmente un recorrido equivalente a 5 vueltas a la Tierra. Por acción del agua su casco se gasta en 10 [  m ] en cada vuelta. ¿Cuánto tiempo es prudente que funcione el barco, teniendo en cuenta que no es conveniente que su casco reduzca su espesor en más de 4,8[m m ] ? 10. A cierta hora, una varilla de 1,8 metros clavada verticalmente en el suelo produce una sombra de 32 centímetros. A la misma hora, un poste vertical genera una sombra de 1,17 metros. Calcule la altura del poste. Dibuje el diagrama apropiado. 11. Para medir el ancho de un río, una persona se ubica en el punto A, frente al árbol P que está en la otra orilla. A continuación, camina paralelamente a la orilla del río y mide las distancias: AD ≈ 120 metros, DB ≈ 3,5 metros, y además mide la distancia CD ≈ 10,2 metros. Calcule el ancho del río. P

C A

D

B

12. En la escala mostrada en la figura, determine los valores de la variable representada, que se ubican en los extremos E y F, si la escala es: a) lineal. b) de potencias de 2.

20[cm] 8[cm]

4[cm] 2[u]

E

4[u]

F

Unidad II: Sistemas de Medición. Análisis Dimensional. 1.

El momentum o cantidad de movimiento p de un cuerpo de masa m que se mueve con velocidad v, es, por definición, p = m v. Hallar la dimensión física SI y la unidad SI coherente de p.

2.

El peso P de un cuerpo de masa m, en un lugar en donde la aceleración de gravedad es g, es, por definición, P = m g. Hallar la dimensión física SI de P y su unidad SI coherente. Nota: P es presión, m corresponde a la masa.

3. La energía potencial Ep que tiene un cuerpo de peso m·g, que se encuentra a una altura h de la superficie terrestre, es, por definición, Ep = mgh. Hallar la dimensión física SI de Ep y su unidad SI coherente. 4.

La energía cinética Ek que tiene un cuerpo de mas m, que se mueve con una velocidad v, es, por definición, Ek = ½ mv2 . Hallar la dimensión física SI de Ek y su unidad SI coherente.

5. La masa molar M de una substancia química es. por definición, la masa de una cantidad unitaria de la substancia. La ecuación que la define es M = m / n. Hallar la dimensión física SI de M y su unidad SI coherente. 6.

La concentración ci de un soluto i de una disolución, por definición, es la cantidad de soluto i contenido en una cantidad unitaria de volumen de disolución. La ecuación que la define es ci = ni / V. Hallar la dimensión física Si de ci y su unidad SI coherente.

7.

La moralidad bi de un soluto i de una disolución, por definición, es la cantidad de soluto i contenido en una cantidad unitaria de masa de solvente. La ecuación que la define es bi = ni / m1 en donde el subíndice 1 indica al solvente. Hallar la dimensión física SI de bi y su unidad SI coherente.

8. Para una cantidad n de un gas que se comporta idealmente, en un determinado estado de equilibrio termodinámico, los valores del volumen V, de la presión p y de la temperatura termodinámica T, deben satisfacer la ecuación de estado pV = nRT. Hallar la dimensión física SI de R y su unidad SI coherente.

9. Hallar las dimensiones de los parámetros a y b de Van der Waals, en la ecuación de estado

 P  

a n2   V2 

V

 n b   nRT

Ayuda: para que la ecuación sea dimensionalmente correcta, el término an2 / V2 debe tener las dimensiones de P (presión), y el término nb, las dimensiones de V (volumen). 10. La fuerza F entre dos cargas eléctricas Q1 y Q2 en el vacío, separadas una distancia r, viene dada por la ecuación

 1 F    4  O 

  Q1 Q2      r 2  

Hallar la dimensión física SI de la constante εo (permitividad del vacío) y su unidad SI coherente.

