I bloque •1453• Caída de Constantinopla. 1500 Tartaglia (1499/1500-1557)

Tartaglia desarrolla fórmulas para la búsqueda de ecuaciones de tercer grado (1535).

•1517• Reforma protestante.

Cardano introduce un método regular para resolver ecuaciones de tercer grado (1545).

1550

Cardano (1501-1576)

•1558• Subida de Isabel I de Inglaterra al trono.

Viète crea un sistema único de símbolos algebraicos organizados con el que puede expresarse una ecuación y sus propiedades mediante fórmulas (1591).

1600

•1609• Telescopio de Galileo. Viète (1540-1603)

Descartes inicia la geometría analítica y se centra en la aplicación del álgebra para ciertos problemas geométricos (1637).

1650

•1660• Restauración monarquía en Inglaterra. 1700

Descartes (1596-1650)

Euler resuelve el problema conocido como problema de los puentes de Königsberg (1736). Maclaurin establece lo que después popularizó Gabriel Cramer como regla de Cramer (1748).

•1702• Comienzo de la guerra de la reina Ana. •1718• Termómetro de Fahrenheit. •1742• Termómetro centígrado.

1750

Maclaurin (1698-1746)

•1767• Máquina vapor perfeccionada de Watt. •1776• Declaración de Independencia de los Estados Unidos. Gauss prueba rigurosamente el teorema fundamental del Álgebra (1799).

Cramer (1704-1752)

1800

Jacobi establece la teoría de los determinantes funcionales –jacobianos– (1840).

•1789• La Revolución Francesa. •1804• Napoleón es coronado emperador. •1815• Batalla de Waterloo.

Grassmann inicia el análisis vectorial (1844). Sylvester usa por primera vez el término «matriz» (1850).

Euler (1707-1783)

1850

Cayley define de forma abstracta la suma y la multiplicación de matrices (1858).

•1859• Darwin: El origen de las especies. •1869• Apertura del canal de Suez.

Frobenius define «rango de una matriz» (1878).

1900

•1936• Sublevación contra el gobierno legítimo de la Segunda República Española. Laplace (1749-1827)

Neumann es considerado el padre de la teoría de juegos.Publica Teoría de juegos y comportamiento económico (1944). Dantzig presenta el problema de la programación lineal y el método del simplex (1947).

Gauss (1777-1855)

•1939• Estalla la II guerra mundial.

l álgebra lineal es una parte de las matemáticas de gran utilidad hoy en día gracias a sus modelos matemáticos. Las matrices son una herramienta poderosa para construir modelos que nos permiten resolver problemas de muy distinta índole. Por ejemplo:

E

– Modelos matemáticos algebraicos que se utilizan para estudiar la inversión de un capital y diversificar el riesgo de dicha inversión. – Modelos matriciales que estudian la evolución de una población. – Modelos para estudiar la producción de distintos sectores. – Modelos con matrices utilizadas en informática para la búsqueda de páginas. Los buscadores que se utilizan a diario en Internet están basados en un modelo de estas características.

Cauchy (1789-1857)

– Modelos con matrices de grafos –itinerarios– para ordenar y optimizar los transportes de aviones, barcos, trenes, etcétera. Como se puede ver, son muchos los ámbitos en los que el álgebra lineal es una herramienta básica en nuestros días.

Jacobi (1804-1851)

Hamilton (1805-1865)

Grassmann (1809-1877)

Álgebra 1. Sistemas lineales 2. Matrices 3. Determinantes 4. Sistemas lineales con parámetros 5. Programación lineal

Sylvester (1814-1897)

Cayley (1821-1895)

Frobenius (1849-1917)

Neumann (1903-1957)

Dantzig (1914-2005)

1

Sistemas lineales Álgebra

Introducción Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones lineales. Los sistemas lineales son una herramienta poderosa para traducir situaciones problemáticas al lenguaje algebraico y resolverlas fácilmente. Para resolver los sistemas lineales se utiliza el método de Gauss. Las ecuaciones se pueden interpretar en el plano y en el espacio. Un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas son dos rectas en el plano. Tres ecuaciones lineales con tres incógnitas son tres planos en el espacio. En la fotografía se observan dos edificios cuyas fachadas pueden asemejarse a planos en el espacio que se cortan dando origen a rectas.

Organiza tus ideas Sistemas lineales

se resuelven por

se interpretan

el método método de de Gauss Gauss el

gráficamente

y se clasifican en

en el

heterogéneos

incompatibles

homogéneos (compatibles)

plano

espacio

compatibles

determinados

indeterminados

13

Álgebra

1. Sistemas de ecuaciones lineales ■ Piensa y calcula Resuelve mentalmente el siguiente sistema:

2x + y – z = 0 ° § y + z = 6¢ z = 2 §£

1.1. Clasificación de los sistemas Ejemplo Sistema heterogéneo x + 2y – z = 2 ° § 3x – 4y + z = 0 ¢ § x – y + 2z = 8 £

Sistema homogéneo x + y – z = 0° § 2x – 3y + z = 0 ¢ § 3x + y + 2z = 0 £

Sistema lineal heterogéneo Un sistema lineal heterogéneo es aquel en el que no todos los términos independientes son nulos. Sistema lineal homogéneo Un sistema lineal homogéneo es aquel en el que todos los términos independientes son nulos. Los sistemas pueden ser: a) Sistema compatible: sistema que tiene solución. • Sistema compatible determinado: sistema que tiene una única solución. • Sistema compatible indeterminado: sistema que tiene un número infinito de soluciones. b) Sistema incompatible: sistema que no tiene solución.

Sistema escalonado Un sistema escalonado es aquel que no tiene términos debajo de la diagonal de las incógnitas. Sistemas equivalentes Dos sistemas son equivalentes si tienen las mismas soluciones. Las transformaciones que permiten obtener sistemas equivalentes son: a) Multiplicar o dividir todos los términos de una ecuación por un mismo número distinto de cero. b) Eliminar ecuaciones que sean combinaciones lineales de las otras ecuaciones. c) Sustituir una ecuación por otra que sea combinación lineal de ella con las restantes.

14

Ejemplo 2x + y – z = 7 ° § y + 2z = 5 ¢ z = 2 §£

3x + y – 2z + t = 4 ° § y + 5z – t = 9 ¢ 4z + 2t = 6 §£

1.2. El método de Gauss El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente y escalonado: a) Se eliminan las ecuaciones que sean combinación lineal de las otras. b) Se intercambian las ecuaciones y las incógnitas, de forma que el primer coeficiente de la primera incógnita de la primera ecuación sea el número más sencillo, a poder ser 1 o – 1 c) Se hacen las transformaciones que permiten conseguir un sistema equivalente escalonado, y se resuelve. d) Si quedan más incógnitas que ecuaciones, se pasan las incógnitas sobrantes al 2º miembro y se resuelve en función de ellas.

Tema 1. Sistemas lineales

1

Ejercicio resuelto

Consejo práctico

Resuelve el siguiente sistema por el método de Gauss y clasifícalo: 3x + y – z = 8 ° § x + 2y + z = 9 ¢ 2x – y + 3z = 4 §£

Poner en cada paso, a la derecha de la ecuación, la combinación lineal que se realiza, mejora los cálculos y ayuda al repasar las operaciones.

Se permuta la 1ª fila con la 2ª, y se escriben a la derecha las operaciones que hay que realizar: x + 2y + z = 9 ° § 3x + y – z = 8 ¢ 3 · 1ª – 2ª 2x – y + 3z = 4 §£ 2 · 1ª – 2ª

ò

x + 2y + z = 9 ° § 5y + 4z = 19 ¢ 5z = 5 §£ z = 1

ò

ò

x + 2y + z = 9 ° § 5y + 4z = 19 ¢ 5y – z = 14 §£ 2ª – 3ª x + 2y + 1 = 9 ° § 5y + 4 = 19 ¢ y = 3 z = 1 §£

El valor z = 1 se sustituye en la 1ª y 2ª ecuación y se calcula el valor de y en la 2ª ecuación.

