ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDEResumen teor´ıa Prof. Alc´ on

Enteros • Z = −N ∪ {0} ∪ N umeros enteros es un n´ umero entero y • Las operaciones + y . son cerradas en Z, es decir la suma de dos n´ el producto de dos n´ umero enteros es tambi´en un n´ umero entero. Adem´as: + es asociativa, es conmutativa, el elemento neutro 0 ∈ Z, y dado x ∈ Z su opuesto −x ∈ Z. . es asociativa, es conmutativa, el elemento neutro 1 ∈ Z. • Sean a, b ∈ Z, b ̸= 0. Se dice que b divide a a, o que b es divisor de a, o que a es divisible por b, o que a es m´ ultiplo de b, si existe k ∈ Z tal que a = k.b. En general b divide a a se denota b | a y b no divide a a se indica b - a. • Todo n´ umero entero no nulo es divisor de 0. • Sean a, b ∈ Z. b | a ⇔ −b | a ⇔ −b | −a ⇔ b | −a. • Sean a, b, c ∈ Z. a | b ∧ b | c ⇒ a | c. a | b ∧ a | c ⇒ a | b + c ∧ a | b − c. • Si a y b son enteros no nulos y b | a entonces | b |≤| a |. Demostraci´ on: Como b | a, entonces existe k ∈ Z tal que a = k.b. Entonces | a |=| k.b |=| k | . | b |. Como k ̸= 0, entonces | k |≥ 1. Resulta de lo anterior | a |≥ 1. | b |=| b | . • Sean a, b ∈ Z. a | b ∧ b | a ⇒| a |=| b |. • Sea a ∈ Z, a divide a 1 si y solo si | a |= 1. • Todo n´ umero entero a distinto de 1 y −1 admite al menos cuatro divisores: 1, −1, a y −a. Un n´ umero entero se dice primo, si tiene exactamente cuatro divisores. • p es primo ⇔ −p es primo. • Todo n´ umero entero distinto de 1 o −1 es divisible por alg´ un n´ umero primo. Demostraci´ on: Si a = 0, la proposici´on es verdadera pues, por ejemplo, 2 es primo y 2 divide a 0. Si a ≥ 2 probaremos por inducci´on en a que a es divisible por alg´ un n´ umero primo. Para a = 2, la proposici´on es verdadera pues 2 es primo y 2 divide a 2. Hip´otesis inductiva (fuerte): Sea k ≥ 2, cualquiera. Supongamos que para cada entero s con 2 ≤ s ≤ k, existe alg´ un primo ps que divide a s. Veamos que la proposici´on vale para a = k + 1. Si k + 1 es primo, la proposici´on vale pues k + 1 divide a k + 1. Si k + 1 no es primo, entonces existe un entero s distinto de ±1 y ±(k + 1) tal que s divide a k + 1; podemos suponer que s es positivo; adem´as como s divide a k + 1 debe ser s ≤ k + 1, resulta 2 ≤ s ≤ k. Por la HI, existe un primo ps que divide a s y por lo tanto divide a k + 1, como quer´ıamos probar. Finalmente, si a ≤ −2, entonces −a ≥ 2. Por lo demostrado anteriormente existe un primo que divide a −a; el mismo primo divide a a.

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• Si n ∈ N, n ̸= 1 y n no es primo, entonces existe p primo que divide a n tal que p2 ≤ n. Demostraci´ on: Sea p0 el menor primo positivo que divide a n, es decir p0 es el primer elemento del conjunto {p ∈ N : p primo y p divide a n}. Observar que tal elemento existe pues este es un subconjunto no vac´ıo de N (es no vac´ıo por la proposici´on anterior y porque n ̸= ±1) y N es un conjunto bien ordenado. Ahora, como p0 divide a n, entonces existe k ∈ N tal que n = k.p0 ; es claro que k ̸= ±1 pues n no es primo. Por la proposici´on anterior existe p1 primo, podemos considerarlo positivo, tal que p1 divide a k. Resulta que p1 divide a n. Por la elecci´on de p0 debe ser p0 ≤ p1 , como adem´as p1 ≤ k tenemos que p0 ≤ k. Finalmente concluimos n = k.p0 ≥ p0 .p0 = (p0 )2 , como quer´ıamos probar. Ejercicio: ver que 97 es primo, ver que 101 es primo. umero primos es infinito. • El conjunto de los n´ • Considere los n´ umeros primos positivos ordenados en forma creciente, p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, ...., pk , .... Para cualquier k ≥ 2, vale que pk+1 ≤ p1 .p2 ...pk − 1. • N´ umeros primos hasta 200: 2,3,5,7, 11,13,17,19, 23,29, 31,37, 41,43,47, 53,59, 61,67, 71,73,79, 83,89, 97, 101,103,107,109, 113, 127,

