EJERCICIOS DE PROBABILIDAD INFERENCIA Y MUESTREO

MATEMÁTICAS APLICADAS CC. SS.

Antonio López García Angeles Juárez Martín Juan Fernández Maese

Índice Temático CAPÍTULO 1: COMBINATORIA........................................................................................... 5 1.1.- TÉCNICAS DE RECUENTO................................................................................................ 5 1.2.- VARIACIONES..................................................................................................................... 8 1.3.- PERMUTACIONES ............................................................................................................ 11 1.4.- COMBINACIONES ............................................................................................................ 15 1.5.- EJERCICIOS DEL TEMA .................................................................................................. 18

CAPÍTULO 2: PROBABILIDAD .......................................................................................... 21 2.1.- EXPERIMENTOS ALEATORIOS ..................................................................................... 21 2.2.- SUCESOS ............................................................................................................................ 23 2.3.- OPERACIONES CON SUCESOS ...................................................................................... 27 2.4.- IDEA INTUITIVA DE LA PROBABILIDAD.................................................................... 30 2.5.- DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD ....................................................... 33 2.6.- EJERCICIOS DEL TEMA .................................................................................................. 37

CAPÍTULO 3: PROBABILIDAD CONDICIONADA ......................................................... 42 3.1.- PROBABILIDAD CONDICIONADA ................................................................................ 42 3.2.- EXPERIMENTOS COMPUESTOS .................................................................................... 48 3.3.- PROBABILIDAD TOTAL.................................................................................................. 53 3.4.- TEOREMA DE BAYES ...................................................................................................... 57 3.5.- EJERCICIOS DEL TEMA .................................................................................................. 60

CAPÍTULO 4: DISTRIBUCIONES DISCRETAS ............................................................... 65 4.1.- DISTRIBUCIONES DISCRETAS ...................................................................................... 65 4.2.- MEDIA Y VARIANZA....................................................................................................... 72 4.3.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL............................................................................................. 77 4.4.- EJERCICIOS DEL TEMA .................................................................................................. 81

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CAPÍTULO 5: DISTRIBUCIONES CONTINUAS.............................................................. 85 5.1.- DISTRIBUCIÓN CONTINUA............................................................................................ 85 5.2.- MEDIA Y VARIANZA....................................................................................................... 87 5.3.- DISTRIBUCIÓN NORMAL ............................................................................................... 89 5.4.- AJUSTE DE LA BINOMIAL A LA NORMAL ................................................................. 95 5.4.- EJERCICIOS DEL TEMA .................................................................................................. 96

CAPÍTULO 6: MUESTREO................................................................................................... 99 6.1.- MUESTRA. ......................................................................................................................... 99 6.2.- MUESTREO ALEATORIO SIMPLE. .............................................................................. 101 6.3.- MUESTREO ALEATORIO ESTRATIFICADO. ............................................................. 103 6.4.- DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE MEDIAS................................................................... 106 6.5.- DISTRIBUCIÓN MUESTRAL DE PROPORCIONES. ................................................... 112 6.6.- EJERCICIOS DEL TEMA ................................................................................................ 114

CAPÍTULO 7: INFERENCIA .............................................................................................. 117 7.1.- INTERVALO DE CONFIANZA DE LA MEDIA. ........................................................... 117 7.2.- INTERVALO DE CONFIANZA DE LA PROPORCIÓN................................................ 122 7.4.- EJERCICIOS DEL TEMA ................................................................................................ 125

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CAPÍTULO 1:

COMBINATORIA 1.1.- TÉCNICAS DE RECUENTO 1.- Producto Si un procedimiento se puede descomponer en varios pruebas A, B,..., C cada una de ellos con m, n,..., p elementos el número de resultados posibles en la prueba global se halla multiplicando todos los elementos de cada una de las pruebas: m x n x... x p

2.- Diagrama en árbol Es una variación del principio de multiplicación donde se construyen todas las posibilidades de aplicar dicha regla. Por ejemplo el siguiente diagrama muestra las posibilidades de nacimiento de los dos hijos de una de una familia:

EJEMPLOS 1.- En un curso se va a elegir delegado y subdelegado entre 4 candidatos. ¿Cuántas hojas diferentes se pueden rellenar ? Resolución: El delegado puede elegirse entre 4 candidatos y quedan tres para el subdelegado, luego se pueden rellenar: 4x3 = 12 papeletas.

2.- Si las matrículas de los coches constan de dos letras (elegibles entre 26) y cuatro dígitos. ¿Cuántas matrículas diferentes se pueden crear ? Resolución: Hay dos lugares con letras elegibles entre 16, cuatro con dígitos elegibles entre 10, pudiendo repetirse todos, luego: 26x26x10x10x10x10 = 6.760.000 matrículas.

3.- ¿Cuántas parejas de vocales distintas se pueden formar? Resolución: Hay dos lugares con 5 letras elegibles para el primer lugar y quedan 4 letras para el segundo, ya que no pueden repetirse letras, luego: 5x4 = 20 parejas.

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4.- ¿Cuántas parejas de vocales se pueden formar? Resolución: Hay dos lugares con 5 letras elegibles para ambos lugares, ya que no pueden repetirse todas las vocales, luego: 5x5 = 25 parejas.

5.- ¿De cuantas maneras diferentes se pueden lanzar al aire dos monedas a la vez? Resolución: Formamos el árbol de sucesos:.

Por lo tanto son posibles los 4 resultados { (C, C), (C, X), (X, C), (X, X) }

6.- ¿De cuantas maneras diferentes se pueden lanzar al aire tres monedas a la vez? Resolución: La mejor manera de encontrar todas las posibilidades es formar el árbol de sucesos:

Por lo tanto son posibles los 8 resultados: { (C,C,C), (C,C,X),(C,X,C), (C,X,X),(X,C,C), (X,C,X),(X,X,C), (X,X,X) }

7.- ¿De cuantas maneras diferentes han podido nacer dos varones y dos mujeres en una familia con cuatro hijos? Resolución: Formamos el árbol de sucesos:.

Por lo tanto son posibles los 6 resultados: { (V,V,M,M), (V,M,V,M),(V,M,M,V), (M,V,V,M), (M,V,M,V), (M,M,V,V) }

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8.- ¿De cuantas maneras diferentes se en cuanto al sexo pueden distribuir los cuatro hijos de una familia? Resolución: La mejor manera de encontrar todas las posibilidades es formar el árbol de sucesos:

Por lo tanto son posibles los 16 resultados: {(V,V,V,V), (V,V,V,M), (V,V,M,V), (V,V,M,M), (V,M,V,V), (V,M,V,M), (V,M,M,V), (V,M,M,M), (M,V,V,V), (M,V,V,M), (M,V,M,V), (M,V,M,M), (M,M,V,V), (M,M,V,M), (M,M,M,V), (M,M,M,M)}

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Si en un restaurante hay 5 primeros platos y 6 segundos a) ¿Cuántos menús se pueden realizar? b) Si hay 3 postres ¿cuántos menús se pueden realizar? Solución: a) 30 menús, b) 90 menús. 2.- ¿Cuántos números naturales hay entre 1.000 y 10.000 con todas las cifras diferentes? Solución: 4536 números. 3.- Se tiene una bolsa con 4 bolas numeradas del 1 al 4. Se realiza el experimento que consiste en la extracción de una bola de la bolsa, observar el número obtenido y reintegrar la bola a la bolsa. Se pide: a) Hallar de cuántas formas diferentes se extraen las 4 bolas. b) Hallar de cuántas formas diferentes se extraen las 4 bolas, si no se reintegran a la bolsa. Solución: a)44, b)4.3.2.1. 4.- En el experimento lanzar dos dados al aire y observar la puntuación que aparece en las caras superiores. Hallar de cuantas maneras diferentes se obtiene un 7 sumando las dos caras. Solución: 6 maneras diferentes. 5.- Un experimento consiste en la extracción de tres cartas de una baraja española. a) Hallar de cuántas formas diferentes se extraen las 3 cartas si se reintegran a la baraja. b) Hallar de cuántas formas diferentes se extraen las 3 cartas, si no se reintegran a la baraja. Solución: a) 64.000, b) 59.280. 6.- De cuántas maneras diferentes se pueden cubrir los puestos de presidente, secretario y tesorero de una comunidad de vecinos si hay 25 viviendas en dicha comunidad?. Solución: 13.800.

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1.2.- VARIACIONES 1.- Variaciones con repetición Variaciones con repetición de n elementos tomados de m en m son las distintas muestras que se pueden formar con n elementos, tal que: •

En cada muestra hay m elementos, repetidos o no.

•

Dos muestras son distintas si difieren en un elemento

•

Dos muestras son distintas si difieren en la colocación de los mismos.

El número de ellos es: VR n,m = n m

Observación: Si A es un conjunto de cardinal m y B un conjunto de cardinal n, el número de aplicaciones que se pueden definir entre A y B coinciden con VRn,m.

2.- Variaciones sin repetición Variaciones con repetición de n elementos tomados de m en m son las distintas muestras que se pueden formar con n elementos, tal que: •

En cada muestra hay m elementos distintos. •

Dos muestras son distintas si difieren en un elemento

•

Dos muestras son distintas si difieren en la colocación de los mismos.

El número de ellos es:

Vn, m = n(n - 1)...(n - m + 1)

Observación: Si A es un conjunto de cardinal m y B un conjunto de cardinal n, el número de aplicaciones inyectivas que se pueden definir entre A y B coinciden con Vn,m.

EJEMPLOS 1.- ¿Cuántas columnas hay que rellenar para tener la seguridad de acertar 14 resultados en las quinielas? Resolución: Como hay tres posibilidades de acierto 1,X,2 en cada posición y hay 14 posiciones en cada columna tenemos: VR 3,14 = 314 = 4.728.969 Por lo tanto son posibles 4.728.969 columnas.

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2.- ¿De cuantas maneras diferentes se pueden lanzar al aire tres monedas a la vez? Resolución: Como hay dos posibilidades C, X en cada posición y hay 3 posiciones tenemos: VR 3,2 = 2 3 = 8 Por lo tanto son posibles 8 resultados.

3.- ¿Cuántas números de tres cifras podemos realizar con las cifras 0, 1, 2, 3 y 4? Resolución: Como importa el orden y se pueden repetir son variaciones con repetición de 5 elementos tomados de 3 en 3. Además no son números de 3 cifras los que empiezan por 0: VR 5,3 - VR 5,2 = 5 3 − 5 2 = 125 − 25 = 100 Por lo tanto podemos realizar 100 números.

4.- ¿Cuántas números de tres cifras podemos realizar con las placas de los números 1 al 5?, ¿cuántos empiezan por 3? Resolución: Como importa el orden y no se pueden repetir ya que tengo únicamente cinco placas son variaciones sin repetición de 5 elementos tomados de 3 en 3. V5,3 = 5.4.3 = 60 Por lo tanto podemos realizar 60 números. Empiezan por 3 los que fijan la 1ª cifra 3. Quedan variaciones sin repetición de 4 elementos tomados de 2 en 2. V4,2 = 4.3 = 20

5.- ¿De cuantas maneras diferentes se pueden combinar ocho colores en una bandera de tres franjas sin repetir ninguno? Resolución: Como importa el orden y no se pueden repetir son variaciones sin repetición de 8 elementos tomados de 3 en 3. V8,3 = 8.7.6 = 336 Por lo tanto podemos realizar 336 banderas.

6.- ¿De cuantas maneras diferentes se pueden elegir presidente y secretario de una comunidad de vecinos de 15 viviendas? Resolución: Como importa el orden y no se pueden repetir son variaciones sin repetición de 15 elementos tomados de 2 en 2. V15,2 = 15.14 = 210 Por lo tanto podemos realizar 210 elecciones.

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con los números 1, 3, 5, 7 y 9? Solución: VR5,3 = 53 = 125 2.- ¿De cuántas manera se pueden ganar las medallas de oro, plata y bronce los 6 participantes de una carrera? Solución: V6,3 = 6.5.4 = 120 3.- ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los números 2, 4, 6 y 8? Solución: VR4,4 = 44 = 256 4.- ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los números 2, 4, 6 y 8 que comiencen por 2? Solución: VR4,3 = 43 = 64 5.- ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los números 2, 4, 6 y 8 que acaben por 8? 6.- ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar con los números 2, 4, 6 y 8? Solución: V4,3 = 4.3.2 = 24 7.- ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes se pueden formar con los números 2, 4, 6 y 8 que comiencen por 2? Solución: V3,2 = 3.2 = 6 8.- ¿Cuántas palabras, con o sin sentido, de tres letras se pueden formar con las letras de la palabra ELSA? Solución: V4,3 = 4.3.2 = 24 9.- ¿De cuantas maneras distintas se pueden extraer tres bolas de una bolsa numeradas del 1 al 8? Solución: V8,3 = 8.7.6 = 336 10.- En una bolsa hay 8 bolas numeradas del 1 al 8. ¿De cuántas maneras distintas podemos extraer tres de ellas si volvemos a dejar la bola una vez observado el resultado? Solución: VR8,3 = 83 = 512 11.- Si en una provincia el máximo número de dígitos en el teléfono es 7 y suponemos que no hay códigos ni números fijos, ¿cuántos números telefónicos tenemos? Solución: VR10,7 = 107 = 10.000.000 12.- Si en una provincia el máximo número de dígitos en el teléfono es 7, sin empezar por el 0, ¿cuántos números telefónicos tenemos? Solución: VR10,7 -VR10,6 = 107-106 = 9.000.000 13.- ¿Cuántos números menores de 1000 hay con alguna cifra repetida? Solución: VR10,3- V10,3 = 1000 - 720 = 280 14.- ¿Cuántos números capicúas menores de 1000 hay? Solución: VR10,2- V10,1 = 100 - 10 = 90 15.- ¿Cuántos resultados se obtiene al lanzar dos dados de parchís al aire? Solución: VR6,2 = 62 = 36 16.- ¿De cuántas maneras diferentes se pueden lanzar al aire tres monedas a la vez? Solución: VR2,3 = 23 = 8 17.- ¿De cuántas maneras diferentes se pueden lanzar al aire tres monedas a la vez, de modo que la primera sea cara? Solución: VR2,2 = 22 = 4

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1.3.- PERMUTACIONES 1.- Permutaciones sin repetición Permutaciones de n elementos son las distintas ordenaciones que se pueden formar con los n elementos, tal que en cada muestra todos los elementos son distintos. • En cada muestra hay n elementos distintos. • Dos muestras son distintas si difieren la colocación de los mismos. El número de ellos es: Pn = n(n - 1)...2.1!

La expresión n.(n-1).(n-2)...2.1 se denomina factorial de un número, n!. Si utilizamos esta expresión en la fórmula de las variaciones sin repetición queda: Vn, m =

n! (n - m)!

Observación: Si A es un conjunto de cardinal n y B un conjunto de cardinal n, el número de aplicaciones biyectivas que se pueden definir entre A y B coinciden con Pn.

2.- Permutaciones circulares Un caso particular es la de las permutaciones circulares, que son las diferentes maneras de colocar n elementos en círculo. Al no existir una posición privilegiada a la hora de considerar las diversas permutaciones debemos considerar iguales a aquellas en que los elementos están colocados entre si en la misma posición. El número de ellos es: PC n = Pn -1 = (n - 1)!

3.- Permutaciones con repetición Permutaciones con repetición de n elementos de los cuales a, b,....c son iguales entre si son las distintas ordenaciones que se pueden formar con los n elementos, tal que en cada muestra. •

En cada muestra hay n elementos.

•

La suma a + b + .... + c = n

•

Dos muestras son distintas si difieren la colocación de los mismos.

El número de ellos es: Pna,b,...,c =

n! a!.b!.....c!

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EJEMPLOS 1.- ¿Cuántas números de cinco cifras podemos realizar con placas hechas en plástico de los números del 1 al 5? Resolución: Como importa el orden y tengo únicamente las mismas cifras que placas son permutaciones sin repetición de 5 elementos P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120

Por lo tanto podemos realizar 120 números.

2.- ¿De cuántas maneras pueden colocarse 6 libros en una estantería? Resolución: Como importa el orden y tenemos los mismos libros que los que se colocan son permutaciones sin repetición de 6 elementos P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 Por lo tanto podemos colocarlos de 720 maneras diferentes.

3.- ¿Cuántas banderas de tres franjas diferentes puedes hacer con los colores blanco, azul y rojo? Resolución: Como importa el orden, no se pueden repetir y tenemos el mismo número de elementos que los que coloco son permutaciones sin repetición de 3 elementos. P3 = 3! = 3.2.1 = 6 Por lo tanto pueden realizarse 6 banderas.

4.- ¿De cuantas maneras diferentes se pueden sentar cinco personas en una mesa? Resolución: Como importa el orden, no se pueden repetir y tenemos el mismo número de elementos que los que coloco son permutaciones sin repetición de 5 elementos. P5 = 5! = 5.43.2.1 = 120 5.- ¿De cuantas maneras diferentes se pueden sentar cinco personas en una mesa redonda? Resolución: Son un caso de permutaciones circulares. Como importa el orden y tenemos el mismo número de lugares que comensales tendríamos permutaciones sin repetición. Al ser una mesa redonda no hay cabecera, luego debo eliminar uno, quedando. PC5 = P4 = 4! = 4.3.2.1 = 24 PROBABILIDAD

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Por lo tanto se pueden sentar de 6 maneras diferentes.

6.- ¿De cuantas maneras diferentes se pueden combinar cuatro comensales en una mesa camilla? Resolución: Son un caso de permutaciones circulares. Como importa el orden y tenemos el mismo número de lugares que comensales tendríamos permutaciones sin repetición. Al ser una mesa redonda no hay cabecera, luego debo eliminar uno, quedando. PC 4 = P3 = 3! = 3.2.1 = 6

Por lo tanto se pueden sentar de 6 maneras diferentes.

7.- ¿Cuántas números de cinco cifras podemos escribir con 2 unos, 2 doses y 3 treses? Resolución: Contamos las ordenaciones de 7 elementos, de los cuales 2, 2 y 3 son iguales entre si.

P72,2,3 =

7! = 210 2!2!.3!

Por lo tanto podemos escribir 210 números.

8.- ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra ALAVA? Resolución: Contamos las ordenaciones de 5 elementos, de los cuales 1, 1 y 3 son iguales entre si.

P51,1,3 =

5! = 20 1!.1!.3!

Por lo tanto podemos escribir 20 palabras diferentes.

