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Vicerrectoría Académica Dirección de Servicios Académicos Subdirección de Servicios a Escuelas
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE Sigla Curso Créditos
MAT330
10
Nombre Curso
Hrs. Semestrales Totales
Escuela o Programa Transversal Carrera/s
Cálculo I 5
Requisitos
MAT200 o MAT2001
Programa de Matemática Todas
Fecha Actualización
Currículum N°
APRENDIZAJE(S) ESPERADO(S)
Dibuja gráficos de funciones elementales. Calcula imágenes de funciones exponenciales. Calcula imágenes de funciones logarítmicas. Calcula pre-imágenes de funciones exponenciales. Calcula pre-imágenes de funciones logarítmicas. Resuelve problemas de fenómenos modelados con funciones exponenciales. Resuelve problemas de fenómenos modelados con funciones logarítmicas.
NOMBRE DE LA ACTIVIDAD
Modalidad
Aplicaciones de la función exponencial y logarítmica
□ Presencial □ No Presencial
Duración de la actividad (horas):
Recursos de información:
__________________________
□ Impreso
Forma de trabajo:
___________________________________________
□ Individual
□ Tecnológico
□ Grupal
___________________________________________
-
□ Informático
Tamaño del grupo:
□ 2 □ 3-5
□ 6-8
□ +8
___________________________________________
Lugar: □ Sala de clases
Material de apoyo para la actividad:
□ Laboratorio (especifique)_____________ □ Taller (especifique)_____________ □ Terreno (especifique)_____________ □ Otros (especifique)_____________
DESCRIPCIÓN DE LA ACTIVIDAD Secuencia didáctica - roles de estudiantes y docentes - criterios de evaluación
1
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FUNCIÓN LOGARITMO El logaritmo de un número
x es el exponente y al que hay que elevar la base dada b , para que nos de dicho número x , es decir:
log b x y x b y
La base tiene que ser positiva y distinta de 1. El Dominio de la función logaritmo es: Los
reales positivos ( )
Propiedades:
a.
b.
log x log y log ( x y) a a a x log a x log a y log a y
c.
log a x n n log a x
d.
log10 x log x
e.
log e x ln x
FUNCION EXPONENCIAL Sea
a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder x la potencia a se llama función exponencial de base a y exponente x . La más famosa de todas las funciones exponenciales es Donde
f ( x) a e x .
e 2,71828182845
El dominio de la función exponencial es: Todos los reales ( )
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OBSERVACION La función exponencial es la función inversa de la función Logarítmica (aplicadas en una misma base) y viceversa, es decir por ejemplo: a.
e ln(x ) x
c.
10log(x ) x
b.
ln(e x ) x
d.
log(10 x ) x
I
APLICACIONES DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
1.
Una
población
de
bacterias
cambia
según
el
modelo
logarítmico
P 12.000 ln (1 0,25 t ) 1.000 donde t es el tiempo en días.
2.
a)
¿Cuál es la población inicial de bacterias?
b)
¿Cuál será la población de bacterias al cabo de 50 días?
En la escala de Richter, la magnitud M de un terremoto de intensidad I está dada por:
M
ln(I ) ln(10)
a)
Encuentre la intensidad del terremoto de San Francisco de 1906, que midió M 8,3 en la escala de Richter.
b)
Encuentre la intensidad del terremoto de Valdivia de 1960, que midió M 9,1 en la escala de Richter.
c)
Si la intensidad de un temblor es de 4.320, ¿cuál es su magnitud?
3
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3.
La intensidad del sonido que percibe el oído humano tiene diferentes niveles. Una fórmula para hallar el nivel de intensidad , en decibeles, que corresponde a intensidad de sonido I es:
I donde I 0 es un valor especial de I I 0
10 log
que corresponde al sonido más débil que puede ser detectado por el oído bajo ciertas condiciones. Encuentre en los casos siguientes:
a)
I es 1.000 veces más grande que I 0 .
b)
I es 10.000 veces más grande que
c)
4.
I 0 .( este es el nivel de intensidad
promedio de la voz) Un nivel de intensidad del sonido de 141 decibeles produce dolor en un oído humano común. ¿Cuántas veces, aproximadamente debe ser I más grande para que alcance este nivel?