131,137,139, 149, 151,157, 163,167, 173, 179, 181, 191,193,197, 199

Criba de Erat´ostenes. • Teorema (algoritmo de la divisi´ on en Z). Sean a, d ∈ Z, d = ̸ 0. Existe un u ´nico par de n´ umeros q,r∈ Z, tales que: 1. a = q.d + r, y 2. 0 ≤ r 0 se dice una combinaci´ on lineal entera positiva. De la demostraci´on del resultado anterior resulta que (a, b) es la menor combinaci´on lineal entera positiva de a y b y esto implica que ∃ m, n ∈ Z tales que (a, b) = m.a + n.b. • Sean a, b ∈ Z no nulos, (a, b) = (a, −b) = (−a, −b) = (−a, b). • Sean a, b ∈ N y sea r el resto de la divisi´on de a por b. Vale que (a, b) = (b, r). Este resultado es la base del algoritmo de Euclides para el c´alculo pr´actico de (a, b). • Si p es primo y p | a.b entonces p | a o p | b. • Sean a, b ∈ Z. a y b se dicen coprimos si (a, b) = 1. • Son coprimos: 1. p y q, para p y q primos distintos cualesquiera. 2. p y (p − 1)!, para p primo cualquiera mayor que 2. 3.

a (a,b)

y

b (a,b) ,

para a y b enteros cualesquiera no nulos.

OBSERVACION: Si a y b son enteros tales que b divide a a, indicaremos con multiplicado por b da a.

a b

al n´ umero entero tal que

• Sean a y b coprimos. Vale que: a | n y b | n ⇒ a.b | n. a | b.n ⇒ a | n. • Una ecuaci´on diof´antica es una ecuaci´on algebraica con coeficientes enteros y que requiere soluciones enteras. El siguiente teorema ense˜ nan como resolver las lineales en dos variables x e y. Teorema: Sean a, b y c enteros. La ecuaci´on a.x + b.y = c tiene soluci´on en el conjunto de los n´ umero enteros s´ı y solo s´ı (a, b) | c. M´as a´ un, cuando (a, b) | c, si (a, b) = n.a + s.b entonces el conjunto soluci´on de la ecuaci´on dada es {

c b x = n. (a,b) − m. (a,b) c a y = s. (a,b) + m. (a,b)

con m ∈ Z. • Sean a, b ∈ Z, ambos no nulos. Existe un u ´nico n´ umero m ∈ N, tal que: 1. a | m y b | m, y 2. Si a | h y b | h entonces m | h. Observar que como consecuencia de 2 cualquier m´ ultiplo com´ un de a y de b es mayor o igual que m, por eso m se llama m´ınimo com´ un m´ ultiplo de a y b, en general se denota [a, b]. • Sean a, b ∈ Z positivos, [a, b] = [a, −b] = [−a, −b] = [−a, b]. a.b = (a, b).[a, b]. [a, b] = b ⇔ b | a. ´ Sean a1 , a2 , ..., an ∈ Z, no nulos. • GENERALIZACION: Existe un u ´nico n´ umero d ∈ N, tal que: 1. d | a1 , d | a2 ,... y d | an 3