ò

ò Evitar errores Cada ecuación solo se puede operar con las anteriores.

ò

El valor y = 3 se sustituye en la 1ª ecuación, para poder calcular x

x + 7 = 9° x = 2 § y = 3¢ y = 3 z = 1 §£ z = 1

La solución del sistema es x = 2, y = 3, z = 1 El sistema es heterogéneo compatible determinado.

● Aplica la teoría 1. Resuelve los siguientes sistemas por el método de Gauss y clasifícalos: + 2z = 0 ° a) x § x + y + 2z = – 1 ¢ 2x + 3y = 1 §£

y clasifícalos: b) x – y + z = 1 ° § 3x + y – 2z = 5 ¢ x – 2y + z = 0 §£

2. Resuelve los siguientes sistemas por el método de Gauss y clasifícalos: a) x + y + 2z = 3 ° § 2x – y + z = 9 ¢ x – y – 6z = 5 §£

3. Resuelve los siguientes sistemas por el método de Gauss a) 2x + y + 4z = 1 ° § –x + 2y – 2z = 1 ¢ y + z = 2 §£

b) 8x + 3y + 2z = 4 ° § 2x – y = 0¢ 2x + 2z = 1 §£

4. Resuelve los siguientes sistemas por el método de Gauss y clasifícalos:

b) 2x + y + z = 1 ° § x + 2y + z = 2 ¢ x + y + 2z = 4 §£

= 0° a) – x – y § 3x + 2y = 0¢ y + z = 0 §£

+ 2z = 3 ° b) x § 3x + y + z = – 1 § ¢ 2y – z = – 2 § x – y – 2z = – 5 §£

15

Álgebra

2. Estudio de los sistemas ■ Piensa y calcula Indica el número de soluciones que tienen los siguientes sistemas y clasifícalos: a) x + y = 1 ° ¢ 2x + 2y = 2 £

b) x + y = 1 ° ¢ 2x + 2y = 5 £

c) x + y = 1 ° ¢ x – y = 1£

2.1. Discusión de los sistemas Discutir un sistema consiste en clasificarlo: ° ° Determinado § ° Compatible ¢ § Heterogéneo ¢ £ Indeterminado § £ Incompatible Sistema ¢ § § Homogéneo ° Determinado § (Compatible) ¢ Indeterminado £ £

Solución trivial Un sistema homogéneo es siempre compatible porque tiene la solución trivial,que es aquella en la que todas las variables son ceros.

Al resolver un sistema por el método de Gauss, éste se clasifica según se obtenga: a) Una solución ò Compatible determinado. b) Menos ecuaciones que incógnitas ò Compatible indeterminado. c) 0 = N siendo N é⺢, N ? 0 ò Incompatible. 2

Ejercicio resuelto Resuelve y discute el siguiente sistema: x + y – z = 0° § 4x + 2y – 3z = 0 ¢ 3x + 5y – 4z = 0 §£ Se escriben a la derecha las operaciones que hay que realizar: x + y – z = 0° § 4x + 2y – 3z = 0 ¢ 4 · 1ª – 2ª 3x + 5y – 4z = 0 §£ 3ª – 3 · 1ª

ò

x + y – z = 0° § 2y – z = 0 ¢ 2y – z = 0 §£

ò

x + y – z = 0° ¢ 2y – z = 0 £

Se elimina la 3ª ecuación porque es igual que la 2ª

ò

x + y = z° ¢ 2y = z £ y = z/2

ò

x + z/2 = z ° x = z/2 ¢ y = z/2 £

Se pasan los términos de la z al 2º miembro.

La solución del sistema es x = z/2, y = z/2 El sistema es homogéneo compatible indeterminado. 16

Tema 1. Sistemas lineales

En la solución del sistema, las incógnitas están en función de z. Si se le da a z un valor variable, z = l, la solución se expresa en función de ese valor, obteniéndose las ecuaciones paramétricas: x = l/2, y = l/2, z = l con l é⺢ Si se le dan a l distintos valores, se obtienen las soluciones particulares del sistema: Si l = 0 ò x = 0, y = 0, z = 0, que es la solución trivial.

Solución en ecuaciones paramétricas La solución de un sistema en ecuaciones paramétricas se obtiene al escribir las incógnitas en función de unos parámetros. Los parámetros se suelen representar con las letras griegas l (lambda) y µ (mu).

Si l = 1 ò x = 1/2, y = 1/2, z = 1 Si l = 2 ò x = 1, y = 1, z = 2 …………………………… 3

Ejercicio resuelto Resuelve y discute el siguiente sistema: x + y + z = 1° § 3x + 5y – z = 8 ¢ x + 2y – z = 2 §£ Se escriben a la derecha las operaciones que hay que realizar: x + y + z = 1° § 3x + 5y – z = 8 ¢ 2ª – 3 · 1ª x + 2y – z = 2 §£ 3ª – 1ª

ò

x + y + z = 1° § 2y – 4z = 5 ¢ y – 2z = 1 §£ 2ª – 2 · 3ª

ò

x + y + z = 1° § 2y – 4z = 5 ¢ 0 = 3 §£

ò

Se observa que se ha llegado a una contradicción, 0 = 3, que es imposible. El sistema no tiene solución. El sistema es heterogéneo incompatible.

● Aplica la teoría 5. Discute los siguientes sistemas y clasifícalos: a) x + 2y – z = 6 ° § x + y + 2z = 7 ¢ 2x – y – z = 3 §£

+ z = –1° b) x § x+y = 0¢ x + z = – 1 §£

6. Discute los siguientes sistemas y clasifícalos: a)

x + y + 4z = 1 ° § – x + y – 2z = 1 ¢ y + z = 1 §£

b) x – 3y + z = 1 ° § 2x – y – 3z = 2 ¢ x + y – 3z = 3 §£

7. Discute los siguientes sistemas y clasifícalos: a) –3x + y + 4z = 1 ° § – x – 3y – 2z = 1 ¢ y + z = – 3 §£

b) 4x + y + 2z = 0 ° § 2x + y = 0¢ x + z = 0 §£

8. Discute los siguientes sistemas y clasifícalos: a) x + y + z = 0 ° ¢ 2x + y + 2z = 0 £

b)

x + 2y – 2z = 1 ° § –x – 3y + z = 6 ¢ 3x + y + z = 2 §£

9. Discute los siguientes sistemas y clasifícalos: a) 3x – y + 2z = 1 ° § x + 4y + z = 1 ¢ 2x – 5y + z = – 2 §£

b) 3x + y – 2z = – 8 ° § x + 2y + z = – 1 ¢ 2x – 3y + z = – 3 §£

10. Discute los siguientes sistemas y clasifícalos: a) 2x + y – z = 0 ° § x – y – z = 0¢ 3x – 2z = 0 §£

b) x – y = z ° § x+z=y¢ y – z = x §£

17

Álgebra

3. Interpretación gráfica ■ Piensa y calcula Representa en el plano las rectas del siguiente sistema e interprétalo gráficamente:

x + y = 0° ¢ x – y = 0£

3.1. Sistemas lineales de dos ecuaciones con dos incógnitas Una ecuación lineal con dos incógnitas representa una recta en el plano. Clasificación

Sistema compatible determinado

Sistema incompatible

Sistema compatible indeterminado

Y

Y

Y

P(–1, 3) X

Interpretación gráfica

Rectas secantes Y

4

X

Rectas paralelas

X

Rectas coincidentes

Ejercicio resuelto Resuelve gráficamente, clasifica e interpreta el siguiente sistema:

P(–1, 2)

x + 2y = 3

4x + y = – 2

X

x + 2y = 3 ° ¢ 4x + y = –2 £ Se representan las rectas y se observa que el sistema es compatible determinado. La solución es x = – 1, y = 2

3.2. Sistemas lineales de tres ecuaciones con tres incógnitas Una ecuación lineal con tres incógnitas representa un plano en el espacio. Clasificación

Sistema compatible determinado

Sistema compatible indeterminado

Sistema incompatible

Los tres planos se cortan en El sistema se reduce a dos Los tres planos no tienen un punto que es la solu- ecuaciones o a una. ningún punto en común. ción. a) La solución es una recta. Por ejemplo: Interpretación gráfica

recta

P

b) La solución es un plano.

