Educación secundaria

Dirección Xeral de Educación, Formación

para personas adultas

Profesional e Innovación Educativa

Ámbito científico tecnológico Educación la distancia semipresencial

Módulo 3 Unidad didáctica 7

Funciones lineal y afín Ecuaciones de primer grado Cinemática

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Índice 1.

Introducción...............................................................................................................3 1.1 1.2 1.3

2.

Descripción de la unidad............................................................................................... 3 Conocimientos previos.................................................................................................. 3 Objetivos didácticos...................................................................................................... 3

Desarrollo...................................................................................................................4 2.1

Las funciones lineal y afín............................................................................................. 4 2.1.1 2.1.2

2.2

Ecuaciones de primer grado ......................................................................................... 8 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5

2.3

Expresiones algebraicas ....................................................................................................................................8 Identidades y ecuaciones...................................................................................................................................8 Ecuaciones equivalentes..................................................................................................................................10 Resolución de la ecuación de primer grado.....................................................................................................11 Aplicación de las ecuaciones a la resolución de problemas ............................................................................12

Cinemática.................................................................................................................. 13 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.3.6 2.3.7

3.

Función lineal .....................................................................................................................................................4 Función afín........................................................................................................................................................6

Movimientos: sistemas de referencia ...............................................................................................................13 Posición de un móvil ........................................................................................................................................14 Velocidad media e instantánea ........................................................................................................................17 Movimiento rectilíneo uniforme (MRU).............................................................................................................19 Aceleración.......................................................................................................................................................22 Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (MRUA)................................................................................23 Movimiento de caída libre ................................................................................................................................25

Resumen de contenidos .........................................................................................27 3.1

Actividades complementarias ..................................................................................... 28

4.

Ejercicios de autoevaluación .................................................................................31

5.

Solucionarios...........................................................................................................33 5.1 5.2 5.3

Soluciones de las actividades propuestas................................................................... 33 Soluciones de las actividades complementarias ......................................................... 42 Soluciones de los ejercicios de autoevaluación .......................................................... 46

6.

Glosario....................................................................................................................48

7.

Bibliografía y recursos............................................................................................49

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1.

Introducción

1.1

Descripción de la unidad Se analizan los movimientos uniforme y uniformemente acelerado, y se comprueba la necesidad de enseñar las representaciones de la recta lineal y afín, y de resolver ecuaciones de primer grado (se dejan las de segundo grado para la unidad siguiente).

1.2

Conocimientos previos Módulo 2
Unidades 3 y 4: expresiones algebraicas y ecuaciones de primer grado.
Unidad 8: representación gráfica de una función.

1.3

Objetivos didácticos
Identificar en la ecuación de una recta la pendiente y la ordenada en el origen.
Representar adecuadamente funciones lineales y afines.
Resolver correctamente las ecuaciones de primer grado.
Resolver problemas de los ámbitos científico y social mediante la formulación y la resolución de ecuaciones de primer grado.
Aceptar la imposibilidad de la existencia de movimientos absolutos, así como de la necesidad de los sistemas de referencia en la descripción de los movimientos.
Diferenciar el desplazamiento de un móvil y el espacio recorrido.
Clasificar movimientos según su trayectoria y su velocidad, con ejemplos de la vida cotidiana.
Confeccionar gráficas s/t y v/t, e interpretarlas adecuadamente.
Diferenciar velocidad de aceleración.
Calcular velocidades y espacios recorridos utilizando las ecuaciones de los movimientos uniforme y uniformemente acelerado, incluida la caída libre de los cuerpos.

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2.

Desarrollo

2.1

Las funciones lineal y afín

2.1.1 Función lineal La función lineal, o función de proporcionalidad directa, tiene estas características:
Se expresa de forma y = m.x
Su gráfica es una línea recta.




El número m se llama pendiente.




La función es creciente si la pendiente es positiva (m > 0), y decreciente si la pendiente es negativa (m < 0).

Nota: ya sabe que en matemáticas solemos usar las letras x e y para escribir las variables, pero podemos también usar otras letras. Como caso práctico, estudiaremos la función lineal y = 2x. Primero hacemos una pequeña tabla de valores y luego representamos la gráfica: y = 2x x

y

-3

-6

0

0

2

4

3

6


La gráfica de la función lineal

siempre pasa por el origen, es decir, por el punto (0, 0).


