Ponticia Universidad Católica de Chile Facultad de Física Termodinámica y Teoría Cinética: Fiz 0211

Ayudantía 9 - Soluciones Teorema del Máximo trabajo

Profesor: Miguel Kiwi ([email protected]) Ayudante: Daniel Narrias ([email protected])

Problema 1 Considere tres cuerpos con número de moles y volumen constantes, y con capacidad calórica C constante. Los cuerpos tienen temperaturas iniciales T1 = 300o K , T2 = 350o K y T3 = 400o K . Se desea elevar la temperatura de uno de ellos tanto como sea posible, independiente de las temperaturas nales de los cuerpos restantes (y sin cambiar el estado de cualquier sistema externo). ¾Cuál es la máxima temperatura que puede alcanzar uno de ellos? Encuentre al menos una ecuación para la máxima temperatura, y evalúe con maple. Solución: Sea Th la máxima temperatura nal del cuerpo de mayor temperatura. Las temperaturas de los dos cuerpos restantes deben ser iguales, pues si fueran distintas, por el mismo proceso se podría hacer subir aún más la temperatura Th y no sería la máxima como se pidió. Por tanto, sea Tc la temperatura de los cuerpos restantes. Los cuerpos no varían sus volumene ni números de moles, por lo que no realizan trabajo. Tenemos para cada uno de ellos dU = dQ = CdT =⇒ U = CT

Dado que no hay más sistemas interactuando excepto estos tres cuerpos, tenemos por la conservación de la energía que CT1 + CT2 + CT3 = CTh + 2CTc =⇒ T1 + T2 + T3 = Th + 2Tc

Compruebe que esta misma relación se puede obtener igualando el calor cedido por los dos cuerpos de menor temperatura con el calor recibido por el cuerpo de mayor temperatura. 1

Encontremos la entropía del sistema. Tenemos que dS = dS1 + dS2 + dS3 dQ1 dQ2 dQ3 + + = T1 T2 T3 dU1 dU2 dU3 = + + T1 T2 T3 dT1 dT2 dT3 = C +C +C T1 T2 T3   2 Th Tc =⇒ 4S = Cln T1 T2 T3

La máxima temperatura se alcanzará en el proceso reversible, por lo que  4S = Cln

Th Tc2 T1 T2 T3



= 0 =⇒ Th Tc2 = T1 T2 T3

Si escalamos las temperaturas por mil, obtenemos Th + 2Tc = T1 + T2 + T3 = 10,5 Th Tc2 = T1 T2 T3 = 42

por lo que 

Th 5,25 − 2

2 Th = 42

Tenemos además la restricción que 0 ≤ Th ≤ 10,5, lo cual se desprende de la primera ecuación, pues todas las temperaturas (incluyendo Tc ) son positivas. Usando maple, obtenemos que la máxima temperatura es Th = 409,5o K

Problema 2 Considere una máquina de calor arbitraria (heat engine, que transforma energía calórica en energía mecánica), la cual opera entre dos fuentes de misma capacidad calórica C (independiente de la temperatura). Las fuentes tienen temperaturas iniciales T1 < T2 , y la máquina opera hasta que ambas alcanzan la misma temperatura nal T3 . a) Muestre que

√ T1 T2 ≤ T3 .

b) Encuentre el máximo trabajo obtenible de esta máquina.

Solución: 2

a) Probaremos lo pedido por consideraciones de cambio de entropía. Tenemos que dQ1 dQ2 + T1 T2 dT1 dT2 = C +C T1 T  2 2 T3 =⇒ 4S = Cln T1 T2 dS =

Y dado que el cambio de entropía nunca es negativo, tenemos que  0 ≤ 4S = Cln

T32 T1 T2



=⇒ T1 T2 ≤ T32 =⇒

p T1 T2 ≤ T3

b) Sabemos que el máximo trabajo se alcanzará si la máquina es reversivble (si el proceso es reversible), es decir, 4S = 0 ⇐⇒ T3 =

p T1 T2

Tenemos que el balance de energía es dQ = CdT1 +CdT2 = −dW =⇒ Q = C(2T3 −T1 −T2 ) = −W =⇒ W = C(T1 +T2 −2T3 )

Por tanto, el máximo trabajo realizado en el proceso reversible es p p p Wmax = C(T1 + T2 − 2 T1 T2 ) = C( T2 − T1 )2

Problema 3 Una máquina de calor reversible opera entre dos fuentes, de temperaturas T1 < T2 . La fuente de temperatura T1 es un reservorio térmico. La fuente de temperatura T2 es una cantidad nita de gas a volumen constante, con N moles y capacidad calórica especíca cv . Luego que la máquina ha operado un largo período de tiempo, la temperatura T2 disminuye a T1 . a) Encuentre el calor extraído de la fuente 2 durante el período. b) Encuentre el cambio de entropía de la fuente 2 durante el período. c) Encuentre el trabajo hecho por la máquina durante este período. 3

Solución: a) El calor extraído es simplemente Q = cv N (T2 − T1 )

b) El cambio de entropía de la fuente 2 es dQ T cv N dT = T 

dS =

=⇒ 4S = cv N ln

T1 T2