Vicerrectoría Académica Dirección de Servicios Académicos Subdirección de Servicios a Escuelas

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Sigla Curso Créditos

MAT330

10

Nombre Curso

Hrs. Semestrales Totales

Escuela o Programa Transversal Carrera/s

Cálculo I 5

Requisitos

MAT200 o MAT2001

Programa de Matemática Todas

Fecha Actualización

Currículum N°

APRENDIZAJE(S) ESPERADO(S)       

Reconoce los diferentes tipos de funciones elementales, sus gráficas y componentes. Describe el dominio y recorrido de funciones polinomiales, racionales, radicales, logarítmicas y exponenciales. Identifica la pre-imagen y la imagen de funciones elementales. Calcula imágenes de funciones polinomiales, racionales y radicales. Calcula pre-imágenes de funciones lineales. Dibuja gráficos de funciones elementales. Resuelve problemas de fenómenos modelados con funciones polinomiales.

NOMBRE DE LA ACTIVIDAD

Modalidad

Concepto de función y aplicaciones de la función lineal

□ Presencial □ No Presencial

Duración de la actividad (horas):

Recursos de información:

__________________________

□ Impreso

Forma de trabajo:

___________________________________________

□ Individual

□ Tecnológico

□ Grupal

___________________________________________

-

□ Informático

Tamaño del grupo:

□ 2 □ 3-5

□ 6-8

□ +8

___________________________________________

Lugar: □ Sala de clases

Material de apoyo para la actividad:

□ Laboratorio (especifique)_____________ □ Taller (especifique)_____________ □ Terreno (especifique)_____________ □ Otros (especifique)_____________

DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD Secuencia didáctica - roles de estudiantes y docentes - criterios de evaluación

1

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I

Concepto de Función, Preimagen e Imagen

FUNCIÓN Una función f es una regla de correspondencia, que asocia a cada objeto x (preimagen) de un conjunto denominado Dominio, con un solo valor f(x) (imagen) de un segundo conjunto denominado Recorrido.

Las funciones se pueden representar en forma algebraica y a través de gráficos. Ejemplo La función cúbica se puede representar: Forma algebraica f ( x )  x

3

Forma gráfica

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1.

Una compañía de seguros, examinó el registro de un grupo de individuos hospitalizados por una enfermedad en particular. Se encontró que la proporción total de quienes habían sido dados en alta al final de t días de hospitalización, está dada por

pt  , donde:

 300  p(t )  1     300  t 

3

a) ¿Qué proporción de individuos han sido dados de alta al comienzo de la hospitalización? b) ¿Cuál es el porcentaje de individuos que han sido dados de alta al final del día 100? c) ¿Cuántos individuos han sido dados de alta al final del día 300, si la compañía examinó a un total de 800 personas?

2.

La altura promedio H , en centímetros de un niño de A años de edad se puede estimar mediante la función H(A)  6,5  A  50 . a) ¿Cuál es la altura promedio de los niños a los 8 años? b) ¿Cuál es la altura promedio de los niños a los 6 años? c) ¿Cuál es la altura promedio de los recién nacidos?

3.

Suponga que

t horas después de la medianoche, la temperatura en Santiago era

1 C (t )   t 2  4t  10 grados Celsius. 6 a) ¿Cuál era la temperatura a las 5 p.m.? b) ¿Cuánto aumentó o disminuyó la temperatura entre las 9:00 a.m. y las 09:00 p.m.?

4.

Las ventas anuales estimadas, en dólares, para un nuevo año de una empresa de calzado, están dadas por la función v(t)  180.000  6.000  t , donde t representa el tiempo medido en años a partir del año 2000. a) Determinar las ventas anuales para el año 2010. b) Determinar las ventas anuales para el año 2015.

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II

Función Lineal

FUNCIÓN LINEAL

Una función lineal es de la forma: f ( x)  a  x  b , donde

a y b son números reales y

a  0. La gráfica de la función lineal pendiente de la recta y

f , es una línea recta en donde el número a es la

b es el coeficiente de posición.

a  0 la función recibe el nombre de función constante y su gráfica corresponde a una recta paralela al eje x que corta al eje y en b . Si

5.

