ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDEResumen teor´ıa Prof. Alc´ on Espacios vectoriales

Sea (K, +, .) un cuerpo con caracter´ıstica 0. Podemos pensar K = Q, R o C. Si V es un conjunto cualquiera en el que est´a definida una operaci´on + : V × V → V, tal que (V, +) es un grupo conmutativo; y est´a definida una ley de composici´on externa · : K × V → V, tal que para todo α, β ∈ K y para todo u, v ∈ V vale que • α · (u + v) = α · u + α · v • (α + β) · u = α · u + β · v • (α.β) · u = α · (β · v) • 1 · u = u, donde 1 es el neutro del producto en K; entonces se dice que (V, +, ·) es un K- espacio vectorial, o bien que es un espacio vectorial sobre el cuerpo K. Los elementos de K se dicen escalares, los elementos de V se llaman vectores, + se dice suma de vectores y · producto por escalares. Abuso de notaci´on: aunque se indican de la misma manera, estas operaciones no deben confundirse con las operaciones + y . definidas en K. Las operaciones + y . de K se dicen la suma de escalares y el producto de escalares. El neutro de la suma en K se denotar´a 0 y el neutro de la suma en V se denotar´a 0, este se llama vector nulo. Por simplicidad en lugar de (V, +, ·), escribiremos V. Ejemplos: determine en cada uno de los siguientes caso las operaciones + y · que proporcionan al conjunto dado la estructura de espacio vectorial indicada. Son R-espacios vectoriales: 1. Rn para todo n natural, incluso n = 1. 2. Cn para todo n natural, incluso n = 1. 3. Rn×m para todo n y m naturales. 4. Cn×m para todo n y m naturales. 5. R[x] 6. R[x]n = {p ∈ R[x] tal que p = 0 o gr(p) ≤ n} 7. C[x] 8. C[x]n = {p ∈ C[x] tal que p = 0 o gr(p) ≤ n} Son C-espacios vectoriales: 1. Cn para todo n natural, incluso n = 1. 2. Cn×m para todo n y m naturales. 3. C[x] 4. C[x]n = {p ∈ C[x] tal que p = 0 o gr(p) ≤ n} Sea V un K- espacio vectorial, u ∈ V y α ∈ K. Vale que: 1

1. 0 · v = 0 2. α · 0 = 0 3. α · v = 0 ⇒ α = 0 o v = 0 4. (−1) · v = −v Sea V un K- espacio vectorial. Un subconjunto no vac´ıo S de elementos de V se dice un K - subespacio vectorial de V si S con la misma suma de vectores y producto por escalares es un espacio vectorial. Es f´acil probar que S es un K-subespacio vectorial de V ⇔ (1) 0 ∈ S y (2) para todo v ∈ S, para todo w ∈ S y para todo α ∈ K se satisface que v + α · w ∈ S. Ejemplos: S = {(x, y) ∈ R2 : x + y = 0} es un R − subespacio de R2 con la suma habitual de vectores y el producto habitual por escalares. S = {A ∈ C2×3 : A11 = A22 = 0} es un C − subespacio de C2×3 con la suma habitual de matrices y el producto habitual por escalares. Sea A.X = 0 con A ∈ Rn×m la forma matricial de un sistema homog´eneo de n ecuaciones lineales con m inc´ognitas. El conjunto de soluciones del sistema S = {v ∈ Rm : A.v = 0} es R − subespacio de Rm con la suma habitual de vectores y el producto habitual por escalares. Sea V un K- espacio vectorial y v1 , v2 , ...., vk vectores de V. Se dice que un vector w es una combinaci´ on lineal de los vectores v1 , v2 , ...., vk si existen escalares α1 , α2 , ..., αk tales que w = α1 · v1 + α2 · v2 + ... + αk · vk . Si w es combinaci´on lineal de v1 , v2 , ...., vk y cada vi es combinaci´on lineal de u1 , u2 , ...., uh , entonces w es combinaci´on lineal de u1 , u2 , ...., uh . Un sistema de generadores de V es un subconjunto S de vectores de V, es decir S ⊆ V, tal que todo vector de V se escribe como combinaci´on lineal de vectores de S. Si v1 , v2 , ...., vk es un sistema de generadores de V y a uno cualquiera de estos vectores, digamos vk , se ∑k−1 escribe como combinaci´on lineal de los dem´as (es decir vk = i=1 αi · vi para ciertos αi ∈ K) entonces v1 , v2 , ..., vk−1 tambi´en es un sistema de generadores de V. Los vectores v1 , v2 , ...., vk se dicen linealmente independientes, o bien que son un conjunto de vectores linealmente independientes, si el vector nulo se escribe de una u ´nica manera como combinaci´ on lineal de ellos, es decir si 0 = α1 · v1 + α2 · v2 + ... + αk · vk ⇒ α1 = α2 = ... = αk = 0. Un conjunto L ⊆ V se dice linealmente independiente si los vectores de cualquier subconjunto finito de L son linealmente independientes. Los vectores v1 , v2 , ...., vk se dicen linealmente dependientes si no son linealmente independientes. Sea V un K- espacio vectorial y v1 , v2 , ...., vk vectores de V. Vale que, 1. Si uno cualquiera de los vectores vi es el vector 0 ⇒ v1 , v2 , ...., vk es linealmente dependiente. 2. Si dos cualesquiera de los vectores vi son iguales entre s´ı ⇒ v1 , v2 , ...., vk son linealmente dependientes. 3. Los vectores v1 , v2 , ...., vk son linealmente dependientes ⇔ alguno de ellos se escribe como combinaci´on lineal de los dem´as. 4. Si v1 , v2 , ...., vk son linealmente dependientes y {v1 , v2 , ...., vk } ⊆ S ⊆ V ⇒ S es un conjunto de vectores linealmente dependientes. 2

