1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 9

Pág. 1

Entrénate 1 a) ¿Cuáles de los siguientes números no pueden expresarse como cociente de dos números enteros? ) ) –2; 1,7; √3; 4,2; –3,7 5; 3π; –2√5 b) Expresa como fracción aquellos que sea posible. c) ¿Cuáles son irracionales? a) No pueden expresarse como cociente: √3; 3π y –2√5. ) ) b) –2 = – 4 ; 1,7 = 17 ; 4,2 = 42 – 4 = 38 ; –3,75 = – 375 – 37 = – 338 = – 169 2 10 9 9 90 90 45 c) Son irracionales: √3, –2√5 y 3π. 2 a) Clasifica en racionales o irracionales los siguientes números: ) √3 ; 0,8 7; –√4; – 7 ; 1 ; 2π 3 √2 2 b) Ordénalos de menor a mayor. c) ¿Cuáles son números reales? ) a) Racionales: 0,87; – √4; – 7 Irracionales: √3 ; 1 ; 2π 3 2 √2 ) b) – 7 < – √4 < 1 < √3 < 0,87 < 2π 3 2 √2 c) Todos son números reales. 1 Sitúa cada uno de los siguientes números en los casilleros correspondientes. Ten en cuenta que cada número puede estar en más de un casillero. (HAZLO EN TU CUADERNO). ) 107; 3,95; 3,95; –7; √20; 36 ; 9 NATURALES, ENTEROS,

N

Z

FRACCIONARIOS RACIONALES,

Q

IRRACIONALES

Unidad 1. Números reales

√ 49 ; –√36; 73 ; π – 3

107; 36/9 = 4 107; –7; 36/9 = 4; –√36 = – 6 ) 3,95; 3,95; √4/9 = 2/3; 7/3 ) 104; 3,95; 3,95; –7; 36/9 = 4; √4/9 = 2/3; –√36 = – 6; 7/3

√20 ; π – 3

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 11

Pág. 1

1 Escribe los conjuntos siguientes en forma de intervalo y representa los números que cumplen las condiciones indicadas en cada caso: a) Comprendidos entre 5 y 6, ambos incluidos.

[5, 6]

b) Mayores que 7.

(7, +@)

c) Menores o iguales que –5.

(– @, –5]

5

6

7 –5

2 Escribe en forma de intervalo y representa: a) {x / 3 Ì x < 5}

[3, 5)

b) {x / x Ó 0}

[0, +@)

c) {x / –3 < x < 1}

(–3, 1)

d) {x / x < 8}

(–@, 8)

3

5

0 –3

0

1

8

3 Escribe en forma de desigualdad y representa: a) (–1, 4]

{x / –1 < x Ì 4}

b) [0, 6]

{x / 0 Ì x Ì 6}

c) (– @, –4)

{x / x < –4}

d) [9, +@)

{x / x Ó 9}

–1

4 0

6 –4 9

4 Escribe en forma de intervalo o semirrecta y representa en la recta real los números que cumplen la desigualdad indicada en cada caso: a) –3 Ì x Ì 2 a) [–3, 2]

–3

b) (–1, 5)

–1 0

c) (0, 7]

0

d) (–5, +@)

–5

Unidad 1. Números reales

c) 0 < x Ì 7

b) –1 < x < 5 0

2 5 7 0

d) x > –5

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe 5 Expresa como intervalo o semirrecta y como una desigualdad cada uno de los conjuntos de números representados. b) a) –1 0

c)

–2

3

0

1

d)

5

0

a) [–1, 3]; –1 Ì x Ì 3

b) (1, 5]; 1 < x Ì 5

c) [–2, +@); x Ó –2

d) (– @, 4); x < 4

4

6 Indica cuáles de los números siguientes están incluidos en A = [–3, 7) o en B = (5, +∞): ) –3; 10; 0,5; 7; √5; 6, 3 ) –3; 0,5; √5; 6,3 están en A. ) 10; 7; 6,3 están en B.

