ADMINISTRACION DE INVENTARIOS Unidad 2. SISTEMAS DE INVENTARIO PROBABILISTICOS

Nombre de la Unidad Introducción

SISTEMAS DE INVENTARIO PROBABILISTICOS.

Hasta el momento los diferentes modelos de inventario manejan una demanda Determinística, es decir que la información se conoce con certeza. Esta información no es cierta para todos los casos la demanda puede ser una variable aleatoria, para lo cual es necesario utilizar una función de probabilidad para poder representar en este caso el comportamiento de la demanda. Se supone que se conoce la distribución de probabilidad para la demanda, pero que esa demanda es impredecible en un día o mes dado. La incertidumbre al predecir la demanda significa que siempre existe la posibilidad de que haya faltantes, es decir, de quedar sin artículos en almacén. El riesgo puede reducirse teniendo un inventario grande, pero nunca puede eliminarse.

Intencionalidades Formativas

En esta unidad se plantean los principales modelos de inventarios, en los cuales la demanda cambia con el tiempo y tiene como finalidad que el estudiante este en capacidad conocer y plantear un modelo para el control de inventarios de acuerdo a los requerimientos de necesidades que se pueda presentar en un momento dado dentro de una organización.

Denominación de capítulos

Unidad 2. SISTEMAS DE INVENTARIO PROBABILISTICOS Capitulo 1. Definiciones Básicas. Capitulo 2. MODELOS ESTOCASTICOS DE REVISIÓN CONTINUA. Capitulo 3. MODELOS ESTOCASTICOS DE REVISIÓN PERIODICA.

Modelo Estocástico para un Solo Periodo: Este tipo de modelo se maneja para productos que se ordenan una sola vez para satisfacer la demanda de un periodo determinado, es el caso de los productos de temporada los cuales son obsoletos después de la temporada. 1. Demanda Determinística: Para el caso de la demanda determinística el problema se soluciona ordenando el número exacto de unidades demandadas. 2. Demanda probabilística: En los modelos de un solo periodo se utilizan en situaciones como la determinación de políticas de pedido para productos alimenticios de corta duración, o determinación del tamaño de un lote de producción para artículos con una vida útil corta, o cuya demanda es sólo durante periodos cortos de tiempo, (por ejemplo durante la temporada navideña, temporadas de ingreso al colegio). Un ejemplo típico de este modelo es el modelo denominado modelo de repartidor de periódicos

F ( Q ) ∗ ce = cf − F ( Q ) ∗ cf F ( Q ) ∗ ce + F ( Q ) ∗ cf = cf F ( Q )( ce + cf ) = cf F( Q ∗ ) =

cf ( ce + cf )

Esta fórmula se conoce como razón crítica y corresponde a la probabilidad de satisfacer la demanda durante un periodo correspondiente. La cantidad a ordenar Q se determina con le uso de la distribución normal (ver anexo 1), que satisface la condición F(Q*) dada la media y la desviación estándar.

Modelo Estocástico para un Solo Periodo Ejemplo: Una compañía fabrica un producto MN para la temporada de fin de año, con base en la experiencia la demanda del producto tiene una distribución normal con media de 1500 unidades y desviación estándar de 100 unidades. El costo de excedente o costo de sobre estimar la demanda es de $ 80 por unidad, el costo de penalización por cada unidad que falte es de $200 por unidad. Con base en la anterior información la compañía debe decidir cuantas unidades debe fabricar. D= 1500 Desviación estándar = 100 cf = 200 Unidades. ce = 80 Unidades. cf (ce + cf ) 200 F (Q* ) = = 0,7142 (80 + 200) F (Q* ) =

En una tabla de la Distribución normal se encuentra el valor que satisface la condición de que la demanda sea menor que Q*. En la tabla de la distribución normal se encuentra que 0,7142 corresponde a un valor de z de 0,57. Con lo cual:

Q * = µ + zσ Q * = 1500 + 0,57 *100 Q * = 1557 Unidades

Manejo de la tabla normal. 1. Cuando la probabilidad pedida se encuentra directamente en las tablas Hallar la probabilidad p ( z ≤ 0,45 )

En la 1ª columna buscamos el valor de las unidades y las décimas. En la 1ª fila el valor de las centésimas. Basta buscar 0,4 en la columna y 0,05 en la fila. Su intersección nos da la probabilidad. Leemos y nos da 0,6736. La probabilidad p ( z ≤ 0,45 ) = 0,6736