Transformación de Unidades: Magnitudes, Prefijos, Notación científica. 11. Transforme las siguientes cantidades. a. 456 mL ………………… L 2 2 ………………… mm b. 50 m c. 39 ºC ………………… K d. 251 K ………………… F e. 457 F ………………… ºC f. 1050 R ………………… ºC g. 45 ºC ………………… R

12. Realice la siguiente conversión de Unidades. a. 42 pies2/hr ……… cm2/s b. 100 Btu ……… hp·hr c. 80 lbf ……... N 13. Expresar las siguientes cantidades en el sistema internacional. a. 6,5 km/h b. 2 g/min c. 5 mm3 h d. 10 g cm/min e. 20 cm2/g f. 10 mm3/cm2 g. 0,5 mg/cm3

h. 20 ton/min i. 30 cm3 g/h

14. El agua hierve a 100ºC transformar dicha temperatura a: a) grados Kelvin, K b) grados Fahrenheit, ºF c) grados Rankin, R 15. A, B y C son tres cantidades físicas cuyas unidades de medida son respectivamente: kg·m/s; kg·m2 y kg·s/m. Determinar la unidad de las siguientes cantidades físicas: a. A·C = b. A/B = c. C·B/A 16. Una cinta transportadora de material en una industria de carbón, mueve 40 kg/m con una rapidez de 0,5 m/s. ¿Cuántos kilogramos de material transportara en 30 min? 17. En un depósito que tiene una capacidad de 3 m3 se vierten dos líquidos A y B, el primero de ellos tiene una densidad de 0,8 g/cm3 y el otro tiene una densidad de 0,9 g/cm3. Si la densidad del líquido resultante es de 0,88 g/cm3. ¿Cuántos m3 de cada líquido se vertieron en el depósito? 18. La densidad del agua es 1 g/cm3. ¿Qué valor tiene en kg/m3? 19. Una hoja de papel tamaño carta mide 21,7 cm x 27,8 cm. El gramaje del papel indica 75 g/m2. Calcule la masa en kilogramos de una resma de papel (500 hojas). 20. Se afirma que durante un día lluvioso cayeron 8 mm de agua. Calcule la cantidad de agua caída en litros y kilogramos en una cancha rectangular de 150 x 70 m. 21. Convertir la constante de gases ideales

R  1,987

cal ( gmol )(º K )

a

Btu (lbmol )(R)

22. 100 libras de agua fluyen por una tubería a razón de 10,0 pies/s ¿Cuánta energía cinética tiene el agua en (pies)(lbf)? Energía cinética = K 

1 2 mv 2

1 lbf = 1lbm*32,17 (pies/s2)

23. ¿Cuánta energía potencial en (pie)(lbf) tiene un tambor de 100lb suspendido 10 pies sobre la superficie de la tierra con referencia a dicha superficie? Energía potencial = mgh 24. Escriba en notación científica los siguientes números: a. 0,000000017896 b. 45763200000000

c. 6400006000132 d. -0,0000480000092 25. Calcule “a mano” el valor aproximado a 1 cifra significativa, y el orden de magnitud de cada una de las expresiones:

a)

3

 7,81106  1,8 102 b)   14  1,12  10 

34586902

   

2

7 4  2,8  10  8  10  d)  1,0563  6  107 

c)

 7,9  107   5 5  1,8  10  4,2  10

e)

  3,38  10  9  10  1,2  10  1  7,3  103  /  9,5  106     12

1/ 3

2



  

2,5  10

1/ 3

   

    8

3  10 3  4  10 3

  

2

26. Exprese las siguientes cantidades usando los prefijos adecuados: a. 2,5  10 8 [s] b. 8  1013 [bytes] c.

5  10 6 [m]

d. 3,2  10 14 [m] 27. Considere las cantidades cuyos valores se indican a continuación:

A  3  10  8

C  0 ,08  10  12

B  0 ,00000081

a) ¿Cuál de ellas tiene mayor orden de magnitud? b) ¿Cuál de las siguientes expresiones, A / B , magnitud?