2. Si h | a1 , h | a2 ,... y h | an entonces h | d. d se llama m´ aximo com´ un divisor entre a1 , a2 , ... y an , en general se denota (a1 , a2 , ..., an ) y vale que (a1 , a2 , ..., an ) = ((a1 , a2 , ..., an−1 ), an )). Existe un u ´nico n´ umero m ∈ N, tal que: 1. a1 | m, a2 | m ... y an | m 2. Si a1 | h, a2 | h ... y an | h entonces m | h. m se llama m´ınimo com´ un m´ ultiplo entre a1 , a2 , ... y an , en general se denota [a1 , a2 , ..., an ] y vale que [a1 , a2 , ..., an ] = [[a1 , a2 , ..., an−1 ], an ]]. • Teorema Fundamental de la Aritm´ etica. Sea m ∈ Z, m ̸= 0, ±1. Existen n´ umero primos positivos p1 , p2 , ..., pk tales que: p1 ≤ p2 ≤ ... ≤ pk y m = ξ.p1 .p2 ....pk , donde ξ = 1 o ξ = −1 Adem´as esta escritura (que suele llamarse descomposici´ on de m en factores primos o factorizaci´ on de m en primos) es u ´nica, es decir: si p′1 , p′2 , ..., p′s son primos positivos tales que: p′1 ≤ p′2 ≤ ... ≤ p′s y m = δ.p′1 .p′2 ....p′s , donde δ = 1 o δ = −1 entonces k = s, ξ = δ, y pi = p′i para todo i = 1, ..., k. Demostraci´ on: Sea S = {n ∈ Z, n > 1, n no se factoriza en primos}. Observar que todo primo p se factoriza en primos; por lo tanto S no contiene ning´ un primo (*). Supongamos S ̸= ∅. Como S ̸= ∅ y S ⊆ N, existe n0 ∈ S primer elemento de S. Como n0 ∈ S, entonces n0 ̸= 1, entonces existe p primo positivo tal que p divide a n0 . Considero p0 el menor primo positivo que divide a n0 ; y m ∈ N tal que n0 = p0 .m. Observar que: – Por (*), n0 ̸= p0 , entonces m > 1; y adem´as – m ̸∈ S pues m < n0 ; Ahora, si m > 1 y m ̸∈ S, entonces m se factoriza en primos, es decir existen primos positivos p1 , p2 , ..., pk tales que: p1 ≤ p2 ≤ ... ≤ pk y m = p1 .p2 ....pk . Pero entonces n0 = p0 .m = p0 .p1 .p2 ....pk (y p0 ≤ p1 pues p0 es el menor primo positivo que divide a n0 ), es decir n0 se factoriza en primos. Esto contradice el hecho que n0 ∈ S. La contradicci´ on proviene de suponer S ̸= ∅. Resulta S = ∅, con lo cual todo entero m > 1 se factoriza en primos. Ahora, cualquier entero −m, menor que -1, tambi´en se factoriza en primos considerando la factorizaci´on de m, y ξ = −1. Unicidad: Sea m ∈ Z, m > 1, y supongamos que m se factoriza en primos de dos formas distintas, es decir: m = p1 .p2 ...pk = p′1 .p′2 ...p′h con primos positivos p1 ≤ p2 ≤ ... ≤ pk y p′1 ≤ p′2 ≤ ... ≤ p′h . Observar que como p1 es primo y p1 divide a p′1 .p′2 ...p′h , entonces existe i tal que p1 = p′i , sea r = menor{i/p1 = p′i }. Resutla p1 = p′r An´alogamente, sea s = menor{i/p′1 = pi }. Resulta p′1 = ps . 4

Ahora, p1 = p′r ≥ p′1 = ps ≥ p1 , con lo cual son todos iguales, es decir p1 = p′1 . Simplificando resulta

p2 ...pk = p′2 ...p′h

y repitiendo el razonamiento anterior p2 = p′2 y as´ı sucesivamente obtenemos que k debe ser igual a h y p1 = p′1 , ..., pk = p′k . • Dado m ∈ Z, m ̸= 0, para cada primo positivo p llamamos vp (m) = mayor{i ∈ N0 / pi | m} en otras palabras vp (m) es la cantidad de veces que el primo p aparece en la factorizaci´on de m. Resulta entonces que todo entero no nulo se escribe en la forma: ∏ m = ξ. pvp (m) p∈P