Unidad 1. Números reales

Pág. 2

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 12

Pág. 1

Cálculo mental 1 Di el valor de k en cada caso: a) ³√k = 2

b) √–243 = –3

c) 4√k = 2 3

d) √1 024 = 2

a) k = 23 = 8

b) –243 = (–3)5 8 k = 5

4 c) k = 24 3

d) 1 024 = 210 8 k = 10

k

k

2 Calcula las raíces siguientes: a) ³√–8

b) 5√32

c) 5√–32

d) 8√0

e) 4√81

f ) ³√125

a) –2

b) 2

c) –2

d) 0

e) 3

f)5

1 Expresa en forma exponencial. a) 5√x

b) ³√x 2

c) ¹5√a 6

e) 6√a 5

d) √a 13

a) x 1/5

b) x 2/3

c) a6/15

d) a13/2

e) a5/6

f ) a8/4 = a2

f ) 4√a 8

2 Calcula. a) 41/2

b) 1251/3

c) 6251/4

d) 82/3

e) 645/6

f ) 363/2

a) 41/2 = √4 = 2

³ 125 = 5 b) 1251/3 = √

4 625 = 5 c) 6251/4 = √

³ 82 = 4 d) 82/3 = √

6 645 = 25 = 32 e) 645/6 = √

f ) 363/2 = √363 = 63 = 216

3 Expresa en forma radical. a) x 7/9

b) n 2/3

c) b 3/2

d) a4/5

a) 9√x 7

³ n2 b) √

c) √b3

5 a4 d) √

4 Expresa en forma exponencial. a) 5√x 2

b) √2

e) 5√(–3)3

f ) 4√a

g) (5√x –2 )

a) x 2/5

b) 21/2

c) 102

d) 201/2

e) (–3)3/5

f ) a1/4

g) x–6/5

h) a1/3

Unidad 1. Números reales

c) ³√106

3

d) 4√202 h) ¹5√a 5

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe 5 Pon en forma de raíz.

Pág. 2 1/3

()

a) 51/2

b) (–3)2/3

c) 4 3

a) √5

³ (–3)2 b) √

c) 3 4 3

Unidad 1. Números reales

√

d) (a3)1/4

e) (a1/2)1/3

f ) (a –1)3/5

4 a3 d) √

e) ³√√a

5 a –3 f) √

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 13

Pág. 1

Halla con la calculadora: 1 a) √541 a) √541 = 23,259406… 2 a) 5√8,24 5 8,24 = 1,5247036… a) √

3 a) 5√372 5 372 = 4,2391686… a) √

b) 3272

c) ³√8,53

b) 3272 = 106 929

³ 8,53 = 2,0432257… c) √

b) 6√586

c) 4√79,46

6 586 = 2,8927857… b) √

4 79,46 = 2,9856379… c) √

b) 4√2,15

c) ³√0,0082

4 2,15 = 2,5279828… b) √

³ 0,0082 = 0,04 c) √

4 Calcula las raíces del ejercicio 2 utilizando la tecla ‰. (Por ejemplo: 8,24 ‰ 5 Y

=).

5 Calcula las raíces del ejercicio 3 utilizando la tecla ‰. (Por ejemplo: 37 ‰ 2 Å 5 =).

Unidad 1. Números reales

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 14

Pág. 1

Entrénate 1 Simplifica. b) 6√23

a) 4√52

c) 8√34

e) ³√56

d) √74

4 52 = 52/4 = 51/2 = √5 a) √

6 23 = 23/6 = 21/2 = √2 b) √

8 34 = 34/8 = 31/2 = √3 c) √

d) √74 = 74/2 = 72

³ 56 = 56/3 = 52 e)√

4 118 = 118/4 = 112 f) √

f ) 4√118

2 Extrae factores. a) √12

b) √50

c) ³√16

d) ³√24

e) √175

f ) 4√80

h) √300

g) √180

a) √12 = √22 · 3 = 2√3

b) √50 = √52 · 2 = 5√2

³ 16 = √ ³ 24 = 2√ ³2 c) √

³ 24 = √ ³ 24 · 3 = 2√ ³3 d) √

e) √175 = √52 · 7 = 5√7

4 80= √ 4 24 · 5= 2√ 45 f) √

g) √180 = √22 · 32 · 5 = 2 · 3 · √5

h) √300 = √22 · 3 · 52 = 2 · 5 · √3

3 Multiplica y simplifica. a) √3 · √3

b) √2 · √5

c) √5 · √15

d) √5 · √20

e) √10 · √6

f ) √3 · √27

a) √3 · √3 = √3 · 3 = 3

b) √2 · √5 = √2 · 5 = √10

c) √5 · √15 = √5 · 3 · 5 = 5√3

d) √5 · √20 = √5 · 22 · 5 = 5 · 2 = 10

e) √10 · √6 = √2 · 5 · 2 · 3 = 2√15

f ) √3 · √27 = √3 · 33 = 32 = 9

4 Efectúa. a) (³√2 )

3

b) (5√3 )

³2 a) (√ ) = √³ 23 = 2

10

3

c) (√7

)3= √73 = 7 √7 ³ 52 )2= √ ³ 52·2 = 5 · √ ³5 e) (√

Unidad 1. Números reales

c) (√7 )

3

d) (6√23 )

2

e) (³√52 )