18

Tema 1. Sistemas lineales

5

Ejercicio resuelto Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpreta gráficamente el siguiente sistema: 2x – y + z = 3 ° § 8x – 4y + 4z = 12 ¢ – 6x + 3y – 3z = –9 §£ Se elimina la 2ª ecuación porque es 4 · 1ª Se elimina la 3ª ecuación porque es – 3 · 1ª

Interpretación gráfica

El sistema se reduce a una ecuación:

Las tres ecuaciones representan el mismo plano.

2x – y + z = 3 ò z = 3 – 2x + y La solución en función de parámetros es: x = l, y = µ, z = 3 – 2l + µ; l, µ é⺢ Al dar valores a l y m se obtienen los infinitos puntos de un plano. El sistema es heterogéneo compatible indeterminado. 6

Ejercicio resuelto Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpreta gráficamente el siguiente sistema: x – y + z = 2° § x + y – 3z = 4 ¢ 3x – y – z = –3 §£

Interpretación gráfica Los tres planos no tienen ningún punto en común. Forman una superficie prismática.

Se escriben a la derecha las operaciones que hay que realizar: x – y + z = 2° x – y + z = 2° x – y + z = 2° § § § ò 2y – 4z = 2 ¢ ò 2y – 4z = 2 ¢ x + y – 3z = 4 ¢ 2ª – 1ª 3x – y – z = –3 §£ 3ª – 3 · 1ª 2y – 4z = –9 §£ 2ª – 3ª 0 = 11 §£ Se observa que se ha llegado a una contradicción, 0 = 11, que es imposible. El sistema no tiene solución. Es un sistema heterogéneo incompatible.

● Aplica la teoría 11. Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpreta gráficamente los siguientes sistemas: a) 3x + y = 4 ° ¢ 3x + y = 2 £

b) 2x – y = 3 ° ¢ 4x + y = 3 £

12. Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpreta gráficamente los siguientes sistemas: x + y + z = 3° § x + y – z = 3¢ z = 0 §£

13. Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpreta gráficamente los siguientes sistemas: 2x – y + 3z = 1 ° § x + 2y – z = 1 ¢ x + y – 6z = –10 §£

14. Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpreta gráficamente los siguientes sistemas: 3x + 2y + 2z = 15 ° § 3x – 2y – 2z = – 1 ¢ –x + 3y + 3z = 3 §£

19

Álgebra

4. Resolución de problemas ■ Piensa y calcula Plantea un sistema de ecuaciones para resolver el siguiente enunciado: «Encuentra dos números cuya suma sea 14 y el doble del mayor menos el menor sea 10»

4.1. Procedimiento de resolución de problemas Para resolver un problema, se debe leer el enunciado tantas veces como sea necesario, hasta identificar cuáles son las incógnitas, los datos, las relaciones y las preguntas. En los problemas geométricos se debe hacer siempre un dibujo, y en todos ellos, un esquema. El procedimiento se puede dividir en los siguientes pasos: a) Entérate: se escriben las incógnitas, los datos y las preguntas. b) Manos a la obra: se plantean las relaciones, se transforman en un sistema y se resuelve. c) Solución y comprobación: se escriben las respuestas a las preguntas que hace el problema y se comprueba que cumplen las relaciones dadas. 7

Ejercicio resuelto Encuentra dos números cuya suma sea 35 y que sean proporcionales a 2 y 3 a) Entérate: incógnitas, datos y preguntas 1er número: x 2º número: y Los números suman 35 Los números son proporcionales a 2 y 3 Hay que hallar los números.

Incógnitas: x = 1er número y = 2º número

b) Manos a la obra x + y = 35 ° x + y = 35 ° § x y ò ¢ — = — ¢§ 3x = 2y £ 2 3 £

con los

Resolviendo el sistema por sustitución:

Datos: Suman 35 Proporcionales a2y3

forman un

ò x + y = 35 ò

x y = 2 3

x + y = 35 ° y = 35 – x ¢ 3x – 2y = 0 £

3x – 2(35 – x) = 0 ò ò 3x – 70 + 2x = 0 ò ò 5x = 70 ò ò x = 14

Si x = 14 ò y = 35 – x ò y = 35 – 14 = 21 ò x = 14, y = 21 c) Solución y comprobación 14 + 21 = 35 ° § 14 21 ¢ —=— § 2 3 £

Sistema: x + y = 35 ° x y ¢ —=— 2 3 £

20

Los números son 14 y 21

Tema 1. Sistemas lineales

8

Ejercicio resuelto Hemos comprado un disco, un libro y una agenda. El precio del libro es el doble del precio del disco, y también es el triple de la diferencia del precio de la agenda y el disco. Considerando que hemos pagado 140 €, calcula los precios de los tres artículos. a) Entérate: incógnitas, datos y preguntas

Incógnitas: x = precio del disco y = precio del libro z = precio de la agenda

Precio del disco: x Precio del libro: y Precio de la agenda: z Se han pagado 140 € por los 3 artículos.

con los

Hay que calcular el precio de cada artículo. Datos:

b) Manos a la obra ° y = 2x § y = 3(z – x) ¢ § x + y + z = 140 £

Ordenando las ecuaciones y resolviendo el sistema: x + y + z = 140 ° x = 30 ° § § 2x – y = 0 ¢ ò y = 60 ¢ 3x + y – 3z = 0 §£ z = 50 §£ c) Solución y comprobación

El precio del libro es el doble del precio del disco

ò

y = 2x

El precio del libro es el triple de la diferencia entre el precio de la agenda y del disco

ò

y = 3(z – x)

Se han pagado 140 €

ò x + y + z = 140

Se comprueba: forman un

° 60 = 2 · 30 60 = 60 ° § § 60 = 3 (50 – 30) ¢ ò 60 = 60 ¢ 30 + 60 + 50 = 140 §£ 140 = 140 §£

Los precios son: disco: 30 €, libro: 60 € y agenda: 50 €

Sistema: y = 2x ° § y = 3(z – x) ¢ § x + y + z = 140 £

● Aplica la teoría 15. Si la altura de Carlos aumentase el triple de la dife-

17. La edad de una madre es en la actualidad el triple de

rencia entre las alturas de Toni y de Juan, Carlos sería igual de alto que Juan. Las alturas de los tres suman 515 cm. Ocho veces la altura de Toni es igual que nueve veces la de Carlos. Halla las tres alturas.

la de su hijo. Las edades del padre, la madre y el hijo suman 80 años, y dentro de 5 años, la suma de las edades de la madre y del hijo será 5 años más que la del padre. ¿Cuántos años tienen en la actualidad el padre, la madre y el hijo?

16. Si se mezclan 60 litros de vino blanco con 20 litros de vino tinto, se obtiene un vino de 10 grados (10% de alcohol). Si, por el contrario, se mezclan 20 litros de blanco con 60 litros de tinto, se obtiene un vino de 11 grados. ¿Qué graduación tendrá una mezcla de 40 litros de vino blanco con 40 litros de vino tinto?

