´ n de los estudios de Apoyo para la preparacio Ingenier´ıa y Arquitectura ´ n a la Universidad) F´ısica (Preparacio

Unidad 2: Sistemas de Unidades

´cnica de Madrid Universidad Polite 12 de abril de 2010

2

2.1. 2.1.1.

Planificaci´ on de la Unidad Objetivos

1. Repasar las magnitudes/unidades fundamentales del Sistema Internacional (SI). 2. Obtener las magnitudes derivadas en funci´on de las fundamentales. 3. Conocer los m´ ultiplos y subm´ ultiplos en el SI.

2.1.2.

Actividades

1. Lectura del resumen del tema 2. Realizaci´on del cuestionario de la unidad 1 (enlace) 3. Realizaci´on de los ejercicios 4. Actividades complementarias a) Buscar informaci´on sobre unidades en el a´mbito de la titulaci´on. b) Redactar una peque˜ na rese˜ na (m´aximo 1 p´agina).

2.1.3.

Bibliograf´ıa

1. Libros de primero y segundo de Bachillerato. 2. P.A. Tipler y G. Mosca, F´ısica para Ciencias e Ingenier´ıa”, 5a Edici´on, Editorial Revert´e, 2005.

2.1.4.

Enlaces relacionados

1. Proyecto Newton: a) Magnitudes: http://newton.cnice.mec.es/1bach/medida/magnitudes.htm b) Sistema Internacional de unidades: http://newton.cnice.mec.es/1bach/medida/ si.htm 2. Oficina Internacional de Pesos y Medidas, BIPM, Par´ıs, Sistema Internacional de unidades (en ingl´es): http://www.bipm.org/en/si/

´ 2.2. INTRODUCCION

3

3. Centro Espa˜ nol de Metrolog´ıa, CEM, Sistema Internacional de Unidades, http:// www.cem.es/cem/es_ES/common/pop_externo.jsp?url=../metrologia/SI.pdf 4. National Institute of Standards and Technology, NIST, http://physics.nist. gov/cuu/Units/index.html

Figura 2.1: Trampa i´onica, coraz´on del reloj de iones de aluminio desarrollado en el NIST, que tiene una precisi´on de 1 segundo cada 3700 millones de a˜ nos (Foto: J. Koelemeij/NIST)

2.2.

Introducci´ on

Desde la antig¨ uedad, los hombres han buscado la forma de poder comparar las medidas, de modo que no hubiera enga˜ nos en el comercio. Los cambistas ten´ıan la misi´on de comprobar el peso y calidad de las monedas, para poder conocer su valor exacto. Hoy en d´ıa, las medidas deben ser comparables internacionalmente, por esto mismo se ha establecido un sistema internacional de unidades, que permita conocer con la mayor precisi´on posible las medidas realizadas en cualquier pa´ıs. Esta misi´on la llevan a cabo los centros metrol´ogicos, como el Centro Espa˜ nol de Metrolog´ıa (CEM) o el National Institute of Standards and Technology (NIST) el equivalente de los Estados Unidos de Am´erica.

2.3.

Sistema Internacional de unidades (SI): magnitudes fundamentales

En el a˜ no 1875, diecisiete pa´ıses firmaron el Convenio del Metro, que cre´o la oficina internacional de pesas y medidas, conocido por las siglas del franc´es BIPM.

4 En el seno de esta organizaci´on se cre´o un sistema de unidades, que conocemos como el Sistema Internacional de unidades o SI en el a˜ no 1960. En dicho sistema hay unas magnitudes, cuyas unidades son denominadas fundamentales, porque el resto de las unidades pueden ponerse en funci´on de ´estas. Estas unidades se recogen en la tabla 2.1.

2.4.

Unidades derivadas

Como hemos mencionado antes, todas las dem´as unidades se pueden poner en funci´on de las fundamentales. En el sistema internacional se recogen tambi´en otras unidades, que se conocen como unidades derivadas. En la tabla 2.2 podemos ver algunas de las magnitudes que pueden ponerse en funci´on de las magnitudes fundamentales.

