ALGEBRA LINEAL II. Matrices y aplicaciones lineales 1º GRADO ECONOMÍA CURSO 2013-2014 Prof. Pedro Ortega Pulido

II. MATRICES Y APLICACIONES LINEALES    

  

II.1. Introducción al concepto de matriz II.2. Aplicaciones lineales II.3. Relación entre matrices y aplicaciones lineales II.4. Rango de una matriz II.5. Operaciones con matrices y aplicaciones lineales. II.6. Matriz inversa y aplicación lineal inversa II.7. Algunos tipos de matrices especiales

II.1. Introducción al concepto de matriz Vector: Conjunto de n-datos agrupados entorno a sus componentes.  Matriz: Conjunto de m-vectores agrupados en filas. Una matriz con m-vectores de dimensión n tiene mxn datos agrupados en filas y columnas 

II.1. Introducción al concepto de matriz Definición de M atriz. Denominamo s matriz de orden mxn a un conjunto de mxn números a ij  R, i  1,..., m; j  1,..., n ordenados en  a 11   a21 m - filas y n - columnas de la forma : A     a  m1

a12 a22  am 2

 a1n    a2 n       amn 

Elementos de una matriz : FILAS: a i  (a i1 , ai 2 ,..., ain ) fila i - ésima  a1 j     a2 j  COLUM NAS: a  j       a   mj 

ELEM ENTOS: A  (a ij ) i 1,...,n

j 1,...,m

II.1. Introducción al concepto de matriz Elementos de una matriz a1.  (a11 a12 a1n )

a 2.  (a21 a22 a2 n )

a m.  (am1 am 2 amn ) FILAS

 a11   a21    a  m1  a11    a  a .1   21     a   m1 

a12 a22  am 2  a12    a   a .2   22     a   m2 

 a1n    a2 n       amn   a1m    a   a .m   2 m     a   mn 

COLUMNAS

II.1. Introducción al concepto de matriz Dimensión - Orden de una matriz. Dada una matriz A con m - fila y n - columnas diremos que A tiene dimensión u orden mxn o bien A  M mxn Observación M mxn  M nxm  1 2 1   M 2 x 3 Ejemplo :   2 4 5

1 2    2 4   M 3x2 1 5  

M atrices cuadradas : Diremos que una matriz A es cuadrada de orden n si tiene el mismo número de filas que de columnas : A  M nxn , A  M n

II.1. Introducción al concepto de matriz LIBRO: Problemas y

Ejemplos .

 3 7 8 -1    1) Dada la matriz A   2 6 8 1   0 1 2 - 2   a ) ¿a 2 ? b ) ¿ a 4 ? c) ¿ a 3 ? d ) ¿ a 34 ? e) ¿ orden de A?

cuestiones de álgebra lineal: capítulo 2, ejercicios 1,2

3  2 2) Dada la matriz B   7  0  a ) ¿b 3 ? b) ¿ b 4 ? c) ¿ b 3 ? d ) ¿ b14 ? e) ¿ orden de B?

2 1 3 1 8 2 0 2

0  8 1  2 

II.2. Aplicaciones lineales ¿Cómo son las aplicaciones que relacionan dos espacios vectoriales que conservan las propiedades de linealidad, es decir, que convierten combinaciones lineales del primer espacio en combinaciones lineales de sus imágenes? SE DENOMINAN APLICACIONES LINEALES

II.2. Aplicaciones lineales DEFINICIÓN DE APLICACIÓN LINEAL Sea f una aplicación definida entre dos espacios vectoriales f : R n  R m diremos que f es una aplicación lineal si y solo sí u, v  R n ,  ,   R

f ( u   v)  f (u )  f (v)

EJEMPLO . Estudiar si las siguientes aplicacion es son o no lineales : a) f : R  R; f ( x)  3 x  2 b) f : R  R; 2

f ( x, y )  2 x  3 y

c) f : R 2  R 2 ;

f ( x, y )  ( 2 x, x  y )

d ) f : R 2  R3 ;

f ( x, y )  (3x,1, x  y )

e) f : R 3  R 2 ;

f ( x, y, z )  (3x  2 y,2 x)