La función representada es una función creciente, ya

que, al aumentar el valor de x, aumenta el valor de y. Fíjese en las flechas verdes: cuando x aumenta de 2 a 3, y aumenta de 4 a 6.

Veamos otro ejemplo de función lineal: y = -3x. y = -3x x

y

-2

6

-1

3

0

0

1

-3

2

-6


La gráfica también pasa por el

origen (0,0), pero ahora la función es decreciente: al aumentar el valor de x, disminuye el de y (flechas verdes).

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Pendiente de una función

Fíjese en las gráficas de las funciones lineales que se representan a continuación: y = 0,5 x

y = 2x

x

y

x

y

-4

-2

-3

-6

-2

-1

-1

-2

0

0

0

0

2

1

2

4

4

2

3

6

La gráfica de la función y = 2x (en color marrón) está más inclinada que la gráfica de la función y = 0,5x (en rojo). La pendiente de la primera es 2, y la pendiente de la segunda es menor, 0,5. Ya ve que cuanto mayor es la pendiente, mayor es la inclinación de la línea recta (más inclinación = más próxima a la vertical). La pendiente se puede determinar observando la gráfica, dividiendo el aumento de y entre el aumento de x: pendente =

∆y ∆x

Para la gráfica anterior, fíjese en las flechas verdes, que representan los aumentos de x e y:


Para la recta roja:

pendente =

∆y 2 = = 0,5 ∆x 4


Y para la recta marrón:

pendente =

∆y 2 = =2 ∆x 1

Estos valores coinciden con los que ya teníamos inicialmente. Este método gráfico para determinar pendientes también vale para las funciones lineales decrecientes:


Ahora el aumento de x es positivo mientras que el au-

mento de y es negativo:

pendente =

∆y − 3 = = −3 ∆x 1

La pendiente es negativa, lo que corresponde a una función decreciente.

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Actividades propuestas S1.

¿Cuáles de las siguientes funciones son lineales? y=3x

S2.

y = -1/2 x

s=5t

y = -2x + 8

Clasifique en crecientes o decrecientes las funciones lineales siguientes: y=8x

y = -4 t

y = 0,05 x

s = -3/2 t

S3.

Represente gráficamente la función lineal y = -1/2 x. ¿Cuál es su pendiente?

S4.

En una función de proporcionalidad directa, cuando x vale 3, y vale 12.


a) Escriba la expresión algebraica de la función.
b) Calcule la pendiente.
c) ¿Es creciente o decreciente?

2.1.2 Función afín La función afín tiene la forma y = m x + n. Es muy parecida a la función lineal, pero no es de proporcionalidad directa y su gráfica no pasa por el origen (0,0). El número n se llama ordenada en el origen, porque la línea recta corta al eje OY (eje de ordenadas) en el punto (0,n). Vemos como ejemplo la función afín y = 2x + 3: y = 2x + 3 x

y

-3

-3

-2

-1

0

3

1

5

2

7


Esta función afín es creciente, la

pendiente vale 2 y la ordenada en el origen vale 3.

La ecuación del movimiento rectilíneo uniforme, s = v.t + so , que estudiaremos en esta unidad en la parte de Física, es una función afín, donde la velocidad v es la pendiente de la gráfica posición/tiempo.

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Actividades propuestas S5.

Señale cuáles de las funciones siguientes son afines: y = -2 x + 0.05

s=3t+1

y = 2 x3 + 7

S6.

Represente la función y = - x + 1. ¿Cuánto valen la pendiente y la ordenada en el origen?

S7.

A partir de la gráfica, determine la ordenada en el origen, la pendiente y la expresión algebraica de la función afín.

S8.

La gráfica de una función afín pasa por los puntos de coordenadas (-2, -7) y (3, 8). Escriba la expresión de la función afín. ¿Cuál es su pendiente?

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2.2

Ecuaciones de primer grado

2.2.1 Expresiones algebraicas Una expresión algebraica es un grupo de números y letras unidos por los signos de las operaciones aritméticas (suma, división, raíces, etc.). Veamos unos ejemplos: Expresión escrita

Expresión algebraica 2x + x/2


El doble más la mitad de un número.
La raíz cuadrada de un número más 3.

x+ 3


El 20 % del precio P.

