Aplicaciones de E.D de Orden 1 Greivin Hern´andez G. 26 de agosto de 2016

1.

Ejercicios

1.1.

Segunda Ley de Newton

Definici´ on: Se define el momento de un objeto como el producto de su masa por su velocidad, es decir: p(t) = m(t)v(t) La segunda ley del movimiento de Newton nos dice que: “El cambio en el momento de un objeto, con respecto al tiempo, es proporcional a la fuerza neta que se est´a ejerciendo sobre el objeto, y lleva la misma direcci´ on”. El caso particular en que la masa del objeto es constante, se obtiene la siguente ecuaci´on: X mv 0 (t) = Fk k

donde Fk representa una fuerza aplicada sobre el objeto. 1. Un cuerpo, de 25 gramos de masa, se deja caer desde una cima de 250 metros de alto. (a) Encuentre la velocidad y distancia recorrida 3 segundos despu´es de empezar su movimiento. (b) ¿Cu´anta distancia recorre el cuerpo entre el tercero y cuarto segundos, y entre el 4 y el quinto?. (c) ¿En qu´e tiempo y con qu´e velocidad llega el cuerpo a la tierra? 2. Un velero, junto con su u ´nico ocupante, tiene una masa de 60 kg. Suponga que el viento le aplica al velero una fuerza constante de 750 N y que la fuerza que act´ ua sobre el velero, debida a la resistencia del agua, es proporcional a su velocidad instant´anea y es tal que a 3 m/s la fuerza de la resistencia es de 225 N. Si el velero sale con una velocidad inicial de 2 m/s, determine: (a) La m´axima velocidad que puede alcanzar el velero. (b) La distancia que recorre el velero en cualquier instante del tiempo y la recorrida al cabo de 16 segundos. 3. Un hombre y su bote de motor pesan juntos 1120 libras. Suponga que el empuje del motor es una fuerza constante de 120 libras en la direci´on del movimiento. Si la resistencia del agua al movimiento es 7 veces la velocidad instant´ anea, en pies/s, y si inicialmente el bote estaba en reposo, encuentre: la velocidad del bote en cualquier instante y su velocidad l´ımite, la distancia recorrida por le bote en cualquier instante. 4. Un objeto es arrastrado por el hielo sobre un trineo cuyo peso total, incliudo el trineo, es de 80 libras. Suponga que se desprecia la resistencia del hielo y que le aire opone una resistencia en libras igual a 5 veces la velocidad del trineo. Si el trineo parte del reposo: (a) plantee una ecuaci´on diferencial y las condiciones asociadas al problema, (b) determine la fuerza constante F que debe ejercerce sobre el trineo para que su velocidad l´ımite sea de 15 pies/seg; (c) ¿cu´al es la velocidad y la distancia recorrida al cabo de t segundos?

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1.2.

Ley de Enfriamiento de Newton

Ley de enfriamiento de Newton: la tasa de cambio de la temperatura de un cuerpo es proporcional, en el tiempo, a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la del ambiente en el que se sit´ ua. As´ı, si definimos: x(t) := temperatura del cuerpo en el instante t, T := temperatura del ambiente, y k := constante de proporcionalidad, se cumple que: x0 (t) = k(x(t) − T ), o simplemente x0 = k(x − T ) Usando lo antes descrito, resuelva lo que se le solicita: 1. Un vino tinto se saca de la bodega, que es un lugar fresco y se mantiene a 10◦ C, y se deja reposar en un cuarto con temperatura de 23◦ C. ¿en qu´e momento la temperatura del vino ser´a de 18◦ C, si transcurridos 10 minutos la temperatura es de 15◦ C? 2. Un term´ ometro se lleva del interior de una habitaci´on al exterior, donde la temperatura del aire es de 5◦ C. Despu´es de un minuto, el term´ometro indica 55◦ C; cinco minutos despu´es marca 30◦ C. Determine la temperatura del interior de la habitci´on. 3. Si una barra met´ alica peque˜ na, cuya temperatura inicial es de 20◦ C, se deja caer dentro de un recipiente con agua hirviente. ¿Cu´ anto tardar´a en alcanzar 90◦ C si se sabe que su temperatura aumento dos grados en un segundo? ¿Cu´ anto tardar´a en llegar a los 98◦ C? 4. Un cuerpo a una temperatura desconocida se coloca en un cuarto que se mantiene a una temperatura constante de 30 grados F. Si despu´es de 10 y 20 minutos, la temperatura del cuerpo es de 0◦ F y de 15◦ F respectivamente, hallar la temperatura inicial del cuerpo. 5. Suponga que un forense que llega a la escena de un crimen determina que a temperatura del cad´aver es de 82◦ . Proponga datos adicionales, pero veros´ımiles, para determinar una hora aproximada de la muerte de la v´ıctima.

