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2013 Cálculo Diferencial e Integral orientado para Ciencias Empresariales
EQUIPO DE MATEMÁTICOS UCV -FILIAL CHICLAYO
17/04/2013
Cálculo Diferencial é Integral ÍNDICE PRESENTACIÓN .................................................................................................................... 5 PRIMERA UNIDAD ................................................................................................................. 6 SESIÓN 1 ........................................................................................................................ 7 TEMA No. 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.......................................................................... 7 TEMA No.2. LÍMITES LATERALES .................................................................................... 10 SESIÓN 2 ...................................................................................................................... 13 TEMA No.3. TEOREMAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES ............................................ 13 TEMA No.4. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS .................................................................... 16 SESIÓN 3 ...................................................................................................................... 18 TEMA No. 5 LÍMITES INFINITOS ..................................................................................... 18 TEMA No.6. EL NÚMERO e ............................................................................................... 21 TEMA No.7. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN. ........................................................... 25 SESIÓN 4 ...................................................................................................................... 29 TEMA No. 8. PUNTOS DE DISCONTINUIDAD EN FUNCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES. ...................................................................................................................... 29 TEMA No. 9. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO.......................................................... 31 TEMA No. 10. INCREMENTOS. ......................................................................................... 34 SESIÓN 5 ...................................................................................................................... 36 TEMA No 11. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN .................................................................. 36 TEMA No. 12. TEOREMAS PARA EL CÀLCULO DE DERIVADAS. ................................. 38 SEGUNDA UNIDAD ............................................................................................................. 40 SESIÓN 7 .......................................................................................................................... 41 TEMA No. 13. DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS. .. 41 TEMA No. 14. DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS. ... 43 SESIÓN 8 ...................................................................................................................... 45 TEMA No. 15. DERIVADA DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS. ............................... 45 TEMA No. 16. DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES. ............................. 47 SESIÓN 9 ...................................................................................................................... 49 TEMA No. 17. DERIVACIÓN LOGARÍTMICA................................................................... 49 TEMA No.18. DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIÓN. ......................................... 51 SESIÓN 10.................................................................................................................... 52 TEMA No. 19. DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS. ......................................... 52 TEMA No. 20. ECUACIÓN DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA. 56 EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. .......................................................................... 58 TERCERA UNIDAD ............................................................................................................... 59 SESIÓN 12.................................................................................................................... 60 TEMA No. 21. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN. ........................................... 60 TEMA No. 22. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS. ................. 64 SESIÓN 13.................................................................................................................... 67 TEMA No 23. DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN. ........................................................... 67 SESIÓN 14.................................................................................................................... 69 TEMA No. 24. LA INTEGRAL INDEFINIDA. .................................................................... 69 TEOREMAS PARA EL CÁLCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS ..................... 69 Página 2
Cálculo Diferencial é Integral SESIÓN 15.................................................................................................................... 69 TEMA No. 25. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN........................................................ 69 FÓRMULAS FUNDAMENTALES DE INTEGRACIÓN. ....................................................... 70 GLOSARIO. .......................................................................................................................... 74 BIBLIOGRAFÍA. ................................................................................................................... 76
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Cálculo Diferencial é Integral
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Cálculo Diferencial é Integral PRESENTACIÓN El presente módulo de Cálculo pretende apoyar en el logro de los objetivos de aprendizaje y contenidos de esta experiencia curricular presentando conceptos y definiciones, así como ejercicios resueltos y proponiendo al alumno ejercicios por resolver de uso más frecuente en los temas a tratar. Los conceptos y definiciones que contiene y los ejercicios que resuelva le proveerán de un conocimiento básico del Cálculo, comprendiendo la materia de un modo más completo. El módulo
contiene conceptos y ejemplos de funciones,
límites, derivadas y ecuaciones de las rectas tangente y normal a una curva, así como aplicación de los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas prácticos teniendo como soporte el software matemático GEOGEBRA
para la
visualización geométrica de conceptos en concordancia con el enfoque pedagógico de Van Hiele. De esta manera, se pretende apoyar a los estudiantes e ir consolidando materiales de sustento académico para el equipo
de Formación General en el área de
Matemáticas, por lo que este material se entrega a los alumnos al inicio del semestre haciendo una revisión personalizada como parte de la clase. Con el
uso de este material por parte del alumno se busca desarrollar el
razonamiento y la habilidad matemática y ampliar la comprensión y utilización del lenguaje básico de las ciencias, lo cual es el propósito de la presente experiencia curricular.
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Cálculo Diferencial é Integral
PRIMERA UNIDAD I. COMPETENCIA Desarrolla é implementa modelos y herramientas matemáticas haciendo uso del Cálculo Diferencial e Integral, para identificar, plantear y proponer soluciones a problemas que se presentan en Economía , participando activamente en equipo haciendo uso adecuado de las TIC`S, mostrando interés, responsabilidad y ética. II. CAPACIDADES 1. 1.-Calcula e interpreta geométricamente y analíticamente límites de diversos tipos. 2.- Grafica, analiza y optimiza funciones haciendo uso de las derivadas. 3.- Aplica el concepto de derivada en el planteamiento y resolución de problemas de su especialidad. 4.- Determina Integrales indefinidas a partir del concepto de funciones derivadas. 5.- Calcula e Interpreta geométrica y analíticamente integrales definidas. 6.- Aplica el concepto de integral definida en la construcción del conocimiento de su especialidad. 7.- Infiere procedimientos para calcular el valor de integrales con límites infinitos.
SESIÓN 01 TEMÁTICA: LÍMITE DE UNA FUNCIÓN, LÍMITES LATERALES. SESIÓN 02 TEMÁTICA: TEOREMAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS SESIÓN 03 TEMÁTICA: LÍMITS INFINITOS. EL NÚMERO “e” .CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN. SESIÓN 04 TEMÁTICA: PUNTOS DE DISCONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.CONTINUIDAD EN UN INTERVALO SESIÓN 05 TEMÁTICA:DERIVADA DE UNA FUNCIÓN.TEOREMAS PARA EL CÁLCULO DE DERIVADAS. SESIÓN 06 TEMÁTICA:EVALUACIÓN DE LA PRIMERA UNIDAD .
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Cálculo Diferencial é Integral SESIÓN 1 TEMA No. 1. LÍMITE DE UNA FUNCIÓN.