20 ×P 100


El perímetro de un rectángulo de lados a y b.

2a + 2b

Valor numérico de una expresión algebraica

Es el número que resulta de substituir las letras por números y realizar las operaciones indicadas. Ejemplos: Expresión algebraica

Valor de las letras

Valor numérico

2x + 2y

x = 1; y = 4

10

a2 + b2

a = 3; b = 4

5

P = 400

80

20 ×P 100

2.2.2 Identidades y ecuaciones
Una igualdad consta de dos expresiones algebraicas unidas por un signo "=". Ejemplo: 2x + 2y = 3z.
Una identidad es una igualdad que se cumple para todos los valores de las letras. x y x− y Ejemplos: 3a + 2a=5a; − = 2 2 2
Una ecuación es una igualdad que solo es cierta para algún o algunos valores de las letras. – 3x + 2 = 0 es una ecuación con una incógnita que se convierte en igualdad cuando x= -2/3. – 3x +2y = 1 es una ecuación con dos incógnitas que se convierte en igualdad cuando x = 1 e y = -1. Página 8 de 49

Actividad resuelta Calcule si las siguientes igualdades algebraicas son identidad o ecuación: 5x - 2x = 3x

x2 - x - 6 = 0

x + 7 = 11


a) 5x - 2x = 3x es una identidad porque: – Sustituyendo x por el valor x=1: 5·1 – 2·1 = 3·1 → 5 - 2 = 3 → 3 = 3 – Sustituyendo x por el valor x=-1: 5·(-1) – 2·(-1) = 3·(-1) → -5 + 2 = -3 → -3 = -3 – Sustituyendo x por el valor x=2: 5·2 – 2·2 = 3·2 → 10 - 4 = 6 → 6 = 6 – Para cualquier valor de x, se verifica la igualdad 5x - 2x = 3x.
b) x + 7 = 11 es una ecuación porque: – Sustituyendo x por el valor x=2: 2 + 7 = 11 → 9 ≠ 11. – Sustituyendo x por el valor x=4: 4 + 7 = 11 → 11 = 11. – Si le damos otro valor a x distinto a 4, la igualdad no se cumple. Únicamente para el valor x=4 se verifica la ecuación x + 7 = 11.
c) x2 - x - 6 = 0 es una ecuación porque: – Sustituyendo x por el valor x=1: (1)2 - (1) - 6 = 1 -1 - 6 = -6 → -6 ≠ 0. – Sustituyendo x por el valor x=3: 9 - 3 - 6 = 0. – Sustituyendo x por el valor x=-2: (-2)2 - (-2) - 6 = 4 + 2 - 6 = 0. – Únicamente para los valores x = 3 y x = -2 se verifica la ecuación anterior; si tomamos otro valor distinto, la igualdad no se cumple. Resolver una ecuación es encontrar el valor numérico de la incógnita o de las incógnitas que hacen cierta la igualdad; a estos valores los denominamos soluciones de la ecuación. Ejemplos: Ecuación

La solución es

Porque...

x+5=9

x=4

4+5=9

x - 3 = 2x + 1

x=-4

- 4 - 3 = 2(- 4) + 1- 7 = - 7

x2 = 16

x = 4; x = - 4

42 =16; (-4)2 = 16

Las soluciones convierten a las ecuaciones en identidades.

Actividad propuesta S9.

¿Cuáles de los valores propuestos para la incógnita son soluciones de las ecuaciones x2 + x - 2 = 0 y

x x + = 3? 3 6

Ecuación

Valor propuesto 1

Valor propuesto 2

Valor propuesto 3

x2 + x - 2 = 0

x=3

x=-1

x=1

x=0

x=2

x=6

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2.2.3 Ecuaciones equivalentes Dos ecuaciones son equivalentes entre sí cuando tienen las mismas soluciones. Obtenemos una ecuación equivalente a la original en estos casos:


