TEMA 9: ÁREAS Y VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS POLIEDROS REGULARES Un poliedro se llama regular cunado cumple las dos condiciones siguientes: •

Sus caras son polígonos regulares idénticos.

• En cada vértice del poliedro concurre el mismo número de caras. Hay 5 poliedros regulares:

Ejercicios. 1. Calcula el área de un icosaedro regular de 6 cm de arista.

2. Calcula el área de un dodecaedro regular de 5 cm de arista y 3 cm de apotema.

ÁREAS DE CUERPOS GEOMÉTRICOS Poliedros. Para calcular el área de un poliedro calculamos el área de cada una de sus caras y las sumamos. Ejercicios. 3. Calcular el área de una pirámide recta hexagonal regular, sabiendo que su arista básica mide 5 cm, y la arista lateral, 13 cm.

4. Calcula el área total total de una pirámide recta de 15 cm de altura, cuya base es un cuadrado de 16 cm de lado.

Cilindros. Para calcular el área de un cilindro dibujamos su desarrollo plano.

El área será la suma de las áreas de dos círculos y un rectángulo: A= Por ejemplo el área de un cilindro de 4 cm de altura y 3 cm de radio será:

Conos. Para calcular el área de un cono dibujamos su desarrollo plano.

El área del cono será la suma del área del círculo más la del sector circular. A=

Ejercicios. 5. Hallar el área total de un cono de 10 cm de radio y 20 cm de altura.

Tronco de cono. Para hallar el área de un tronco de cono dibujamos su desarrollo plano.

El área del tronco de cono será la suma de las áreas de los círculos más el área lateral cuya forma recuerda a un trapecio. A=

Ejercicios. 6. Un cono tiene 12 cm de altura y 9 cm de radio en la base. Calcular el área lateral y el área total del tronco de cono que se obtiene al cortar el cono por un plano paralelo a la base a 4 cm de altura.

Esfera.

El área de la esfera es A=

El área del casquete esférico es A=2πR.h

El área de la zona esférica es A=2πR.h

Ejercicios. 7. Cortamos una esfera de 20 cm de radio obteniendo, en la sección, un círculo de 16 cm de radio.. ¿Cuál es el área del casquete esférico que hemos separado de la esfera?

VOLÚMENES DE CUERPOS GEOMÉTRICOS Trabajaremos con tres fórmulas para calcular el volumen •

Para prismas y cilindros V = Área de la base x altura

•

Para pirámides y conos

V =

Área de la base x altura 3

•

Para la esfera

V =

4πR 3 3

Para los demás casos descompondremos los cuerpos en partes y calcularemos los volúmenes de estas partes por separado. Ejercicios. 8. Calcula el volumen de las siguientes figuras. a)

b) h=12 cmm y a=4 cm

9. Halla el volumen de un tronco de cono de radios 4 cm y 12 cmm, cmm, y de 23 cm de altura.

EJERCICIOS 1. Dibuja el desarrollo plano y calcula el área total de los siguientes cuerpos geométricos:7

Sol: a) 172,8 cm2 b) 451 cm2 c) 663 m2 d) 196,2 cm2. 2. Calcula la superficie total de cada cuerpo:

Sol: a) 175,94 cm2 b) 83,22 cm2 c) 165,6 cm2 d) 201,1 cm2 e) 162 m2 f) 124,8 cm2.

3. Dibuja los siguientes cuerpos geométricos y calcula su área: a) Prisma de altura 20 cm y cuya base es un rombo de diagonales 18 cm y 12 cm. b) Pirámide hexagonal regular de arista lateral 18 cm y arista básica 6 cm. Sol: a) 1 081,6 cm2 b) 413,1 cm2. 4. Dibuja los siguientes cuerpos geométricos y calcula su área: a) Cilindro de altura 27 cm y cuya circunferencia básica mide 44 cm. b) Tronco de cono generado al girar un trapecio rectángulo de bases 10 cm y 12 cm y altura 5 cm alrededor de esta. Sol: a) 1 496,2 cm2 b) 1 138,50 cm2. 5. Halla el área total de un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas bases tienen de lado 30 cm y 14 cm y cuya arista lateral mide 17 cm. Sol: 2 416 cm2. 6. Haciendo girar un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 9 cm y 12 cm alrededor de cada uno de ellos, se obtienen dos conos. Dibújalos y halla el área total de cada uno de ellos. Sol: a) 1 017,88 cm2 b) 678,58 cm2. 7. Calcula la superficie de una esfera cuyo diámetro mide 24 cm. ¿Cuál será el área de un casquete esférico de 12 cm de altura de esa misma esfera? Sol: Esfera: 1 809,56 cm2 y Casquete: 904,78 cm2. 8. Cortamos un cubo por un plano que pasa por los puntos MNC'A' (M y N son los puntos medios de las aristas AD y DC, respectivamente). Calcula el área total del menor de los poliedros que se forman.

Sol: 468,1 cm2. 9. Calcula el área total del tronco de cono generado al girar este trapecio isósceles alrededor de una recta perpendicular a sus bases en su punto medio:

Sol: 222,23 cm2. 10. a) Calcula la superficie del triángulo coloreado en la figura. b) ¿Cuál es la superficie del mayor tetraedro que cabe dentro de ese cubo?