1.3.

Mezclas

En los problemas de mezclas se desea calcular la cantidad de una sustancia, x(t), que hay en un tanque en cada instante del tiempo t. Como la derivada de x respecto a t expresa la raz´on de cambio de la sustancia presente en el tanque se cumple la relaci´ on: x0 (t) = velocidad de entrada − velocidad de salida Dada la velocidad a la que un fluido que contiene la sustancia entra en el tanque y la concentraci´on de la sustancia, se cumple la relaci´ on: velocidad de flujo entrante × concentraci´on = velocidad de entrada Suponiendo que la concentraci´ on de la sustancia es uniforme, para calcular la concentraci´on se divide x(t) por el volumen de la mezcla que hay en el instante t. As´ı: velocidad de flujo saliente × concentraci´on = velocidad de salida 1. El agua del r´ıo Aguadulce fluye hacia el lago Magdalena a raz´on de 300 g/min. El lago Magdalena contiene aproximadamente 100 millones de galones de agua. La fumigaci´on de los naranjales cercanos ha ocasionado que la concentraci´ on de plaguicidas en el lago llegue a ser de 35 partes por mill´on. Si se suspende la aplicaci´ on de plaguicidas, ¿cuanto tiempo transcurrir´a antes de que la concentraci´on de los mismos en el lago est´e por debajo de 10 partes por mill´on? 2

2. Un tanque contiene 200 litros de agua donde se han disuelto 30 gramos de sal y le entran 4 l/min de soluci´ on con un gramo de sal por litro; bien mezclado de ´el sale l´ıquido con el mismo caudal. Calcule la cantidad y concentraci´ on de sal dentro del tanque en cualquier momento. 3. La corriente sangu´ınea lleva un medicamento hacia el interior de un ´organo a raz´on de 3cm3 /seg y sale de ´el a la misma velocidad. Se sabe que el volumen del ´organo es de 125cm3 y la concentraci´on del medicamento que entra es de 0,2g/cm3 . ¿Cu´al es la concentraci´on del medicamento en el ´organo si inicialmente no hab´ıa vestigio del mismo?. ¿Cuando la concentraci´on ser´a de 0,1g/cm3 ? 4. Un tanque contiene 60 galones de agua pura. Una soluci´on con 3 libras de sal por gal´on entra a dos galones por minuto, y luego la mezcla del tanque sale a 2.5 galones por minuto. Encuentre la concentraci´ on de sal en el tanque en cualquier momento, encuentre la concentraci´ on de sal cuando el tanque tenga 30 galones de agua salada, encuentre la cantidad de agua en tanque cuando se tenga la m´axima concentraci´on, Determine la m´ axima cantidad de sal que se pueda alcanzar. 5. Un tanque se encuentra parcialmente lleno con 100 galones de salmuera, con 10 libras de sal disuelta. Le entra salmuera con media libra por gal´on de sal a un flujo de 6 gal/min. El contenido del tanque est´ a bien mezclado y de ´el sale un flujo de 4gal/min de soluci´on. Calcule la cantidad de sal que hay en el tanque transcurridos 30 minutos.

1.4.

Reacciones Qu´ımicas

Supongamos que se combinan a gramos de la sustancia A con b gramos de una sustancia B. Si para formar x(t) gramos de la sustancia C se necesitan m partes de A y n partes de B, los gramos de las sustancias A y B que quedan en cualquier momento son, respectivamente: a−

m x(t) m+n

y

b−

n x(t) m+n

seg´ un la ley de aci´ on de masas, la cual dice que “la velocidad a la cual se lleva a cabo una reacci´on qu´ımica es proporcional al producto de los reactivos restantes”, la rapidez de reacci´on se apega a la ecuaci´on:    m n 0 x (t) ∝ a − x(t) b− x(t) m+n m+n m n Si sacamos m+n del primer factor y a m+n del segundo factor, y adem´as introducimos la constante de proporcionalidad k > 0, la ecuaci´ on anterior se puede escribir como:

x0 = k(α − x)(β − x) donde α = a(m + n)/m y β = b(m + n)/n.

