Algebra Lineal XXI: Existencia de la Funci´on Determinante, Expansi´on de Cofactores. Jos´e Mar´ıa Rico Mart´ınez Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica Facultad de Ingenier´ıa Mec´anica El´ectrica y Electr´onica Universidad de Guanajuato email: [email protected] En estas notas mostraremos como es posible definir la funci´on determinante para matrices cuadradas de cualquier orden.

1.

Menores y cofactores.

El primer paso ser´a definir los menores, los cofactores y las matrices de menores y cofactores. Definici´ on: Menores y la matriz de menores. Sea M ∈ Mm×m , el menor i, j de M , denotado por Mij es el valor del determinante de la matriz de m − 1 filas y m − 1 columnas obtenida eliminando la i-´esima fila y la j-´esima de M.1 La matriz de menores de M , denominada menor M est´a dada por   M11 M12 · · · M1m  M21 M22 · · · M2m    menor M =  .  .. .. .. .   . . . . M1m

M2m

···

Mmm

Definici´ on: Cofactores y la matriz de cofactores. Sea M ∈ Mm×m , el cofactor i, j de M , denotado por M ij est´a dado por (−1)i+j Mij . La matriz de cofactores de M , denominada cof actor M est´a dada por   M 11 M 12 · · · M 1m  M 21 M 22 · · · M 2m    cof actor M =  .  .. .. ..   .. . . . M 1m

M 2m

···

M mm

Definici´ on: Expansi´ on de cofactores. Sea m un entero positivo con m ≥ 2 y sea i un entero positivo tal que 1 ≤ i ≤ m, entonces la siguiente expresi´on m X

mij M ij .

j=1

se denomina la expansi´ on de M en los cofactores de la i−´ esima fila, o simplemente la expansi´on de M acerca de la i-´esima fila.

1 Si

la matriz resultante es de orden 1, es decir si M11 = [m11], entonces |M11 | = m11 .

1

Ejemplo: Expansi´ on de cofactores para matrices de orden 2. Considere una matriz M ∈ M2×2 dada por   m11 m12 M= m21 m22 Entonces menor M =



m22 m12

m21 m11



y

cof actor M =



−m21 m11

m22 −m12



Entonces, la expansi´on de cofactores empleando la primera fila est´a dada por m11 M 11 + m12 M 12 = m11 m22 + m12 (−m21 ) = m11 m22 − m12 m21 = det M = |M | Debe notarse que el resultado es el valor del determinante para una matriz de orden 2. Esta observaci´ on se generaliza en el siguiente teorema. Teorema. Sea m un entero positivo tal que m ≥ 2. Existe una funci´on determinante para cada valor de m. Adem´as, para todo entero 1 ≤ i ≤ m la funci´on definida por |M | = det M =

m X

mij M ij .

j=1

es la funci´on determinante. Prueba: Se har´a la prueba por inducci´on, ya se prob´o para m = 2. Por la hip´otesis de inducci´ on, se supondr´a que el resultado es v´alido para m − 1 y a partir de estas suposiciones trataremos probar que el resultado para m. Es suficiente probar que la expansi´on de cofactores satisface las cuatro propiedades de la funci´on determinante. 1. Considere dos matrices cuadradas de orden m dadas, en t´erminos de sus columnas, por y M ∗ = (M1 · · · Mj∗ · · · Mm )

M = (M1 · · · Mj · · · Mm ) Entonces, considere la matriz N dada por

N = (M1 · · · Mj + Mj∗ · · · Mm ) Considere ahora la expansi´on del determinante de la matriz N en base a la i-´esima fila de N det N = mi1 N i1 + · · · + (mij + m∗ij )N ij + · · · mim N im Ahora, es necesario analizar los cofactores de esta expansi´on. Para k 6= j, se tiene que N ik = (−1)i+k Nik , donde Nik es un determinante de orden m−1 donde una columna est´a dada por Mj + Mj∗ excepto que la i−´esima fila est´a ausente. Como, por la suposici´on de inducci´on, esta propiedad se satisface para los determinantes de orden m1 se tiene que ∗ Nik = Mik + Mik

y

N ik = M ik + M ik

∗

Para k = j, se tiene que N ij = (−1)i+j Nij , donde Nij es un determinante de orden m − 1 donde la j−´esima columna dada por Mj + Mj∗ est´a ausente. Por lo tanto Nij = Mij = Mij∗

y

N ij = M ij = M ij

∗

Recolectando estos resultados se tiene que det N

∗

∗

= mi1 (M i1 + M ij ) + · · · + (mij + m∗ij )M ij + · · · + mim (M im + M im ) ∗

∗

= mi1 M i1 + mi1 M ij + · · · + mij M ij + m∗ij M ij + · · · + mim M im + mim M im ∗