2.4. UNIDADES DERIVADAS

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Tabla 2.1: Magnitudes fundamentales del Sistema Internacional y sus unidades Magnitud Longitud

Unidad metro (m)

Masa

kilogramo (kg)

Tiempo

segundo (s)

Intensidad de corriente el´ectrica

amperio (A)

Temperatura

Kelvin (K)

Cantidad de sustancia

mol (mol)

Intensidad luminosa

candela (cd)

Definici´on El metro (m) es la longitud que viaja un rayo de luz en el vac´ıo durante un intervalo de 1/299792458 de segundo. La velocidad de la luz se define como: c = 299 792 458 m s−1 En 1889 se defini´o el kilogramo patr´on como ”la masa de un cilindro de una aleaci´on de platino e iridio que se conserva en el Museo de Pesas y Medidas en Par´ıs” El segundo es la duraci´on de 9 192 631 770 per´ıodos de la radiaci´on correspondiente a la transici´on entre los estados hiperfinos del estado base del ´atomo de Cesio-133 El amperio es la intensidad de una corriente constante que, mantenida en dos conductores paralelos, rectil´ıneos, de longitud infinita, de secci´on circular despreciable y situados a una distancia de 1 metro uno del otro en el vac´ıo, producir´ıa entre esos conductores una fuerza igual a 2×10−7 newton por metro de longitud. El kelvin, unidad de temperatura termodin´amica, es la fracci´on 1/273,16 de la temperatura termodin´amica del punto triple del agua. El mol es la cantidad de sustancia de un sistema que tiene tantas entidades elementales como hay a´tomos en 0,012 kilogramos de carbono 12; su s´ımbolo es el ”mol”. Cuando se emplea el mol, las entidades elementales deben ser especificadas y pueden ser a´tomos, mol´eculas, iones, electrones, y otras part´ıculas o agrupamientos especificados de tales part´ıculas. La candela es la intensidad luminosa en una direcci´on dada, de una fuente que emite una radiaci´on monocrom´atica de frecuencia 540 × 1012 hercios y cuya intensidad de energ´ıa en esa direcci´on es 1/683 vatios por estereorradi´an.

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Tabla 2.2: Magnitudes derivadas del Sistema Internacional y sus unidades Magnitud derivada

a´ngulo a´ngulo s´olido frecuencia fuerza presi´on, tensi´on energ´ıa, trabajo, calor potencia, flujo radiante carga el´ectrica, cantidad de electricidad diferencia de potencial fuerza electromotriz capacidad resistencia el´ectrica conducci´on el´ectrica flujo magn´etico densidad de flujo magn´etico inducci´on temperatura Celsius flujo luminoso luminancia actividad radioactiva dosis equivalente

Nombre

S´ımbolo

rad

Expresi´ on en funci´ on de otras unidades SI -

Expresi´ on en funci´ on de otras unidades fund SI m·m−1 = 1

radian stereorradian

sr

-

m2 ·m−2 = 1

herzio newton pascal julio vatio culombio

Hz N Pa J W C

N/m2 N·m J/s -

s−1 m·kg·s−2 m−1 ·kg·s−2 m2 ·kg·s−2 m2 ·kg·s−3 s·A

voltio

V

W/A

m2 ·kg·s−3 ·A−1

faradio ohm siemens weber tesla

F Ω S Wb T

C/V V/A A/V V·s Wb/m2

m−2 ·kg−1 ·s4 ·A2 m2 ·kg·s−3 ·A−2 m−2 ·kg−1 ·s3 ·A2 m2 ·kg·s−2 ·A−1 kg·s−2 ·A−1

henrio grado Celsius lumen lux

H ˚C lm lx

Wb/A cd·sr (c) lm/m2

becquerel sievert

Bq Sv

J/kg

m2 ·kg·s−2 ·A−2 K m2 ·m−2 ·cd = cd m2 ·m−4 ·cd = −2 m ·cd s−1 m2 ·s−2

´ ´ 2.5. MULTIPLOS Y SUBMULTIPLOS Tabla Factor 1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101

2.5.