2

53 b) (√ ) = √5 310 = 310/5 = 32 = 9 10

6 23 ) = √ 6 23·2 = 2 d) (√ 2

4 22 )3= √ 4 22·3 26/4 = 23/2 = 2 √2 f ) (√

f ) (4√22 )

3

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 15

Pág. 1

Entrénate 1 Escribe con solo una raíz. a) √√5

³7 b) ³√√

c) ³√√10

45 a) √√5 = √

³ 7 = 9√7 b) ³√√

6 10 c) ³√√10 = √

2 Suma si es posible. a) √2 + 7 √2

b) 3 √7 + √7

c) 2 √3 – √3

d) √2 + 5 √2 – 3 √3

a) √2 + 7 √2 = 8 √2

b) 3 √7 + √7 = 4 √7

c) 2 √3 – √3 = √3

d) √2 + 5 √2 – 3 √2 = 3 √2

3 Elimina el radical del denominador. a) 1 √3

b) 2 √5

d) √2 √3

c) 3 √2

a) 1 = √3 = √3 3 √3 √3 · √3

b) 2 = 2 · √5 = 2 · √5 5 √5 √5 · √5

c) 3 = 3 · √2 = 3 · √2 2 √2 √2 · √2

d) √2 = √2 · √3 = √6 3 √3 √3 · √3

1 Simplifica. a) ¹²√x 9

b) ¹²√x 8

c) 5√y10

d) 6√8

e) 9√64

4 x3 a) ¹²√x 9 = x 9/12 = x 3/4 = √

³ x2 b) ¹²√x 8 = x 8/12 = x 2/3 = √

5 y10 = y 2 c) √

68 =√ 6 23 = 21/2 = √2 d) √

³4 e) 9√64 = 9√26 = 26/9 = 22/3 = √

8 81 = √ 8 34 = 31/2 = √3 f)√

2 Saca del radical los factores que sea posible. a) √x 3

b) ³√a5

c) √b5

d) ³√32x4

e) ³√81a3b5c

f ) 5√64

a) √x3 = x √x

³ a5 = a √ ³ a2 b) √

c) √b5 = b2 √b

³ 32x 4 = √ ³ 25x 4 = 2x √ ³ 4x d) √

³ 81a 3b5c = √ ³ 34 a 3 b 5c = 3ab √ ³ 3b 2c e) √

5 64 = √ 5 26 = 2 √ 52 f) √

Unidad 1. Números reales

f ) 8√81

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe 3 Multiplica y simplifica. a) √2 √3 √6

b) ³√a ³√a2 ³√a4

Pág. 2

√ √ 53

d) 4 3 5

c) 6√x 6√x 2

4

a) √2 √3 √6 = √2 · 3 · 6 = √62 = 6

³a √ ³ a2 √ ³ a4 = √ ³ a · a2 · a4 = √ ³ a7 = a2 √ ³a b) √

6x √ 6 x2 = √ 6 x · x 2 = x 3/6 = x1/2 = √x c) √

d) 4 3 5

√ √ 53 =√ 35 · 53 = √1 = 1 4

4

4

4 Extrae factores y suma si es posible. a) √12 + √3

b) √18 – √2

c) √45 – √20

d) 2 √6 – √8

a) √12 + √3 = 2 √3 + √3 = 3 √3

b) √18 – √2 = 3 √2 – √2 = 2 √2

c) √45 – √20 = 3 √5 – 2 √5 = √5

d) 2 √6 – √8 = 2 √6 – 2 √2

Unidad 1. Números reales

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 16

Pág. 1

Cálculo mental Expresa en notación científica los siguientes números: a) 340 000

b) 0,00000319

c) 25 · 106

d) 0,04 · 109

e) 480 · 10–8

f ) 0,05 · 10–8

a) 340 000 = 3,4 · 105

b) 0,00000319 = 3,19 · 10–6

c) 25 · 106 = 2,5 · 107

d) 0,04 · 109 = 4 · 107

e) 480 · 10–8 = 4,8 · 10–6

f ) 0,05 · 10–8 = 5 · 10–10

Unidad 1. Números reales

1

Soluciones a las actividades de cada epígrafe PÁGINA 17

Pág. 1

1 Escribe estos números en notación científica: a) 13 800 000

b) 0,000005

c) 4 800 000 000

d) 0,0000173

a) 1,38 · 107

b) 5 · 10–6

c) 4,8 · 109

d) 1,73 · 10–5

2 Calcula mentalmente y comprueba con la calculadora. a) (2 · 105) · (3 · 1012)

b) (1,5 · 10–7) · (2 · 10–5)

c) (3,4 · 10–8) · (2 · 1017)

d) (8 · 1012) : (2 · 1017)