9.- ¿De las palabras diferentes que se pueden formar con las letras de la palabra ALAVA, cuántas empiezan por vocal?, ¿cuántas empiezan por consonante? Resolución: • Si comienzan por vocal, como solo tenemos una (la A) tendremos las ordenaciones de 4 elementos, de los cuales 1, 1 y 2 son iguales entre si. P41,1,2 =

4! = 12 1!.1!.2!

Por lo tanto podemos escribir 12 palabras diferentes.

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•

Si comienzan por consonante, como tenemos dos (la A) tendremos el producto de las dos posibles consonantes por las ordenaciones de 4 elementos, de los cuales 1y 3 son iguales entre si. 4! =8 2.P41,3 = 2. .1!.3! Por lo tanto podemos escribir 8 palabras diferentes.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- ¿Cuántas números de cinco cifras podemos realizar con las cifras impares? Resolución: P5 = 120 2.- ¿De cuantas maneras se pueden pintar camisetas de tres franjas diferentes con los colores blanco, azul y rojo? Resolución: P3 = 6 3.- ¿De cuantas maneras diferentes se sentaban los 12 caballeros de la tabla redonda? Resolución: PC12 = 39.916.800 4.- ¿De cuantas maneras diferentes se sientan los 5 miembros de una comisión? Resolución: P5 = 120 5.- ¿De cuantas maneras diferentes se sientan los 5 miembros de una comisión si la mesa es redonda? Resolución: PC5 = 24 6.- ¿De cuantas maneras diferentes pueden llegar a meta 6 corredores? Resolución: P6 = 720 7.- ¿De cuantas maneras diferentes pueden llegar a meta 6 corredores, si conocemos al ganador y al último que han llegado aunque no en que orden? Resolución: P4.P2 = 48 8.- ¿Cuántas números diferentes se pueden formar con las cifras del número 133322? Solución: P63,2,1 = 60 9.- De los números diferentes que se pueden formar con las cifras del número 133322, ¿cuántos tienen el 1 en primer lugar? Solución: P53,2 = 10 10.- ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra COCACOLA? Solución: P83,2,2,1 = 1680 11.- ¿Cuántas palabras diferentes se pueden formar con las letras de la palabra MALAGA? Solución: P63,1,1,1 = 120 12.- ¿De las palabras diferentes que se pueden formar con las letras de la palabra MALAGA, cuántas acaban por vocal? Solución: P52,1,1,1 = 60 13.- ¿De las palabras diferentes que se pueden formar con las letras de la palabra MALAGA, cuántas acaban por vocal?, ¿cuántas acaban por consonante? Solución: 3. P52,1,1,1 = 180; 3.P53,1,1 = 60. PROBABILIDAD

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1.4.- COMBINACIONES 1.- Combinaciones Combinaciones sin repetición de n elementos tomados de m en m son las distintas muestras que se pueden formar con n elementos, tal que: • En cada muestra hay m elementos distintos. • Dos muestras son distintas si difieren en un elemento. • Dos muestras NO son distintas si únicamente cambia la colocación de los mismos. El número de ellos es: C n,m =

n! m! (n − m)!

2.- Números combinatorios Definición El número de combinaciones de n elementos tomados de m en m Cn,m se llama también número ⎛n⎞ combinatorio. Se representa por ⎜⎜ ⎟⎟ y se lee n sobre m. ⎝m⎠ Su fórmula es: ⎛n⎞ n! C n, m = ⎜⎜ ⎟⎟ = m m! (n − m)! ⎝ ⎠

Triángulo de Tarataglia Para hallar los números combinatorios podemos utilizar el triángulo de Tartaglia que es: ⎛ 1 ⎞ ⎛1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝1⎠ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎛ 2⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎛ 3 ⎞ ⎛ 3⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0 ⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎝ 3⎠ ⎛ 4⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 4⎞ ⎛ 4⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 0⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 4⎠ • Todas las filas comienzan y terminan por 1. • Todas las filas son simétricas • Los extremos de la fila son 1 y el resto se obtiene sumando los dos situados encima de ellos.

Propiedades de los números combinatorios ⎛n⎞ ⎛n⎞ 1.- ⎜⎜ ⎟⎟ = 1 y ⎜⎜ ⎟⎟ =1 0 ⎝1⎠ ⎝ ⎠ ⎛n⎞ ⎛ n ⎞ ⎟⎟ 2.- ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎝m⎠ ⎝n − m⎠ ⎛ n ⎞ ⎛n⎞ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = 3.- ⎜⎜ ⎝ m −1⎠ ⎝ m ⎠

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⎛ n + 1⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ m ⎠

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EJEMPLOS 1.- ¿Cuántos partidos debemos realizar entre cuatro jugadores de ajedrez para que se enfrenten todos? Resolución: Como no importa el orden y no se repiten son combinaciones sin repetición de 4 elementos tomados de 2 en 2. 4! 24 C 4,2 = = =6 2!2! 2.2 Por lo tanto debemos realizar 6 partidos.

2.- ¿De cuantas maneras diferentes se pueden elegir tres helados con sabor nata, chocolate, limón, moka y vainilla? Resolución: Como no importa el orden y no se pueden repetir son combinaciones sin repetición de 5 elementos tomados de 3 en 3. 5! 120 C 5,3 = = = 10 3!2! 6.2 Por lo tanto podemos elegir 3 helados de 10 maneras diferentes.

3.- ¿Cuántas diagonales se pueden hacer en un hexágono? Resolución: Como una diagonal une dos vértices no consecutivos, sin importar el orden en que tomemos ambos, el número de diagonales, tal como se ve en la figura, es el número de combinaciones de los vértices tomados de dos en dos menos las diagonales externas, que son los lados: 6! -6 = 15 -6 = 9 C6,2 - 6 = 4!2! Por lo tanto podemos hacer 9 diagonales.

⎛ n ⎞ ⎛n⎞ 4.- Calcula el valor de n en la igualdad ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 16 ⎠ ⎝ 7 ⎠ Resolución: Utilizando la 2ª propiedad de los números combinatorios se obtiene: ⎛n⎞ ⎛ n ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝16 ⎠ ⎝ n - 16 ⎠ Es decir: n-16 = 7 ⇒ n = 16+7 = 23 ⎛ 20 ⎞ ⎛ 20 ⎞ 5.- Calcula ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 11 ⎠

Resolución: PROBABILIDAD

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Utilizando la 3ª propiedad de los números combinatorios se obtiene: ⎛ 20 ⎞ ⎛ 20 ⎞ ⎛ 21⎞ 21! 21.20.19.18.17.16.15.14.13.12 ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ = = = 5814 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1 ⎝ 10 ⎠ ⎝ 11 ⎠ ⎝ 11 ⎠ 11!10!

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- ¿De cuántas maneras puedes elegir cuatro camisas de tu armario teniendo en cuenta que el total de las que tienes es 8? Solución: C 8,4 = 70 2.- Te han propuesto en un examen 10 preguntas de las cuáles debes resolver 5. ¿cuántas formas hay de seleccionarlas? Solución: C10,5 = 252 3.- ¿De cuántas maneras podemos hacer rectas uniendo 8 puntos en el plano? ¿y si duplicamos el número de puntos? Solución: C8,2 = 28, C16,2 = 120. 4.- ¿Cuántas diagonales tiene un hexágono? ¿y triángulos que unan tres vértices? Solución: C 6,2 − 6 = 9 , C 6,3 = 20 5.- ¿Cuántos grupos de 4 cartas podemos realizar en una baraja española? Solución: C 40,4 = 91390 6.- ¿Cuántos grupos de 4 cartas podemos realizar en una baraja española que tengan una figura? Solución: C12,4 = 495 7.- ¿Cuántos grupos de 4 cartas podemos realizar en una baraja española que sean espadas? Solución: C10,4 = 210 8.- ¿De cuántas maneras podemos repartir 28 fichas de dominó entre 4 jugadores? Solución: C 28,4 = 20.475 9.- En una comisión de la Unión Europea ha de haber 2 representantes alemanes, dos españoles y 2 portugueses. Teniendo en cuenta que hay 10 representantes alemanes, 8 españoles y 5 portugueses, ¿de cuántas maneras puede elegirse dicho comité? Solución: C10,2 .C 8,2 .C 5,2 = 12.600 10.- ¿Cuántas apuestas distintas son posibles en la lotería primitiva? Solución: C49,6 = 13.983.816 11.- ¿Cuántas equipos de fútbol diferentes se pueden hacer si los preseleccionados son 15? Solución: C15,11 = 1365. 12.- ¿Cuántas diagonales se pueden hacer en un octógono? Solución: C8,2 -8 = 20 13.- ¿Cuántas diagonales se pueden hacer en un polígono de n lados? Solución: ⎛n⎞ n 2 - 3n Cn,,2 - n = ⎜⎜ ⎟⎟ -n = 2 ⎝ 2⎠

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1.5.- EJERCICIOS DEL TEMA 1.- Si en un restaurante hay 5 tipos de bocadillos y 6 tipos de bebidas a) ¿Cuántos menús se pueden realizar? b) Si hay 3 tipos de pasteles ¿cuántos menús se pueden realizar? Solución: a) 5.6 = 30, b) 5.6.3 = 90 2.- ¿Cuántos números naturales hay entre 1.000 y 10.000 con todas las cifras diferentes? Solución: Son números de 4 cifras diferentes 9.9.8.7 = 4536 3.- Se tiene una bolsa con 4 bolas numeradas del 1 al 10. Se realiza el experimento que consiste en la extracción de una bola de la bolsa, observar el número obtenido y reintegrar la bola a la bolsa. Se pide: a) Hallar de cuántas formas diferentes se extraen las 4 bolas. b) Hallar de cuántas formas diferentes se extraen las 4 bolas, si no se reintegran a la bolsa. Solución: a) VR 10,4 = 10.000 , b) V10,4 = 5.040 4.- En el experimento lanzar dos dados al aire y observar la puntuación que aparece en las caras superiores. Hallar de cuantas maneras diferentes se obtiene un 7 sumando las dos caras. Solución: 6 5.- Un experimento consiste en la extracción de tres cartas de una baraja española. a) Hallar de cuántas formas diferentes se extraen si se reintegran a la baraja. b) Hallar de cuántas formas diferentes se extraen si no se reintegran a la baraja. Solución: a) VR 40,3 = 64.000 , b) C 40,3 = 9.880 6.- De cuántas maneras pueden repartirse las medallas en una carrera con 6 corredores. Resolución: V6,3 = 120. 7.- La final de torneo de baloncesto se juega en un play-off al mejor de 3 encuentros. ¿Cuántos resultados pueden darse?, ¿y si fuera al primero que gane 3 encuentros? Resolución: a) 8, b) 20. 8.- ¿Cuántas números de 3 distintas cifras se pueden hacer ? Resolución: 648 9.- Resuelve Vn,3 − Vn,1 = 203 Solución: n = 7.

10.- ¿Cuántas palabras pueden formarse con las letras de la palabra CORUÑA que empiecen en consonante? Resolución: 3.P5 = 360 11.- ¿Cuántos números de 6 cifras se pueden formar con placas de los números 1, 2, 3, 4, 5 y 6?, ¿Cuántos son menores que 650.000? Resolución: P6 - P4 = 696 12.- ¿Cuántas palabras pueden formarse con las letras de la palabra GIJON que acaban en vocal? Resolución: 2.P4 = 48 13.- ¿Cuántas palabras pueden formarse con las letras de la palabra GIJON que comiencen y acaben en vocal? Resolución: P2.P4 = 48 14.- ¿Cuántas números de 5 cifras diferentes pueden hacerse con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5? ¿Y con las cifras 0, 1, 2, 3 y 4? Resolución: P5 = 120, 4. P4 = 96. 15.- ¿Cuántas números de cinco cifras podemos escribir con 2 unos y 3 doses? PROBABILIDAD

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Solución: P52,3 = 10

16.- Resuelve VR n,2 − 3VR n -1,2 = 73 Solución: n = 5

17.- Resuelve 2C n,3 = Vn,2 Solución: n = 5

18.- Resuelve 2C n,3 + C n +1,3 = 24,5n Solución: 7 ⎛ n ⎞ ⎛ n + 1⎞ ⎛ n + 2 ⎞ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = 8 19.- Resuelve ⎜⎜ ⎟⎟ + 4⎜⎜ ⎝ 3⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 3 ⎠ Solución: No tiene Solución válida. ⎛ 3n - 1⎞ ⎛ 3n - 1⎞ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ 20.- Resuelve ⎜⎜ ⎝ 10 ⎠ ⎝ 16 ⎠ Solución: n = 9 ⎛ n ⎞ ⎛6⎞ ⎛7⎞ 21.- Resuelve ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ Solución: n = 6

22.- Tenemos dinero para comprar tres números de una colección de 12 tebeos ¿de cuántas maneras distintas podemos comprarlos? Solución: C12,3 = 220 23.- Te han propuesto en un examen 10 preguntas de las cuáles debes resolver 5. Si de las preguntas no conoces 2 ¿cuál es la nueva posibilidad de selección? Resolución: C 8,5 = 56 24.- ¿De cuántas maneras distintas podemos mezclar seis franjas de colores? Solución: P6 = 720 25.- ¿Cuántos números pares de 3 cifras pueden formarse con las cifras del 0 al 6? Solución: 4(VR 7,2 − VR 7,1 ) = 168 26.- ¿Cuántos números de 4 cifras pueden formarse usando las cifras del 1 al 4? Solución: VR 4,4 = 256 27.-¿Cuántos números pares de 2 cifras pueden formarse? Solución: 9.5 = 45 28.-¿Cuántos números capicúas de 5 cifras pueden formarse? Solución: VR 10,3 − VR 10,2 = 900 29.-¿Cuántos números de 6 cifras divisibles por 5 pueden formarse? Solución: 2(VR 10,5 − VR 10,4 ) = 180.000 30.-¿Cuántos números de 4 cifras tienen todas las cifras impares? Solución: VR 5,4 = 625 31.- ¿Cual es el término 497 del desarrollo del binomio ( 2 - x )501 ?

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⎛ 501⎞ 4 497 ⎟⎟2 x Solución: ⎜⎜ ⎝ 4 ⎠ 32.- Calcula la potencia (x + y + z )3 Solución: x8+ 3x7y + 3xy2+ y8+3x2z + 6xyz+3y2z+ 3x2y + 3yz2 +z3 33.- Efectúa aplicando el binomio de Newton ( 2 - 3 ) 4 Solución: 68 − 48 2

34.- Sabiendo que el penúltimo término de (2 + ax )n es 40x3, halla a y n. Solución: a = 3 5 , n = 4. 15

3⎞ ⎛ 35.- Calcula el término independiente del desarrollo del binomio ⎜ 2x 2 - ⎟ x⎠ ⎝ Solución: k = 11

36.- ¿Cuántas matriculas pueden hacerse en una provincia determinada teniendo en cuenta que constan de 4 cifras y dos letras.? Solución: 104.262 37.- Teniendo en cuenta que el alfabeto Morse consta de puntos y rayas repetidas, situadas en distinto orden ¿Cuántas pulsaciones distintas debemos hacer para enviar todas las posibles letras del alfabeto.? Solución: 4 pulsaciones. 38.- Seis amigos, tres hombres y tres mujeres, se encuentran después de una año sin verse, si se saludan dándose un beso en una mejilla si uno de ellos es mujer o dándose la mano si ambos son hombres: a) ¿Cuántos saludos se producen?, b) ¿Cuántos son apretones de mano?, c) ¿Cuántos son besos? Solución: a) 15 saludos, b) 12 besos, c) 3 apretones de mano. 39.- Halla el coeficiente del término del desarrollo de (x-1)10 de grado 3. Solución: 40.- ¿Cuántos números de 3 cifras distintas se pueden formar con los números del 1 al 5?, ¿cuánto vale su suma? Solución: V5,3 = 60. 41.- En una carrera participan 8 atletas: a) ¿Cuántas clasificaciones distintas puede haber? b) ¿De cuántas maneras se pueden repartir las tres medallas? c) Si los atletas son 3 españoles, 2 alemanes y 3 franceses, ¿cuántas clasificaciones puede haber atendiendo únicamente a la nacionalidad de los participantes? Solución: a) P8 = 40.320 , b) V8,3 = 336 , c) P83, 2,3 = 560 42.- Un estudiante tiene que contestar a 8 preguntas de un examen de 10 ítems. ¿De cuántas formas diferentes puede contestar? ¿y si las tres primeras son obligatorias? ¿y si de las cinco primeras tiene que contestar cuatro? Solución: C10,8 = 45 , C 7,5 = 21 , C 5,4 .C 5,4 = 25 43.- ¿Cuántas banderas se pueden fabricar con tres franjas rojas, dos verdes y una azul? Solución: P63, 2,1 = 60.

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CAPÍTULO 2:

PROBABILIDAD 2.1.- EXPERIMENTOS ALEATORIOS 1.- Experimento determinista y aleatorio •

Un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado es imposible predecir de antemano. Un experimento aleatorio tiene un resultado impredecible al repetirlo en condiciones similares.

•

Un experimento determinista es aquel cuyo resultado es predecible al repetirlo en condiciones similares.

2.- Espacio muestral El espacio muestral de una experiencia aleatoria está formado por el conjunto de resultados posibles en el experimento aleatorio. Pueden ser de tipo discreto (finito o infinito) o continuo. Lo designamos con E.

EJEMPLOS 1.- Pon dos ejemplos de experiencias aleatorias Resolución: • Puntuación de la cara que queda hacia arriba al lanzar al aire un dado de parchís.

•

Valor de la carta que extraeremos de una baraja.

2.- Pon dos ejemplos de experiencias deterministas. Resolución: • Cálculo de lo que tarda en llegar al suelo un objeto lanzado desde cierta altura.

•

Temperatura a la que hierve el agua destilada en una cierta localidad.