7

2.3: M´ ultiplos y subm´ ultiplos del Sistema Internacional Nombre S´ımbolo Factor Nombre S´ımbolo yotta Y 10−1 deci d −2 zetta Z 10 centi c exa E 10−3 milli m −6 peta P 10 micro µ −9 tera T 10 nano n giga G 10−12 pico p −15 mega M 10 femto f −18 kilo k 10 atto a −21 hecto h 10 zepto z deca da 10−24 yocto y

M´ ultiplos y subm´ ultiplos

Como en muchas ocasiones estas unidades pueden llegar a ser muy peque˜ nas o muy grandes respecto de la medida de la muestra que tenemos es necesario definir m´ ultiplos y subm´ ultiplos de las mismas. En la tabla 2.3 podemos ver los m´ ultiplos y subm´ ultiplos del sistema internacional.

2.6.

An´ alisis dimensional

Decimos que una ecuaci´on es homog´ enea cuando todos sus miembros tienen las mismas dimensiones f´ısicas. Todas las ecuaciones en F´ısica tienen que ser homog´eneas. De esta forma, podemos encontrar la expresi´on de cualquier magnitud f´ısica en t´erminos de las magnitudes fundamentales. Veamos algunos ejemplos: Ejemplo 1: Halla la expresi´on del Newton (N) en funci´on de las unidades fundamentales. Puesto que: d2 x dt2 podemos hallar la expresi´on de la f´ormula dimensional de la magnitud fuerza, [F ], en funci´on de las magnitudes masa, [M ], Longitud, [L] y Tiempo, [T ]: F = ma = m

[F ] = [M ][L][T ]−2 por lo que: N = kg m s−2

8 Ejemplo 2: Halla la expresi´on del Culombio (C) en funci´on de las unidades fundamentales. Puesto que: dQ dt podemos hallar la expresi´on de la magnitud carga el´ectrica, [Q], en funci´on de las magnitudes corriente el´ectrica, [I] y Tiempo, [T ]: I=

[Q] = [I][T ] as´ı que C=As

2.7.

Ejercicios resueltos

~ en funci´on de las mag2.7.1. Obt´en la expresi´on de la magnitud del momento angular L nitudes fundamentales del sistema internacional, sabiendo que su variaci´on con el tiempo viene dada por la expresi´on: ~r × F~ =

~ dL dt

(2.1)

donde ~r es una distancia y F~ es una fuerza. Justifica la respuesta. ´ SOLUCION: Partiendo de la ecuaci´on dada y despejando las dimensiones de L, obtenemos: [L] = [r] [F ] [T ]

(2.2)

Como r y t ya son magnitudes fundamentales, s´olo queda escribir F en funcion de las fundamentales. Haciendo uso de la segunda ley de Newton, podemos ver que: [F ] = [M ] [L] [T ]−2

(2.3)

Sustituyendo en la ecuaci´on 2.2, obtenemos: [L] = [M ] [L]2 [T ]−1

(2.4)

2.7.2. Determina las unidades de k1 y k2 en funci´on de las unidades fundamentales del Sistema Internacional de Unidades, para que las siguientes ecuaciones sean homog´eneas: a) p = k1 ρ m

2.7. EJERCICIOS RESUELTOS b) v =

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√ k2 h

donde p es una presi´on, ρ es una densidad de masa por unidad de volumen, v es una velocidad, y h es una distancia. Justifica la respuesta. ´ SOLUCION: a) p = k1 ρ m Para obtener las dimensiones de k1 , despejamos en la ecuaci´on: [k1 ] = [p] [ρ]−1 [M ]−1

(2.5)

donde M es ya una dimensi´on fundamental y hay que convertir p y ρ. La presi´on se define como fuerza por unidad de a´rea, por lo que podemos expresarla en funci´on de las magnitudes de la siguiente forma: [p] = [F ] [L]−2 = [M ] [L]−1 [T ]−2 = kg m−1 s−2

(2.6)

Por su parte, la densidad es una masa por unidad de volumen, por lo que tendremos: [ρ] = [M ] [L]−3 = kg m−3

(2.7)

Sustituyendo las ecuaciones 2.6 y 2.7 en 2.5, obtenemos: [k1 ] = kg m−1 s−2 kg−1 m3 kg−1 = kg−1 m2 s−2

(2.8)

√ b) v = k2 h Para obtener las unidades de k2 , despejamos en la ecuaci´on dada, elevando al cuadrado ambos t´erminos: [k2 ] = [v]2 [h]−1 = m2 s−2 m−1 = m s−2

(2.9)