Cuando se les suma o se les resta el mismo número (o expresión algebraica) a los dos miembros de la ecuación.
Cuando se multiplican o dividen los dos miembros de la ecuación por el mismo número (distinto de cero) o por la misma expresión algebraica. Ejemplo 1: En la ecuación x + 5 = 9, les restamos 5 a los dos miembros: x +5 - 5 = 9 - 5 → x = 4 Fíjese en que lo que acabamos de hacer equivale a pasar el 5 que está sumando en el primer miembro, al segundo miembro pero restando. Ejemplo 2: En la ecuación 5x = 60, dividimos los dos miembros por 5:

Esto equivale a pasar el 5 que estaba multiplicando en el primer miembro, al segundo miembro pero dividiendo. Por lo tanto, los términos que están sumando (o restando) en el primer miembro los podemos pasar al segundo restando (o sumando); y los que están multiplicando (o dividiendo) todo el primer miembro los podemos pasar dividiendo (o multiplicando) a todo el segundo miembro. A esta técnica se le llama transposición de términos, y es muy útil para resolver ecuaciones. Actividad propuesta S10.

Trasponga los términos que se indican: Ecuación

Trasponer el:

2x + 7=2

7

2x = 5 + 7/3

2

4

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2.2.4 Resolución de la ecuación de primer grado Una ecuación es de primer grado cuando la incógnita está elevada al exponente 1, es de segundo grado cuando está elevada a 2, y así sucesivamente... Ecuación

Grado de la ecuación

2x + 7= 6

Primer grado

3x2 - 5/2 = 7x

Segundo grado

x5 + 3x4 - x2 = 9

Quinto grado

Resolución

Es necesario seguir estos pasos, como vemos en el ejemplo del cuadro siguiente:


1. Eliminar paréntesis o hacer las operaciones que hay dentro de ellos.
2. Agrupar los términos con x en un miembro, y los demás en el otro.
3. Reducir términos semejantes.
4. Despejar x. Resolver la ecuación 3(x - 5) - 5 = 4(x + 2) - 35
1. Eliminamos los paréntesis

3x - 15 - 5 = 4x + 8 - 35


2. Agrupamos términos

3x - 4x = 8 - 35 + 15 + 5


3. Reducimos términos

-x=-7


4. Despejamos x

x=

–7 =7 –1

Si hay denominadores numéricos, buscamos el mínimo común múltiplo (m.c.m.): x+ 2 x –1 x+ 5 17 – – = – 6 2 3 6 Resolver la ecuación x + 2 x –1 x + 5 17 – – = – 6 2 3 6




1. m.c.m (2, 3, 6) = 6




2. Multiplicamos por 6 todos los términos




3. Hacemos operaciones

x + 2 – 3( x –1) – 2(x + 5) = –17




4. Eliminamos paréntesis

x + 2 - 3x + 3 - 2x - 10 = -17




5. Agrupamos términos

x - 3x - 2x = -17 - 2 - 3 + 10

6

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x+ 2 x –1 x+ 5 17 –6 –6 = 6×(– ) 6 2 3 6




6. Reducimos términos




7. Despejamos x

- 4x = - 12

x=

–12 =3 –4

Actividades propuestas S11.

Resuelva las ecuaciones siguientes: a) 3x + 1 = 22

S12.

b) -(x - 5) + 3(x + 1) = - 2(x - 9) + 30

c) 3(3x + 1)-(x - 1)= 6(x + 10)

d) 4(x - 2) + 1 = 5(x + 1) - 3x

Resuelva las ecuaciones siguientes: a) 3 x – 9 = x – 3 10 12

b) 5 ( 4 + x ) = 2 x + 1 4 3

c) x + 3 – x + 4 = x + 1

4

5

2

2.2.5 Aplicación de las ecuaciones a la resolución de problemas Actividades propuestas S13.

Las edades de dos hermanas suman 38 años. Sabemos que una de ellas tiene 8 años más que la otra. ¿Cuál es la edad de cada hermana?

S14.

Tres amigos tienen en total 900 euros. Uno de ellos tiene 50 euros más que el otro, y este, el doble que el tercero. ¿Cuántos euros tiene cada amigo?

S15.

Por un pantalón más su IVA (16 %) he pagado 60,32 euros. ¿Cuánto cuesta el pantalón sin el impuesto?

S16.

