Universidad Central de Venezuela Facultad de Ingeniería Ciclo Básico Departamento de Matemática Aplicada

ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250)

Semestre 1-2011

José Luis Quintero Mayo 2011

Álgebra Lineal y Geometría Analítica (0250)

TEMA 2 VECTORES EN R2 Y R3

Semestre 1-2011

José Luis Quintero Mayo 2011

Vectores en R2 y R3

U.C.V.

F.I.U.C.V.

ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA (0250) – TEMA 2

Prof. José Luis Quintero

Las notas presentadas a continuación tienen como único fin, el de prestar apoyo al estudiante y facilitar su entendimiento en el tema de vectores en R2 y R3.

La guía contempla un pequeño resumen de la teoría correspondiente que sirve de repaso a los contenidos teóricos que componen el tema. Se presentan ejercicios resueltos y propuestos, algunos son originales, otros se han tomado de guías redactadas por profesores, también hay ejercicios tomados de exámenes y de algunos textos. Se ha tratado de ser lo más didáctico posible y se espera prestar un apoyo a la enseñanza del Álgebra Lineal en Ingeniería.

Agradezco las observaciones y sugerencias que me puedan hacer llegar en la mejora del presente material, las mismas pueden ser enviadas a la siguiente dirección de correo: [email protected].

INDICE GENERAL U.C.V.

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Vectores en R2 y R3 Prof. José Luis Quintero

2.1.

Vectores

1

2.2.

Cantidades escalares y vectoriales

2

2.3.

Longitud, magnitud o norma de un vector

3

2.4.

Producto escalar

4

2.5.

Ángulo entre dos vectores

5

2.6.

Vectores canónicos. Direcciones

6

2.7.

Vectores ortogonales. Proyección ortogonal

7

2.8.

Cálculo de la proyección de un vector sobre otro

8

2.9.

Producto vectorial

10

VECTORES U.C.V.

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2.1. VECTORES Definición 1. Un vector es un objeto de la forma x = (x1 , x2 ,..., xn ) con xi ∈ R, i = 1,...,n . Un vector es una magnitud representada por un segmento dirigido (flecha). Se caracteriza por poseer:

a. Una longitud, la que es representada por un valor numérico al que se llama módulo, norma o tamaño del vector (ver figura 1).

Figura 1. Cálculo del módulo, norma o tamaño de un vector

b. Una dirección, que es la recta a la que pertenece (ver figura 2). c.

Un sentido. La recta posee dos sentidos, generalmente estos se indican mediante signos “+” para un lado y “-” para el otro (ver figura 2).

Figura 2. Dirección y sentido de un vector

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Los vectores pueden situarse en el plano, (dos dimensiones) (ver figura 3), en el espacio (tres dimensiones) (ver figura 4) y hasta en dimensiones mayores a tres. Los vectores que se encuentren en el plano se llamarán “pares”, mientras los que se ubiquen en el espacio se llamarán “ternas”.

Figura 3. Vector en dos dimensiones

Figura 4. Vector en tres dimensiones

2.2. CANTIDADES ESCALARES Y VECTORIALES Diversas medidas como la temperatura, distancia, masa, tiempo, densidad, energía, área, altura, etc, se pueden representar mediante un solo número real, estas se llaman cantidades escalares. Otras como la fuerza que actúa sobre un objeto, velocidad y aceleración de un cuerpo, necesitan, además de la magnitud, describir una dirección y un sentido.

Estas

se

llaman

cantidades

vectoriales

y

se

logra

describirla

mediante

coordenadas. Se estudiarán con detalle algunas características de estas últimas cantidades.

LONGITUD, MAGNITUD O NORMA DE UN VECTOR U.C.V.

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2.3. LONGITUD, MAGNITUD O NORMA DE UN VECTOR Definición 2. La longitud, magnitud o norma de un vector es una cantidad escalar asociada con el tamaño del vector y se puede calcular como

x =

x12 + x22 + ... + xn2 .

El teorema de Pitágoras se puede usar para calcular la longitud de un vector fijo en R3 (ver figura 5). Si P = (x, y, z) , del teorema de Pitágoras se tiene que

OP

2

= OR

2

+ z2 ,

aplicando el teorema de Pitágoras al vector OR se obtiene

OR

2

= x2 + y2

y reemplazando esta última ecuación en la primera:

OR

2

= x2 + y2 + z2 .

Como la norma de un vector es no negativa se tiene que

P = OP =

x2 + y2 + z2 .

TEOREMA 1. (PROPIEDADES DE LA NORMA) a. x = 0 ⇔ x = 0 b.

x >0⇔x≠0

c.

λx = λ x ( λ escalar real)

d.

x + y ≤ x + y (Desigualdad triangular)

Observación 1. x se dice unitario si y sólo si x = 1 .