e) (9 · 10–7) : (3 · 107)

f ) (4,4 · 108) : (2 · 10–5)

g) (5 · 10–7) · (8 · 10–9) a) 6 · 1017

b) 3 · 10–12

c) 6,8 · 109

e) 3 · 10–14

f) 2,2 · 1013

g) 4 · 10–15

d) 4 · 10–5

3 ¿Cuál de las siguientes medidas es más precisa (tiene menos error relativo)? Di, en cada una, de qué orden es el error absoluto cometido: a) Altura de Claudia: 1,75 m. b) Precio de un televisor: 1 175 €. c) Tiempo de un anuncio: 95 segundos. d) Oyentes de un programa de radio: 2 millones. a) Altura: 1,75 m 8 Error absoluto < 0,005 m b) Precio: 1 175 € 8 Error absoluto < 0,5 € c) Tiempo: 95 s 8 Error absoluto < 0,5 s d) N.° de oyentes: 2 millones 8 Error absoluto < 500 000 La de menor error relativo es la b), porque tiene más cifras significativas. 4 Di una cota del error absoluto en cada una de estas medidas: 53 s; 18,3 s; 184 s; 8,43 s. ¿En cuál de ellas es mayor el error relativo? 53 s 8 Ea < 0,5 s 18,3 s 8 Ea < 0,05 s 184 s 8 Ea < 0,5 s 8,43 s 8 Ea < 0,005 s El mayor error relativo se da en 53 s, porque es la medición que tiene menos cifras significativas.

Unidad 1. Números reales

1

Soluciones a “Ejercicios y problemas” PÁGINA 18

■ Practica Números reales 1

a) Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales: ) 41 ; 49 ; 53,7; 3,2; √12; ³√5; π √ 2 13 b) ¿Alguno de ellos es entero? c) Ordénalos de menor a mayor. ) ³ 5; π Irracionales: √12 ; √ a) Racionales: 41 ; √49 ; 53,7; 3,2 2 13 b) El único entero es √49 (= 7). ³ 5 < 41 < 3,2 < √12 < √49 < 53,)7 c) π < √ 2 13

2

Di cuáles de los siguientes números son irracionales: ) –3 ; 1,73; √3 ; π; √9 ; 1 + √5 ; 3,7 4 2 Son irracionales √3 , π y 1 + √5 . 2

3

Indica cuáles de los siguientes números pueden expresarse como cociente de dos números enteros y cuáles no: ) 21,5; √7 ; 2,010010001…; ³√– 8; 2 + √3 ; 0,5; 2π – 1 Los números que pueden expresarse como cociente de dos números enteros son los racionales, y los que no, irracionales: ) ³ – 8; 0, 5 Racionales: 21,5; √ Irracionales: √7 ; 2,010010001…; 2 + √3 ; 2π – 1

4

Clasifica estos números en naturales, enteros, racionales y reales: 3 –3 7,23 –2 √2 4 1 ³√–1 π +1 0 –4 3 11 2 2,48 18 √5 9 5√–2 –1 1 1,010203… 1 + √2 N 8 3; 0; 2; 18; 1 ³ –1 ; √ 5 –2 Z 8 3; 0; 2; 18; 1; –2; –4; –1; √ ³ –1 ; √ 5 –2; – 3 ; 7,23; 1 ; 11; 2,48 Q 8 3; 0; 2; 18; 1; –2; –4; –1; √ 4 3 9 3 ³ –1 ; √ 5 –2; – ; 7,23; 1 ; 11; 2,48; Á 8 3; 0; 2; 18; 1; –2; –4; –1; √ 4 3 9 2; π + 1; 1 + 2; 1,010203… √ √

Unidad 1. Números reales

Pág. 1

1

Soluciones a “Ejercicios y problemas” Intervalos y semirrectas 5

6

Pág. 2

Describe cuáles son los números que pertenecen a los intervalos siguientes: A = (–2, 3)

B = [5, 10]

C = [0, 7)

D = (–1, 4]

E = (–∞, 2)

F = [3, +∞]

A = {x / –2 < x < 3}

B = {x / 5 Ì x Ì 10}

C = {x / 0 Ì x < 7}

D = {x / –1 < x Ì 4}

E = {x / x < 2}

F = {x / 3 Ì x}

Considera los números siguientes: 1; 2; 2,3; 3; 3,9; 4; 4,1 a) Indica cuáles de ellos pertenecen al intervalo [2, 4). b) ¿Y cuáles pertenecen al intervalo [2, 4]? c) ¿Y cuáles al (2, +@)? a) Al intervalo [2, 4) pertenecen el 2; 2,3; 3; 3,9. b) En el intervalo [2, 4] están el 2; 2,3; 3; 3,9; 4. c) En el intervalo (2, +@) se encuentran los números 2,3; 3; 3,9; 4; 4,1.

7

Escribe en forma de intervalo y representa los números que cumplen estas condiciones, en cada caso: a) 0 < x < 1 b) x Ì –3 c) x > 0 d) –5 Ì x Ì 5 e) x > –5 f)1Ìx 2}

Unidad 1. Números reales

11

–7 –7

d) {x / –3 Ì x} f ) {x / –5 < x Ì 2}

00

22 00

22

1

Soluciones a “Ejercicios y problemas” 9

Expresa como intervalos y mediante desigualdades cada uno de los conjuntos de números representados: b) a) c) a) b)

–2

5

2

7

–2

5

c) d) 10

d) intervalo

3 2

7 –1

3

–1

desigualdad

[–2, 5)

{x / –2 Ì x < 5}

[3, +@)

{x / x Ó 3}

[2, 7]

{x / 2 Ì x Ì 7}

(–@, –1)

{x / x < –1}

Escribe en forma de intervalo y representa los números que cumplen las condiciones dadas en cada caso: a) Menores o iguales que 3. b) Comprendidos entre –1 y 0, incluyendo el 0, pero no el –1. c) Mayores que 2, pero menores que 3. d) Mayores que 5. a) (– @, 3] b) (–1, 0]

3 –1 0

c) (2, 3) d) (5, +@)

2

3

5

Potencias y raíces 11

Expresa en forma exponencial. a) ³√52 e) √a –1

b) 5√a 2 f ) 4√a 2

c) 8√a 5 g) √a

d) ³√x h) √2

a) 5 2/3 e) a –1/2

b) a 2/5 f ) a 2/4 = a 1/2

c) a 5/8 g) a 1/2

d) x 1/3 h) 2 1/2

12

Expresa en forma de raíz. a) 32/5

b) 23/4

c) a 1/3

d) a 1/2

e) x 1/4

f ) a 3/2

g) x –1/2

h) x –3/2

5 32 = √ 59 a) √

4 23 = √ 48 b) √

³a c) √

d) √a

4x e) √

f ) √a 3

g) √x –1

h) √x –3

Unidad 1. Números reales

Pág. 3

1

Soluciones a “Ejercicios y problemas” 13

Calcula.

Pág. 4

a) 251/2

b) 271/3

c) 1252/3

d) 813/4

e) 95/2

f ) 165/4

g) 493/2

h) 85/3

a) 25 1/2 = (5 2) 1/2 = 5 2/2 = 5

b) 27 1/3 = (3 3) 1/3 = 3 3/3 = 3

c) 125 2/3 = (5 3) 2/3 = 5 3 · 2/3 = 5 2 = 25

d) 81 3/4 = (3 4) 3/4 = 3 3 = 27

e) 95/2 = (32)5/2 = 32 · 5/2 = 35 = 243

f ) 165/4 = (24)5/4 = 24 · 5/4 = 25 = 32

g) 493/2 = (72)3/2 = 72 · 3/2 = 73 = 343

h) 85/3 = (23)5/3 = 23 · 5/3 = 25 = 32

14

Calcula las siguientes raíces: a) 4√16

b) 5√243

c) 7√0

d) 4√1

e) ³√–1

f ) 5√–1

g) ³√–27

h) √144

i) 6√15 625

4 16 = √ 4 24 = 2 a) √

5 243 = √ 5 35 = 3 b) √

70 =0 c) √

41 =1 d) √

³ –1 = –1 e) √

5 –1 = –1 f) √

³ –27 = √ ³ –(3)3 = –3 g) √

h) √144 = √122 = 12

6 15 625 = √ 6 56 = 5 i) √

Unidad 1. Números reales

1

Soluciones a “Ejercicios y problemas” PÁGINA 19 15 k

Pág. 1

Di el valor de k en cada caso:

√

k

e) ³√k = –1

k

b) k = (–2)3 8 k = –8

c) k = 3 2

k

e) k = (–1)3 8 k = –1

f)k

d) √–125 = –5 a) √35 = 3 8 k = 5 d) √(–5)3 = –5 8 k = 3 16

c) 4√k = 3 2 k f ) 49 = 7 64 8

b) ³√k = –2

a) √243 = 3

Obtén con la calculadora. b) ³√–173 c) 4√143 a) 5√9

d) 4√75,3

()

√( 78 )

e) 6√603

2

4

8 k = 81 16

= 7 8 k=2 8

f ) ³√0,062

5 9 = 9 1/5 ≈ 1,55 a) √

³ –173 ≈ –5,57 b) √

4 143 = 14 3/4 ≈ 7,24 c) √

4 75,3 ≈ 2,95 d) √

6 603 ≈ 2,91 e) √

³ 0,062 ≈ 0,15 f)√

17

Halla con la calculadora. b) 81/2 c) 0,022/3

a) 283/4

a) 283/4 ≈ 12,17 d) 0,83/5 ≈ 0,87

d) 0,83/5

e) 125/2

b) 81/2 ≈ 2,83 e) 125/2 ≈ 498,83

f ) 3,51/5

c) 0,022/3 ≈ 0,07 f ) 3,51/5 ≈ 1,28

Radicales 18

Simplifica. a) 6√9

19

d) 4√49

e) 6√125

69 =√ 6 32 = 32/6 = 31/3 = √ ³3 a) √

b) √625 = √252 = 25

5 24 = √ 5 16 c) ¹5√212 = 212/15 = 24/5 = √

4 49 = √ 4 72 = 72/4 = 71/2 = √7 d) √

6 125 = √ 6 53 = 53/6 = 51/2 = √5 e) √

5 315 = 315/5 = 33 = 27 f)√

f ) 5√315

Simplifica los siguientes radicales: a) ¹0√a 8

20

c) ¹5√212

b) √625

b) 4√a 12

c) ¹²√a 3

d) 8√a 2 b 2

e) ³√a 6 b 6

5 a4 a) a 8/10 = a 4/5 = √

b) a 12/4 = a 3

4a c) a 3/12 = a 1/4 = √

4 ab d) (ab)2/8 = (ab)1/4 = √

e) (ab)6/3 = (ab)2 = a 2b 2

³ ab 2 f ) a 2/6 · b 4/6 = a 1/3 · b 2/3 = √

Multiplica y simplifica el resultado. b) ³√a · ³√a 2 c) √5 · √10 · √8 a) √2 · √3 · √6

f ) 6√a 2 b 4

d) √a · √a 3

a) √2 · √3 · √6 = √2 · 3 · 6 = √36 = 6

³a ·√ ³ a2 = √ ³ a · a2 = √ ³ a3 = a b) √

c) √5 · √10 · √8 = √5 · 10 · 8 = √400 = 20

d) √a · √a3 = √a · a3 = √a4 = a 2

Unidad 1. Números reales

1

Soluciones a “Ejercicios y problemas” 21

Extrae todos los factores que puedas de los siguientes radicales: a) ³√16

c) 4√210

b) √28

d) √8

e) √200

Pág. 2

f ) √300

³ 16 = √ ³ 24 = 2 √ ³2 a) √

b) √28 = √7 · 22 = 2 √7

4 210 = √ 4 24 · 24 · 22 = 4 √ 44 c) √

d) √8 = √23 = 2√2

e) √200 = √52 · 23 = 5 · 2 √2 = 10 √2

f ) √300 = √22 · 52 · 3 = 10√3

22

Reduce a un solo radical. a) √√13

b) √³√2

c) 5√³√15

d) ³√4√25

e) √√33

f ) 5√√11

4 13 a) √

62 b) √

c) ¹5√15

d) ¹²√25

4 33 e) √

f ) ¹0√11

e) (√√2 )

f ) (³√√2 )

23

Calcula y simplifica en cada caso:

a) (√2 )

10

b) (³√2 )

4

c) (4√32)

8

d) 4√√8

10

a) 2 5 = 32

³ 24 = 2 √ ³2 b) √

4 316 = 3 4 = 81 c) √

88 d) √

4 210 = √25 e) √

6 26 = 2 f) √

24

Resuelto en el libro de texto.

25

Expresa como un solo radical. a) 2√45 – 3√20

b) 5√48 + √12

c) 3√28 – 5√7

6

d) ³√81 – ³√24

a) 2√45 – 3√20 = 2√32 · 5 – 3√22 · 5 = 2 · 3√5 – 3 · 2√5 = 6√5 – 6√5 = 0 b) 5√48 + √12 = 5√24 · 3 + √22 · 3 = 5 · 22 · √3 + 2√3 = 20√3 + 2√3 = 22√3 c) 3√28 – 5√7 = 3√22 · 7 – 5√7 = 3 · 2√7 – 5√7 = 6√7 – 5√7 = √7 ³ 81 – √ ³ 24 = √ ³ 34 – √ ³ 23 · 3 = 3√ ³ 3 – 2√ ³3 =√ ³3 d) √

26

Efectúa. a) 2√8 + 4√72 – 7√18

b) √12 + √75 – √27

c) √32 + 3√50 – 2√8

d) 3√2 + √18 – 3√8

a) 2√23 + 4√32 · 23 – 7√32 · 2 = 2 · 2√2 + 4 · 3 · 2√2 – 7 · 3√2 = 4√2 + 24√2 – 21√2 = = (4 + 24 – 21)√2 = 7√2 b) √22 · 3 + √52 · 3 – √33 = 2√3 + 5√3 – 3√3 = (2 + 5 – 3)√3 = 4√3 c) √25 + 3√2 · 52 – 2√23 = 22 · √2 + 3 · 5√2 – 2 · 2√2 = 4√2 + 15√2 – 4√2 = 15√2 d) 3√2 + √32 · 2 – 3√23 = 3√2 + 3√2 – 3 · 2√2 = 3√2 + 3√2 – 6√2 = (3 + 3 – 6)√2 = 0 27

Suprime el radical del denominador y simplifica. a) 2 b) 4 c) 6 d) 3 √2 √6 √12 √15 a) 2 = 2√2 = √2 2 √2 c) 6 = 6√12 = √12 = 2√3 = √3 12 2 2 √12

Unidad 1. Números reales

b) 4 = 4√6 = 2√6 6 3 √6 d) 3 = 3√15 = √15 15 5 √15

1

Soluciones a “Ejercicios y problemas” 28

Suprime el radical del denominador. c) 1 b) 1 a) 3 ³√5 8√a 5 ³√x

Pág. 3

d) 5 4√2

³ ³ 2 ³ 2 a) 3 = 3 · √5 = 3 · √5 = 3√25 ³5 ·√ ³ 52 ³ 53 ³5 5 √ √ √

8 3 8 3 8 3 = √a = √a b) 1 = √a 8 a5 · √ 8 a3 8 a8 8 a5 a √ √ √

³ 2 ³ 2 ³ 2 c) 1 = √x = √x = √x ³x ·√ ³ x2 ³ x3 ³x x √ √ √

4 4 3 4 3 d) 5 = 5 · √2 = 5√2 = 5√8 42 ·√ 4 23 4 24 42 2 √ √ √

Números aproximados. Notación científica 29

Expresa con un número razonable de cifras significativas y da una cota del error absoluto y otra del error relativo de la aproximación que des. a) Oyentes de un programa de radio: 843 754 b) Precio de un coche: 28 782 € c) Tiempo que tarda la luz en recorrer una distancia: 0,0375 segundos. d) Gastos de un ayuntamiento: 48 759 450 € °E.A. < 5 000 a) 840 000 oyentes ¢ £E.R. < 0,0059 °E.A. < 500 b) 29 000 € ¢ £E.R. < 0,017 °E.A. < 0,005 c) 0,04 segundos ¢ £E.R. < 0,13 °E.A. < 500 000 d) 49 000 000 € ¢ £E.R. < 0,01

30

31

Escribe en notación científica. a) 752 000 000

b) 0,0000512

c) 0,000007

d) 15 000 000 000

a) 7,52 · 108

b) 5,12 · 10–5

c) 7 · 10–6

d) 1,5 · 1010

Expresa en notación científica. b) 75 · 10–4 a) 32 · 105 d) 458 · 10–7 e) 0,03 · 106

c) 843 · 107 f ) 0,0025 · 10–5

a) 3,2 · 106 d) 4,58 · 10–5

c) 8,43 · 109 f ) 2,5 · 10–8

Unidad 1. Números reales

b) 7,5 · 10–3 e) 3 · 104

1

Soluciones a “Ejercicios y problemas” PÁGINA 20 32

Pág. 1

Calcula mentalmente. a) (1,5 · 107) · (2 · 105) c) (4 · 10–7) : (2 · 10–12) a) 3 · 1012

33

b) 1,5 · 10–5

b) (3 · 106) : (2 · 1011) d) √4 · 108 c) 2 · 105

d) 2 · 104

Calcula con lápiz y papel, expresa el resultado en notación científica y compruébalo con la calculadora. b) (5 · 10–8) · (2,5 · 105) a) (3,5 · 107) · (4 · 108) d) (6 · 10–7)2 c) (1,2 · 107) : (5 · 10–6) a) 14 · 1015 = 1,4 · 1016 c) 0,24 · 1013 = 2,4 · 1012

b) 12,5 · 10–3 = 1,25 · 10–2 d) 36 · 10–14 = 3,6 · 10–13

■ Aplica lo aprendido 34

Halla el área total y el volumen de un cilindro de 5 cm de radio y 12 cm de altura. Da su valor exacto en función de π. Área lateral = 2πR h = 2π · 5 · 12 = 120π cm2 12 cm

Área base = πR 2 = π · 52 = 25π cm2 Área total = 120π + 2 · 25π = 170π cm2

5 cm

Volumen = πR 2h = π · 52 · 12 = 300π cm3

35

En un círculo cuya circunferencia mide 30π m, cortamos un sector circular de 120° de amplitud. Halla el área de ese sector dando su valor exacto en función de π. Radio del círculo: 2πR = 30π 8 R = 15 m 120°

Unidad 1. Números reales

360° 8 π · 152 ° 120° · 152π = 75π m2 ¢ Área = 360° 120° 8 x £

1

Soluciones a “Ejercicios y problemas” 36

Calcula el área total y el volumen de un cono de 5 cm de radio y 10 cm de generatriz. Da el valor exacto. Altura = √102 – 52 = √75 = 5√3 cm Área lateral = πRg = π · 5 · 10 = 50π cm2 Área base = πR 2 = 25π cm2 Área total = 50π + 25π = 75π cm2

10 cm 5 cm

Volumen = 1 πR 2h = 1 π · 25 · 5√3 = 125√3π cm3 3 3 3 37

Calcula el perímetro de los triángulos ABC, DEF y GHI. Expresa el resultado con radicales. 4u

A

D

C

I B

ABC

G

F

E

H

AC = √42 + 22 = √20 = 2√5; AB = √42 + 32 = 5; BC = √22 + 1 = √5 Perímetro de ABC = 2√5 + 5 + √5 = 5 + 3√5 u

DFE

DF = √42 + 42 = √32 = 4√2; DE = √42 + 32 = 5; FE = 1 Perímetro de DFE = 4√2 + 5 + 1 = 6 + 4√2 u

GHI

GH = √42 + 22 = √20 = 2√5; GI = GH = 2√5; HI = √22 + 22 = 2√2 Perímetro de GHI = 2√5 + 2√5 + 2√2 = 4√5 + 2√2 u

38

Halla el área de un triángulo isósceles en el que los lados iguales miden el doble de la base cuya longitud es √3 cm. Expresa el resultado con radicales. — 2√3 — √3

Unidad 1. Números reales

Altura =

√( √ ) 2 3

2

( )

– √3 2

2

=

√12 – 34 =√ 454 = 3√25 cm

Área = 1 · √3 · 3√5 = 3√15 cm2 2 2 4

Pág. 2

1

Soluciones a la Autoevaluación PÁGINA 61

Pág. 1

¿Sabes clasificar los números en los distintos conjuntos numéricos? 1 Clasifica los siguientes números en naturales, enteros, racionales, irracionales y rea) les: 7,53; √64; √7 ; –5; π ; 3,23; 7 4 11 2 ) Naturales 8 √64 Enteros 8 √64 ; –5 Racionales 8 √64 ; –5; 7,53; 3,23; 7 11 Reales 8 Todos Irracionales 8 √7 ; π 2 4 ¿Conoces y utilizas las distintas notaciones para un intervalo? 2 a) Escribe como intervalo y representa –3 < x Ì 5. b) Escribe como desigualdad y representa (–@, 8]. c) Escribe en forma de intervalo y representa “los números mayores que –1”. d) Expresa como una desigualdad el conjunto de números representado: –5 a) (–3, 5] c) (–1, +@)

–3

2 b) x Ì 8

5

8

d) [–5, 2]

–1

¿Sabes identificar una raíz con una potencia y manejar las operaciones con radicales? 3 Halla el valor de k en cada caso: k

a) ³√k = 7

b) √–125 = –5

c) √625 = k

a) k = 73 8 k = 343

b) –125 = –53 8 k = 3

c) k = 25

4 Simplifica y, si es posible, extrae factores: a) ³√215

b) 8√610

c) ³√60 · ³√18

d ) √³√64

³ 215 = 215/3 = 25 a) √

4 65 = 6√ 46 b) 610/8 = 65/4 = √

³5 c) (22 · 3 · 5)1/3 · (2 · 32)1/3 = (23 · 33 · 5)1/3 = 6√

d ) [(26)1/3]1/2 = (26)1/6 = 2

5 Opera: a) 4√3 – 5√3 – 2√3

b) √12 + √48 – √27 – √75

a) 4√3 – 5√3 + 2√3 = √3 b) √22 · 3 + √24 · 3 – √33 – √3 · 52 = 2√3 + 4√3 – 3√3 – 5√3 = –2√3 6 Suprime el radical del denominador y simplifica. b) 14 a) 3√5 4√7 √3 a) 3√5 · √3 = 3√15 = √15 3 √3 · √3 Unidad 1. Números reales

4 3 4 3 4 73 b) 14 · √7 = 14 · √7 = 2√ 4√7 · √ 4 73 7