Apuntes de Electrodinámica Clásica. Campo Electromagnético y Relatividad

Dr. J. Fausto Oria, Profesor Titular de Electromagnetismo

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2ª Edición Editor: Manolo Sobrino

Indice: I. Formulación Covariante Lorentz del Campo Electromagnético 1. Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial...................................

I

1

2. Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz..............................................

I 14

3. Formulación covariante Lorentz de las ecuaciones de Maxwell..............................................

I 33

4. El tensor energía-momento y el tensor momento angular. Leyes de conservación..................

I 43

5. Transformaciones gauge...........................................................................................................

I 53

* Las métricas de la relatividad especial......................................................................................

I 54

II. Formulación Lagrangiana del Campo Electromagnético 1. Movimiento de una partícula cargada en un campo electromagnético.....................................

II 1

2. Formulación covariante del movimiento de partículas cargadas..............................................

II 2

3. Paso del sistema discreto al continuo. Densidad Lagrangiana..................................................

II 9

4. Principio variacional en m4. Ecuaciones de Euler-Lagrange....................................................

II 14

5. Lagrangiana del campo electromagnético. Tensor energía-momento.......................................

II 20

III. Radiación de Cargas en Movimiento 1. Los potenciales de Liénard-Wiechert.......................................................................................

III 1

2. Radiación de una carga acelerada. Invariante de radiación......................................................

III 9

3. Funciones de Green covariantes...............................................................................................

III 18

4. Expresión covariante de los campos.........................................................................................

III 26

Bibliografía Apéndices AI: Representación de la potencia radiada por una carga acelerada en un sincrotrón y en un linac AII: "Formulación geométrica del campo electromagnético" AIII: Lecturas aconsejadas ******************************************************************************************************

El Dr. J. Fausto Oria proveyó sus apuntes de clase y gentilmente se prestó a corregir las versiones preliminares, reelaborando varios apartados y proporcionando material adicional para estos apuntes, que se ajustan así a los contenidos de la asignatura Electrodinámica Clásica de la Licenciatura en Física de la Universitat de València. Manolo Sobrino preparó las distintas ediciones, revisó el texto y completó la transcripción. Luis Aloy transcribió la primera versión de la parte III y Roberto Pérez secciones de la primera versión preliminar. Mientras sea posible mantendremos en: http://mural.uv.es/masoro/edclas/errata/index.html una lista de erratas. Las contribuciones son bienvenidas, para cualquier comentario, visitad la página de soporte: http://mural.uv.es/masoro/edclas/index.html, donde se puede obtener la versión más reciente.

Valencia, septiembre de 2003 ******************************************************************************************************

"Estamos obligados a admitir que es solamente en cuatro dimensiones donde las relaciones que hemos tomado en consideración aquí [las ecuaciones fundamentales para los fenómenos electromagnéticos de los cuerpos en movimiento] revelan su ser interno con completa sencillez, y que en un espacio tridimensional impuesto sobre nosotros a priori enseñan solamente una proyección muy complicada."

Hermann Minkowski (1909) Copyright © 2003 J. Fausto Oria and Manuel Angel Sobrino. Valencia, Spain. All rights reserved. Redistribution without modification allowed at no other cost than ordinary copying fee. FOTOCOPIA AUTORIZADA.

Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad

CAMPO ELECTROMAGNÉTICO Y RELATIVIDAD Formulación covariante Lorentz del campo electromagnético 1. Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial: Medida de intervalos espaciales y sincronización de relojes en S, (definición de t): Consideremos observadores inerciales de la clase O: {O1, O2, ... On, ...}, en un sistema inercial S. Y

O1

On

S X

O

Z

O2

Consideremos inicialmente que los observadores de la clase O están en reposo entre sí. Lo pueden comprobar, por ejemplo, mandandose pulsos de radar y determinando el tiempo que tarda el pulso en ir y venir. Vemos la necesidad de relojes para determinar distancias, aún en un mismo sistema inercial S. Definición de tiempo en S a partir de los relojes: Todos los observadores que están en sus "laboratorios" en los diferentes puntos del sistema inercial S tienen relojes. Para establecer un tiempo en S siguen los pasos: Primero: Comparan la marcha de los diferentes relojes en O. Así los relojes Ro, Ro1, Ro2, ... Ron están sincronizados en O. (Marchan al mismo ritmo). Se concluye que si marchan al mismo ritmo en O, así lo harán en O1, en O2, ... en On. Es decir, en cualquier punto de S. Segundo: Cada observador se va a su lugar de observación con su reloj. Ahora es necesario un criterio para medir tiempos y definir el "tiempo", en el sistema inercial S.

I 1

Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial




Tercero: Si cada observador O, utiliza su propio reloj para medir el tiempo en su en-

torno, tendremos un tiempo válido en O1, en O2..., en On . ¡No un tiempo t para todo el conjunto de observadores O! No un tiempo t definido en S.




Cuarto: Para tener ese tiempo t definido en S hay que introducir un criterio para sin-

cronizar los relojes de O1, O2, ... On, ... ¿Pero no estaban ya sincronizados?. Si, lo estaban cuando, poniéndolos a cero, los hacíamos funcionar todos en un mismo punto O. Ahora está cada uno en su sitio O1, O2, ... On, ... y hay que decirles cómo han de empezar a funcionar. Esto es definir el tiempo para el sistema inercial S.




Quinto: Si O es quien tiene que dar la orden de comenzar a marcar el tiempo, (poner

los relojes en funcionamiento) es lógico que envíe una señal a los observadores en O1, O2, ... On, ... para decirles que pongan en marcha sus relojes. Para ello escogerá una señal que se transmita lo más rápidamente posible entre O y O1. Esta señal será un pulso electromagnético que se propagará a velocidad c en S.




Sexto: En el sistema S se procede así. El observador O pone la manecilla de su reloj

en el origen de tiempos t = 0 y el reloj empieza a funcionar en O, cuando es emitido el pulso electromagnético de velocidad c. Cuando el pulso alcanza el reloj O1 cuya distancia a O es OO1 , se conviene que O1 ponga en marcha su reloj, colocando inicialmente sus manecillas en la indicación t01 =

OO1

. c Lo mismo hará O2 con su reloj cuando le alcance el pulso, poniéndose a funcionar en

t 02 =




OO2 c

. Así para todos los relojes de los observadores de la clase O que estén en S.

Séptimo: Por definición, diremos que ha quedado establecido el modo de medir el

tiempo t en S. Diremos que un suceso se produce en un punto Oi de S en un tiempo ti cuando el observador Oi que está en el lugar donde se produce el suceso, al consultar su reloj ve que la manecilla del mismo marca el tiempo ti. Tal procedimiento para definir cómo se determina el tiempo en S no hubiera sido necesario si existiese una señal que se propagara con velocidad infinita, ya que entonces t0 = 0 = t01 = t02 = ... = t0n = ... I 2

Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad

Hemos definido así un tiempo t en S, pero si consideramos otro sistema inercial S' que se mueve respecto de S ¿Será el tiempo definido en S el tiempo en S'? Esto es, ¿estarán sincronizados en S' los relojes que estaban sincronizados en S? La respuesta, negativa, la hallamos en el articulo fundamental de Einstein: "Zur Electrodynamik bewegter Körper", Annalen der Physik, 17: 891, 1905 ("The Principle of Relativity" A. Einstein & Others, Methuen & Co. Ltd. of London 1923, incluye la traducción de la referencia anterior bajo el título: "On the Electrodynamics of moving bodies"*). Sean todos los observadores de la clase O' del sistema inercial S' y procedan del mismo modo con sus relojes para definir cómo se determina el tiempo en S'. Concluido el proceso, podemos del mismo modo decir que si un suceso se produce en el punto Oj' en el tiempo tj', es porque el observador que estaba en ese lugar, al mirar su reloj vio que marcaba el tiempo tj'. La cuestión está en relacionar las posiciones y tiempos de un suceso que referenciado respecto de S tiene las coordenadas (x, y, z, t), y referenciado respecto de S' tiene las coordenadas (x', y', z', t'). Según la física Newtoniana tal relación era:

  (t ′, r ′) = (t, r − v t ) Para: v =

Transformación de Galileo

d OO ' . ¿Hasta qué punto es correcta esta ley? dt

Efecto Doppler para ondas de sonido: Es interesante repasar el efecto Doppler para el sonido, o para la perturbación acústica que se propaga en un medio, por ejemplo el aire. Para el sonido consideramos un medio elástico (más o menos) que es el que transmite la onda longitudinal. La perturbación es de tipo escalar. La propagación consiste en la transmisión en el medio del conjunto de compresiones y rarefacciones que constituyen la onda sonora. Al llegar estas ± ∆P a nuestro tímpano, éste vibra y notamos la sensación sonora. Así pues, en primer lugar: Existe un medio que transmite la onda sonora. Respecto de ese medio, en reposo, tenemos el observador, "el oyente" podríamos decir en este caso. Tal observador, con sus detectores adecuados, en reposo respecto del medio, es el que hace las medidas sonoras, por ejemplo de la frecuencia de la onda sonora f, y de la *

John Walker tiene disponibles varias versiones digitales de este artículo, ahora de dominio público, en http://www.fourmilab.ch

I 3

Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial

velocidad de la perturbación en el medio v. Evidentemente lo que produce el sonido o fuente estará en reposo respecto del medio, y por tanto del observador O. Por lo tanto, existe un medio o marco en donde el observador O fija sus ejes de coordenadas y se sitúa en reposo respecto de ese medio o marco, que permanece estable y con propiedades características. La fuente F en otro punto de ese medio o marco, emite ondas sonoras de frecuencia f que se propagan de F hasta O a través del medio, con velocidad v y longitud de onda λ (según constatan los aparatos que utiliza O). Tenemos:

λ⋅ f =v Este medio o marco es lo que llamamos espacio absoluto (el espacio absoluto de Newton). Tanto el observador O como la fuente F están en reposo respecto del marco absoluto y por tanto en reposo entre sí. Evidentemente, si O se mueve respecto del marco (también respecto de F como resultado), lo notaría. Notaría el viento en la cara o el "viento del éter" (según se decía en la física de principios del s. XX). a) Fuente en movimiento. Observador en reposo: Supongamos que la fuente emisora se mueve con velocidad u respecto del observador (evidentemente se mueve también en el marco o medio con velocidad u). El observador mide ahora otra frecuencia f ' para la perturbación emitida por la fuente.