Sol: a) 86,61 cm2 b) 346,44 cm2. 11. Calcula el volumen de estos cuerpos:

Sol: a) 108 cm3 b) 2 770,88 cm3 c) 117,81 m3 d) 740,88 cm3 e) 4 446,4 m3 f) 108 cm3.

12. En una probeta de 6 cm de radio se echan cuatro cubitos de hielo de 4 cm de arista. ¿A qué altura llegará el agua cuando se derritan? Sol: 2,26 cm. 13. Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos: a) Octaedro regular de arista 10 cm. b) Pirámide hexagonal regular cuya arista lateral mide 15 cm y la arista de la base 8 cm. c) Cono de radio 9 cm y generatriz 15 cm. d) Semiesfera de radio 10 cm. e) Cilindro inscrito en un prisma recto de base cuadrada de lado 6 cm y altura 18 cm. Sol: a) 471,34 cm3 b) 703,53 cm3 c) 113,1 cm3 d) 2 094,4 cm3 e) 508,94 cm3. 14. Calcula el volumen de estos cuerpos:

Sol: a) 245,04 m3 b) 565,49 m3 15. Calcula el volumen de un tronco de cono de radios 12 cm y 16 cm y altura 20 cm. Sol: 586,43 cm3. 16. a) ¿Qué vaso tiene mayor capacidad?

b) ¿Cuántos litros son 10 de estos vasos? Sol: a) Es un poco mayor el cilindro. b) 10 vasos son 1,97 l, aproximadamente. 17. Calcula el volumen de una habitación de 2,30 m de altura, cuya planta tiene la forma y dimensiones indicadas en la figura.

Sol: 52,9 m3 18. Se introduce una bola de piedra de 14 cm de diámetro en un recipiente cúbico de 14 cm de arista lleno de agua y después se retira. Calcula: a) La cantidad de agua que se ha derramado. b) La altura que alcanza el agua en el recipiente después de sacar la bola. Sol: Sol: a) 1 436,76 cm3 b) 6,67 cm. 19. Calcula el volumen de los cuerpos de revolución que genera cada una de estas figuras planas al girar alrededor del eje indicado:

Sol: a) 141,37 cm3 b) 84,82 cm3

20. Tres pelotas de tenis se introducen en una caja cilíndrica de 6,6 cm de diámetro en la que encajan hasta el borde. Halla el volumen de la parte vacía.

Sol: 225,8 cm3 21. Un triángulo rectángulo isósceles, cuyos catetos miden 8 cm respectivamente, se hace girar alrededor de la hipotenusa. Halla el volumen del cuerpo que se forma. Sol: 379,34 cm3 22. Queremos hacer un tubo cilíndrico soldando por los lados un rectángulo de 28 cm de largo y 20 cm de ancho. ¿Cómo se consigue mayor volumen, soldando por los lados de 28 cm o por los de 20 cm? Sol: Se consigue mayor volumen volumen soldando por los lados de 20 cm. 23. Cortamos un prisma triangular regular por un plano perpendicular a las bases y que pasa por el punto medio de dos aristas. Calcula el volumen de los dos prismas que se obtienen.

Sol: Volumen del prisma pequeño: 69,3 m3 y volumen del prisma grande: 207,8 m3. 24. Seccionamos un cubo como indica la figura. ¿Cuál es el volumen de las partes seccionadas?

Sol: El volumen de la menor parte 31,25 cm3 y de la parte mayor 93,75 cm3. 25. El desarrollo de la superficie lateral de un cono es un sector circular de 120° de amplitud y cuya área es 84,78 cm2. Halla el área total y el volumen del cono. Sol: 113,05 cm2 y 80 cm3. AUTOEVALUACIÓN 1. Calcula el área total.

2. Calcula el volumen.

3. Calcula el volumen total de esta figura.

4. Un recipiente de cocina con forma cilíndrica, de 21 cm de altura y 12 cm de diámetro de la base, está lleno de consomé en sus tres séptimas partes. Ha caído en su interior una cuchara de 16 cm. Razona si se ha sumergido por completo no en el consomé. 5. Calcula el área total de esta figura.

6.

Calcula el área total de esta figura

7.

Calcula el volumen de un tronco de cono de 18 cm de altura y cuyos radios menor y mayor miden 2 cm y 8 cm respectivamente. 8. En un vaso cilíndrico de 5 cm de radio, lleno de agua hasta una altura de 10 cm, metemos una piedra y el nivel sube 3 cm. Calcula el volumen de la piedra. 9. Una piscina tiene forma de prisma rectangular de dimensiones 25m x 15m x 3m. ¿Cuánto necesitaremos para llenar los 4/5 de su volumen si utilizamos un grifo que vierte 6 dm3 por minuto? 10. Calcula el volumen de una piscina de 1,6 cm de altura y cuya planta tiene la forma de la figura siguiente.

ED = 12 m DC = 4 m BE = 14, 4 m

11. Uniendo los puntos medios de las aristas de un cubo de 12 cm de lado, hemos obtenido un hexágono regular. a) Calcula su área. b) Halla el volumen de la pirámide que tiene por base ese hexágono y su altura es la mitad de la diagonal del cubo.