3.- Halla el espacio muestral asociado al experimento de lanzar al aire un dado y observar le resultado. Resolución: Al lanzar un dado al aire los posibles resultados son las seis caras existentes en el dado. El espacio muestral asociado es: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

4.- Halla el espacio muestral asociado al experimento de lanzar al aire dos monedas a la vez. Resolución: La mejor manera de encontrar todas las posibilidades es formar el diagrama en árbol de sucesos:. PROBABILIDAD

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Por lo tanto el espacio muestral es: E = { (C, C), (C, X), (X, C), (X,,X) }

5.- Halla el espacio muestral asociado al experimento consistente en jugar dos personas al tenis ganando quien venza en dos partidos sucesivos de un total de tres. Resolución: La mejor manera de encontrar todas las posibilidades es formar diagrama en árbol de sucesos:

El espacio muestral es: E = {(A,A), (A,B,A), (A,B,B), (B,A,A),(B,B), (B,A,B) }

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Sea el experimento lanzar al aire dos dados y observar sus caras superiores. Obtén el espacio muestral. Resolución: E ={(1,1), (1,2),...,(1,6), (2,1), (2,2),....., (2,6),...,(6,6)} 2.- Sea el experimento lanzar al aire un dado de quinielas y observar sus caras superiores. Obtén el espacio muestral. Resolución: E ={1, X, 2} 3.- Se tiene una bolsa con 8 bolas numeradas del 1 al 8. Se realiza el experimento que consiste en la extracción de una bola de la bolsa, observar el número obtenido y reintegrar la bola a la bolsa. Obtén el espacio muestral Resolución: E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 4.- De una bolsa con 3 bolas blancas y 1 negra se extraen dos bolas sin reemplazamiento Obtén el espacio muestral Resolución: E = {B1B2,, B1N2,, N1B2} 5.- De una bolsa con 3 bolas blancas y 1 negra se extraen dos bolas con reemplazamiento Obtén el espacio muestral Resolución: E = {B1B2,, B1N2,, N1B2, N1N2 } 6.- Sea el experimento sacar una carta de una baraja española y observar el palo de la carta obtenida. Obtén el espacio muestral. Resolución: E ={0, C, E, B} 7.- Sea el experimento de sacar una carta de una baraja española y observa el número de la carta obtenida. Obtén el espacio muestral. Resolución: E ={A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12} 8.- Sea el experimento de lanzar al aire un dado y una moneda. Obtén el espacio muestral. Solución: E = {(1,C), (1,X),(2,C), (2,X),....., (6,C),(6,X)}

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2.2.- SUCESOS 1.- Definición. Espacio muestral •

Espacio muestral es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se designa con la letra E.

•

Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral.

•

Espacio de sucesos es el conjunto formado por todos los subconjuntos del espacio muestral. Se designa con P(E) o S. Si el espacio muestral tiene n elementos S tiene 2n elementos.

2.- Verificación de sucesos Un suceso se verifica u ocurre cuando al realizar la experiencia aleatoria correspondiente, el resultado obtenido es uno de los que componen dicho suceso. En caso contrario decimos que el suceso no se verifica.

3.- Tipos de sucesos •

Suceso elemental es aquel que no se puede descomponer en otros sucesos, es decir está formado por un único elemento del espacio muestral.

•

Suceso compuesto es aquel que se puede descomponer en otros sucesos, es decir está formado por más de un elemento del espacio muestral.

•

Suceso imposible es aquel suceso que no se realiza nunca. Se designa por φ.

•

Suceso seguro es aquel que siempre se cumple, es el espacio muestral E.

•

Sucesos compatibles son aquellos que pueden darse simultáneamente ya que la realización de uno no impide la realización de otro. Los sucesos compatibles tienen intersección no nula. A ∩B ≠ φ

•

Sucesos incompatibles son aquellos que no pueden darse simultáneamente ya que la realización de uno impide la realización de otro. Los sucesos incompatibles tienen intersección nula. A∩B = φ

•

Suceso contrario de un suceso A cualquiera, es el suceso A que ocurre al no verificarse A.

Siempre se verifica: 1.- A∩ A = φ 2.- A∪ A = E

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EJEMPLOS 1.- En el experimento de lanzar dos monedas a la vez obtén los sucesos A = “salir dos caras”, B = “salir dos cruces” y C = “salir cara y cruz”. Resolución: • A = {C, C} • B = {X, X} • C = {(C, X), (X, C)}

2.- Halla el espacio muestral y el espacio de sucesos del experimento lanzar al aire una moneda y observar el resultado obtenido. Resolución: • Espacio muestral es E = { C, X} • Espacio de sucesos es S = {Φ, {C}, {X}, {C, X} }

3.- En el experimento aleatorio lanzar un dado al aire, enuncia tres sucesos que se verifican si obtenemos un 5. Resolución: Entre otros se verifican los sucesos: • "sacar 5" = {5} • "ser impar" = {1, 3, 5} • "ser divisor de 5" = {1, 5}.

4.- En el experimento aleatorio lanzar tres monedas al aire y observar el resultado obtenido, ¿cuándo decimos que se ha verificado el suceso "obtener al menos una cara"? Resolución: Se habrá realizado el suceso si obtenemos cualquiera de los siguientes: {C, X, X}, {X, C, X}, {X, X, C}, {C, C, X}, {X, C, C}, {C, X, C}, {C, C, C}).

5.- En el experimento aleatorio lanzamiento de un dado enuncia dos suceso elementales y dos compuestos: Resolución: • Son sucesos elementales: - “obtener un 1” - “obtener un 3”.

•

Son sucesos compuestos: - “obtener cifra par” = {1, 3, 5} - “obtener cifra impar” = {2, 4, 6}

6.- En el experimento aleatorio lanzamiento de un dado enuncia dos sucesos imposibles: Resolución: Son sucesos imposibles: • “obtener un 7”. • “obtener un 0”.

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7.- En el experimento aleatorio lanzamiento de un dado enuncia un suceso seguro: Resolución: Es un suceso seguro: “obtener número menor o igual que 6” = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

8.- En el experimento aleatorio lanzamiento de un dado enuncia dos sucesos compatibles: Resolución: Son compatibles: • A = “que salga par” • B = “que salga múltiplo de tres” ya que el suceso elemental {6} cumple ambas condiciones.

9.- En el experimento aleatorio lanzamiento de un dado enuncia dos sucesos incompatibles: Resolución: Son incompatibles: • A = “que salga par” • B = “que salga impar” ya que no hay suceso elemental que cumpla ambas condiciones.

10.- En el experimento aleatorio lanzamiento de una moneda enuncia dos sucesos contrarios: Resolución: Son suceso contrarios • A = “obtener cara”

•

A = “obtener cruz”.

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Sea el experimento de lanzar al aire dos monedas y observar su resultado. Se pide el espacio de sucesos. Solución: {φ, {CC}, {XX},(CX), (XC), {CC, CX}, {CC, XC},{CC, XX},{CX, XC},{CX, XX}, {XC, XX}, {CC, CX, XC},{CC, CX, XX}, {CC, XC, CX},{CC, XC, XX}, {CC, XC, CX, XX}} 2.- Sea el experimento lanzar al aire dos dados y sumar sus caras superiores. Obtén: a) El suceso "obtener al menos un 1". b) El suceso "obtener un múltiplo de 3". Solución: a)E = {(1,1), (1,2),...,(1,6),(6,1),...,(2,1)} b){(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(6,6)} 3.- Sea el experimento aleatorio coger una ficha de dominó y sumar los puntos de dicha ficha. Obtén: a) El espacio muestral b) El suceso "obtener un número par". Solución: a)E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ,12} b) "obtener un número par" = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12}

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4.- Se tiene una bolsa con 8 bolas numeradas del 1 al 8. Se realiza el experimento que consiste en la extracción de una bola de la bolsa, observar el número obtenido y reintegrar la bola a la bolsa. Se pide: a) El suceso "Obtener número primo". b) El suceso "Obtener número par". c) El suceso "Obtener número primo o par". Solución: a) {1,2,3,5,7}, b) {2,4,6,8}, c) {1,2,3,4,5,6,7,8}. 5.- En el experimento lanzar tres monedas a la vez obtén los sucesos salir tres caras, salir dos cruces y una cara salir tres cruces Solución: a) {C, C, C}, b) {X, X, C}, c) {X, X, X}. 6.- En el experimento aleatorio lanzar dos dados al aire y observar la suma de sus caras, enuncia tres sucesos que se verifican si obtenemos un 5. Solución: Entre otros se verifican los sucesos {1,4},{4,1},{2,3}. 7.- En el experimento aleatorio lanzar dos dados al aire y observar la suma de sus caras, enuncia tres sucesos que NO se verifican si obtenemos un 5. Solución: Entre otros no se verifican los sucesos {1,3},{2,1},{2,2}. 8.- En el experimento aleatorio lanzar dos monedas al aire y observar el resultado obtenido, ¿cuándo decimos que se ha verificado el suceso "obtener al menos una cara"? Solución: {C, X}, {X, C}, {C, C} 9.- En el experimento aleatorio lanzar dos monedas al aire y observar el resultado obtenido enuncia dos sucesos elementales: Solución: Son sucesos elementales “obtener dos caras”, “obtener dos cruces”. 10.- En el experimento aleatorio lanzar dos monedas al aire y observar el resultado obtenido enuncia dos sucesos compuestos: Solución: Son sucesos compuestos “obtener al menos una cara”, “obtener al menos una cruz” 11.- En el experimento aleatorio lanzar dos monedas al aire y observar el resultado obtenido enuncia un suceso seguro: Solución: “obtener al menos una cara o una cruz” 12.- En el experimento aleatorio lanzar dos monedas al aire y observar el resultado obtenido enuncia dos sucesos compatibles: Solución: Son compatibles: A = “obtener cara y cruz” B = “obtener al menos una cara”. 13.- En el experimento aleatorio lanzar dos monedas al aire y observar el resultado obtenido enuncia dos sucesos incompatibles: Solución: Son incompatibles: A = “obtener dos cruces” B = “obtener dos caras” 14.- En el experimento aleatorio lanzar dos monedas al aire y observar el resultado obtenido enuncia dos sucesos contrarios: Solución: Son sucesos contrarios: A = “obtener dos caras” A = “obtener al menos una cruz”. 15.- En el experimento aleatorio lanzar dos monedas al aire y observar el resultado obtenido enuncia dos sucesos imposibles: Solución: Son sucesos imposibles, por ejemplo A = “obtener tres caras” B = “obtener tres cruces”.

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2.3.- OPERACIONES CON SUCESOS 1- Unión de sucesos Dados dos sucesos A y B, llamamos unión de sucesos al conjunto formado por los sucesos elementales comunes y no comunes de A y B y lo expresamos como A∪B. Es decir será el suceso que sucede cuando se verifica A o B o ambos a la vez.

2- Intersección de sucesos Dados dos sucesos A y B, llamamos intersección de sucesos al conjunto formado por los sucesos elementales comunes de A y B y lo expresamos como A∩B. Es decir será el suceso que sucede cuando se realizan A y B simultáneamente.

3.- Diferencia de sucesos Dados dos sucesos A y B, llamamos diferencia de sucesos al conjunto formado por los sucesos elementales que se verifican cuando se verifica de A pero no cuando se cumple B y lo expresamos como A-B. Es decir será el suceso que sucede cuando se realizan A y B simultáneamente.

4.- Propiedades de las operaciones En el espacio de sucesos asociado a un espacio aleatorio se definen las operaciones unión, intersección y contrario de modo que se cumplen las propiedades: Propiedades Asociativa Conmutativa Idempotente Simplificativa Distributiva Contrario

Operaciones Unión (A∪B)∪C = A∪(B∪C) A∪B = B∪A A∪A = A A∪(B∩A) = A A∪ (B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)

Intersección (A∩B)∩C = A∩(B∩C) A∩B = B∩A A∩A = A A∩(B∪A) = A A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)

A∪ A = E

A∩ A = Φ

Con esas propiedades el conjunto Espacio de sucesos es un Álgebra de Boole de sucesos. Además existen otras propiedades como las leyes de ”De Morgan”: F ∩ Q = F∪ Q F ∪ Q = F∩ Q PROBABILIDAD

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EJEMPLOS 1.- En el experimento sacar una carta de una baraja española y observar el resultado consideramos los sucesos A = “sacar una carta que sea múltiplo de 4 y B = “sacar una carta que sea múltiplo de 3”, halla A∪B. Resolución: Como los sucesos son A = { 4, 8} B = {3, 6, 9, 12} La unión de sucesos será: A∪B = {3, 4, 6, 8, 9, 12}

2.- En el experimento sacar una carta de una baraja española y observar el resultado consideramos los sucesos A = “sacar una carta que sea múltiplo de 2” y B = “sacar una carta que sea múltiplo de 3”, halla A∩B. Resolución: Como los sucesos son A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {3, 6, 9, 12} La intersección de sucesos será: A∩B = {6, 12}

3.- En el experimento sacar una carta de una baraja española y observar el resultado consideramos los sucesos A = “sacar una carta que sea múltiplo de 2” y B = “sacar una carta que sea múltiplo de 3”, halla A-B. Resolución: Como los sucesos son A = {2, 4, 6, 8, 10} B = {3, 6, 9, 12} el suceso B será: B = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 10, 11} La diferencia de sucesos será: A - B = A∩ B = {2, 4, 8, 10}

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- En el experimento lanzar un dado de parchís y observar el resultado consideramos los sucesos A = “sacar cara que sea múltiplo de 2" y B = “sacar cara que sea múltiplo de 3”, halla A∪B. Solución: A = {2, 4, 6} B = {3, 6}, A∪B = {2, 3, 4, 6} 2.- En el experimento lanzar un dado de parchís y observar el resultado consideramos los sucesos A = “sacar cara que sea múltiplo de 2" y B = “sacar cara que sea múltiplo de 3”, halla A∩B. Solución: A = {2, 4, 6} B = {3, 6}, A∩B = {6} 3.- En el experimento lanzar un dado de parchís y observar el resultado consideramos los sucesos A = “sacar cara que sea múltiplo de 2" y B = “sacar cara que sea múltiplo de 3”, halla A-B. Solución: A = {2, 4, 6} B = {3, 6}, A-B = {2, 4}

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4. Se tiene una bolsa con 10 bolas numeradas del 1 al 10. Se realiza el experimento que consiste en la extracción de una bola de la bolsa, observar el número obtenido y reintegrar la bola a la bolsa. Se han obtenido los sucesos A = {3, 5, 7, 9}, B = {3, 6, 9}, C = {1, 2, 3, 4, 5}. Forma los siguientes sucesos: a) A∩B, b) B∩C, c) A∩( B∩C), d) A∪(B∩C) Solución: a) {3, 9}, b) {3}, c) {3}, d) {3, 5, 7, 9}. 5.- En el experimento lanzar dos dados al aire y observar la puntuación que aparece en las caras superiores, se consideran los siguientes sucesos A = "La diferencia de puntos es 2", B = "Obtener al menos un 6". Halla los siguientes sucesos: a) A ∩ B, b) A ∪ B, c) A ∩ B , d) A ∪ B Solución: a) {(6,4),(4,6)}, b) {(6,1) (6,2)..., (6,6),...(1,6), (1,3),(2,4),...(3,1)} c) A ∪ B d) A ∩ B 6.- Un experimento consiste en la extracción de tres cartas de una baraja española. Se consideran 3 sucesos A = "que la 1ª carta sea rey", B = "que la 2ª carta sea rey", C = "que la 3ª carta sea rey". Di cuáles son los siguientes sucesos: a) A ∪ B ∪ C, b) A ∩ (B ∪ C), c) A ∪ (B ∩ C), d) A ∩ B ∩ C, e) A ∩ (B ∩ C ), f) A∩(B ∪ C ) Solución: a) “Una de las cartas es rey”, b) “la primera es rey y una de las otras dos también”, c) “la primera o la segunda y tercera a la vez son reyes”, d) “las tres cartas son reyes”, e) “son todas reyes menos la tercera”, f) “la primera es rey y lo es la segunda o no lo es la tercera” 7.- Consideramos el experimento de observar en una familia el sexo de sus tres hijos, teniendo en cuenta el orden de edades. Obtén los sucesos. a) A = “La mediana es mujer”, b) B = “El menor es varón”, c) A∪B, d) A∩B Solución: a) {VMM, VMV, MMM, MMV}, b) {VVV, VMV, MMV, MVV} c) A∪B = {VMM, VMV, MMM, MMV, VVV, MVV} d) A∩B = { VMV, MMV} 8.- Sean A, B y C tres sucesos de un mismo espacio muestral. Expresa los sucesos: a) Se realiza alguno de los tres. b) No se realiza ninguno de los tres. c) Se realizan los tres. d) Se realizan dos de los tres. Solución: a) A∪B∪C, b) A ∪ B ∪ C , c) A∩B∩C , d) (A∩B)∪(A∩C)∪(B∩C) 9.- Sea el experimento lanzar al aire un dado de juego de rol (12 caras numeradas del 1 al 12) al aire y observar su resultado superiores. a) Obtén el espacio muestral. b) Enuncia los suceso A = ”obtener número par”, B = “obtener múltiplo de 3”, C = “obtener número mayor que 5” c) Halla A∪B, A∩C, A-B, A-C Solución: a) E ={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} b) A = {2,4,6,8,10,12}, B={3,6,9,12}, C={6,7,8,9,10,11,12} c) A∪B = {2,3,4,6,8,9,10,12}, A∩C = {6,12}, A-B = {2,4,8,10}, A-C = {2,4} 10.- En una ciudad hay tres periódicos a, b y c. Consideramos los sucesos A = "leer el periódico A", B = "leer el periódico b" y C = "leer el periódico c". Si A ocurre el 30% de las veces, B el 20% y C el 25%, ocurriendo además que leen a y b el 10%, a y c el 15% y b y c el 5% respectivamente de la población, expresa la situación mediante un diagrama de Venn.

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2.4.- IDEA INTUITIVA DE LA PROBABILIDAD 1.- Frecuencia relativa y probabilidad La frecuencia relativa de un suceso A es el cociente entre la frecuencia absoluta y el número de resultados de la prueba: fr =

f N

La frecuencia relativa es siempre un número racional comprendido entre 0 y 1. Al aumentar el número de experiencias, la frecuencia relativa tiende a estabilizarse alrededor de un número, es decir fluctuará alrededor de dicho valor siendo las oscilaciones cada vez más pequeñas.

2.- Ley de los grandes números Bernouilli demostró la Ley de los grandes números: "la frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno a un número, a medida que el número de pruebas del experimento crece indefinidamente". A este número que se acerca la frecuencia relativa del suceso lo llamaremos probabilidad de dicho suceso. Dicha probabilidad recibe el nombre de probabilidad a posteriori, ya que se conoce después de realizar el experimento. En la mayoría de los casos es la única forma que hay que determinar probabilidades. Como no seremos capaces de realizar infinitas pruebas de un experimento usaremos el valor aproximado de la probabilidad. Por la propia definición (es una frecuencia relativa) la probabilidad de un suceso es siempre un número comprendido entre 0 y 1 0 ≤ P(A) ≤1 La probabilidad es la mediada de la incertidumbre de un suceso aleatorio, mide las posibilidades que tiene de verificarse el suceso al realizar el experimento.

3.- Ley de Laplace Según Laplace "la probabilidad de un suceso A es igual al cociente entre el número de casos favorables al suceso y el número de casos posibles". P(A) =

Casos favorables Casos posibles

Para poder aplicar esta definición hay que tener en cuenta que los experimentos han de dar lugar a sucesos elementales equiprobables. Los casos favorables son los elementos que forman el suceso A y los casos posibles son todos los que forman el espacio muestral.