Una empresa que fabrica cintas de audio, estima que el costo C (en dólares) al producir

x cintas es una función de la forma: C x   20  x  100 .

a) Calcule el costo al producir 50 cintas de audio. b) Si el costo es US$1.900, ¿cuántas cintas de audio se produjeron? c) ¿Cuál es el dominio de la función costo para que tenga sentido dentro del contexto? 6.

El precio en pesos de un computador está dado por la función:

x   Px   240.000  1    60.000 , donde x se mide en meses.  48  a) ¿Cuál es el precio inicial del computador? b) ¿En qué momento el precio del computador es la mitad de su precio inicial? c) ¿Cuál es el dominio de la función precio para que tenga sentido dentro del contexto? 7.

El crecimiento de un feto de más de 12 semanas de gestación se calcula mediante la función L t  1,53  t  6,7 , donde L es la longitud (en cm) y t es el



tiempo (en semanas). Calcula la edad de un feto cuya longitud es 28,49 centímetros.

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8.

Admitamos que el costo en pesos, de producción de un número es:

Cx   200.000  400 x

x de periódicos

a) ¿Cuál es el costo de producir 30.000 periódicos? b) ¿Cuántos periódicos se han producido si el costo total fue de $520.000? III

Aplicaciones de la Función Lineal

FUNCIONES LINEALES DE INGRESO Y COSTO El Ingreso de una empresa ( I ), en un determinado período de tiempo, está dado por las ventas de bienes o servicios en ese período. Por ello lo podemos expresar como el producto de la cantidad vendida ( x ) por el precio unitario del bien o servicio ( p ). Esto es:

I ( x)  p  x

Ejemplo: El precio de venta de una cámara fotográfica es de $120.000. Luego La función de ingreso es:

I ( x)  120.000  x ; Donde x son las unidades vendidas. El Costo ( C ): Es la expresión cuantitativa monetaria, representativa del consumo necesario de factores de la producción, que se emplean para producir un bien o prestar un servicio, este se divide en dos categorías: Costos fijos ( C f ): Son costos son independientes de las cantidades de un artículo que se produzca o un servicio que se preste (por ejemplo: alquiler del local, determinados impuestos, etc.). Costos variables ( C v ): Son costos que dependen de la cantidad que se produzca de ese artículo ( x ) o que se preste del servicio, (por ejemplo: costos de materiales, de mano de obra productiva, etc.) Así C ( x)  C f  C v  x ; Donde

x son las unidades producidas.

Ejemplo: El costo variable de fabricar una cámara fotográfica es de $30.000 por unidad y los costos fijos por mes son de $720.000. Luego la función de costo de fabricar x cámaras fotográficas en un mes es de:

C ( x)  720.000  30.000  x ; Donde x son las unidades producidas.

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9.

Una tienda llamada “TODO A MIL” vende todos sus productos a $1.000. Si

x

representa el número de artículos vendidos: a) Escriba la función de precio P(x), en donde x es el número de artículos vendidos. b) Escriba la función de ingreso I (x) , en donde x es el número de artículos vendidos. c) ¿Cuál es el dominio de estas funciones para que tengan sentido dentro del contexto? 10.

Cierta empresa fabrica poleras, por cada polera recibe $10.000. Si

x representa

la cantidad de poleras producidas. a) Determinar una función o fórmula para el ingreso en dinero por polera producida (denotar la función por I ( x) ). b) Si el fabricante tiene costos fijos mensuales de $100.000 y costos variables por polera de $500, Hallar una función o fórmula para el costo en función de las poleras producidas (denotar la función por C ( x) ). c) ¿Cuál es el ingreso si se venden 38 poleras? d) ¿Cuál es el costo de producir 25 poleras?

11.

Una empresa que fabrica vajilla desechable, tiene costos fijos de US$3.000 mensuales, y el costo de la mano de obra y del material es de US$50 por vajilla. Determinar la función de costos, es decir, el costo total como una función del número de vajilla producida. ¿Cuál es el costo de producir 22 vajillas?

