11

CAPITULO 1 INVENTARIOS

En este capitulo hablaremos de los inventarios, su razón de ser, la teoría de inventarios, los modelos de inventario y su complejidad.

Para el desarrollo del capítulo fue de gran utilidad Hadley [3] (1963) pues de éste se tomaron los supuestos y las ecuaciones matemáticas para los modelos que SISI/ TS/ AG/ SR resuelve. La mayor parte de la teoría que se presenta a continuación se obtuvo de Winston [10] (1994), también se cita a Gould [2] (1992) y a Prawda [8] (1980). Para mostrar la complejidad de las ecuaciones de costos fue de gran utilidad Posada [7] (1988).

1.1 Definición. Por inventario se entiende un conjunto de recursos útiles que se encuentran ociosos en algún momento (Prawda [8] (1980)).

1.2 ¿Por qué mantener inventario? Gould [2] (1992) lista varias razones por las que se mantiene inventario: 1) Los inventarios minimizan el tiempo entre la oferta y la demanda. 2) La posibilidad de almacenar inventarios contribuye con frecuencia a bajar los costos de producción, pues es más económico producir algunos artículos en grandes lotes aun cuando no haya pedidos inmediatos para ellos. 3) Los

inventarios

proporcionan

una

forma

disfrazada

de

almacenar

trabajo.

Capítulo 1 Inventarios

12

4) El inventario es la forma de proporcionar al consumidor un servicio oportuno del artículo que necesita.

1.3 Objetivo de los modelos de inventario. De acuerdo a Winston [10] (1994), la teoría de inventarios surge con la finalidad de determinar las reglas que la gerencia pueda aplicar para reducir al mínimo los costos relacionados con el mantenimiento de existencias y cumplir con la demanda del consumidor. Así los modelos de inventario responden a las siguientes preguntas: 1) ¿Cuándo se debe pedir un producto? 2) ¿Cuánto se debe pedir del producto?

1.4 Costos de los modelos de inventario. Los costos en los que

incurren los modelos de inventario se presentan a

continuación: •

Costo unitario de compra ( C ).- Es el costo variable relacionado con la compra de una unidad. Comúnmente éste comprende el costo variable de la mano de obra, el costo variable indirecto y el costo de materia prima relacionado con la compra o producción de una unidad. Si los artículos son proporcionados por una fuente externa se debe incluir en el costo unitario de compra el costo de embarque.

•

Costo de almacenamiento (Ca).- Es el costo de tener una unidad de inventario durante un lapso de tiempo. Comprende el costo de almacenamiento, de seguro, de impuesto sobre existencias, de la posibilidad de degradación, robo u obsolescencia. El costo más importante, comprendido dentro del costo de almacenamiento, es el costo de oportunidad en el que se incurre por sujetar capital al inventario.

Capítulo 1 Inventarios

•

13

Costo de agotamiento o escasez (Cs).- Se dice que hay escasez, agotamiento o faltante cuando un cliente pide un producto y su demanda no se cumple a tiempo. Si el cliente acepta una entrega en una fecha posterior se tiene el caso de venta pendiente, si no acepta una entrega atrasada se tiene el caso pérdida de venta.

1.5 Hipótesis para los modelos de inventario. Para que sean válidos los modelos de inventario se deben satisfacer las siguientes hipótesis (Winston [10] (1994)): 1) Pedido repetitivo.- La decisión de pedir se repite en forma regular. Es decir, se coloca un pedido, a medida que se consume el inventario se colocará otro y así sucesivamente. 2) Periodo continuo.- Un pedido se puede hacer en cualquier ocasión. Los modelos de inventario que permiten esto se llaman modelos de revisión continua. Si la cantidad de inventario disponible se revisa en forma periódica y sólo se tienen pedidos en forma periódica, tenemos un modelo de revisión periódica.

1.6 Modelos de inventario estocástico. Un inventario estocástico es aquel en el cual la demanda y/o el tiempo de entrega es aleatorio con una distribución conocida. Los modelos que se estudian en este capítulo son los siguientes: •

Modelo

•

Modelo

•

Modelo

•

Modelo

Capítulo 1 Inventarios

•

14

Modelo

1.6.1 Modelo Este modelo tiene una política de revisión continua de inventario en la que se pide una cantidad Q cuando el inventario alcanza el punto de reorden r (Winston [10] (1994)). Una condición que se debe satisfacer es el hecho de que el tiempo de entrega sea diferente a cero.