+u

F

O

–u

Tal frecuencia será*: f '= f

[I]

1 1+ u

( v)

(si la fuente se aleja )

f '= f

1 1− u

( v)

Donde:

(si la fuente se acerca)

•

f = frecuencia de la onda sonora.

•

v = velocidad de la onda sonora en el medio. Velocidad respecto del marco o espacio absoluto.

•

f ' = frecuencia medida por el observador (Receptor).

*

El efecto Doppler clásico se explica en cualquier texto de Física General. Véase, por ejemplo: R. Resnick - D. Halliday: Física, Editorial Continental, México 1982 Tomo I, sección 20-7.

I 4

Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad

La velocidad u de la fuente tiene signo + si la fuente se aleja de O y signo – si la fuente se acerca a O. b) Fuente en reposo. Observador en movimiento: Ahora es la fuente la que permanece en reposo respecto del medio y el observador se mueve respecto de la fuente (o del medio, es lo mismo) alejándose o acercándose a la misma con velocidad u. La variación de frecuencia que se observa por los sistemas de medida utilizados por O dan para la medida de f '' en este caso: F

[II]

–u

O

+u

u f ' ' = f 1 +  v 

Conclusión: A la vista de las ecuaciones [I] y [II] hallamos que lo importante para explicar el efecto Doppler en el sonido es la velocidad absoluta de la fuente F o del observador O respecto del medio y la velocidad v de la perturbación respecto del medio. • En el caso a) se mueve la fuente (p. ej. acercándose a O) y el resultado es f '. • En el caso b) se mueve el observador (p. ej. acercándose a F) y el resultado es f ''. Resulta que f ' ≠ f '', en el mismo caso de movimiento relativo, pero en distinto caso de movimiento absoluto. En el caso a) el observador no nota el "viento del éter" y en el b) sí. Veamos qué ocurre cuando desaparece el medio entre el observador y la fuente y estudiamos el efecto Doppler para la luz. Efecto Doppler para la luz: Cuando tenemos una perturbación electromagnética emitida por una fuente F y recibida por un observador O puede existir el vacío entre F y O. De este modo, así como para el sonido necesariamente ha de existir un medio (en donde la velocidad de éste es v), para la luz entre F y O podemos tener el espacio vacío, entonces la velocidad c no es la velocidad de la luz respecto de ningún medio o marco de referencia asociado a la presencia de dicho medio, sino la velocidad con la que la perturbación recorre la distancia que separa F y O.

I 5

Los sistemas inerciales y el espacio-tiempo de la Relatividad Especial

Si esa distancia OF ≡ FO es la misma según va transcurriendo el tiempo que marca el reloj que va asociado al observador O, entonces el observador y la fuente están en reposo relativo. No podemos decir que F y O están en reposo respecto del medio porque simplemente ese medio no existe. Si la distancia entre O y F varía con el tiempo, podemos eventualmente asociar a la fuente una velocidad uniforme u que acerca o aleja la fuente del observador O.

Tenemos que hacer dos reflexiones: 1) El movimiento es relativo. La velocidad u se puede interpretar también como la velocidad con que el observador O se acerca o se aleja de la fuente. Ahora, que se mueva F, o se mueva O es lo mismo. Es más, no podemos hablar de velocidad absoluta u sino de velocidad de F respecto de O. Si O se acerca o se aleja de F, eso no podemos ponerlo de manifiesto pues O no nota el "viento del éter", sencillamente porque no hay medio o éter. 2) La velocidad de la luz c es en el vacío. Es decir, cuando el vacío está "separando" F y O. En un instante F emite un pulso de radar o señal (luz) y esta señal es detectada por los instrumentos que posee el observador O. Una vez emitida la señal por F, se propaga a través del vacío hasta llegar a O con velocidad c. Es decir, c es una constante propia de la propagación de la perturbación en el vacío y totalmente independiente de la velocidad relativa u entre la fuente y el observador: "El observador siempre atribuye a la perturbación electromagnética en el vacío la velocidad c, independientemente del estado de movimiento de la fuente" Éste es el postulado básico de la "Relatividad Especial". En las ecuaciones anteriores consideramos como v la velocidad constante c (que no es la velocidad respecto de ningún medio, sencillamente porque no hay medio), y tendremos: 1 1− u

( c) f ' ' = f (1 + u ) c f '= f

Foco aproximándose

Observador aproximándose

I 6

Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad

Siendo u la velocidad relativa de la fuente F y el observador O. Ahora bien ¿Con qué fórmula nos quedamos, ya que ahora no tenemos la posibilidad de distinguir (como para el sonido) el caso a) ó b)? Si fuera posible medir el valor f ' y el valor f '', entonces podríamos saber quién se mueve, bien la fuente, bien el observador, y por lo tanto sería posible determinar la velocidad u, respecto del espacio absoluto. Como u es una velocidad relativa (igual en el caso a que en el caso b), lo más probable es que ni f ' ni f '' sean las frecuencias previstas del efecto Doppler para la luz. Efectivamente, la frecuencia observada para la luz emitida por una fuente en movimiento relativo, con velocidad u respecto de un observador O, viene dada por la expresión (según se demostrará con posterioridad): f '= f

1+ u

c u 1− c

No hay dos casos, pues u es la velocidad relativa. Así pues, por esta medida de frecuencia f ' sólo podemos detectar el movimiento relativo de la fuente F respecto del observador O. Una aplicación inmediata de esta relación en Astronomía proporciona la medida de la velocidad radial con la que los cuerpos luminosos celestes se mueven con respecto de la Tierra. Nótese que las medidas hechas sobre las radiaciones recibidas de las distintas galaxias y otras radiofuentes, parecen indicar para todas una velocidad de recesión o alejamiento, que es tanto mayor cuanto mayor es la distancia de la fuente en cuestión a nuestro planeta (Ley de Hubble). Estas observaciones son la base del concepto de Universo en expansión*. En cuanto a las expresiones de la frecuencia dadas en a), b), y para la luz, podemos aproximar, teniendo en cuenta que prácticamente siempre tenemos u 0

El intervalo entre sucesos es mayor que cero. Si un suceso es posterior a otro en un sistema coordenado Lorentz es siempre posterior en cualquier otro sistema Lorentz. O dicho de otra forma. Si un suceso es posterior a otro para un observador inercial, siempre es posterior para cualquier observador, está en el Futuro Absoluto. Si es anterior a otro en un sistema coordenado Lorentz, es anterior en cualquier otro sistema Lorentz, está en el Pasado Absoluto. En particular hay un observador para el cual los dos sucesos ocurren en el mismo punto espacial. En este caso, el tiempo transcurrido se denomina Intervalo de Tiempo Propio. 2) Intervalo de tipo espacial: Si: ds 2 < 0 ⇒

2 2 2 2 2 2 2 ds 2 = dx 0 − dx 1 − dx 2 − dx 3 = − dx 1 + dx 2 + dx 3  < 0  

Un suceso del intervalo puede suceder antes o después que el otro según el sistema de referencia desde el que se observe. En particular pueden suceder en el mismo tiempo, aunque en dos puntos espaciales diferentes. Tales sucesos se dice que están en la región del espacio de Presente Condicional.