Fuente: http://www.vadenumeros.es/sociales/manejo-tabla-normal.htm

2. Probabilidad de un valor negativo p ( z ≤ - 0,72 )

Como la gráfica es simétrica respecto al eje de ordenadas, p ( z ≤ - 0,72 ) = p ( z ≥ + 0,72 ) Calculamos p ( z ≥ + 0,72 ) igual que en el caso 2. p ( z ≥ + 0,72 ) = 1 - p ( z < + 0,72 ) = 1 - 0,7642 = 0,2358 p ( z ≤ - 0,72 ) = p ( z ≥ + 0,72 )= 1 - p ( z < + 0,72 ) = 1 - 0,7642 = 0,2358

Fuente: http://www.vadenumeros.es/sociales/manejo-tabla-normal.htm

Manejo de la tabla de forma inversa

Fuente: http://www.vadenumeros.es/sociales/manejo-tabla-normal.htm

Ejemplo : Modelo Estocástico para un Solo Periodo • Mac, dueño de un puesto de periódicos, los domingos compra varios ejemplares de The computer Journal, semanario bastante conocido. Paga 25 centavos por cada ejemplar, que vende a 75 centavos. Los ejemplares que no vende durante la semana puede regresarlos a su proveedor quien le paga 10 centavos por cada uno. Según la experiencia, la de manda semanal de Journal tiene una distribución aproximadamente normal con una media de 11,73 y una desviación estándar de 4,74. Determine la cantidad óptima de periódicos que se deben |||solicitar.

Modelo Estocástico para un Solo Periodo Datos µ = 11 . 73

σ = 4 . 74 c

f

= 0 . 7 − 0 . 25 = 0 . 50

c e = 0 . 25 − 0 . 10 = 0 . 15 cf ( ce + cf ) 0 . 50 F (Q * ) = = 0 , 77 ( 0 . 15 + 0 . 50 )

F (Q * ) =

Modelo Estocástico para un Solo Periodo Q * = µ + zσ Z = 0 .74 Q * = 11 .73 + 0 .74 * 4 .74 Q * = 15 .24Unidades

Modelo Estocástico con y sin Déficit. (Sistema Q) En este modelo se cuenta con un inventario de seguridad (Is) que permita cubrir el déficit que se pueda presentar en un momento determinado. El inventario de seguridad sirve como protección contra la incertidumbre que se pueda presentar en el comportamiento de la demanda o en el tiempo de entrega. Se utilizan las mismas formulas de los modelos de compra o manufactura sin déficit, reemplazando la demanda conocida por la demanda promedio obtenida a través de la siguiente fórmula:

D =

n

∑

i=1

x ∗ p(x )

Sistema Q – (Tiempo de anticipación constante / Demanda Variable.)

Tiempo de anticipación 2 Semanas Riesgo de Déficit 4% Demanda Prob 100 0,3 30 150 0,5 75 200 0,2 40

Tiempo de anticipación Riesgo de Déficit 100 150 200 Sumatoria

2 Semanas 4% 0,3 30 0,5 75 0,2 40 145

Demanda durante le tiempo de anticipación Semana 1 Semana 2 Demanda Prob 1 100 100 200 0,3 100 150 250 0,3 100 200 300 0,3 150 100 250 0,5 150 150 300 0,5 150 200 350 0,5 200 100 300 0,2 200 150 350 0,2 200 200 400 0,2

Prob 2 0,3 0,5 0,2 0,3 0,5 0,2 0,3 0,5 0,2

Proba Prob-Acum (1-PA) 0,09 0,09 0,91 0,15 0,24 0,76 0,06 0,3 0,7 0,15 0,45 0,55 0,25 0,7 0,3 0,1 0,8 0,2 0,06 0,86 0,14 0,1 0,96 0,04 0,04 1 0

Is=D4% −D*L =

60

Unidades

Sistema Q – Distribución Normal

En el ejemplo anterior se trabajo con una distribución empírica, en algunos casos es posible reemplazar las distribuciones empíricas por distribuciones teóricas, por ejemplo la distribución Normal o la distribución de Poisson, cuando esta distribución describe adecuadamente la demanda o el tiempo de entrega. Inicialmente se supone que el tiempo de entrega es Determinístico, la demanda es una variable aleatoria representada mediante una función de densidad de probabilidad f(d),

Ejemplo: Sistema Q – Distribución Normal • Se requiere el diseño de un sistema Q para un producto cuya Demanda está distribuida normalmente con una media de 200 unidades/semana y una desviación típica de 25 unidades/semana, • Costo de hacer un pedido = $160 • Costo de almacenamiento = 0,1 $/Semana • Tiempo de anticipación = 2 Semanas • Riesgo de Déficit 5%

Sistema Q – Distribución Normal 2C2 D 2 *160 * 200 Q= = = 800Unidades C3 0 .1

la demanda y la desviación estándar durante el tiempo de anticipación.