donde P es el conjunto de primos positivos, y ξ = ±1. Observar que en la productoria anterior solo un n´ umero finito de factores es distinto de 1. • Sean m y n enteros y p primo positivo. Vale que: i) vp (m.n) = vp (m) + vp (n). ii) Si n divide a m, entonces vp (n) ≤ vp (m). Adem´as, vp ( m n ) = vp (m) − vp (n). iii) Si n > 0, vp (mn ) = n.vp (m). • La descomposici´on en factores primos de m tambi´en suele escribirse, en forma m´as sensilla, α2 α3 αs 1 m = pα 1 .p2 p3 ...ps

donde los pi son primos distintos entre s´ı. Observar que puede deducirse facilmente (ejercicio de combinatoria) que la cantidad de divisores positivos de m es igual (α1 + 1).(α2 + 1).(α3 + 1)...(αs + 1) • Dados n´ umero enteros no nulos m y n con sus despomposiciones en factores primos: m = ξ.

∏

pvp (m)

p∈P

n = ξ.

∏

pvp (n)

p∈P

vale que: (m, n) =

∏

p menor

{vp (m),vp (n)}

p mayor

{vp (m),vp (n)}

p∈P

[m, n] =

∏ p∈P

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Algebra 1 - Ciencias - 2009 Ejercicios resueltos Los siguientes ejercicios se pueden resolver en base a los resultado del Teorema Fundamental de la Aritm´etica. Para formalizar la escritura de los ejercicios usaremos tres ideas sencillas: 1) Si m, n ∈ Z son no nulos, entonces para todo primo positivo p vale que vp (m.n) = vp (m) + vp (n). Se prueba facilmente a partir de la unicidad de la factorizaci´on. 2)Si m ∈ Z es no nulo y n ∈ N, entonces para todo primo positivo p vale que vp (mn ) = n.vp (n). Se prueba facilmente por inducci´on sobre n a partir de la proposici´on anterior. 3) Si n ∈ N, vale que n es un cuadrado perfecto si y solo si vp (n) es par para todo primo positivo p. Se prueba facilmente a partir de la proposici´on anterior. 1. Hallar el menor n´ umero natural n tal que 6552.n sea un cuadrado perfecto. La factorizaci´on en primos de 6552 es 2.2.2.3.3.7.13 = 23 .32 .7.13 Por 3), 6552.n es un cuadrado perfecto si y solo si para todo primo p, vp (6552.n) es par, es decir si y solo si en la factorizaci´on en primos de 6552.n todos los primos aparecen elevados a una potencia par. Por 1), para todo primo positivo p, vp (6552.n) = vp (6552) + vp (n), entonces v2 (6552.n) = v2 (6552) + v2 (n) = 3 + v2 (n) debe ser par v3 (6552.n) = v3 (6552) + v3 (n) = 2 + v3 (n) debe ser par v5 (6552.n) = v5 (6552) + v5 (n) = 0 + v5 (n) debe ser par v7 (6552.n) = v7 (6552) + v7 (n) = 1 + v7 (n) debe ser par v11 (6552.n) = v11 (6552) + v11 (n) = 0 + v11 (n) debe ser par v13 (6552.n) = v13 (6552) + v13 (n) = 1 + v13 (n) debe ser par y as´ı para todos los primos. Eligiendo cualquier n que responda a estas restricciones tendr´e que 6552.n es un cuadrado perfecto, por ejemplo: si tomo v2 (n) = 3, v3 (n) = 0, v5 (n) = 2, v7 (n) = 1, v11 (n) = 0 y v13 (n) = 1, y todos los restantes vp (n) = 0, es decir n = 23 .52 .7.13 = 18200, entonces 6552.n = 6552.18200 = 119246400 = (10920)2 . Como el ejercicio me pide el menor n, elegir´e los menores exponentes que satisfagan las restricciones, esto es v2 (n) = 1, v3 (n) = 0, v5 (n) = 0, v7 (n) = 1, v11 (n) = 0 y v13 (n) = 1 y por lo tanto el menor n que satisface lo pedido es n = 2.7.13 = 182. Efectivamente 6552.182 = 1192464 = (1092)2 OBSERVACIONES: Si el ejercicio hubiere preguntado si existe n impar tal que 6652.n sea un un cadrado perfecto, la respuesta ser´ıa NO pues del mismo an´alisis anterior surge que para que 6552.n sea un cuadrado perfecto v2 (n) debe ser mayor que cero, por lo tanto n ser´a par. Si el ejercicio hubiere pedido el menor n tal que 6552.n sea un cubo perfecto, la resoluci´on es an´aloga a lo anterior pero pidiendo vp (6552.n) m´ ultiplo de 3 que para todo primo positivo p. Entonces debe ser v2 (n) = 0, v3 (n) = 1, v5 (n) = 0, v7 (n) = 2, v11 (n) = 0 y v13 (n) = 2; por lo tanto la soluci´ o es n = 3.72 .(13)2 = 24843. Efectivamednte, 6552.24843 = (2.3.7.13)3 = (546)3 = 162771336. Si la pregunta fuera cual es el mayor cuadrado perfecto que divide a 6552, la respuesta ser´ıa: 22 .32 = 36. 2. Probar que no existen enteros no nulos n, m tales que n2 = 180.m4 . S´ı as´ı fuera, para todo primo positivo p deber´ıa valer que vp (n2 ) = vp (180.m4 ) 1