EJEMPLOS 1.- Halla la probabilidad de obtener 3 caras al lanzar tres monedas al aire Resolución: Consideramos que las lanzamos a la vez y usamos la Regla de Laplace siendo los casos favorables un único caso y los posibles VR 2,3 = 23 = 8 P(3 caras) =

PROBABILIDAD

1 1 = VR 2,3 8

30

2.- Se considera el experimento aleatorio lanzar al aire un dado de parchís y observar el resultado obtenido en la cara superior. Halla la probabilidad de obtener: a) Número impar. b) Número primo. c) Múltiplo de tres. d) Múltiplo de cinco. Resolución: El espacio muestral del experimento es E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. El número de sucesos posibles es 6 3 1 = a) Si A = "Obtener impar" = {1, 3, 5} ⇒ P(A) = 6 2 3 1 b) Si B = "Obtener primo" = {1,2, 3} ⇒ P(B) = = 6 2 2 1 c) Si C = "Obtener múltiplo de 3" = { 3, 6} ⇒ P(C) = = 6 3 1 d) Si D = "Obtener múltiplo de 5"= { 5} ⇒ P(D) = 6

3.- Se realiza el experimento aleatorio lanzar al aire dos monedas. Hallar la probabilidad de obtener: a) Dos caras. b) Dos cruces. c) Cara y cruz. d) Al menos una cruz Resolución: El espacio muestral del experimento es E = {CC, CX, XC, XX}. Los sucesos posibles son 4. 1 a) Si A = "Obtener dos caras" = {CC} ⇒ P(A) = 4 1 b) Si B = "Obtener dos cruces" = {XX} ⇒ P(B) = 4 2 c) Si C = "Obtener cara y cruz" = { CX, XC} ⇒ P(C) = 4 3 d) Si D = "Obtener al menos una cruz" = { CX, XC, XX} ⇒ P(D) = 4

4.- Calcula la probabilidad de obtener tres ases al extraer tres cartas de una baraja española. Resolución: P(3 ases) =

C34 C340

=

1 2470

5.- Calcula la probabilidad de acertar un número de teléfono si nos hemos olvidado del último número Resolución: P(acertar) =

1 CF = 10 CP

PROBABILIDAD

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Halla la probabilidad de que al lanzar un dado al aire al suma de las caras visibles sea múltiplo de 5. 1 Solución: 3 2.- Se lanzan dos dados. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos: a) Obtener al menos un cinco. b) La suma de las puntuaciones obtenidas es menor o igual a tres. 1 11 Solución: a) P(A) = , b) P(B) = 36 12 3.- Se lanzan un par de dados. Si los números resultantes son diferentes obtén la probabilidad de que la suma de los números obtenidos sea impar. 3 Solución: P(A) = 5 4.-Tres amigos compran, cada uno, un regalo. Los mezclan y los reparten aleatoriamente entre ellos. Calcula la probabilidad de que: a) A cada uno le toque el regalo que compró. b) A ninguno le toque el regalo que compró. 1 1 Solución: a) P = , b) P = 6 3 5.- Se lanza una moneda dos veces. Halla la probabilidad de que en ambas tiradas salga cruz 1 Solución: P(A) = 4 6.- Se lanza dos veces un dado con forma de tetraedro cuyas caras están numeradas del 1 al 4. Obtén la probabilidad de que la suma de los números de la cara oculta sea impar. 1 Solución: P(A) = 2 7.- Cual es la probabilidad de obtener una figura (sota, caballo o rey) al extraer 3 cartas de una baraja española de 40 cartas. C12,3 11 Solución: P(A) = = C 40,3 494 8.- Se lanzan dos dados. Calcula las probabilidades de que: a) La suma de las puntuaciones obtenidas sea siete. b) La suma de las puntuaciones obtenidas sea doce. 1 1 Solución: a) P(7) = , P(12) = 6 36 9.- En una urna tenemos 2 bolas blancas, 3 negras y 4 azules. Calcula la probabilidad de que al extraer una bola al azar: a) Sea blanca. b) Sea negra. c) Sea azul. 2 3 4 Solución: a) P(B) = , b) P(N) = , c) P(A) = 9 9 9 10.- Se extraen 3 cartas de una baraja española de 40 cartas. Calcula la probabilidad de que : a) Salgan al menos dos ases, b) Salga el rey de copas, c) No salga ninguna figura. Solución: C 28,3 C 36,1 .C 4, 2 + C 4,3 C 39, 2 .1 63 11 63 = , b) = c) = a) C 40,3 190 C 40,3 C 40,3 494 988

PROBABILIDAD

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2.5.- DEFINICIÓN AXIOMÁTICA DE PROBABILIDAD 1.- Axiomas Se llama probabilidad a una ley que asocia a cada suceso A, del espacio de sucesos, un número real que llamamos probabilidad de Ay representamos por P(A), que cumple los siguientes axiomas: 1.

La probabilidad de un suceso es positiva o nula. P(A) ≥ 0

2.

La probabilidad del suceso cierto es la unidad. P(E) = 1

3.

La probabilidad de la unión de dos sucesos incompatibles es igual a la suma de las probabilidades de cada uno de ellos. P(A∪B) = P(A) + P(B)

2.- Propiedades A partir de los axiomas se pueden demostrar los siguientes teoremas 1.

Probabilidad del suceso complementario: P( A ) = 1 - P( A)

2.

Probabilidad del suceso imposible: P(Φ) = 0

3.

Si A ⊂ B P(A) ≤ P(B)

4.

Si A1, A2,... An son incompatibles dos a dos se cumple: P(A1∪A2∪ ... ∪An) =A1 + A2+ ...+ An

5.

Unión de dos sucesos compatibles P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

6.

Diferencia de sucesos P(A-B) = P(A) - P(A∩B)

EJEMPLOS 1.- En el experimento lanzar al aire dos caras halla la probabilidad del sucesos "obtener al menos una cruz". Resolución: El espacio muestral será {C, C}, {C, X}, {X, C}, {X, X}. Será más fácil hallar la probabilidad a partir del suceso contrario de A, es decir A = "No obtener ninguna cruz" = "Obtener dos caras". Como aplicando la Regla de Laplace P( A ) = P(A) = 1 - P( A ) = 1 -

PROBABILIDAD

1 , tendremos: 4

1 3 = 4 4

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2.- En el experimento lanzar un dado de parchís al aire y observar el número de la cara superior se consideran los sucesos A = "obtener número par", B = "obtener número primo" y C = "obtener número múltiplo de 5". Calcular las probabilidades de: a) A∪B b) A∪C Resolución: Como A = {2, 4, 6}, B = {1, 2, 5} y C = {5}, las probabilidades de dichos 3 3 1 sucesos son: P(A) = , P(B) = , P(C) = . 6 6 6 1 A y B son compatibles y existe intersección que es {2}, y P(A∩B) = . 6 A y B son incompatibles por lo tanto no existe intersección, y P(A∩C)=0. a) Al ser A y B sucesos compatibles: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) =

3 3 1 5 + - = 6 6 6 6

b) Al ser A y C sucesos incompatibles: P(A∪C) = P(A) + P(C) =

3 1 4 2 + = = 6 6 6 3

3.- De 200 estudiantes, 110 estudian Física, 70 estudian Química y 30 estudian ambas. Escogido un estudiante al azar: a) Halla la probabilidad de que estudie Física o Química . b) Halla la probabilidad de que no estudie Física ni Química. Resolución: En el experimento de elegir un estudiante al azar entre los 200 considerados llamamos F al suceso "El estudiante elegido estudia Física" y Q = "El estudiante elegido estudia Química". Los datos del problema nos dicen: 11 7 3 110 70 30 P(F) = = ; P(Q) = = ; P(F∩Q) = = 200 20 200 20 200 20

a) La probabilidad de que estudie Física o Química es: 11 7 3 15 3 P(F∪Q) = P(F) + P(Q) - P(F∩Q) = + = = 20 20 20 20 4 b) La probabilidad de que no estudie Física ni Química es: 3 1 P( F ∩ Q ) = P( F∪ Q ) = 1- = 4 4 4.- Se ha concluido que si se elige al azar un espectador la probabilidad de que esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol es de 0,8, la de que esté a favor de la existencia de canales de TV de pago es de 0,4 y la de que esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol y también de la existencia de canales de TV de pago es de 0,3. a) Calcula la probabilidad de que el espectador esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol o de que esté a favor de la existencia de canales de televisión de pago. b) Calcula la probabilidad de que el espectador no esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol ni de la existencia de canales de televisión de pago.

PROBABILIDAD

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Resolución: Supongamos los sucesos F = "estar a favor de la retransmisión de partidos de fútbol" y C = "estar a favor de la existencia de canales de TV de pago" por los datos del problema: P(F) = 0,8; P(C) = 0,4; P(F∩C) = 0,3 a) Nos piden la probabilidad de que un espectador esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol o de que esté a favor de la existencia de canales de televisión de pago, es decir del suceso: P(F∪C) = P(F) + P(C) - P(F∩C) = 0,8+0,4-0,3 = 0,9 b) Nos piden la probabilidad de que un espectador no esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol ni de la existencia de canales de televisión de pago, es decir del suceso: P( F ∩ C ) = P( F∪ C ) = 1 - P(F∪C) = 1-0,9 = 0,1 donde hemos utilizado las leyes de De Morgan y que la probabilidad de un suceso es 1 menos la probabilidad del suceso contrario.

5.- En una ciudad se publican dos periódicos A y B. La probabilidad de que una persona lea un periódico A es 0,1, la probabilidad de que lea el B es 0,1 y la probabilidad de que lea ambos es 0,02. Calcula la probabilidad de que una persona no lea ningún periódico. Resolución: Sean los sucesos A = "leer el periódico A", B = "leer el periódico B", A∩B ="leer ambos periódicos". El enunciado nos da las siguientes probabilidades: P(A) = 0,1; P(B) = 0,1; P(A∩B) = 0,02 Nos piden la probabilidad del suceso A ∩ B . Por las leyes de Morgan sabemos que A ∩ B = A∪ B , pues no leer ningún periódico es el suceso contrario de leer alguno de ellos, su probabilidad es: P( A ∩ B ) =P( A∪ B ) = 1 -P(A∪B) Como: P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B) = 0,1+0,1-0,02 = 0,18 nos queda: P( A ∩ B ) = 1 -0,18 = 0,82.

6.- De los sucesos A y B de un experimento aleatorio, se sabe que P(A) = 0.4, P(B) = 0.3 y P(A∪B) = 0,5 . Calcula P(A∩B) y P(B∩ A ). donde A y B representan los sucesos complementarios de A y B. Del enunciado del problema tenemos: P(A) = 0,4; P(B) = 0,3; P(A∪B) = 0,5 Aplicando la probabilidad de la unión: P(A∩B) = P(A) +P(B) -P(A∪B) = 0,4+0,3-0,5 = 0,2 La probabilidad pedida es: P( A ∩B) = P(B) - P(A∩B) = 0,3 -0,2 = 0,1

PROBABILIDAD

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Se extraen 3 cartas de una baraja española de 40 cartas. Calcula la probabilidad de que salga al menos un oro. C10,3 244 Solución: P = 1= C 40,3 247 2.- De 200 estudiantes, 100 estudian Física, 60 estudian Química y 20 estudian ambas. Escogido un estudiante al azar. Halla la probabilidad de que: a) estudie Física o Química. b) no estudie Física ni Química. c) Sólo estudie Física. d) Sólo estudie Química. 14 3 3 1 1 1 1 2 10 6 2 14 Solución: a) + = , b) 1= , c) - = , d) - = 20 20 20 20 20 10 10 10 5 2 5 5 3.- La probabilidad de que un estudiante apruebe Física, Química y alguna de ellas es de 0,45; 0,4 y 0,7 respectivamente. Halla la probabilidad de que un estudiante apruebe ambas materias. Solución: 0,15. 4.- Sabiendo las siguientes probabilidades P(A) =

1 1 1 1 , P(B) = , P(C) = , P(A∪B) = , 4 4 16 12

halla las probabilidades de C , C ∩ C y A∩B. 7 11 Solución: P( C ) = , P( C ∩ C ) = 0 y P(A∩B) = 16 12 5.- En un dado trucado se cumple que la probabilidad de que salga un 6 es el doble que las de las demás. Halla la probabilidad de que salga un número par. 4 Solución: P(par) = 7 6.- Luis y Pablo efectúan un examen. La probabilidad de que apruebe Luis es del 60% y de que aprueben ambos un 10%. Calcula la probabilidad de que apruebe Luis pero no Pablo. 1 Solución: P( L∩ P ) = P(L)- P(L∩P) = 2 7.- Se considera el experimento aleatorio coger al azar tres fichas de dominó y observarlas. Halla la probabilidad de: a) no coger ninguna ficha doble. b) coger alguna ficha doble. C 21,3 C 21,3 139 95 Solución: a) P = = b) P = 1= C 28,3 234 C 28,3 234 8.- Sea E = {S1, S2, S3} . Averigua si es una función de probabilidad: 1 1 1 a) P(S1 ) = , P(S2) = , P(S3 ) = 2 6 3 3 1 1 b) P(S1 ) = , P(S2) =- , P(S3 ) = 4 4 4 Solución: a) Sí, b) No. 9.- Se lanza un dado de parchís 5 veces al aire. Calcula la probabilidad de que salga al menos un seis. VR5,5 Solución: P = 1= 0,6 VR6,5

PROBABILIDAD

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2.6.- EJERCICIOS DEL TEMA 1.- Halla el espacio muestral asociado al experimento consistente en jugar dos personas al tenis ganando quien venza en dos partidos sucesivos de un total de tres. Solución: E = {AA, ABA, ABB, BAA, BAB, BB} 2.- Halla el espacio muestral asociado al experimento consistente en jugar dos personas al tenis ganando quien venza en dos partidos sucesivos de un total de cuatro. Solución: E = {AA, ABAA, ABAB, ABB, BAA, BABA, BABB, BB} 3.- Sea el experimento lanzar al aire dos dados y observar el producto de sus caras superiores. Obtén el espacio muestral. Solución: E = {1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15,16,18,20,24,25,30,36} 4.- Halla el espacio muestral asociado al experimento de lanzar al aire tres monedas a la vez. Solución: E = {(C, C, C), (C, C, X),(C, X, C), (C, X, X),(X, C, C), (X, C, X),(X, X, C), (X, X, X)} 5.- Se considera el experimento aleatorio de lanzar dos dados y anotar el resultado de la tirada. a) Representa el espacio muestral y los sucesos "sacar al menos un seis" y "sacar suma par". b) Halla la probabilidad del suceso "los números de los dos dados son diferentes". Solución: E = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),...,(2,6),....(6,6)}. a) A = {(1,6),(2,6),(3,6),(4,6),(5,6),(6,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)} B = {(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5), (4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)} 1 5 b) P(C) = 1- P( C ) = 1- = . 6 6 6.- Halla la probabilidad de: a) Obtener tres caras en tres lanzamientos de una moneda. b) Obtener al menos una cara en tres lanzamientos de una moneda Solución: 1 1 1 7 P (3C) = = ; b) P(al menos C) = 1- = VR2,3 8 8 8 7.- De una urna que contiene 9 bolas rojas y 5 negras se extraen sucesivamente dos bolas. Halla la probabilidad de que: a) Las dos sean negras: b) Las dos sean rojas: c) Una bola sea roja y otra negra: d) La primera bola es roja y la segunda negra: Solución: C 5,2 10 C 9, 2 36 = ; b) P = = ; a) P = C14, 2 91 C14,2 91 c) P =

C9,1 .C5,1 C14, 2

=

45 45 ;P= . 91 182

8.- En las negociaciones entre Sildavia y Borduria se encuentran 20 diplomáticos de cada nación: El 60% de los diplomáticos hablan Alemán y el 70% hablan Francés. ¿Cuál es la probabilidad de que dos diplomáticos no sean capaces de entenderse. Solución: P( F ∩ A )∪P( A ∩ F )

PROBABILIDAD

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9.- Se disponen tres tarjetas, dos blancas y una roja. Se reparten al azar entre tres personas, A, B y C, entregando una a cada una. Construye un espacio muestral apropiado y calcule la probabilidad de los siguientes sucesos: a) A tiene una tarjeta blanca. b) B tiene una tarjeta blanca. c) A y B tiene cada uno una tarjeta blanca. 2 2 1 Solución: a) ; b) ; c) . 3 3 3 10.- Una urna contiene 2 bolas verdes y 2 blancas y otra urna contiene 3 bolas verdes y 2 blancas. Se saca una bola de cada urna y se observa su color. Construye su espacio muestral, adecuado a esta experiencia, para calcular la probabilidad de los siguientes sucesos y calcúlelas: a) Las dos bolas son blancas. b) Las dos bolas son del mismo color. c) Las dos bolas son de colores distintas. C 2,1.C 2,1 1 Solución: a) P = = C 4,1.C5,1 5 11.- En un concurso se dispone de cinco sobres, dos de ellos contienen premio y los otros tres no. Se pide a un primer concursante que escoja un sobre de entre los cinco y a un segundo concursante que elija un sobre de entre los restantes. Construye un espacio probabilístico apropiado para calcular las probabilidades de los siguientes sucesos: a) El primer concursante obtenga premio. b) El segundo concursante obtenga premio. c) Ambos concursantes obtengan premio. Calcúlalas razonadamente 4 4 1 Solución: a) P = ; b) P = ; c) P = . 10 10 10 12.- Se lanzan dos dados. Construye un espacio muestral adecuado a la experiencia anterior para calcular la probabilidad de los siguientes sucesos y calcúlalas. a) Obtener un cinco solamente en un dado. b) La suma de puntuaciones obtenidas en ambos dados sea a lo sumo de cuatro puntos. Solución: E = {(1,1), (1,2), ...(2,1),...(6,6)}; 11 a) A = {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6)}; P(A) = 36 1 B) B = {(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1)}; P(B) = 6 13.- Se arrojan dos dados. Sean los sucesos A = “la diferencia entre las puntuaciones obtenidas es tres puntos” y B = “a lo sumo uno de los dados es un seis”. Construye un espacio muestral apropiado a dicha experiencia, para calcular las probabilidades: a) de A. b) de B. c) de A o B. 1 35 35 Solución: P(A) = ; P(B) = ; P(A∪B) = P(B) = . 6 36 36 14.- Un experimento consiste en lanzar un dado y extraer una bola de un urna que contiene una bola blanca, dos rojas, una verde y una azul. Construye un espacio muestral apropiado a dicha experiencia para calcular la probabilidad de obtener un número mayor que tres y una bola roja y obtén dicha probabilidad. 3 2 1 Solución: P = . = 6 5 5