DL = D * L = 200 * 2 = 400

σ L = σ L = 25 2 = 35,35

Sistema Q – Distribución Normal 2C2 D 2 *160 * 200 Q= = = 800Unidades C3 0 .1

la demanda y la desviación estándar durante el tiempo de anticipación.

DL = D * L = 200 * 2 = 400

σ L = σ L = 25 2 = 35,35

Sistema Q – Distribución Normal Z =

D d = 5% − D

σ

L

Z 1 − 0 . 05 = 1 . 645

L

D d = 5 % − 400 = 35 . 35

(Probabilidad de éxito = 1- 0,05=0,95) Valor leído en la tabla de la distribución Normal, para una probabilidad de éxito del 95%

D d = 5 % − 400 1 . 645 = 35 . 35 D d = 5 % = (1 . 645 * 35 . 35 ) + 400 = 458

Sistema Q – Distribución Normal Is = D5% − D * L Is = 458 − 400 = 58Unidades

Ejemplo: Sistema Q – Distribución Normal • • •

.

El proveedor de la tienda de un gran comerciante es un almacén lejano. El almacén puede abastecer cualquier artículo que se le pide en cualquier cantidad. Uno de los artículos que se vende es aceite de motor para automóviles, la demanda del aceite tiende a un promedio de 5 cajas por día y se distribuye normalmente. El tiempo de entrega varia un poco, con un promedio de 3 días, la desviación estándar para la demanda del tiempo de entrega es 3.9. Los costos de ordenar se estiman en$ 1.50 por orden, el costo de mantenimiento es de $ 1.00 por caja por año, el comerciante quiere un 98 %de nivel de servicio en el aceite de motor. Si La tienda abre 300 días hábiles al año, Calcular: a) La cantidad óptima de pedido, el inventario de seguridad y el punto de reorden.

•

b) Si el comerciante deseara trabajar con un nivel de servicio del 80 % ¿Cuál sería el inventario de seguridad, el punto de reorden, y los costos de mantenimiento del inventario de seguridad?

DATOS: D = (5)(300) = 1500 unidades por año C2 = $ 1.50 por cada pedido C3 = $ 1.00 por caja al año Nivel de servicio = 98 % corresponde a un valor se Z leído en tablas de distribución normal = 2.06 • Días hábiles al año = 300 • Para el Nivel de servicio = 80 % Z = 0.85 • • • •

a) La cantidad óptima de pedido, el inventario de seguridad y el punto de reorden.

2C2 D 2 *1.50 *1500 Q= = = 67Unidades C3 1

a) La cantidad óptima de pedido, el inventario de seguridad y el punto de reorden.

Z

=

D

− D

x %

σ

Is

=

Z

* σ

Is

=

Z

* σ

Z

=

D

x %

D

=

=

L

− D

x %

L

L

* L

Is =

L

− D

σ

2 . 06

* 3 . 9 = 8 Cajas

* L

L

D

d = %

=

Z

* σ

D

d = %

=

Is

+

D

d = %

= 8 + (5 * 3 ) =

L

D

+

D

* L

* L 23

Cajas

b) Si el comerciante deseara trabajar con un nivel de servicio del 80 % ¿Cuál sería el inventario de seguridad, el punto de reorden, y los costos de mantenimiento del inventario de seguridad?