18. Alba compra tres pantalones, dos camisas y un som-

brero por 135 €. Natalia compra un pantalón, tres camisas y un sombrero por 100 €. Javier compra dos pantalones, tres camisas y dos sombreros por 155 €. Si todos los artículos se han comprado al mismo precio, ¿cuál es el precio de cada una de las prendas?

21

EEjercicios j e r c i c i oysproblemas y p ro bresueltos lemas Clasificación y resolución de sistemas lineales 9. Clasifica y resuelve el siguiente

sistema: x – 3y + 2z = 0 ° § – 2x + y – z = 0 ¢ x – 8y + 5z = 0 §£

x – 3y + 2z = 0 ° x – 3y + 2z = 0 ° § § ª ª – 2x + y – z = 0 ¢ 2 · 1 + 2 ò –5y + 3z = 0 ¢ ò x – 8y + 5z = 0 §£ 3ª – 1ª –5y + 3z = 0 §£ x – 3y = – 2z° x – 9z/5 = –2z° x = – z/5 ò ¢ ¢ – 5y = – 3z£ y = 3z/5 y = 3z/5£ La solución es x = – z/5, y = 3z/5 El sistema es homogéneo compatible indeterminado. La solución en ecuaciones paramétricas es: x = – l/5, y = 3l/5, z = l con l é⺢

10. Clasifica y obtén todas las so-

luciones del siguiente sistema de ecuaciones lineales: x + y + z = – 1° § 2x – y + z = 0 ¢ – 2x + 7y + z = –4 §£

x + y + z = –1 ° x + y + z = –1 ° § § ª ª 2 · 1 – 2 ò ò 2x – y + z = 0 ¢ 3y + z = –2 ¢ § 2 · 1 ª + 3ª § 3ª/3 – 2x + 7y + z = –4 £ 9y + 3z = –6 £ x + y + z = –1 ° x + y = –1 – z° § ò 3y + z = –2 ¢ ò ¢ 3y = –2 – z£ y = (– 2 – z)/3 3y + z = –2 §£ – 2 – z = –1 – z ° x+— § 3 § ò ¢ –2 – z § y=— § 3 £

ò

–1 – 2z 2 + z –3 – 3z + 2 + z = = 3 3 3 –2 – z – 1 – 2z ,y= La solución es: x = 3 3 El sistema es heterogéneo compatible indeterminado. x = –1 – z +

La solución en ecuaciones paramétricas es: x = – 1 – 2l , y = – 2 – l , z = l con l é⺢ 3 3 11. Un sistema de tres ecuaciones

con dos incógnitas, ¿puede ser compatible determinado? En caso afirmativo, pon un ejemplo.

Sí puede ser compatible determinado. Para poner un ejemplo es suficiente con escribir un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas que sea compatible determinado y que la tercera ecuación sea combinación lineal de las otras dos. Por ejemplo, en el siguiente sistema la 3ª ecuación es la suma de las dos primeras. x – y = 1° § x + 2y = 7 ¢ 2x + y = 8 §£ La solución del sistema es: x = 3, y = 2 El sistema es compatible determinado.

22

E j e r c i c i o s y p ro b l e m a s

PA U

Problemas con enunciado 12. Un agricultor tiene reparti-

das sus 10 hectáreas de terreno entre barbecho, cultivo de trigo y cultivo de cebada. La superficie dedicada al trigo ocupa 2 hectáreas más que la dedicada a la cebada, mientras que en barbecho tiene 6 hectáreas menos que la superficie total dedicada al cultivo de trigo y cebada. ¿Cuántas hectáreas tiene dedicadas a cada uno de los cultivos y cuántas están en barbecho?

a) Incógnitas, datos y preguntas Nº de hectáreas de barbecho: x Nº de hectáreas de cultivo de trigo: y Nº de hectáreas de cultivo de cebada: z Área total de 10 hectáreas. ¿Cuántas hectáreas de cada cultivo y de barbecho hay? b) Manos a la obra ° x + y + z = 10 x + y + z = 10 ° § § ò y=2+z y – z = 2¢ ¢ ò § § 1ª – 3ª x = y + z – 6£ x – y – z = –6 £

x + y + z = 10 ° § ò y – z = 2¢ 2y + 2z = 16 §£ 3ª/2

x + y + z = 10 ° § ò y – z = 2¢ y + z = 8 §£ 3ª – 2ª

x + y + z = 10 ° x + y = 10 – 3 ° § ò ò x=2 y – z = 2¢ ¢ y=2+3 £y=5 § 2z = 6 £ z = 3 La solución del sistema es: x = 2, y = 5, z = 3 c) Solución Dedica 2 hectáreas a barbecho, 5 hectáreas a cultivo de trigo y 3 hectáreas al cultivo de cebada.

fabricadas de tres tipos,A, B y C. Cada casa de tipo A necesita 10 horas de albañilería,2 de fontanería y 2 de electricista. Cada casa de tipo B necesita 15 horas de albañilería, 4 de fontanería y 3 de electricista. Cada casa de tipo C necesita 20 horas de albañilería, 6 de fontanería y 5 de electricista. La empresa emplea exactamente 270 horas de trabajo al mes de albañilería,68 de fontanería y 58 de electricista. ¿Cuántas casas de cada tipo instala la empresa en un mes?

a) Incógnitas, datos y preguntas Nº de casas tipo A: x Nº de de casas tipo B: y Nº de de casas tipo C: z ¿Cuántas casas de cada tipo instala? b) Manos a la obra Tema 1. Sistemas lineales

13. Una empresa instala casas pre-

10x + 15y + 20z = 270 ° 1ª/5 2x + 3y + 4z = 54 ° § § ò 2x + 4y + 6z = 68 ¢ 2ª – 1ª ò 2x + 4y + 6z = 68 ¢ 2x + 3y + 5z = 58 §£ 2x + 3y + 5z = 58 §£ 3ª – 2ª 2x + 3y + 4z = 54 ° 2x + 3y = 54 – 16 ° § ò x = 10 y + 2z = 14 ¢ ò ¢ y = 14 – 8 £ y = 6 § z = 4£ La solución es: x = 10, y = 6, z = 4 c) Solución Se instalan 10 casas del tipo A, 6 del B y 4 del C 23

EEjercicios j e r c i c i oysproblemas y p ro bresueltos lemas Problemas con enunciado 14. En la XXI Olimpiada Nacio-

nal de Química se contrataron 5 autobuses de 54 plazas cada uno, incluida la del conductor, para el transporte de alumnos, profesores y acompañantes.La suma del 10% del número de profesores y del 20% del número de acompañantes excede en una unidad al 10% del número de alumnos. El número de alumnos duplicaría al de profesores en el caso de que hubieran asistido 5 profesores menos. Determina el número de alumnos,de profesores y de acompañantes.

a) Incógnitas, datos y preguntas Nº de alumnos: x Nº de profesores: y Nº de acompañantes: z 5 autobuses a 54 plazas para alumnos, profesores y acompañantes. b) Manos a la obra 0,1y + 0,2z = 0,1x + 1 ° 10 · 1ª –x + y + 2z = 10 ° § § ò x – 2y x + 0,0y + 0,0z = 2(y – 5) ¢ = –10 ¢ 2ª + 1ª ò § x + 0,0y + 0,0z = 270 x + y + z = 270 §£ 3ª + 1ª £ – x + y + 2z = 10 ° –x + y + 2z = 10 ° § § ò ò – y + 2z = 0 ¢ –y + 2z = 0 ¢ 2y + 3z = 280 §£ 3ª + 2 · 2ª 7z = 280 §£ y = 40 – x + y + 2z = 10° ò ¢ y = 2z£ y = 80

x = 150

La solución es: x = 150, y = 80, z = 40 c) Solución Viajan 150 alumnos, 80 profesores y 40 acompañantes. 15. La suma de las edades actua-

les de los tres hijos de un matrimonio es 59 años.Hace cinco años,la edad del menor era un tercio de la suma de las edades que tenían los otros dos. Dentro de cinco años, el doble de la edad del hermano mediano excederá en una unidad a la suma de las edades que tendrán los otros dos.Halla las edades actuales de cada uno de los hijos.