Libro: Problemas y cuestiones de álgebra lineal: capítulo 2 ejercicios 3,4,5

II.2. Aplicaciones lineales OBSERVACIO NES : 1) Por la propia definición , las aplicacion es lineales transforman combinacio nes lineales de R n en combinacio nes lineales de R m Si u es c.l. de {u1 , u 2 ,..., u n }  f (u ) es c.l. de { f (u1 ),..., f (u n )} 2) La aplicación nula n : V  V' es lineal n(u )  0V ' (demostrar) 3) La aplicación identidad id : V  V es lineal id( u )  u (demostrar)

II.2. Aplicaciones lineales PROPIEDADES 1) Si f : V  V' es lineal entonces f (0V )  0V ' ( Demostrar) 2) Si f : V  V' es una aplicación lineal y además {u1 ,..., u n } es un conjunto L.D.  { f (u1 ),..., f (u n )} es L.D. (demostrar)

3) Sean dos aplicacion es lineales f : V  V ' ; g : V  V ' a) La aplicación suma ( f  g ) : V  V ' ; ( f  g )(u )  f (u )  g (u ) es lineal (dem.) b) La aplicación producto de un escalar por una función (  f ) : V  V ' ; (  f)(u )    f (u ) es lineal. (dem.)

II.2. Aplicaciones lineales 4) Sean dos aplicacion es lineales f : V  V ' ; g : V  V ' La aplicación producto ( f  g ) : V  V ' no es lineal 5) Sean dos aplicacion es lineales f : V  V ' ; g : V '  V " La aplicación composición ( g  f ) : V  V " definida por

( g  f )(u )  g ( f (u )) es una aplicación lineal (Dem.) 6) Sea la aplicación lineal f : V  V y supongamos que existe f 1 : V  V tal que

( f  f 1 )(u )  ( f 1  f )(u )  id (u )

entonces f 1 (u ) es una aplicación lineal se denomina aplicación lineal inversa. (Dem.)

Libro Problemas y cuestiones Algebra Lineal Cap 2 Pag 103-105 Ej. 6 y 7

II.2. Aplicaciones lineales OBSERVACIO NES . 1) Si f : V  V' es lineal y {u1 ,..., u n } es un conjunto L.I.   { f (u1 ),..., f (u n )}L.I . (Contraejemplo. {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} es L.I. f(x, y,z)  (x  y,0) es lineal {f(1,0,0), f(0,1,0), f(0,0,1)}L.D 2) Si f : V  V' es lineal y {u1 ,..., u n } es un S.G. de V   { f (u1 ),..., f (u n )} es S.G. V' (Contraejemplo. {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} es S.G.de R 3 . f(x, y,z)  (x  y,0) es lineal pero {f(1,0,0), f(0,1,0), f(0,0,1)}no genera R 3

II.2. Aplicaciones lineales SUBESPACIOS ASOCIADOS A UNA APLICACIÓN LINEAL

a) Núcleo de una aplicación lineal Sea f : V  V' una aplicación lineal, se define Ker(f)  {u  V / f (u )  0V ' } Este subconjunt o de V es un subespacio vectorial de V. (Demostrar) Sea f : R n  R m una aplicación lineal, se define el subconjunt o núcleo Ker(f)  {(x1, x2 ,..., xn )  R n / f ( x1, x2 ,..., xn )  ( 0,...,0 )} m ceros n

Este subconjunt o es un subespacio vectorial de R Ejemplo : Calcula el núcleo de la aplicación lineal f(x, y,z)  (x  y,0)

II.2. Aplicaciones lineales SUBESPACIOS ASOCIADOS A UNA APLICACIÓN LINEAL

b) Imagen de una aplicación lineal Sea f : V  V' una aplicación lineal, se define el subconjunto imagen Im(f)  {u ' V ' / existe u  V , , f (u )  u '} Este subconjunto de V' es un subespacio vectorial de V'. (Demostrar)