Los siguientes supuestos se hacen (Hadley [3] (1963)): 1) El costo C unitario del artículo es una constante independiente de Q. 2) El costo de ordenar Co es por pedido. 3) Nunca hay más de una orden unitaria saliendo. 4) El costo de operar el sistema de procesar información es independiente de Q y de r. 5) El punto de reorden r es positivo.

CASO VENTA PENDIENTE. El costo anual incluye el costo de ordenar, el costo de mantener inventario y el costo de escasez.

El costo promedio anual de ordenar es: D Co  Q

donde D es la demanda promedio anual.

Capítulo 1 Inventarios

15

El costo promedio anual de almacenamiento es: Q  Ca  + r − µ 2 

donde µ es la demanda esperada durante el tiempo de entrega

El costo promedio anual de escasez es: D ∞ Cs  ∫r xh( x) dx − rH (r )   Q  donde h(x) es la distribución marginal de la demanda durante el tiempo de entrega y H(x) es la acumulativa complementaria de h(x).

La ecuación de costo promedio anual total es (Hadley [3] (1963)):  D D ∞ Q  CT (Q, r ) = Co  + Ca  + r − µ + Cs  ∫r xh( x) dx − rH (r )   2  Q  Q 

El comportamiento en el tiempo del inventario se muestra en la figura 1.1

CASO PERDIDA DE VENTA. Los siguientes supuestos se hacen (Hadley [3] (1963)): 1) El costo C unitario del artículo es una constante independiente de Q. 2) Nunca hay más de una orden unitaria saliendo. 3) El costo de operar el sistema de procesar información es independiente de Q y de r.

Nivel del Inventario

Q+r Posición del Inventario

r Inventario Neto

0 Figura 1.1.- Modelo Caso Venta Pendiente

Ventas pendientes

t

Capítulo 1 Inventarios

17

Lo que cambia en la ecuación de costo total es el costo de escasez:   D  ∞  Ca + Cs   ∫r xh( x )dx − rH (r )  Q   La ecuación de costo promedio anual total es (Hadley [3] (1963)):  D  D  ∞ Q   CT (Q, r ) = Co  + Ca  + r − µ + Ca + Cs   ∫ xh( x) dx − rH ( r )   2   Q  Q   r

El comportamiento en el tiempo del inventario se muestra en la figura 1.2

1.6.2 Modelo Debido a los supuestos del modelo se puede hacer un pedido exactamente cuando el nivel de inventario alcanza el punto de reorden r. Supongamos que en cualquier instante puede llegar una demanda de más de una unidad, el supuesto permite que se haga un pedido cuando el nivel del inventario es menor a r. Por ejemplo, si nuestro nivel de inventario es 32 y el punto de reorden es 30 y llega un pedido de cinco unidades, se hace un pedido cuando el nivel del inventario es 28 en lugar de hacerlo cuando es de 30. En este caso una política no minimiza el costo anual, entonces se debe aplicar una política .

La política consiste en hacer un pedido cuando el nivel del inventario sea igual o menor a r, siendo la cantidad a pedir aquella que permita llevar el nivel del inventario a R . Las ecuaciones para los casos venta pendiente y pérdida de venta son las mismas que las del modelo .

Nivel del Inventario Q+r Posición del Inventario

r Inventario Neto

0 Figura 1.2.- Modelo Caso Pérdida de Venta

t

Capítulo 1 Inventarios

19

La figura 1.3 muestra el comportamiento del inventario a lo largo del tiempo para el caso venta pendiente mientras que la figura 1.4 lo muestra para el caso pérdida de venta.

1.6.3 Modelo Este es un modelo de revisión periódica. T denota el tiempo que transcurre entre pedido y pedido, en cada revisión se ordena una cantidad de tal manera que el nivel del inventario llegue a R. Se hacen los siguientes supuestos (Hadley [3] (1963)): 1) El costo Cr de hacer una revisión es independiente de las variables R y T. 2) El costo C del artículo es una constante independiente de la cantidad a ordenar. 3) Se incurre en ventas pendientes sólo en cantidades muy pequeñas. 4) El costo de escasez Cs es independiente de la longitud del tiempo que exista desde la carencia hasta que ésta se satisface. 5) Cuando el tiempo de entrega es una variable aleatoria se asume que las órdenes se reciben en el mismo orden en que se colocaron. Además, los tiempos para las diferentes órdenes pueden ser tratados como variables aleatorias independientes.