5. Si v1 , v2 , ...., vk son linealmente independientes y S ⊆ {v1 , v2 , ...., vk } ⇒ S es un conjunto de vectores linealmente independientes. Una base de V es un conjunto B ⊆ V tal que B es linealmente independiente y B es sistema de generadores V. Ejemplo: Base can´onica de algunos R espacios vectoriales: 1. De R es el vector 1. 2. De Rn son los vectores e1 = (1, 0, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, 0, ..., 0),...,en = (0, 0, 0, ..., 1). 3. De C son los vectores 1 e i. Observa que si consideramos C como C-espacio vectorial entonces la base can´onica tiene un u ´nico elemento que es el vector 1. 4. De Rn×m son las matrices de orden nxm, que denotamos Eij para 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m, tales que todos sus coeficientes con 0 salvo el de la posici´on ij. Por ejemplo la base can´onica de R2×2 es ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 0 0 0 0 E11 = E12 = E21 = E22 = 0 0 0 0 1 0 0 1 ( ) a b Observar que una matriz cualquiera A = ∈ R2×2 se escribe como la siguiente combinac d ci´on lineal de los vectores de la base dada, A = a · E11 + b · E12 + c · E21 + d · E22 5. De R[x] son los vectores 1, x, x2 , x3 , ..., xn , ..... Es una base infinita, es decir con una cantidad infinita de elementos. 6. De R[x]n = {p ∈ R[x] tal que p = 0 o gr(p) ≤ n} son los vectores 1, x, x2 , x3 , ..., xn , en este caso es una base finita. Sea V un K- espacio vectorial y B ⊆ V. Los siguientes enunciados son equivalentes. 1. B es una base de V. 2. Todo vector de V se escribe de una u ´nica manera como combinaci´on lineal de vectores de B. 3. B es un conjunto de vectores linealmente independientes maximal (i.e. si B $ T entonces T no es linealmente independiente). 4. B es un sistema de generadores minimal (i.e. si T $ B entonces T no es sistema de generadores de V). Si un espacio vectorial V tiene una base con n elementos, entonces cualquier subconjunto de V con k > n vectores es linealmente dependiente. Corolario: toda base de V tiene la misma cantidad de elementos, esta cantidad se llama la dimensi´on del espacio V y se denota dimK (V) = n. Ejemplos: 1. dimR (C) = 2 2. dimC (C) = 1 3. El espacio vectorial nulo N tiene por u ´nico elemento al vector nulo, es decir V = {0}. Observar que dimK (N) = 0. 4. dimR (Rn ) = n 5. dimR (Rn×m ) = n.m 3