B / C , C / A , tiene menor orden de

c) Calcule el orden de magnitud de la expresión:

A2  B

Ejercicios de conversión de temperatura 28. Convertir 100ºC a Kelvin, Fahrenheit y Rankine 29. Expresar en kelvin las siguientes temperaturas: a) 0 ºC b) 100 ºC c) -273.15 ºC.

100 AB  C

30. Expresar la temperatura de 42.0 ºC a) en ºF b) en K c) en ºR

31. Expresar la temperatura de 450 ºR a) en ºC b) en ºF c) en K FACTORES UNITARIOS DE CONVERSION DE UNIDADES. 32. En los ejercicios propuestos utilice los correspondientes factores unitarios de conversión de unidades. a) Expresar en metros la altura de 30.000 ft b) Expresar en libras la masa de 500 g c) Expresar en kilogramos la masa de 140 lb d) Expresar en atm la presión de 720 mmHg e) Expresar en metros la longitud de 45.0 in f)

Expresar en m/s la velocidad de 90 km/h

g) Expresar en kg/m3 la densidad de 1.420 g/dm3 h) Expresar en milibares la presión de 755.5 mmHg i)

Expresar en kWh la energía de 842 kJ

j)

Expresar en Psi la presión de 750 mmHg

k)

La velocidad del sonido en el aire es de 340.0 m/s. Expresar esta velocidad en i) km/h ii) ft/s iii) mile/h

l)

Expresar en nanometros la longitud de onda de 5 680 Å.

m)

Expresar en pascales la presión de 0.010 mmHg.

n) Expresar en megajoule la energía de 100 kWh o) Expresar la presión de 100 kPa en atm y en mmHg p) Expresar en kilojoule la energía de 212 kcal. PREFIJOS “SI” a)

33. Expresar las siguientes cantidades en las adecuadas unidades SI prefijadas. F = 4.5 x 10-8 N

b)

W = 2.1 x 10-7 J

c)

F = 2.5 dyn

d)

F = 42 x 105 N

e)

n = 0.002 5 mol

f)

V = 3.1 x 10-5 m3

g)

l = 5.60 x 10-5 cm

h)

n = 0.034 8 mmol

i)

n = 0.000 008 25 mol

j)

n = 84 900 mol

k)

A = 14 500 mm2

l)

A = 0.000 25 m2 34. Expresar las siguientes cantidades, en la correspondiente unidad SI coherente, reemplazando los prefijos SI por los correspondientes factores exponenciales. a) l = 3.0 x 104 μm b) m = 47.1 mg c) A = 9.74 cm2 d) υ = 431 ps-1 e) υ = 823 ns-1 f) W = 3.42 kJ g) m = 3.1 x 102 g h) V = 150 mm3 i) V = 4.52 x 104 cm3

j) n = 3.56 μmol k) n = 2.43 x 103 mmol l) A = 3.5 x 105 cm2

Cifras Significativas y Cálculo de Error 1. Los siguientes valores corresponden a los datos, en centímetros, obtenidos al medir 9 veces la longitud de una raqueta de tenis, usando una huincha métrica, graduada “al milímetro”. 73,27

73,26

73,28

73,26

73,25

73,27

73,28

a)

Estime el error instrumental de la huincha métrica.

b)

Estime el error aleatorio de esta serie de mediciones.

73,25

73,26

c) Informe el resultado de esta medición, usando el número adecuado de cifras significativas, e indicando el error experimental. 2. Se desea medir el espesor de una placa de vidrio ya instalada en una ventana, usando como único instrumento de medición una regla. ¿Cómo podría hacerlo? ¿Qué errores experimentales estarían presentes?

L  80,44  0,06 cm  . Se

3. La medición del largo de una varilla se informa como : hicieron 8 mediciones, pero sólo se informan las seis siguientes, en centímetros: 80,41

80,43

80,42

80,47

80,45

80,44.

a)

Indique el promedio y la desviación estándar de las 8 mediciones.

b)

Calcule el error porcentual del primero y del cuarto de los valores dados.

c)

Calcule el valor de las 2 mediciones desconocidas.