TEOREMA 2. Sea x ∈ Rn , entonces

x es unitario. x

LONGITUD, MAGNITUD O NORMA DE UN VECTOR U.C.V.

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Figura 5. Norma de un vector en tres dimensiones usando el teorema de Pitágoras

2.4. PRODUCTO ESCALAR Definición 3. Dados los vectores x = (x1 , x2 ,..., xn ) y y = (y1 , y2 ,..., yn ) se define el producto escalar x • y, por n

x • y = x1y1 + ... + xnyn =

∑xy . i i

i =1

TEOREMA 3. (PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR) a. x • y = y • x b.

(λx) • y = λ(x • y)

c.

x • (y + z) = x • y + x • z

d.

x•x ≥0

e.

x•x =0⇔ x =0

Observación 2.

x•x = x .

ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES U.C.V.

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2.5. ÁNGULO ENTRE DOS VECTORES Definición 4. Sean A y B dos vectores de R2 o R3 no nulos, el ángulo θ entre los vectores coordenados A y B es el ángulo entre los vectores fijos OA y OB y donde θ es un ángulo entre 0
y 180
. TEOREMA 4. Si A y B son vectores coordenados de R3 no nulos, entonces

cos(θ) =

A

2

+ B

2

− B−A

2

2 A B

Demostración. Por la ley de los cosenos se tiene que

B−A

2

= A

2

+ B

2

− 2 A B cos(θ) .

De modo que

cos(θ) =

A

2

+ B

2

2

− B−A

.

2 A B

TEOREMA 5. Si A y B son vectores coordenados de R3 no nulos, entonces A •B . cos(θ) = A B Demostración. Si A = (a1 , a2 , a3 ) y B = (b1 ,b2 ,b3 ) son vectores de R3, entonces

B−A

2

= (b1 − a1 )2 + (b2 − a2 )2 + (b3 − a3 )2 = (b12 + b22 + b32 ) + (a12 + a22 + a32 ) − 2(b1a1 + b2a2 + b3a3 ) = B

2

+ A

2

− 2(b1a1 + b2a2 + b3a3 )

Reemplazando se tiene que

cos(θ) =

A

2

+ B

2

− B

2

− A

2

+ 2(b1a1 + b2a2 + b3a3 )

2 A B

=

(b1a1 + b2a2 + b3a3 ) A •B = A B A B

VECTORES CANÓNICOS. DIRECCIONES U.C.V.

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2.6. VECTORES CANÓNICOS. DIRECCIONES Definición 5. Los vectores de R 3

i = (1, 0, 0), j = (0,1, 0), k = (0, 0,1) se conocen con el

nombre de canónicos y dibujados con punto inicial el origen coinciden con las direcciones positivas de los ejes de coordenadas y son unitarios. Definición 6. Los ángulos directores de un vector fijo OA son los ángulos α , β y γ , donde α es el ángulo formado por el semieje positivo de las x y el vector OA, β es el ángulo

formado por el eje positivo de las y y el vector OA y γ es el ángulo formado por el eje positivo de las z y el vector OA, la medida de estos ángulos se encuentra entre 0
y 180
. Definición 7. Los cosenos directores del vector fijo OA son los cosenos de los ángulos directores del vector OA. Se puede encontrar una fórmula para determinar los cosenos directores del vector OA (ver figura 6). El ángulo ORA es recto porque RA está en un plano que es perpendicular al vector OR. De modo que

cos(α) =

a1 = A

a1 a12 + a22 + a32

.

De forma similar se tiene que

cos(β) =

a2 = A

cos(γ) =

a3 A

=

a2 a12 + a22 + a23 a3 a12 + a22 + a23

,

.

Ahora bien,

cos2 (α) + cos2 (β) + cos2 (γ) =

a12 a12 + a22 + a23

+

a22 a12 + a22 + a23

+

a23 a12 + a22 + a23

= 1.

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Figura 6. Cosenos directores de un vector fijo

2.7. VECTORES ORTOGONALES. PROYECCIÓN ORTOGONAL Definición 8. Un vector x es ortogonal (perpendicular) al vector y si y sólo si x+y = x−y . Observación 3. Si dos vectores x, y son perpendiculares se usará la notación x ⊥ y . TEOREMA 6. Dos vectores x, y son ortogonales si y sólo si x • y = 0 .

Dados los vectores fijos a y b no nulos es posible proyectar el vector a sobre el vector b y sobre un vector fijo w’ perpendicular a b como se indica en la figura 7.

Como se observa en la figura 7, a = v + w , donde v es la proyección de a sobre b y w es la proyección ortogonal de a sobre b. TEOREMA 7. (PROPIEDADES DE LA PROYECCIÓN DE UN VECTOR) a.

v = λb para algún escalar λ (v es paralelo a b).

b.

a= v +w.

c.

w •b = 0.