I 18

Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad

3) Intervalo isótropo: 2

2

2

2

2

2

2

2

Si: ds 2 = 0 ⇒ ds 2 = dx 0 − dx1 − dx 2 − dx 3 = dx 0 − dx 1 − dx 2 − dx 3 = 0 En cualquier sistema coordenado Lorentz, o para cualquier observador inercial {O}, los dos sucesos están separados espacialmente, y ocurren en el intervalo de tiempo dt tal que: dx 2 + dy 2 + dz 2 = c2 2 dt Se dice que los sucesos están separados, o conectados, por un rayo de luz. Así pues, para todo suceso P podemos dividir el espacio de Minkowski en las siguientes regiones: x0 m4

Línea de Universo que

Sucesos en el Futuro

pasa por P

Absoluto de P

P Puntos de Presente Condicional

x2, x3

Puntos de Presente

x1

Condicional

Sucesos en el Pasado Puntos sobre el cono de luz

Absoluto de P Cono de luz de vértice P

Que definen la estructura causal del espacio-tiempo. La historia de una partícula puntual es un conjunto conexo de sucesos, una curva continua en m4: una línea de Universo. Cuadrivectores sobre m4: De la misma forma que al espacio ordinario R3 se le asocia un espacio vectorial euclídeo V3, caracterizado por el producto escalar ordinario, para formar un espacio afín euclídeo E3, al espacio métrico m4, caracterizado por g, se le puede asociar un espacio vectorial V4 de cuadrivectores, cuyas componentes en los sistemas coordenados Lorentz se transformarán como las coordenadas de los puntos de m4. Para un cuadrivector A se pueden considerar sus componentes contravariantes: Aµ (A0, A1, A2, A3), y sus componentes covariantes Aµ , relacionadas por: Aµ = gµνAν , de manera que: Aµ (A0 = A0, A1 = –A1, A2 = –A2, A3 = –A3). Bajo una transformación de coordenadas, las componentes contravariantes se trans∂X µ ν formarán con las Λ: Aµ = A = Λµ ν Aν ∂X ν ∂X ν ν Y las componentes covariantes, con las Λ : Aµ = A = Λ µ Aν µ ν ∂X I 19

Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz

El producto escalar de dos cuadrivectores se define con la métrica:





( )

A ⋅ B = g A, B = Aµ gµν Bν = Aµ Bµ = A0B0 + A1B1 + A2 B2 + A3B3 = Bµ Aµ = B0A0 + B1A1 + B2 A2 + B3A3 = A0 B0 – A1 B1 – A2 B2 – A3 B3 El producto escalar de dos cuadrivectores es un escalar Lorentz, esto es, es invariante bajo cambios de coordenadas Lorentz. Llamaremos norma o módulo de un cuadrivector al cuadrado del cuadrivector:



A ⋅ A = Aµ gµν Aν = Aµ Aµ = A0A0 + A1A1 + A2 A2 + A3A3 = (A0)2 – (A1)2 – (A2)2 – (A3)2 Los cuadrivectores pueden clasificarse según su módulo, así para: • • •





Si A ⋅ A < 0 , A es de tipo espacial.



Si A ⋅ A = 0 , A es de tipo luz o nulo.

0 Si A ⋅ A > 0 , A es de tipo temporal.

La componente A de un cuadrivector A se llama temporal, y las componentes (A1, A2, A3) espaciales. Para las transformaciones puramente espaciales, A0 es un escalar y A = (A1, A2, A3) un vector. Podemos escribir así las componentes contravariantes de un cuadrivector como: Aµ (A0, A), y las covariantes como: Aµ (A0, – A), con lo que el pro-



ducto de cuadrivectores A ⋅ B se indicará: Aµ Bµ = A0B0 – A·B. Y el módulo de un cua-



drivector A ⋅ A : Aµ Aµ = (A0)2 – |A|2. Relación entre ds, dτ y dt: Supongamos una línea de Universo, curva de m4 con parámetro s, τ, ó t, de modo que el inter-

ds2

valo entre dos puntos cualquiera próximos sea de P

P+dP

x (s )

tipo temporal: ds2 = c2 dτ2 El parámetro que identifica la posición del afijo del vector puede estar definido de modo













x = x (s ), ó: x = x (τ ) , ó: x = x (t )

que:

Tomemos un sistema coordenado Lorentz particular S. Las componentes del vector

x (t ), o las coordenadas del punto P serán:

(

x µ (t ) ≡ (ct , x, y , z ) ≡ x 0 , x 1 , x 2 , x 3

) I 20

Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad

Por tanto, el vector que une P y P+dP será en tal sistema coordenado:

(

)

dx µ ≡ dx 0 , dx1 , dx 2 , dx 3 ≡ (cdt , dx, dy , dz )

 

{

Y el intervalo:

ds 2 = g (dx , dx ) = g µν dx µ dxν = c 2 dt 2 − dx 2 + dy 2 + dz 2

O bien:

 1 ds 2 = c 2 dt 2 1 − 2 c î

 dx  2  dy  2  dz  2     +   +      dt   dt   dt   







}



Si tal intervalo es de tipo temporal: ds 2 > 0 , y dr = dxi + dyj + dzk podría ser el desplazamiento de una partícula observada por {O} en un tiempo dt, de modo que:

v = dr = dx i + dy  j + dz k = (v dt

Por lo que:

dt

{

dt

ds 2 = c 2 dt 2 1 − v

2

c2

}

dt

x , v y , vz

)

Y esta es la relación entre ds y dt:

γ ds = c dt

con: γ =

1 1− v



2

c2

También podríamos haber referido el vector dx a componentes en el sistema de referencia Lorentz en el que los dos sucesos ocurren en el mismo punto espacial, ya que el intervalo es de tipo temporal. Esto es, en S :



(

)

dx ≡ dx µ = dx 0 , 0, 0, 0 = (cdτ , 0, 0, 0 ) El intervalo de tiempo transcurrido es, por definición, el tiempo propio (intervalo de tiempo propio). Calculando ds2:

{

ds 2 = c 2 dτ 2 = c 2 dt 2 1 − v

2

c2

}

Por lo que la relación entre dt y dτ será:

γ ds = c dt = γc dτ

⇒

dt =γ dτ

Vector tangente a la línea de Universo: El vector tangente unitario a la línea de Universo lo obtendremos al derivar respecto del arco tomado como parámetro. Así pues:



dx (s ) = tg ds



Si derivamos respecto de otro parámetro obtendremos un vector que es proporcional

al t g . En particular podemos derivar:

I 21

Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz

dx (τ ) , dτ

o bien:

dx (t ) dt

dx (τ ) se denomina cuadrivector velocidad: u . Las componentes de tal dτ vector en un sistema coordenado Lorentz en particular serán: El vector

Y por lo tanto:

dx (τ ) dx µ (τ ) dt dx µ dx µ d d  ≡ = =γ = γ  (ct ), r (t ) dτ dτ dτ dt dt dt  dt  α dx (τ ) uα ≡ = γ (c, v ) dτ

La componente espacial de tal cuadrivector en un sistema coordenado Lorentz particular nos indica la velocidad con que se describe la trayectoria dr . Podemos, como anteriormente, tomar el sistema coordenado Lorentz propio S para referir las componentes del cuadrivector u . Respecto de S las componentes son: uα = (c, 0) El cuadrivector es el mismo. En particular, su módulo será calculado: •

en S :

g (u , u ) = gαβ u α u β = c 2

 v2  g (u , u ) = gαβ u α u β = γ 2 c 2 − γ 2 v 2 = γ 2 c 2 1 − 2  = c 2  c  Cuadrivector aceleración y cuadrivector momento: Consideremos el campo escalar cons•

en S:

tante de parámetro m0, asociado a cuala)

quier punto de la línea de Universo y defi-

m0 u

namos el cuadrivector momento: p = m0 u b)

cuyas componentes en el sistema coorde-

m0 u

nado S son: p α = m0 u α = (m0γ c, m0γ v ) = (mc, mv )

En donde hemos definido:

m=

m0 1−

v2 c2

Tal cantidad la denominamos masa de la partícula m0, observada desde O, al desplazarse sobre la trayectoria r = r (t ) con velocidad v . En particular, en el sistema coordenado Lorentz S podemos tomar componentes de p : p α = m0 u α = (m0 c, 0, 0, 0)

I 22

Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad

Tal observador inercial O se movería con velocidad v respecto de O, y por tanto la partícula estaría en ese instante en reposo respecto de O . Evidentemente el cuadrivector p es el mismo, y en particular su módulo:

(

)

g ( p , p ) = g p α , p α = gαβ p α p β = m02 c 2

es de tipo temporal.

Partícula libre: Sobre la línea de Universo a) tanto el cuadrivector p , como el u son constantes y podemos hacer:

dp = 0, ds

dp = 0, dτ

o bien:

dp =0 dt

Ya que los parámetros s, τ, y t están relacionados linealmente entre si. En particular: dp dt dp dp = =γ =0 dτ dτ dt dt Lo que significa que:

d (m0γc ) = 0 ⇒ dt

⇒

dp dp α =0 ⇒ =0 dt dt

d (γ ) = 0 dt

⇒ γ = cte

⇒ v = cte

d (γ m0 v ) = m0  dγ v + m0  dv γ = 0 ⇒ dv = 0 ⇒ v = cte dt dt  dt   dt  0 Lo que nos indica que en cualquier sistema inercial, en particular para O, tanto el módulo como la velocidad de la partícula, y por tanto su momento, son constantes con el tiempo. No habrá por tanto fuerza alguna aplicada sobre la partícula: partícula libre. Las partículas libres describen líneas rectas en el espacio de Minkowski (geodésicas). Partícula ligada (aceleración): La partícula sobre la línea de Universo b) cambia la dirección de la velocidad y, por lo tanto, del cuadrimomento. Así podemos hacer: du ≠ 0, ds

du ≠ 0, dτ

d (m0 u ) = k ≠ 0 . dτ

Lo que manifiesta una propiedad geométrica: la línea de Universo tiene curvatura. dp es perpendicular al cuadrivector u , ya que es proporcional a dτ du du du ⊥ , y se verifica que: 2 u = 0 Luego: u .u = c 2 ⇒ u τ d dτ dτ El cuadrivector k =

Tal vector define la dirección normal de la curva (curvatura normal). La línea de Universo de una partícula ligada es una línea curva.