4. Se ha medido que la terraza de un edificio en construcción está a 52,20 [m] sobre el nivel del suelo. Sobre la terraza se ha colocado una capa de mortero (mezcla para emparejar la losa) de 2,2[cm] de espesor. Sobre el mortero se instaló cerámica de 12,4[mm] de espesor. Finalmente, sobre la cerámica, se colocó una capa de vitrificado de 1,12 [mm] de espesor. Calcule la altura total de la cara superior de la capa de vitrificado sobre el nivel del suelo, expresando el resultado con el número correcto de cifras significativas. 5. Si en el informe del tiempo se dice: “La temperatura máxima del día de hoy fue de 19,2[°C], y se registraron 24,1 [mm] de precipitaciones en las últimas 24 horas”. a) ¿Cuál es la resolución de los instrumentos utilizados para medir ambos fenómenos? b) Aproximadamente: ¿cuántos litros de agua cayeron en las últimas 24 horas sobre una cancha de fútbol de 100 [m] de largo por 60 [m] de ancho?

6. Un topógrafo mide las dimensiones de un terreno, obteniendo: largo = 212,3 [m]; ancho = 33,13 [m]. Escriba la longitud del cerco que se deberá construir para cerrarlo completamente y el área del terreno, usando el número adecuado de cifras significativas. 7. Para medir una cantidad G, se realizan 20 mediciones un día dado, y 50 mediciones al día siguiente. Cada día se calcula el promedio y la desviación estándar correspondientes a las mediciones realizadas ese día, obteniéndose: Primer día: G1 = 8,7 [] y 1 = 0,3 [] Segundo día: G2 = 8,7 [] y 2 = 0,1 [] Determine el promedio y la desviación estándar del conjunto de 70 mediciones. 8. Al estudiar el tiempo de vaciado de un estanque a partir de un mismo nivel inicial, se obtuvieron los siguientes valores, en [s]: 11,5 12,0 11,8 11,5 11,3 11,8 11,5 11,8 t vaciado [ s ] : 11,3 11,5 a) Dibuje un histograma de los datos, a intervalos de tiempos de vaciado de 0,2[s]. b) Calcule el error porcentual de la medición 12,0 [s] respecto al promedio. c) Calcule el promedio y la desviación estándar del conjunto de mediciones. 9. Se han efectuado tres mediciones de cierta cantidad física F. La primera dio el valor F1 = 1,3 [a]. El error porcentual de la segunda respecto al promedio resultó ser 20%. El promedio de ellas coincidió con la tercera medición. Informe del resultado de estas mediciones (en términos de valor medio y desviación estándar), con el número correcto de cifras. 10. Se realizan siete mediciones del largo de un objeto y se ordenan de menor a mayor: L1 < L2 < L3    L6 < L7. Luego de analizarlas, se observa que las mediciones están distribuidas simétricamente en torno al valor medio y, además, que la diferencia entre cada par de mediciones vecinas (de acuerdo al ordenamiento indicado) es constante, tal que Li1  Li  d . Calcule qué porcentaje de las mediciones están ubicadas en el rango que va desde L -  hasta L +

.

11. Calcule el largo mínimo, en metros, que debe tener una barra, si se desea cortar de ella 17 trozos de 2,40 [ft] y 26 trozos de 3,6 [cm]. Considere que en cada corte se pierde un largo de 1[mm] de material. 12. En un proceso de fabricación de bolas de acero se ha medido el diámetro de 100 especímenes, usando un instrumento graduado al milímetro, obteniéndose los siguientes resultados: Suma de los 100 diámetros ≈ 153,25 [cm] Suma de los cuadrados de los errores ≈ 0,49 [cm2] De las siguientes expresiones: a) 1,5325[cm]

b) (1,5325 ± 0,49) [cm] c) (1,53 ± 0,05) [cm]

d) (1,53 ± 0,07) [cm]

¿Cuál es la que mejor representa el diámetro de las bolas de la muestra?