entonces 2.vp (n) = vp (180) + vp (m4 ) entonces 2.vp (n) = vp (22 .32 .5) + 4.vp (m) En particular para p = 5, debe ser 2.v5 (n) = v5 (22 .32 .5) + 4.v5 (m) Como v5 (22 .32 .5) = 1, resulta 2.v5 (n) = 1 + 4.v5 (m) entonces 2.(v5 (n) − 2.v5 (m)) = 1 entonces 2 divide a 1 lo cual es una contradicci´on. p 3. Sea p un primo positivo cualquiera. Probar que 6 p4 no es un n´ umero racional. Un n´ umero racional o fraccionario puede escribirse de la forma m n con m, n ∈ Z, n no nulo. Entonces, si p p 6 4 6 6 4 p es racional, deben existir enteros no nulos m y n tales que 6 p4 = m n , de donde p .n = m . Por las propiedades enunciadas al principio, como p es un primo positivo, debe valer que vp (p4 .n6 ) = vp (m6 ); entonces vp (p4 ) + vp (n6 ) = 6.vp (m), entonces 4 + 6.vp (n) = 6.vp (m). Resulta que 2 = 3(vp (m) − vp (n)), lo cual es una contradicci´on pues 3 no divide a 2. 4. Probar que 7 no divide a 40380 + 40382 Observar que 40380 + 40382 = 40380 (1 + 402 ) = (23 .5)380 .(1601) Como 7 es primo y 7 no divide a (23 .5)380 , resulta que 7 divide a 40380 + 40382 si y solo si 1601 lo cual no ocurre, se puede verificar haciendo la cuenta. ´ OBSERVACION: ¿1601 es primo? Los primeros primos son 2, 3, 5, 7, 11,13,17, 19, 23, 29, 31, 37 ,41.... Como 412 = 1681 > 1601 para saber si 1601 es primo basta ver si alguno de los primos enumerados divide a 1601. Haciendo las cuentas se ve que ninguno de ellos divide a 1601, por lo tanto este n´ umero es primo. Sabiendo esto, en el ejercicio anterior se podr´ıa haber argumentado as´ı: la factorizaci´on en primos del n´ umero dado es 40380 + 40382 = 40380 (1 + 402 ) = (23 .5)380 .(1601) = 21140 .5380 .1601 resulta que 7 no lo divide. 5. Hallar ˆel menor m´ ultiplo de 10 con exactamente 10 divisores positivos, si existe. Debe ser un n´ umero de la forma n = 2a .5b .pc .. con a, b ≥ 1 para que sea m´ ultiplo de 10. Adem´as para que tenga exactamente 10 divisores (a + 1).(b + 1).(c + 1)... = 10 donde a, b, c, .. son los exponentes en la factorizaci´on prima de n. Como 10 = 2.5, debe ser a=1yb=4oa=4yb=1 y no hay mas primos que dividan a n. En el primer caso es n = 21 .54 = 1250 y en el segundo n = 24 .51 = 80, ´este es el menor.

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