I

23

Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz



El cuadrivector:



du   = u se denomina cuadrivector aceleración. dτ

Cuadrivector fuerza k :



Veamos qué significado le podemos atribuir a k . Tomando componentes en el sistema coordenado Lorentz S tendremos:

 d dt d d m0 u α = m0 u α = γ (m0γ c, m0γ v ) dτ dτ dt dt

(

kα = •

)

(

)

para las componentes α = 1, 2, 3:

(

)

( )

( )

kα d d d α = m 0γ v α = mv α = p γ dt dt dt

Luego, si la derivada temporal del momento representa la fuerza que O ve aplicada





sobre la partícula y que hace que ésta se desplace con la trayectoria r = r (t ) , se tendrá:



( )

kα d α = p = Fα ⇒ γ dt

(



k = k 0 , γF

)



La componente espacial del cuadrivector fuerza k tiene información de la fuerza que





se aplica sobre la partícula que en el instante de tiempo t está en la posición r = r (t ) ,





con velocidad v = v (t ) según un observador inercial O. •

para la componente α = 0:

El valor de k

0

  , teniendo en cuenta que k . u = 0 :

  k 0γ c − γ 2 F ⋅ v = 0 ⇒

 

F ⋅v k =γ c 0

Por tanto, en componentes respecto de S, el cuadrivector fuerza:





 

 F ⋅v   , F  k ≡ γ  c  

dp  De modo que la ecuación = k representa en S: dτ  dp α • para α = 1, 2, 3: = F α ≡ F Ley de movimiento de m0 para O. dt     dp 0 dt dp 0 F ⋅v d F ⋅v 0 (m0γ c ) = • para α = 0 : =k ⇒ =γ ⇒ dτ dτ dt c dt c Y, por lo tanto, si c = cte:

  d mc 2 = F ⋅ v dt

O bien:

d mc 2 = F ⋅ v dt = F ⋅ dr = −∇Φ dr = − dΦ



( )

( )

 







si la fuerza F proviene de un potencial Φ (fuerza de un campo conservativo).

I 24

Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad

Veamos qué ocurre entre dos puntos de la línea de Universo correspondiente a parámetros τ 1 y τ 2, o bien para valores de t1 = t1(τ 1) y t2 = t2(τ 2). Integrando la última ecuación:

τ2

∫1 d (mc 2

2

) = −∫

2

1

dΦ ⇒ m2 c 2 − m1c 2 = −[Φ 2 − Φ 1 ]

τ1 Donde m2 es la masa que la particula de masa m0 tiene en el punto r 2 = r 2 (t 2 ), donde su velocidad es v 2 en el sistema de referencia de los observadores {O}. Lo mismo para el punto r 1 = r 1 (t1 ), luego: m2 c 2 + Φ 2 = m1c 2 + Φ 1 = mc 2 + Φ = E Por lo que denominamos energia total de una partícula en cualquier punto de su trayectoria a: E = Φ + mc 2 = Φ +

m0 1− v

c 2 ≈ Φ + m0 c 2 +

2

1 3 v4 m0 v 2 + m0 2 + ... 2 8 c

c2

Energía no relativista: La definimos como la energía cinética más la potencial, en el sentido clásico; luego: E NR = lim (E − m0 c 2 ) v →0 c

donde m0 c 2 es la energía propia de la partícula en reposo. Energía cinética relativista: Comportará todos los términos que dependen del estado de velocidad:

(

)

T = E − m0 c 2 − Φ = m0 c 2 (γ − 1) Momento en función de la energía: Ya hemos visto que p puede ponerse en componentes respecto de S. p ≡ p α (mc, mv ) En el sistema S : p α (m0 c, 0 ). En el primer sistema podemos escribir p en función del momento y la energía atribuida a la partícula por el observador inercial {O}. Así: I

25

Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz

 E −Φ , pα   c

 p  

;

p α (m0 c, 0)

Luego, conociendo la energía y el momento en un sistema S, podemos conocer la masa m0 de la partícula. En el caso de la partícula libre: Φ = 0 , el módulo de p será: p α pα ≡ p = 2

E2 2 − p 2 = m0 c 2 2 c

( E 2 = p 2 c 2 + m0 c 4 ) 2

Cualquier partícula de masa m0 > 0 tendrá un cuadrivector momento de tipo temporal. Partículas de masa nula: Para una partícula de cuadrivector momento de tipo luz o nulo: 2  E  E  E 0 = p µ p µ =  , p  , − p  = 2 − p 2 = m0 c 2  c  c  c

⇔ m0 = 0

y:

E = pc

Además se asume que el cuadrivector velocidad es de tipo nulo, lo que significa que tal partícula viaja a velocidad c. Tales partículas de masa nula y velocidad c son los fotones. La transformación de masa en radiación (energía: fotones) es posible por la ley de conservación del momento relativista. (1)

(2 )

Sea, por ejemplo, la reacción: m0 → f1 + f 2 en la que una partícula de masa m0 se desintegra a dos fotones*. Consideramos la partícula en el sistema propio: Como p (1) = p (2 ): momento total del estado 1 = momento total del estado 2, se tiene que:







ω ω 1     ω 2    , k1  +  , k2  con: h = λ c  c   c  ω1 ω Entonces, de: k 1 = − k 2 ⇒ u 1 = 2 u 2 , por tanto, tendremos para los dos fotones c c frecuencias angulares: ω 1 = ω 2 , y serán emitidos en direcciones opuestas.

(m0 c, 0) = 

Si ω 1 = ω 2 = ω, la componente cero de p : Y la frecuencia de los fotones será:

p = m0 c = 2 0

ω=



ω c

m0 c 2  2

Ondas de de Broglie: Se puede asociar una onda de frecuencia y energía dada a una partícula material de masa m0 . Tal onda es la onda material de de Broglie. (Comportamiento dual, partícula/onda de materia). *

e.g. la desintegración a 2 fotones de los piones neutros: π0→2γ; mπ0 ≈ 135 MeV/c2. I 26

Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad

A cada partícula material de masa m0 > 0 le asociamos una frecuencia y un vector



ω = E

de onda tales que:



k = p

El cuadrivector momento en el sistema S, (medidas del observador {O}):

 pα = E , p c

(

Por lo tanto:

m0 2 c 2 =

)

de módulo:

m0 c 2 = p α pα 2

E2 ω 2 2 2 − p = − p2 2 2 c c

Despejando, la frecuencia que le corresponde a la partícula es:

ω2 =

p 2c 2



2

+

m0 2 c 4



2

Que se comprueba experimentalmente*. Así cada partícula tiene asociados los observables: Energía (E):

E= ω

Momento (p):

Frecuencia:

ω = E

Nº de onda:





p= k  p k= 

Efecto Doppler y Aberración de la Luz: Sea un sistema de referencia en donde se observa una onda electromagnética plana



de frecuencia ω y de dirección de propagación k . En la región del espacio que contiene



campo electromagnético tenemos en m4 definido el cuadrivector de propagación α . Referido a coordenadas Lorentz, sus componentes son:

(



αν = ω c , k

)

La frecuencia y dirección en S. El cuadrivector momento para un fotón es:

 p

    µ foton = α foton ≡ p foton 

ω    , k  c 

Otro observador S' que detectara el campo electromagnético le asignaría diferente frecuencia y dirección de propagación. Si S' se mueve con velocidad v a lo largo de un eje x = x' común, utilizará coordenadas Lorentz xµ' en m4, de tal forma que para S' y S tendríamos las relaciones entre αν y

αν' por medio de: αν' = Λν'µ αµ *

Davisson, C. J. Germer, L.H.: Physical Review, 30, 705 (1927)

I

27

Objetos geométricos en m4. Expresión en coordenadas Lorentz

Así pues:

De donde:

[I] [II]

ω '   γ − γβ  c  γ  k ' x  =  − γβ  k'y   0 0    0 0  k'z  ω' = γ ω − β k x c c k'x = γ kx − β ω c ,

( (

0   ω c  0  kx   0  k y  1  k   z 

0 0 1 0

) )

k'y = ky ,

k 'z = k z

La situación será la siguiente en S y S':



ω, k

y



ω', k '

y'

S

S'

δ x

δ'



β

x'



k =ω     c Teniendo en cuenta que α es un cuadrivector nulo: α ⋅ α = 0 ⇒    k ' = ω'c î ω  k x = c cosδ ω' ω 1 v  Y las relaciones:  ⇒ = γ ω  − 2 cosδ  = γ [1 − β cosδ ] c c c c  k ' x = ω ' cosδ ' c î ω' ω vω ω k ' x = cosδ ' = γ  cosδ − = γ [cosδ − β ]  c c c c c Podemos ver las ecuaciones que relacionan la frecuencia y la dirección de propagación de la onda en S y en S':

cosδ ' =

cosδ − β 1 − β cosδ

Aberración de la luz

ω ' = γ ω [1 − β cosδ ]

Efecto Doppler para la luz

Que sólo depende de la velocidad relativa de S y S' , β . Casos particulares: a) Cuando δ = 0: En S' el ángulo que forma el vector de propagación con el eje x' es δ ': cosδ ' =

1− β =1 ⇒ δ '= 0 1− β

No hay aberración

El signo de (1 − β) difiere del considerado para la luz en el caso del efecto Doppler [Ver



p. I 6], porque aquí están los sistemas alejándose con v y no acercándose con u.