Unidad III: Física Vectores y Trigonometría Trigonometría, calculo y representación basica 1.

2.

En cada caso, encuentre los valores de  en las restantes funciones trigonométricas si: 1 a) cos  = ;  no está en Q I. 7 b)

tan  =  5;  no está en Q IV.

c)

sen  =

d)

cos  = 

e)

tan  =

f)

sen  = 

5 ; tan  < 0. 13

g)

cos  = 

40 ; sen  > 0. 41

h)

tan  = 

24 ; sen  < 0. 7

7 ;  no está en Q II. 8 3 ;  no está en Q II. 4

15 ; cos  > 0. 8

En el círculo de la figura el radio r mide 1[u], siendo [u] una unidad de longitud. Los

trazos mostrados en la figura miden respectivamente: x[u], y[u], y’[u], y el arco que subtiende el ángulo  mide s[u]. r



y s

y’

x

a)

Demuestre que los números de medición pueden escribirse como:

b)

Gráficamente muestre que para ángulos muy pequeños, se cumple que cos   1 sen    tan  y

x  cos 

y  sen

s

y '  tan 

3.

Usando funciones trigonométricas, siguientes triángulos.

determine el valor de x e y en los

12 [cm] 53°

40°

40 [cm] y

y

y

x

12[cm]

30°

x

x

4.

En el triángulo ABC, CD es la altura del triángulo, BC = 10 [cm] y AB = 16 [cm]. a) Determine el área achurada de la figura. b) Calcule el ángulo. C

A

5.



30° D

B

Un método indirecto para medir la altura h de una montaña es sugerido en la figura: se miden la distancia horizontal  (que es accesible), y los ángulos  y  . a) Usando funciones trigonométricas, encuentre una expresión para la altura h en función de las cantidades medidas. b) Suponga que en una medición la distancia  es 1,2[km] y los ángulos medidos fueron  ≈ 4,5° y  ≈ 5,3°. Calcule la altura h y la distancia BC.

h A







B

C

Vectores representación gráfica, suma y resta vectorial 6.

Identifique si las siguientes cantidades son escalares o vectores. Explique en cada caso el criterio que usó para discriminar. a) Tiempo b) Fuerza c) Masa d) Volumen e) Velocidad f) Aceleración g) Temperatura h) Presión i) Densidad j) Momentum lineal k) Desplazamiento

l) 7.

Distancia recorrida





Dados los siguientes vectores: a   2 iˆ  3 ˆj  kˆ ; b  4 iˆ  3 ˆj  3 kˆ y

 c   jˆ  4 kˆ .

Determinar:

  a b    b) a  3 b  2 c    c) ( a  2 b )  3 c    d)  ( 4 b  3 c )  2 b a)

   f) El ángulo entre los vectores: 3b y  2c

e) El ángulo que forma el vector a con cada uno de los ejes coordenados.

8.

Hallar las componentes rectangulares del vector a = 5u, en la dirección 30ª respecto al semieje positivo de las x.

9.

Sumar los vectores a y b de la siguiente figura

10.

Tres personas tiran de un cuerpo al mismo tiempo aplicando las siguientes fuerzas: F1 = 5N al Sur. F2 = 10N 30º al Sur-Este y F3 = 7N 45º al Nor-Este. Calcular por medio de componentes rectangulares, la fuerza resultante y la dirección a donde se mueve.

11.

Un vector M de magnitud 15 unidades, y otro vector N de magnitud 10 unidades se encuentran formando un ángulo de 60º. Encontrar el producto escalar y el producto vectorial. Sol: PE = 75 unidades y PV = 129,9 unidades.

12.

Cuatro vectores fuerzas coplanarios están aplicadas a un cuerpo en un punto 0, como lo indica la figura. Hallar gráficamente su resultante.

13.

Dados los vectores A (2,4,-2); B (-1,3,2), determina: a. Expresa dichos vectores en función de sus componentes rectangulares. b. Determina el vector suma y su módulo. c. Calcula el vector V= 2A-B y su módulo.

