POLIEDROS Y VOLUMEN

el número total de caras del poliedro.

POLIEDRO: Cuerpo limitado por cuatro o más polígonos donde cada polígono se denomina cara, sus lados son aristas y la intersección de las aristas se llaman vértices.

POLIEDROS IRREGULARES:  

PRISMA: Poliedro limitado por paralelogramos (caras laterales del prisma) y dos polígonos congruentes cuyos planos son paralelos (bases del prisma). ÁNGULO DIEDRO: Es el ángulo formado por dos semiplanos, que tienen una arista común y su medida es el ángulo rectilíneo formado por dos rectas perpendiculares a la arista en un mismo punto.

No tienen todas sus caras congruentes. Se clasifican en:  Prismas  Pirámides

1. PRISMA: · Tiene dos polígonos iguales de base y varios paralelogramos como caras laterales. · A = Área lateral · 2 Área basal · V = Área basal · h

2. PIRAMIDE: · Tiene una base que es un polígono y las caras laterales son triángulos que tienen un vértice en común también llamado cúspide. · A = Área basal

· V = Área basal · h 3

POLIEDROS REGULARES:  Sus caras son polígonos regulares congruentes entre sí.  Son cinco:

d. Hexaedro o cubo: Tiene 6 caras (cuadrados), 8 vértices, 12 aristas, 4 diagonales congruentes.

ap 2

h

p a

b. Octaedro: Tiene 8 caras (triángulos equiláteros), 6 vértices, 12 aristas. Son dos pirámides unidas por su base común. a. Tetraedro: Tiene 4 caras (triángulos equiláteros), 4 vértices, 6 aristas.

 (nº de caras)  Área lateral

c. Icosaedro: Tiene 20 caras (triángulos equiláteros), 12 vértices, 30 aristas. Para calcular su área se debe multiplicar el área de una de sus caras por

e. Dodecaedro: tiene 12 caras (pentágonos regulares), 20 vértices, 30 aristas.

CUERPOS REDONDOS:  Están limitados por superficies curvas o curvas y planas juntas.  Los principales son:  Cilindro  Cono  Esfera A. CILINDRO: · Se forma al hacer girar un rectángulo en torno a un eje que puede ser cualquiera de sus lados. · A = 2 π r (h + r) · V = π r2 · h

r

h

B. CONO: · Se forma al hacer girar un triángulo rectángulo en torno a un eje situado sobre uno de sus catetos. · A = π r (g + r)

π  r 2h ·V = 3

EJEMPLO PSU-1: En un motor la relación entre el volumen V del cilindro, el diámetro D del pistón y la longitud L del desplazamiento de ese pistón es:

h

g

r C. ESFERA: · Se forma al hacer girar una semicircunferencia en torno a su diámetro. · A = 4 π r2 ·V =

4 π r3 3

CUERPOS GENERADOS POR ROTACIÓN O TRASLACIÓN DE FIGURAS PLANAS CUERPOS DE REVOLUCIÓN Los cuerpos de revolución se obtienen haciendo girar una superficie plana alrededor de un eje

TRASLACIÓN: Se generan por traslación de una superficie plana:

V  0,79  D 2  L

Si el

diámetro es 10 cm y la longitud del desplazamiento también es 10 cm, ¿cuál es el volumen del cilindro? A) 7.900 cm3 B) 790 cm3 C) 79 cm3 D) 7,9 cm3 E) 0,79 cm3 EJEMPLO PSU-2: Un cuadrado de lado 2 metros, se traslada 2 metros, apoyado sobre uno de sus lados en un plano perpendicular a él, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado? A) 4 m3 B) 6 m3 C) 8 m3 D) 16 m3 E) 24 m3

EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál es el volumen del cilindro que se genera al rotar indefinidamente el rectángulo ABCD de la figura, en torno al lado BC ? A) 30 cm3 B) 45 cm3 C) 75 cm3 D) 180 cm3 E) 300 cm3 EJEMPLO PSU-4: La figura es un cubo. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)? I) Las rectas AD' y BC' son paralelas. II) Las rectas A'B y DC' son paralelas. III) Las rectas A'D y BC' no se intersectan. A) Sólo I B) Sólo III C) Sólo I y II D) Sólo I y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-5: En la figura se tiene un cuarto de círculo de centro O. Se hace rotar la figura indefinidamente en torno al eje. Si r= 3 cm, entonces el volumen del cuerpo geométrico que se genera es A) 9  cm3

27 B)  cm3 2

EJEMPLO PSU-9: Se desea forrar una caja cúbica de arista a. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa la superficie a cubrir? A) 12a B) 6a

2

2

2

C) a

2

C) 36  cm3 D) 27 cm3 E) 18 cm3

D) 4a

EJEMPLO PSU-6: Un cuadrado de lado “a” se hace girar, indefinidamente, en torno de uno de sus lados. El área de la superficie lateral del cuerpo generado es

EJEMPLO PSU-10: Si el trapecio de la figura y su simétrico respecto al eje x se giran en forma indefinida en torno al eje y, ¿cuál de las siguientes opciones representa mejor el cuerpo generado?