CASO VENTA PENDIENTE. El costo promedio anual de revisión es: 1 Cr   T  El costo promedio anual de ordenar es: 1 Co  T 

Nivel del Inventario

R Posición del Inventario

Q1

Q2

r

Inventario Neto 0 Figura 1.3.- Modelo Caso Venta Pendiente

Ventas pendientes

t

Nivel del Inventario

R Posición del Inventario

Q1

Q2

r

Inventario Neto 0 Figura 1.4.- Modelo Caso Pérdida de Venta

t

Capítulo 1 Inventarios

22

El costo promedio anual de almacenamiento es:

DT   Ca  R − µ − 2   El costo promedio anual de escasez es: 1 ∞ Cs  ∫ ( x − R) h ( x, T ) dx  T R  donde

f(x, τ + T) si el tiempo de entrega τ es constante h(x,T)

f(x, τ + T)g(τ)dτ si el tiempo de entrega τ es una variable aleatoria.

Siendo g(τ) la distribución del tiempo de entrega.

La ecuación para el costo promedio anual total es (Hadley [3] (1963)):

DT  1  1 CT ( R,T ) = (Cr + Co)  + Ca  R − µ − + Cs   2  T   T

∫

∞

R

 ( x − R) h( x, T )dx  

La figura 1.5 muestra el comportamiento del inventario a lo largo del tiempo.

CASO PERDIDA DE VENTA Se debe hacer una pequeña corrección al costo promedio anual de almacenamiento: ∞ DT   Ca  R − µ − + ∫ ( x − R )h ( x, T ) dx  R 2  

Nivel del Inventario R Posición del Inventario

Inventario Neto

0

T

2T

Figura 1.5.- Modelo Caso Venta Pendiente

3T

Ventas 4T pendientes

t

Capítulo 1 Inventarios

24

La ecuación del costo promedio anual total es (Hadley [3] 1963):

DT   Cs   ∞ 1  CT ( R,T ) = (Cr + Co)  + Ca  R − µ − + Ca +    ∫R ( x − R) h( x, T ) dx    2   T  T   La figura 1.6 muestra el comportamiento del inventario a través del tiempo.

1.6.4 Modelo Este modelo es de revisión periódica, en él la cantidad a ordenar es un entero múltiplo de Q. Por ejemplo, la cantidad a ordenar es nQ donde n = 1, 2, 3... El valor de n se elige de tal forma que sea el entero más grande que permite que una vez que ha sido colocada una orden el nivel del inventario sea adecuado, es decir, que se encuentre dentro del intervalo [r, r + Q].

Se tienen los siguientes supuestos (Hadley [3] (1963)): 1) La demanda en periodos diferentes es una variable aleatoria independiente. 2) Se demanda una unidad a la vez. 3) El costo C unitario es una constante independiente de la cantidad a ordenar

MODELO PARA CUANDO LA DEMANDA ES GENERADA POR UN PROCESO POISSON . El costo promedio anual de revisión es: 1 Cr  T 

Nivel del Inventario R Posición del Inventario

Inventario Neto

0

T

2T

Figura 1.6.- Modelo Caso Pérdida de Venta

3T

4T

t

Capítulo 1 Inventarios

26

El costo promedio anual de ordenar es: 1 Co  p or T  donde p or es la probabilidad de colocar una orden en cualquier tiempo de revisión.

p or =

1 Q ∑ H ( j, DT ) Q j =1

donde H(j, DT) es la distribución acumulativa complementaria de h(j,DT) .

El costo promedio anual de almacenar es: Q 1 DT  Ca  + − µ − + CaB( Q, r , T ) 2  2 2 donde B(Q, r, T) es el número promedio de unidades demandadas anualmente en periodo de escasez. 1 B(Q, r , T ) = QT

r +Q

τ+T ∞

∑ ∫ ∑ ( x − u) p (x, Dξ)dξ

u =r +1

τ

x=u

donde ξ se encuentra entre τ y τ +T y p(x,Dξ) es la probabilidad de que x unidades sean demandadas en el tiempo ξ.