Pili tiene monedas de 50 céntimos. Las cambia por monedas de 1 euro y así tiene 80 monedas menos. ¿Cuánto dinero tiene Pili?

S17.

Adrián, Belén y Carlota ganaron 6.400 euros en la loto. Van a repartírselos de modo que Belén se lleve 400 euros menos que Adrián, y 400 euros más que Carlota. ¿Cuántos euros se lleva cada uno?

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2.3

Cinemática La cinemática es la rama de la física que estudia el movimiento de los cuerpos sin atender sus causas (las fuerzas), limitándose al estudio de la trayectoria recorrida. En el módulo 4 conoceremos la dinámica, que sí estudia las causas del movimiento de los cuerpos, a través de las tres leyes de Newton. También estudiaremos la hidrostática, que analiza las causas de equilibrio en los líquidos.

2.3.1 Movimientos: sistemas de referencia Comenzamos aquí la descripción de los movimientos de los cuerpos desde el punto de vista físico-matemático. ¿Cómo sabemos si un cuerpo se mueve? Parece una pregunta sencilla, ¿no? Imagínese en las siguientes situaciones: sentado/a en el aula o en su casa; de pie en la parada, esperando el autobús; viajando en el autobús a 80 km/h. ¿En cuáles de estos casos está usted en movimiento? Pues... ¡realmente no podemos contestar! ¿Absurdo? Pensemos un poco más. Estamos en clase. Si nos preguntan: ¿se mueve el encerado?, decimos que no, ya que lo vemos parado. Y si nos preguntan: ¿se mueve la Tierra?, decimos que sí, porque sabemos que da vueltas alrededor del Sol. Pero el encerado está en la Tierra, y si esta se mueve... entonces el encerado también está en movimiento. Luego... ¿se mueve o no se mueve? Pues sí y no, o mejor, depende. Respecto de las paredes del aula, no se mueve; respecto del Sol, sí que se mueve. Sistema de referencia

Ya ve que para poder contestar bien a la pregunta de si un cuerpo se mueve o no, tenemos que tomar otro como referencia. A este último se le llama sistema de referencia. No podemos saber si un cuerpo se mueve o si está en reposo sin compararlo con otro, así que el movimiento es relativo: los cuerpos se mueven unos respecto de los otros. Es imposible saber si hay algún objeto en reposo en el universo. Actividades resueltas Conteste ahora a las preguntas que nos hacíamos al principio: ¿Se mueve cuando...?
Está sentado/a en el aula o en casa.

Respecto del aula no, pero respecto del Sol o de la Luna sí, por ejemplo.


Está de pie en la parada esperando el autobús.

Igual que en el caso anterior.


Viaja en el autobús a 80 km/h.

Respecto de la carretera sí que nos movemos, pero respecto del resto del autobús, no.

¿Se mueve el Sol? Solución

Pues depende respecto de qué. Respecto de la Tierra, sí que se mueve; también se mueve respecto de la galaxia (da vueltas lentamente alrededor de ella).

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Actividades propuestas S18.

¿Cuál es el sistema de referencia en cada caso?
Un coche se mueve a 72 km/h.


Un avión vuela de Santiago a Barcelona.


Saturno se mueve alrededor del Sol.


Una mosca vuela de un lado a otro en la sala.

2.3.2 Posición de un móvil Un móvil es cualquier cuerpo que se mueve. Un cuerpo está en movimiento cuando cambia su posición respecto de un sistema de referencia. Trayectoria

Es la línea que describe el móvil en su movimiento. A veces la vemos por el rastro que dejan los cuerpos al moverse: el vapor creado por los aviones en el cielo, la huella de los caracoles, el rotulador en el encerado, los esquís en la nieve. La trayectoria puede ser rectilínea o curvilínea. Posición

La posición de un cuerpo es el punto de la trayectoria en que está en un instante determinado. La podemos determinar de dos modos, especificando:


Coordenadas cartesianas (x, y) del punto en unos ejes de coordenadas:


El móvil está en la posi-

ción (7, 3.6)


Distancia (s) a la que está el móvil desde el origen de la trayectoria, medida sobre ella:


El móvil está en la posi-

ción s = 10 unidades

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En esta unidad utilizaremos exclusivamente la segunda forma de determinar la posición de los móviles. Espacio o distancia recorridos

El espacio recorrido es la longitud del trecho recorrido, medido sobre la trayectoria. Se calcula restando la posición final menos la posición inicial del móvil: Espacio recorrido = ∆s = s - so ∆s se lee incremento de s. La letra griega delta ∆ se usa para indicar la diferencia entre dos valores, el final menos el inicial. El espacio se mide en metros (en el sistema internacional); a veces se mide también en kilómetros (1 km = 1.000 metros). Desplazamiento

Es la distancia entre dos puntos de la trayectoria medida en línea recta (aunque la trayectoria sea curva).