1. Un qu´ımico A se tranforma en el qu´ımico B. La tasa a la cual se transforma var´ıa directamente con la cantidad de A presente en cualquier instante. Si 10 libras de A est´an presentes en el inicio y si 3 libras se tranforman en B en una hora: (a) ¿Qu´e cantidad de A se transforma despu´es de 2, 3 y 4 horas?. (b) ¿ En cu´ anto tiempo se transforma el 75 % de A? 2. Cuando se combina dos sustancias, A y B, se forma un compuesto C.La reacci´on entre ambas es tal que por cada gramo de A se usan 4 gramos de B; adem´as se observa que a los 10 minutos se han formado 30 gramos de C. Si al principio habia 50 gramos de A y 32 gramos de B: (a) Calcule la cantidad de C en funci´ on del tiempo. (b) Interprete la soluci´on despu´es de mucho tiempo y determine la cantidad de las sustancias A y B presentes. (c) ¿Qu´e cantidad del compuesto C hay despu´es de 15 minutos?

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3. Dos sustancias, A y B, se combinan para formar la sustancia C. La velocidad de reacci´on es proporcional al producto de las cantidades instant´aneas de A y B que no han reaccionado. Al principio hay 40 gramos de A y 50 gramos de B, en tanto que por cada gramo de B se consumen 2 gramos de A. Se observa que a los 5 minutos se han formado 10 gramos de C. ¿Cu´ anto de C se forma en 20 minutos? ¿Cu´ al es la cantidad l´ımite de C y cuanto de las sustancias A y B quedan al cabo de mucho tiempo? 4. Dos qu´ımicos, A y B, reaccionan para formar otro qu´ımico C. Se encuentra que la tasa a la cual C se forma var´ıa con las cantidades instant´ aneas de los qu´ımicos A y B presentes. La formaci´on requiere 2 gramos de A por cada gramo de B. Si 10 gramos de A y 20 gramos de B est´an presentes inicialmente, y si 6 gramos de C se forman en 20 minutos, encontrar la cantidad del qu´ımico C en cualquier tiempo. 5. El qu´ımico C se produce de una reacci´ on que involucra los qu´ımicos A y B. La tasa de producci´on de C var´ıa con el producto de las cantidades instant´aneas de A y B presentes. La formaci´on requiere 3 lb de A por cada 2 lb de B. Si inicialmente est´an presentes 60 lb de cada qu´ımico A y B y se forman 15 lb de C en 1 hora encontrar: (a) la cantidad de C en cualquier tiempo; (b) la cantidad de C despu´es de 2 horas; la m´ axima cantidad de C que se puede formar.

1.5.