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Figura 7. Proyección del vector a sobre el vector b

2.8. CÁLCULO DE LA PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE OTRO a • b = (w + v) • b = w • b + v • b = 0 + v • b = v • b = (λb) • b = λ(b • b) De lo anterior se tiene que

λ=

a•b . b•b

La proyección de a sobre b se puede escribir como

a•b  b = comp(proy a)b . proyb a =  b  b2    El vector

a•b b w = a − λb = a −   b2    es ortogonal a b para cualquier vector a (ver figuras 8 y 9).

CÁLCULO DE LA PROYECCIÓN DE UN VECTOR SOBRE OTRO U.C.V.

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Figura 8. Proyección del vector a sobre el vector b con escalar positivo

Figura 9. Proyección del vector a sobre el vector b con escalar negativo

PRODUCTO VECTORIAL U.C.V.

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2.9. PRODUCTO VECTORIAL Considere el problema de encontrar un vector X = (x, y, z) perpendicular a dos vectores no nulos y no paralelos A = (a1 , a2 , a3 ) y B = (b1 ,b2 ,b3 ) . Como A • X = B • X = 0 , el problema se reduce a la solución del sistema de ecuaciones dado por

a1x + a2 y + a3z = 0 b1x + b2 y + b3z = 0

.

Se puede eliminar z multiplicando la primera ecuación por b3 y la segunda por −a3 y luego sumándolas se obtiene

(a1b3 − a3b1 )x + (a2b3 − a3b2 )y = 0

(*)

De forma semejante, se puede eliminar y y

(a1b2 − a2b1 )x + (a3b2 − a2b3 )z = 0

(**)

Se ve fácilmente que para cualquier constante k,

x = k(a2b3 − a3b2 ) , y = k(a3b1 − a1b3 ) , z = k(a1b2 − a2b1 ) es una solución para el sistema formado por (*) y (**). Como se puede ver hay infinitas soluciones a este sistema todas ellas múltiplos escalares. Cuando k = 1 la solución se define como el producto vectorial A × B . Por lo anterior, A × B es un vector perpendicular tanto a A como a B (ver figura 10).

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Figura 10. Producto vectorial de dos vectores

Definición 9. Para cualquier par de vectores A y B de R3 el producto vectorial de A por B se define como

A × B = (a2b3 − a3b2 , a3b1 − a1b3 , a1b2 − a2b1 ) . Observación 4. a. Si A o B es el vector nulo, entonces es claro que A × B = 0 . b. Si A o B no son nulos y A es paralelo a B, entonces B = λA para algún escalar λ , por tanto

A × B = A × (λA) = (a1 , a2 , a3 ) × (λa1 , λa2 , λa3 ) = (a2 (λa3 ) − a3 (λa2 ), a3 (λa1 ) − a1(λa3 ), a1(λa2 ) − a2 (λa1 )) = (λa2a3 − λa3a2 , λa3a1 − λa1a3 , λa1a2 − λa2a1 ) = (0, 0, 0)

Se tiene entonces que si A × B son vectores paralelos entonces A × B = 0 . Usando determinantes se tiene que

i j k A × B = a1 a2 a3 . b1 b2 b3 TEOREMA 8. (PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL) Sean A, B y C vectores de R3 y λ un número real. a.

A×A =0

b.

0×A = A×0 = 0

c. d.

B × A = −A × B A × (B + C) = A × B + A × C

e.

(λA) × B = λ(A × B) = A × (λB)

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Observación 5. El producto cruz o vectorial en general no cumple la propiedad asociativa, es decir,

A × (B × C) ≠ (A × B) × C . Relacionando al producto vectorial con el producto escalar se tiene

A ×B

2

+ (A • B)2 = A

2

2

B . (Identidad de Lagrange)

TEOREMA 9. Si A y B son vectores de R3 y θ es el ángulo entre los vectores A y B, entonces A × B = A B sen(θ) . Demostración.

A ×B

2

= A

2

B

2

− (A • B)2 = A

2

B

2

− A

2

B

2

cos2 (θ) = A

2

= A

2

2

B (1 − cos2 (θ)) B

2

sen2 (θ)

De modo que

A × B = A B sen(θ) .

□

La fórmula anterior para A × B tiene una interpretación geométrica para lo cual se construirá el paralelogramo determinado por A y B (ver figura 11). El área de dicho paralelogramo es base por la altura, donde la base es A y la altura es B sen(θ) , entonces el área del paralelogramo es A × B = A B sen(θ) .

Para el cálculo del área de un triángulo de vértices a, b y c se tiene que

ÁREA =

1 2

AB × AC .

Figura 11. Aplicación geométrica del producto vectorial