En general el desplazamiento mide menos que el espacio recorrido, excepto que la trayectoria sea rectilínea; en este caso coinciden desplazamiento y espacio recorrido.

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Actividades propuestas S19.

Indique las coordenadas del móvil en las posiciones A, B y C de la figura:

S20.

Indique la posición del automóvil en la carretera en las posiciones señaladas en la figura:

S21.

La figura siguiente representa las posiciones de un móvil medidas sobre la trayectoria. Calcule las distancias recorridas entre los instantes que se indican:


t = 10 s y t = 40 s
t = 10 s y t = 30 s

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2.3.3 Velocidad media e instantánea Velocidad media

Viajamos de Santiago a Ourense en coche. Recorremos 103 kilómetros y tardamos en total dos horas. Calculamos la velocidad media del viaje dividiendo el espacio recorrido entre el tiempo total tardado: ∆s s − s 0 103 km v media = = = = 51,5 km / h ∆t t − t 0 2h ¡Atención! En el tiempo t anterior tenemos que incluir también los tiempos en que el móvil ha estado parado (descansos, echar combustible, etc.). Velocidad instantánea

Es la que tiene un móvil en cada momento. En el sistema internacional (SI) de unidades, el oficial en la mayoría de los países, se mide en m/s, aunque en los coches suele medirse en km/h, por razones prácticas; la velocidad instantánea (o simplemente, velocidad) viene marcada en el velocímetro (la gente le llama cuentakilómetros, que no es lo mismo). En la práctica medimos la velocidad (instantánea) calculando la velocidad media en un intervalo de tiempo muy pequeño (una décima de segundo, por ejemplo). En las carreteras, los radares miden la velocidad de los vehículos mediante el efecto Doppler, que es el cambio de frecuencia de una onda cuando es emitida por un cuerpo en movimiento (por eso suena diferente la sirena de una ambulancia cuando se acerca y cuando se aleja de nosotros). Con el efecto Doppler también se miden las velocidades de las estrellas y de las galaxias en el universo. Cambio de km/h a m/s y viceversa

Lo hacemos utilizando factores de conversión. Un factor de conversión es una fracción que expresa la equivalencia entre dos unidades que se desean transformar (recuerde: 1 km = 1.000 m y 1 h = 3.600 s).


Pasar de 90 km/h a m/s.

Significa que en cada segundo recorremos 25 metros.


Pasar 10 m/s a km/h (es la velocidad de un atleta que corre los 100 m lisos).

Significa que en una hora recorrería 36 km, de ir siempre con la misma velocidad. Pero es claro que en un viaje la velocidad no es siempre la misma: aceleramos, frenamos...

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Actividad resuelta Recogemos en la tabla los tiempos y las distancias recorridas en un viaje entre Vigo y A Coruña:
Hora

9.00 h

10.15 h

10.30 h

11.30 h


Posición (km)

0 km

85 km

85 km

158 km


¿Cuánto tiempo estuvimos realmente en marcha? ¿Cuánto tiempo estuvimos parados? Solución

De 10:15 hasta las 10:30 h estuvimos parados, entonces estuvimos en movimiento 1:15h + 1 h= 2:15 h, es decir, dos horas y cuarto. Estuvimos parados 15 minutos.


Calcule la velocidad media del viaje en km/h. El tiempo total del viaje fue: 2 h y 15 minutos en movimiento+15 minutos parado = 2 h y 30 minutos= 2,5 horas

Solución

vmedia =

espazo 158km km = = 63,2 tempo 2,5h h

Actividad propuesta S22.