a) Incógnitas, datos y preguntas Edad actual

Hace 5 años

Dentro de 5 años

Hijo mayor

x

x–5

x+5

Hijo mediano

y

y–5

y+5

Hijo menor

z

z–5

z+5

b) Manos a la obra ° x + y + z = 59 x + y + z = 59 ° § § x – 5 + y – 5 = 3(z – 5) ¢ ò x + y – 3z = –5 ¢ 1ª – 2ª ò x + 5 + z + 5 + 1 = 2(y + 5) §£ x – 2y + z = –1 §£ 1ª – 3ª

x + y + z = 59 ° § 4z = 64 ¢ z = 16 ò 3y = 60 §£ y = 20

x = 23

La solución es: x = 23, y = 20, z = 16 c) Solución El hermano mayor tiene 23 años; el mediano, 20, y el pequeño, 16

24

EEjercicios j e r c i c i oysproblemas y p ro b l e m a s

PA U

1 El siguiente sistema es:

2x + y = 0 ° § x + y = 1¢ x – 2y = 2 §£ heterogéneo. homogéneo. No se puede clasificar porque tiene más ecuaciones que incógnitas. Ninguna de las anteriores. 2 Se llama sistemas equivalentes a:

los que tienen el mismo número de ecuaciones. los que tienen las mismas soluciones. los que tienen el mismo número de incógnitas. Ninguna de las respuestas anteriores. 3 ¿Cuál de estas transformaciones no produce un sis-

tema equivalente? Suprimir ecuaciones que sean combinación lineal de las restantes. Cambiar de orden las ecuaciones. Sumar a una ecuación una combinación lineal de las restantes. Suprimir una incógnita que tenga el mismo coeficiente en todas las ecuaciones. 4 En un sistema compatible determinado:

existen infinitas soluciones. no existe solución. existe una solución. Ninguna de las respuestas anteriores. 5 Un sistema homogéneo:

es siempre compatible indeterminado. es incompatible. es siempre compatible. es siempre compatible determinado. 6 La solución del siguiente sistema es:

3x – 3y + z = 1 ° § x + 4y + 4z = 2 ¢ 5x – 10y – 2z = 0 §£ x = 2/3, y = 1/3, z = 1 x = – 16z/15, y – 11z/15 x = 2/3 – 16l/15, y = 1/3 – 11l/15, z = l; l é⺢ No tiene solución.

Contesta en tu cuaderno: 7 Una inmobiliaria ha vendido un total de 65 plazas de

garaje en tres urbanizaciones diferentes. Las ganancias obtenidas por la venta de una plaza de garaje en la urbanización A son de 2 000 €, 4 000 € por una en la urbanización B y 6 000 € por una en la urbanización C. Se sabe que se ha vendido un 50% más de plazas en la urbanización A que en la urbanización C. Calcula el número de plazas de garaje vendidas en cada urbanización sabiendo que el beneficio obtenido por las vendidas en la urbanización C es igual a la suma de los beneficios obtenidos por las vendidas en las urbanizaciones A y B. Plazas en A, 38; en B, 8; en C, 19 Plazas en A, 30; en B, 15; en C, 20 Plazas en A, 40; en B, 5; en C, 20 No tiene solución. 8 En una fábrica de artículos deportivos se dispone de

10 cajas de diferente tamaño: grandes, medianas y pequeñas para envasar las camisetas de atletismo producidas, con capacidad para 50, 30 y 25 camisetas, respectivamente. Si una caja grande fuera mediana, entonces habría el mismo número de grandes y de medianas. En total se envasan 390 camisetas. Determina el número de cajas que hay de cada clase. Hay 4 grandes, 2 medianas y 4 pequeñas. Hay 5 grandes, 4 medianas y 1 pequeña. No tiene solución. Hay 5 grandes, 3 medianas y 2 pequeñas. 9 Raquel, Paula y Sara salen de compras y cada una ad-

quiere una camiseta. El precio medio de las prendas es de 14 €. La diferencia entre el precio de la camiseta de Sara y el de la de Paula es el doble de la diferencia entre el precio de la camiseta de Paula y el de la de Raquel. Si a Raquel le hubiera costado su camiseta el doble, sobrepasaría en un euro el precio de la de Sara. El precio de las camisetas de Raquel, Sara y Paula es, respectivamente: 19 €, 13 € y 10 € 4 €, 5 € y 6 € 10 €, 13 € y 19 € 9 €, 15 € y 18 €

Tema 1. Sistemas lineales

Preguntas tipo test

10 En el ejercicio anterior, ¿es posible saber el precio

de las camisetas si la última condición se cambia por «Si a Paula le hubiera costado su camiseta el cuádruple, sobrepasaría en 42 euros el precio de la de Raquel»? No. Es un sistema compatible indeterminado. Sí. No. Es un sistema incompatible. Sí, la solución es la misma.

25

EEjercicios jercicio y p ro b lemas y sproblemas propuestos 1. Sistemas de ecuaciones lineales

27. Discute el siguiente sistema y clasifícalo para los va-

lores: 19. Resuelve los siguientes sistemas por el método de Gauss

y clasifícalos:

a) l = –1 b) l = 2

a) 5x + 2y + 3z = 4 ° § 2x + 2y + z = 3 ¢ x – 2y + 2z = – 3 §£

+ z = 2° b) x § x+y = 3¢ x + y + z = 0 §£

20. Resuelve los siguientes sistemas por el método de Gauss

y clasifícalos:

x – y + lz = 2 ° § lx + ly – z = 5 ¢ (l + 1)x + ly – z = l §£ 28. Discute el siguiente sistema y clasifícalo para los va-

lores:

a) x + y + z = 2 ° § x – y + 2z = 1 ¢ 2x + y + 2z = 0 §£

b) 3x + y + z = 6 ° § x + 3y + z = – 10 ¢ x + y + 3z = 4 §£

21. Discute los siguientes sistemas y clasifícalos:

a) x + y + 2z = 2 ° § 2x – y + 3z = 2 ¢ 5x – y + z = 6 §£

b) x + 2y + z = 9 ° § 2x – y + 2z = – 2 ¢ x + y + 2z = 8 §£

a) a = 1 b) a = 2 + z = 1° § y + (a – 1)z = 0 ¢ x + (a – 1)y + az = a §£ x

3. Interpretación gráfica 29. Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpreta

2. Estudio de los sistemas

gráficamente los siguientes sistemas:

22. Discute los siguientes sistemas y clasifícalos:

a) x + y = 2 ° ¢ 2x + y = 6 £

a) x + 2y – z = 2 ° § x + z = –2 ¢ x– y = 1 §£

b) – x + y – 3z = – 2 ° § 4x + 2y – z = 5 ¢ 2x + 4y – 7z = 1 §£

23. Discute el siguiente sistema y clasifícalo para el valor

a = 0: x + 2y + z = a ° § x + y – az = a ¢ 2x + 3y + z = a §£ 24. Discute los siguientes sistemas y clasifícalos:

a) 2x – 3y + z = 0 ° § x + 2y – z = 0 ¢ 4x + y – z = 0 §£

– z=0° b) x § x – y+z=0¢ x + y + z = 0 §£

25. Discute los siguientes sistemas y clasifícalos:

a) 2x + 2y – 2z = 1 ° ¢ 2x + y – 2z = 1 £

b) x + y + 2z = 1 ° ¢ 2x + 2y + z = 2 £

b) –x + y = 4 ° ¢ x – y = –2 £

30. Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpreta

gráficamente los siguientes sistemas: a) 2x + y = 3 ° ¢ 8x + 4y = 12 £

b) 3x – y = 1 ° ¢ x – y = –3£

31. Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpreta

gráficamente los siguientes sistemas: x + y + z = 3° § 2x – y + z = 2 ¢ x – y + z = 1 §£ 32. Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpreta

gráficamente los siguientes sistemas: 2x + 3y – z = 3 ° § x + y – z = 2¢ x – 2z = 3 §£ 33. Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpreta

26. Discute los siguientes sistemas y clasifícalos:

a) x + y – z = 1 ° § 2x – y + 3z = 4 ¢ x + 4y – 6z = 0 §£

26

b) 2x + 3y – 4z = 1 ° § 4x + 6y – z = 2 ¢ x + y + z = 10 §£

gráficamente los siguientes sistemas: 2x – y + 3z = 1 ° § x + 2y – z = – 3 ¢ x + 7y – 6z = – 10 §£

E j e r c i c i o s y p ro b l e m a s 34. Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpreta

gráficamente los siguientes sistemas: x + y + z = 3° § x + y – z = 3¢ 2x + 2y = 5 §£

37. Calcula las edades actuales de una madre y sus dos hi-

jos sabiendo que hace 14 años la edad de la madre era 5 veces la suma de las edades de los hijos en aquel momento; que dentro de 10 años la edad de la madre será la suma de las edades que los hijos tendrán en ese momento; y que cuando el hijo mayor tenga la edad actual de la madre, el hijo menor tendrá 42 años.

35. Resuelve por el método de Gauss, clasifica e interpreta

gráficamente los siguientes sistemas: 3x + y = 0° § 4y + z = 0 ¢ 3x + 2y + z = 1 §£

4. Resolución de problemas 36. Sonia ha comprado unos bolígrafos de 2 €, unos cua-

dernos de 1 € y unas cajas de 3 €. Entre bolígrafos y cuadernos hay el triple que cajas. Considerando que ha comprado 12 objetos y ha pagado 22 €, calcula el número de bolígrafos, cuadernos y cajas que ha comprado.

38. Un bodeguero compra vinos de dos regiones diferen-

tes A y B. Si se mezclan dos partes del vino de la región A con tres partes de la región B, cada litro cuesta 3,3 €. Si se mezclan tres partes del vino de la región A con dos partes de la región B, cada litro de esta mezcla cuesta 3,2 €. Halla cuánto le ha costado al bodeguero el litro de cada vino adquirido. 39. Un tren transporta 470 viajeros, y la recaudación del

importe de sus billetes asciende a 4 250 €. Calcula cuántos viajeros han pagado el importe total del billete, que asciende a 10 €, cuántos han pagado el 80% del billete y cuántos han pagado el 50%, sabiendo que el número de viajeros que han pagado el 50% es la mitad del número de viajeros que pagaron el 80%

Para ampliar a) 2x + y – z = – 1 ° § x – 2y + 2z = 2 ¢ 3x – y + 2z = 4 §£

43. Resuelve y clasifica el sistema para los siguientes valo-

res de a: a) a = – 1 b) a = 2

b) 2x – y = 4 ° § –2x + y = – 4 ¢ x + 2y = 2 §£ 41. Resuelve y clasifica los siguientes sistemas:

a) 2x + y + z = 6 ° § x + y + 2z = 4 ¢ x + y + z = 1 §£ b) x – y + z = 3 ° § 2x + y – 3z = 1 ¢ 8x – 5y + 3z = 19 §£ 42. Resuelve y clasifica el siguiente sistema para el valor de

x–y = 2° § ax + y + 2z = 0 ¢ x – y + az = 1 §£ 44. Discute los siguientes sistemas y clasifícalos:

a) –3x + y + 4z = 1 ° § –x – 3y – 2z = 1 ¢ y + z = – 3 §£

b) x + y + 5z = 0 ° § 2x – 3y =0¢ x – y + z = 0 §£

45. Discute el sistema y clasifícalo para los siguiente valo-

res de l: a) l = 2 b) l = – 1

m = 3: 2x + y – z = 2° § x+y+ 2z = 5 ¢ –x + (m + 2)z = 3 §£

–x + ly + 2z = l ° § 2x + ly – z = 2 ¢ lx – y + 2z = l §£

27

Tema 1. Sistemas lineales

40. Resuelve y clasifica los siguientes sistemas:

EEjercicios jercicio y p ro b lemas y sproblemas propuestos 46. Discute los siguientes sistemas y clasifícalos:

= 3° a) x – y § x + 9z = 7 ¢ x – y + 6z = 6 §£

49. Discute el siguiente sistema y clasifícalo para a = 2:

b) 2x + y – z = – 1 ° § x – 2y + 2z = 1 ¢ 3x – y + z = 4 §£

47. Resuelve por Gauss, clasifica e interpreta gráficamente

ax + 2y + 6z = 0° § 2x + ay + 4z = 2¢ 2x + ay + 6z = a – 2 §£ 50. Discute los siguientes sistemas y clasifícalos:

los siguientes sistemas: a) x + 2y – z = 1 ° § – y + z = 0¢ x+ z = 1 §£

b) x – y + z = 6 ° § x+y = –7 ¢ x + y + 2z = 11 §£

48. Discute el siguiente sistema y clasifícalo para los valo-

= 0° a) – x – y § 3x + 2y = 0¢ y + z = 0 §£

51. Discute el siguiente sistema y clasifícalo para los valo-

res de l:

res de a:

a) l = 0

a) a = –1

b) l = 3

b) a = 1 y+z=1° § (l – 1)x + y + z = l¢ x + (l – 1)y – z = 0 §£

= 0° b) 3x – y § 3x + 4y = 0¢ y + 4z = 0 §£

(a + 1)x + 2y + z = a + 3 ° § ax + y = a¢ ax + 3y + z = a + 2 §£

Problemas 52. Juan compró 4 entradas de adulto y 6 de niño por

55. En una competición deportiva celebrada en un centro

56 €, y Sara abonó 48 € por 5 entradas de adulto y 2 de niño. ¿Cuánto valen las entradas de adulto y de niño?

escolar participaron 50 atletas distribuidos, según la edad, en tres categorías: infantiles, cadetes y juveniles. El doble del número de atletas infantiles, por una parte, excede en una unidad al número de atletas cadetes y, por otra parte, coincide con el quíntuplo del número de atletas juveniles. Determina el número de atletas que hubo en cada categoría.

53. Un hipermercado inicia una campaña de ofertas. En la

primera de ellas descuenta un 4% en un cierto producto A, un 6% en el producto B y un 5% en el producto C. A las dos semanas pone en marcha la segunda oferta, descontando un 8% sobre el precio inicial de A, un 10% sobre el precio inicial de B y un 6% sobre el precio inicial de C. Se sabe que si un cliente compra durante la primera oferta un producto A, dos B y tres C, se ahorra 16 € respecto del precio inicial; si compra en la segunda oferta tres productos A, uno B y cinco C, el ahorro es de 29 €; y si compra un producto A, uno B y uno C, sin ningún tipo de descuento, debe abonar 135 €. Calcula el precio de cada producto antes de las ofertas. 54. Un cliente ha gastado 90 € en la compra de 12 artícu-

los entre discos, libros y carpetas en una tienda. Cada disco le ha costado 12 €; cada libro, 9 €; y cada carpeta, 3 €. Se sabe que entre discos y carpetas hay el triple que de libros. Calcula cuántos artículos ha comprado de cada tipo.