El costo promedio anual de escasez es: CsE (Q, r , T ) + CsB(Q, r , T )

donde E(Q, r, T) es el número promedio de veces que habrá escasez en un año.

Capítulo 1 Inventarios

27

∞

Q

∑ (x − r − j){ p[x , D(τ + T )] − p (x, Dτ )}

E (Q, r , T ) = ∑

j =1 x =r + j

La ecuación del costo promedio anual total es (Hadley [3] (1963)):

Cr Co DT  Q 1 + por + Ca  + − µ − + CsE (Q, r ,T ) + T T 2  2 2 (Cs + Ca) B( Q, rT ) CT (nQ, r ,T ) =

MODELO PARA UNA DEMANDA GENERADA POR UN PROCESO NORMAL. Cuando la demanda es generada por un proceso normal con media λt y varianza Dt en un intervalo de tiempo de longitud

t, los costos son iguales a los del caso de una

demanda generada por un proceso Poisson por lo que la ecuación del costo total anual es la misma lo que cambia es el cálculo de p or, E(Q, r, T) y B(Q, r, T) :

1 Q  y − λT  φ  dy Q ∫0  DT 

p or =

donde φ es la función de densidad, λT es la media y DT es la varianza en el tiempo T.

E (Q, r , T ) =

1 QT

r +Q

∞

r

u

∫ ∫

B(Q, r , T ) =

  ξ − λ(τ + T )  1 1  ξ − λτ  φ φ dξdu −  Dτ  Dτ   D(τ + T )  D(τ + T ) 

1 QT

r +Q

r +T

r

r

∫ ∫ ∫

∞

u

(ξ − u )

1  ξ − λt  φ dξdtdu Dt  Dt 

Capítulo 1 Inventarios

28

En la figura 1.7 se muestra el comportamiento del inventario a través del tiempo para el caso venta pendiente mientras que en la 1.8 se muestra éste para el caso pérdida de venta.

1.6.5 Modelo Es un modelo de revisión periódica que sigue una política de tipo R, r, es decir, se hace un pedido cuando el nivel del inventario es igual o menor a r, siendo la cantidad a pedir aquella que lleve el nivel del inventario a R.

Se deben de tomar en cuenta los siguientes supuestos (Hadley [3] (1963)): 1) Los procesos estocásticos que generan la demanda no cambian con el tiempo. 2) Las demandas en diferentes períodos son independientes. 3) Los tiempos de entrega son constantes.

En esta doctrina no se requiere colocar una orden en cada revisión, el tiempo transcurrido entre dos órdenes siempre será un múltiplo del tiempo T, por ello el número de periodos por año es una variable aleatoria, por lo tanto la longitud del ciclo también lo es y puede asumir únicamente valores de nT donde n =1, 2, 3,...

MODELO PARA CUANDO LA DEMANDA SE COMPORTA COMO VARIABLE DISCRETA. El costo promedio anual de revisión es: 1 Cr  T 

Nivel del Inventario Q+r Posición del Inventario r n=1

n=2

Inventario Neto n=3

0

T

2T

Figura 1.7- Modelo Caso Venta Pendiente

Ventas 3T Pendientes

4T

t

Nivel del Inventario Q+r Posición del Inventario r n=1

n=2

Inventario Neto n=3

0

T

2T

Figura 1.8- Modelo Caso Pérdida de Venta

3T

4T

t

Capítulo 1 Inventarios

31

El costo promedio anual de ordenar es: 1 Co  T  El costo de almacenamiento y venta pendiente por ciclo es: ∞ R− r

∑∑ p

(n )

( R − r − j , T )C ( r + j , T )

n = 0 j =1

donde p(n)(R-r-j, T) es la probabilidad de que exactamente R-r-j unidades se demanden en un período de longitud nT y C(r+j, T) es el costo esperado de mantener inventario y de incurrir en ventas pendientes.

El número esperado de períodos en un ciclo es: ∞ R− r

∑∑ np n =1 j =1

( n −1)

[R − r − j, T ]H ( j, T )

donde H(j, T) es la distribución acumulativa complementaria de h(j,T) .