∗

∗

∗

= (mi1 M i1 + · · · + mij M ij + · · · + mim M im ) + (mi1 M ij + · · · + m∗ij M ij + · · · + mim M im ) = det M + det M ∗ 2

2. A partir de la definici´on de la matriz M , dada por M = (M1 · · · Mj · · · Mm ) defina la matriz N como N = (M1 · · · λMj · · · Mm ) Entonces det N = mi1 N i1 + · · · + λmij N ij + · · · mim N im Ahora, es necesario analizar los cofactores de esta expansi´on. Para k 6= j, se tiene que N ik = (−1)i+k Nik , donde Nik es un determinante de orden m − 1 donde una columna est´a dada por λMj excepto que la i−´esima fila est´a ausente. Como, por la suposici´on de inducci´on, esta propiedad se satisface para los determinantes de orden m1 se tiene que Nik = λMik

y

N ik = λM ik

Para k = j, se tiene que N ij = (−1)i+j Nij , donde Nij es un determinante de orden m − 1 donde la j−´esima columna dada por λMj est´a ausente. Por lo tanto Nij = Mij

y N ij = M ij .

Recolectando estos resultados se tiene que det N

=

mi1 λM i1 + · · · + λmij M ij + · · · mim λM im

= =

λ(mi1 M i1 + · · · + mij M ij + · · · mim M im ) λdet M.

3. A partir de la definici´on de la matriz M , dada por M = (M1 · · · Mj Mj · · · Mm ) Entonces det M = mi1 M i1 + · · · + mi,j M ij + mi,j+1 M i,j+1 + · · · mim N im Ahora, es necesario analizar los cofactores de esta expansi´on. Para k 6= j y k 6= j + 1 se tiene que M ik = (−1)i+k Mik , donde Mik es un determinante de orden m − 1 donde dos columnas son iguales. Como, por la hip´otesis de inducci´ on, esta propiedad se satisface para los determinantes de orden m − 1 se tiene que Mik = 0

por lo tanto M ik = 0

Para k = j, se tiene que M ij = (−1)i+j Mij , mientras que para k = j + 1 M i,j+1 = (−1)i+j+1 Mi,j+1 , donde Mij = Mi,j+1 pues ambos menores tienen las mismas columnas. M i,j+1 = (−1)i+j+1 Mi,j+1 = (−1)i+j Mi,j (−1) = −M ij . Adem´as mij = mi,j+1 . Recolectando estos resultados se tiene que det M

= =

mi1 0 + · · · + mij M ij + mi,j+1 M i,j+1 · · · mim 0 mij M ij + mij (−M ij ) = 0. 3

4. Considere la matriz identidad de orden m    Im =  

1 0 0 1 .. .. . . 0 0

··· ··· .. .

0 0 .. .

···

1

    

Realizando la expansi´on por cofactores en base a la primera fila 11 12 1m |Im | = 1Im + 0Im + · · · + 0Im = 1(−1)1+1 Im11

Sin embargo, Im11 es un determinante de una matriz identidad de orden m − 1 y por la hip´otesis de inducci´on |Im11 | = 1 por lo tanto |Im | = 1 Una vez probados esos resultados, es posible probar, por la misma t´ecnica de inducci´on otros resultados. Corolario. Sea D ∈ M p×p una matriz diagonal. Es decir, los elementos de D est´an dados por dij = 0, ∀i 6= j. Entonces, el determinante de D est´a dado por det D = d11 × d22 × · · · × dpp =

p Y

dii .

i=1

Prueba: Por inducci´on, para p = 2, se tiene que d 0 det D = 11 = d11 × d22 − 0 × 0 = d11 × d22 . 0 d22