6. dimR (R[x]n ) = n + 1 Ejercicio: Sea V un K- espacio vectorial con dimK (V) = n. Probar que: 1. Si v1 , ..., vk son linealmente independiente entonces existe una base B de V tal que {v1 , ..., vk } ⊆ B y por lo tanto k ≤ n. 2. Todo subconjunto de n vectores linealmente independiente es una base. 3. Si v1 , ..., vk es un sistema de generadores de V entonces existe una base B de V tal que B ⊆ {v1 , ..., vk } y por lo tanto n ≤ k. 4. Un subconjunto de vectores con menos de n elementos no puede ser un sistema de generadores de V. 5. Un conjunto de vectores con m´as de n elementos no puede ser linealmente independiente. Sea V un K- espacio vectorial y v1 , v2 , ...., vn los vectores de una base de V dados en un cierto orden. Si w ∈ V, sabemos que existen escalares α1 , α2 , ..., αn , que adem´as son u ´nicos, tales que w = α1 · v1 + ... + αn · vn . Estos escalares se dicen las coordenadas de w en la base B y suele indicarse w = (α1 , ..., αn )B . Cuando la base B es la can´onica el subinice B puede omitirse. Ejemplo: Considero la siguiente base B de R3 dada en el orden indicado: (1, 1, 1) (0, 2, 0) (0, 0, 3) Ahora, si escribo w = (2, 1, −2)B me estoy refiriendo al vector de R3 cuyas coordenadas en dicha base son 2, 1 y −2, por lo tanto w = 2 · (1, 1, 1) + 1 · (0, 2, 0) + (−2) · (0, 0, 3) = (2, 2, 2) + (0, 2, 0) + (0, 0, −6) = (2, 4, −4) Observar que (2, 4, −4) son las coordenadas de w en la base can´onica, es decir w = 2 · (1, 0, 0) + 4 · (0, 1, 0) + (−4) · (0, 0, 1) Sea V es un K- espacio vectorial y S ⊆ V. Indicamos mediante < S > al conjunto de todas las combinaciones lineales de elementos de S, es decir, el conjunto de todos los w ∈ V para los cuales existen v1 , v2 , ..., vk ∈ S y α1 , α2 , ..., αk ∈ K tales que w = α1 .v1 + ... + αk .vk . < S > es un K-subespacio vectorial de V, m´as a´ un es el menor subespacio vectorial de V que contiene a S, pues es la intersecci´on de todos los subespacios de V que contienen a S. El subespacio < S > se llama subespacio generado por S. Por ejemplo: en R3 • Si S = {v1 } entonces ⟨S⟩ = {α · v1 , con α ∈ R}. Si v1 ̸= 0 entonces < S > coincide con la recta por el origen cuyo vector director es v1 . • Si S = {v1 , v2 } entonces ⟨S⟩ = {α1 · v1 + α2 · v2 , con α1 , α2 ∈ R} y si v1 , v2 son colineales, es decir estan sobre una misma recta que pasa por el origen, entonces < S > coincide con dicha recta. Si no son colineales entonces < S > coincide con el plano por el origen que contiene a v1 y a v2 . S es un sistema de generadores de V si y s´olo si < S >= V. Sea A ∈ Rn×m , llamemos v1 , ...., vn a los vectores fila de A, y llamemos w1 , ..., wm a los vectores columna de A. Observar que Sf =< {v1 , ...., vn } > es un subespacio de Rm ; en tanto que Sc =< {w1 , ...., wm } > es un subespacio de Rn . El primero se llama espacio fila de A y el segundo se llama espacio columna de A. Vale que

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dimR (Sf ) = dimR (Sc ) = rango(A) As´ı, si se quiere determinar la dimensi´on del subespacio generado por una cierta cantidad de vectores u1 , u2 , ..., ut , se puede formar una matriz A que tenga a estos vectores como filas (o como columnas) y determinar el rango de la matriz A usando alguno de los m´etodos vistos cuando estudiamos matrices. Sean S1 y S2 subconjuntos de V. Indicamos: S1 ∩ S2 = {w ∈ V | w ∈ S1 y w ∈ S2 }

S1 + S2 = {w ∈ V | w = v1 + v2 con v1 ∈ S1 y v2 ∈ S2 } Si S1 y S2 son subespacios vectoriales de V, entonces S1 ∩S2 y S1 +S2 tambi´en son subespacio vectoriales de V. Adem´as si S1 ∩ S2 = {0} entonces S1 + S2 se dice la suma directa de S1 y S2 y en este caso se indica S1 ⊕ S2 . Observar que S1 ∪ S2 puede no ser un subespacio. Adem´as, 1. Si S es subespacio de V entonces dimK (S) ≤ dimK (V). 2. Si S es subespacio de V y dimK (S) = dimK (V ) entonces S = V. 3. Si S1 y S2 son subespaciones de V entonces dimK (S1 + S2 ) = dimK (S1 ) + dimK (S2 ) − dimK (S1 ∩ S2 ) dimK (S1 ⊕ S2 ) = dimK (S1 ) + dimK (S2 )

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