ACTIVIDAD FINAL DEL CURSO MAT08-13-CALCULA Actividad realizada por José Antonio Hidalgo Planelles

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A) DESARROLLO DE LOS CONTENIDOS Los contenidos elegidos para desarrollar en esta actividad son: “Rectas y puntos notables de un triángulo” Pretendemos introducir al alumnado al cálculo de algunas de las rectas y puntos notables de los triángulos, así como de sus propiedades. Definiremos primero lo que son las medianas y comprobaremos que se cortan en el baricentro:

Y ahora dibujamos la mediana BF y comprobamos que, efectivamente, G є BF

También podemos ahora comprobar que G divide a cada mediana en dos partes, una el doble que a otra:

Aumentamos en propiedades la precisión decimal para apreciar mejor la relación:

Lo mismo podemos hacer con cada mediana. Movemos los vértices del triángulo para comprobar que la relación se mantiene, así como la pertenencia de G a BF:

Pasaremos ahora a definir las alturas y comprobar que se cortan en un punto: el ortocentro:

Como antes ahora dibujamos la altura sobre el lado BC y comprobamos que, efectivamente, contiene al punto O:

Definimos ahora el circuncentro como punto de corte de las mediatrices:

Una vez más dibujamos ahora la mediatriz del lado AC y comprobamos que, efectivamente, contiene al punto Ci:

Trazamos ahora la circunferencia circunscrita con centro en Ci y, por ejemplo, radio CiA:

Y por último comprobamos que tanto B como C pertenecen a la circunferencia:

Definimos, por último el incentro, como punto de corte de las bisectrices interiores:

Como siempre, trazamos la bisectriz que falta y comprobamos que contiene a I:

Trazamos ahora la perpendicular desde I a uno de los lados para hallar uno de los puntos de contacto de la circunferencia inscrita:

Y ahora trazamos la circunferencia inscrita haciendo centro en I y con radio IM:

Y ahora intersectamos la circunferencia con BC y con AC para ver la tangencia:

Tanto con el circuncentro como con el incentro, podemos mover los vértices del triángulo para comprobar que las relaciones se mantienen. B) ACTIVIDADES PROPUESTAS AL ALUMNADO Comenzaríamos practicando actividades en las que se trazaran los puntos y rectas notables que se han aprendido, para pasar después a actividades más complicadas. Por ejemplo: 1) Comprueba que en todo triángulo no equilátero, el baricentro, el ortocentro y el circuncentro están alineados. La recta que los contiene se denomina recta de Euler Dibujamos un triángulo y empezamos hallando su baricentro:

Ahora ocultamos las medianas y los puntos medios de los lados para que el dibujo quede más claro:

Pasamos ahora a calcular el ortocentro y a ocultar después las alturas:

Por último dibujamos el circuncentro y ocultamos las mediatrices:

Y ya sólo nos queda trazar la recta que pasa, por ejemplo, por G y O y comprobar que contiene a Ci:

2) Halla el lugar geométrico descrito por el incentro de un triángulo ABC inscrito en una circunferencia cuando uno de sus vértices, por ejemplo C, recorre la circunferencia. (A y B permanecen fijos). Dibujamos primero una circunferencia y un triángulo inscrito en ella:

Calculamos el incentro del triángulo y ocultamos las bisectrices:

Animamos ahora C recorriendo la circunferencia y activamos el trazo de I:

Y por último reproducimos la animación:

3) Construir triángulos equiláteros sobre los lados de un triángulo cualquiera y hacia fuera. Comprobar que sus baricentros determinan un triángulo equilátero llamado triángulo de Napoleón exterior. Dibujamos un triángulo y construimos sobre cada lado un triángulo equilátero exterior, ocultando después las líneas de construcción y aumentando el grosor del trazo de los triángulos para mayor claridad del dibujo:

Calculamos ahora el baricentro de cada uno de los tres triángulos equiláteros y ocultamos después las medianas y los puntos medios de los lados:

Dibujamos ahora el triángulo de napoleón:

Y, por último, comprobamos que es equilátero:

Ahora podemos mover los vértices de nuestro triángulo de partida para ver que las condiciones se mantienen:

C) ACTIVIDADES DE EVALUACIÓN DEL ALUMNADO

1) Comparar dónde se ubica el ortocentro de un triángulo acutángulo, de uno obtusángulo y de uno recto. 2) Demostrar que el circuncentro de un triángulo rectángulo coincide con el punto medio de la hipotenusa. 3) Comprobar que en un triángulo equilátero todos los puntos notables coinciden 4) Comprobar que en cualquier triángulo la distancia del ortocentro al baricentro es el doble que la distancia del circuncentro al baricentro 5) Triángulos de Napoleón: construir triángulos equiláteros sobre los lados de un triángulo cualquiera y hacia fuera. Comprobar que sus baricentros determinan un triángulo equilátero llamado triángulo de Napoleón exterior. Construir el triángulo de Napoleón interior y comprobar que es equilátero. Comprobar que la diferencia de las áreas de los dos triángulos de Napoleón coincide con el área del triángulo.