Datos experimentales han mostrado que el crecimiento en los niños entre las edades de 2 a 16 años puede ser aproximado por medio de la función:
P( A) 18,6 ln A 37,1 ; donde P es el porcentaje de la estatura de un adulto y
A es la edad del niño en años. a)
¿Qué porcentaje de su estatura de adulto tendrá un niño a la edad de 8 años? b) ¿Qué porcentaje de su estatura de adulto tendrá un niño a la edad de 14 años? c) ¿A qué edad un niño logra el 80% de su estatura de adulto?
5.
Los químicos usan un número denotado pH para describir cuantitativamente la acidez o la basicidad de
ciertas soluciones. Por definición,
pH log H
donde [H+] es la concentración de iones hidrógenos en moles por litros. Aproxime el pH de las siguientes soluciones dados sus correspondientes [H+]:
a) Vinagre: [H+] =
6,3 103
b) Zanahoria: [H+] =
1,0 105
c) Agua de mar: [H+] =
5,0 109
4
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II
GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
La gráfica de una función logaritmo
f ( x) log b x es una curva que depende de b
0 b 1
b 1
La gráfica pasa por el punto (1,0) ya que
6.
log b 1 0
Un terremoto cuya lectura sismográfica mide x milímetros tiene una magnitud M dada por: M ( x) log(10
3
x) . ¿Qué gráfico modela la situación?, fundamente su
respuesta.
5
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7.
Un constructor necesita saber en cuanto tiempo t se enfría totalmente un objeto que tiene temperatura T y para ello se rige por la siguiente función:
50 T t 2 log . ¿Cuál es el gráfico que modela la situación?, fundamente su 30 respuesta.
8.
Se quiere saber cuántos años deberán pasar para que un auto tenga un valor de Vf millones de pesos, ya que este se deprecia pasados los t años.
Vf t 7 log ¿Cuál es el gráfico que modela la situación?. 0,03
6
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9.
La estatura de una planta, después de haber sido plantada, depende del agua proporcionada, y del clima en el cual se encuentre. Considerando que estas condiciones son las óptimas para su crecimiento, a medida que transcurran los días la planta incrementará su altura, de acuerdo a una expresión logarítmica, modelada a través del siguiente gráfico
a)
De acuerdo a la siguiente gráfica, determine la expresión algebraica que modela la situación. Considere la expresión
b) c)
y a b logx
¿Qué altura alcanzará una planta al cabo de una semana de haber sido plantada? Si una plata tiene una altura de 11 centímetros, ¿hace cuántos días fue plantada?
7
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10.
La sonoridad de un sonido S (x) medida en decibelios, se define, utilizando una expresión logarítmica, donde x es el flujo de energía producida por unidad de
m
área (intensidad), medida en watts por metro cuadrado W
a)
y log b ax
¿Cuál es la sonoridad producida por el tráfico vehicular, si la intensidad
m
producida es de 90 W c)
.
De acuerdo a la siguiente gráfica, determine la expresión algebraica que modela la situación. Considere la expresión
b)
2
2
?
Si la sonoridad producida por un concierto es de 5 decibelios, ¿Cuál es intensidad?
8
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11.
La magnitud M de una estrella, indica cual es su clasificación de acuerdo al brillo que esta posea. Esta magnitud se puede determinar conociendo el flujo luminoso de la estrella, a través de una expresión logarítmica, modelada a través del siguiente gráfico.
a)
De acuerdo a la siguiente gráfica, determine la expresión algebraica que modela la situación. Considere la expresión
b) c)
y a b logx
¿Cuál es el la Magnitud de una estrella, que tiene flujo luminoso 9? Si la Magnitud de una estrella es 4,8, ¿Cuál es su flujo luminoso?
9
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III
APLICACIONES DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
12.
La Función: V ( x)
15.500 1 500 (1,09) x
Representa las ventas totales, en miles de pesos,
x días después de ingresar un
nuevo artículo al mercado. Determine:
13.
a)
¿Cuánto fue la venta después de una semana?
b)
¿Cuánto fue la venta total durante el pasado mes de Marzo?