2.7.3. Determina las unidades de k1 y k2 en funci´on de las unidades fundamentales del Sistema Internacional de Unidades, para que las siguientes ecuaciones sean homog´eneas: NT V b) F t = k2 (v1 − v2 )

a) p = k1

donde p es una presi´on, N es una variable adimensional, T es una temperatura, V es un volumen, F es una fuerza, y v1 y v2 son velocidades. Justifica la respuesta. ´ SOLUCION:

10 NT V Para obtener las dimensiones de k1 , despejamos en la ecuaci´on:

a) p = k1

[k1 ] = [p] [N T ]−1 [V]

(2.10)

donde N es adimensional, T es magnitud fundamental y hay que convertir p y V. La presi´on se define como fuerza por unidad de a´rea, por lo que podemos expresarla en funci´on de las magnitudes de la siguiente forma: [p] = [F ] [L]−2 = [M ] [L]−1 [T ]−2 = kg m−1 s−2

(2.11)

Por su parte, el volumen es longitud al cubo: [V] = m3

(2.12)

Sustituyendo las ecuaciones 2.11 y 2.12 en 2.10, obtenemos: [k1 ] = kg m−1 s−2 K−1 m3 = kg m2 s−2 K−1

(2.13)

b) F t = k2 (v1 − v2 ) Para obtener las unidades de k2 , despejamos en la ecuaci´on dada, tomando v1 − v2 : [k2 ] = [F ] [t] [v]−1 = kg m s−2 s m−1 s = kg

2.8.

(2.14)

Ejercicios propuestos

2.8.1. Busca en internet algunas de las unidades que no est´en en el Sistema Internacional, pero que sean de una gran aplicaci´on en la vida diaria. 2.8.2. A partir de alguna expresi´on en la que aparezca la correspondiente magnitud, determina en qu´e unidades fundamentales del Sistema Internacional se expresan las siguientes magnitudes: 1) Momento angular. 2) Aceleraci´on angular. 3) Momento de inercia. ~ en funci´on de las 2.8.3. Obt´en la expresi´on de la magnitud de la inducci´on magn´etica B magnitudes fundamentales del sistema internacional, sabiendo que la fuerza F~ sobre una part´ıcula cargada con carga q movi´endose con una velocidad ~v , viene dada por la expresi´on: ~ F~ = q ~v × B (2.15)

2.8. EJERCICIOS PROPUESTOS

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2.8.4. Determina las unidades de k1 y k2 en funci´on de las unidades fundamentales del Sistema Internacional de Unidades, para que las siguientes ecuaciones sean homog´eneas: a)

q1 q2 F~ = k1 2 ~u12 r12

(2.16)

~ ×B ~ ~r × F~ = k2 S

(2.17)

b) donde F es una fuerza, q1 y q2 son cargas, r12 y r son distancias, ~u12 es un vector ~ es el vector superficie y B ~ es la inducci´on magn´etica. unitario, S 2.8.5. Un objeto situado en el extremo de una cuerda se mueve siguiendo una circunferencia. Sabiendo que la fuerza ejercida por la cuerda, F , depende de la masa, M del objeto, de su velocidad v y del radio de la circunferencia R, ¿cu´al ser´a la expresi´on de F en funci´on de M , v y R para que las dimensiones sean las correctas? Justifica la respuesta. 2.8.6. La presi´on, P , sobre un cuerpo sumergido en un fluido a una profundidad h depende de la densidad del fluido, ρ, de la aceleraci´on de la gravedad g y de la profundidad h, ¿cu´al ser´a la expresi´on de P en funci´on de ρ, g y h para que las dimensiones sean las correctas? Justifica la respuesta. 2.8.7. La tensi´on superficial ocasiona la elevaci´on o descenso, h, de la altura de un l´ıquido por un tubo capilar, de acuerdo con la siguiente expresi´on: h=

2σ cos α rρg

(2.18)

donde σ es la tensi´on superficial del l´ıquido, r es el radio del capilar, ρ es la densidad de masa por unidad de volumen del l´ıquido, g es la aceleraci´on de la gravedad y α es el a´ngulo de contacto entre el l´ıquido y el tubo. Deduce cu´ales ser´an las unidades de la tensi´on superficial de la expresi´on anterior expresadas en unidades b´ asicas del Sistema Internacional.