Problemas de Desintegraci´ on

Uno de los m´etodos m´ as precisos de determinar la edad de restos arqueol´ogicos es el m´etodo de Carbono14, basado en que para cualquier organismo vivo una proporci´on constante de ´atomos de carbono est´a formada por el is´ otopo radiactivo C-14. La proporci´on permanece constante durante practicamente toda la vida, y cuando muere el C-14 sigue su proceso de desintegraci´on, con lo que la proporci´on disminuye. Un modelo simple usado para describir el fen´ omeno supone que la cantidad de ´atomos que se desintegran es proporcional a la cantidad de ´ atomos presentes, i.e: N 0 (t) = −kN (t) siendo N (t) la cantidad de C-14 en una muestra en el tiempo t. Si suponemos que N (0) = N0 , al resolver el problema de valores iniciales se obtiene una funci´on del tiempo que representa la cantidad de C-14. A R(t) = kN (t) se le llama tasa de desintegraci´on, y R(0) es la tasa original de desintegraci´on que coincide con la tasa de desintegraci´ on de la materia viva. Sabiendo que la edad media del C-14(se define la edad media como el tiempo necesario para que se desintegre la mitad de una sustancia) es aproximadamente 5600 a˜ nos, resuelva los siguientes casos(donde necesite usar dicha informaci´on): 1. El pb-209, is´ otopo radiactivo del plomo, se desintegra a una raz´on proporcional a la cantidad presente en cualquier tiempo t y tiene una vida media de 3.3 horas. Si al principio habia N0 gramos de plomo, ¿cu´ anto tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 90 % de su mas inicial? 2. Si la vida media del radio es de 1700 a˜ nos y si ´este se desintegra a una velocidad que es proporcional a la cantidad presente, ¿ qu´e porcentaje de radio se puede esperar que quede despu´es de 100, 200 y 200 a˜ nos? 3. El nivel de carb´ on vegetal extra´ıdo en las grutas de Lascaux(Francia) en 1950 dio una medida de 0.91 desintegraciones por minuto y gramo, mientras que la materia viva dio una medida de 6.68 desintegraciones. Calcule la ´epoca en que las grutas estuvieron habitadas. 4. En una cueva en Sud´ africa se encontr´ o un cr´aneo humano junto a los restos de una fogata. Los arque´ ologos creen que la edad del cr´ aneo es igual a la de la fogata. Sabiendo que solo un 2 % de la cantidad original de Carbono-14 queda en la madera, calcule la edad aproximada del cr´aneo.

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1.6.

Crecimiento y Decaimento de Poblaciones

El modelo de crecimiento poblacional de Malthus sugiere que el cambio en una poblaci´on es proporcional a la poblaci´ on existente en cada instante, es decir: p0 (t) = kp(t), donde p(t) representa la poblaci´on. Sin embargo, este modelo es poco preciso para un tiempo muy prolongado, ya que supone que la tasa de mortalidad es nula, por lo que la poblaci´ on crece muy r´apido. Parecer´ıa natural pensar, que la tasa de mortalidad natural tambi´en es proporcional al tama˜ no de la poblaci´on. Sin embargo, debido a otros factores de mortalidad como la desnutrici´ on, los cr´ımenes violentos, desastres naturales y otros, se puede suponer que la tasa de mortalidad es proporcional al n´ umero de interacciones bipartitas. Si la poblaci´on es de tama˜ no p, el n´ umero de estas interacciones es p(p − 1)/2. As´ı, bajo este modelo se cumple que: p0 (t) = ap(t) − bp2 (t), esta ecuaci´ on diferencial se conoce con el nombre de Ecuaci´ on Log´ıstica, pero se le puede encontrar en una manera mas sencilla como: p0 (t) = ap(t)(1 − p(t)), donde a y b son constantes de proporcionalidad. 1. En cualquier momento dado, la cantidad de bacterias en un cultivo crece a una raz´on proporcional a las bacterias presentes. Al cabo de 3 horas se observa que hay 400 individuos. Si pasadas 10 horas, hay 2000 espec´ımenes, ¿cu´ al era la cantidad inicial de bacterias? 2. Un cultivo de bacterias enfermas crece a una tasa que es inversamente proporcional a la ra´ız cuadrada del n´ umero presente. Si hay inicialmene 9 unidades, y si 16 unidades est´an presentes al cabo de 2 d´ıas, ¿en cuanto tiempo habr´ a 36 individuos? 3. La poblaci´ on de una peque˜ na ciudad crece, en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional a la cantidad de habitantes presente en dicho instante. Si la poblaci´on inicial es de 500 habitantes y si ´esta aumenta en un 15 % en 10 a˜ nos, determine: a) La poblaci´ on dentro de 30 a˜ nos b) El intervalo de tiempo que debe transcurrir para que la poblaci´on aumente en un 60 %.

1.7.