I 28

Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad



ω, k (k x , 0, 0)

y

S



ω', k ' (k ' x , 0, 0)

y'

S'

δ=0

δ' = 0



β

x

x'

La frecuencia observada en S':

ω ' = γω (1 − β ) = ω

Se tiene que para todo β > 0 :

ω' < ω

1− β 1− β 2

1− β 1+ β

=ω

Efecto Doppler longitudinal

Si hacemos una observación astronómica del espectro de emisión de una estrella de S, estamos en S', cuando la estrella se aleja vemos un corrimiento al rojo. b) Cuando δ = π /2:





ω, k (0, k y = ω / c, 0) y'

y

S

(

ω', k ' k ' x , k ' y , 0

)

S'

δ = π /2 x

θ'



β

x'

La frecuencia observada en S':

ω ' = γ ω (1 − β cos δ ) = γ ω cos δ =0

⇒ ω' R

es el instante avanzado, y se corresponde con la posición de la carga en c un instante t' posterior a t (posición avanzada). Como las señales que vienen de la posición avanzada no tienen interés físico, pues

considerarlas significaría que los campos aparecen en el punto P antes de ser emitidos por la carga en el punto fuente, se descartan (no son compatibles con el concepto usual de causalidad). Así tendremos en cuenta que, en el caso de utilizar un cuadrivector de módulo cero, hemos de considerar la contribución a los campos desde la posición retardada de la carga, que es la única solución físicamente aceptable. Vamos a proponer una ecuación en m4 que nos permita encontrar potenciales asociados a cada punto. Estos serán los potenciales de Liénard-Wiechert, que vimos para una carga puntual en movimiento. Hemos de resolver la ecuación diferencial para el potencial cuadrivector: > ? > A = µ0 J > > O bien: [I] ∂α ∂α A(x ) = µ 0 J (x ) En los sistemas coordenados Lorentz. > Dado J (x ), podremos resolver el problema fácilmente por el método de las funciones de Green si, para una fuente arbitraria, se conoce la solución de la ecuación: 0, si x ≠ x'   ∂α ∂α D (x; x ' ) = δ ( 4 ) (x − x ') , con: δ ( 4 ) (x − x ') →  f (x )δ ( 4 ) (x − x ' )d 4 x = f (x '), si x' ∈V 4 ∫ V 4

Conocida la función D (x; x ' ) , se obtiene una solución de [I] con el cuadripotencial: > > A(x ) = µ 0 ∫ D ( x; x ' ) J ( x ' )d 4 x ' x'

Donde d 4 x' representa el elemento de volumen del espacio de Minkowski, y la integral se extiende a todo el espacio representado por las coordenadas: x'. > > La función A(x ) así construida es solución de la ecuación [I] al considerar: En efecto: ∂α ∂α D (x; x ' ) = δ ( 4 ) (x − x '). > > > > ∂α ∂α A(x ) = µ 0 ∫ ∂α ∂α D ( x; x ' ) J ( x ' )d 4 x ' = µ 0 ∫ δ ( 4 ) (x − x ' ) J (x ' )d 4 x ' = µ 0 J (x ) x'

x'

Y, por la presencia de la función delta, sólo contribuye a la integral el punto: x = x'.

III 20

Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad

La función D (x; x ' ) se conoce como función de Green del operador ∂ 2 = ∂α ∂α . La cuestión será hallar la función de Green que permita hallar la solución de [I] para todo @ cuadrivector J (x ). La fuente de campo electromagnético más sencilla es la carga puntual. Propondre@ mos la expresión de J (x ) para una línea de Universo de tipo temporal a la que asociamos el parámetro q. Cuadrivector densidad de corriente para la carga en m4: Recordemos que el cuadrivector densidad de corriente referido a un sistema de coordenadas tiene como componentes: @ @ @ @ J α (r , t ) = cρ (r , t ), J ⊥ (r , t ) @ @ @ @ @ @ @ @ Donde: y: J ⊥ (r , t ) = q v (t )δ (r − r ' (t )) ρ (r , t ) = qδ (r − r ' (t )) ,

(

)

@ coordenadas del punto campo en el sistema S. r, @ r ' (t ) , función que describe la trayectoria de la partícula en el sistema S. Dará la posición de la carga en todo instante: coordenadas del punto fuente. @ Veamos en m4 cómo describir el campo vectorial J , densidad de corriente. Si x es un

Con:

punto de m4 , el cuadrivector densidad de corriente de una carga puntual q con línea de Universo z(τ ) se puede definir como: @ J (x ) = qc ∫ u(τ )δ ( 4 ) (x − z (τ ))dτ τ

m4

Donde u (τ ) es el cuadrivector velocidad de

uA (τ )

@ @ J (x ) @ z (τ )

@ x

la partícula. Llamamos x al punto P de m4: @ @ x α ≡ x 0 , x , donde x son las coordenadas es-

( )

paciales en S. Esta integral sólo va a tener valores diferentes de cero cuando: x = z (τ ) , es decir, sobre la línea de Universo de q.

Vamos a obtener las expresiones de la densidad de carga y de la densidad de co@ rriente para observadores inerciales. Esperamos que la forma propuesta para J (x ) reproduzca correctamente las densidades de carga y corriente de la carga puntual en S. III 21

Funciones de Green covariantes

B Si referimos la expresión de la densidad de corriente J (x ) a un sistema coordenado Lorentz, se tiene que:

(

)

B B J α (x ) = qc ∫ uα (τ )δ ( 4) (x − z (τ ))dτ = qc ∫ u α (τ )δ x 0 − z 0 (τ ) δ (x − z (τ )) dτ τ

Pues:

(

τ 0

)

B B δ ( 4) (x − z (τ )) = δ x 0 − z (τ ) δ (x − z (τ ))

Extendiendo la integral a todo τ , y aplicando la propiedad de la función δ : f (τ )

i ∫ f (τ ) δ (g (τ ))dτ = ∑i f (τ i ) dg (τ i ) = ∑i gC (τ i )

1

dτ Donde τ i son los ceros de la función g (τ ) , esto es: g (τ i ) = 0 .

(

)

Si consideramos: g (τ ) = x 0 − z 0 (τ ) , como la función g sólo contribuye a la integral en los puntos en que se anula el argumento de la función δ, resulta que:

B B dz α (t ) dt δ (x − z (t )) α dt dτ = qδ (xB − zB (t )) dz (t ) J α (x ) = qc dt dz 0 (τ ) dt  ≡ c  dτ  dτ  Tomando componentes, se tendrá: B D B B d (ct ) J 0 = qδ (x − r ' (t )) • para α = 0 = qδ (r − r ' (t )) c = ρ c dtB B D d (r (t )) = qδ (xB − rB ' (t )) vB (t ) J α = qδ (x − r ' (t )) • para α = 1, 2, 3 dt B Donde r ' (t ) es la trayectoria de la partícula, con la que se calcula la posición de la carga puntual en S. Podemos escribir entonces en un sistema coordenado Lorentz: B B  B ρ (r , t ) = q δ (r − r ' (t )) α B B B B B J (r , t ) =  J ⊥ (r , t ) = q v (t ) δ (r − r ' (t )) Potenciales de Liénard-Wiechert: Consideremos, para la carga q sobre la línea de Universo: z(τ ), el potencial cuadriB vector: A(x ), en cualquier punto x de m4: C B µ0 c q z (τ ) C A(x ) = 4π z (τ )⋅ (x − z (τ )) τ r

Calculado en τr, que se corresponde con la posición retardada de la carga: t' < t, pues entonces:

(x − z (τ r ))⋅ (x − z (τ r )) = 0 ,

(x − z (τ r ))σ (x − z (τ r ))σ

B B 2 2 = c 2 (t − t ' ) − r − r ' (t ') = 0

esto es: ⇒ en S estará calculado en t'.