PROBABILIDAD

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15.- Se dispone una bolsa con siete bolas con los siete números siguientes: 1,1,2,4,5,6,6.Se considera el experimento Sacar dos bolas simultáneamente de la bolsa y observar los números extraídos. Construye un espacio muestral asociado a este experimento, para calcular las probabilidades de los siguientes sucesos y calcúlalas. a) Los dos números observados son pares. b) Un número es par y otro impar. c) Los dos números son mayores que tres. Solución: 16.- Una urna contiene 3 bolas rojas y 2 verdes y otra urna contiene 2 bolas rojas y tres verdes. Se toma, al azar, una bola de cada urna y se observa su color. Escribe el espacio muestral, adecuado a esta experiencia, para calcular la probabilidad de los siguientes sucesos y calcúlelas: a) Las dos bolas son del mismo color. b) Las dos bolas son de colores distintas. 12 13 Solución: a) P = ; b) P = . 25 25 17.- Se dispone una bolsa con seis bolas numeradas del 1 al 6. Se considera el experimento “sacar dos bolas simultáneamente de la bolsa y observar los números extraídos”. Construye un espacio muestral asociado a este experimento, para calcular las siguientes probabilidades: a) Los dos números observados son pares. b) Un número es par y otro impar. c) Los dos números son mayores que tres. 1 3 1 Solución: a) P = ; b) P = ; c) P = . 5 5 5 18.- Un experimento consiste en lanzar un dado y extraer una bola de una urna que contiene una bola blanca, una roja y una azul. Construye un espacio muestral adecuado a dicha experiencia para calcular la probabilidad del suceso salir un número par y una bola roja. 3 1 1 Solución: P = . = 6 3 6 19.- Una experiencia aleatoria consiste en preguntar a tres personas distintas, elegidas al azar, si son partidarias o no de consumir un determinado producto. a) Escribe el espacio muestral asociado a dicho experimento, utilizando la letras “s” para las respuestas afirmativas y la “n” para las negativas. b) ¿Qué elementos del espacio muestral anterior constituyen el suceso “al menos dos de las personas son partidarias de consumir el producto”. c) Describe el suceso contrario de “más de una persona es partidaria de consumir el producto”. 1 1 Solución: b) P = ; c) P = . 4 4 20.- Una caja contiene dos monedas. Una tiene grabada cara y cruz y la otra dos caras. a) Calcula la probabilidad de obtener cara. b) ¿Cuál es la probabilidad de obtener cara y ser moneda con dos caras?. 3 Solución: a) P = ; b) P = 1. 4 21.- Se dispone para un concurso de cuatro sobres, dos de ellos contienen premio y los otros dos no. Se pide al primer concursante que escoja un sobre de entre los cuatro y al segundo concursante que elija un sobre de entre los tres restantes. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el primer concursante obtenga premio?. b) ¿Y de que lo obtenga el segundo?. c) ¿Y de que obtengan premio los dos?. Razone los resultados. 1 1 1 Solución: P( PP ∩ P P ) = ; b) P( PP ∩ PP ) = ; c) P(PP) = . 2 2 6

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22.- Se dispone una baraja española de 40 cartas; se saca una carta y, sin devolverla a la baraja, se saca otra. Calcula la probabilidad de que las dos cartas extraídas sean oros. C10, 2 3 = . Solución: P = C 40, 2 32 23.- Una urna contiene 3 bolas rojas y 2 blancas y otra urna contiene 7 bolas rojas y 4 blancas. Se saca una bola de cada urna y se mira el color. Construya el espacio muestral adecuado a esta experiencia, para calcular la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Las dos bolas son blancas. b) Las dos bolas son del mismo color. 6 29 2 4 2 4 3 7 Solución: a) P = . = ; b) P = . + . = 5 11 55 5 11 5 11 55 24.- Un cartero reparte al azar tres cartas entre tres destinatarios. Calcule la probabilidad de que al menos una de las tres cartas llegue a su destino correcto. 1 1 Solución: P = = . 6 P3 25.- Se lanzan dos dados. Construye el espacio muestral asociado a esta experiencia. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos: a) Por lo menos uno de los dados es par. b) La suma de los dos dados es par. Solución: E = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),...,(2,6),....(6,6)}. 24 18 a) P = ; b) P = . 36 36 26.- Una urna contiene 3 bolas rojas y 2 verdes y otra urna contiene 2 bolas rojas y 3 verdes. Se toma, al azar, una bola de cada urna. Escriba el espacio muestral. a) ¿Cuál es la probabilidad de ambas bolas sean del mismo color? b) ¿Y la de que sean de distinto color?. 12 13 Solución: a) P(RR∪VV) = ; b) P(RV∪VR) = 25 25 27.- Se considera el experimento de lanzar tres monedas al aire. Escriba un espacio muestral apropiado. a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener por lo menos una cara?. b) ¿Y la de obtener exactamente tres caras?. Solución: E = { (C,C,C), (C,C,X),(C,X,C), (C,X,X),(X,C,C), (X,C,X),(X,X,C), (X,X,X)}. 1 7 1 a) P = 1- = ; b) P = . 8 8 8 28.- Una experiencia consiste en lanzar un dado rojo y uno verde y anotar los puntos de cada uno. Escribe un espacio muestral apropiado para describir esta experiencia. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos: a) El dado rojo es el doble del verde. b) Un dado es el doble del otro. 6 6 Solución: a) P = ; b) P = . 36 36 29.- En una experiencia extrasensorial se pide a un observador que adivine una carta sacada de entre cuatro distintas. Si esta experiencia se realiza dos veces (debe adivinar dos veces consecutivas), construya un espacio muestral adecuado para describir la experiencia. Calcule la probabilidad de que acierte exactamente una carta de las dos y la de que acierte por lo menos una carta de las dos. 6 7 Solución: a) P = ; b) P = . 16 16

PROBABILIDAD

40

30.- Calcula la probabilidad de que al lanzar una moneda tres veces consecutivas aparezcan los siguientes sucesos: a) Las tres veces aparezcan caras. b) La primera vez sea cara y las dos siguientes cruces. c) Obtener únicamente una cara d) Obtener al menos una cara 1 1 3 1 7 Solución: a) P = ; b) P = ; c) P = ; d) P = 1- = . 8 8 8 8 8 31.- Un estudiante se ha preparado 40 temas de los 50 que entran en el examen. Si el examen consiste en elegir tres temas al azar y contestar a uno de ellos, calcula la probabilidad de : a) Que no sepa ninguno de los tres. b) Que pueda contestar al menos a uno c) Que sepa los tres temas. Solución: 32.- Se dispone una bolsa con ocho bolas numeradas del 1 al 8. Se considera el experimento Sacar dos bolas simultáneamente de la bolsa y observar los números extraídos. Construya un espacio muestral asociado a este experimento, para calcular las siguientes probabilidades: a) Los dos números observados son impares. b) Un número es par y otro impar. c) Los dos números son mayores que cuatro. Solución: V 4, 2 V4,1.V4,1 2 8 = ; b) P = = . a) P = V8, 2 14 V8,2 7 33.- Se considera el experimento aleatorio de lanzar dos dados y anotar el resultado de la tirada. a) Halla la probabilidad del suceso "los números de los dos dados son diferentes". b) ¿Son independientes los sucesos "sacar suma par" y "sacar al menos un dos"? 1 5 Solución: a) P(C) = 1- P( C ) = 1- = , 6 6 b) no son independientes ambos sucesos. 34.- Calcula la probabilidad que existe de que al arrojar dos dados al aire, salga: a) En el primero un múltiplo de 3 y en el segundo un número par. b) En el primero un número mayor que múltiplo de 3 y en el segundo un número impar. Solución: 35.- Supongamos que, tras una encuesta realizada en la población andaluza, se ha concluido que si se elige al azar un andaluz la probabilidad de que esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol es de 0,8, la de que esté a favor de la existencia de canales de TV de pago es de 0,4 y la de que esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol y también de la existencia de canales de TV de pago es de 0,3. a) Calcula la probabilidad de que un andaluz esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol o de que esté a favor de la existencia de canales de televisión de pago. b) Calcula la probabilidad de que un andaluz ni esté a favor de la retransmisión de partidos de fútbol ni de la existencia de canales de televisión de pago. Solución: a) P(F∪C) 3 = 0,9, b) P( F ∩ C ) = 0,1. 36.- El 40% de los habitantes de una ciudad va al cine, el 30% va al teatro y el 20% a ambos. a) Si una persona de esa ciudad no va al cine, ¿cuál es la probabilidad de que tampoco vaya al teatro? b) Si una persona no va al teatro, ¿cuál es la probabilidad de vaya al cine? Solución:

PROBABILIDAD

41

CAPÍTULO 3:

PROBABILIDAD CONDICIONADA 3.1.- PROBABILIDAD CONDICIONADA 1- Definición Si la información aumenta la incertidumbre de que ocurra o no A varía, y como la probabilidad mide las posibilidades de realización de A, la probabilidad también varía. Si se sabe que B ha sucedido el número de casos posibles disminuye, de tal forma que se tiene la siguiente definición. •

Dados dos sucesos A y B se llama probabilidad de B condicionada a A, y se designa como P(A/B) al valor: P(A/B) =

P(A∩ B) P(B)

con P(B) ≠ 0

que mide las veces que ocurre A entre las que ha ocurrido B. •

De igual forma se define probabilidad de A condicionada a B, la designaremos por P(B/A) al valor: P(B/A) =

P(A∩ B) con P(A) ≠ 0 P(A)

2.- Propiedades De las relaciones anteriores se obtiene que: P(A∩B) = P(A). P(B/A) P(A∩B) = P(B). P(A/B)

EJEMPLOS 1.- De una bolsa con 6 bolas rojas y 4 verdes se extraen sucesivamente dos bolas. Halla la probabilidad de que la segunda sea roja con la condición de que la primera sea roja. Resolución: Tenemos los sucesos R1 = “sacar primera bola roja” y R2 = “sacar segunda bola roja” y hallamos: 6 3 P(R1) = = 10 5 C 6.5 1 P(R1 ∩R2) = 6, 2 = = C10,2 3 10.9 P(R2/R1) =

P(R 1 ∩ R 2 ) 1/ 3 5 = = 3/5 9 P(R 1 )

PROBABILIDAD

42

2.- Un estudiante hace dos pruebas el mismo día. La probabilidad de que pase la primera prueba es 0,6, la de que pase la segunda es de 0,8 y la de que pase ambas es 0,5, a) Calcula la probabilidad de que no pase ninguna prueba. b) Calcula la probabilidad de que pase la segunda prueba si no ha superado la primera. Resolución: Consideremos los sucesos: A = "Pasar la primera prueba" B = "Pasar la segunda prueba"

a) Nos piden calcular la probabilidad de no pase ninguna de los pruebas, es decir P( A ∩ B ). Aplicando las leyes de "De Morgan" obtenemos: P( A ∩ B ) = P( A ∪ B ) Como A ∪ B es el suceso contrario de A∪B debemos hallar la probabilidad de éste. P(A∪B) = P(A)+P(B) - P(A∩B) = 0,8 + 0,6 - 0,5 = 0,9 Obteniendo que la probabilidad de que no pase ninguna prueba es: P( A ∩ B ) = P( A ∪ B ) = 1 - P(A∪B) = 1 - 0,9 = 0,1

b) Nos piden la probabilidad del suceso P(B/ A ) que aplicando la fórmula de la P(B ∩ A) . Como la intersección probabilidad condicionada queda: P(B/ A ) = P(A) de un suceso con el suceso seguro es él mismo B = E∩B y como E = A∪ A , aplicando la propiedad distributiva de la intersección respecto de la unión tenemos que: B = E∩B = B ∩ (A ∪ A) = (B ∩ A) ∪ B ∩ A) Hallamos la probabilidad del suceso anterior considerando que ambos son independientes, ya que la intersección de un suceso con su complementario es el vacío, y obtenemos: P(A) = P(B∩A) + P(B∩ A ) ⇒ P(B∩ A ) = P(B) - P(B∩A) Queda pues, aplicando la propiedad de la probabilidad de un suceso y su contrario queda: P(B) - P(B ∩ A) 0,8 - 0,5 P(B ∩ A) = = = 0,75 P(B/ A ) = 1 − 0,6 1 − P(A) P(A)

3.- En cierta ciudad el 30% de la población tiene ojos azules, el 40% tiene cabellos rubios y el 20% tiene ojos azules y cabellos rubios. a) Si tiene cabellos rubios, ¿cuál es la probabilidad de que tengan ojos azules? b) Si tiene ojos azules, ¿cuál es la probabilidad de que no tengan cabellos rubios? c)¿Cuál es la probabilidad de que no tenga cabellos rubios ni ojos azules? Resolución: Construimos la siguiente tabla auxiliar, donde los sucesos viene dados en porcentajes, siendo éstos: C = "tener cabellos rubios" PROBABILIDAD

43

C = "no tener cabellos rubios" A = "tener ojos azules " A = "no tener ojos azules "

A

A

C

0,20

0,20

0,40

C

0,10

0,50

0,60

0,30

0,70

1,00

a) La probabilidad de que tengan ojos azules si tiene cabellos rubios es: P(A ∩ C) 0,20 1 = = P(A/C) = 0,40 2 P(C)

b) La probabilidad de que no tengan cabellos rubios si tiene ojos azules es: P(C ∩ A) 0,10 1 = = P(C/ A ) = 0,30 3 P(A)

c) La probabilidad de que no tenga cabellos rubios ni ojos azules es, tal como se ve en la tabla: P( C ∩ A ) = 0,50

4.- En una empresa hay 90 mujeres y 110 hombres que se reparten entre fumadores y no fumadores según la tabla adjunta. Si se desea elegir una mujer para un cargo, ¿cuándo es más sencillo, si no se ponen condiciones, si se exige que sea no fumadora o si se exige que sea fumadora?. Hombres

Mujeres

Fumadores

80

20

No fumadores

40

60

Resolución: Para resolver este tipo de problemas lo mejor es realizar una tabla auxiliar con las sumas parciales H

M

F

80

20

100

No F

40

60

100

120

80

200

La probabilidad de que sea mujer si no se ponen condiciones será: 80 2 P(M) = = 200 5 Para hallar las otras probabilidades, debemos calcular:

PROBABILIDAD

44

P(M/F) = P(M/ F) =

P(M ∩ F) 20 1 = = 100 5 P(F) P(M ∩ F)

=

60 3 = 100 5

P( F) Es decir que exigir que sea no fumador aumenta las posibilidades de elegir una mujer, y exigir que sea fumador disminuye las probabilidades

5.- Una emisora de televisión emite dos series: A y B. La serie A la ve el 20% de la población, mientras que la B sólo la ve el 15%, pero mientras el 70% de los que empiezan a ver la A la sigue hasta el final, en cambio el 80% de los que empiezan a ver la B la acaban. a) ¿Cuál es la probabilidad que se haya seguido la serie hasta el final? b) Una persona nos dice que no terminó de ver la serie que había empezado, ¿cuál es la probabilidad de que estuviera viendo la serie A? Resolución: Construimos la siguiente tabla auxiliar, donde los sucesos viene dados en porcentajes, siendo éstos: A = "ver la serie A" B = "ver la serie B" T = "acaban de ver la serie" T = "no acaban de ver la serie" A

B

T

0,14

0,12

0,26

T

0,06

0,03

0,09

0,20

0,15

0,35

Tal como se observa en la tabla anterior

a) La probabilidad de vea la serie hasta el final es: P(T/A) + P(T/B) =0,14+0,12 = 0,26

b) La probabilidad de que estuviera viendo la serie A si ha no acabado de ver la serie sería: P(A ∩ T) 0,06 2 = = P(A/ T ) = 0,09 3 P(T )

6.- Se dispone de un mazo de 450 fichas de estudiantes de una escuela de idiomas. Cada estudiante cursa un solo idioma de los 3 que se imparten. El número de mujeres es 3/2 del de hombres y los estudiantes de inglés representan el 80% del alumnado. El número de estudiantes de francés duplica al de alemán. Sea M el suceso "sacar una ficha de mujer" al extraer una ficha, al azar del citado mazo, (análogamente, sean H, I, F y A sacar hombre, inglés, francés y alemán, respectivamente). Sabiendo que M/A es el suceso seguro y que M/F y H/F son equiprobables, determina: a) Probabilidad de F; probabilidad de M∩I. b) Probabilidad de F/M. Resolución: PROBABILIDAD

45

De las condiciones del problema obtenemos:

•

Las 450 fichas nos indican el número de estudiantes. Al cursar cada uno un único idioma y ser el número de mujeres (m) 3/2 del número de hombres (h) cumplen la condición: 5 2 3 m + h = 450 ⇒ h + h = 450 ⇒ h = 450 ⇒ h = .450 = 180 5 2 2 3 2 m = . .450 = 270 2 5

•

Si los estudiantes de inglés representan el 80% del alumnado su número es: 8 .450 = 360 i= 10

•

Si el número de estudiantes francés duplican al de alemán: a + f = 450-360 = 90 ⇒ a+2a = 90 ⇒ 3a = 90 ⇒ a = 30 f = 2a = 2.30 = 60

•

Si M/A es el suceso seguro: P(M ∩ A) P(M/A) = 1 ⇒ = 1 ⇒ P(M∩A) = P(A) P(A) es decir, no hay hombres que estudien alemán.

•

Si M/F y H/F son equiprobables: P(M ∩ F) P(H ∩ F) P(M/F) = P(H/F) ⇒ ⇒ P(M∩F) = P(H∩F) = P(F) P(F) Hay el mismo número de mujeres que hombres estudiando Francés.

