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ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA
José Agüera Soriano 2011
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ANÁLISIS DIMENSIONAL Y SEMEJANZA •EXPERIMENTACIÓN EN MECÁNICADE FLUIDOS •ADIMENSIONALES EN MECÁNICA DE FLUIDOS •SEMEJANZA DE MODELOS Ensayos con modelos Leyes de semejanza Semejanza de Froude Semejanza de Reynolds Semejanza de Mach
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EXPERIMENTACIÓN EN MECÁNICADE FLUIDOS
Las ecuaciones fundamentales de un flujo no son generalmente suficientes para una solución completa del problema. En Mecánica de fluidos que pueden intervenir hasta 9 magnitudes físicas. Parece imposible la experimentación. Afortunadamente, en un problema concreto, no influirán más de 6; pero todavía es excesivo.
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Mediante el análisis dimensional podemos formar agrupaciones adimensionales y trabajar con ellas en lugar de con las magnitudes físicas reales. Con ello se reduce el número de variables a (n−m): n = número de magnitudes físicas que intervienen m = número de magnitudes básicas que intervienen
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Cuantas menos agrupaciones resulten, menos experiencias hay que hacer: una agrupación requeriría una experiencia; dos agrupaciones varias experiencias (10 por ejemplo) para construir una curva, y tres nos llevaría a varias (10 curvas y/o 100 experiencias, por ejemplo). Una ventaja adicional que nos proporciona la teoría dimensional es la de predecir los resultados de un proyecto, en base a los obtenidos ensayando con un modelo a escala. José Agüera Soriano 2011
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ADIMENSIONALES EN MECÁNICA DE FLUIDOS
Para establecer los posibles adimensionales, supongamos que intervienen a la vez todas las posibles fuerzas sobre el flujo: de presión, de gravedad, de fricción, de elasticidad y de tensión superficial. Expresemos la resultante (ΣF ), o fuerza de inercia ( Fi ), que provoca la aceleración del flujo, en función de la velocidad u: ΣF = Fi = m ⋅ a = ( ρ ⋅ l 3 ) ⋅ (l ⋅ t − 2 ) = = ρ ⋅ l 2 ⋅ (l ⋅ t −1 ) 2 = ρ ⋅ l 2 ⋅ u 2 José Agüera Soriano 2011
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Fuerza de presión (p):
Fp = l 2 · p Fg = l 3 · ρ ·g
Fuerza de gravedad (g): Fuerza viscosa (µ ):
Fr = l 2 · τ = l · u · µ
Fuerza elástica (K):
FK = l 2 · K
Fuerza tensión superficial (σ )
Fσ = l · σ
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Sumando las cinco fuerzas e igualándolas a la de inercia:
l 2 ⋅ p + l 3 ⋅ ρ ⋅ g + l ⋅ u ⋅ µ + l 2 ⋅ K + l ⋅σ = ρ ⋅ l 2 ⋅ u 2 expresión que relaciona 8 magnitudes físicas: f (l, p, ρ, g, u, µ, K, σ) = 0
Si hubiera dos longitudes características, lo que ocurre con frecuencia, resultarían 9 magnitudes físicas en lugar de 8. Dividamos la primera ecuación por la fuerza de inercia:
µ σ l⋅g K p ϕ , 2 , , , =0 2 2 2 ρ ⋅l ⋅u ρ ⋅u ρ ⋅l ⋅u u ρ ⋅u en la que intervienen 5 variables (adimensionales), en lugar de las 8 (dimensionales). José Agüera Soriano 2011
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p l⋅g K µ σ , , , , =0 2 2 2 2 u ρ ⋅l ⋅u ρ ⋅u ρ ⋅l ⋅u ρ ⋅u
ϕ
Coeficiente de presión = Número de Froude Número de Reynolds Número de Mach Número de Weber
p ρ ϕ 2 , u 2
p ρ u2 2
u Fr = l⋅g ρ ⋅l ⋅u l ⋅u Re = = µ ν u u = Ma = K ρ a
We =
u
σ ρ ⋅l
u l ⋅u , , l⋅g ν
u , K ρ
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= 0 σ ρ ⋅l u
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p ρ ϕ 2 , u 2
u l ⋅u , , l⋅g ν
u , K ρ
= 0 σ ρ ⋅l u
p ρ = f (Fr, Re, Ma, We) 2 u 2 Si hubiera dos longitudes características en el problema, l y l', el cociente l/l', ó l'/l, sería otra variable adimensional:
p ρ = f (Fr, Re, Ma, We, l/l’) 2 u 2 En cada caso se eliminarán aquellos adimensionales cuya intervención sea nula o poco importante. José Agüera Soriano 2011
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Wiliam Froude Inglaterra (1810-1879) José Agüera Soriano 2011
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Osborne Reynolds Belfast (1842-1912) José Agüera Soriano 2011
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Ernst Mach Austria (1839-1916) José Agüera Soriano 2011
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Moritz Weber Alemania (1871-1951) José Agüera Soriano 2011
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Ensayos con modelos Los modelos se hacen de materiales diversos madera, escayola, metales, hormigón, plástico etc. No es necesario ensayar con el mismo fluido que utilice el prototipo. El agua y el aire son los fluidos que generalmente se utilizan.