Si se invierte un capital inicial Vi pesos al
i % de interés compuesto anual, al n
i cabo de n años se tendrá una cantidad V f Vi 1 . Determine: 100
14.
a)
¿Cuál será la tasa de interés para que $1.000.000 se transforme en $1.440.000 en dos años?
b)
Si decido invertir $200.000 al 36% de interés anual, ¿Cuál es la cantidad final después de 10 años?
c)
¿En cuánto tiempo debo invertir $100.000 para producir $12.749.052 al 33%?
Se ha proyectado que dentro de
t años, la población de nuestro país será:
P(t ) 17e 0,02 t
15.
Millones de habitantes.
a)
¿Cuál es la población actual?
b)
¿Cuál será la población dentro de 30 años?
c)
Si la población de nuestro país es de 51 millones de habitantes, ¿cuántos años han transcurrido?
La población de una pequeña comunidad después de t años es aproximadamente de
P(t ) 1.500e kt . Si la población inicial aumenta 25% en 10 años, ¿cuál será
la población en 20 años?
10
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16.
Investigaciones recientes sugieren que el riesgo R (en porcentaje) de tener un accidente automovilístico puede ser modelado por la función
R( x) Ae kx ,
sabemos que inicialmente el riesgo es del 6% y al suponer una concentración de 0,04 grados de alcohol en la sangre produce un riesgo del 10%. a) b) c)
IV
¿Cuál es la función que modela esta situación? ¿Cuál será el riesgo para una concentración de 0,17 grados de alcohol? Si el riesgo es del 20%, ¿Cuál será la concentración?.
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL
La gráfica de la función exponencial forma depende del valor de
0 a 1
x
f ( x) T a , con
a 1 es una curva, cuya
a
a 1
La grafica Intersecta al eje y en 1, es decir, pasa por el punto (0,1).
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17.
Un almacén de aparatos electrodomésticos liquida mercancía con ligeros deterioros, mediante el sistema de reducir cada año el 35% del valor de la mercancía que va quedando. Si desea comprar un hervidor eléctrico, cuya variación de precio está reflejada en el siguiente gráfico.
a) b) c)
18.
¿Cuál es el valor inicial del hervidor eléctrico? ¿Cuál es el valor de un hervidor eléctrico que permanece 4 años almacenado? ¿En qué porcentaje disminuye el valor del hervidor a los 4 años respecto del valor inicial?
En la ciencia de la pesca se conoce como “cohorte” al conjunto de peces que resulta de una reproducción anual. Se supone que el número de peces que sigue vivo cuando han pasado t años, con un máximo de 50 años, está representado en la siguiente gráfica.
a) b) c)
¿Cuál es el tamaño inicial del Cohorte? ¿Cuántos peces viven después de 10 años? ¿Cuál es el tamaño del cohorte a los 50 años?
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19.
El índice de contaminación aumenta a medida que transcurren las horas del día, lo que está dado por la función I (t ) 2,1 e 0, 2 t , donde t son las horas transcurridas a partir de las 6 am ¿Cuál es la gráfica que modela dicha situación?, fundamente su respuesta.
20.
La ganancia anual G de una empresa, en miles de dólares, debido a los negocios con otras entidades, después de x años que se realiza este negocio, es:
1 G 100 60 2
x
¿Cuál
es
la gráfica que modela dicha situación?,
fundamente su respuesta.
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21.
Un taller se dedica a la venta de repuestos mecánicos nuevos y usados. El valor V , en miles de pesos, de un repuesto está dado por la ecuación: V 60 e 0, 2 t , donde t son los años de uso del repuesto ¿Cuál es la gráfica que modela dicha situación?, fundamente su respuesta
22.
Cristóbal de 28 años recién cumplidos, piensa en su vejez y decide depositar cierta cantidad de dinero a una tasa de interés compuesto anual, ofrecido por su banco. Según la siguiente gráfica donde “x” representa los años invertidos del dinero, “y” la cantidad de dinero total.
a)
Determine la función exponencial que modela dicha situación. Considere la expresión
b) c)
y T ax
¿Cuánto dinero tendrá Cristóbal cuando tenga 50 años? ¿Cuántos años aproximadamente tendría que tener invertido su dinero para retirar $10.947.132?
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23.