Is

=

D

x %

Is

=

Z

* σ

D

d = %

=

D

d = %

= 3 . 31

C

3

− D

Is

= 3 . 31

* L

=

L

+

0 . 85

D

* 3 . 9 = 3 . 31

Cajas

* L

+ ( 5 * 3 ) = 18

* 1 = 3 . 31

$ / año

. 331

Cajas

Establecimiento de niveles de seguridad Modelos determinísticos: Demanda constante y conocida. Modelos Probabilísticos: Demanda no constante, varia d un periodo de tiempo a otro, inclusive en días. Por lo cual se debe mantener una reserva de seguridad con el fin de proveer un nivel de protección contra el agotamiento de las existencias. Inventario de Seguridad: Se puede definir como la cantidad de inventario que se debe tener a demás de la demanda prevista. Enfoques: • De probabilidad Maneja la probabilidad de exceder un valor determinado, probabilidad que la demanda exceda un valor determinado. •

De nivel de servicio: Se refiere al número previsto de unidades faltantes. Que se cumpla con el 95% de los pedidos

Enfoque de probabilidad: considera la probabilidad de que se presenten faltantes y no el número de unidades. Se supone que la demanda durante un periodo de tiempo se distribuye normalmente con una media y una desviación estándar. Enfoque del nivel de servicio: Se refiere al número de unidades demandadas que pueden suministrarse de las existencias actualmente disponibles . Por ejemplo: si la demanda de un artículo es de 1000 unidades y se tiene un nivel de servicio del 95%, significa que 950 unidades se pueden suministrar de inmediato de las existencias y quedan faltando 50.

Modelo de cantidad fija de pedido y un nivel de servicio específico. Este sistema monitorea de manera continua el nivel del inventario y coloca un nuevo pedido cuando las existencias alcanzan cierto nivel (punto de pedido). El peligro del agotamiento de las existencias en este modelo se presenta únicamente durante el plazo que transcurre entre el momento en que se coloca el pedido y el momento en que éste se recibe. N° de Unidades Disponibles

Q R

Gama de Demandas

B

L

Reservas de Seguridad

O Tiempo

Agotamiento Existencias

La cantidad de reserva de seguridad depende del nivel de servicio especificado, La cantidad que se debe ordenar Q, se calcula de la manera usual, considerando la demanda, y los diferentes componentes del costo. El punto de pedido se fija entonces para cubrir la demanda prevista durante el plazo más una reserva de seguridad determinada por el nivel de servicio deseado. La diferencia clave entre un modelo de cantidad fija de pedido en el cual la demanda se conoce, y uno en el cual la demanda es incierta, esta en el calculo del punto del nuevo pedido. La cantidad de pedido es la misma en ambos casos.

Punto de pedido o demanda para un riesgo específico de déficit:

Z

=

D

− D

x %

σ

Is

=

Z

* σ

Is

=

Z

* σ

Z

=

D

x %

D

=

=

L

− D

x %

L

L

* L

Is =

L

− D

σ

2 . 06

* 3 . 9 = 8 Cajas

* L

L

D

d = %

=

Z

* σ

D

d = %

=

Is

+

D

d = %

= 8 + (5 * 3 ) =

L

D

+

D

* L

* L 23

Cajas

D%= Punto de pedido en unidades DL = Demanda promedio durante el tiempo de anticipación Z= numero de desviaciones para un nivel de servicio específico Sigma= Desviación estándar durante el tiempo de anticipación

Ejemplo: Cantidad económica de pedido. Considerar un caso de cantidad económica de pedido en el cual la demanda anual D = 1000 unidades, la cantidad económica de pedido Q es 200 unidades, el nivel de servicio deseado es 0.95, la desviación estándar de la demanda durante el plazo es σ L = 25 unidades y el plazo L = 15 días. Determinar el punto de nuevo pedido. Considere 250 días de trabajo al año. Z = 1,645 D5% = (1000/250)*15 +( Z*25) D5% = (60)+(1,645*25) =101 unidades

Ejemplo: La demanda diaria de un determinado producto se distribuye normalmente con una media de 60 unidades y una desviación estándar de 7 unidades. La fuente de suministro es confiable y mantiene un plazo de 6 días. El costo de colocación de un pedido es de $10 y los costos anuales de mantenimiento son de $0,50 por unidad. No existen costos de agotamiento de las existencias y los pedidos no satisfechos se suplen tan pronto como llegue el pedido. Suponga que hay ventas durante todo el año. Encuentre la cantidad de pedido y el punto de reorden para satisfacer al 95% de los clientes con base en las existencias disponibles. Suponga que se trabajan los 365 días al año.