Efectúe los siguientes cambios de unidades:


50 m/s a km/h.
120 km/h a m/s.
1997 semanas a segundos.
106 segundos a días.

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2.3.4 Movimiento rectilíneo uniforme (MRU) Es el movimiento más sencillo. Un movimiento es rectilíneo si su trayectoria es una recta, y es uniforme cuando su velocidad es siempre la misma, no varía durante el trayecto. En el movimiento uniforme la velocidad media y la velocidad instantánea tienen el mismo valor, porque se recorren espacios iguales en tiempos iguales, así que: v=

∆s s − s0 = ∆t t − t0

Esta es la ecuación del movimiento rectilíneo uniforme. Generalmente el tiempo inicial t0 es nulo por lo que t0= 0 y la fórmula queda: v=

s − s0 t

Si queremos calcular el espacio, despejamos s de la fórmula anterior: s ⇒ s = s 0 + vt Esta fórmula permite calcular las posiciones del móvil en cualquier momento. Si no se indica nada en contra, se puede suponer que en el instante inicial (t = 0) la posición inicial es cero (so = 0) por lo que la ecuación para calcular la velocidad en un momento dado quedas ría aún más sencilla: v = t


Ejemplo 1. Un ciclista pasa por la posición s1 = 100 m cuando t = 0 s, y por la posición s2 = 300 m cuando t = 22 s. Suponiendo que va siempre a la misma velocidad, calcule su valor y el instante en el que pasará por la posición s = 1.000 m. Solución: – Calculamos su velocidad: v=

∆s s − s0 300m − 100m = = = 9,09m / s ∆t t − t0 22 s − 0

– Calculamos el instante en que pasará por la posición s = 1.000 m: Tomamos como posición inicial la posición s1=100 m v=

∆s s − s0 1000 − 100 900 = ⇒ 9,09m / s = ⇒ 9,09 = ∆t t − t0 t −0 t

Despejando de la ecuación el tiempo t: t =

900 = 99 s 9,09


Ejemplo 2. Un avión vuela a 900 km/h. ¿Cuánto tarda en recorrer 1.500 km? Solución: Empleamos la fórmula s = so+ v t . Como so = 0 ⇒ s = v.t Despejamos el tiempo y calculamos:

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Gráfica posición/tiempo de un MRU

Esta gráfica permite visualizar rápidamente muchas de las características de este tipo de movimiento. Vemos cómo se hace en unos ejemplos:


Ejemplo 1. Un móvil está en el instante inicial en la posición 100 m. Se mueve con una velocidad uniforme de 20 m/s. Dibuje su gráfica posición/tiempo (gráfica s/t). Solución: escribimos primero la ecuación del movimiento y, a continuación, la tabla de datos s/t, le damos valores al tiempo y calculamos s. s = so+ v.t → s = 100 + 20.t Tiempo (s)

0s

1s

2s

4s

7s

Posición (m)

100 m

120 m

140 m

180 m

240 m


Observamos que la gráfica resulta ser

una línea recta inclinada: es una función lineal.

Cuanto mayor sea la velocidad del móvil, más inclinada es la línea recta de la gráfica. Fíjese en el ejemplo siguiente:


Ejemplo 2. Un móvil A parte de la posición inicial so = 100 m, y se mueve a 20 m/s; otro móvil B parte de el origen (so = 0) y lleva una velocidad constante de 40 m/s. Construimos la gráfica s/t de ambos cuerpos en los mismos ejes de coordenadas. Solución. Hacemos las tablas de datos posición/tiempo de los dos móviles: – Móvil A. Ecuación del movimiento: s = 100 + 20.t Tiempo (s)

0s

2s

4s

5s

6s

Posición (m)

100 m

140 m

180 m

200 m

220 m

– Móvil B. Ecuación del movimiento: s = 0 + 40.t Tiempo (s)

0s

2s

4s

5s

6s

Posición (m)

0

80 m

160 m

200 m

240 m

Representamos ahora gráficamente los dos conjuntos de datos:

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Observaciones sobre la gráfica y los movimientos representados: – a) La línea recta roja corresponde al móvil con mayor velocidad. – b) El punto de corte de las dos rectas nos indica la posición y el tiempo en que B alcanza a A. – c) El móvil B sale desde el origen persiguiendo al móvil A, que sale desde la posición 100 m; después de los 5 s, B va por delante de A.