La ecuación del costo promedio anual total es (Hadley [3] (1963)):

∞ R −r

CT ( R, r ,T ) =

Cr + T

Co + ∑∑ p (n ) ( R − r − j , T )C ( r + j , T ) n = 0 j =1

∞ R −r

T ∑∑ np( n −1) [R − r − j , T ]H ( j ,T ) n =1 j =1

Capítulo 1 Inventarios

32

El comportamiento del inventario a través del tiempo para el caso venta pendiente se muestra en la figura 1.9 mientras que para el caso pérdida de venta se muestra en la figura 1.10

MODELO PARA CUANDO LA DEMANDA SE COMPARTA COMO VARIABLE CONTINUA. Este modelo se emplea cuando R, r y la demanda son variables aleatorias continuas. Suponemos, de acuerdo a Hadley [3] (1963), que el tiempo de entrega es constante.

El costo promedio anual de revisión es: 1 Cr  T  El costo promedio anual de ordenar es: 1 Co  T  El costo de almacenamiento esperado por ciclo es: ∞

∑∫ n =1

r −R

0

V ( n ) ( R − r − x, T )C (r + x ,T ) dx + C ( R, T )

donde v(n)(R-r-x, T)dx es la probabilidad de que al tiempo t0 +nT la posición del inventario se encuentre entre x y x+dx dado que ninguna orden se ha puesto desde el tiempo t0 . C(r+x, T) es el costo esperado de mantener inventario e incurrir en ventas pendientes, C(R, T) es este mismo costo y corresponde al tiempo t0 .

Nivel del Inventario R Posición del Inventario r

Inventario Neto

0

T

2T

Figura 1.9- Modelo Caso Venta Pendiente

Ventas 3T Pendientes

4T

t

Nivel del Inventario R Posición del Inventario r

Inventario Neto

0

T

2T

Figura 1.10- Modelo Caso Pérdida de Venta

3T

4T

t

Capítulo 1 Inventarios

35

La longitud esperada de los ciclos es:

 ∞ R −r  T ∑ ∫ nv ( n −1) ( R − r − x , T )V ( x, T ) dx + V ( R − r , T ) 0  n= 2  donde V(x, T) es la acumulativa complementaria de v(x, T) , ésta última es la función de densidad de la demanda en un periodo.

La ecuación de costo promedio anual total es (Hadley [3] (1963)): ∞

Co + ∑ ∫0

R −r

v ( n ) ( R − r − x, T )C ( r + x, T )dx + C ( R, T ) Cr n =1 CT ( R, r , T ) = + ∞ R −r T   T ∑ ∫ nv ( n −1 ) ( R − r − x, T )V ( x,T ) dx + V ( R − r ,T )  0  n= 2  1.7 Complejidad de las ecuaciones de costos. Para obtener los parámetros de cada modelo es necesario derivar la ecuación con respecto a cada uno de ellos. Así el sistema de ecuaciones para el modelo en el caso venta pendiente es el siguiente (Posada [7] (1988)):

[

]

Q* = 2D Co + CsC (r * ) / Ca

∫

∞

r

*

f ( x) dx = (CaQ * ) /( CsD)

Este sistema de ecuaciones es relativamente sencillo de resolver, una dificultad es que tenemos el parámetro r en el límite inferior de la integral.

Capítulo 1 Inventarios

36

El sistema de ecuaciones de los otros modelos es más complejo, por ejemplo para el modelo el sistema de ecuaciones para el caso venta pendiente es el siguiente (Posada [7] (1988)): IC = π / T [H ( R, T )] ∞

H ( R, T ) = ∫ h ( x, T ) dx R

donde

f(x, τ + T) si el tiempo de entrega τ es constante h(x, T) τ max

∫

τ min

f ( x, τ2 + T ) g (τ 2 ) dτ 2 si el tiempo de entrega τ es una variable aleatoria.

Se observa que es imposible resolverlo analíticamente, la solución se daría mediante un método numérico.

A medida que avanzamos, en el orden en que fueron presentados los modelos, la complejidad es mayor.

En cada uno de los modelos que se han presentado

observamos que se deben

derivar integrales o sumatorias que contienen en sus límites los parámetros que buscamos, por ello resulta complejo encontrar óptimos matemáticamente y surge la opción de utilizar heurísticos para proporcionar buenas soluciones.