Datos Demanda anual= 365* 60 = 21900 unidades por año Desviación estándar= 7 unidades Costo de hacer un pedido= $10 Costo de mantenimiento del Inventario anual = $ 0,50

Q=

2*C2* D 2 * 10 * 21900 = = 936 unidades C3 0.5

σ L = σ * L = 6 * 7 = 17.2 Z = 1.645 D% = (60 * 6) + (1.645 * 17.2) = 388.29 Unidades

Ejemplo:

Supóngase que se administra un almacén que distribuye determinado tipo de desayunos a los vendedores al menudeo. Este alimento tiene las siguientes características: Demanda promedio = 200 cajas al día Tiempo de entrega = 4 días de reabastecimiento por parte del proveedor Desviación estándar de la demanda diaria = 150 cajas Nivel de servicio deseado = 95% C2 = 20 dólares la orden i = 20% al año C1 = 10 dólares por caja Su póngase que se utilizará un sistema de revisión continua y también que el almacén abre cinco días a la semana, 50 semanas al año o 250 días al año. Demanda promedio anual = 250(200) = 50 000 cajas al año.

Q=

2*C2* D 2 * 20 * 50000 = = 1000 unidades C3 0.20 * 10

D = 200 * 4 = 800 cajas

σ L = σ * L = 150 * 4 = 300 cajas Z = 1.645 D% = (800) + (1.645 * 300) = 1294 Unidades

Modelo de periodo fijo de tiempo con inventarios de seguridad

En un sistema de periodo de tiempo fijo, el inventario se cuenta solo en determinados momentos, por ejemplo, cada semana o mes. Los modelos de periodos de tiempo fijo, generan cantidades de pedidos que varían de periodo a periodo, dependiendo de la tasa de utilización. Estas requieren, por lo general, una reserva de seguridad de mayor nivel que la del sistema de cantidad fija de pedido, ya que los modelos de tiempo fijo realizan el conteo solo en el momento específico de la revisión.

Modelo de periodo de tiempo fijo con un nivel de servicio especifico. En un sistema de periodo de tiempo fijo, los nuevos pedidos se colocan en el momento de la revisión (T), y la reserva de seguridad que debe reordenarse es: Reserva de seguridad = z σT+L

N° de Unidades Disponibles

Colocar un pedido

Colocar un pedido

Colocar un pedido

Reserva de Seguridad

Agotamiento de Existencias L

L T

L T

T

Donde: Q = Cantidad que debe ordenarse T = Número de días transcurridos entre las revisiones L = Plazo en días d = Demanda promedio diaria proyectada Z = Número de desviación estándar para un nivel de servicio específico zσ T+L = Desviación estándar de la demanda durante la revisión y el plazo I = Nivel actual de inventario (incluye los artículos ordenados) Para calcular el número previsto de faltantes se utiliza la ecuación siguiente: E(z) = dT (-P) σT+L E(z) = N° previsto de unidades faltantes en una tabla normalizada donde σ = 1 P = Nivel de servicio deseado y expresado como una fracción DT = Demanda durante el periodo de revisión en el cual la demanda diaria y T el Número de días σT+L = Desviación estándar durante el periodo de revisión y el plazo

La demanda diaria de un producto es de diez unidades con una desviación estándar de tres unidades. El periodo entre revisiones es de 30 días y el tiempo de entrega es de 14 días. Se tiene la intensión de proporcionar un 98% de la demanda con los artículos en existencia. El inventario inicial es de 150 unidades. σ T + L = σ d T + L = 3 30 + 14 = 19.9 Z * σ T + L = z 0.98 * 19.9 = 2.05 * 19.9 = 40.79 Q = d (T + L) + Z * σ T + L − Ii = 10 * (30 + 14) + 40.79 − 150 = 331 unidades .

Como política de inventarios para garantizar un 98% de no sufrir desabasto, se harán pedidos de 331 unidades para este periodo entre revisiones.

La demanda diaria de un artículo es de 120 unidades, con una desviación estándar de 30 unidades. El periodo entre revisiones es de 14 días y el tiempo de entrega es de 7 días. En el momento de la revisión se tenían 130 unidades. Si lo aceptable es el riesgo de desabasto del 1% ¿Cuántas unidades se deben pedir? σ (T + L ) = σ d T + L = 30 * 14 + 7 = 137.5 Z 99% = 2.33 Z * σ (T + L ) = 2.33 * 137.5 = 320.375 Q = d (T + L) + Z * σ (T + L ) − Ii = 120 + (14 + 7 ) + 320.375 − 130 = 2710.38

Cesar Augusto Figueredo G. Ingeniero Industrial Director de curso