Actividad resuelta Ponemos el cronómetro en marcha cuando pasamos por delante de la posición 30 m. Caminamos a una velocidad constante de 1.1 m/s. Calcule y llene los huecos en la tabla siguiente de datos posición/tiempo: Posición

30 m

Tiempo

0s

52 m 1s

2s

8s

Como dice que camina a una velocidad constante, es un MRU, por lo que aplicamos la ecuación ⇒ s = s 0 + vt . Con s0= 0 la ecuación queda ⇒ s = v.t Sustituimos los distintos valores del tiempo:


Para t=1 ⇒s = v.t= 1,1·1=1,1 m
Para t=2 ⇒s=v.t= 1,1·2=2,2 m
Para t=3 ⇒s=v.t= 1,1·8=8,8 m Para calcular el tiempo en el último cuadro, despejamos el tiempo de la ecuación s = v.t:


t=s/v= 52/1,1= 47,3 s. Completamos ahora la tabla anterior: Posición

30 m

1,1

2,2

8,8

52 m

Tiempo

0s

1s

2s

8s

47,3

Actividades propuestas S23.

Caminamos de modo que avanzamos 4 km en una hora. Suponiendo la velocidad constante, calcule:


a) La velocidad.
b) El tiempo que tardamos en recorrer 10 km.
c) El espacio que recorremos en tres horas y media. Página 21 de 49

S24.

La luz y las demás ondas electromagnéticas se mueven por el aire y por el vacío a 300.000 km/s. Si los satélites de televisión están a 36.000 km de altura sobre la Tierra:


a) ¿Cuánto tiempo tarda la señal en ir desde la emisora de TV hasta el satélite?
b) ¿Cuánto tiempo tarda en ir la señal desde la emisora hasta la antena de su casa? S25.

El eco se produce cuando un sonido rebota contra una pared, una montaña, etc. y vuelve a nosotros. Si escuchamos nuestro eco 3 s más tarde de dar un fuerte grito, ¿a qué distancia estamos de la pared montañosa? Velocidad del sonido =340 m/s.

S26.

Haga la gráfica s/t de un coche que en el instante inicial estaba en el punto kilométrico 30 km de la ruta Ourense-Lugo y se mueve con velocidad constante de 60 km/h.

S27.

Interprete cómo es el movimiento que se representa en cada gráfica:

2.3.5 Aceleración

Si dejamos caer un objeto, gravamos la caída y la vemos luego fotograma a fotograma a intervalos de 0,2 segundos, resulta lo siguiente:
Observamos que entre cada dos fotogramas consecutivos el cuerpo recorre cada vez más

espacio: se mueve cada vez más rápido, la velocidad va aumentando en la caída.
Los movimientos en los que la velocidad cambia se llaman acelerados. Se caracterizan por la

magnitud aceleración, que se calcula así:

a=

∆v v − v0 = ∆t t − t0 –

Por ejemplo, si un coche va inicialmente a una velocidad de 10 m/s y acelera hasta alcanzar una velocidad de 25 m/s en seis segundos, la aceleración vale:

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a=

∆v v − v0 = = ∆t t − t0

25

m m m − 10 15 s s = s = 2,5 m s2 6s − 0 6s

Este resultado indica que cada segundo de tiempo la velocidad aumenta 2,5 m/s; fíjese en la tabla siguiente cómo va cambiando la velocidad del móvil: t (s)

0

1s

2s

3s

4s

...

v (m/s)

10 m/s

12.5 m/s

15.0 m/s

17.5 m/s

20.0 m/s

...

Cuando frenamos, la velocidad disminuye, y la aceleración es negativa. Si un ciclista reduce su velocidad de 10 m/s a 7 m/s en 6 segundos, su aceleración es: m m m 7 − 10 −3 ∆v v − v0 s = s = −0,5 m a= = = s ∆t t − t0 6s 6s s2 Ya ve que la aceleración es negativa en los movimientos de frenada. Resumiendo:
a>0

El móvil va cada vez más rápido.


a=0

La velocidad no cambia, va siempre igual de rápido (movimiento uniforme).


a