III 22

Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad

Veamos que este cuadrivector contiene los potenciales de Liénard-Wiechert tomando F componentes. Como: z σ = (ct ' , rE ), y: z σ = (γ c, γ vE ), entonces:

(

F z σ (x − z (τ ))σ = γ c 2 (t − t ' ) − γ vE · RE = γ cR 1 − βE ⋅ uE R •

Para la parte temporal:

( )

A0 x α = •

)

µ0c q γc 4π γ cR 1 − βE ⋅ uE R

(

)

φ c

⇒

= A⊥i

⇒

= τr

φ (rE , t ) =

1 q 4πε 0 R 1 − βE ⋅ uE R

)

µ q vE AE ⊥ (rE , t ) = 0 4π R 1 − βE ⋅ uE R

)

(

t'

Para la parte espacial:

( )

Ai x α =

µ0c q γ vi 4π γ cR 1 − βE ⋅ uE R

(

)

(

τr

t'

Que son los potenciales de Liénard-Wiechert de una carga q, que se mueve con velocidad vE en el sistema de referencia S. Cálculo del potencial de Liénard-Wiechert con las funciones de Green covariantes:

La ecuación geométrica que liga el zG (τ )

potencial AE (x ) con JE (x ) se puede resol-

z(τa)

ver, para obtener la expresión de AE (x ), si

z(τ)

conocemos la función de Green D (x; x ' )

x

del operador ∂ 2 tal que: ∂α ∂ α D (x; x ') = δ ( 4 ) (x − x ' )

z(τr)

Proponemos dos funciones de Green, covariantes Lorentz, que llamamos Dr y Da :

(

) [

(

) [

Dr ( x − x ' ) =

1 ϑ1 x 0 − x '0 δ ( 4 ) (x − x ' )2 2π

Da ( x − x ' ) =

1 ϑ2 x ' 0 − x 0 δ ( 4) (x − x ' )2 2π

]

]

retardada avanzada

El cuadrivector (x − x ' (τ )) está sobre el cono de luz, luego su módulo es nulo:

(x − x' (τ ))⋅ (x − x' (τ )) = (x − x' (τ ))α (x − x' (τ ))α Así:

c(t − t ') = ± R ,

por tanto:

= c 2 (t − t ' )2 − rE − rE ' (t ' ) = 0 2

τ r se corresponde con t' < t τ a se corresponde con t' > t III 23

Funciones de Green covariantes

Si se elige como solución la función de Green adecuada, se asegura la condición de retardo para todo sistema coordenado Lorentz. Así, la función Dr asegura que la señal aparece en el punto campo desde la posición retardada de la partícula: τ r , que se corresponde con x' 0 < x 0 , si definimos:

(

)

1, 0 > 0 ϑ1 x 0 − x' 0 =  x 0 x' 0 0, x < x' Del mismo modo, Da contribuirá con la señal desde la posición avanzada si se define

(

)

1, 0 > 0 ϑ2 x ' 0 − x 0 =  x' 0 x 0 0, x' < x

ϑ2 como:

H La solución para A(x )será:

H H H A(x ) = µ 0 ∫ Dr (x; x ' ) J (x ' )d 4 x '

con la densidad de fuente:

x' H I J (x ) = qc ∫ z (τ ) δ ( 4 ) (x − z (τ )) dτ

τ

Tendremos, tomando componentes:

I A µ (x ) = µ 0 c q ∫ ∫ Dr (x; x ' )z µ (τ )δ ( 4 ) (x '− z (τ ))d 4 x ' dτ τ x'

(

) [

]

I µ0c q 2 dτ ∫ ϑ1 x 0 − x' 0 δ ( 4 ) (x − x ' ) z µ (τ ) δ ( 4) (x '− z (τ )) d 4 x ' ∫ 2π τ x ' I µ cq = 0 ∫ ϑ1 x 0 − z 0 δ ( 4 ) (x − z (τ ) )2 z µ (τ ) dτ 2π τ =

(

) [

]

Ya que, al integrar a todo x', habrá contribución cuando se anule el argumento de δ (4) ; es decir para: x ' = z (τ ) . Para la integración en τ, se tendrá en cuenta que la contribución de los puntos en que I se anula el argumento de la función δ se ha de dividir por g (τ ) , donde: g (τ ) = (x − z (τ )) . Así: 2

I d dz σ (τ ) 2 (x − z (τ )) = − 2(x − z (τ ))σ = 2 (x − z (τ ))σ z σ (τ )¶ dτ dτ

De los dos puntos donde se anula el argumento de la función δ , se selecciona el correspondiente a: τ = τ r , ya que ϑ1 sólo no se anula para: x 0 > x ' 0 . Por lo tanto:

I µ 0c q z µ (τ ) A (x ) = I 4π (x − z (τ ))σ z (τ )σ µ

τ =τ r

Que es la expresión propuesta anteriormente para el potencial de Liénard-Wiechert covariante. ¶

Nótese que esta cantidad es siempre positiva, pues la línea de Universo es de tipo temporal.

III 24

Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad

Obtención del tensor campo electromagnético: Para hallar el tensor campo, se puede derivar la expresión obtenida para Aµ (x ), y de F µν (x ) = ∂ µ Aν (x )− ∂ν Aµ (x )

este modo calcular:

O alternativamente, derivar las expresiones integrales de Aµ en términos de las funciones de Green, que es más sencillo y es lo que vamos a hacer.

J Considerando la expresión de J (x ) para la carga puntual q, tenemos que: A µ (x ) = µ 0 c q ∫ ∫ Dr (x; x ' ) zK µ (τ )δ ( 4) (x '− z (τ )) d 4 x ' dτ = µ 0 c q ∫ Dr (x; z (τ )) zK µ (τ ) dτ τ x'

τ

∂D (x; z (τ )) µ A µ ,ν (x ) = µ 0 c q ∫ r zK (τ ) dτ ∂ x ν τ

Derivamos respecto a xν :

Notemos que la función de Green es una función cuadrática de: x − z (τ ) , por lo que*: Aµ ,ν = µ 0 c q ∫ τ

∂ [(x − z )2 ] µ dDr zK dτ = µ 0 c q ∫ 2(x − z )ν zK µ dτ 2 2 ∂ xν ( ) [ ] d [(x − z ) ] d x − z τ dDr

( dτ d Dr x − z )ν zK µ d Dr = µ 0 c q ∫ 2(x − z ) zK dτ = − µ 0 c q ∫ dτ (x − z )σ zK σ d τ d [(x − z )2 ] d τ τ τ ν

Donde hemos sustituido:

µ

dτ

d [(x − z )2 ]

, por el inverso de:

d [(x − z )2 ] = −2(x − z )σ zK σ . dτ

Integrando por partes: Aµ ,ν

 (x − z (τ ))ν zK µ (τ )  ( ( ) ) ; = −µ0c q  D x z τ  r σ  (x − z (τ ))σ zK (τ ) 

+∞

−∞

+ µ 0 c q ∫ Dr (x; z (τ )) τ

d  (x − z (τ ))ν zK µ (τ )   dτ dτ  (x − z (τ ))σ zK σ (τ )

El primer término vale cero, pues en τ = ±∞ : x ≠ z (τ ), y la función Dr (x; z (τ ))se anula. Nos quedamos con:

 (x − z (τ ))ν zK µ (τ )   dτ σ ( ( ) ) ( ) K x − z τ z τ   σ τ   (x − z )ν zK µ  µ0c q 2 d 0 0 ( 4) (x − z (τ )) = ϑ1 x − z (τ ) δ   dτ 2π ∫ dτ  (x − z )σ zK σ 

Aµ ,ν = µ 0 c q ∫ Dr (x; z (τ ))

(

d dτ

) [

]

Donde hemos sustituido la expresión de la función de Green retardada. Integramos tef (τ ) niendo en cuenta la propiedad conocida: ∫ f (τ ) δ (g (τ ))dτ = ∑i gK (τ ii ) Donde ahora:

*

f (τ ) =

d dτ

 (x − z (τ ))ν zK µ (τ )   , y: σ  (x − z (τ ))σ zK (τ )

Haremos uso de: ∂ µ Dr ( f (τ )) = ∂ µ f (τ )

g (τ ) = (x − z (τ ))2

dDr ( f (τ )) dτ dDr ( f (τ )) = ∂ µ f (τ ) d ( f (τ )) d ( f (τ )) dτ

III 25

Expresión covariante de los campos

L L d g (τ ) = g (τ ) = 2(x − z (τ ))σ zσ (τ ) dτ

Por lo que:

A

Así:

µ ,ν

L µ0c q 1 d  (x − z (τ ))ν z µ (τ )  =   L L 4π (x − z (τ ))σ z σ dτ  (x − z (τ ))σ zσ (τ )

τr

Operando ahora para obtener el tensor campo: F

µν

=A

µ ,ν

ν ,µ

−A

L L µ0c q 1 d  z µ (x − z )ν − zν (x − z )µ  =   L 4π (x − z )σ zσ dτ  (x − z )σ zL σ 

τr

Derivando respecto de τ, resulta la expresión completamente general: F µν =

[

µ 0 qc 3 (x − z )µ zLL ν A − (x − z )µ zL ν B + (x − z )µ zL ν − (x − z )ν zLL µ A + (x − z )ν zL µ B − (x − z )ν zL µ 3 4π A

L A = (x − z (τ ))σ zσ (τ ) ,

Donde:

y:

LL B = (x − z (τ ))σ zσ (τ )

4. Expresión covariante de los campos: Con el tensor campo expresado de forma covariante en términos de la trayectoria en m4 de la partícula cargada, asegurada la condición de retardo para todo sistema coordenado Lorentz, podemos calcular los campos que genera una partícula en cualquier sistema. Campos de la carga puntual en reposo: Una carga puntual que se mueve con velocidad constante, en un sistema de referencia inercial, puede describirse en otro SRI como una carga en reposo. En el sistema de referencia en el que la carga está en reposo S: x µ = (ct , rM )

z µ = (ct ' , rM ' = cte )

L z µ = (c, 0)

LL z µ = (0, 0)

Luego B = 0. Calculemos el término A: L L L A = (x − z )σ z σ = x 0 − z 0 z 0 − (xM − zM ) zM = c 2 (t − t ' ) = cR

(

Ya que: • F

)

c(t − t ' ) = RM = rM − rM '

La componente F 01 del tensor campo electromagnético en el sistema S: 01

[

]