Para el laboratorio de Informática se compró un equipo de cómputo; sin embargo se sabe que cualquier equipo sufre una devaluación a partir de su compra, la que está dada por una función matemática. En la gráfica siguiente, donde “x” representa la cantidad de años e “y” representa el valor en pesos del equipo.
a)
Determine la función exponencial que modela dicha situación. Considere la expresión
b) c)
24.
y T ax
¿Cuál será el valor aproximado del equipo cuando hayan pasado 7 años? ¿Cuántos años aproximadamente tendrían que pasar para que el equipo tenga un valor de $826.873
Una obra de arte de un famoso pintor chileno, vale cierta cantidad de dinero en la actualidad y este valor aumenta cada año según una función matemática. La siguiente gráfica representa dicha situación donde “y” representa el valor de la obra de arte y “x” representa los años que han pasado desde la actualidad.
a)
Determine la función exponencial que modela la situación anterior. Considere la expresión
b) c)
y T ax
¿Qué valor tendrá la obra de arte cuando pasen 7 años? ¿Cuántos años aproximadamente tendrían que pasar si el valor de la obra fuese de $1.569.214?
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SOLUCIONES 1.
a) La población inicial es de 1.000 bacterias. b) Al cabo de 50 días la población será de 32.232 bacterias.
2.
a) La intensidad es de I 10
8, 3
b) La intensidad es de I 10
o I e
19,1
9,1
c) La magnitud fue de 3,6° en la escala de Richter
3.
a) La intensidad es de 30 decibeles b) La intensidad es de 40 decibeles c) I debe ser 10
14,1
4.
veces más grande que I 0
a) El niño a los 8 años logra el 75,8% de su estatura de adulto. b) El niño a los 14 años logra el 90,9% de su estatura de adulto. c) El niño logra el 80% de su estatura de adulto aprox. a los 10 años.
5.
a) Vinagre 2,2 PH. b) Zanahoria 5 PH. c) Agua de Mar 8,3 PH.
6.
Modelo 3.
7.
Modelo 3.
8.
Modelo 2.
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9.
a) La función es M ( x) 5 3 log( x) b) La planta al cabo de una semana alcanza 7,54 cm. c) La planta fue plantada hace 100 días.
10.
a) La función es S ( x) log 10 (1000 x) . b) La sonoridad producida por el tráfico vehicular es de 4,95 decibelios.
m
c) La intensidad del concierto es 100 W
11.
2
.
a) La función es M ( x) 6 2,5 log( x). b) La magnitud de la estrella es 3,6. c) El flujo luminoso de la estrella es 3.
12.
a) La venta después de una semana es de $56.463. b) La venta total en el mes de Marzo fue $338.619.
13.
a) La tasa de interés anual es de un 20%. b) A los 10 años se obtiene un monto de $4.329.314. c) debe invertir el dinero por aprox. 17 años.
14.
a) La población actual es de 17.000.000 de habitantes. b) La población a los 30 años aprox. es de 30.976.019 de habitantes. c) Han transcurrido aprox. 55 años.
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15.
5 ln 4 k 0,022314 10
;
P20 2.343,7 2.344
Respuesta: La población a los 20 años es aproximadamente 2.344 habitantes. (Este valor puede variar dependiendo de las aproximaciones decimales, en el problema se consideraron 6 decimales para el valor de k)
16.
a) La función es
R( x) 6e12,77 x
b) El riesgo para 0,17 grados de alcohol es 52,6%. c) Si el riesgo es del 20% la concentración de alcohol es 0,09 grados.
17.
a) El valor inicial del hervidor es de $15.000. b) El valor del hervidor a los 4 años es de $2.678. c) El porcentaje de disminución es de 82,1%.
18.
a) El tamaño inicial del cohorte es de 2.000 peces. b) El tamaño del cohorte a los 10 años es de 2.443 peces. c) El tamaño del cohorte a los 50 años es de 5.437 peces.
19.
Modelo 1.
20.
Modelo 3.
21.
Modelo 2.
22.
a) La función es f ( x) 2.000.000 (1,12) x . b) Cristóbal cuando tenga 50 años tendrá $24.200.620. c) Debe tener invertido su dinero por 15 años.
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23.
a) La función es f ( x) 4.200.000 (0,85) x . b) A los 7 años el valor será $1.346.424. c) Deben transcurrir aproximadamente 10 años.
24.
a) La función es f ( x) 500.000 (1,1) x . b) A los 7 años el valor será $974.359. c) Deben transcurrir aproximadamente 12 años.
19