14.

Dados los vectores: A (2,-1,2) B (4,0,-2) C (0,0,1) a) Expresa dichos vectores en sus componentes cartesianas. b) Determina el vector D= A +1/2 B –C. c) Efectúa el producto escalar de A y B.

15.

16.

Dados los vectores A(3,0,-1) y B(0,-2,0) determina: d. El producto escalar e. El producto vectorial.







Dados los vectores: a = 4ˆi - 3jˆ , b = 2ˆi + 4jˆ y c = ˆi - ˆj , escriba los vectores:

  



     d = a + b - 2 c y e , tal que 2a - 3 b - e = 0,5c .

en función de ˆi y ˆj . Para cada uno calcule la magnitud y el ángulo que forma con el eje +x. 3.

a

Dados los vectores: = 2,0 i + 1,5 j



b = 1,2 i + 0,9 j

c

= 0,9 i + 1,2 j



d = 2,4 i + 1,8 j

a) Determine cuáles de ellos tienen iguales magnitudes, y cuáles tienen las mismas direcciones.



b)

Encuentre un vector unitario en la dirección de a .

c)

Encuentre un vector unitario en la dirección de b – c .

 

4. Dados los vectores a = 3 i + 4 j y b = 4 i + 3 j , represente gráficamente cada vector. Represente gráficamente los vectores a+b y a-b , y determine el valor numérico de la expresión:

      ab – ab + a + b . 17.

Exprese los vectores A, B, C , D y E en términos de los vectores unitarios. En la figura cada cuadrado es una unidad. A B

C

D

E

18. Dados A(5,3,4) y B=6i-j+2k, calcular: a) su producto escalar b) el ángulo que forman c) los cosenos directores del vector B.

19.

Se define el vector velocidad de un cuerpo como un vector que tiene la dirección y sentido del movimiento, y magnitud igual a la rapidez del cuerpo. Considere el vector velocidad de cada uno de los cuerpos mencionados a continuación:

 Una gota de lluvia cayendo verticalmente a 20[km/h].  Una persona sobre un peldaño de una escalera mecánica, que se mueve a 0,6[m/s], en un ángulo de 30° con la horizontal.  Un avión volando horizontalmente a 300[km/h], a diez mil pies sobre el suelo, y en dirección 30° al Este del Norte (N30°E). Para cada uno de los cuerpos mencionados: a) Escoja un símbolo para anotar el vector velocidad. b) Describa el vector en el formato: {magnitud [unidad], dirección y sentido}. c) Represente gráficamente cada vector, indicando en cada caso la escala escogida. (Por ejemplo: ancho de un cuadro de cuaderno equivale a 100[km/h]). 20.

En un parque nacional, para llegar a la casa B del guardabosque se debe caminar 700 metros desde la entrada A, en dirección norte. Desde la casa del guardabosque hay que caminar 1200 metros en dirección noreste (N45°E) para llegar a la guarida C de un oso. a) Usando el cuadriculado de una hoja de cuaderno de matemáticas, defina una



escala de distancias adecuada para representar los desplazamientos dAB y



 

 

dBC . Usando esta escala dibuje los vectores desplazamiento dAB y dBC .



b) Gráficamente encuentre el vector desplazamiento neto dAC  dAB  dBC .

c) Usando los teoremas del seno y del coseno, calcule la magnitud y dirección del



vector desplazamiento neto dAC .

21.





En la figura, la magnitud de la fuerza F4 es F4  10[N] . Los otros vectores están

  

dibujados usando la misma escala.

a) Mida los largos de los vectores F1 , F2 y F3 representados en la figura y calcule la magnitud de cada uno. b) Escriba cada vector en la forma: {magnitud, dirección y sentido}. c) Usando la regla del triángulo, dibuje el vector suma de los cuatro vectores, y a partir del gráfico encuentre su magnitud, dirección y sentido. Ayuda: Para dibujar ángulos aproximados en papel cuadriculado use los diagramas dados en la figura al costado.