•

Los datos del Inglés se rellenan por diferencia con los totales obteniendo la tabla auxiliar: I

F

A

M

210

30

30

270

H

150

30

0

180

360

60

30

450

a) La probabilidad de F (se observa en la tabla) es: 30 2 = P(F) = 450 15 La probabilidad de M∩I es: 210 7 P(M∩I) = = 450 15

b) La probabilidad de F/M es: 30 1 = P(F/M) = 270 9

PROBABILIDAD

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- En el experimento aleatorio consistente en lanzar dos dados, se pide determinar la probabilidad condicionada de obtener un número par en ambos dados cuando su suma es 6. 2 / 36 2 Solución: P(A/B) = = 5 / 36 5 2.- De los sucesos A y B de un experimento aleatorio, se sabe que P(A) = 0,6, P(B) = 0,3 y P(A∩B) = 0,2 . Calcula P(A/B), P(A/A∩B), P(A∩B/A∪B) y P(A/A∪B). 2 2 6 Solución: a) ; b) 1; c) ; d) . 3 7 7 2.- La distribución de hombres y mujeres que fuman o no en una ciudad sigue la tabla adjunta. Hombres Mujeres Fumadores 25 60 No fumadores 75 40 a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrarse con una persona no fumadora?, b) ¿Cuál la de encontrarse con una mujer sabiendo que es fumadora?. 115 60 / 200 Solución: a) P(F) = , b) P(M/F) = 200 85 / 200 3.- En un pueblo hay 100 personas de ambos sexos cuya situación laboral viene dada por la tabla adjunta. Hombres Mujeres Activo 40 45 En paro 5 10 a) ¿Cuál es la probabilidad de encontrarse con una persona activa? b) ¿Cuál es la de encontrarse con una mujer que esté en situación activa? 85 45 17 9 Solución: a) P(A) = = , b) P(A∩M) = = 20 100 55 11 4.- En un colegio hay 1000 alumnos de los cuales 300 saben inglés, 100 saben ruso y 50 ambos idiomas. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno sepa inglés si sabe ruso? 0,05 Solución: P(I/R) = = 0,50 0,10 5.- Si en un colegio hay 1000 alumnos de los cuales a 200 les gusta el baloncesto y el fútbol y al 30% de los que les gusta el fútbol no les gusta el baloncesto ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno no sea aficionado al fútbol? Solución: P( F ) = 1 - 0,82 = 0,18. 6.- En un hotel hay 200 clientes, de los cuales 40 son españoles, y el resto extranjeros. Son rubios 5 españoles y el 40% de los extranjeros. Si un cliente es extranjero ¿cuál es la probabilidad de que sea rubio? 2 Solución: P(R/Ext) = . 5 7.- Una determinada población está formada, a partes iguales, por hombres y mujeres. La probabilidad de que un individuo de esa población no lea ningún periodo es 0,25. Además el porcentaje de individuos que o bien leen algún periódico o bien son hombres es el 95%. Se elige, al azar, una persona. a) Halla la probabilidad de “ser hombre y leer algún periódico”. b) Halla la probabilidad de que lea algún periódico, sabiendo que es hombre. 3 Solución: a) P(L∩H) = 0,3; b) P(L/H) = = 0,6 5

PROBABILIDAD

47

3.2.- EXPERIMENTOS COMPUESTOS 1.- Definición Un experimento compuesto es aquel que es posible descomponer en varios experimentos simples. Por ejemplo el lanzamiento de varias monedas o dados al aire, extraer varias cartas de una baraja. En tales experimentos el espacio muestral se obtiene a partir de los espacios muestrales de los experimentos simples que lo forman La probabilidad de que realicen dos sucesos A y B simultáneamente, probabilidad compuesta, es: P(A∩B) = P(A). P(B/A)

2.- Sucesos independientes Se dice que dos o mas pruebas son independientes cuando el resultado de cada una de ellas no influye en el resultado de las otras. • Si dos pruebas son independientes se cumple que: P(A∩B) = P(A). P(B) • Si tres pruebas son independientes se cumple que: P(A∩B∩C) = P(A). P(B). P(C)

3.- Sucesos dependientes Se dice que dos o mas pruebas son dependientes cuando el resultado de cada una de ellas influye en el resultado de las otras. • Si dos pruebas son dependientes se cumple que: P(A∩B) = P(A). P(B/A) • Si tres pruebas son dependientes se cumple que: P(A∩B∩C) = P(A). P(B/A). P(C/A∩B)

EJEMPLOS 1.- Halla el espacio muestral del experimento aleatorio compuesto lanzar dos monedas al aire por separado. Resolución: Como los espacios muestrales de cada experimento simple son E={C,X} se obtiene: E = {CC, CX, XC, CC}

2.- Calcula la probabilidad de sacar, sin devolución, 2 cartas de oros de una baraja española . Resolución: Aplicamos la Regla de Laplace teniendo en cuenta que hay 10 oros y 40 cartas, en la primera extracción y 9 oros y 39 cartas en la segunda extracción si la primera ha sido un oro. 10 9 3 . = P(O1).P(O2 /O1) = 40 39 52

3.- Calcula la probabilidad de sacar, con devolución, 2 cartas de oros de una baraja española . Resolución:

PROBABILIDAD

48

Aplicamos la Regla de Laplace teniendo en cuenta que hay 10 oros y 40 cartas, en la primera extracción y lo mismo en la segunda extracción si la primera ha sido un oro. 10 10 1 = . P(O1).P(O2 /O1) = 40 40 16

4.- Se extraen sucesivamente y sin reemplazamiento dos cartas de una baraja española. ¿Cuál es la probabilidad de obtener dos caballos? Resolución: Si tomamos C1 = "obtener caballo en la 1ª tirada" y C2 ="obtener caballo en la 2ª tirada" lo que deseamos es hallar la probabilidad de C1 ∩ C2 teniendo en cuenta que C2 depende de C1. La probabilidad de obtener caballo en la 1ª 4 tirada será ya que hay cuatro caballos y son en total 40 cartas. La 40 3 ya que quedan tres probabilidad de obtener caballo en la 2ª tirada será 39 caballos y 39 cartas. Luego: 4 3 1 P(C1 ∩ C2) = P(C1).P(C2/C1) = . = 40 39 130

5.- De una bolsa con 6 bolas rojas y 4 verdes se extraen sucesivamente dos bolas. Halla la probabilidad de que la segunda sea roja con la condición de que la primera sea roja. Resolución: Tenemos los sucesos: R1 = “sacar primera bola roja” R2 = “sacar segunda bola roja” Hallamos: 6 3 P(R1) = = 10 5 6 5 1 . = 10 9 3 P(R 1 ∩ R 2 ) 1 / 3 5 P(R2/R1) = = = 3/5 9 P(R 1 )

P(R1 ∩ R2) =

6.- De una bola con 3 bolas rojas y 5 verdes se extraen sucesivamente dos bolas. Hallar la probabilidad de que: a) Las dos sean rojas. b) Las dos sean verdes. c) La primera sea roja y la segunda verde. d) Una sea roja y otra verde. Resolución: a) Hallamos la probabilidad del suceso sacar segunda bola roja condicionado a que la primera sea también roja. 3 2 3 P(R1 ∩ R2) = P(R1).P(R2/R1) = . = 8 7 28 b) Hallamos la probabilidad del suceso sacar segunda bola verde condicionado a que la primera sea también verde. 5 4 3 P(V1 ∩ V2) = P(V1).P(V2/V1) = . = 8 7 14

PROBABILIDAD

49

c) Hallamos la probabilidad del suceso sacar segunda bola verde condicionado a que la primera sea roja. 3 5 15 P(R1 ∩ V2) = P(R1).P(V2/R1) = . = 8 7 56 d) Es el suceso obtener la primera bola roja y la segunda verde o viceversa. 3 5 5 3 15 P(R1∩V2) +P(V1∩ R2)=P(R1).P(V2/R1) +P(V1).P(R2/V1) = . + . = 8 7 8 7 28

7.- El temario de una oposición consta de 100 temas. En el momento del examen se sortean dos y el opositor debe responder obligatoriamente a los dos temas que le han tocado en suerte. Calcula cuántos temas, como mínimo, debe estudiar un opositor para que la probabilidad de saberse los dos temas que le toquen sea superior a 0,5. Resolución: Consideremos los sucesos: A1 = "saber el primer tema" A2 = "saber el segundo tema" Si el número de temas que se sabe el opositor conoce es n, utilizando la regla de Laplace la probabilidad de que acierte el primer tema es: n C P(A1) = F = 100 CP la probabilidad de que se sepa también el segundo tema, habiendo acertado el primero, será: n- 1 C P(A2/A1) = F = 99 CP donde hemos usado la regla de Laplace y el hecho de que ahora sólo quedan n-1 temas que sepa y 99 temas posibles. Luego la probabilidad de que acierte los dos: n n- 1 n(n- 1) . = P(A1).P(A2/A1) = 100 99 9900 Para que la probabilidad de saberse los dos temas que le toquen sea 0,5: n(n- 1) = 0,5 ⇒ n2-n = 4950 ⇒ n2-n-4950 = 0 9900 con soluciones n=-69,86 y n=70,86 Es decir que el opositor debe estudiar, como mínimo 71 temas para que la probabilidad de saberse los dos temas que le toquen sea superior a 0,5.

8.- Se considera el experimento aleatorio de lanzar dos dados y anotar el resultado de la tirada. ¿Son independientes los sucesos "sacar suma par" y "sacar al menos un dos"? Resolución: El espacio muestral asociado al experimento de lanzar dos dados y anotar el resultado es: E = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),...,(2,6),....(6,6)} con 36 resultados equiprobables. Si llamamos A = "sacar suma par" será: A = { (1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6)}

PROBABILIDAD

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con 18 resultados. Su probabilidad es: 18 1 P(A) = = 36 2 Si llamamos B = "sacar al menos un dos" será: B = {(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)} cuya probabilidad es: 11 P(B) = 36 Si ambos suceso son independientes se debe verificar que: P(A∩B) = P(A).P(B) como el suceso A∩B = {(2,2),(2,4),(2,6),(4,2),(6,2)} su probabilidad es: 5 P(A∩B) = 36 11 1 11 y como P(A).P(B)= . = 72 2 36 5 11 vemos que ≠ 36 72 luego no son independientes ambos sucesos.

9.- Halla la probabilidad de obtener 3 caras al lanzar tres monedas al aire Resolución: Podemos suponer que las monedas se lanzan una a una con lo cual tendríamos tres sucesos independientes: 3

⎛1⎞ 1 P(3 caras) = P(Cara).P(Cara).P(Cara) = P(Cara)3 = ⎜ ⎟ = ⎝2⎠ 8

10.- La caja A contiene 8 pilas de las cuales 3 están descargadas y la caja B contiene 5 pilas de las cuales 2 están descargadas. Se saca al azar una pila de cada caja. ¿Cual es la probabilidad de que una pila esté descargada y la otra no? Resolución: El esquema anterior representa la distribución de las pilas cargadas y descargadas en las cajas A y B. Consideremos los siguientes sucesos: CA = "la pila extraída de la caja A está cargada" DA = "la pila extraída de la caja A está descargada" CB = "la pila extraída de la caja B está cargada" DB = "la pila extraída de la caja B está descargada" Nos piden la probabilidad del suceso: "una pila esté descargada y la otra no", es decir: P[(CA∩DB)∪(DA∩CB)] = P(CA∩DB) + (DA∩CB) - P(CA∩DB∩DA∩CB) = Como CA y CB son independientes CA∩CB = Φ, Como DA y DB son independientes DA∩DB = Φ, por lo tanto CA∩DB∩DA∩CB = Φ y queda: 5 2 3 3 19 P[(CA∩DB)∪ (DA∩CB)] = . + . = 40 8 5 8 5

PROBABILIDAD

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EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Se extrae, sin devolución, una bola blanca de una urna compuesta por 2 bolas blancas y 6 negras. ¿Cuál es la probabilidad de que si se extraen a continuación tres bolas, una sea blanca? 6 5 4 3 Resolución: P =1 - . . = 7 6 5 7 2.- En una ciudad se publican dos periódicos A y B. La probabilidad de que una persona lea un periódico A es 0,1, la probabilidad de que lea el B es 0,1 y la probabilidad de que lea ambos es 0,02, a) Calcula la probabilidad de que una persona no lea ningún periódico. b) Calcula la probabilidad de que una persona que ha leído alguno de los periódicos lea también el otro. 1 0,02 Resolución : a) P= 1-0,18 = 0,82, b) = 0,10 5 3.- La caja A contiene 6 pilas de las cuales 3 están descargadas y la caja B contiene 4 pilas de las cuales 2 están descargadas. Se saca al azar una pila de cada caja. a) ¿Cuál es la probabilidad de que ambas pilas estén descargadas? b) ¿Cual es la probabilidad de que una pila esté descargada y la otra no? 3 2 3 2 3 2 1 1 Resolución : a) P = . = , b) P = . + . = 6 4 6 4 6 4 4 2 4.- Para tratar cierta enfermedad se dispone de dos medicamentos, con efectos independientes 1 1 y . Se entre sí, cuyas probabilidades de sanar a un paciente son respectivamente 3 2 administran los 2 dos medicamentos a tres enfermos. a) Halla la probabilidad de que al menos uno de ellos se cure. b) Halla la probabilidad de que al menos uno de ellos no se cure. 1 1 1 26 Resolución: a) P = 1- . . = , 3 3 3 27 2 2 2 19 b) P = 1- . . = 3 3 3 27 5.-Se lanza una moneda dos veces. a) Halla la probabilidad de que en ambas tiradas salga cruz b) Sabiendo que en al menos una de las tiradas sale cara, ¿cuál es la probabilidad de que en ambas salga cara? 1 1 1/ 4 Resolución: a) P = , b) P = = 4 3/ 4 3 6.- Para aprobar un examen hay que contestar 2 preguntas elegidas al azar sobre un total de 30 propuestas. Si un estudiante ha estudiado únicamente 20 temas ¿cuál es la probabilidad de que el alumno supere el examen?. 20 19 38 Resolución: P = . = 30 29 87 7.- Calcula la probabilidad de obtener tres ases al extraer tres cartas de una baraja española. 4 3 2 1 Resolución: P = . . = 40 39 38 2470 8.- Laura y Pedro se reparten al 45% y 55% respectivamente los ejercicios de Matemáticas. Sabemos que Laura falla un 10% y Pedro un 8% de los ejercicios respectivamente. a) Halla la probabilidad de que algún ejercicio de los que realizan esté mal resuelto. b) Halla la probabilidad de que un ejercicio esté bien resuelto. Resolución: P = 0,45.0,1+0,55.0,08 = 0,089

PROBABILIDAD

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3.3.- PROBABILIDAD TOTAL 1.- Sistema completo de sucesos Se llama sistema completo de sucesos a n sucesos Ai tales que: • Su unión es el espacio muestral E: A1∪..∪An •

Los sucesos A1 ...An son incompatibles dos a dos: Ai ∩Aj = φ, ∀ i ≠ j

2.- Teorema de probabilidad total Sea E el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio, A1,.., An un sistema completo de sucesos y S un suceso cualquiera, se cumple que: P(S) = P(A1).P(S/A1) + ... + P(An).P(S/An)

EJEMPLOS 1.- En una casa hay tres llaveros, el primero con 3 llaves, el segundo con 4 llaves y el tercero con 5. Sólo una llave de cada llavero abre la puerta de la calle. Se escoge al azar un llavero y de él una llave. ¿Cuál es la probabilidad de que podamos abrir la puerta? Resolución: Consideremos los sucesos A = "escoger el primer llavero" B = "escoger el segundo llavero" C = "escoger el tercer llavero" P = “abrir la puerta” Tal como se ve en la figura adjunta tenemos que 1 P(A) = P(B) = P(C ) = 3 1 P(P/A) = 3 1 P(P/B) = 4 1 P(P/C) = 5

1/3 1/3 1/3

P

A P 1/4

P

B P

1/3

1/5

P

C P

Como el conjunto formado por los sucesos A, B y C forman un sistema completo de sucesos, para hallar la probabilidad de que P = “abrir la puerta” utilizamos el Teorema de la probabilidad total. La probabilidad pedida es: 47 1 1 1 1 1 1 P(P) = P(A).P(P/A)+ P(B).P(P/B) +P(C). P(P/C) = . + . + . = 3 3 3 4 3 5 180

2.- De los turistas que visitan Málaga, el 60% hace el viaje en avión, el 30% lo hace por carretera y el 10% lo hace por tren. De los que viajan en avión el 70% va a las playas de la costa occidental. De los que viajan por carretera el 80% va a las playas de la costa occidental. De los que viajan por tren el 50% va a las playas de la costa occidental. Si se selecciona al

PROBABILIDAD

53

azar un turista que ha visitado Málaga, ¿cuál es la probabilidad de que haya estado en las playas de la costa occidental?

0 ,7

Solución: Consideremos los sucesos A = "llegar en avión", C = "llegar por carretera", T = "llegar en tren", O = "ir a la costa occidental " O = "no ir a la costa occidental ".