Por la hip´otesis de inducci´on, se tiene que si D es de orden p − 1, se tiene que det D = d11 × d22 × · · · × dp−1,p−1 . Finalmente si D es de orden p, se tiene que realizando la expansi´on por cofactores en base a la p−´esima fila, se tiene que d11 0 · · · 0 0 0 d22 · · · 0 0 .. .. .. .. .. det D = . . . . . 0 0 · · · dp−1,p−1 0 0 0 ··· 0 dpp d11 0 · · · 0 0 d22 · · · 0 p+p = 0 + 0 + · · · + 0 + dpp (−1) .. .. . .. .. . . . 0 0 · · · dp−1,p−1 =

d11 × d22 × · · · × dp−1,p−1 × dpp .

Corolario. Sea T ∈ M p×p una matriz triangular superior. Es decir, los elementos de T est´ an dados por tij = 0, ∀i > j. 4

Entonces, el determinante de T est´a dado por det T = t11 × t22 × · · · × tp−1,p−1 × tpp =

P Y

tii .

i=1

Prueba: Por inducci´on, para p = 2, se tiene que t t det T = 11 12 = t11 × t22 − 0 × t12 = t11 × t22 . 0 t22

Por la hip´otesis de inducci´on, se tiene que si T es de orden p − 1, se tiene que det T = t11 × t22 × · · · × tp−1,p−1 . Finalmente si T es de orden p, se tiene que realizando la expansi´on por cofactores en base a la p−´esima fila, se tiene que t11 t12 · · · t1,p−1 t1p 0 t22 · · · t2,p−1 t2p .. . . .. . .. .. .. det T = . . 0 0 · · · t t p−1,p−1 p−1,p 0 0 ··· 0 tpp t11 t12 · · · t1,p−1 0 t22 · · · t2,p−1 = 0 + 0 + · · · + 0 + tpp (−1)p+p . . .. . .. .. .. . 0 0 · · · tp−1,p−1 =

2.

t11 × t22 × · · · × tp−1,p−1 × tpp .

Problemas Resueltos. Problema 1. Para la siguiente matriz determine su matriz de menores y su matriz de cofactores   1 3 −2 M =  2 −1 3  −1 2 −3

Los menores asociados a la matriz est´an dados por −1 3 3 = −3 M12 = 2 M11 = = −3 M = 13 2 −3 −1 −3 3 −2 = −5 M22 = 1 −2 = −5 M23 = M21 = 2 −3 −1 −3 3 −2 = 7 M32 = 1 −2 = 7 M33 = 1 M31 = 2 3 2 −1 3 La matriz de menores est´a dada por



 −3 −3 3 menor M =  −5 −5 5  7 7 −7

5

2 −1 =3 −1 2 1 3 =5 −1 2 3 = −7 −1

Los cofactores de la matriz est´an dados por M 11 = (−1)1+1 M11 = −3 M 12 = (−1)1+2 M12 = 3 M 13 = (−1)1+3 M13 = 3 M 21 = (−1)2+1 M21 = 5

M 22 = (−1)2+2 M22 = −5 M 23 = (−1)2+3 M23 = −5

M 31 = (−1)3+1 M31 = 7

M 32 = (−1)3+2 M32 = −7 M 33 = (−1)3+3 M33 = −7

y la matriz de cofactores est´a dada por 

 −3 3 3 cof actor M =  5 −5 −5  7 −7 −7 Problema 2. Para la matriz del problema 1, determine el determinante de la matriz empleando la expansi´on por cofactores a) en base a la primera fila, b) en base a la tercera fila. Soluci´ on. a) En base a la primera fila, el determinante est´a dado por |M | = m11 M 11 + m12 M 12 + m13 M 13 = 1(−3) + 3(3) − 2(3) = 0. b) En base a la tercera fila, el determinantes est´a dado por |M | = m31 M 31 + m32 M 32 + m33 M 33 = −1(7) + 2(−7) − 3(−7) = 0.

3.

Problemas Propuestos. Problema 1. Determine el determinante de cada una de las siguientes matrices

1. Matriz 1

2. Matriz 2.



1  3 M1 =   −5 1 

 0 2 3 0 1 −4   3 −2 2  2 0 3

1 6 −2  −3 2 1 M2 =   5 −1 −4 −1 4 8

6

 0 −4   5  0