≈ 53° ≈ 60°



N

F2

E

30º



F1 22.



F3

53º

45º



F4

Una lancha a motor es capaz de moverse con una rapidez de 16[km/h] con respecto al agua donde navega. Se transporta la lancha a un río navegable, en que el agua se mueve con rapidez constante de 12[km/h] con respecto a la orilla. Se define el vector velocidad de la lancha respecto a la orilla como:



VLancha respecto a la orilla



 VLancha respecto del agua





VAgua respecto a la orilla

a) Usando el cuadriculado de una hoja de cuaderno de matemáticas, defina una escala de rapideces adecuada para representar los vectores velocidad en este problema. b) Determine gráficamente el vector velocidad de la lancha respecto a la orilla, y calcule a partir del gráfico la magnitud, la dirección y el sentido, en cada uno de los casos descritos a continuación,  Cuando la lancha navega contra la corriente.  Cuando la lancha navega a favor de la corriente.  Si el capitán de la lancha apunta la proa de la lancha en dirección perpendicular a la orilla.  Navegando de modo tal, que avance perpendicular a la orilla. ¿Cómo debe orientarse la proa de la lancha en este caso?

Unidad V: Propiedades Físicas 1. En la figura adjunta, el lado del cuadrado exterior varía con el tiempo según la expresión a = 8 + 3t 2, en donde a está en [cm], y el tiempo en [s]. El lado b del cuadrado interior varía con el tiempo según la tabla siguiente: t[s]

1

2

5

6

b[cm]

10

15

30

60

a

b

a) ¿Cuáles son las unidades de las constantes 8 y 3? b) Calcule la rapidez media de cambio del área achurada, entre los instantes 2[s] y 6[s]. c) Con la información disponible, ¿es posible calcular la rapidez media de cambio del área achurada, entre los instantes 2[s] y 4[s]? 2. Un “pantógrafo” está formado por cuatro varillas de igual largo L, conectadas por pasadores. Uno de los pasadores está fijo, y el que está en el vértice opuesto desciende con rapidez constante v, de modo que la distancia entre ellos varía con el tiempo según: L

s = 2L – vt . s

pasador fijo

Determine la rapidez media de cambio del área del rombo formado por las varillas, entre el instante en que s = L , y el instante t = 2L v . 3. El radio R de un globo esférico varía con el tiempo, siendo igual a 20 [cm] en t = 0. La rapidez media de cambio v R del radio se muestra en el gráfico adjunto, para los dos intervalos de tiempo indicados. Se ha determinado que la rapidez media de cambio del área del globo, en el intervalo entre t = 0 y 3T es igual a 80  [cm2 / s] . a) Calcule el valor de T b) Haga un gráfico de R en función del tiempo. 20

vR [cm / s]

T

0



T

3T

t [s]

20 T

4. Un vehículo se mueve a lo largo de un camino recto. La distancia recorrida, medida por el cuenta-kilómetros del vehículo, varía con el tiempo según el gráfico adjunto.

Distancia recorrida [m] 800 600 400 200 0 0

20

40

60

80

100

120

140

160

Tiempo [segundos]

a)

Explique por qué el gráfico es una curva, siendo que el camino es recto.

b) Describa en palabras el movimiento del vehículo, estableciendo cuándo el movimiento es más rápido, y cuando la rapidez cambia más rápidamente. c) Explique en palabras cómo puede obtener a partir de este gráfico: la rapidez media v entre dos instantes dados, la rapidez instantánea v en un instante dado, y la aceleración media a entre dos instantes dados. d)

¿Puede la rapidez ser negativa? Fundamente su respuesta.

e)

Calcule la rapidez media del vehículo en el intervalo entre 0 y 160[s].