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Los ensayos de canalizaciones, puertos, presas, aliviaderos, etc, se hacen en los laboratorios de hidráulica. Los ensayos de modelos de aviones, y en general de cuerpos sumergidos, se hacen en túneles de viento y en túneles de agua. Los ensayos de barcos se hacen en los llamados canales hidrodinámicos.
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Leyes de semejanza Dos corrientes fluidas son semejantes cuando las líneas de flujo de una lo sean respecto a las homólogas de la otra; diremos entonces que existe semejanza cinemática. Para ello es necesario, a) Semejanza geométrica
lp lm
= λ;
siendo λ la escala.
l p2
2 lm
= λ2 ;
l p3 3 lm
= λ3
b) Semejanza dinámica. Las fuerzas en puntos homólogos han de ser semejantes:
Rep = Rem; Frp = Frm; Map = Mam; Wep = Wem José Agüera Soriano 2011
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a) Cuando el flujo presenta una superficie libre la fuerza predominante es la de gravedad: semejanza de Froude, Frp = Frm b) Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo subsónico la fuerza predominante es la de viscosidad: semejanza de Reynolds, Rep = Rem c) Cuando el cuerpo está sumergido en un flujo supersónico la fuerza predominante es la compresibilidad: semejanza de Mach, Map = Mam d) En láminas de líquido muy delgadas prima la tensión superficial: semejanza de Weber, Wep = Wem José Agüera Soriano 2011
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Semejanza de Froude Frp = Frm
Relación de velocidades
up
um = lp ⋅ g p lm ⋅ g m
up um
= λ⋅
gp gm
y si gp = gm, como es lo habitual:
up um
= λ1 2
Por ejemplo, si λ = 25 , up /um = 5. José Agüera Soriano 2011
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Relación de caudales (Q = S ⋅ u ) Qp
Sp up = ⋅ Qm S m u m
Qp Qm
= λ5 2
Para λ = 25, Qp/Qm = 3125.
Relación de fuerzas ( F = γ ⋅ l 3 )
γp 3 = ⋅ λ Si γp = γm, Fm γ m Fp
Fp Fm
=λ
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Para λ = 25, Fp/Fm = 15625. José Agüera Soriano 2011
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Relación de potencias ( P = F ⋅ u ) Si γp = γm,
Pp
Fp u p = ⋅ = λ3 ⋅ λ1 2 Pm Fm u m
Pp Pm
= λ7 2
Para λ = 25, Pp/Pm = 78125.
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Semejanza de Reynolds Re p = Re m Relación de velocidades
lp ⋅ up
νp
=
lm ⋅ um
νm
;
νp 1 = ⋅ u m ν m lp lm up
νp 1 = ⋅ um ν m λ up
Por ejemplo, si λ = 25, νp = νm, y up/um = 1/25. Con la semejanza de Froude, había que ensayar con una velocidad 5 veces menor, y con la Reynolds con una velocidad 25 veces mayor, por lo que no es posible que se cumplan las dos a la vez, a menos que la escala sea la unidad. José Agüera Soriano 2011
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Podemos ensayar desde luego con un fluido diferente al del prototipo, y algo podríamos compensar. Menos mal que lo frecuente es que sólo intervenga una.
Relación de caudales (m& = ρ ⋅ Q = ρ ⋅ S ⋅ u ) ρ p Sp up ρ p 2 ν p 1 = ⋅ ⋅ = ⋅λ ⋅ ⋅ νm λ m& m ρ m S m u m ρ m m& p
ρp ν p µp = ⋅ ⋅λ = ⋅λ m& m ρ m ν m µm m& p
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Relación de fuerzas ( F = l ⋅ u ⋅ µ ) ν p 1 ν p ⋅ ρp lp up µ p = ⋅ ⋅ =λ⋅ ⋅ ⋅ ν m λ ν m ⋅ ρm Fm l m u m µ m Fp
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ν p ρp = ⋅ Fm ν m ρ m Fp
Si se tratara del mismo fluido y en el mismo estado, Fp = Fm: el mayor esfuerzo cortante en el modelo contrarresta su menor superficie de rozamiento. José Agüera Soriano 2011
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Semejanza de Mach Ma p = Ma m
Relación de velocidades up
Kp ρp up um
= =
um Km ρm ap am
Relación de caudales (m& = ρ ⋅ Q = ρ ⋅ u ⋅ S ) m& p ρ p u p S p = ⋅ ⋅ m& m ρ m u m S m ρ p ap 2 = ⋅ ⋅λ m& m ρ m a m m& p
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Relación de fuerzas ( F = K ⋅ S ) Fp
Kp Sp Kp 2 = ⋅ = ⋅ λ ; y como a = Fm K m S m K m
Fp ρ p = Fm ρ m
K
ρ
2
ap ⋅ ⋅ λ2 am
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