12.

Suponga que se espera que un objeto de arte adquirido por $50.000 aumente su valor a una razón constante de $500 por año durante los próximos 40 años. a) b) c) d) e)

Escriba la función que prediga el valor de la obra de arte en los próximos cuarenta años. ¿Cuál será su valor, 31 años después de la fecha de adquisición? ¿Cuántos años transcurren para que la obra de arte tenga un valor de $55.500? ¿Cuál es el intervalo de tiempo en años para el cual tiene sentido la función valor de la obra de arte? ¿Cuál es el intervalo en pesos en el cual fluctúa el valor de la obra de arte?

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13.

Una planta tiene la capacidad para producir desde 0 a 100 computadores por día. El costo fijo diario de la planta son 5.000 dólares, y el costo variable (mano de obra y materiales) para producir un computador es 805 dólares. a) Escriba la función de costo total de producir x computadores en un día. b) Escriba la función de costo unitario (costo promedio por computador) en un día. c) ¿Cuál es el número de computadores diarios para los cuales la función costo unitario, tiene sentido dentro del contexto? d) ¿Cuál es el intervalo en dólares en el cual fluctúa el costo unitario de los computadores?

IV

Gráfica de la Función Lineal

La gráfica de la función lineal corresponde a una línea recta

A partir del gráfico podemos encontrar la función lineal algebraicamente, basta conocer dos puntos de ella, sean

A( x1 , y1 )

y

B( x 2 , y 2 )

los puntos.

Luego a través de la Ecuación de la recta, dado un punto y la pendiente, se encontrara la función,

y  y1  a  x  x1  Pendiente de una recta, representa una medida de inclinación de la recta con respecto al eje x. Se puede determinar con la expresión

y y a 2 1 x x 2 1

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14.

Los alumnos de recursos naturales deciden intervenir en una pesquera del sur de Chile para evitar la escases. La siguiente gráfica indica la producción después de la intervención.

a) b) c)

15.

¿Cuál es la producción al inicio de la intervención? ¿Cuál fue la producción de la empresa a 20 meses de la intervención? Si se quiere que la producción sea de 2.000 peces mensuales. ¿Cuántos años debieron pasar desde la intervención?

El valor de un automóvil varía dependiendo de los años de antigüedad que tenga. La siguiente gráfica indica el valor del automóvil en el tiempo.

a) b) c) d)

¿Cuál es el valor inicial del automóvil? ¿Cuál es el valor de un automóvil de 4 años y medio de antigüedad? Si una persona quiere vender el automóvil en $5.875.000. ¿Cuántos años debe conservar el vehículo? ¿En cuánto tiempo el automóvil se desvaloriza por completo?

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16.

En un taller mecánico se analizan los ingresos mensuales por cambio de bujías que requieren los vehículos. Estos ingresos están modelados por la siguiente gráfica:

a) b)

17.

¿Cuál es el ingreso al cambiar las bujías a 50 automóviles? Si el ingreso del mes fue de $300.000. ¿A cuántos autos les cambiaron las bujías?

La temperatura medida en grados Fahrenheit es una función lineal de la temperatura medida en grados Celsius. El siguiente gráfico modela esta situación:

a) b)

¿Cuántos grados Fahrenheit son 15°C? ¿Cuántos grados Celsius son 68°F?

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18.

El costo promedio de arriendo en miles de pesos, de un local en un centro comercial pequeño esta dado por C ( x)  15x  200 , donde x es el número de años de arriendo. Determine la gráfica correspondiente a la función, fundamente su respuesta.

19.

Una empresa de limpieza de automóviles ofrece una tarifa especial a sus clientes frecuentes que laven su vehículo como mínimo 8 veces en el mes y como máximo 16 veces en el mes. La tarifa “Cliente frecuente” está dada por T ( x)  2 x  4 en miles de pesos, donde x corresponde al número de lavados realizados. Determine la gráfica correspondiente a la función, fundamente su respuesta.

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20.