A ) 2a 2

B) 2 πa 2

E) 8a

2

C ) 6a 2 D ) πa 2 E ) 4a 2 EJEMPLO PSU-7: En una caja cilíndrica caben tres esferas, cada una de radio r, una encima de otra. El volumen no ocupado por las esferas es:

A) πr3 B) 2πr3 C) 3πr3 D) 4πr3 4 E) πr3 3

EJEMPLO PSU-8: El triángulo ABC de la figura tiene sus vértices ubicados en las coordenadas A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0) y C = (0, 0, 1). Su área y su perímetro miden, respectivamente,

1 2 y3 2 2 1 B) 3 y 2 2 C) 3 y 3 2 1 D) 3 y3 2 2 1 E) 2 y 2 2

A)

EJEMPLO PSU-11: Se tiene un cubo de madera al cual se le hizo una perforación cilíndrica en el centro, como se muestra en la figura. Si la arista del cubo mide 8 cm y el radio del cilindro mide 2 cm, el volumen del cubo perforado, en cm 3, es A) 512 - 32 B) 512 - 16 C) 512 - 128 D) 256 - 32 E) 480

EJEMPLO PSU-12: En la figura se muestra el cubo de arista a. El triángulo EBD es: A) equilátero B) isósceles no equilátero C) isósceles rectángulo D) rectángulo en D E) rectángulo en B

EJEMPLO PSU-16. La diagonal mayor de un rombo mide 2x y la menor mide 2y. ¿Cuál es el volumen del cuerpo generado al rotar el rombo sobre la diagonal mayor? A) 8xy 2 π

2 xy 2 π 3 1 C) x 2 y 2 π 3 2 D) x 2 yπ 3 4 E) xyπ 3 B)

EJEMPLO PSU-13: La pirámide de la figura, está compuesta de: A) 7 caras, 12 aristas y 6 vértices B) 6 caras, 12 aristas y 6 vértices C) 7 caras, 7 aristas y 7 vértices D) 6 caras, 7 aristas y 6 vértices E) 7 caras, 12 aristas y 7 vértices

DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA: DIVISION INTERIOR: Un punto P perteneciente a un trazo AB lo divide en la razón m : n, si AP : PB = m : n

AP m  PB n

EJEMPLO PSU-14: En la figura, el prisma recto tiene una altura de 3 m y la base es un hexágono regular de lado volumen es:

2 m. Su

DIVISION EXTERIOR: Dividir exteriormente el segmento AB en la razón m : n , significa encontrar en el exterior del trazo AB (en su prolongación), un punto Q

A) 3 m 3 B) 9 m 3 C ) 18 m

3 m

3

D) 3 3 m

3

E) 6 3 m

3

EJEMPLO PSU-15. La cara lateral de un paralelepípedo de base cuadrada coincide completamente con la cara lateral de un prisma regular de base pentagonal, como muestra la figura. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es (son) verdaderas. I) Las caras laterales de los prismas son paralelas II) El área de cada cara lateral es igual en ambos prismas III) a = 18º A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) II y III E) I, II y III

tal que:

2 m

AQ m  QB n

m

n

Q

A

m B

n

A

B

Q

DIVISION ARMONICA: Dividir armónicamente el trazo AB en la razón m: n , significa dividirlo interiormente (punto P) y exteriormente (punto Q) en una misma razón dada, tal que:

m A

P

B

AP AQ m   PB QB n

n Q

DIVISIÓN ÁUREA O DIVINA Dividir un trazo en sección áurea o divina, consiste en dividirlo en dos segmentos, de modo que la razón entre el trazo entero y el segmento mayor sea igual a la razón entre el segmento mayor y el menor.

AB AP  (AP  PB ) AP PB AB OBSERVACIÓN: La razón se denomina RAZÓN ÁUREA, y su valor es el NÚMERO AP ÁUREO

AB 5 1   1,618034 2 AP

EJEMPLO PSU-1: Un segmento está dividido interiormente en la razón 1: 3: 5 y la medida del segmento mayor es 75 cm. ¿Cuál es la longitud del segmento del medio? A) 45 cm B) 15 cm C) 60 cm D) 25 cm E) No se puede determinar. EJEMPLO PSU-2: En la figura el punto Q divide al segmento PR en la razón 2: 5. Si QR mide 20, entonces ¿cuánto mide PR ? A) 8 B) 28 C) 50 D) 70 E) Ninguno de los valores anteriores. EJEMPLO PSU-3: ¿Cuál(es) de los siguientes segmentos AB está(n) dividido(s) por el punto P en la razón 2:3? A) Sólo III B) Solo I y II C) Solo I y III D) Solo II y III E) I, II y III

EJEMPLO PSU-4: En la figura, C es punto medio del segmento AD y el segmento BC duplica al segmento AB. El segmento AB es al segmento BD como A) 1: 2 B) 1: 3 C) 1: 4 D) 1: 5 E) 1: 6 EJEMPLO PSU-5. En la figura,

AB BC



1 . ¿Cuánto mide el segmento BC ? 3

A) 3 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10 EJEMPLO PSU-6. Se ubicará una estación de gasolina P entre las ciudades M y N, que distan 60 km entre ellas, de modo que las distancias de las ciudades a la gasolinera estén en la proporción MP: PN = 2: 3. Si la estación de gasolina estará en línea recta con las ciudades M y N, ¿a qué distancia de la ciudad M quedará ubicada la estación de gasolina? A) A 12 Km B) A 24 Km C) A 30 Km D) A 36 Km E) A 48 Km