28

56. Una empresa desea disponer de dinero en efectivo en

euros, dólares y libras esterlinas. El valor total entre las tres monedas ha de ser igual a 264 000 €. Se quiere que el valor del dinero disponible en euros sea el doble del valor del dinero en dólares, y que el valor del dinero en libras esterlinas sea la décima parte del valor del dinero en euros. Si se supone que una libra esterlina es igual a 1,5 € y un dólar es igual a 1,1 €, ¿cuál es la cantidad de euros, dólares y libras esterlinas que la empresa ha de tener disponible? 57. Una tienda tiene tres tipos de conservas, A, B y C. El

precio medio de las tres conservas es de 1 €. Un cliente compra 30 unidades de A, 20 de B y 10 de C, y abona 58 €. Otro compra 20 unidades de A, y 30 de C, y abona 51 €. Calcula el precio de cada unidad de A, B y C.

E j e r c i c i o s y p ro b l e m a s 58. Una heladería prepara helados de tres tamaños;

125 gramos, 250 gramos y 500 gramos cuyos precios son 1 €, 2 € y 3 €, respectivamente. Un cliente compra 10 helados, con un peso total de 2,5 kg, y paga por ellos 18 € Halla el número de helados que ha comprado de cada tipo.

64. Resuelve y clasifica el sistema para los siguiente valores

de m: a) m = –3 b) m = 1 x+ y+ z=m° § x + y + mz = 1 § ¢ x + my + z = 1 § mx + y + z = 1 §£

59. Una editorial va a lanzar al mercado tres libros de bol-

sillo, L1, L2 y L3. El importe total de la edición es 24 500 €. Los costes en euros, por unidad, son 5 €, 3 € y 4 €, respectivamente. Se sabe que el número de ejemplares de L3 es igual a los dos séptimos de los del tipo L2, y que si al triple del número de ejemplares de L1 se le suma el número de ejemplares de L3, se obtiene el doble de ejemplares de L2. Averigua cuántos libros se han editado de cada tipo. 60. En una reunión hay 60 personas entre deportistas, ar-

tistas y enseñantes. Se sabe que los enseñantes y los artistas duplican el número de deportistas.También se sabe que los deportistas y el doble de los artistas son el doble de los enseñantes. ¿Cuál es el número de personas deportistas, artistas y enseñantes? 61. El señor García deja a sus hijos herederos de todo su

dinero, con las siguientes condiciones: al mayor le deja la media de la cantidad que les deja a los otros dos más 30 000 €; al mediano, exactamente la media de la cantidad de los otros dos; y al pequeño, la media de la cantidad de los otros dos menos 30 000 €. Conociendo estas condiciones solamente, ¿pueden saber los hijos cuánto dinero ha heredado cada uno? Justifica la respuesta.

65. Un comerciante ha vendido 600 camisetas por un total

de 5 320 €. El precio original era de 10 € por camiseta, pero ha vendido en las rebajas una parte de ellas con un descuento del 30% del precio original, y otra parte con un descuento del 40%. Sabiendo que el número total de camisetas rebajadas fue la mitad del número de las que vendió a 10 €, calcula cuántas camisetas se vendieron a cada precio. 66. Una compañía fabricó tres tipos de muebles: sillas, me-

cedoras y sofás. Para la fabricación de estos tipos, se necesitó la utilización de unidades de madera, plástico y aluminio, tal y como se indica en la siguiente tabla: Madera

Plástico

Aluminio

Silla

1 unidad

1 unidad

2 unidades

Mecedora

1 unidad

1 unidad

3 unidades

Sofá

1 unidad

2 unidades

5 unidades

La compañía tenía en existencia 400 unidades de madera, 600 unidades de plástico y 1 500 unidades de aluminio. Si la compañía utilizó todas sus existencias, ¿cuántas sillas, mecedoras y sofás fabricó?

Para profundizar 62. Resuelve y clasifica el siguiente sistema:

x + z = 11 ° § x+y = 3§ ¢ y + z = 13 § x + y + z = 13 §£ 63. Discute el siguiente sistema y clasifícalo:

x – 2y – 2z + t = 4 ° § x + y + z – t = 5§ ¢ x – y – z + t = 6§ 6x – 3y – 3z + 2t = 32 §£

sas diferentes, A, B y C. Lo que invirtió en A era el doble de lo que invirtió en B. Al cabo de un año, la rentabilidad de la operación ha sido del 10%. Las acciones de la empresa A han aumentado su valor un 10%, y las de B, en un 30%. Si las acciones de la empresa C han perdido un 10% de su valor, ¿qué cantidad se invirtió en cada empresa? 68. En una librería hubo la semana pasada una promoción

de tres libros: una novela, un libro de poesía y un cuento. Se vendieron 200 ejemplares de la novela, 100 de poesía y 150 de cuentos. Sabiendo que la librería ingresó por dicha promoción 8 600 €, que el precio de un ejemplar de novela es el doble del precio de un cuento y que el triple de la diferencia entre el precio del ejemplar de poesía y del cuento es igual al precio de una novela, calcula el precio al que se vendió cada libro.

29

Tema 1. Sistemas lineales

67. Un banco invirtió 2 millones de euros en tres empre-

Tema 1. Sistemas lineales Paso a paso 69.

Resuelve el sistema siguiente. Clasifícalo e interprétalo gráficamente:

70.

x + 2y = 3° ¢ 4x + y = – 2£ Solución: a) Para escribir cada línea de comentario en rojo, en elige Comentar(Ctrl+T). Escribe en un solo bloque el número y el título del tema, el nombre de los dos alumnos y Paso a paso. Para pasar de una línea a la siguiente, sin cambiar de bloque, pulsa [Intro]

Resuelve el sistema siguiente. Clasifícalo e interprétalo gráficamente: x – y + z = 2° § x + y – 3z = 4 ¢ 3x – y – z = –3 §£ Solución:

b) Haz clic en Calcular para crear nuevo bloque. c) Elige Comentar(Ctrl+T) y escribe: Ejercicio 69 d) Pulsa [Intro] para cambiar de línea dentro del mismo bloque. e) Para resolver el sistema, en elige y escribe las ecuaciones. f ) Dibuja las dos rectas.

Haz clic sobre los controles de la parte inferior izquierda para ver la imagen en distinta posición y tamaño. Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda de Wiris: 71.

Encuentra dos números cuya suma sea 35 y sean proporcionales a 2 y 3 Solución:

72.

30

Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema.

Linux/Windows Así funciona Representar una función

En se elige Para ponerle color y ancho de línea, a continuación de la expresión de la función se escribe: , {color = rojo, anchura_línea = 2} Los colores disponibles son: negro, blanco, rojo, verde, azul, cian, magenta, amarillo, marrón, naranja, rosa y gris. Los anchos de línea son cualquier número. Resolver sistema

En se elige y se introduce el número de ecuaciones. Se escriben las ecuaciones y se pulsa el botón Calcular. Se pueden presentar 3 casos: a) Si el sistema es compatible determinado, escribe la solución. b) Si el sistema es incompatible, escribe [ ] c) Si el sistema es compatible indeterminado, despeja las primeras variables en función de las últimas.

Practica

2x – y = 3° ¢ 4x + y = 3£

74.

75.

2x – y = 3° ¢ – 6x + 3y = – 9£

76.

3x + y – z = 8 ° § x + 2y + z = 9 ¢ 2x – y + 3z = 4 §£

77.

x + y – z = 0° § 4x + 2y – 3z = 0 ¢ 3x + 5y – 4z = 0 §£

78.

x + y + z = 1° § 3x + 5y – z = 8 ¢ x + 2y – z = 2 §£

73.

3x + y = 4° ¢ 3x + y = 2£

83.

81.

x – y = – 4° ¢ 2x + y = 1£

80.

x + 2y = 2° ¢ 2x + 4y = 4£

82.

x – 2y = 2° ¢ x – 2y = – 2£ x + y + z = 3° § 2x – y + z = 2 ¢ x – y + z = 1 §£

84.