Sea f : R n  R m una aplicación lineal, se define el subconjunto imagen Im(f)  {(y1,..., ym )  R m / existe (x1,..., xn )  R n , , f ( x1,..., xn )  ( y1,..., ym )} Este subconjunto de R m es un subespacio vectorial de R m . Ejemplo : Calcula la imagen de f(x, y,z)  (x  y,0)

II.2. Aplicaciones lineales FÓRMULA DE LAS DIMENSIONES Teorema. Sea f : R n  R m una aplicación lineal. Se verifica que

dim(R n )  dim( Ker ( f ))  dim(Im( f ))

Ejemplos 1) Calcular el núcleo y la imagen de las aplicacion es nula e identidad 2) Calcular el núcleo y la imagen de las aplicacion es lineales siguientes : a) f : R 3  R 2 f ( x, y , z )  ( 4 x  5 y , z  x ) b) f : R 2  R 3 f ( x, y )  ( 13 x  23 y, y, x  2 y ) c) f : R 3  R 3 f ( x, y, z )  ( x  z , x, y  12 x)

Libro: Problemas y cuestiones de álgebra lineal: Capítulo 2, pág. 105-110: ejercicios 8,9

II.3. Relación entre matrices y aplicaciones lineales A) MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL

Sea f : R n  R m una aplicación lineal, y considerem os las bases canónicas de dichos espacios vectoriales. Si consideram os la imágenes de los vectores de a base canónica de R n en columna, obtenemos una matriz de orden mxn M f   f (1,0,...,0) f (0,1,0,...,0)  f (0,...,0,1)  a dicha matriz la denominamo s M ATRIZASOCIADA a la aplicación lineal f Esta matriz verifica que para cualquier vector u  (u1 ,..., un )  R n f (u )  M f  u M f  u  (m1  u, m 2  u ,..., m n  u )

Ejemplo. Calcula la matriz asociada a f(x, y,z)  (x  y,2y - z) Calcula f(1,2,3) utilizando dicha matriz.

II.3. Relación entre matrices y aplicaciones lineales A) MATRIZ ASOCIADA A UNA APLICACIÓN LINEAL

EJEMPLOS . 1) Calcula la matriz asociada a las siguientes aplicacion es lineales : a) f : R 2  R;

f ( x, y )  2 x  3 y

b) f : R 2  R 2 ;

f ( x, y )  ( 2 x, x  y )

c) f : R 2  R 3 ;

f ( x, y )  ( x, y , x  y )

d) f : R 3  R 2 ;

f ( x, y , z )  ( 4 x  y , 2 x  y )

e) f ; R 3  R 4 ;

f ( x, y, z )  (2 x, x  y, y,0)

Libro: Problemas y cuestiones de álgebra lineal: capítulo 2: Pág. 110, ejercicio 10

2. Calcula las matrices asociadas a la aplicación identidad y a la aplicación nula

II.3. Relación entre matrices y aplicaciones lineales B) APLICACIÓN LINEAL DETERMINADA POR SU MATRIZ ASOCIADA

Sea A  M mxn ¿cual será la aplicación lineal cuya matriz asociada es A? La aplicación lineal estará definida f : R n  R m Como esta matriz verifica que para cualquier vector u  (u1 ,..., un )  R n f (u )  M f  u  M f  u  (m1  u, m 2  u,..., m n  u )

Ejemplo. Calcula las aplicacion es lineales cuyas matrices asociadas son :  5 3 2  A    1 2 4 

1 4 6   B  8 1 0 0 0 1  

Libro: Problemas y cuestiones de álgebra lineal. Capítulo 2. Pág 111-112: Ejercicios. 11,12

II.3. Relación entre matrices y aplicaciones lineales RELACIÓN UNÍVOCA MATRICES Y APLICACIONES LINEALES

1) Dada una aplicación lineal f : R n  R m existe una matriz asociada respecto de las bases canónica A  M mxn 2) Dada una matriz A  M mxn existe una aplicación lineal f : R n  R m cuya matriz asociada es A. EXISTE UNA RELACIÓN UNÍVOCA ENTRE M atrices orden mxn

y Aplicaciones lineales R n  R m Libro: Problemas y cuestiones de álgebra lineal. Capítulo 2, pág. 113-115 ejercicios: 13,14,15

II.4. RANGO DE UNA MATRIZ Definición : RANGO DE UNA M ATRIZ Sea una matriz cualquiera A  M mxn se define el rango de la matriz A y lo denotamos por rg ( A) al rango de los vectores COLUM NAde la matriz A, es dedir, el máximo número de vectores columna L.I. Ejemplo : Calcular el rango de  2 3 4 5 3 1 0 1     1) A   1 0 0 2  2)B   0 0 1 0   -1 0 -1 3  0 0 2 1    

II.4. RANGO DE UNA MATRIZ ¿Qué relación se puede establecer entre el rango de una matriz y la aplicación lineal a la que dicha matriz representa?

PROPOSICIÓN Sea f : R n  R m una aplicación lineal cuya matriz asociada respecto de las bases canónicas es la matriz A  M mxn Entonces se verifica : 1) Las columnas de la matriz A forman un sistema de generadore s de Im(f) 2) rg(A)  dim(Im(f)) Ejemplo. Dada la aplicación lineal f : R 3  R 2 determina una base y la dimensión del subespacio Im(f).

II.4. RANGO DE UNA MATRIZ EJEM PLO. Libro. Problemas y cuestiones de álgebra lineal: capítulo 2 Pág. 115-120 ejercicios 16,17,18,19

Sea la aplicación lineal f : R  R definida por f ( x, y, z )  ( x  y  z, x  y ) a) Calcular la matriz asociada de f. b) Calcular el rango de la matriz anterior. c) Calcular una base y la dimensión de los subespaciosIm(f) y Ker(f) 3

2

CLASIFICACIÓN DE LAS M ATRICESSEGUN RANGO Sea A  M mxn entonces a) si m  n y rg(A)  min{m, n} A es de rango completo (en caso contrario, A no es de rango completo) b.1) Si m  n y rg(A)  n M ATRIZNO SINGULAR O REGULAR b.2) Si m  n y rg(A)  n M ATRIZSINGULAR

II.5. OPERACIONES CON MATRICES Y APL. LINEALES

SUMA DE APLICACIONES LINEALES Sean f : R n  R m ; g : R n  R m se define la aplicación suma como f  g : R n  R m : ( f  g )(u )  f (u )  g (u ). f  g es una aplicacion lineal SUM A DE M ATRICES Sean A  M mxn , B  M mxn las matrices asociadas a las aplicacion es lineales

f , g (respectivamente)

f (u )  Au

g (u )  Bu  ( f  g )(u )  Au  Bu  ( A  B)(u )

 a1  u   b1  u   (a1  b1 )  u         a 2  u   b 2  u   (a 2  b 2  u  f (u )    g (u )     ( f  g )(u )              a m  u   b m  u   ( a m  b m )  u       

II.5. OPERACIONES CON MATRICES Y APL. LINEALES

SUM A DE M ATRICES Sean A  M mxn , B  M mxn las matrices asociadas a las aplicacion es lineales

f , g (respectivamente) la matriz asociada a la aplicación suma

( f  g ) es

 a11  b11 a12  b12   a21  b21 a22  b22 C     a  b  m1 m1 am 2  bm 2

 a1n  b1n    a2 n  b2 n       amn  bmn 

Ejemplo Dadas la aplicacion es lineales f ( x, y, z )  (3x, y  z ) y g ( x, y, z )  (2 x  y,3z  x  y ) determina : a) La matriz asociada a las aplicacion es lineales f, g y f  g b) La aplicación lineal suma

II.5. OPERACIONES CON MATRICES Y APL. LINEALES PROPIEDADES DE LA SUM A DE M ATRICES Sean A, B, C  M mxn se verifica :

a) propiedad conmutativa : A  B  B  A b) propiedad asociativa : ( A  B)  C  A  ( B  C ) c) elemento neutro : existe una matriz nula 0 mxn  M mxn tal que A  0  0  A  A d) elemento opuesto: toda matriz tiene su opuesta A  (aij )   A  (aij ); A  ( A)  0 Ejemplo 1 2 4  3 1 9    3 2 1 , B   , C    Dadas la matrices A   9 3 1 10 0  4   1 1 0 comprueba las propiedades de la suma.

II.5. OPERACIONES CON MATRICES Y APL. LINEALES

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA APLICACIÓN LINEAL Sea f : R m  R n una aplicación lineal y   R se define el la aplicación (f ) : R m  R n : (f )(u )  f (u ) esta aplicación es lineal

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA M ATRIZ Sea A  M mxn la matriz asociada a la aplicación lineal f : R m  R n y sea   R entonces la matriz asociada a la aplicación (f ) : R m  R n es la matriz A que se define como :  a11 a12   a21 a22 A  aij       a  m1 am 2

 

 a1n     a2 n       amn 

II.5. OPERACIONES CON MATRICES Y APL. LINEALES

EJEMPLOS . 1) Dada la aplicación lineal f(x, y)  (3x - y,0,2y - x) a) Calcula la aplicación lineal 5f b) Calcular la matriz asociada a las aplicacion es lineales f y 5f 1 4 5   2) Dada la matriz A   3  1 2  5 3 1   a) Calcula la matriz 6A b) Calcular la aplicación lineal cuya matriz asociada es A c) Calcular la aplicación lineal cuya matriz asociada es 6A

II.5. OPERACIONES CON MATRICES Y APL. LINEALES PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN ESCALAR POR

UNA M ATRIZ Sean A, B  M mxn  ,   R se verifican : a) propiedad distributiva respecto de la suma de matrices :  ( A  B )  A  B b) propiedad distributiva respecto de la suma de escalares : (   ) A  A  A c) propiedad pseudoasociativa : ( ) A   ( A) d) elemento unidad : existe 1  R, tal que 1A  A 3 2 2 1 3 0  , B    Ejemplo : Dadas la matrices A    1  2 5  1 2  4  y consideran do   2,   3; comprueba las propiedades anteriores.

II.5. OPERACIONES CON MATRICES Y APL. LINEALES

OBSERVACIÓ N : El conjunto de las matrices de orden mxn tiene estructura de espacio vectorial de dimensión m  n respecto de la suma de matrices y el producto de un escalar por una matriz : ( M mxn ,,R) Ejemplo : Sea (M 2x2 ,,R) espacio vectorial de dimensión 4 a) Demostrar que una base de dicho espacio vectorial viene  1 0   0 1   0 0   0 0  ,  ,  ,   dada por   0 0   0 0   1 0   0 1   3  1  2 3  5 3  , B   , C    b) Dadas las matrices A   2 1   1  2  4  1 determinar si son linealment e independientes y obtener el subespacio de M 2 generado por las mismas

II.5. OPERACIONES CON MATRICES Y APL. LINEALES COM POSICIÓN DE APLICACIONES LINEALES

Sean f : R n  R m , g : R m  R p dos aplicacion es lineales se define la aplicación composición : ( g  f ) : R n  R p : ( g  f )(u )  g ( f (u )) esta aplicación es lineal

PRODUCTO DE DOS M ATRICES Sean A  M mxn la matriz asociada a la aplicación lineal f : R n  R m y B  M pxm la matriz asociada a la aplicación lineal g : R m  R p entonces la matriz asociada a la aplicación ( g  f ) : R n  R p es la matriz C  M pxn que se define como :



C  bi   a  j



II.5. OPERACIONES CON MATRICES Y APL. LINEALES

 a1  u     a u  ( g  f )(u )  g ( f (u ))  g ( Au )  g  2       a m  u    a1  u          a 2  u    b1     a1  u          a m  u    b11  (a1  u )  ...  b1m  (a m  u )       a 2  u     B         a1  u         b  ( a  u )  ...  b  ( a  u )   1  m   a m  u  p 1 pm        a 2  u   b p         (bi  a j )  C   a m  u     

DEDUCCIÓN :

II.5. OPERACIONES CON MATRICES Y APL. LINEALES

CONCLUSIÓN : La matriz asociada a la aplicación lineal ( g  f ) es la matriz Bg  A f y la matriz asociada a la aplicación lineal ( f  g ) es la matriz A f  Bg

EJEMPLO . Dadas la aplicacion es lineales definidas por f : R 3  R 2 : f ( x, y , z )  ( 2 x  y ,  x  3 y  2 z ) g : R 2  R 3 : g (u , v)  (u  v,5u, u  7v) a) Calcula la matriz asociada a la aplicacion es f y g b) Calcula la matriz asociada a la aplicación f  g c) Calcula la matriz asociada a la aplicación g  f

II.5. OPERACIONES CON MATRICES Y APL. LINEALES

OBSERVACIO NES : 1) El producto de matrices no es conmutativo a) Si las matrices se pueden multiplica en general A  B  B  A b) La matrices no se pueden multiplicar en un orden pero sí en el contrario. 1 2 4  2 4  B    Ejemplo : A   3 2 1 1 3  1 2 4  2 4    ¡¡no puede realizarse!!  3 2 1  1 3   2 4  1 2 4       1 3  3 2 1 

14 12 12    10 8 7 

II.5. OPERACIONES CON MATRICES Y APL. LINEALES 2) Propiedad asociativa : A  M mxn ; B  M nxp ; C  M pxr

( A  B)  C  A  ( B  C ) 3) Distributiva respecto de la suma A  M mxn ; B, C  M nxp A  (B  C)  A  B  A  C

EJEMPLO . Dadas la aplicacion es lineales definidas por f : R 3  R 3 : f ( x, y , z )  ( 2 x, y  z , x  y ) g : R 3  R 3 : g ( x, y , z )  ( x  y , 2 y  z ,  z ) h : R 3  R 3 : h ( x, y , z )  ( x, y  z , x  y  z ) a) Calcula la matriz asociada a la aplicacion es f , g y h b) Calcula la matriz asociada a la aplicación f  g  h c) Calcula la matriz asociada a la aplicación h  g  f d) Calcula la matriz asociada a la aplicación g  f  h

II.5. OPERACIONES CON MATRICES Y APL. LINEALES

OBSERVACIÓ N . Dados dos números reales se verifica : 1) si a  b  0  a  0 o b  0 2) si a  b  a  c  si a  0, b  c Esta propiedad no se cumple en matrices. EJEM PLO. 2 1) A   1 2 2) A   6

Libro. Problemas y cuestiones de álgebra lineal: capítulo 2 Páginas: 120-125 Ejercicios 20, 21,22,23,24

4  2 4   B    2  1  2 3 1 1   2 1  B    C    9 1 2   3 2

II.6. MATRIZ INVERSA. APLICACIÓN LINEAL INVERSA

Definición : Sea f : R n  R n con matriz asociada A  M n Si existe f 1 : R n  R n entonces i) f 1 es lineal ii) ( f 1  f )  ( f  f 1 )  Id por lo que existe una matriz B  M n tal que