f) ¿Existe algún intervalo de tiempo para el cual la rapidez del vehículo sea constante? Si su respuesta es NO, explique cómo llegó a esta conclusión. Si su respuesta es SÍ, encuentre dicho intervalo. g) Calcule aproximadamente la rapidez instantánea v del cuerpo en t = 80[s]. Compare este valor con la rapidez media entre 0 y 80[s]. h)

¿En qué instantes o intervalos de tiempo es cero la rapidez del vehículo?

i) Calcule la aceleración media para los siguientes intervalos de tiempo: entre 0 y 50[s], y entre 50[s] y 120[s]. ¿Qué relación existe entre el signo de la aceleración y el movimiento del vehículo? j)

Haga un gráfico cualitativo de la rapidez instantánea en función del tiempo. 5. Un tren recorre 300[km] en cierto intervalo de tiempo, y en otra ocasión recorre la misma distancia en 30[min] más, por haber disminuido su rapidez media en un 10%. a. Calcule el tiempo empleado en el primer viaje. b. Calcule la rapidez media en el segundo viaje. 6. Una niña demora 30 segundos en subir caminando por los peldaños de una escala mecánica detenida. En cambio, cuando la escala está en movimiento hacia arriba y además la niña camina hacia arriba por los peldaños, demora sólo 10 segundos en subir la escala. Suponga que la niña siempre camina por los peldaños con la misma rapidez constante. ¿Cuánto demoraría la niña en subir si se queda parada sobre un peldaño de la escala en movimiento? 7. Suponga que un camión sale al mediodía desde Santiago hacia el sur, manteniendo una rapidez constante de 50[km/h]. Un automóvil sale de Concepción a las 13:00

horas y viaja hacia el norte con rapidez constante de 100[km/h]. La distancia por carretera entre Santiago y Concepción es aproximadamente 500[km]. a. Represente, en un mismo gráfico, la distancia a Santiago de cada vehículo en función del tiempo, para el intervalo de tiempo entre el mediodía y el instante en que uno de los dos llega a su destino. b. Usando el gráfico construido:  Identifique el punto en que los dos vehículos se cruzan, y determine a qué hora y a qué distancia de Santiago ocurrió el cruce.  ¿Qué distancia recorrió cada vehículo desde que salió hasta que se cruzaron?  ¿A qué hora llega el camión a Concepción, y el automóvil a Santiago?  ¿A qué distancia de su destino se encontraba uno de los móviles en el instante en que el otro llegaba a su destino?  ¿A qué hora(s) el camión estaba a 150[km] del automóvil? 8. Un camión sale de Santiago a las 13:00 horas hacia el sur manteniendo una rapidez constante de 72 [km/h]. A las 14:30 horas, un automóvil sale de Santiago también hacia el sur, manteniendo una rapidez constante de 108[km/h]. a) Encuentre expresiones algebraicas para la distancia a Santiago de cada vehículo, en función del tiempo t. Indique el rango de validez de estas ecuaciones, si ambos vehículos viajan a Concepción, ubicado aproximadamente a 500 kilómetros de Santiago. b) En cierto instante el automóvil alcanza al camión. Usando las expresiones halladas ¿qué condición debe cumplirse en ese instante? c) Use la condición de la pregunta anterior para calcular a qué hora y a qué distancia de Santiago el automóvil alcanza al camión. 9. Un objeto se mueve en línea recta. Su rapidez instantánea v varía con el tiempo de acuerdo al gráfico adjunto. Rapidez [m/s] 4 3 2 1 0 0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

Tiempo [s]

a. Describa el movimiento del cuerpo en el intervalo mostrado: diga cuándo va más rápido, y cuando su rapidez cambia más rápidamente. (Observe en particular el instante en que v = 0). b. Calcule la aceleración de cuerpo en cada intervalo de tiempo. c. Calcule la distancia recorrida por el cuerpo en cada intervalo de tiempo.

d. Escriba una expresión algebraica para la distancia recorrida desde t=0, hasta un instante cualquiera t. Tome en cuenta que la aceleración no es la misma en diferentes intervalos de tiempo.