µ 0 qc 3 µ 0 qc 3 0 L1 1 L 0 (x − z ) z − (x − z ) z = − 3 3 [(x − x')c] = − µ 0 c q3 Rx = − E x = 3 3 4π c R 4π c R 4π R c

Simplificando con: c 2 =

1 , obtenemos la componente x del campo eléctrico: ε 0µ0 q RM x Ex = 4πε 0 R 3

()

III 26

]

τr

Electrodinámica Clásica, Campo Electromagnético y Relatividad

•

Trabajando con las componentes F 0 i del tensor campo electromagnético vemos que: N N q R Campo de Coulomb E= 4πε 0 R 3

•

Del mismo modo podemos ver otras componentes F ij , por ejemplo: F 21 , que tendrá el término: (x − z ) zO 1 − (x − z ) zO 2 = 0 , luego Bz = 0. Operando con el resto de comN ponentes se encuentra que: B = 0 2

1

Campos de la carga en movimiento uniforme: Para el sistema en el que la carga se mueve con velocidad constante: N N N x µ = (ct , r ) z µ = (ct ' , r ' (t ' )) zO µ = γ (c, v = cte ) zOO µ = (0, 0) Luego B = 0. Calculemos A:

(

N N N N σ A = (x − z ) zO σ = c (t − t ' ) γc − R γv = γ Rc 1 − β ⋅ u R

•

)

Veamos la componente F 01 :

N

(x − z )0 zO 1 − (x − z )1 zO 0 = c(t − t')γv x − R xγc = Rγv x − Rxγc = γR c  v x − Rx  = γR c(β − uN R )x Por tanto:

F

01

 c

N N E x µ 0 qc 3 γRc β − uN R x =− = N 4π γ 3 R 3c 3 1 − β ·u R c

) N 1− β ( − β) q E = 4πε R (1 − β ·u ) N N N µ q (1 − β N ) (β × u ) B= 4πR (1 − β ·uN ) 2

Despejando E x , se obtiene:

)

(

x

2

( )N (uN N

0

R

R 

3

x

3

(cf. III 7)

R

2

Para el campo magnético:

0

R

2

3

(cf. III 7)

R

Campos de la carga acelerada: Considerando la carga puntual acelerada: N N x µ = (ct , r ) z µ = (ct ' , r ' (t ' ))

N zO µ = γ (c, v ' (t '))

zOO µ = γ

N d (c, v ' (t')) dt '

Se recuperan los campos de aceleración:

N N N  N − β × βO  × u u   R R N q  N Ea = N 3 4πε 0 Rc 1 − β ·u R

(

N µ q Ba = 0 4πcR

(uN

R

(

) )

(cf. III 8)

N N O N N N NO  − β × β + u R ⋅ u R  β × β     N N (cf. III 8) 3 1 − β ·u R

)

(

)

III 27

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AI

Cada unidad (u) de los ejes representa: 1 u = (q2µ0/16π2c)×(1m/s2)2 Acelerador sincrotrón:

Distribución esférica de la potencia radiada por una carga puntual q acelerada 1 m/s2:

r β

r r& β ⊥β β = 0.10

θ ∈[0, π], ϕ ∈[0, 3π/2]

r& β

r β

β = 0.20

θ ∈[0, π], ϕ ∈[0, π]

r& β

r β

β = 0.50

θ ∈[0, π], ϕ ∈[0, π]

r& β

Cada unidad (u) de los ejes representa: 1 u = (q2µ0/16π2c)×(1m/s2)2 Acelerador lineal:

Distribución esférica de la potencia radiada por una carga puntual q acelerada 1 m/s2:

r β

r r& β || β

r β

β = 0.90

θ∈[0, π], ϕ ∈[0, 3π/2]

r& β

β = 0.10

θ∈[0, π], ϕ ∈[0, 3π/2]

r β r& β

β = 0.50

θ∈[0, π], ϕ ∈[0, 3π/2]

r& β

AII FORMULACIÓN GEOMÉTRICA DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO GEOMETRIC FORMULATION OF ELECTROMAGNETIC FIELD Resumen Se exponen de forma geométrica las leyes del electromagnetismo clásico como una consecuencia inevitable del principio de relatividad. Este tipo de formulación, independiente de sistemas coordenados particulares y del conjunto de observadores, sería la forma ideal y el modelo para la formulación de las teorías físicas. Naturalmente, dicha formulación geométrica reproduce las expresiones usuales que toman las leyes de Maxwell para los observadores locales.

Abstract We present geometrically the laws of classic electromagnetism as an unavoidable consequence of the principle of relativity. This kind of geometric formulation, index-free and simple, would be the ideal form and model for the formulation of physics. Naturally, this geometric formulation provides the usual expressions of Maxwell´s equations for local observers. M.A. ABIÁN J.F. ORIA Departamento de Física Aplicada Universidad de Valencia C/ Dr Moliner, 50 (Ed. Jerónimo Muñoz 0005) Burjassot (Valencia) - 46100

I. FORMULACIÓN DE LAS LEYES FÍSICAS La teoría que se ocupa de establecer las bases conceptuales para la correcta expresión de las leyes de la física es la teoría de la relatividad. Concretamente, su primer postulado o principio de relatividad es el fundamento filosófico y la guía que ha de seguirse cuando se propone una ley física, expresada de la forma usual, como relaciones matemáticas entre objetos. De este modo, el segundo de los postulados (La velocidad de la luz ha de ser la misma para todos los observadores) puede considerarse como una consecuencia directa de este primero. Consistiría pues únicamente en enunciar una de las leyes de la física. Aunque de modo todavía impreciso, podemos formular el primer postulado de relatividad diciendo: Las leyes físicas han de tener la misma forma, no importa qué observadores las formulen. Nuestra labor en estas páginas será precisar el significado de tal principio.

I.1. Sistemas coordenados El observador que propone una ley física emplea un conjunto de funciones con las que pretende describir las experiencias realizadas. La relación que establece entre tales funciones será lo que proponga como ley física. Para ello, previamente, ha de definir en su laboratorio un sistema coordenado. Esto es: precisar el modo en que asigna a un suceso los cuatro números precisos para definir la posición y el tiempo. Así, funciones de la posición y el tiempo, establecidas en su sistema coordenado y relacionadas entre sí por medio de derivadas parciales, entrarán en la expresión matemática de la ley física. Es evidente que el contenido de la ley tendrá que ser independiente de la formulación concreta que tal ley adopte en un particular sistema coordenado. Cuando una ley se escribe como relaciones a ambos lados de una igualdad, de tal modo que, ante un cambio de sistemas coordenados, la nueva expresión de la ley mantiene la forma, se dice que tal ley está escrita de modo

i

covariante. El objetivo del observador ha de ser formular la ley de modo que su expresión no haga referencia a ningún sistema coordenado concreto. Indicará la operación que se tendrá que realizar sobre un objeto definido y nos dirá a qué otro objeto tendrá que igualarse, de modo tal que ambos objetos y la operación queden unívocamente definidos sin hacer mención a ningún sistema coordenado particular. Cuando esta condición se cumpla, diremos que se ha expresado la ley de manera geométrica. La aparición de índices en la expresión de una ley, es decir, la expresión usual de las leyes físicas por los métodos del cálculo tensorial, hace referencia a la covarianza de la misma en una clase de sistemas coordenados y, por tanto, necesariamente ha de nombrarse el conjunto de sistemas coordenados en los que la ley es invariante en forma. Lo usual en relatividad especial es proponer la ley invariante en forma para los sistemas coordenados Lorentz y, en consecuencia, se dice que su expresión es covariante Lorentz. En caso de utilizar el observador un sistema coordenado no Lorentz, puede proponerse la ley por los métodos del cálculo tensorial de modo covariante general. La ley propuesta será covariante general o invariante en forma ante una transformación general de coordenadas. Éste es el modo de proponer las leyes en relatividad general. I.2. Observadores No solamente el contenido de la ley ha de hacerse independiente de su expresión en los distintos sistemas coordenados posibles que pueda utilizar un determinado observador. También ha de ocurrir esto con la misma ley, no importa qué observador la formule. Paradójicamente este es el contenido del principio de relatividad: todos los observadores establecerán la misma ley. La ley es única. En un universo ausente de observadores los acontecimientos siguen produciéndose del mismo modo. La formulación geométrica de la ley será independiente del observador y del sistema coordenado y únicamente describirá la relación entre los objetos que intervienen en la ley física o teoría que se quiere construir. II. LA VARIEDAD CUADRIDIMENSIONAL ¿Cuál es el marco adecuado para formular las leyes físicas? Según la teoría de la relatividad especial es la variedad cuadridimensional V 4 , dotada de la estructura diferenciable y métrica adecuada. La estructura diferenciable establecida se denomina un atlas Ω. Un atlas en una n-variedad V n consiste en una familia de cartas locales φ i definidas en conjuntos abiertos ui