A 0 ,6 0 ,3 0 ,1

Tal como se ve en la figura adjunta tenemos que P(A).P(O/A) = 0,6.0,7 = 0,42 P(C).P(O/C) = 0,3.0,8 = 0,24 P(T).P(O/T) = 0,1.0,5 = 0,05

0 ,3

O O

0 ,8

O

0 ,2

O

T 0 ,5

O

0 ,5

O

C

Como el conjunto formado por los sucesos T, O y C forman un sistema completo de sucesos, para hallar la probabilidad de que sea defectuoso utilizamos el Teorema de la probabilidad total. Luego la probabilidad de que haya estado en las playas de la costa occidental es: P(O) = P(A).P(O/A)+ P(C).P(O/C) + P(T).P(O/T) = 0,42 + 0,24 + 0,05 = 0,71

3.- Una empresa de productos lácteos elabora sus productos en tres factorías A, B y C. Las cuotas de producción de cada factoría (Porcentaje de la producción total que se fabrica en cada factoría) y el porcentaje de productos defectuosos son los siguientes: A

B

C

Cuotas de producción

0,35

0,4

0,25

Envasado defectuoso

0,02

0,01

0,03

Si se toma un producto al azar ¿cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? Solución: Consideremos los sucesos A = “elaborar en la factoría A” B = “elaborar en la factoría B” C = “elaborar en la factoría C” D = "ser producto defectuoso" D = "no ser producto defectuoso". Tal como se ve en la figura adjunta tenemos que P(A).P(D/A) = 0,35.0,02 = 0,007 P(B).P(D/B) = 0,4.0,01 = 0,004 P(C).P(D/C) = 0,25.0,03 = 0,075 Como el conjunto formado por los sucesos A, B y C forman un sistema completo de sucesos, para hallar la probabilidad de que sea defectuoso utilizamos el Teorema de la probabilidad total: P(D) = P(A).P(D/A)+P(B).P(D/B)+P(A).P(D/C) = 0,007+0,004+0,0075 = 0,0185

4.- Una determinada enfermedad puede estar provocada por 3 causas, A, B o C, en las proporciones 30%, 20% y 50'% respectivamente. (En cada enfermo sólo se presenta una de estas 3 causas). El tratamiento de esta enfermedad requiere hospitalización en el 20% de los casos si está provocada por A, en el 55% si la causa es B y en el 10% si la causa es C. PROBABILIDAD

54

¿Cuál es la probabilidad de que un enfermo cualquiera de la citada enfermedad no necesite hospitalización? Solución: Consideremos los sucesos A = “estar provocado por la causa A” B = “estar provocado por la causa B” C = “estar provocado por la causa C” H = "necesita hospitalización" H = "no necesita hospitalización". Tal como se ve en la figura adjunta tenemos que P(A∩ H ) = P(A).P( H /A) = 0,3.0,8 = 0,24 P(B∩ H ) = P(B).P( H /B) = 0,2.0,45 = 0,09 P(C∩ H ) = P(C).P( H /C) = 0, 5.0,9 = 0,45 Como el conjunto formado por los sucesos A, B y C forman un sistema completo de sucesos, para hallar la probabilidad de no necesite hospitalización utilizamos el Teorema de la probabilidad total: P( H ) = P(A).P( H /A)+ P(B).P( H /B) + P(A).P( H /C) = 0,24 + 0,09 + 0,45 = 0,78

5.- Una fabrica de tornillos dispone de dos máquinas que elaboran el 25% y el 75% respectivamente. El porcentaje de tornillos defectuosos es del 4% y del 2% respectivamente. Halla la probabilidad de que el tornillo sea defectuoso. Resolución: Consideremos los siguientes sucesos: M1 = "el tornillo está fabricado por la máquina 1" M2 = "el tornillo está fabricado por la máquina 2" D = "el tornillo es defectuoso”. N = "el tornillo es normal”. Tal como se ve en la figura adjunta tenemos que P(M1).P(D/M1) = 0,25.0,04 = 0,01 P(M2).P(D/M2) = 0,75.0,02 = 0,015 Como el conjunto formado por los sucesos M1 y M2 forman un sistema completo de sucesos, para hallar la probabilidad de no necesite hospitalización utilizamos el Teorema de la probabilidad total: P(D) = P(M1).P(D/M1)+ P(M2).P(D/M2) = 0,01 + 0,015 = 0,025

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- Laura y Pedro se reparten al 45% y 55% respectivamente los ejercicios de Matemáticas. Sabemos que Laura falla un 10% y Pedro un 8% de los ejercicios respectivamente. a) Halla la probabilidad de que algún ejercicio de los que realizan esté mal resuelto. b) Halla la probabilidad de que un ejercicio esté bien resuelto. Resolución: a) P = 0,45.0,1+0,55.0,08 = 0,089. b) P = 0,45.0,9+0,55.0,92 = 0,911. 2.- Un estudiante oye del despertador en el 80% de los casos. Si lo oye se presenta al examen en el 90% y en caso contrario en un 50% de los casos. a) ¿Cual es la probabilidad de que se presente al examen? b) ¿Cual es la probabilidad de no se presenta al examen? Solución: a) P(E)= 0,8.0,9+0,2.0,5 = 0,82; b) P( E ) = 0,8.0,1+0,2.0,5 = 0,18

PROBABILIDAD

55

3.- En un sistema de alarma la probabilidad de que haya un incidente es de 0,1. Si éste se produce, la probabilidad de que suene la alarma es de 0,95. La probabilidad de que suene la alarma sin que se produzca un incidente es de 0,03. Calcula la probabilidad de que suene la alarma. Solución: P = 0,95.0,1+0,03.0,9 = 0,122 4.- Si se aplica la máquina de la verdad en los interrogatorios la probabilidad de que ésta acierte es del 0,95 si mienten y del 0,99 si dicen la verdad. Calcula la probabilidad de que la máquina acierte si el individuo preguntado pertenece a un grupo del que el 10% miente. Solución: P = 0,99.0,9+0,95.0,1 = 0,986 5.- Un trabajador llega tarde a la oficina con una probabilidad del 20% si suena el despertador y con probabilidad del 90% si no suena. Sabiendo que el despertador suena el 80% de los días, halla la probabilidad de que llegue: a) tarde a la oficina. b) temprano a la oficina. c) tarde a la oficina y haya sonado el despertador. Solución: a) P = 0,34, b) 0,66, c) 0,16 6.- Se prueban tres vacunas en un grupo de personas, el 30% la vacuna A1, el 20% la vacuna A2 y el 50% la vacuna A3 respectivamente. El porcentaje de personas que han contraído la enfermedad es del 23%, 17% y 39% respectivamente. Halla la probabilidad de que una persona esté enferma. Solución: P(E) = 0,3.0,23+0,2.0,17+0,5.0,39 = 0,298 7.- El volumen de fabricación de bombillas de 3 plantas de una fábrica es de 2000, 1000 y 500 unidades respectivamente. Si el porcentaje de bombillas defectuosas es del 2%, 1% y 0,5% respectivamente, halla la probabilidad de que una bombilla escogida al azar seas defectuosa. 20 2 10 1 5 5 3 . + . + . = . Solución: P(D) = 35 100 35 100 35 1000 200 8.- En un instituto existe un Bachillerato con las modalidades de Ciencias, Letras y Artes. En la primera evaluación aprueban todas las asignaturas el 5% de los alumnos de Ciencias, el 10% de Letras y el 20% de Artes. Estudian Ciencias el 20% de los estudiantes, Letras el 30% y Artes el 50%. Tomado un estudiante cualquiera al azar, se pide la probabilidad de que: a) Haya aprobado y sea de Ciencias. b) Haya aprobado. Solución: a) 0,01, b) 0,14 9.- En un almacén de papelería se reciben bolígrafos de 3 plantas diferentes A, B y C. Si el porcentaje de bolígrafos defectuosos es del 3%, 2% y 1% respectivamente, halla la probabilidad de que un bolígrafo elegido al azar sea defectuoso si en los controles de calidad de la fábrica A se detectan el 70%, de la fábrica B el 80% y de la fábrica C el 90% de los bolígrafos defectuosos respectivamente. Solución: 10.- En una caja de ahorros se han concedido en un mes 150 créditos al consumo, 350 créditos hipotecarios y 500 créditos para empresa siendo la probabilidad de que resulten fallidos 0,2, 0,1 y 0,15 respectivamente. Halla la probabilidad de que un crédito resulte fallido. Solución: P(F) = 0,15.0,2+0,35.0,1+0,50.0,15 = 0,14. 11.- Disponemos de 3 urnas y de10 bolas , 5 blancas y 5 negras. Distribuimos las bolas de la siguiente manera: En la 1ª urna ponemos 1 bola blanca y 1 bola negra. En la 2ª urna ponemos 3 bolas blancas y 2 bolas negras. En la 3ª urna ponemos 1 bola blanca y 2 bolas negras. De una de las urnas, elegida al azar, se extrae una bola. Halla la probabilidad de que la bola elegida sea negra. 1 1 2 1 2 1 47 . Solución: P = . + . + . = 2 3 5 3 3 3 90 PROBABILIDAD

56

3.4.- TEOREMA DE BAYES Si tenemos n sucesos A1 ...An incompatibles dos a dos y tales que su unión es el espacio muestral E y un suceso cualquiera S siendo P(A1),...,P(An) no nulas se cumple que: P(Ai/S) =

P(A i )P(S/A i ) P(A 1 )P(S/A 1 ) + ... + P(A i )P(S/A i ) + ... + P(A n )P(S/A n )

EJEMPLOS 1.- Una fabrica de tornillos dispone de dos máquinas que elaboran el 25% y el 75% respectivamente. El porcentaje de tornillos defectuosos es del 4% y del 2% respectivamente. Halla la probabilidad de que el tornillo haya sido fabricado por la máquina 1 si sabemos que es defectuoso. Resolución: Consideremos los siguientes sucesos: M1 = "el tornillo está fabricado por la máquina 1" M2 = "el tornillo está fabricado por la máquina 2" D = "el tornillo es defectuoso”. N = "el tornillo es normal”. Nos piden la probabilidad del suceso: "el tornillo está fabricado por la máquina 1 si es defectuoso", tal como se ve en la figura podemos aplicar el Teorema de Bayes: P(M 1 ).P(D/M 1 ) 0,25.0,04 = = 0,4 P(M1 /D) = P(M 1 ).P(D/M 1 ) + P(M 2 ).P(D/M 2 ) 0,25.0,04 + 0,75.0,02

2.- En un sistema de alarma la probabilidad de que haya un incidente es de 0,1. Si éste se produce, la probabilidad de que suene la alarma es de 0,95. La probabilidad de que suene la alarma sin que se produzca un incidente es de 0,03. Calcula la probabilidad de que no haya habido incidente si ha funcionado la alarma. Resolución: Consideremos los siguientes sucesos: I = "Se produce incidente". I = " No se produce incidente". A = "Suena la alarma”. A = " No suena la alarma ". Nos piden la probabilidad del suceso: "no hay incidente pero ha sonado la alarma ", tal como se ve en la figura podemos aplicar el Teorema de Bayes: P( I /A) =

P(I).P(A/I) 0,9.0,03 = = 0,22 P(I).P(A/I) + P(I).P(A/I) 0,1.0,95 + 0,9.0,03

3.- Se prueban tres vacunas en un grupo de personas, el 30% la vacuna A1, el 20% la vacuna A2 y el 50% la vacuna A3 respectivamente. El porcentaje de personas que han contraído la enfermedad es del 23%, 17% y 39% respectivamente. Halla la probabilidad de que si una persona está sana haya probado la vacuna A3.

PROBABILIDAD

57

Resolución: Consideremos los sucesos A1 = “haber probado la vacuna A1” A2 = “haber probado la vacuna A2” A3 = “haber probado la vacuna A3” E = "contraer enfermedad" S = "permanecer sano". Nos piden la probabilidad del suceso: "la persona se ha puesto la vacuna 3 si está sana", tal como se ve en la figura podemos aplicar el Teorema de Bayes: P(A 3 ).P(S/A 3 ) P(A3/S) = P(A 1 ).P(S/A 1 ) + P(A 2 ).P(S/A 2 ) + P(A 3 ).P(S/A 3 ) 0,5.0.61 = = 0,43 0,3.0.77 + 0,2.0.85 + 0,5.0,61

4.- De los turistas que visitan Málaga, el 60% hace el viaje en avión, el 30% lo hace por carretera y el 10% lo hace por tren. De los que viajan en avión el 70% va a las playas de la costa occidental. De los que viajan por carretera el 80% va a las playas de la costa occidental. De los que viajan por tren el 50% va a las playas de la costa occidental. Si se selecciona al azar un turista que ha visitado Málaga y que ha estado en las playas de la costa occidental, ¿cuál es la probabilidad de que haya viajado en tren? Resolución: Consideremos los sucesos A = "llegar en avión", C = "llegar por carretera", T = "llegar en tren", O = "ir a la costa occidental " O = "no ir a la costa occidental ".

0 ,7

A 0 ,6 0 ,3

Nos piden la probabilidad del suceso: "se ha llegado en tren si ha estado en la costa occidental", tal como se ve en la figura. Para hallarlo podemos aplicar el Teorema de Bayes: P(T ∩ O) P(T).P(O/T) 0,05 = = = 0,07 P(T/O) = 0,71 P(O) P(O)

0 ,1

0 ,3

O O

0 ,8

O

0 ,2

O

T 0 ,5

O

0 ,5

O

C

5.- Una empresa de productos lácteos elabora sus productos en tres factorías A, B y C. Las cuotas de producción de cada factoría (Porcentaje de la producción total que se fabrica en cada factoría) y el porcentaje de productos defectuosos son los siguientes: A

B

C

Cuotas de producción

0,35

0,4

0,25

Envasado defectuoso

0,02

0,01

0,03

Si se sabe que es defectuoso cuál es la probabilidad de que se haya fabricado en A. Resolución: Consideremos los sucesos A = “elaborar en la factoría A”

PROBABILIDAD

58

B = “elaborar en la factoría B” C = “elaborar en la factoría C” D = "ser producto defectuoso" D = "no ser producto defectuoso". Nos piden la probabilidad del suceso: "se ha fabricado en A si está defectuoso", tal como se ve en la figura. Para hallarlo podemos aplicar el Teorema de Bayes: P(A ∩ D) P(A).P(D/A) 0,007 = = = 0,38 P(A/D) = 0,0185 P(D) P(D)

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.- En una casa hay tres llaveros el primero con 3 llaves, el segundo con 4 llaves y el tercero con 5, los que sólo una de cada llavero abre la puerta de la calle. Se escoge al azar un llavero y de él una llave. Si la llave elegida es correcta ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca al primer llavero? 1 1 . 20 3 3 = Solución: P = 1 1 1 1 1 1 47 . + . + . 3 3 3 4 3 5 2.- En un congreso hay tres nacionalidades. 30 de los asistentes son españoles, 45 franceses y 25 portugueses, el 40% de los españoles, 50% de los franceses y 60% de los portugueses están a favor de la resolución final. Si un asistente elegido al azar está a favor de la resolución final. ¿Cuál es la probabilidad de que sea español? 0,3.0,4 Solución: P = = 0,24 0,3.0,4 + 0,45.0,50 + 0,25.0,60 3.- Laura y Pedro se reparten al 45% y 55% respectivamente los ejercicios de Matemáticas. Sabemos que Laura falla un 10% y Pedro un 8% de los ejercicios respectivamente. Halla la probabilidad de que el ejercicio esté realizado por Pedro sabiendo que está mal resuelto. 0,55.0,08 Solución: P = = 0,494 0,45.0,1 + 0,55.0,08 4.- Tres máquinas A, B y C fabrican un 1%, 2% y 3% respectivamente de tornillos defectuosos. Se mezclan 20 tornillos de la máquina A, 40 de la B y 60 de la C. Sabemos que el tornillo es defectuoso. Halla la probabilidad de que el tornillo haya sido fabricado por la máquina B. 40 2 . 2 1 20 100 = Solución: P = 20 1 40 2 60 3 7 . + . + . 120 100 120 100 120 100 5.- En una Universidad acaba la carrera el 5% de los estudiantes de Ingeniería, el 10% de Ciencias y el 20% de Letras. Se sabe que el 20% estudia Ingeniería, el 30% Ciencias y el 50 % Letras. Halla la probabilidad de que si ha acabado la carrera sea un estudiante de Ingeniería. 1 0,2.0,05 Solución: P = = 0,2.0,05 + 0,3.0,1 + 0,5.0,2 14 6.- Se prueban tres medicamentos en un grupo de personas, el 30% el medicamento A, el 20% el medicamento B y el 50% el medicamento C, respectivamente. El porcentaje de personas que han contraído la enfermedad después de usar medicamentos es el 23%, 17% y 39% respectivamente. Halla la probabilidad de que una persona sana haya utilizado el medicamento C. 0,5.0.61 = 0,43 Solución: P = 0,3.0.77 + 0,2.0.85 + 0,5.0,61 PROBABILIDAD

59

3.5.- EJERCICIOS DEL TEMA 1.- En una ciudad se publican dos periódicos A y B. La probabilidad de que una persona lea un periódico A es 0,1, la probabilidad de que lea el B es 0,1 y la probabilidad de que lea ambos es 0,02, a) Calcula la probabilidad de que una persona no lea ningún periódico. b) Calcula la probabilidad de que una persona que ha leído alguno de los periódicos lea también el otro. 1 Solución: a) P( A ∩ B )= 0,82, b) P(A∩B/A∪B) = 9 2.- Dados los sucesos A y B de un mismo espacio muestral, se sabe que: P( A ∪ B ) = 0,7 P(A) = 0,4 P(A∪B) = 0,8 a) Comprueba si los sucesos A y B son independientes. b) Calcula la probabilidad de que sólo se verifique uno de los dos sucesos Solución: b) P(A∩ A )+P(B∩ A ) = 0,5 3.- Sean A y B dos sucesos, tales que P(A)=0,5 y P(B)=0,6 y P(A ∩ B)=0,25 a) ¿Son A y B independientes? Calcula P(Ac∩B). b) Calcula las probabilidades condicionadas P(A/B) y P(A/Bc), siendo Bc el suceso contrario de B. Solución: a) P( A ∩B) = 0,35, b) P(A/ B ) = 0,625. 4.- Se sabe que, en una cierta población, la probabilidad de que un hombre tenga estudios universitarios es 0,30 y que la probabilidad de que una mujer tenga estudios universitarios es 0,20. Si los hombres representan el 48% de la población, calcula las probabilidades de los siguientes sucesos: a) Una persona elegida al azar posee estudios universitarios. b) Que sea hombre una persona de la que se sabe que no posee estudios universitarios. Solución: a) P(E) = 0,248, b) P(H/ E ) = 0,447 5.- Dados los sucesos A y B, se sabe que P(A) = 0,4, P(A U B) = 0,8 y P( A U B ) = 0,7 donde A y B representan respectivamente los sucesos contrarios de A y B. a) Calcula la probabilidad de que ocurra sólo uno de los sucesos A y B. b) Comprueba si los sucesos A y B son independientes. Solución: a) P[(A∩ B )∪ (B∩ A )] = 0,5, b) A y B no son independientes. 6.- Una empresa monta televisores con piezas procedentes de las fábricas F o G. En el primer caso la probabilidad de que el televisor no tenga averías en cinco años es 0,9 y en el segundo caso 0,7. El 40 % de los televisores se montan con piezas de la fabrica F. Halla la probabilidad de que un televisor, que no ha tenido averías durante cinco años, se haya montado con piezas de la fábrica G. 0,6.0.7 Solución: P = = 0,54. 0,6.0.7 + 0,4.0.9 7.- La probabilidad de que una persona adquiera en una librería un diario es de 0,6; la probabilidad de que no adquiera una revista es de 0,5; la probabilidad de que adquiera una revista dado que ya ha adquirido un diario es de 0,3. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Que no adquiera un diario cuando ha adquirido una revista. b) Que adquiera una revista cuando no ha adquirido un diario. Solución: a) P( A /B) = 0,64, P(B/ A ) = 0,8. 8.- Se sabe que en una cierta población, la probabilidad de que un hombre esté en paro vale 0,15 y la probabilidad de que una mujer esté en paro es de 0,25. Si la proporción de personas de cada sexo es la misma, calcula las probabilidades de los siguientes sucesos: a) Una persona elegida al azar está en paro.