A  B  B  A  Id

B se denomina la inversa de A : B  A1 Ejemplo . 1 1 2    A   2 1  1, 3 1 1   

  2 / 5 1/ 5 3 / 5   B 1 1 1   1/ 5  2 / 5 1/ 5   

II.6. MATRIZ INVERSA. APLICACIÓN LINEAL INVERSA

Observación : 1) La matrices que no son cuadradas no tienen inversa. 2) NO todas las matrices cuadradas tienen inversa ¿existe alguna condición que nos permita determinar si una matriz dada tiene inversa? CONDICIÓN DE INVERTIBILIDAD Sea A  M n se verifica que la matriz A tiene inversa   la matriz A tiene rango completo, es decir, rg(A)  n Ejemplo : 1 2 1   ¿es invertible la matriz A   2 4 0  ?  3 6 0  

II.6. MATRIZ INVERSA. APLICACIÓN LINEAL INVERSA

PROPIEDADES DE LA INVERSA Sean A, B  M n tales que rg(A)  rg(B)  n. Entonces se verifican : 1) Existe la inversa de A y ésta es única. 2) La matriz A1 inversa de A verifica : ( A1 ) 1  A 3) ( A  B) 1  B 1  A1 4) A1 A  AA 1  I

Libro de problemas y cuestiones de álgebra lineal Cap. 2, pág. 126, ej. 6

Ejemplo : Hallar el valor de a y b para que A sea la inversa de B, siendo 1 0 1/2 - 1 - 1  1     A a 1 b  B   5/2 7/2 - 1  3 0 1  -3 -3 1     

II.6. MATRIZ INVERSA. APLICACIÓN LINEAL INVERSA

M ÉTODODE GAUSS - JORDAN PARA CALCULAR LA INVERSA El método de Gauss - Jordan consiste en ir encontrando ciertas matrices P1 , P2 ,..., Pr  M n que representan transformaciones elementale s entre la FILAS de una matriz A, teniendo en cuenta que podemos efectuar las siguientes transformaciones : 1) Intercambiar filas 2) M ultiplicar una fila por un escalar 3) Suma a una fila una combinació n lineal de las restantes de tal forma que una vez aplicadas estas transformaciones sobre la matriz A obtengamos la matriz identidad : A  P1 A  P2 P1 A  ....  Pr Pr 1...P1 A  I n A1  ( Pr Pr 1Pr 2 ...P1 )

II.6. MATRIZ INVERSA. APLICACIÓN LINEAL INVERSA

Ejemplo . Calcular con el método anterior la inversa si existe de la matriz 4 2   A    3 - 1 MÉTODO GENERAL Para ir agrupando los sucesivos productos Pi Pi 1...P1 despues de las sucesivas transformaciones aplicaremo s el siguiente método : Libro. Problemas y Si A  M n es de rango completo. cuestiones de Construimos : álgebra lineal. 1

( A I n )             ( I n  A ) realizando sucesivas transform aciones admisibles según Gauss sobre las filas

EJEMPLO : Aplicarlo sobre el ejemplo anterior.

Capítulo 2 pág. 126-137 ejercicios : 27,28,29,30,32,33

II.7. ALGUNOS TIPOS DE MATRICES a) M ATRICESTRIANGULARES M atriz triangula r superior. A  (a ij )  M n es triangula r superior si todos los elementos de A situados bajo la diagonal principal son nulos, e.d. a ij  0 i  j Matriz triangula r inferior A  (a ij )  M n es triangula r inferior si todos los elementos de A

  0 

  

 0   situados por encima de la diagonal principal son nulos, e.d. a ij  0 i  j Matriz diagonal A  (a ij )  M n es una matriz diagonal si es triangula r superior e inferior.

1 2 0 9 0 0  4 0 0       A   0 1 0 B   3 1 0 C   0 4 0  0 0 3 3 7 9 0 0 8      

  

II.7. ALGUNOS TIPOS DE MATRICES PROPIEDADES DE LAS M ATRICESTRIANGULARES Sean A, B  M n dos matrices triangula res superiores (inferiore s) entonces para todo   R se verifican : 1) A  B es triangula r superior (inferior) 2) A es triangula r superior (inferior) 3) A  B es triangula r superior (inferior) 4) Si A tiene inversa entonces A -1 es triangula r superior (inferior) EJEM PLO. Comprobar las propiedades anteriores con las siguientes matrices : 7 3 9  2 1 1     A   0 1 2 B   0 3 1 0 0 1  0 0 4    

II.7. ALGUNOS TIPOS DE MATRICES b) M ATRIZTRASPUESTA Definición . Sea A una matriz de orden mxn, diremos que la matriz B de orden nxm es la traspuesta de A si las filas de A son las columnas de B.