pertenecientes a V n , siendo ui un recubrimiento de V n . En particular, puede ocurrir que la carta local φ k pueda extenderse a toda la variedad con lo que u k = V n y el homeomorfismo φ k : φ k : u k → φ k (u k ) ⊆ R n define una coordinatización, o un sistema coordenado global válido para identificar cualquier punto de la variedad. En esa coordinatización de la variedad escribiremos para todo X ∈ u k φ k ( X ) = ( x 1 , x 2 ,..., x n ) , que serán las coordenadas del punto X . II.1. Espacio tangente Definiremos como F 0 (uk ) el conjunto de las funciones continuas f definidas en uk con valores en R . f : uk → R f ∈ F 0 (uk ) Para la carta (uk , φ k ) tendremos el modo de proceder: f ( X ) = f (φ k ( X )) = f ( x 1 , x 2 ,..., x n ) ∈ R En el sistema coordenado φ k , cada uno de los  ∂  operadores vi =  i  son parte del conjunto de vec∂ x X tores tangentes en X y constituyen la base natural de vectores tangentes en X para φ k . De este modo, todo  ∂  a se podrá expresar como a = a i  i  . Tales vecto∂ x X res residen en el espacio tangente a uk en X , que se simboliza por TX (uk ). Cualquier a ∈ TX (uk ) actúa sobre los elementos de F 0 (uk ) dando lugar a números, es decir: a: F o (uk ) → R a ∈ Tp (uk ) Al conjunto de valores a i se les denomina componentes de a en la carta φ k . Para otra carta (v k , ψ k ) X las coordenadas del punto serán ψ k ( X ) = ( x 1 , x 2 ,..., x n ) y las componentes de a en esa carta ψ k serán ( a 1 , a 2 ,..., a n ) donde la base natural en  ∂  TX (uk ) serán los vectores vi =  i  . Ya que debe ∂ x X existir una relación x j = x j ( x i ) por ser φ k , ψ k homeomorfismos de uk ∩ v k en R n , las componentes del vector a quedan relacionadas por la expresión:  ∂ xi  j ai =  j a ∂ x  que es la conocida ley de transformación de las llamadas componentes contravariantes de un vector.

ii

II.2. Espacio cotangente A los elementos del conjunto de funciones continuas F 0 (uk ) se les denomina también 0-formas. Existen otro tipo de objetos que residen en el espacio cotangente (dual del tangente) que simbolizamos por TX* (uk ). Los objetos de este espacio son las 1-formas y el conjunto de las mismas en X se simboliza como TX* (uk ). En la coordinatización φ k , la base de 1-formas es la basada en las diferenciales ( dx 1 , dx 2 ,... dx n ) ,  ∂ ∂ ∂  . Cualquier 1que es la dual de  1 , , ..., 2 ∂ x ∂x ∂ xn  forma es combinación lineal de las 1-formas base, de modo que: α = ai dx i donde (a1 , a2 , ..., an ) son las componentes de α para la carta (uk , φ k ) . Si cambiamos de carta en un entorno del punto X , de modo que ahora usamos la carta (v k , ψ k ) , las componentes de la 1-forma serán ( a 1 , a 2 , ..., a n ) y tendremos la relación:  ∂ xi  a aj = ∂ x j  i   que se conoce como la ley de transformación de las componentes covariantes. En cálculo tensorial clásico, se llama vector covariante en X al conjunto de n cantidades que se transforman según la anterior ley. Una 1-forma es una aplicación lineal de TX (uk ) en R . Así, para todo α ∈ TX* (uk ) y para todo
v ∈ TX (uk ) tendremos:
∂ ∂ α (v ) = a i dx i v β = a i v β (dx i )= β ∂ x ∂ xβ = a i v β δ βi = a i v i ∈ R Los objetos en TX (uk ) (vectores) y en TX* (uk ) (1formas) deben únicamente su existencia a la estructura diferenciable establecida en V n . Si queremos conocer el módulo de un vector o saber si dos vectores son ortogonales, hemos de introducir en TX (uk ) una estructura adicional: la estructura métrica. Introducimos (en terminología de Wheeler) en cada punto X ∈ uk , una máquina g simétrica, bilineal y no degenerada, capaz de aceptar vectores y dar números. Es decir: g (u, v ) =< u, v > ∈ R En particular, para los vectores base de φ k tendremos las componentes de g :  ∂ ∂   = g(ei , e j ) = gij =< ei , e j > g i , ∂ x ∂ x j 

La métrica induce un isomorfismo entre TX (uk ) y TX* (uk ). Para cada v ∈ TX (u k ) se establece una correspondencia con la 1-forma v * ∈ TX* (uk ) definida por v → v * / v * (u) =< v , u > ∀ u ∈ TX (uk ) Con esta definición pondremos: < v , u >=< v α eα , u β e β >= v α u β < eα , e β >= v α u β gαβ = v β u β = v α uα = v * (u) = u* (v )

Las operaciones v β = gαβ v α y uα = gαβ u β se conocen como bajar índices. De forma similar podemos subir índices, utilizando la matriz inversa g αβ . II.3. El espacio de Minkowski Es la variedad cuadridimensional dotada de estructura diferenciable y estructura métrica. En particular, existe un conjunto de cartas equivalentes (uk , φ k ) extensible a toda la variedad en que la métrica para todo X ∈ uk tiene por componentes g (ei , e j ) = ±δ ij , lo que nos dice que la base es ortonormal. En tal base hay un +1 y tres -1, por tanto el índice de la métrica es 3. Diremos que hemos establecido una coordinatización Lorentz para el espacio-tiempo y pondremos uk = V 4 = M . Todas las cartas equivalentes preservan las componentes de la métrica y definen un sistema coordenado Lorentz que se denominará ( M , φ k ) . Los objetos que se definan en M cuando se representan en componentes en la carta φ k particular elegida describirán las magnitudes físicas asociadas a las medidas realizadas por uno de los particulares observadores pertenecientes a la misma clase inercial que llamaremos S k . Dicho de otro modo: cada observador S k se corresponde con la descripción de los objetos en el sistema coordenado Lorentz o carta φ k . III. FORMAS DIFERENCIALES El conjunto de 1-formas definidas en un punto X ∈ uk ∈ V n , y que hemos denominado TX* (uk ) tiene estructura de espacio vectorial. Tal espacio vectorial base lo simbolizamos como Λ1 (V n ) y para p=2,3,... n se construye un nuevo espacio vectorial que denominaremos Λ p (V n ) . En una coordinatización dada φ k la base de serán las diferenciales Λ1 (V n ) n 1 2 ( dx , dx ,... dx ) y por lo tanto cualquier α , β se i i expresará como α = ai dx β = bi dx . Los elementos

del conjunto Λ2 (V n ) serán todos los posibles productos: α ∧ β = ai dx i ∧ b j dx j = ai b j dx i ∧ dx j

iii

donde la operación ∧ se denomina producto exterior. Las propiedades del producto exterior nos permiten obtener en tal coordinatización la base del espacio de 2formas Λ2 (V n ) . Las 2-formas base serán todos los posibles productos dx i ∧ dx j (1 ≤ i < j ≤ n) y por tanto  n la dimensión de Λ2 (V n ) será  . Del mismo modo, la  2 base de Λ p (V n ) será la siguiente: para cada conjunto de p índices: H = h1 , h2 ,... h p con la ordenación

{

}

1 ≤ h1 n. n Si ω es un elemento de Λ p (V n ) , se tendrá: a H dx H ω=

∑ H

por lo que dx H constituye una base ortonormal de n Λ p (V n ) . En particular, ω = dx 1 ∧ dx 2 ∧... dx es una n n base ortonormal de y Λ (V ) (ω , ω ) = (dx 1 , dx 1 )(dx 2 , dx 2 )... (dx n , dx n ) = (−1) ( n −t ) / 2 donde t es la signatura de Λ1 (V n ) . III.1. El operador de Hodge Es la transformación lineal que hace corresponder a cada p-forma ω ∈ F p (uk ) la (n-p)-forma ∗ω ∈ F ( n − p ) (uk ) . La (n-p)-forma ∗ω se conoce con el nombre de transformado Hodge o dual de la p-forma ω. El modo de proceder para cualquier ω es sencillo si sabemos como transformar cualquier p-forma de la base del espacio F p (uk ) . Para la coordinatización φ k , una cualquiera de las p-formas base será dx H = dx 1 ∧ dx 2 ∧... dx p con H = {1,... p} , donde

sumado sobre todos los conjuntos ordenados H. En general, una forma diferencial de orden p se representará como a H ( x 1 , x 2 , ..., x n ) dx H ω= donde los factores a H ( X ) son funciones continuas definidas en todos los puntos de uk y diferenciables tantas veces como se precisen. Si ω es una p-forma y η una q-forma ω ∧ η es un elemento del espacio de (p+q)-formas que se expresará como ω ∧ η = a H bK dx H ∧ dx K . Ahora ω , η y ω ∧ η pertenecen al conjunto de p, q y (p+q)-formas que se simbolizan, respectivamente, por F p (uk ), F q (uk ) . y F p + q (uk ). Además del producto exterior ∧ en cada espacio vectorial Λ p (V n ) se define un producto interno × como una aplicación: × : Λp (V n ) × Λ p (V n ) → R que se calcula fácilmente si se toma la coordinatización en que ( dx 1 , dx 2 ,... dx n ) es una base ortonormal de H con Λ1 (V n ) . De este modo, siendo dx

( dx 1 , dx 2 ,... dx n ) es una base ortonormal de F 1 (uk ) . Sea K el conjunto q de n-p índices k={p+1,... n}, el transformado Hodge de dx H será: ∗ dx H = ( dx K , dx K ) dx K para cualquier conjunto H de p índices y K de (n-p) índices.

H = h1 < h2