Crecimiento Log´ıstico

1. Un animal de laboratorio con una enfermedad contagiosa se introduce en una poblaci´on de 24 animales no infectados. Se sabe que la tasa de crecimiento de la poblaci´on infectada es proporcional al producto de la cantidad de animales infectados con la cantidad de los no infectados. Despu´es de 3 d´ıas resulta otro animal infectado. ¿En cuanto tiempo se espera que est´en infectados 24 animales? Trace la gr´afica de la funci´ on soluci´ on a partir del estudio de su primera y segunda derivada. 2. El 5 % de una Universidad tienen una enfermedad contagiosa y una semana m´as tarde un total del 15 % tiene la enfermedad. Plantee una ecuaci´on diferencial y condiciones que modelen la aplicaci´on y obtenga su soluci´ on. ¿Qu´e porcentaje estar´a contagiada a la tercera semana(suponiendo que hay cuarentena)? 3. La cantidad N (t) de personas en una comunidad bajo la influencia de determinado anuncio se apega a la ecuaci´ on log´ıstica. Al principio , N (0) = 500, en tanto se observa que N (1) = 1000. Se pronostica que habr´ a un l´ımite e 50000 individuos que ver´an el anuncio. Determine N (t).

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1.8.

Trayectorias Ortogonales

En Ingenier´ıa se presenta a menudo el problema geom´etrico de encontrar una familia de curvas(Trayectorias Ortogonales), que intersecan ortogonalmente en cada punto a una familia dada de curvas. Consideremos la familia de curvas descrita por la ecuaci´ on: F (x, y) = c, donde c es un par´ametro o n´ umero real usando derivaci´ on impl´ıcita se demuestra que, para cada curva de la familia, la pendiente est´a dada por: ∂F dy ∂x = − ∂F dx ∂y

Y como se sabe, dos curvas que se cruzan ortogonalmente, al multiplizar sus pendientes se obtiene −1, entonces las trayectorias ortogonales a la curva F (x, y) = c cumplen con la ecuaci´on diferencial: ∂F ∂F (x, y)dx − (x, y)dy = 0 ∂y ∂x Use el m´etodo descrito anteriormente para encontrar las trayectorias ortogonales de las curvas siguientes: 1. Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia de curvas x2 − y 2 = Cx, suponga que xy 6= 0. 2. Compruebe que la ecuaci´ on diferencial para la familia de curvas (x2 +y 2 )2 = (x2 −y 2 )C es homog´enea. Hallar la familia de curvas ortogonales de esa familia. 3. Halle las trayectorias ortogonales de la familia de curvas dada por la ecuaci ´on x(y 2 + 1) + xy 2 = c 4. Halle las trayectorias ortogonales de la familia de curvas dada por la ecuaci ´on y =

1 x+c

5. Halle una familia uniparam´etrica de curvas tal que, para cada una de ellas, el ´area de la regi´on triangular limitada por el eje x, la linea tangente en un punto y la perpendicular por el punto de tangencia sea igual a a2 . 6. Encuentre la una ecuaci´ on diferencial de orden 2 de la que la familia de c´ırculos de radio 1 y centro cualquier lugar es soluci´ on. 7. Encuentre una ecuaci´ on diferencial de orden 3 de la que la familia de c´ırculos en el plano es soluci´on. 8. Encuentre la ecuaci´ on diferencial de la que x2 − ay 2 = 1 es soluci´on. 9. Encuentre la ecuaci´ on diferencial de la que y = c1 x + c2 x3 es soluci´on 10. Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia de lemniscatas: ρ2 = a cos(2φ) 11. Encuentre las trayectorias ortogonales de la familia de curvas: a) xy = k b) 2x2 + y 2 = k c) x2 − y 2 = k

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2.

Sitemas de Unidades Sistema −→ Fuerza Distancia Masa Tiempo Aceleraci´ on Gravedad

Cent´ımetro-Gramo-Segundo CGS dina(din) cent´ımetro(cm) gramo(g) segundo(s) cm/s2 g ≈ 980cm/s2

Pie-Libra-Segundo PLS libra(lb) pie(ft) geolibra(slug) segundo f t/s2 g ≈ 32f t/s2

Metro-Kilogramo-Segundo MKS Newton(N) metro(m) kilogramo(kg) segundo m/s2 g ≈ 9,8m/s2

Adem´ as pueden ser u ´tiles las siguientes equivalencias: 1N = 105 din = 0,2247lb 1slug = lb/g

Notas: Ejercicios tomados de distintos libros de Ecuaciones Diferenciales: Dennis Zill, Quinta Edici´ on; Folleto del Tecnol´ ogico de Cartago; y otros

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