4 7    3 4  , B   1 0  EJEMPLO. Calcular la traspuesta de las matrices A   1 - 4  3  1   PROPIEDADES : Se denota por A t  A'  B

Comprobar con ejemplos las propiedades anteriores . t t 2) (A)  A 5) Demostrar 4) rg ( A)  rg ( At )

Sean A, B  M mxn; C  M nxp 1) ( A  B)t  At  B t 3) ( AC )t  C t At

5) Si existe la inversa de A -1  ( A1 )t  ( At ) 1 6)

AAt  0  A  0

II.7. ALGUNOS TIPOS DE MATRICES c) MATRIZSIMÉTRICA Definición . Decimos que una matriz A de orden n es simétrica  A  A t

EJEMPLO. De matrices simétricas PROPIEDADE S : Sean A, B  M n dos matrices simétricas , entonces : 1) A  B es simétrica 2) A es simétrica 3) Si existe la inversa de A A -1  A1 es simétrica 4) AAt y At A son simétricas 5) En general AB y BA NO son simétricas Demostración.

II.7. ALGUNOS TIPOS DE MATRICES d) MATRIZANTISIMÉTRICA Definición . Decimos que una matriz A de orden n es antisimétrica  A  A t

EJEMPLO. De matrices antisimétricas PROPIEDADE S : Sean A, B  M n dos matrices antisimétricas, entonces : 1) Si A es antisimétrica la diagonal principal está formada por ceros 2) A  B es antisimétrica 3) A es antisimétrica 4) Si existe la inversa de A A -1  A1 es antisimétrica 5) Si AB  BA  AB es simétrica Demostración.

II.7. ALGUNOS TIPOS DE MATRICES e) M ATRIZORTOGONAL Definición . Decimos que una matriz A de orden n es ortogonal  A -1  A t Caracteriz ación : Una matriz cuadrada A de orden n es ortogonal  todas las columnas de la matriz son vectores ortogonale s dos a dos y además todos son vectores unitarios

EJEMPLOS De matrices ortogonale s PROPIEDADE S : Sean A, B  M n dos matrices ORTOGONALES. Entonces 1) AB y BA son ortogonale s 2) En general A  B y A NO son ortogonale s 3) Si A es ortogonal  A es invertible y A -1  A t

(Demostración)

II.7. ALGUNOS TIPOS DE MATRICES f) M ATRICESIDEM POTENTES, UNIPOTENTES, NILPOTENTES Sea A una matriz cuadrada de orden n, diremos que 1) A es idempotente  AA  A 2  A 2) A es unipotentes  A 2  I n 3) A es nilpotente  A 2  0 n

Libro. Problemas y cuestiones de álgebra lineal. Capítulo 2: pág. 137-140 ejercicios 34,35

EJEM PLOS Determinar qué tipo de matrices son  2/3 1/3  0 1 0 1  B    C    A    2/3 1/3  1 0  0 0

II.7. ALGUNOS TIPOS DE MATRICES PROPIEDADES 1) Si A, B son dos matrices idempotentes entonces a) Si AB  BA  AB es idempotente (demostrar) b) I n  A es idempotente, aunque A - I n no lo es en general (demostrar) 2) Si A es unipotente entonces rg ( A)  n por lo que existe A -1  A (demostrar) 3) Si A es nilpotente entonces I n - A es invertible y su inversa es

(I n - A)-1  I n  A (demostrar)

Libro. Problemas y cuestiones de álgebra lineal: CUESTIONES RESUELTAS CAP 2, PAG. 91-98