En un circuito eléctrico la corriente, medida en amperes, varía desde los 4 hasta los 20 amperes. Si se encuentra que el voltaje, medido en volts, es V ( x) 

x , 2

donde x es la corriente. Determine la gráfica correspondiente a la función, fundamente su respuesta.

SOLUCIONES 1.

a) Al comienzo de la hospitalización ha sido dado de alta 0 pacientes; p(0)  0 . b) Al final del día 100 ha sido dado de alta el 57,8% de los individuos;

p(100) 

37  57,8% . 64

c) Al final del día 300 han sido dados de alta 700 individuos; p(300) 

7  8

7  800  700 . 8 2.

a) La altura promedio de los niños a los 8 años es 102 cm. b) La altura promedio de los niños a los 6 años es 89 cm. c) La altura promedio de los niños recién nacidos es de 50 cm.

3.

a) La temperatura a las 5 p.m. es 29,8 Grados Celsius; b) Disminuyó en 12 Grados Celsius;

C 17  29,8 .

C 9  32,5 y C21  20,5  32,5  20,5  12 .

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4.

a) Las ventas anuales para el año 2010 serán de 240.000 dólares;

v10  240.000 .

b) Las ventas anuales para el año 2015 serán de 270.000 dólares;

v15  270.000 .

5.

a) El costo al producir 50 cintas de audio es 1.100 dólares. b) Se producen 90 cintas de audio c) El dominio son enteros mayores o iguales que 0; Dom C

    x   / x  0

6.

a) El precio inicial del computador es $300.000;

P0  300.000

b) En 30 meses el precio del computador será la mitad del valor inicial c) El Dominio son los enteros desde 0 hasta 36; 7.

La edad del feto es 23 semanas

8.

a) El costo es de $12.200.000

Dom P   x   / 0  x  36

b) Se han producido 800 periódicos

9.

a) La función precio es c)

10.

Px   1.000

b) La función ingreso es I

El Dominio de las funciones son los enteros mayores o iguales que 0;

Dom P, I    x   / x  0

a) La función ingreso es b) La función costo es

I x   10.000  x

Cx   100.000  500  x

c) El ingreso al vender 38 poleras es $380.000; d) El costo al producir 25 poleras es $112.500;

11.

x  1.000  x

I 38  380.000

C 25  112.500

La función costo es C x   3.000  50  x El costo al producir 22 vajillas es 4.100 dólares;

C 22  4.100

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12.

a) La función que predice el valor de la obra de arte es V x   50.000  500  x , con

0  x  40

b) Su valor será de $65.500;

V 31  65.500

c) Deben transcurrir 11 años; 50.000  500  x  55.500  x  11 d) El Dominio son los reales desde 0 hasta 40;

Dom V    x   / 0  x  40

e) El Recorrido son los reales desde 50.000 hasta 70.000;

Rec V    y   / 50.000  y  70.000

13.

a) La función costo total es; C x   5.000  805  x b) La función costo unitario o costo promedio es; CM(x) 

C  x  5.000   805 x x

c) El Dominio son los enteros desde 1 hasta 100;

Dom CM    x   /1  x  100

d) El Recorrido son los reales desde 855 hasta 5.805;

Rec CM    y   / 855  y  5.805

14.

a)

La producción al inicio de la intervención es de 150.000 peces.

b) La producción a 20 meses de la intervención fue 1.150.000 peces;

y  50 x  150 c) Deben transcurrir 3 años y 1 mes.

15.

a) El valor inicial del automóvil es de $7.000.000 b) El valor del automóvil de 4 años y medio de antigüedad es de $4.750.000;

y  500 x  7000 c) Debe conservar el vehículo por 2 años y 3 meses. d) A los 14 años de antigüedad el automóvil se desvaloriza por completo.

16.

a) El ingreso es de $600.000; y  12.000 x . b) Se cambiaron las bujías a 25 automóviles.

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17.

a) 15° Celsius son 59° Fahrenheit; y  1,8x  32 . b) 68° Fahrenheit son 20° Celsius.

18.

La gráfica 1 es la correcta.

19.

La gráfica 3 es la correcta.

20.

La gráfica 2 es la correcta.

14