–5x + 2y – 2z = 7 ° § x + 2y + z = 3 ¢ 5x – 2y + 2z = 8 §£

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de Wiris: 85.

Hemos comprado un disco, un libro y una agenda. El precio del libro es el doble del precio del disco, y también es el triple de la diferencia del precio de la agenda y el disco. Considerando que hemos pagado 140 €, calcula los precios de los tres artículos.

86.

Un agricultor tiene repartidas sus 10 hectáreas de terreno en barbecho, cultivo de trigo y cultivo de cebada. La superficie dedicada al trigo ocupa 2 hectáreas más que la dedicada a cebada, mientras que en barbecho tiene 6 hectáreas menos que la superficie dedicada al cultivo de trigo y cebada. ¿Cuántas hectáreas tiene dedicadas a cada uno de los cultivos y cuántas están en barbecho?

87.

En un teatro, hay localidades de tres clases, A, B y C, cuyos precios son 3 €, 6 € y 12 €, respectivamente. Cierto día, la recaudación total fue de 6 600 €. Si se sabe, además, que de la clase A se vendieron tantas localidades como de las clases B y C juntas, y que de la B se vendió el doble que de la C, ¿cuántas localidades de cada clase se vendieron ese día?

Resuelve los sistemas siguientes. Clasifícalos e interprétalos gráficamente: 79.

2x – y + z = 3 ° § 8x – 4y + 4z = 12 ¢ –6x + 3y – 3z = –9 §£

31

Tema 1. Sistemas lineales

Resuelve algebraicamente los siguientes sistemas y, a la vista del resultado, clasifícalos:

Tema 1. Sistemas lineales Paso a paso 69.

Resuelve el sistema siguiente. Clasifícalo e interprétalo gráficamente: x + 2y = 3° ¢ 4x + y = – 2£ Solución: Haz clic en Insertar Texto, escribe el título del tema, el nombre de los dos alumnos, Paso a paso y el número del ejercicio. 1. Sistemas lineales Alba Maza Sánchez Óscar Arias López Paso a paso Ejercicio 69 a) En la barra de menús elige Resolver/Sistema…, en el número de ecuaciones escribe 2 y pulsa el botón Sí. b) Introduce las ecuaciones, una en cada cuadro de texto, y pulsa el botón Resolver. [x = – 1 ì y = 2] Gráficamente a) En la ventana Álgebra elige Ventana 2D b) Selecciona en la barra de menús Ventana/Mosaico Vertical c) Escoge en la barra de menús Opciones/Pantalla…/Rejilla • Mostrar/Líneas color azul claro. • En Intervalos escribe en Horizontal: 12 y en Vertical: 12 c) Selecciona, con el ratón, en la ventana Álgebra la 1ª ecuación haciendo 3 veces clic sobre ella. d) Activa la ventana Gráficas-2D y haz clic en Representar Expresión. e) Representa de igual forma la 2ª ecuación. f ) Elige Archivo/Incrustar.

70.

Resuelve el sistema siguiente. Clasifícalo e interprétalo gráficamente: x – y + z = 2° § x + y – 3z = 4 ¢ 3x – y – z = –3 §£ Solución: Algebraicamente a) En la barra de menús de la ventana Álgebra elige Resolver/Sistema…, en el número de ecuaciones escribe 3 y pulsa el botón Sí. b) Introduce las ecuaciones, una en cada cuadro de texto, y pulsa el botón Resolver. [] El sistema es incompatible. Gráficamente a) Cierra la Gráficas-2D b) Haz clic en Ventana 3D c) Selecciona en la barra de menús Ventana/Mosaico Vertical d) Selecciona, con el ratón, en la ventana Álgebra la 1ª ecuación haciendo 3 veces clic sobre ella. e) Activa la ventana Gráficas-3D y haz clic en Representar Expresión. f ) Representa los otros dos planos. g) Haz clic en Girar las gráficas. h) Elige Archivar/Incrustar.

Los tres planos forman una superficie prismática y no tienen ningún punto en común. Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda de DERIVE: 71.

Encuentra dos números cuya suma sea 35 y sean proporcionales a 2 y 3 Solución:

El sistema es compatible determinado. La solución es x = – 1, y = 2 32

x + y = 35 ° § Planteamiento: x y — = — ¢§ 2 3 £

Windows Derive Elige Resolver/Sistema…, introduce las ecuaciones y pulsa el botón Resolver. [x = 14 ì y = 21] Los números son 14 y 21

72.

Internet. Abre: www.editorial-bruno.es y elige Matemáticas, curso y tema.

Así funciona Resolución algebraica de un sistema En la barra de menús se elige Resolver/Sistema…, en el número de ecuaciones se escribe 2, 3 o el número de ecuaciones que tenga el sistema y se pulsa el botón Sí. Se introducen las ecuaciones, una en cada cuadro de texto y se pulsa el botón Resolver. Se pueden presentar 3 casos: a) Si el sistema es compatible determinado, escribe la solución. b) Si el sistema es incompatible, escribe [ ] c) Si el sistema es compatible indeterminado, elimina las ecuaciones dependientes. Después se tiene que elegir Resolver o despejar, en el cuadro Variables se selecciona la variable o variables que se quieran despejar y se hace clic en el botón Resolver. Borrar gráficas en el espacio Se selecciona haciendo clic con el ratón y luego se pulsa la tecla [Supr]

Practica

73.

2x – y = 3° ¢ 4x + y = 3£

74.

3x + y = 4° ¢ 3x + y = 2£

75.

2x – y = 3° ¢ – 6x + 3y = – 9£

76.

3x + y – z = 8 ° § x + 2y + z = 9 ¢ 2x – y + 3z = 4 §£

77.

x + y – z = 0° § 4x + 2y – 3z = 0 ¢ 3x + 5y – 4z = 0 §£

78.

x + y + z = 1° § 3x + 5y – z = 8 ¢ x + 2y – z = 2 §£

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayuda de DERIVE: 85.

Hemos comprado un disco, un libro y una agenda. El precio del libro es el doble del precio del disco, y también es el triple de la diferencia del precio de la agenda y el disco. Considerando que hemos pagado 140 €, calcula los precios de los tres artículos.

86.

Un agricultor tiene repartidas sus 10 hectáreas de terreno en barbecho, cultivo de trigo y cultivo de cebada. La superficie dedicada al trigo ocupa 2 hectáreas más que la dedicada a cebada, mientras que en barbecho tiene 6 hectáreas menos que la superficie dedicada al cultivo de trigo y cebada. ¿Cuántas hectáreas tiene dedicadas a cada uno de los cultivos y cuántas están en barbecho?

87.

En un teatro, hay localidades de tres clases, A, B y C, cuyos precios son 3 €, 6 € y 12 €, respectivamente. Cierto día, la recaudación total fue de 6 600 €. Si se sabe, además, que de la clase A se vendieron tantas localidades como de las clases B y C juntas, y que de la B se vendió el doble que de la C, ¿cuántas localidades de cada clase se vendieron ese día?

Resuelve los sistemas siguientes. Clasifícalos e interprétalos gráficamente: 79.

x – y = – 4° ¢ 2x + y = 1£

80.

x – 2y = 2° ¢ x – 2y = – 2£

81.

x + 2y = 2° ¢ 2x + 4y = 4£

82.

x + y + z = 3° § 2x – y + z = 2 ¢ x – y + z = 1 §£

83.

2x – y + z = 3 ° § 8x – 4y + 4z = 12 ¢ – 6x + 3y – 3z = – 9 §£

84.

– 5x + 2y – 2z = 7 ° § x + 2y + z = 3 ¢ 5x – 2y + 2z = 8 §£

33

Tema 1. Sistemas lineales

Resuelve algebraicamente los siguientes sistemas y, a la vista del resultado, clasifícalos: