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Tema 2. Números 1. Conjuntos numéricos •

El conjunto de los números naturales es N = {0, 1, 2, 3, 4, ..., 17, 18, ...}.

•

El conjunto de los enteros es Z = {... −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3...}

•

El conjunto de los números racionales, que se denota por Q, es p  Q =  p , q ∈ Z ; q ≠ 0 q 

Cada uno de estos conjuntos es una ampliación del anterior, así N ⊂ Z ⊂ Q. La ampliación de los conjuntos numéricos consigue cada vez mayor generalización. En Q pueden realizarse las cuatro operaciones elementales, pues todo número racional tiene opuesto, y todo número racional, menos el 0, tiene inverso. p p p q es − ; el inverso de es . El opuesto de q q q p Así, puede asegurase que en Q tienen solución todas las ecuaciones lineales: las de la forma ax + b = c . Por ejemplo, 3 x − 5 = 2 , cuya solución es x = 7/3. No obstante, en Q todavía no se pueden solucionar ecuaciones tan fáciles como x 2 − 2 = 0 (cuya solución es x = 2 ). Para ello se necesita una nueva ampliación: los números reales. •

Números irracionales Son todos aquellos números que no pueden ponerse en forma de fracción (como razón de dos números enteros).

Ejemplos: Son irracionales los siguientes números:

2 ; − 7 ; 1,2345…; π.

Números reales Todos los números anteriores se llaman reales. Por tanto, el conjunto de los reales, R, es una sucesiva ampliación de los demás conjuntos numéricos, cumpliéndose que: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

El siguiente esquema es más preciso:    Naturales RacionalesEnteros   Negativos Reales  Fraccionarios    Irracionales

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2. La recta real Los números reales pueden representarse sobre una recta. Así:

A cada punto de la recta le corresponde un número real; y al revés, a cada número real le corresponde un punto de la recta. La recta real es “compacta”: no tiene ningún punto vacío, sin rellenar. Entre cada dos números reales siempre hay otro número real. Así, entre 0,65 y 0,66 está, por ejemplo, 0,651. Entre 0,65 y 0,651 está 0,6501... En consecuencia, entre cada dos números reales hay infinitos números reales. Orden en R El conjunto de los números reales es un conjunto totalmente ordenado. Por tanto, dados dos número reales, x e y, se cumple alguna de las desigualdades siguientes: x < y, o bien, y < x. • x < y significa que y – x > 0. • x ≤ y significa que y – x ≥ 0. Gráficamente, un número real es mayor que otro si está representado a su derecha. Los números situados a la izquierda del 0 se llaman negativos; los situados a su derecha, positivos.

x negativo ⇔ x < 0

x positivo ⇔ x > 0

x0 0

Intervalos Los intervalos son subconjuntos de la recta real. Intervalo abierto (a, b) = todos los números reales que son mayores que a y menores que b: (a, b) = {x ∈ R a < x < b}

Ejemplos: (−1, 2) = {x ∈ R − 1 < x < 2} (1, ∞) = {x ∈ R x > 1} (−∞, 2) = {x ∈ R x < 2} Intervalo cerrado [a, b] = todos los números reales que son mayores o iguales que a y menores o iguales que b: [a, b] = {x ∈ R a ≤ x ≤ b} Ejemplo: [0, 2] = {x ∈ R 0 ≤ x ≤ 2}

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3. Valor absoluto de un número real El valor absoluto siempre es positivo. a = a si a > 0. Ejemplo: 7 = 7 a = − a si a < 0.

Ejemplos: − 7 = −(−7) = 7

• Propiedades del valor absoluto Las más significativas son: 1. │a│=│−a│ Por ejemplo, │8│= │−8│= 8

2. │ab│= │a│·│b│ Por ejemplo: │8 · (−5)│= │8│· │−5│ En efecto: │8 · (−5)│=│−40│= 40 y │8│· │−5│= 8 · 5 = 40 3. Desigualdad triangular: │a + b│≤│a│+│b│ Así, por ejemplo: │8 + (−5)│= │3│< │8│+ │−5│= 8 + 5 = 13 La igualdad:│a + b│=│a│+│b│, se da cuando a y b tienen el mismo signo. 4. │x│< k ⇔ –k < x < k. Por tanto, decir que │x│< k equivale a decir que x ∈ (−k, k) Igualmente, x ≤ k ⇔ –k ≤ x ≤ k ⇔ x ∈ [−k, k] De manera análoga: • x − a < k ⇔ −k < x − a < k ⇔ a − k < x < a + k ⇔ •

⇔ x ∈ (a − k , a + k ) x − a ≤ k ⇔ −k ≤ x − a ≤ k ⇔ a − k ≤ x ≤ a + k ⇔ ⇔ x ∈ [a − k , a + k ]

Ejemplos: a) │x│< 3 ⇔ b) │x│≤ 1 ⇔ c) │x − 2│< 3 d) │x + 2│≤ 4

−3 < x < 3 ⇔ x ∈ (−3, 3). −1 ≤ x < 1 ⇔ x ∈ [−1, 1]. ⇔ −3 < x − 2 < 3 ⇔ −1 < x < 5 ⇔ x ∈ (−1, 5). ⇔ −4 ≤ x + 2 ≤ 4 ⇔ −6 ≤ x ≤ 2 ⇔ x ∈ [−6, 2].

Observación: Al conjunto de números reales x que cumple la desigualdad x − a < r se le llama también entorno de centro a y radio r, y se denota por E r (a) . Así, E 2 (1) = (1 − 2, 1 + 2) = (−1, 3), es el entorno de centro 2 y radio 1.

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4. Operaciones en R Operaciones con fracciones a c • Equivalencia: ⇔ ad = bc = b d Para obtener fracciones equivalentes a otra dada, basta con multiplicar o dividir sus términos por un mismo número distinto de cero. •

Suma: Podemos encontrarnos con los siguientes casos: Caso Ejemplos a c ad + cb 3 1 24 + 5 29
+ = + = = b d bd 5 8 40 40 a c ad − cb 7 8 21 − 32 − 11 − =
− = = b d bd 4 3 12 12 c ad ± c 4 35 + 4 39 a± =
5+ = = d d 7 7 7 a a ± cb 4 4 − 99 95 =− ±c=
− 11 = b b 9 9 9

En la práctica es conveniente hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores; así se obtienen resultados más simples. •

Producto

Fracción por fracción: Fracción por número: •

a c ac · = b d bd c ac a· = d d

2  −4 −8 · = 5  3  15 4 20 Ejemplo: 5· = 7 7

Ejemplo:

División: Podemos encontrarnos los siguientes casos: Caso a c ad : = b d bc a b = ad (es lo mismo que antes) c bc d c ad a: = d c a ad = (es lo mismo que antes) c c d a a :c = b bc a b = a (es lo mismo que antes) c bc

Ejemplos 6 −2 18 9
: = =− 7 3 − 14 7 5 4 = 30 = 15
2 8 4 6 3 20
4: = 5 3 1 4
=− 3 3 − 4 2 2
:3 = 5 15 2 3 = 2 =1
6 18 9 José María Martínez Mediano

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• Prioridad de operaciones y uso de paréntesis Cuando las operaciones aparecen combinadas, primero se resuelven los paréntesis, después las multiplicaciones y divisiones; por último, las sumas y restas.

Ejercicio El resultado de las siguientes operaciones es el que se indica: 4 1 3 19 4 251 1 3 4 1 3 1 ; c)  − 5 · + = ; d) a) − 5· +  = − ; b) − 5· + = 5 30 5 3 2 30 3 2 5  3 2 10

4 1  − 5 · + 5 3

3 77 =− 2 10

Uso de calculadora 5 11 + se hace así: 5 ab/c 18 + 11 ab/c 24 = 53/72 18 24 4 1 3 De manera análoga se haría para las demás operaciones. Así, para calcular − 5· +  se teclea 5 3 2 como sigue: 4 ab/c 5 − 5 * ( 1 ab/c 3 + 3 ab/c 2 ) = −8/11/30 SHIFT ab/c −251/30

Con la calculadora, la suma

Potenciación de exponente entero • Exponente natural: Recuerda: Ejemplo: a·a·......·a = a n 0 Por convenio: a = 1 , si a ≠ 0 Ejemplo: •

Exponente entero (negativo): 1 a −n = n a

Ejemplo:

(−2) · (−2) · (−2) = (−2)3 = −8 50 = 1; (−3)0 = 0; (0,2)0 = 1

2 −4 =

1 2

4

=

1 3 ; 2 = 3x −2 16 x

Reglas prácticas para operar con potencias (propiedades): Las propiedades principales de las potencias son: a n ·a m = a n + m Ejemplo: 3 2 ·33 = (9·27) = 35 = 243

•

(a )

Ejemplo:

(3 )

an = a n−m m a

Ejemplo:

4 5  4·4·4·4·4  3 =  = 4 = 64 2 4  4·4 

(a·b )n

Ejemplo: (3a )2 = 9a 2 ; − 2 x 2

n m

n

= a n·m

= a n ·b n

2 3

= (9) 3 = 36 = 729

(

3

)

3

= ( −2) 3 x 6 = −8 x 6 5

(−1) 3 −1  2  25 an a  −1 Ejemplo:   = 3 = ;  2  = 10   = n 125  x  b 5 x b  5  En todos los casos n y m son números enteros. Advertencias OJO. Siempre hay que tener en cuenta las reglas de los signos, pues si n es par, − a n ≠ (−a ) n , pero si n es impar, es igual. Ejemplos: 2 2
–2 ≠ (–2) –22 = −(2 · 2) = −4; (–2)2 = (−2) · (−2) = 4 5 5 5 5
–3 = (–3) –3 = − (3) = −243 (–3)5 = (−3) · (−3) · (−3) · (−3) · (−3) = −243

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OJO. Las potencias funcionan bien con los productos y los cocientes. Las fórmulas anteriores no son aplicables a sumas y restas. Lo sentimos: (a ± b) n ≠ a n ± b n . Ejemplos: 2 2 2 (2 + 3)2 = 52 = 25 22 + 32 = 4 + 9 = 13
(2 + 3) ≠ 2 + 3
Recuerda: ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 Ejercicio El resultado de las siguientes operaciones es el que se indica: 2

1 5 155 2 − 32 7  = − ; d)  2 −  − 3 = 2 1+ 3 10 3 2 72  6 5 7 2 4 2 ·15 2 (−2) ·5 − 2 201 e) (5a ) 3 = 125a 3 ; f) 4 x 2 ·(5 x 3 ) = 20 x 5 ; g) 5 3 = ; h) =− 5 10 ·9 3 2 ·5 10

a) (−2)3 + 32 − (5 − 42) = 12; b) 7 − (−2)3 · ( 32 −5) = 39; c)

( )

Potenciación de exponente racional. Radicales • Definiciones: n a = b , a > 0 ⇔ b2 = a ; a = b , n∈ N ⇔ b n = a ; Ejemplos: a) 4 16 = ±2 , pues (±2)4 = 16.

b)

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Notación:

n

a = a1/n .

− 8 = −2 , pues (−2)3 = −8

Propiedades y operaciones con radicales Producto de radicales: Con el mismo índice: n a · n b = a1 / n ·b1 / n = (ab)1 / n = n ab •

•

Con distinto índice: n a · m a = a1 / n ·a 1 / m = a1 / n +1 / m → es poco operativo. Suele recurrirse a reducir ambos radicales a índice común. • Cociente de radicales: n n a n a a a1/ n = = = a1 / n −1 / m n m b b a a1/ m En particular: a a 1. a·b = a · b 2. = . b b Ejemplos: 28 28 a) 36·25·9 = 36 · 25 · 9 = 6·5·3 = 90 b) = = 4=2 7 7 • Potencia y raíz de un radical:

( a)

m

n

Es particular:

=

n

am

( a)

2

m n

a = n·m a

= a· a = a 2 = a

Ejemplos: a)

( 12 )

2 2

= 12 ; igualmente, 12 2 = 12 .

( )

 5  = 52 b)   2  2 

2

=

5 4

c)

( 3) = ( 5

)(

)

3· 3 · 3· 3 · 3 = 3·3· 3 = 9 3

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• Extracción e introducción de factores en un radical Las propiedades anteriores permiten la extracción o la introducción de un factor en una raíz. En particular, para extraer un factor de una raíz cuadrada se hace la raíz de dicho factor, pues basta

observar que

a 2 ·b = a 2 · b = a· b

Ejemplos: a) 125 = 25·5 = 25 · 5 = 5 5 c)

3 x 3 − 2 x 2 = x 2 (3 x − 2) = x 2 · 3 x − 2

f) De la expresión

9 x 2 y = 9 · x 2 · y = 3x y

d)

18 9·2 3 2 = = 500 100·5 10 5

4 + x 2 tampoco puede extraerse ningún factor. Pues no hay factores, hay

sumandos. (Un error frecuente es escribir 5 = 25 = 9 + 16 = 9 + 16 = 3 + 4 .) •

b)

4 + x 2 = 2 + x . Esto sería equivalente a decir que

Para introducir un factor en una raíz cuadrada se hace el cuadrado de dicho factor, pues basta observar que a· b = a 2 · b = a 2 ·b

Ejemplos:

3 = 2

3 4

a) 8· 5 = 4 2 · 5 = 16·5 = 80

b)

c) 3 x = 9 x = 9 x

d) x x − 1 = x 2 · x − 1 = x 2 ( x − 1) = x 3 − x 2

•

Para raíces de cualquier índice:

Introducción de factores: a·n b = n a n b . Para introducir un factor se eleva al índice de la raíz. Extracción de factores: n Ab = n A ·n b = a·n b , supuesto que n A = a . • Radicales semejantes Dos expresiones radicales son semejantes cuando tienen el mismo radical común.

Ejemplos: a) Las expresiones radicales 6 2 , 3 2 o − 5 2 son semejantes. b) Las expresiones 3 20 y − 2 125 pueden transformarse en otras equivalentes semejantes, pues extrayendo factores: 3 20 = 3 4·5 = 3·2 5 = 6 5 , y − 2 125 = − 2 25·5 = −2·5 5 = −10 5 c) Las expresiones 12 y 2 15 no pueden transformarse en otras equivalentes que sean semejantes. Suma y resta de radicales La suma y resta de radicales sólo puede hacerse cuando los radicales sean semejantes. Así: Puede hacerse: 6 2 − 5 2 + 8 2 . → El resultado es: 6 2 − 5 2 + 8 2 = (6 − 5 + 8) 2 = 9 2 No puede hacerse ninguna de las operaciones siguientes: 3 6−3 2; 6 2 −5 3; 5 −2 5 (Estas operaciones siempre pueden hacerse con calculadora; su resultado no será exacto.) •

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En algunos casos, los radicales iniciales pueden convertirse en equivalentes, mediante la introducción o extracción de factores. Ejemplo: 3 20 + 4 125 − 2 5 = 3 4·5 + 4 25·5 − 2 5 = = 3·2 5 + 4·5 5 − 2 5 = 6 5 + 20 5 − 2 5 = 24 5 •

Las operaciones de suma o producto de un radical por un número, o las operaciones combinadas, son inmediatas: basta con operar teniendo en cuenta la propiedad distributiva para multiplicar, y la de sacar factor común para agrupar términos semejantes.

Ejemplos: a) 3(2 − 5 ) = 6 − 3 5 b) ( 3 − 1)(2 2 + 5) = 2 3 2 + 5 3 − 2 2 − 5 = 2 6 + 5 3 − 2 2 − 5

( d) (3

)(

)

c) 3 − 6 3 + 6 = 3 2 −

) ( ) 2

2+2 = 3 2

2

( 6)

2

=9−6=3

− 2·3 2 ·2 + 2 2 = 9·2 − 12 2 + 4 = 22 − 12 2

Racionalización de denominadores Cuando se tiene una fracción en la que el denominador aparece una expresión con radicales, su racionalización consiste en encontrar otra fracción equivalente a la dada pero sin raíces en el denominador. a a a Los casos usuales son: ; ; b b+ c b+ c Se racionalizan multiplicando los dos términos de las fracciones por b , por b − c y por b − c , respectivamente. Ejemplos: 3 3· 2 3 2 9 9· 21 9 21 9 21 3 21 a) = = . b) = = = = . 2 42 14 2 2· 2 2 21 2 21· 21 2·21

•

c) e)

2

2(2 − 3 )

=

2+ 3 2 5+ 3

=

(2 + 3 )(2 − 3 ) =

2(2 − 3 ) = 4−2 3 4−3

2( 5 − 3 ) ( 5 + 3 )( 5 − 3 )

=

2( 5 + 3 ) = 5+ 3 5−3

Notación científica La expresión 4,122 · 109 significa 4 122 000 000. Ese modo de escribir, que se llama notación científica, es usado para designar cantidades muy grandes (o muy diminutas, cuando el exponente es negativo). En general, una cantidad en notación científica se expresa así: A · 10B, donde A es un número decimal comprendido entre –10 y 10, con cifra entera distinta de 0 y B es un número entero que indica el orden de magnitud.

En las calculadoras científicas se generan automáticamente y aparecen, por ejemplo, como sigue: 4.122 09 o 4.122 9 que quiere decir 4,122 · 109 6.2 −8 o 6.2 −8 que quiere decir 6,2 · 10-8

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5. Logaritmos ¿Qué es un logaritmo y cómo se calcula? El logaritmo de un número x, en una base a, es otro número b al que hay que elevar la base para que dé x. Con símbolos matemáticos se define como sigue: log a x = b ⇔ a b = x Observaciones: 1. log a x se lee logaritmo en base a de x, y significa que al número x se le asocia otro b que cumple

de que a b = x . Se trata, pues, de una transformación relacionada con la potenciación de base a, en la que a cada número x se le asocia el exponente b preciso para que a b = x . Por ejemplo, si x = 1000 y a = 10, el valor de b debe ser 3, ya que 10 3 = 1000 . En este caso escribiríamos log10 1000 = 3 . Igualmente, si x = 10000 y a = 10, el valor de b debe ser 4, ya que 10 4 = 1000 . En este caso escribiríamos log10 10000 = 4 . El valor del logaritmo de cualquier número comprendido entre 1000 = 103 y 10000 = 104 será un número comprendido entre 3 y 4. Esto es, si 103 < x < 104, entonces log10 10 3 < log10 x < log10 10 4 ⇔ 3 < log10 x < 4 . En general, el logaritmo en base 10 asigna a cada número su orden de magnitud, seguido de cifras decimales. (Para hallar el valor exacto se necesita calculadora.) 2. La base a debe ser positiva y distinta de 1. Las bases usuales son a =10 y a = e, siendo e el número de Euler: e = 2,7182… A los logaritmos en base 10 se les llama decimales o logaritmos comunes; los logaritmos en base e se llaman neperianos o naturales. Ambos se pueden hallar con la ayuda de una calculadora, con las teclas log y ln , respectivamente; y no es necesario especificar la base. Así, log10 2500 = log 2500 = 3,397940 , y log e 325 = ln 325 = 5,783825 . 3. El logaritmo de los números reales menores o iguales que 0 no está definido. Esto es, log(−1000) carece de sentido. En estos casos, la calculadora da un mensaje de error. Ejemplos: a) Aplicando la definición puede verse que: log216 = 4, pues 24 = 16 log5 25 = 2, pues 52 = 25 2 log10 100 = 2, pues 10 = 100 log 1 = 0, pues 100 = 1 log 0,001 = log 10−3 = −3 log 10n = n, para todo n 5 ln e = 5 ln en = n, para todo n. b) Con calculadora: log 87 = 1,939519... ln 10 = 2,302585... log 0,00003 ≈ −4,5229 ln 0,9 ≈ −0,1054 log (−6) = ERROR ln 0 = ERROR ¿Cómo se opera con los logaritmos? Cuando haya que realizar operaciones con logaritmos o calcular el logaritmo de expresiones en las que los números estén sujetos a cualquiera de las operaciones habituales, pueden utilizarse las propiedades que se indican a continuación, en donde A, B y n son números o expresiones algebraicas.

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1. log a ( A·B ) = log a A + log a B El logaritmo transforma productos en sumas, lo que conduce a una simplificación de los cálculos. Ejemplos: a) log 50 + log 20 = log (50 · 20) = log 1000 = 3. c) log 8 x = log 8 + log x d) log( x 2 − 9) − log( x + 3) = log

b) log(25·300) = log 25 + log 300 = 3,875061

x2 − 9 ( x + 3)( x − 3) = log = log( x − 3) x+3 x+3

2. log a A n = n log a A El logaritmo transforma potencias en productos. Ejemplos: a) log 128 = 8 · log 12 = 8 · 1,079181 = 8,633448. b) 7 log 5 = log 5 7 = log 78125 = 4,892790 . c) log x 8 = 8 log x ; log 8 x = x log 8

(

)

5

(

d) log x 2 + 2 = 5 log x 2 + 2

)

A = log a A − log a B B El logaritmo transforma cocientes en restas.

3. log a

Ejemplos: 5 a) log = log 5 − log 200 = 0,698970 − 2,301030 = −1,602060 200 2000 = log 250 b) log 2000 − log 8 = log 8 5 x 2 + 3x c) log = log 5 x 2 + 3 x − log(2 x − 1) 2x − 1 x2 − 9 ( x + 3)( x − 3) d) log x 2 − 9 − log( x + 3) = log = log = log( x − 3) x+3 x+3

(

(

)

)

4. log a 1 = 0 ; log a a = 1 ; log a a n = n Observación: En las operaciones con logaritmos son frecuentes los errores. Los más comunes se derivan de la supuesta linealidad de los logaritmos. Así algunos suelen escribir que log( A·B ) = (log A)( · log B ) o A log A que log = . Descubrir tales errores es relativamente fácil; basta aplicarlo a situaciones B log B concretas y sencillas. Por ejemplo, log(10·10) = log100 = 2 ≠ (log10)( · log10) = 1·1 = 1 ; 100 log 100 2 o bien, log = log 10 = 1 ≠ = =2 10 log 10 1

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Para qué se usan los logaritmos Los logaritmos se inventaron (a principios del siglo XVII) para simplificar los cálculos matemáticos de multiplicación, división, potenciación y radicación, sobre todo cuando los resultados son números muy grandes y básicamente lo que importa es su orden de magnitud. Para entender esta idea hay que observar: 1. En base 10, el logaritmo de las sucesivas potencias de 10 es el exponente respectivo. Esto es: log 1 = log 100 = 0; log 10 = log 101 = 1; log 100 = log 102 = 2; log 1000 = log 103 = 3; log 10000 = log 104 = 4; y, en general, log 10n = n. 2. En base 10, cuando un número multiplica su valor por 10, su logaritmo aumenta en una unidad. (Por ejemplo: log 8,3 = 0,919078; log 83 = 1,919078; log 830 = 2,919078; y así sucesivamente.) Y al revés, cuando el valor del logaritmo de dos números se diferencia en una unidad, uno de ellos es diez veces mayor que el otro. 3. En base 10, el valor del logaritmo de cualquier número comprendido entre 10 p y 10 p +1 es un número comprendido entre p y p + 1. Así, por ejemplo, si log A = 6,2, el valor de A está entre 106 y 107; luego el orden de magnitud de A es 6. Análogamente, si log B = 12,48, el número B es de orden de magnitud 12. Y si log C = −4,3, el número C es de orden de magnitud −5. 4. Si log A > log B ⇒ A > B; y al revés. En consecuencia, la magnitud de determinadas variables puede ordenarse comparando los valores de sus respectivos logaritmos.

Escalas logarítmicas Se llama escala logarítmica aquella en la que en vez de indicar el valor de la variable (de una cantidad) se indica el valor de su logaritmo. Así, 10, 100, 1000, 10000... se sustituyen por 1, 2, 3, 4, …que son sus respectivos logaritmos decimales. La ventaja de hacer este cambio radica en que es más cómodo representar en un eje las cantidades 1, 2, 3 o 4, que las originales 10, 100, 1000 o 10000. Un ejemplo de escala logarítmica es el pentagrama utilizado en occidente para escribir música, pues, como se ve en el gráfico, la diferencia en la altura del sonido es proporcional al logaritmo de la frecuencia (de un do grave al do siguiente más agudo la frecuencia se dobla. Es decir: que la sucesión de frecuencias de las notas do están en progresión geométrica). [La escala logarítmica es de base 2.] (Cfr. http://www.epsilones.com/paginas/t-musica.html#musica-escalatem) El decibelio es una unidad de medida del nivel de intensidad del sonido. Se mide en una escala logarítmica de base 10. [Puede verse Wikipedia, “decibelio”.] La fuerza de los terremotos se mide usando la escala de Richter, que es logarítmica de base 10. Un terremoto de magnitud 7 en dicha escala es 10 veces más potente que otro de magnitud 6, y 100 veces más potente el de magnitud 5, por ejemplo. [La magnitud de un terremoto puede medirse como M = log10 P , donde P indica cuántas veces mayor ha sido la amplitud de la onda sísmica del terremoto que la onda de referencia (la de situación normal)]. Antilogaritmo Es la transformación inversa del logaritmo. Esto es, si logaritmo de A = b, entonces antilogaritmo de b = A. ( log A = b ⇔ antilog b = A ) En algunas las calculadoras se indica log−1 y se halla pulsando sucesivamente las teclas SHIFT y log. Ejemplos: a) antilog 3 = 1000;

b) antilog 2,5 = 316,227766.)

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6. Notación sumatoria n

La suma x1 + x 2 + x3 + ... + x n puede escribirse así,

∑x

i

; y se lee “suma de xi desde i = 1 hasta i =

i =1

n”, siendo n un número natural; x puede designar cualquier expresión algebraica. La letra Σ (sigma mayúscula) simboliza sumatorio; i se llama índice del sumatorio, y puede ser sustituida por cualquier otra letra, j, k… Los límites del sumatorio pueden cambiar; por ejemplo pueden tomar valores “desde i = 1 hasta i = 20” o “desde i = 10 hasta i = 100”. Esta notación tiene sentido cuando se trata de escribir largas sumas en las que cada sumando se ajusta a un mismo patrón (Por ejemplo, xi puede designar en número de parados en los distintos municipios de una región, el precio de la tonelada de trigo en las distintas longas de un país, el término de una sucesión...)

Ejemplos: 20

a)

i =1 n

c)

100

∑ xi = x1 + x2 + x3 + ... + x20

b)

∑x

i

= x10 + x11 + x12 + ... + x99 + x100 .

i =10

25

∑ xi = x1 + x2 + x3 + ... + xn d)

∑ 2·k = 2·1 + 2·2 + ... + 2·25 = 2 + 4 + …+ 50.

i =1 n

k =1

2

2

2

2

2

x e) ∑ i designa la media aritmética de n datos de una determinada variable. i =1 n ∞ 1 1 1 1 f) ∑ = 1 + + + + ... En este caso no se escribe un último término: hay infinitos sumandos. 2 3 4 k =1 k n

g)

∑ c = c + c + ... + c = n·c . La suma de una constante c, n veces, es el producto n · c. 1=1

Algunas propiedades de la suma n

1.

∑ (a

i

i =1 n

2.

n

n

i =1

i =1

+ bi ) = a1 + b1 + a2 + b2 + ... + an + bn = ∑ ai + ∑ bi

∑ ca

i

n

= ca1 + ca2 + ca3 + ... + can = c∑ ai

i =1

i =1

Estas dos propiedades indican que el sumatorio es un operador lineal (se comporta de manera natural respecto de la suma y del producto de constantes.) Ejemplo: n

a)

n

n

n

∑ (2 − 3k + k ) = ∑ 2 − 3∑ k +∑ k 2

i =1

i =1

i =1

2

i =1

b) Utilizando estas propiedades, la media aritmética de un conjunto de n datos puede escribirse de cualquiera de las siguientes formas: n k k x fx 1 n x = ∑ i ⇔ x = ∑ xi ⇔ x = ∑ i i , siendo ∑ f i = n , y f i la frecuencia del dato x1 . n i=1 i =1 n i =1 n i =1

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7. Números factoriales y combinatorios Factorial de un número Ejemplo: 7! = 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 n!= n·(n − 1)·(n − 2)·...·3·2·1 Por convenio, factorial de cero se define como 1: 0! = 1 (También 1! = 1). Propiedades de los números factoriales 1. Fórmula de recurrencia: n!= n·(n − 1)! n! 2. Simplificación: =n (n − 1)!

Ejemplo: 10! = 10 · 9! 14! Ejemplo: = 14 13!

Números combinatorios n n! • n sobre r:   = .  r  r!(n − r )!

15  15! 15! Ejemplo:   = = 1365 =  4  4!(15 − 4)! 4!·11!

•

El número n sobre r indica el número de muestras de tamaño r que pueden obtenerse de una población con n elementos. Su uso se hace imprescindible para el estudio de la distribución de probabilidad binomial, en donde los individuos de una población pueden presentar dos características dicotómicas: sí−no; éxito−fracaso.

Potencia de un binomio Fórmula de Newton para el cálculo de la potencia n-ésima de un binomio:  n n n  n  n −1  n  n  pq +  q ( p + q ) n =   p n +   p n−1 q +   p n − 2 q 2 + ... +   0 1  2  n − 1 n n n  n  n −1  n  n n  pq ±  q ( p − q ) n =   p n −   p n−1 q +   p n − 2 q 2 − ... ±  n  n − 1 0 1  2 Ejemplos:  3  3  3  3 a) ( p + q ) 3 =   p 3 +   p 2 q +   pq 2 +  q 3 = p 3 + 3 p 2 q + 3 pq 2 + q 3  0 1  2  3  4  4  4  4  4 b) ( x − 2) 4 =   x 4 −   x 3 ·2 +   x 2 ·2 2 −   x·2 3 +  ·2 4 = x 4 − 8 x 3 + 24 x 2 − 48 x + 16 . 0 1  2  3  4 Principio fundamental de enumeración. Si un suceso puede elegirse de m maneras distintas en primer lugar y a continuación puede elegirse de n maneras diferentes, entonces puede suceder de m · n formas diferentes. Diagramas de árbol. Para visualizar las distintas posibilidades que pueden presentarse resulta útil confeccionar un diagrama de árbol: de cada opción inicial surgen las diferentes ramas. • El estudio detallado de las técnicas de recuento se denomina combinatoria.

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8. Progresiones Progresiones aritméticas Una sucesión de números se dice que es una progresión aritmética cuando cada término se obtiene sumando al anterior un número fijo, llamado diferencia de la progresión. Por tanto, en una progresión aritmética, la diferencia entre dos términos consecutivos siempre es la misma. En consecuencia, una progresión aritmética queda determinada dando cualquier término y la diferencia. En general, si el primer término es a1 y la diferencia d, la progresión aritmética es: a1 a 2 = a1 + d a3 = a 2 + d a 4 = a3 + d ... a n = a n−1 + d a 2 = a1 + d a3 = a1 + 2d a 4 = a1 + 3d ... a n = a1 + (n − 1)d •

El término general de una progresión aritmética es: a n = a1 + (n − 1)d

Ejemplo:
La sucesión 1,5, 2, 2,5, 3, 3,5, ... es una progresión aritmética de diferencia d = 0,5. Su término general será: a n = 1,5 + (n − 1)·0,5 ⇔ a n = 1 + 0,5n . Con esto, por ejemplo: a 35 = 1 + 0,5·35 = 18,5 ; a100 = 1 + 0,5·100 = 51 Ejercicio Comprueba que el término general de las siguientes progresiones aritméticas es el que se indica: a) 4, 4,3, 4,6, 4,9… → a n = 0,3n + 3,7 b) 100, 98, 96, … → a n = 102 − 2n . Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética Para obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética basta observar que las sumas de los términos, primero + último, segundo + penúltimo, ..., siempre vale lo mismo. Por ejemplo, puede verse en la suma: 1 + 2 + 3 + 4 + ..................... + 997 + 998 + 999 + 1000

Como cada par de números suma 1001, y hay 500 parejas (la mitad de los términos que se suman), la suma total, vale 1001 · 500 = 500500. La fórmula general que da la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es (a + a )n n S = [a1 + (a1 + (n − 1)d )] ⇒ S = 1 n 2 2 Ejemplo:
La progresión 1, 7, 13, 19, … es aritmética de diferencia 6. La suma de sus 200 primeros (a + a )·200 términos, 1 + 7 + 13 + + a200, vale, S = 1 200 . 2 (1 + 1195)·200 Como a1 = 1 y a200 = 1 + 199 · 6 = 1195, se obtiene: S = = 119600 . 2 Ejercicio

Comprueba que el resultado es correcto: a) 3 + 7 + 11 + …(150 términos) = 45150; b) 1 + 3 + 5 + 7 + … (1000 términos) = 1000000

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Progresiones geométricas Una sucesión es una progresión geométrica cuando cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo, llamado razón de la progresión. Por tanto, en una progresión geométrica, el cociente entre dos términos consecutivos siempre es igual a la razón. En consecuencia, una progresión geométrica queda determinada dando cualquier término y la razón. Si el primer término de una progresión geométrica es a1 y la razón es r, la progresión será: a1 ... a 2 = a1r a3 = a 2 r a 4 = a3 r a n = a n −1r a 2 = a1r •

a3 = a1r 2

a 4 = a1r 3

...

a n = a1r n−1

El término general de la progresión geométrica es: a n = a1r n−1

Ejemplo:
La sucesión 1, 2, 4, 16, 32, ... es una progresión geométrica de razón r = 2. Su término general será: a n = 1·2 n−1 = 2 n −1 . Con esto, por ejemplo: a10 = 2 9 = 512 ; a 45 = 2 44 = 17592186044416 . Ejercicio Comprueba que las siguientes sucesiones son progresiones geométricas y que su término general es el que se indica.

a) 5,

15 45 135 3 , , , ... → a n = 5·  2 4 8 2

n −1

b) +1, −1, +1, −1 ... → a n = (−1) n −1

Suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica Sea una progresión geométrica de primer término a1 y razón r. Para hallar el valor de la suma S = a1 + a 2 + a3 + a 4 + ... + a n−1 + a n puede procederse así: 1. Se expresan todos los términos en función de a1 y de r:

(1) S = a1 + a1r + a1r 2 + a1r 3 + ... + a1r n −2 + a1r n−1 2. Se multiplican los dos miembros de la igualdad anterior por r: rS = a1r + a1r 2 + a1r 3 + a1r 4 + ... + a1r n−1 + a1r n (2) 3. Se restan las igualdades anteriores, (1) − (2), obteniéndose: S − rS = a1 − a1r n ⇒ S (1 − r ) = a1 (1 − r n ) 4. Se despeja S: a (1 − r n ) a1 (r n − 1) S= 1 = 1− r r −1 Ejemplo:


La suma de los 10 primeros términos de la progresión 1, 2, 4, 8, ... es S =

1·(210 − 1) = 1023 . 2 −1

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Suma de infinitos términos consecutivos cuando r < 1

Si la razón, r, es menor que 1 en valor absoluto (esto es, r < 1 ), puede hacerse la suma de infinitos términos consecutivos. Dicha suma vale: a (−1) a S= 1 = 1 , r −1 1− r pues en la fórmula general el valor de rn se hace cada vez menor (tiende a 0) cuando n tiende a infinito. Por ejemplo, si r = 0,8, para n = 20 se tiene r 20 = 0,8 20 ≈ 0,01 ; y si n = 60, 0,8 60 ≈ 0,0000015 , cantidad cada vez más insignificante. Ejemplo:


La suma 100 + 50 + 25 + 12,5 + ... (infinitos términos, con r = 1/2) vale: S =

100 = 200 . 1 − 1/ 2

Ejercicio Comprueba que el valor de las siguientes sumas es el que indica:

a) (1,01) + (1,01)2 + (1,01)3 + (1,01)4 + (1,01)5 + (1,01)6 =

1,01·(1,016 − 1) = 6,213535 1,01 − 1

b) 7 + 7/3 + 7/9 + 7/27 + … (infinitos términos) = 10,5 Producto de n términos consecutivos de una progresión geométrica Sea una progresión geométrica de primer término a1 y razón r. Para hallar el valor del producto P = a1 ·a 2 ·a3 ·...·a n−1 ·a n puede procederse así: 1. Se observa que a1 ·a n = a 2 ·a n−1 = a3 ·a n−2 = ... , pues: a a a 2 ·a n−1 = a1r· n = a1 ·a n ; a3 ·a n−2 = a 2 r · −1n = a 2 ·a n −1 = a1 ·a n ; … r r 2 2. Se halla P = (a1 ·a 2 ·a3 ·...·a n−1 ·a n )·(a1 ·a 2 ·a3 ·...·a n−1 ·a n ) ⇒ P 2 = (a1 ·a n )·(a 2 ·a n −1 )·(a3 ·a n− 2 )·...·(a n− 2 ·a3 )·(a n−1 ·a 2 )·(a n ·a1 ) ⇒ P 2 = (a1 ·a n ) n ⇒ P = (a1 ·a n ) n

Ejemplos: El producto de los 10 primeros términos de la progresión geométrica 3, 6, 12, 36, .. es:




P = (a1 ·a10 )10 = (3·3·2 9 )10 = 320 ·2 90 = 310 ·2 45 (Observa que a10 = 3·2 9 )
El producto de los 18 primeros términos de la progresión geométrica 256, 128, 64, .. es: P = (a1 ·a16 )16 = (256·256·2 −15 )16 = (2)14 = 2 7

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Algunas aplicaciones económicas de las progresiones geométricas • Problemas de interés bancario El interés es la ganancia o renta producida por un capital durante un periodo de tiempo; este interés puede ser simple, compuesto o continuo. La tasa de interés, que generalmente se da en tantos por cien, puede ser anual, semestral, trimestral, mensual, diaria o continua.

Interés simple. Un capital C0, al cabo de un año, a un interés del i % produce una renta i i R = C0 · = C 0 ·r , donde r = indica la tasa en tanto por uno. 100 100 • El capital acumulado al cabo de un año será C = C 0 (1 + r ) Ejemplo: Un capital de 20000 €, al 5% anual, produce una renta anual de 20000 · 0,05 = 1000 €. El capital acumulado al cabo de un año será C = 20000·(1 + 0,05) = 21000 € Interés compuesto En el interés compuesto, el capital inicial va incrementándose con los intereses producidos en los periodos anteriores de tiempo (anuales, semestrales, trimestrales…). Si los periodos son anuales, cada año se multiplicará por 1 + r, que será la razón de la progresión. Los capitales en años sucesivos serán: C0 , C1 = C0 (1 + r ) , C2 = C0 (1 + r ) 2 , C3 = C0 (1 + r ) 3 ... Ct = C0 (1 + r ) t , siendo t el número de años. Ejemplo: Un capital de 20000 €, al 6% anual, se convierte al cabo de 8 años en 8 C8 = 20000(1 + 0,06) = 31876,96 € •

El capital acumulado al cabo de t años, a una tasa de interés anual r (en tanto por uno), será: nt

 r Ct = C0 1 +  , siendo n el número de periodos anuales.  n

Ejemplo: Si los intereses se abonan trimestralmente (n = 4), los 20000 € anteriores se convertirían  0,06  en C8 = 200001 +  4  

4 ·8

= 32206,49 €

Observación sobre la T.A.E. Cuando los periodos de capitalización son inferiores a un año (mensuales, por ejemplo), los intereses producidos (o devengados) por un capital son superiores a la tasa de interés anual. El porcentaje de interés real que se obtiene (o paga) se llama tasa anual efectiva o tasa anual equivalente: T.A.E. Ejemplo: • 100 euros, a un interés del 12 % anual (tasa nominal se llama), producen al año 12 euros. • Los mismos 100 €, al mismo interés del 12 % anual, con intereses liquidables mensualmente, 12

 0,12  producen C = 100·1 +  = 112,6825 ; esto es, una ganancia de 12,6825 euros. Esa ganancia es 12   la misma que producirían 100 euros a un 12,6825 % de interés anual. Esa es la TAE correspondiente. En este caso, la información bancaria correcta debe ser: “intereses de un 12 % (12,6825 % TAE)”.

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• Plan de inversión Si una persona deposita periódicamente una cantidad fija de dinero en un banco, a un interés fijo, las cantidades ingresadas y sus ganancias quedan sujetas a interés compuesto, siguiendo los términos de una progresión geométrica. Al cabo de t años: La cantidad inicial C0 se ha convertido en Ct = C0 (1 + r ) t ,

La cantidad C0 depositada transcurrido un año se habrá convertido en Ct −1 = C0 (1 + r ) t −1 La cantidad C0 depositada transcurridos dos años se habrá convertido en Ct − 2 = C0 (1 + r ) t −2 . … La cantidad C0 depositada transcurridos t −1 años (el último ingreso) se habrá convertido en C1 = C0 (1 + r ) . (Observa, que en este caso, el subíndice y el exponente indica el número de años que la cantidad C0 está depositada en el banco.) En consecuencia, transcurridos t años, esa persona tendrá acumulados la suma Ct = C0 (1 + r ) t + Ct −1 = C0 (1 + r ) t −1 + Ct − 2 = C0 (1 + r ) t −2 + … + C1 = C0 (1 + r ) . Esto es, la suma n términos consecutivos de una progresión geométrica de razón 1 + r: n C (1 + r ) (1 + r )t − 1 S = ∑ C0 (1 + r ) t = 0 r t =1

[

]

Ejemplo: Si se ingresan 2000 € anualmente, durante 25 años, a un interés del 5 % (esto es, r = 0,05 y 1 + r = 1,05), la cantidad acumulada al cabo de esos 25 años es 2000·1,05(1,0525 − 1) S= = 100226,91 € 0,05 Hipotecas Es una modalidad de pago que consiste en devolver (al banco) cada cierto tiempo (mensualmente, trimestralmente, etc) una cantidad de dinero. (Aquí supondremos que esa cantidad es fija y que el interés se mantiene fijo). Esas cantidades adeudadas quedan sujetas a interés compuesto. D(1 + r ) n ·r , • La fórmula que da la amortización mensual (la cantidad a devolver) es a = (1 + r ) n − 1 donde D es la deuda inicial, r la tasa mensual y n el número de meses.

•

Ejemplo: 0,06 = 0,005 (6 % anual = 0,5 % mensual) y n =120 (10 años = 120 meses). 12 10000(1 + 0,005)120 ·0,005 Aplicando dicha fórmula, se obtiene a = = 111,02 €. (1 + 0,005)120 − 1 Esto es, para saldar una deuda de 10000 €, hay que pagar 111,02 €, mensualmente, durante 10 años.

Si D = 10000 €, r =

Nota: Estas ideas, que están relacionadas con el concepto económico de valor actual, pueden ampliarse en Sydsaeter, p 162 y ss.

José María Martínez Mediano