PROBABILIDAD

60

b) Que sea un hombre, si se sabe que no está en paro. Solución: a) P(P) = 0,2, P(H/ P ) = 0,53125. 9.- La probabilidad de que una persona adquiera en una librería un diario es de 0.4; la probabilidad de que no adquiera una revista es de 0.3, la probabilidad de que adquiera ambas publicaciones es de 0.2. Calcula la probabilidad de los siguientes sucesos: a) Que adquiera sólo un diario. b) Que adquiera al menos una publicación. c) Que no adquiera un diario cuando ha adquirido una revista. d) Que adquiera una revista cuando no ha adquirido un diario. 5 5 Solución: a) P(A∩ B ) = 0,2, b) P(A∪B) 0,9, c) P( A /B) = , d) P(B/ A ) = . 7 6 10.- Ana, Juan y Raúl, que están esperando para realizar una consulta médica, sortean, al azar, el orden en que van a entrar. a) Calcula la probabilidad de que los dos últimos en entrar sean hombres. b) Determina si son independientes los sucesos S1 y S2, siendo: S1: "la mujer entra antes que alguno de los hombres". S2: "los dos hombres entran consecutivamente". 1 Solución: a) P = , b) No son independientes. 3 11.- Una determinada enfermedad puede estar provocada por 3 causas, A, B o C, en las proporciones 30%, 20% y 50'% respectivamente. (En cada enfermo sólo se presenta una de estas 3 causas). El tratamiento de esta enfermedad requiere hospitalización en el 20% de los casos si está provocada por A, en el 55% si la causa es B y en el 10% si la causa es C. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un enfermo cualquiera de la citada enfermedad no necesite hospitalización?. b) Si un enfermo está hospitalizado, ¿cuál es la probabilidad de que la causa sea A? 0,3.0,2 = 0,27 Solución: a) P( H ) = 0,24 + 0,09 + 0,45 = 0,78, b) P(A/H) = 1 − 0,78 12.- En una urna hay 8 bolas negras y 5 bolas blancas. a) Calcula la probabilidad de que al extraer dos bolas, con reemplazamiento, la 1ª sea negra y la 2ª blanca. b) Calcula la probabilidad de que al extraer dos bolas, sin reemplazamiento, la 1ª sea negra y la 2ª blanca. 40 10 Solución: a) P(N1∩B2) = , b) P(N1∩B2) = 169 39 13.- Dados dos sucesos A y B independientes y de probabilidad no nula, justifica si son ciertas las siguientes afirmaciones: a) P( A / B) = P(A) b) P( B/A) = P( B) c) P( A ∪ A ) = 0,5 Solución: a) Sólo si P(A) = 0,5, b) Sí c) No. 14.- Se lanza una moneda tres veces seguidas. Se pide : a) Calcula la probabilidad de que el número de caras obtenidas sea 2. b) Calcula la probabilidad de que el número de caras obtenidas sea 0. 3 1 Solución: a) P(A) = , b) P(B) = 8 8 15.- Un experimento consiste en lanzar un dado y extraer una bola de una urna que contiene dos bolas blancas y una roja. Se pide: a) Construye un espacio muestral adecuado a dicho experimento. b) Calcula la probabilidad de los sucesos: A = {Obtener un número par y una bola roja} PROBABILIDAD

61

B = {Obtener un múltiplo de 3 y una bola blanca}. Solución: a) E ={ (1,B), (1,R), (2,B), (2,R), ...., (6,B), (6,R)} b) P(A) =

1 1 , P(B) = 6 9

16.- En un hospital hay 60 enfermos. De ellos 30 tiene gripe, 20 hepatitis y 10 artritis. Se seleccionan al azar tres enfermos. Calcula la probabilidad de que: a) Los tres padezcan la misma enfermedad. b) Los tres padezcan enfermedades diferentes. 266 300 , b) P = Solución: a) P = 1711 1711 17.- Una familia tiene dos hijos. Suponiendo que la probabilidad de ser varón es igual a la de ser mujer, se pide: a) Calcula la probabilidad de que ambos hijos sean varones. b) Sabiendo que al menos uno de ellos es varón calcula la probabilidad de que lo sean los dos 1 1 1 4 = Solución: a) P(V1∩V2) = , b) P(V1∩V2/V1∪V2) = 1 1 1 4 3 + − 2 2 4 18.- Se dispone de dos urnas A y B. En la urna A hay diez bolas, numeradas del 0 al 9 y en la urna B hay seis bolas numeradas del 0 al 5. Se lanza una moneda equilibrada, de forma que si sale cara se extrae una bola de la urna A y si sale cruz de la urna B. a) Calcula la probabilidad de obtener una cara y un 6. b) Calcula la probabilidad de obtener una cruz y un 5. 1 1 Solución: a) P(A∩C6) = , b) P(B∩C5) = 20 12 19.- Se extraen, sucesivamente y sin reposición, dos cartas de una baraja española (40 cartas). a) Calcula la probabilidad de que la primera carta sea oros y la segunda no b) Calcula la probabilidad de que sólo una de las dos sea copas. Solución: 5 5 , b) P(S) = a) P(O1∩ O 2 ) = 26 13 20.- En un dado se pintan de blanco las caras 1, 2, 4 y 5 y de azul las restantes. ¿Cuál es la probabilidad de que al arrojar al aire dos veces el dado, salga?: a) Las dos caras azules b) La primera azul y la segunda blanca c) La primera blanca y la segunda azul d) Las dos caras blancas Solución: 21.- ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar el dado del ejercicio anterior salga?: a) Las tres veces azul. b) Las dos primeras blanco y la última azul. Solución: 22.- ¿Cuál es la probabilidad de que al arrojar al aire dos veces al aire un dado cualquiera, salga?: a) Las dos veces múltiplo de 2 b) Las dos veces múltiplo de 3 c) Las dos veces múltiplo de 2 ó 3 Solución: 23.- Un producto está formado por 3 partes: A, B, C. La probabilidad de un defecto en A es 0,03, de un defecto en B de 0,04 y de un defecto en C de 0,02. ¿cuál es la probabilidad de que el producto no sea defectuoso? Solución:

PROBABILIDAD

62

24.- La probabilidad de que una persona sea rubia es 0,4 y la probabilidad de que tenga los ojos negros es 0,3. Halla la probabilidades de que: a) Sea rubia y tenga los ojos negros b) Sea rubia o tenga los ojos negros c) Que tres personas sean rubias b) Que dos personas sean rubia o tengan los ojos negros Solución: 25.- En una empresa hay un 35% que lee revistas, un 28% que lee periódicos y un 10% que lee ambas. Si se elige al azar un trabajador cual es la probabilidad de que: a) Lea periódicos o revistas. b) No lea periódicos ni revistas. c) Lea revistas sabiendo que no lee periódicos. d) Lea revistas sabiendo que lee periódicos. e) Lea periódicos o revistas, pero no ambos. Solución: a) P = 0,35+0,28-0,1 = 0,53, b) P = 1-0,53=0,47, c) P = 0,35, d) P = 0,36, e) P = 0,25+0,18 = 0,43. 26.- Halla la probabilidad de sacar un rey y un caballo en la extracción de dos cartas de la baraja española. Solución: 27.- En un país el 20% de los trabajadores trabaja en la agricultura, el 25% en la industria y el resto en el sector servicios. Un 80 % de los que trabajan en el campo, 70% de los que trabajan en la industria y 60% de los que trabajan en los servicios son hombres. ¿Cuál es la probabilidad de que elegido un trabajador al azar pertenezca al sector servicios si es un hombre? Solución: 28.- En una caja de ahorros se han concedido en un mes 150 créditos al consumo, 350 créditos hipotecarios y 500 créditos para empresa siendo la probabilidad de que resulten fallidos 0,2, 0,1 y 0,15 respectivamente. Halla la probabilidad de que un crédito sea al consumo si ha resultado fallido. Solución: 29.- Se tiene 3 urnas A con 1 bola blanca y 3 negras, B con 2 bolas blancas y con 2 negras y C con 3 bolas blancas y 1 negra. Halla la probabilidad de que si la bola obtenida es negra la urna sea la primera. 1 3 . 1 3 4 = Solución: P = 1 3 1 2 1 1 2 . + . + . 3 4 3 4 3 4 30.- De una bola con 2 bolas rojas y 4 azules se extraen sucesivamente dos bolas. Halla la probabilidad de que: a) Las dos sean rojas. b) Las dos sean azules. c) La primera sea azul y la segunda roja. d) Una sea azul y otra roja. 2 1 4 3 4 2 4 2 2 3 Solución: a) . b) . c) . d) . + . 6 5 6 5 6 5 6 5 6 5 31.- En un Instituto existen tres grupos de 2º de Bachillerato. El primero está compuesto por 10 alumnos de los que 7 prefieren la música "moderna", 2 prefieren la "clásica' y 1 que no le gusta la música. En el segundo, compuesto por 12 alumnos, la distribución de preferencias es 5, 7, 0, respectivamente; y en el tercero, formado por 14 alumnos, la distribución de preferencias es 6, 6 y 2, respectivamente. Se elige un grupo al azar y se regalan dos entradas para un concierto de música clásica a dos alumnos seleccionados al azar. a) Halla la probabilidad de que las entradas se regalen en el primer grupo.

PROBABILIDAD

63

b) Halla la probabilidad de que los dos alumnos elegidos sean aficionados a la música moderna. c) Si los dos alumnos agraciados son efectivamente aficionados a la música clásica, ¿cuál es la probabilidad de que procedan del primer grupo? 1 Solución: a) P(X) = , b) P(MM) = 0,261, c) P(X/CC) = 0,044 3 32.- Un trabajador llega a su empresa en autobús con una probabilidad del 70% o en automóvil. Si llega en autobús la probabilidad de que llegue tarde es del 10%, si llega en automóvil la probabilidad de que llegue tarde es del 40%. Si llega tarde. ¿Cuál es la probabilidad de que haya llegado en autobús?, ¿y en automóvil? 7 12 0,7.0,1 0,3.0,4 = , P(C/T)= = Solución: P(A/T)= 0,7.0,1 + 0,3.0,4 19 0,7.0,1 + 0,3.0,4 19 33.- Se prueban dos vacunas en un grupo de personas, el 50% la vacuna A y el 50% la vacuna B respectivamente. El porcentaje de personas que han contraído la enfermedad es del 13%, si se aplica la vacuna A y el 17% la vacuna B. Halla la probabilidad de que si una persona está sana haya probado la vacuna A. Solución: 34.- Una persona aprueba un examen con una probabilidad del 20% si no estudia y con probabilidad del 90% si estudia, sabiendo que la probabilidad de que estudie es el 80%. Halla la probabilidad de que apruebe el examen si ha estudiado. Solución: 35.- A un congreso médico asisten oculistas y pediatras. Sabemos que 240 médicos son andaluces, 135 son navarros y 225 son canarios. El número total de pediatras es 315. De los andaluces, 96 son oculistas y, de los navarros, son oculistas 75. Hemos elegido un médico canario, ¿cuál es la probabilidad de que sea oculista? 114 Solución: P = 225 36.- La caja A contiene 6 bolas blancas y 4 negras y la caja B contiene 4 blancas y 8 negras. La probabilidad de escoger la caja A es 1/3 y la caja B es de 2/3. a) ¿Cual es la probabilidad de obtener una bola blanca de la caja B? b) ¿Cual es la probabilidad de obtener una bola blanca? 2 4 1 6 2 4 19 . Solución: a) P = . , b) P = . + . = 3 12 3 10 3 12 45 37.- El tren español de alta velocidad, más conocido como AVE, asegura tal puntualidad, que devuelve el precio del billete a los usuarios si tiene un retraso de más de 5 minutos. Supongamos que la probabilidad de que un tren AVE se retrase más de ese tiempo es de 0,01 cuando circula de Sevilla a Madrid y de 0,017 cuando circula de Madrid a Sevilla. Si a una persona le devuelven el dinero, ¿cuál es la probabilidad de viaje de Madrid a Sevilla? Solución: 38.- En un supermercado, el 70% de las compras las realizan mujeres; de las compras realizadas por éstas, el 80% supera las 2000 pta, mientras que de las compras realizadas por hombres sólo el 30% supera esa cantidad. Se sabe que un ticket de compra no supera las 2000 pta, ¿cuál es la probabilidad de que la compra haya sido hecha por una mujer? Solución: 39.- En un instituto existe un Bachillerato con las modalidades de Ciencias, Letras y Artes. En la primera evaluación aprueban todas las asignaturas el 5% de los alumnos de Ingeniería, el 10% de Letras y el 20% de Artes. Estudian Ciencias el 20% de los estudiantes, Letras el 30% y Artes el 50%. Tomado un estudiante cualquiera al azar, se pide la probabilidad de que si ha aprobado sea de Ciencias. 0,01 = 0,071 Solución: P = 0,14

PROBABILIDAD

64

CAPÍTULO 4:

DISTRIBUCIONES DISCRETAS 4.1.- DISTRIBUCIONES DISCRETAS 1.- Variable aleatoria Si consideramos un experimento aleatorio y su espacio muestral E asociado se llama variable aleatoria a cualquier función definida de E en el conjunto de números reales tal que a cada resultado aleatorio se le asigna un número real. Si a cada elemento del espacio muestral (suceso) le asociamos su probabilidad teórica obtenemos una distribución de probabilidad. Dependiendo del número de valores que tome la variable aleatoria, podemos clasificarla en: • Discreta: cuando toman un conjunto finito o infinito pero numerable de valores x1, ..., xn. • Continua: cuando puede tomar un conjunto infinito de valores xi.

2.- Función de probabilidad Definición Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria a la aplicación que asocia a cada valor de la variable aleatoria xi su probabilidad pi. La función de probabilidad de una variable aleatoria discreta se representa gráficamente mediante un diagrama de barras, representándose la variable xi en el eje de abscisas y la probabilidad pi en el eje de ordenadas.

Propiedades 1.- 0 ≤ pi ≤ 1, por ser una probabilidad. n

2.- Toda función de probabilidad verifica

∑p

i

=1

i =1

3.- Función de distribución Definición Sea X una variable aleatoria discreta, cuyos valores están ordenados de forma creciente. Se llama función de distribución de X a la función que asocia a cada valor de la variable aleatoria x (donde x es un número cualquiera) la probabilidad acumulada hasta ese valor. Se escribe F(X) y cumple: F(Xi) = P(X≤xi)

Propiedades 1.- 0 ≤ F(X) ≤ 1, por ser una probabilidad. 2.- F(X) es constante entre dos valores consecutivos de la variable, por lo tanto es una función escalonada. 3.- F(X) = 0 para todo valor de la variable aleatoria menor al mínimo valor que toma ésta. 4.- F(X) = 1 para todo valor de la variable aleatoria posterior al máximo valor que toma ésta. 5.- F(X) es creciente.

PROBABILIDAD

65

EJEMPLOS 1.- Halla la función de probabilidad asociada al lanzamiento de un dado de parchís al aire observando la cara obtenida. Resolución: La función de probabilidad es la de la tabla adjunta., ya que todos los valores son equiprobables.

xi

1

2

3

4

5

6

P(X=xi)

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

1 6

2.- La distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta viene dada por la tabla adjunta. Halla m para que efectivamente se trate de un función de probabilidad. xi

1

2

3

4

5

6

P(X=xi)

1 6

2 6

m

1 12

1 12

1 6

Resolución: Para que efectivamente se trate de una función de probabilidad ha de ocurrir que la suma de P(X) sea 1, por lo tanto: 1 2 1 1 1 10 10 2 1 + +m+ + + = 1 ⇒ m+ = 1 ⇒ m = 1= = 6 6 12 12 6 12 12 12 6 La función de probabilidad es la de la tabla adjunta.

xi

1

2

3

4

5

6

P(X=xi)

1 6

2 6

1 6

1 12

1 12

1 6

3.- Un miembro del consejo de administración de una empresa ha comprobado que si bien todos los años hay una junta, existen años en que el número de reuniones asciende hasta 5. El número de juntas obedece, según su experiencia a la distribución de la tabla adjunta

Resultado

1

2

3

4

5

Probabilidad

2/15

5/15

1/15

3/15

4/15

a) Halla la función de probabilidad y su representación. b) Halla la función de distribución y su representación. c) La probabilidad de que la variable sea mayor que 3. Resolución: a) La función de probabilidad es la de la tabla adjunta.

xi

1

2

3

4

5

P(X=xi)

2 15

5 15

1 15

3 15

4 15

La representación de la función de probabilidad es la de la figura adjunta.

PROBABILIDAD

66

b) La función de distribución es la de la tabla adjunta, donde acumulamos los valores de la probabilidades de los resultados anteriores.

X

1

2

3

4

5

F(X)

2/15

7/15

8/15

11/15

1

Su representación es la de la figura adjunta:

c) Probabilidad de que la variable sea mayor que 3: P(X>3) = P(X=4) + p(X=5) = = 3/15+4/15 = 7/15 = 0,466

4.- Halla la función de probabilidad asociada a la variable aleatoria anotar el mayor número obtenido que aparece en el lanzamiento de al aire de 2 dados de parchís. Efectúa su representación gráfica Resolución: El experimento consta de 36 resultados equiprobables, E = {(1,1), (1,2),...,(2,1),...,(6,6)}. En cada lanzamiento obtenemos un par (a, b) siendo la variable X = máx(a, b), por lo tanto X∈{1,2,3,4,5,6}.

1 ya que aplicando la regla de 36 Laplace los casos favorables son 1 ({1,1}) y los posibles son 36. La 3 probabilidad asociada al 2 es P(X=2) = ya que aplicando la regla de 36 Laplace los casos favorables son 3 ({1,2,(2,2),(2,1)}). Los demás se calculan de forma similar. La probabilidad asociada al 1 es P(X=1) =

La función de probabilidad es la de la tabla adjunta.

xi

1

2

3

4

5

6

P(X=xi)

1 36

3 36

5 36

7 36

9 36

11 36

6.- Halla la función de probabilidad del experimento consistente en lanzar un dardo a una diana de 10 círculos concéntricos, que se observa en la siguiente tabla. Resultado

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Probabilidad 1/100 1/100 1/100 2/100 4/100 8/100 1/10 2/10 24/100 24/100 5/100

Dibuja dicha función. Resolución: La función de probabilidad es la de la tabla adjunta, donde acumulamos los valores de la probabilidades de los resultados anteriores.

X

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

F(X) 0,01 0,02 0,03 0,05 0,09 0,17 0,27 0,47 0,71 0,95

10 1

La gráfica de la función es:

PROBABILIDAD

67

7.- La gráfica de la función de distribución, F(x), de una variable aleatoria discreta X es la adjunta.

Obtén la correspondiente función de probabilidad. Resolución: Como la función de distribución de X es la función F(x) = P(X≤x), que asocia a cada valor de la variable aleatoria x la probabilidad acumulada hasta ese valor debemos hallar la tabla asociada a dicha gráfica. Como la función de probabilidad P de una variable aleatoria discreta X a la aplicación que asocia a cada valor de la variable aleatoria xi su probabilidad pi. La hallamos desacumulando los totales de la tabla correspondiente a la función de distribución. La función de distribución es la de la tabla adjunta: X

F(x)

x