El concepto de límite de una función es una de las ideas fundamentales que distinguen al cálculo de otras áreas de las matemáticas como el álgebra o la geometría. Debe advertirse al estudiante que la noción de límite no se llega a dominar fácilmente. En efecto, es frecuentemente necesario para el principiante estudiar la definición muchas veces, mirándola desde varios puntos de vista, antes de que su significado se aclare. A pesar de la complejidad de la definición, es fácil adquirir intuición para los límites. En el cálculo y sus aplicaciones a menudo nos interesamos por los valores f(x) de una función f cuando “X” está muy cerca de un número “a”, pero no es necesariamente igual a “a”. De hecho, en muchos casos el número “a” no está en el dominio de f; esto es f(a) no está definido. Vagamente hablando, nos hacemos la siguiente pregunta: ¿Si x se acerca más y más a “a” (pero x a), f(x) se acerca también cada vez más a algún número L? .Si la respuesta es sí decimos que el límite de f(x), cuando x tiende a “a”, es igual a L. y escribimos
lim f ( x) L x
a
Consideremos el caso de un físico que desea hacer mediciones de los efectos del vacío en un experimento, cuando la presión del aire es cero. Como es imposible lograr un vacío perfecto en un laboratorio, una manera natural de abordar el problema es medir dicha cantidad a presiones cada vez más pequeñas. Si al acercarse a cero la presión, las mediciones correspondientes se acercan a un número L, entonces puede suponerse que la medición en el vacío sería también L. Nótese que en este experimento la presión “x” nunca es igual a cero; sin embargo los equipos para hacer vacío pueden lograr presiones muy cercanas a cero. Consideremos que “x” tiende a 3,podemos considerar valores a la izquierda como 2.5,2.8,2.9,2.99,2.999,2.9999 y desde la derecha 3.5,3.2,3.1,3.01,3.001. Página 7
Cálculo Diferencial é Integral Nótese que a la variable “x” primero se le asignaron valores sucesivamente cada vez más cercanos a 3 desde la izquierda y desde la derecha pero ninguno igual a 3 CONCEPTO DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN: El límite de una función real de variable real con regla de correspondencia y = f (x) cuando la variable independiente “x” tiende a un valor fijo “a”, es el valor “L” hacia el cual tiende la función, se denota:
lim f ( x) x
a
L
Que se lee: el límite de f(x) cuando x tiende a “a” es igual a L. Significa que cuando x está muy cerca de “a”, la función y = f(x) está muy cerca de L. Para interpretar geométricamente el valor de un límite, se traza la gráfica de la función, entonces, cuando “x” está muy cerca de “a”, f(x) está muy cerca de L, por lo cual L es el valor del límite. Ejemplo 1: Obtener el valor del límite En este caso, como “x” tiende a uno, se le asignan a “x” valores sucesivamente cada vez más cercanos a uno, tanto menores como mayores y se valúa la función en cada valor asignado a “x”. El valor hacia el cual tienda la función cuando “x” esté muy cerca de 1 corresponderá al valor del límite. x 1.5 1.2 1.1 1.01 1.001
4.25 3.44 3.21 3.0201 3.002001
X 0.5 0.8 0.9 0.99 0.999
2.25 2.64 2.81 2.98 2.998
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Cálculo Diferencial é Integral
En ambas tablas, cuando los valores de “x” se acercan cada vez más a 1, la función se acerca cada vez más a 3, por lo tanto el límite de la función es igual a 3, esto es
Resumen: El límite de una función cuando “x” está muy cerca de un valor “a” localizado en el eje x, la función está muy cerca de un valor L localizado en el eje y.
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO: Obtenga el valor de los siguientes límites, para lo cual construya una tabla en donde asigne valores cercanos al valor hacia el cual tiende la variable x: 1.2.3.-
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Cálculo Diferencial é Integral TEMA No.2. LÍMITES LATERALES
El asignar valores sucesivamente cada vez más cercanos al valor hacia el cual tiende x, tanto con valores menores como con valores mayores, se denomina: cálculo de un límite mediante sus límites laterales. El límite en el cual se asignan valores sucesivamente cada vez más cercanos al valor hacia el cual tiende “x”, pero menores, se denomina límite lateral por la izquierda. El límite lateral por la izquierda de una función f(x) cuando x tiende a un valor fijo “a”, se representa por:
lim f ( x) x
a
El límite en el cual se asignan valores sucesivamente cada vez más cercanos al valor hacia el cual tiende x, pero mayores, se denomina límite lateral por la derecha. El límite lateral por la derecha de una función f(x) cuando x fijo “a”, se representa por:
tiende a un valor
lim f ( x) x
a
TEOREMA
El límite de una función existe, sí y sólo sí, sus límites laterales existen y son iguales, esto es: lim f ( x) Existe x
a
lim f ( x)
lim f ( x)
x
x
a
a
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Cálculo Diferencial é Integral Del teorema anterior se deduce que para calcular el límite de una función, primero se deben obtener sus límites laterales y a partir de ellos, se determina el valor del límite. Ejemplo 1: Calcular el límite por la izquierda de la siguiente función: cuando x tiende a 5. En este caso se obtiene el límite de la función elaborando la siguiente tabla:
4.5 4.8 4.9 4.99 4.999
0.7071 0.4472 0.3162 0.1000 0.0316
Cuando los valores de x se acercan cada vez más a 5 por la izquierda, la función se acerca cada vez más a 0, esto es, cuando , entonces y por lo tanto:
Resumen: El asignar valores sucesivamente cada vez más cercanos al valor hacia el cual tiende x, tanto con valores menores como con valores mayores, se denomina: cálculo de un límite mediante sus límites laterales.
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Cálculo Diferencial é Integral EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO: 1.-Calcular el límite por la izquierda de la siguiente función: cuando x tiende a 2. 2.- Calcular el límite de la siguiente función utilizando límites laterales: si
para x para x
2
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Cálculo Diferencial é Integral SESIÓN 2 TEMA No.3. TEOREMAS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES
Una forma directa para calcular el límite de una función, es mediante el uso de teoremas, los más importantes son los siguientes: 1. lim k x
donde k es un número real (una constante)
k
a
2. lim x x
a
a
donde k es un número real (una constante).
3. lim kx ka x
a
4. lim x n x
a
an
5. lim f ( x) x
a
g ( x)
lim f ( x) lim g ( x) x
a
x
a
donde f (x) y g (x) son funciones
reales. 6. lim f ( x) g ( x) x
7. lim x
a
a
x
a
x
a
lim f ( x)
f ( x) g ( x)
8. lim f ( x) x
lim f ( x) lim g ( x)
a
x
donde g (x)
a
lim g ( x) x
n
0.
a
lim f ( x) x
n
a
Ejemplo 1: Calcular el valor del límite: Utilizando el teorema 5
Utilizando los teoremas 3,4 y 1 Página 13
Cálculo Diferencial é Integral
Simplificando, se tiene el valor del límite. =1 Ejemplo 2: Obtener el valor del límite Se pide obtener el límite de un producto de dos funciones, entonces
= (1+2) (3-1) =3 Ejemplo 3: Obtener el valor del límite Aplicando el teorema número 7, se tiene:
Ejemplo 4: Determinar el valor del límite
Factorizando tanto el numerador como el denominador de la función, porque al calcular directamente el límite resulta la indeterminación .
Simplificando
Aplicando los teoremas correspondientes: =
=
=0
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Cálculo Diferencial é Integral Ejemplo 5: Calcular el valor del límite: La simplificación de una expresión que contiene radicales, se hace racionalizando. En este caso se debe racionalizar el denominador de la función multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador que es: +1.
Efectuando la multiplicación, en el denominador se tienen dos binomios conjugados, cuyo producto resulta una diferencia de cuadrados. = Simplificando:
=
Aplicando los correspondientes teoremas de límites: =2 Resumen: Para el cálculo directo de límites de funciones se aplican los teoremas correspondientes aplicando los productos notables para factorización así como procesos como racionalización. EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO: Calcular los siguientes límites. 1.2.3.4.-
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Cálculo Diferencial é Integral TEMA No.4. LÍMITES TRIGONOMÉTRICOS
En esta sección desarrollaremos fórmulas para los límites de las funciones trigonométricas, supondremos que cada variable representa un número real o la medida en radianes de un ángulo y en algunos casos se expresará como una función con ciertas variables. El límite de una función trigonométrica se obtiene utilizando los siguientes teoremas, en los cuales se considera que u = f (x). 1.
lim sen u
sen
2.
lim cos u
cos
u
u
3. lim sen u u
4.
0
0
lim cos u 1 u
0
5. lim u
0
sen u u
1
Con estos teoremas es posible obtener el límite de funciones trigonométricas. Cuando la función dada es diferente de la función seno y coseno, primero se aplican identidades trigonométricas y después el teorema correspondiente. Entre las identidades más usuales para el cálculo de límites, se tienen las siguientes:
tan u
sen u cos u
cot u
cos u sen u
sec u
1 cos u
csc u
1 sen u Página 16
Cálculo Diferencial é Integral Ejemplo 1: Calcular el límite trigonométrico El argumento de la función es 3x, entonces haciendo u=3x, cuando x 3x , esto es, el límite se puede escribir
Aplicando el teorema
, también
se tiene el valor del límite, esto es:
Ejemplo 2: Calcular el valor del siguiente límite En este tipo de límites se debe multiplicar por la fracción
para igualar el
argumento con el denominador y aplicar el teorema correspondiente. = Factorizando y efectuando productos. = Aplicando el teorema = (2) (8) (1)= 16 Resumen: En los límites de funciones trigonométricas directas supondremos que cada variable representa un número real o la medida en radianes de un ángulo y en algunos casos se expresará como una función con ciertas variables.
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Calcular el valor de los siguientes límites. 1.2.-
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Cálculo Diferencial é Integral SESIÓN 3 TEMA No. 5 LÍMITES INFINITOS
DEFINICIÓN 1
Se dice que x tiende a más infinito (x ) si a partir de un número real cualquiera, éste y todos los que le siguen son mayores que cualquier número real dado. DEFINICIÓN 2
Se dice que x tiende a menos infinito (x ) si a partir de un número real cualquiera, éste y todos los que le siguen son menores que cualquier número real dado. DEFINICIÓN 3
Se dice que x tiende a infinito (x
) sí (x
) ó (x
).
DEFINICIÓN 4
Se dice que una función tiende a más infinito cuando x a , si cada vez que a “x” se le asignan valores cercanos a “a”, los valores de la función son cada vez más grandes que cualquier número real dado, esto es: lim f ( x) x
a
DEFINICIÓN 5
Se dice que una función tiende a menos infinito cuando x a , si cuando a “x” se le asignan valores cada vez más cercanos a “a”, los valores de la función son cada vez menores que cualquier número real dado, esto es:
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Cálculo Diferencial é Integral lim f ( x) x
a
DEFINICIÓN 6
Se dice que L es el límite de una función f(x) cuando la variable x tiende a más infinito, si cuando a x se le asignan valores cada vez mayores, los valores de la función son cada vez más cercanos a un número real L, esto es:
lim f ( x)
x
L
En este caso diremos que existe una asíntota horizontal en y=L DEFINICIÓN 7
Se dice que L es el límite de una función f(x) cuando la variable x tiende a menos infinito, si cuando a x se le asignan valores cada vez menores, los valores de la función son cada vez más cercanos a un número real L, esto es: lim f ( x) L x
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Cálculo Diferencial é Integral En este caso diremos que existe una asíntota horizontal en y=L Resumen: en los límites infinitos se considera que la variable x toma valores que tienden a + y hacia -
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Cálculo Diferencial é Integral TEMA No.6. EL NÚMERO e
El número “e “ llamado Número de Euler, está definido por los siguientes límites, donde u es una función de x e
1 u
lim (1 u ) ó u
0
e
lim (1
u
1 u ) u
El conocimiento del número “e” es indispensable para el cálculo de límites, derivadas e integrales de funciones logarítmicas y exponenciales. El sistema de logaritmos que tiene como base al número e recibe el nombre de sistema de logaritmos naturales o neperianos, se denota por ln. El número e tiende al valor 2.71828.... Resumen: el numero e se presenta como un límite, y este número es la base de los logaritmos naturales.
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Cálculo Diferencial é Integral Práctica De Límites 1. Calcular los siguientes límites cuando x2
a) lím x
0
x2
1 x
0
x
g) lím x 1
j) lím
2
x x2
x 1
x 1
2x 1 3x 2
x 2 4x 4 1 x 3
4
x
2
x
y) lím x
B) lím
1
5
x
x3 1
x
2
q) lím
3x 4 1
x
1 x2
9
t) lím
x2
x
w) lím x
x
1
x 2
3
3
z) lím
x4 1
1 x
5x 3
x2 1
x
16
x2
v) lím
x
1
2
s) lím
0
x2
e) lím 2 x 2 x 0 x x2 1 h) lím x 1 2 x 2x 1 x5 1 k) lím x 1 3 x 1 x 1 n) lím x 1 x 1
x 1 x2 4
p) lím
x
2
x2 1 x 1
m) lím
x
x
x 2
x3
b) lím
2x 1
1
d) lím x
3x 2
0
C) lím x
x
x 3 x 2
1
2 x
0
x
1
1
f) lím 5 x 5 x 0 x 3 x 3x 2 i) lím x 1 x3 x 2 x5 1 l) lím x 1 3 x 1 x 2 3x o) lím x 2 x2 4 x 3 6x 2 r) lím x 2 x 3 2x 2 u) lím x
x
3
A) lím x
x 3x 2
x
2
x) lím
3
1 x
c) lím
2
x 3
3x 1 x 1
2 12x 8 4x 8 x 1
x
3
x 3
x 3
3x 6 x 2
2
4x 7
x 2
2
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Cálculo Diferencial é Integral 2. Calcular los siguientes límites :
3. Calcular los siguientes límites utilizando la definición del número “e”: 8
a) lím 1 n
n
b) lím 1 n
n
d) lím 1 n
3
e) lím 1 n
g) lím 1 n
5
h) lím
2
j) lím n
n 3
2n
k) lím n
n) lím n
3n 1
p) lím n
5n 2
s) lím 1 x
3n 1
q) lím n
x
n
n 6
6 3x
n 2
3x 8
n
n 1
l) lím n
2n 3
n 2
n 1 n 3
n
2
o) lím n
2n 1 n2 1
2
n
1
4
r) lím
n
u) lím n
n 6
w) lím 1 x
2x x2 1
4
4n 1
n
2
4n 5
3
n2 1
t) lím 1 2x
5
n 3
5x
3x
v) lím
i) lím
n 1
2n
5n 2 2
n
3n
2n 3
3n 5
n
n
n
4
n 3
4
2n
n 4
m) lím
n
4
n
f) lím 1
3n
n
3n
n
n
2n
5
1
c) lím 1
2n
n
n
3n
n
1
n2
3
3n 3
n2 1
n 1
6n 2
n 5
4x
2
x) lím 3x 2
x 1
x
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Cálculo Diferencial é Integral Limites laterales 4. Considere la representación gráfica de la función g definida por:
5. Determine si existen cada uno de los límites siguientes:
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Cálculo Diferencial é Integral TEMA No.7. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN.
Una función es continua cuando se representa su gráfica como una línea continua sin presentar interrupciones ni saltos. El concepto de continuidad debe de cumplir con algunos requisitos que se proponen en la siguiente definición. DEFINICIÓN.
Se dice que una función real de variable real con regla de correspondencia Y = f(x), es continua en un punto de abscisa x = a, cuando cumple la condición siguiente, llamada condición de continuidad. f (a)
lim f ( x) x
a
Cuando esta condición no se cumple, entonces la función es discontinua en x=a. En este caso, el punto de abscisa “a” se denomina punto de discontinuidad de la función. Existen tres tipos de discontinuidad de una función: 1. Discontinuidad evitable o restringible. 2. Discontinuidad infinita o asintótica. 3. Discontinuidad de salto. Estos tipos de discontinuidad se pueden identificar de acuerdo a las siguientes características: 1. Se presenta una discontinuidad evitable, cuando la función no está definida en el punto, pero el límite en ese punto si existe. 2. Se presenta una discontinuidad infinita, cuando la función no está definida en el punto y tampoco existe el límite en ese punto. 3. Se presenta una discontinuidad de salto, cuando la función está definida en el punto, pero el límite en ese punto no existe.
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Cálculo Diferencial é Integral La condición de continuidad, en algunos textos se analiza por separado, esto es, primero se valúa la función en la abscisa del punto indicado, después se calcula el límite de la función y por último se comparan los dos valores obtenidos. Ejemplo 1: Analice la continuidad de la siguiente función en el punto indicado, en caso de que la función sea discontinua, indicar a qué tipo de discontinuidad pertenece. en
x= 3
Analizando la condición de continuidad por separado se tiene: a) b)
El cual pertenece a los números reales. El cual pertenece a los números reales. Como f (3) =
Se cumple la condición de continuidad, entonces la función dada es continua en x=3. Gráfica. Se trata de una función lineal de primer grado, tabulamos en el intervalo (-1,6). x -1 0 1 2 3 4 5 6
-9 -7 -5 -3 -1 1 3 5
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Cálculo Diferencial é Integral Ejemplo 2: Analice la continuidad de la siguiente función en el punto indicado, en caso de que la función sea discontinua, indique a qué tipo de discontinuidad pertenece. 3x-1 4
si si
en x=2.
Analizando la condición de continuidad: a) Para evaluar f (2), se considera la parte de la función que está definida para x=2, esto es la función lineal. Entonces: b)
Aquí por tratarse de una función definida en dos secciones, el límite se calcula mediante los límites laterales.
El límite por la izquierda es: El límite por la derecha es: Como los límites laterales son diferentes, entonces el límite de la función f(x) no existe, esto es: Entonces f (2)
por no existir límite.
Por lo tanto la función f(x) es discontinua en x=2 porque no se cumple la condición de continuidad. Se presenta una discontinuidad de salto. Enseguida se presenta su gráfica elaborada con el software GEOGEBRA.
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Cálculo Diferencial é Integral
Resumen: una función se considera continua cuando se representa su gráfica como una línea continua sin presentar interrupciones ni saltos.
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Analice la continuidad de las siguientes funciones en el punto indicado y trace la gráfica, en caso de que la función sea discontinua, indique a que tipo de discontinuidad pertenece. 1.-
2.-
en x=3
en x=
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Cálculo Diferencial é Integral SESIÓN 4 TEMA No. 8. PUNTOS DE DISCONTINUIDAD EN FUNCIONES ALGEBRAICAS RACIONALES.
En una función algebraica racional con regla de correspondencia de la forma f ( x) y , donde f(x) y g(x) son funciones polinomiales, los puntos en los cuales g ( x) la función g(x) es igual a cero, son puntos de discontinuidad porque la división entre cero no está definida. Para encontrar las abscisas de los puntos de discontinuidad de una función algebraica racional se resuelve la ecuación obtenida al igualar con cero el denominador. Ejemplo 1: Encuentre los puntos de discontinuidad de la función: Igualando con cero el denominador Resolviendo la ecuación por factorización:
Por lo tanto, la función es discontinua en x=0 y en x=2. Calculando el límite de la función en estos dos puntos a) Para x=0 = = La función f(x) presenta una discontinuidad evitable en el punto (0,- ) porque la función no está definida en x=0, pero su límite en ese punto si existe. Página 29
Cálculo Diferencial é Integral b) Para el segundo valor x=2, se tiene =No existe el límite. Entonces la función f(x) presenta una discontinuidad infinita en el punto de abscisa x=2. La gráfica de la función es:
Resumen: Los puntos de discontinuidad son aquellos donde la gráfica presenta alguna asíntota o una región donde no existe la curva de una manera continua. EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Halle los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones, trace la gráfica e indique el tipo de discontinuidad que se presenta. 1.2.-
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Cálculo Diferencial é Integral TEMA No. 9. CONTINUIDAD EN UN INTERVALO.
Si una función es continua en cada punto de un intervalo dado, es continua sobre el intervalo. Si una función no es continua en a, se dice que es discontinua o que tiene una discontinuidad en a. DEFINICIÓN 1.
Una función real de variable real con regla de correspondencia y = f (x) , es continua en el intervalo ( a, b ), sí y sólo sí es continua en todos los puntos con abscisa dada por los números comprendidos dentro del intervalo abierto ( a, b ) Lo cual implica que no tiene puntos de discontinuidad en todas las abscisas de los puntos que pertenecen a dicho intervalo. DEFINICIÓN 2.
Una función real de variable real con regla de correspondencia y = f(x) , es continua en el intervalo a, b , sí y sólo sí cumple con las siguientes condiciones. 1.-Que f(x) no tenga puntos de discontinuidad en (a, b). 2.-Que lim f ( x) x
3.-Que lim f ( x) x
f (a)
a
f (b)
b
Ejemplo 1: Analice la continuidad de la intervalo y trace la gráfica.
función
en el
Analizando las tres condiciones de continuidad para un intervalo cerrado se tiene: 1.- En el intervalo abierto la función es continua, puesto que existe para todos los valores del intervalo, esto es, la función no presenta puntos de discontinuidad en el intervalo abierto .
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Cálculo Diferencial é Integral 2.Como continuidad.
Cumple con la segunda condición de
3.-
=0
Como
Cumple con la tercera condición de continuidad.
Por lo tanto la función es continua en el intervalo cerrado
.
Resumen: si una función es continua en cada punto de un intervalo dado, se dice que es continua sobre el intervalo. EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Analice la continuidad de las siguientes funciones en el intervalo indicado y trace la gráfica. 1.2.-
en en Página 32
Cálculo Diferencial é Integral
Práctica de continuidad En los ejercicios 1 a 7 trace la gráfica de la función; luego observando dónde hay saltos en la gráfica, determine los valores de la variable independiente en los cuales la función es discontinua y muestre cuál condición no se cumple de los "Criterios de contnuidad de una función en número". En los ejercicios 8 a 14 demuestre que la función es discontinua en el número a. Luego determine si la discontinuidad es eliminable o esencial. Si es eliminable defina f (a) de manera que la discontinuidad desaparezca. En los ejercicios 15 a 21, determine los números en los cuales es continua la función dada.
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Cálculo Diferencial é Integral TEMA No. 10. INCREMENTOS.
INCREMENTO DE UNA VARIABLE.
Si a la variable independiente x se le asigna un valor inicial x 1 , y después un valor final x 2 , entonces, se llama incremento de la variable x a la diferencia del valor final con el valor inicial y se denota por x (se lee: delta x ). Esto es: x
x
2
x
1
INCREMENTO DE UNA FUNCIÓN.
Dada una función real de variable real con regla de correspondencia y=f(x) , si x varia de x1 a x2 entonces al valor de la función en x1 se llama valor inicial de la función f(x1) y al valor de la función en x2 se llama valor final de la función f(x2). Se llama incremento de la función f(x) inicial y se denota por f (x) . Esto es: f ( x)
f ( x2 )
a la diferencia del valor final con el valor
f ( x1 )
En general para cualquier x que pertenece al dominio de la función, se considera:
f ( x)
f (x
x)
f ( x)
Ejemplo 1: Determinar el cociente
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Cálculo Diferencial é Integral Para la siguiente función: El incremento de la función se obtiene con:
Dividiendo entre
, entonces
y simplificando, se tiene el cociente de incrementos
Resumen: si a la variable x se le hace un incremento entonces la función f(x) presenta un incremento proporcional al realizado en el eje x. EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Determine el cociente
para las siguientes funciones:
1.2.-
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Cálculo Diferencial é Integral SESIÓN 5 TEMA No 11. DERIVADA DE UNA FUNCIÓN
La derivada de una función es una de las herramientas más poderosas en las matemáticas. En efecto, es indispensable para las investigaciones no elementales tanto en las ciencias naturales como en las ciencias sociales y las humanidades.
DEFINICIÓN.
La derivada de una función real de variable real continua, se obtiene como el límite del cociente del incremento de la función entre el incremento de la variable independiente, cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero, esto es: Derivada de f ( x)
lim x
0
f ( x) x
También la derivada de una función se expresa como:
Derivada de f ( x)
lim x
0
f (x
x) x
A efecto de simplificar la notación, es común representar a h, con lo cual se tiene: Derivada de f ( x)
lim h
0
f ( x h) h
f ( x)
x mediante la letra
f ( x)
NOTACIÓN.
La derivada de una función real de variable real con regla de correspondencia y f (x) se denota de las siguientes seis formas:
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Cálculo Diferencial é Integral df ( x) dy dx , dx La derivada de una función en cualquiera de sus puntos, geométricamente representa la pendiente de las rectas tangentes a la curva en esos puntos. Esto es
Dx f (x) Dx y f ' ( x) , Y‟, , ,
mT
Dx f (x)
Ejemplo 1: Obtener la derivada de la siguiente función: Aplicando la definición de derivada: Resulta
Simplificando: Realizando la división Finalmente, calculando el límite cuando
se tiene la derivada de la función
Resumen: La derivada de una función real de variable real continua, se obtiene como el límite del cociente del incremento de la función entre el incremento de la variable independiente, cuando el incremento de la variable independiente tiende a cero. EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Utilizando la definición, calcular la derivada de las siguientes funciones. 1.2.-
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Cálculo Diferencial é Integral TEMA No. 12. TEOREMAS PARA EL CÀLCULO DE DERIVADAS.
Una forma más simple que la aplicación de la definición para calcular la derivada de una función real de variable real, es mediante el uso de teoremas, los cuales se obtienen a partir de la definición.
1.- Dx k 0
donde k es un número real (Constante).
2.- Dx x 1 3.- Dx kx k 4.- Dx x
n
donde k es un número real (Constante).
nx
n 1
donde n
R.
Sí f (x) y g(x) son dos funciones reales de variable real continuas: Sí f(x) y g(x) son dos funciones continuas, se tienen los siguientes teoremas para el cálculo de derivadas.
6. Derivada de un producto. Dx f ( x) g ( x)
f ( x) Dx g ( x) g ( x) Dx f ( x)
7. Derivada de un cociente. D
x
f ( x) g ( x)
g ( x ) Dx f ( x ) g ( x)
f ( x ) Dx g ( x ) 2
donde g(x)
0
Derivada de una función elevada a una potencia. Dx f ( x)
n
n f ( x)
n 1
Dx f ( x)
Este teorema generalmente se expresa como : Página 38
Cálculo Diferencial é Integral Dx u
n
nu
n 1
Dx u donde u es una función de x.
Ejemplo 1: Obtenga la derivada de la función Aplicando los teoremas correspondientes
Ejemplo 2: Obtenga la derivada de Transformando la función a la forma de potencia
Aplicando teoremas y simplificando
Resumen: para obtener la derivada de una función algebraica de manera directa se aplican los teoremas respectivos, sin necesidad de desarrollar la definición de derivada. Ejercicios de reforzamiento. Calcular la derivada de las siguientes funciones: 1.2.3.Página 39
Cálculo Diferencial é Integral
SEGUNDA UNIDAD I. COMPETENCIA Desarrolla é implementa modelos y herramientas matemáticas haciendo uso del Cálculo Diferencial e Integral, para identificar, plantear y proponer soluciones a problemas que se presentan en Economía , participando activamente en equipo haciendo uso adecuado de las TIC`S, mostrando interés, responsabilidad y ética. II. CAPACIDADES 1. 1.-Calcula e interpreta geométricamente y analíticamente límites de diversos tipos. 2.- Grafica, analiza y optimiza funciones haciendo uso de las derivadas. 3.- Aplica el concepto de derivada en el planteamiento y resolución de problemas de su especialidad. 4.- Determina Integrales indefinidas a partir del concepto de funciones derivadas. 5.- Calcula e Interpreta geométrica y analíticamente integrales definidas. 6.- Aplica el concepto de integral definida en la construcción del conocimiento de su especialidad. 7.- Infiere procedimientos para calcular el valor de integrales con límites infinitos.
SESIÓN 07 TEMÁTICA: TEMÁTICA: DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS e INVERSAS. SESIÓN 08 TEMÁTICA: TEMÁTICA: DERIVADAS DE LAS FUNCIONES LOGARÍTIMICAS Y EXPONENCIALES. SESIÓN 09 TEMÁTICA: TEMÁTICA: DERIVIACIÓN LOGARÍTMICA. DERIVACIÓN SUCESIVA. SESIÓN 10 TEMÁTICA: : DERIVACIÓN IMPLÍCITA.ECUACIONES DE RECTAS TANGENTES NORMALES A UNA CURVA. SESIÓN 11 TEMÁTICA: EVALUACIÓN DE LA SEGUNDA UNIDAD
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Cálculo Diferencial é Integral SESIÓN 7 TEMA No. 13. DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DIRECTAS.
Hemos descrito una función algebraica y expresábamos que una función que no es algebraica es llamada función trascendente. En esta parte estudiaremos el cálculo de aquellas funciones trascendentes comúnmente llamadas funciones trascendentes elementales. Estas incluyen las funciones trigonométricas, las trigonométricas inversas, las logarítmicas y las exponenciales La derivada de las seis funciones trigonométricas directas se obtienen aplicando los siguientes teoremas: Considerando que u es una función continua de x, esto es: u = f (x) 1. Dx sen u 2.
cos u Dx u
Dx cos u
3. Dx tan u
sen u Dx u sec 2 u Dx u
4. Dx cot u 5.
Dx sec u
csc
2
u Dx u
sec u tan u Dx u
6. Dx csc u
csc u cot u Dx u
Ejemplo 1: Calcular la derivada de la función Considerando
u= , entonces
y que la derivada es de la forma
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Cálculo Diferencial é Integral Calculando la derivada indicada y reordenando los términos, se tiene la derivada de la función. Resumen: Para obtener la derivada directamente de las funciones trigonométricas se aplican los teoremas respectivos haciendo la consideración del valor que toma la función u.
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Obtenga la derivada de las siguientes funciones: 1.2.3.-
Página 42
Cálculo Diferencial é Integral
TEMA No. 14. DERIVADA DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS.
Para calcular la derivada de las funciones trigonométricas inversas, se aplican los siguientes teoremas. Considerando que u es una función continua de x, esto es: u = f (x). 1. Dx arc sen u
1
1
2. Dx arc cos u
3.
Dx arc tan u
4.
Dx arc cot u
5. Dx arc sec u
6. Dx arc csc u
Dx u
2
1 u
1 u
1 1 u
Dx u
Dx u
2
1 1 u
2
Dx u
1 u u
2
2
1
Dx u
1 u u
2
1
Dx u
Ejemplo 1: Calcular la derivada de la función Si u=
y utilizando el teorema
se tiene
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Cálculo Diferencial é Integral
Derivando la función indicada, se tiene la derivada de la función.
Resumen: para obtener la derivada de las funciones trigonométricas inversas se aplican los teoremas correspondientes haciendo las consideraciones de los valores que toma la función u. EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Derive las siguientes funciones: 1.2.3.-
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Cálculo Diferencial é Integral
SESIÓN 8 TEMA No. 15. DERIVADA DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS.
Para calcular la derivada de una función logarítmica, se aplican los teoremas siguientes: Considerando que u es una función continua de x, esto es u = f (x). 1. Dx log
2. Dx ln u
a
u
1 log a e Dx u u
1 Dx u u
Ejemplo1: Calcule la derivada de la función Considerando u= Aplicando el teorema
se tiene:
Calculando la derivada indicada, se tiene la derivada de la función.
Ejemplo 2: Hallar la derivada de la función Página 45
Cálculo Diferencial é Integral Considerando u= Aplicando el teorema
y simplificando, se tiene: ), Calculando la derivada indicada. =
=
Resumen: las funciones logarítmicas que consideran al logaritmo vulgar y al logaritmo natural se pueden derivar aplicando los teoremas correspondientes y considerando los valores que toma la función u.
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Calcule la derivada de las siguientes funciones: 1.2.3.-
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Cálculo Diferencial é Integral
TEMA No. 16. DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIALES.
Para calcular la derivada de una función exponencial, se aplican los siguientes teoremas. Considerando que u es una función continua de x, esto es, u = f (x). 1.
Dx a
u
a
Dx e
u
2.
e
u
u
ln a Dx u
D
x
donde a
es una constante.
u
Ejemplo 1: Obtener la derivada de la función Considerando u= Aplicando el teorema
, se tiene:
Calculando la derivada indicada Reordenando los términos, se tiene la derivada de la función: Ejemplo 2: Calcule la derivada de la función Considerando u= sen 3x Aplicando el teorema
, se tiene: Página 47
Cálculo Diferencial é Integral Calculando la derivada indicada Reordenando los términos, se tiene la derivada de la función Resumen: las funciones exponenciales en las cuales una constante o el número e son elevadas a una potencia que es una función de la variable independiente x tienen su derivada, la cual se obtiene mediante la aplicación de sus respectivas formulas. EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Calcule la derivada de las siguientes funciones: 1.2.-
Página 48
Cálculo Diferencial é Integral
SESIÓN 9 TEMA No. 17. DERIVACIÓN LOGARÍTMICA.
Encontrar la derivada de una expresión que es un producto, un cociente o una potencia resulta más fácil si se usan logaritmos y sus propiedades para derivar. Es un proceso que principalmente se utiliza para calcular la derivada de una función elevada a otra función y para efectuar la demostración de teoremas para el cálculo de derivadas. El método de derivación logarítmica consiste en lo siguiente: 1. Se iguala la función con y. 2. Se aplica el logaritmo natural en ambos miembros de la igualdad. 3. Se aplican las propiedades de los logaritmos para simplificar la expresión. 4. Se derivan con respecto a la variable independiente ambos lados de la igualdad. 5. Se despeja Dxy, que es la derivada que se está calculando. 6. Se substituye la función y = f(x) en el segundo miembro de la igualdad. 7. Se efectúan operaciones en el segundo miembro de la igualdad y se realizan las simplificaciones correspondientes, obteniéndose la derivada de la función dada. Las propiedades de los logaritmos que se utilizan en este proceso son: 1.- ln AB= ln A+ln B Página 49
Cálculo Diferencial é Integral 2.3.Ejemplo 1: Obtener la derivada de la función Igualando la función con Aplicando el logaritmo natural Aplicando la propiedad de los logaritmos: Derivando con respecto a
los dos miembros de la igualdad
Despejando
Sustituyendo
Efectuando la multiplicación, se tiene la derivada de la función
Resumen: la derivación logarítmica es un proceso que principalmente se utiliza para calcular la derivada de una función elevada a otra función aplicando las propiedades de los logaritmos. EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO.
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Cálculo Diferencial é Integral Utilizando el proceso de derivación logarítmica, obtenga la derivada de las siguientes funciones. 1.2.TEMA No.18. DERIVADAS SUCESIVAS DE UNA FUNCIÓN.
Al derivar una función real de variable real continua, se obtiene como resultado una nueva función, la cual se puede derivar nuevamente. A la derivada de la derivada de una función se le llama segunda derivada y se denota por: 2
D x f ( x)
d 2 f ( x) Dx y dx 2 2
d2y dx 2
f „‟(x)
Análogamente, la derivada de la segunda derivada, se llama tercera derivada de la función y se denota por Dx3f(x), etcétera. Las derivadas obtenidas a partir de la segunda, se llaman derivadas de orden superior o derivadas sucesivas, siendo la primera derivada la ordinaria. Ejemplo 1: Obtener la cuarta derivada de la función:
La primera derivada de la función es: La segunda derivada La tercera derivada Finalmente la cuarta derivada Resumen: las derivadas sucesivas de una función se obtienen derivando a la primera derivada, a la segunda, a la tercera y así sucesivamente hasta obtener la derivada deseada.
Página 51
Cálculo Diferencial é Integral EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. 1.- Halle la segunda derivada de la siguiente función 2.- Obtenga la quinta derivada de la función
SESIÓN 10
TEMA No. 19. DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS.
La mayoría de las funciones que hemos considerado han estado especificadas mediante una fórmula para f(x). Para tales funciones la derivada se obtiene por aplicación directa de los teoremas apropiados sobre derivadas. Una función real de variable real es implícita cuando su regla de correspondencia es de la forma f (x, y) = 0, esto es, cuando ninguna variable está despejada en términos de la otra. La derivada de una función implícita de la forma f (x, y) =0 se puede determinar con respecto a la variable independiente x o con respecto a la variable dependiente y mediante el proceso denominado derivación implícita. En el presente texto sólo se describe el procedimiento para obtener mediante derivación implícita, la derivada con respecto a la variable independiente x , en la cual, se deriva la regla de correspondencia con respecto a x , teniendo en cuenta que y es la variable dependiente y que Dxy = y‟ es la derivada buscada. En general, para obtener la derivada implícita con respecto a x de una función f x, y 0 , se aplica el siguiente procedimiento: 1. Se derivan todos los términos de la función con respecto a x. 2. Se efectúan las operaciones indicadas. 3. Utilizando las propiedades de la igualdad, se transforma la ecuación en otra equivalente de tal manera que en el primer miembro se tengan los términos que contengan a y‟. Página 52
Cálculo Diferencial é Integral 4. Se factoriza y‟. 5. Se despeja y‟, que es la derivada que se desea obtener. Ejemplo
1:
Derivar
implícitamente
con
respecto
a
x
la
función
Derivando con respecto Calculando las derivadas que aparecen indicadas
Para despejar y‟ primero se aplica la propiedad distributiva y después se agrupan en el primer miembro lo términos que contienen a la derivada de y Factorizando la derivada de y Finalmente, despejando y‟ se tiene la derivada de la función con respecto a x, esto es:
Resumen: la derivación implícita se aplica para aquellas funciones que se presentan de manera implícita es decir que están dadas de la forma f(x, y)=0 EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. Derive con respecto a x las siguientes funciones 1.2.-
Página 53
Cálculo Diferencial é Integral
Práctica de Derivadas 1.
Determinar la primera derivada, usando las operaciones básicas de derivación:
2. Aplicar las fórmulas de derivación en las siguientes funciones
Página 54
Cálculo Diferencial é Integral
3. Halla las derivadas 1ª, 2ª y 3ª de las siguientes funciones:
4. Aplicando la regla de la cadena, calcula el valor de la derivada de cada una de las siguientes funciones en x=0:
5. Calcula la derivada de estas funciones implícitas
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Cálculo Diferencial é Integral
TEMA No. 20. ECUACIÓN DE LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL A UNA CURVA.
Una de las aplicaciones de la derivada, que tienen una utilidad inmediata, y que se apoya en la definición e interpretación geométrica de la derivada de una función real de variable real continua, consiste en la obtención de la ecuación de la recta tangente y normal en un punto determinado de la curva. Si una función real de variable real con regla de correspondencia y = f(x) es continua y tiene derivada en x = x0 , esto es, f „(x0) R, entonces, la función f(x) tienen una recta tangente en el punto (x0 ,f(x0) ) , cuya pendiente es m=f‟(x0) y su ecuación en la forma punto pendiente es:
y
f ( x0 )
f ' ( x0 )( x x0 )
Página 56
Cálculo Diferencial é Integral Una recta normal a la curva en un punto dado, es la recta perpendicular a la recta tangente en ese mismo punto denominado punto de tangencia. Es necesario recordar que si m 1 es la pendiente de una recta y m 2 la pendiente de otra recta perpendicular a la primera, entonces se cumple que m1m2 1, conocida como condición de perpendicularidad. Por lo tanto, la recta normal a la curva en el punto de tangencia (x0, f(x0)) 1 mn pendiente , tiene por ecuación: f ' ( x0 )
y
f ( x0 )
con
1 ( x x0 ) f ' ( x0 )
Ejemplo 1: Obtener la ecuación de la recta tangente y normal a la curva en el punto de abscisa x=1. La ordenada del punto de tangencia, se calcula sustituyendo x=1 en la ecuación de la curva. Entonces el punto de tangencia es P (1,3) La pendiente de la recta tangente, se obtiene derivando y valuando la función en la abscisa del punto de tangencia. La derivada de la función es: El valor de la pendiente de la recta en el punto de tangencia es: La ecuación de la recta tangente es: Sustituyendo los valores y simplificando se tiene la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto P (1,3).
La ecuación de la recta normal es: Sustituyendo los valores y simplificando se tiene la ecuación de la recta normal a la curva en el punto P (1,3).
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Cálculo Diferencial é Integral
Resumen: Una de las aplicaciones de la derivada, consiste en la obtención de la ecuación de la recta tangente y normal en un punto determinado de la curva, así como de la pendiente de ambas rectas con lo cual se puede trazar la gráfica.
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. 1.- Obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva ángulo de inclinación de 135º.
con
2.- Encuentre la ecuación de la recta tangente a la curva tiene pendiente m=5.
que
3.- Halla las rectas tangentes a la curva: En los puntos de abscisas 0, 1, 3. 4.- Halla las rectas tangentes a la circunferencia: En
los
puntos
de
abscisa
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Cálculo Diferencial é Integral
TERCERA UNIDAD I. COMPETENCIA Desarrolla é implementa modelos y herramientas matemáticas haciendo uso del Cálculo Diferencial e Integral, para identificar, plantear y proponer soluciones a problemas que se presentan en Economía , participando activamente en equipo haciendo uso adecuado de las TIC`S, mostrando interés, responsabilidad y ética. II. CAPACIDADES 1. 1.-Calcula e interpreta geométricamente y analíticamente límites de diversos tipos. 2.- Grafica, analiza y optimiza funciones haciendo uso de las derivadas. 3.- Aplica el concepto de derivada en el planteamiento y resolución de problemas de su especialidad. 4.- Determina Integrales indefinidas a partir del concepto de funciones derivadas. 5.- Calcula e Interpreta geométrica y analíticamente integrales definidas. 6.- Aplica el concepto de integral definida en la construcción del conocimiento de su especialidad. 7.- Infiere procedimientos para calcular el valor de integrales con límites infinitos. 8.-
SESIÓN 12 TEMÁTICA: MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN.PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS. SESIÓN 13 TEMÁTICA: DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN SESIÓN 14 TEMÁTICA: LA INTEGRAL INDEFINIDA. SESIÓN 15 TEMÁTICA: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN SESIÓN 16 TEMÁTICA:EVALUACIÓN DE LA TERCERA UNIDAD.
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Cálculo Diferencial é Integral
SESIÓN 12 TEMA No. 21. MÁXIMOS Y MÍNIMOS DE UNA FUNCIÓN.
Función creciente: una función real de variable real continua en el intervalo abierto (a, b), se dice que es creciente en ese intervalo, sí y sólo sí: f ( x1 )
f ( x2 )
para x1
definidos en el intervalo.
x2
Función decreciente: una función real de variable real continua en el intervalo abierto (a, b), se dice que es decreciente en ese intervalo, sí y sólo sí: f ( x1 )
f ( x2 )
para x1
definidos en el intervalo.
x2
Punto máximo de una función: el punto máximo de una función, es el punto en el cual la función cambia de creciente a decreciente. Punto mínimo de una función: el punto mínimo de una función, es el punto en el cual la función cambia de decreciente a creciente. Para determinar los puntos máximos y mínimos, de una función, así como los intervalos donde es creciente y decreciente, se emplea el siguiente procedimiento: 1. Se obtiene la derivada de la función. 2. Se iguala con cero la derivada de la función. 3. Se resuelve la ecuación f ' ( x)
0 .
La solución de esta ecuación corresponde a las abscisas de los puntos llamados puntos críticos, que pueden ser los puntos máximos o mínimos, aunque no necesariamente.
Página 60
Cálculo Diferencial é Integral 4. Se obtiene la segunda derivada de la función. 5. Se valúa la segunda derivada de la función en cada uno de los punto críticos
x0 ,
Y f (x)
f (x)
tiene un máximo en x0, sí f‟‟(x0) < 0. tiene un mínimo en x0 , sí f‟‟(x0) > 0.
6. Se obtiene la ordenada de los puntos máximos y mínimos sustituyendo el valor de x0 en la función original. 7. Se traza la gráfica de la función. 8. Se establecen los intervalos donde la función es creciente y decreciente. Ejemplo 1: Obtener los puntos máximos y mínimos de la función
Así como los intervalos en los cuales es creciente y decreciente, trazar también la gráfica. Derivando la función
Igualando con cero la primera derivada
Simplificando y resolviendo la ecuación, se tiene la abscisa del punto crítico
Calculando la segunda derivada de la función
Valuando la segunda derivada de la función en los puntos críticos Página 61
Cálculo Diferencial é Integral X -2 6(-2)=-12 2 6(2)=12 Valuando los puntos críticos en la función original, se tiene el valor de su ordenada -2 2
Se tiene un máximo en (-2,18) Se tiene un mínimo en (2,-14)
A partir de la gráfica, se determinan los intervalos donde la función es creciente y decreciente. La función es creciente en: La función es decreciente en: La gráfica es la siguiente, donde se pueden apreciar claramente estos resultados.
Resumen: mediante la aplicación de derivadas es posible obtener la abscisa de los puntos máximos y mínimos de la gráfica de una función, así como las coordenadas de estos puntos. También se obtienen los intervalos donde es creciente y decreciente. Página 62
Cálculo Diferencial é Integral
Práctica de Máximos y Mínimos
I.
En los ejercicios 1 a 9, trazar la gráfica de las siguientes funciones determinando sus puntos máximos y mínimos, así como los intervalos de crecimiento y decrecimiento para la función dada. 3.
9. 11.
10.
II.
En los ejercicios 1 a 7, halle los puntos de inflexión de la gráfica de la función que se indica, si los hay. Determine dónde la gráfica es cóncava hacia arriba y dónde lo es hacia abajo. Trace la gráfica y muestre un segmento de cada tangente de inflexión.
III.
En los ejercicios 1 a 3 obtenga los extremos relativos de la función que se indica usando el criterio de la segunda derivada. Emplee la segunda derivada para determinar cualesquiera puntos de inflexión de la gráfica de la función y determine dónde la gráfica es cóncava hacia arriba y dónde lo es hacia abajo. Trace la gráfica correspondiente.
4.
Página 63
Cálculo Diferencial é Integral
TEMA No. 22. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS.
La teoría que desarrollamos para encontrar los valores extremos de funciones puede aplicarse en algunos problemas prácticos. Estos problemas pueden describirse oralmente o enunciarse por medio de palabras escritas como se hace en los libros de texto. Para resolverlos, es necesario traducir los enunciados verbales al lenguaje de las matemáticas introduciendo para ello fórmulas, funciones y ecuaciones. Como los tipos de aplicaciones son muchos y muy variados, es difícil dar reglas específicas para hallar las soluciones. Algunos problemas de planteo en los cuales la solución es un máximo o un mínimo, pueden resolverse con la teoría que se ha desarrollado hasta el momento. La aplicación principal se presenta en problemas de optimización, en los cuales se pide obtener uno o varios valores máximos o mínimos. No existe un método general que se pueda aplicar para resolver todos los problemas de este tipo, pero se recomienda realizar lo siguiente: 1. Leer varias veces el problema hasta entenderlo totalmente. Aquí se deben identificar tres elementos: - Los datos del problema. - Las condiciones o restricciones del problema. - Lo que se pide obtener en el problema. 2. Asignar las variables con las cuales se planteará y resolverá el problema, de ser posible realizar un dibujo lo más apegado posible al problema.
Página 64
Cálculo Diferencial é Integral 3. Establecer la función objetivo en términos de las variables propuestas. Esta es la función que se debe maximizar o minimizar según corresponda. Aquí la función objetivo puede ser una función con varias variables. 4. Establecer una ecuación para cada una de las condiciones o restricciones del problema, esto es, transformar el lenguaje común a lenguaje algebraico. 5. Despejar una variable en cada una de las ecuaciones y sustituirla en la función objetivo de tal manera que se tenga una función con una sola variable. 6. Determinar los valores máximos o mínimos de la función según corresponda. 7. Con los valores obtenidos, establecer las conclusiones del problema. 8. Si es posible, con los resultados obtenidos, realizar una comprobación con el enunciado del problema. Ejemplo 1: Se desea construir una caja sin tapa, con base rectangular, a partir de una pieza rectangular de cartón de 16 cm de ancho y 21 cm de largo, recortando un cuadrado de cada esquina y doblando sus lados. Encuentre el lado del cuadrado para el cual se obtiene una caja de volumen máximo. Comenzamos por considerar el cartón de 21 cm de largo por 16 cm de ancho en donde usamos la letra x para denotar la longitud del lado del cuadrado que debe recortarse en cada esquina. Nuestro objetivo es lograr que la caja así construida tenga el máximo volumen posible. El volumen V de la caja esta dado por
Esta ecuación expresa a V como una función de x. Derivando con respecto a x obtenemos
Por lo tanto los números críticos posibles son
y 3, pero como
se encuentra
fuera del dominio de x, el único número crítico es 3. La segunda derivada de V está dado por Página 65
Cálculo Diferencial é Integral
Sustituyendo 3 en lugar de x, Y aplicando el criterio de la segunda derivada, vemos que V tiene un máximo local en x=3. Por lo tanto para encontrar una caja con volumen máximo, deben recortarse cuadrados de tres centímetros de lado de cada esquina del cartón.
Resumen: problemas de planteo en los cuales la solución es un máximo o un mínimo, pueden resolverse con la aplicación de la teoría de máximos y mínimos, principalmente en problemas de optimización, en los cuales se pide obtener uno o varios valores máximos o mínimos.
EJERCICIOS DE REFORZAMIENTO. 1.- Una empresa desea fabricar recipientes cilíndricos sin tapa con una capacidad de 6 litros. ¿Que dimensiones deben tener para que se utilice la menor cantidad de material en su fabricación? Página 66
Cálculo Diferencial é Integral
2.- Un proyectil es disparado siguiendo una trayectoria parabólica, dada por la ecuación , donde h es la altura en metros y t el tiempo en segundos. Halle el tiempo en que alcanza su altura máxima y el valor de esta.
SESIÓN 13 TEMA No 23. DIFERENCIAL DE UNA FUNCIÓN.
Considérese una función real de variable real continua, correspondencia y f (x).
con regla de
La diferencial de la variable independiente x se denota por dx y es igual a:
dx Donde
x
x es el incremento de la variable independiente.
La diferencial de la variable dependiente o función y, se denota por dy o df(x) y se define como: dy
f ' ( x)dx
Esto es, la diferencial de una función, es igual a la derivada de la función multiplicada por dx .
6.- d (u v)
1.
d(k)=0
2.
d(x)=dx
3.
d(kx)=kdx
4.
d
x
n
nx
7.- d
n 1
v Dx u uDx v v2
u v
8.- d (u
(u Dx v v Dx u) dx
n
)
nu
n 1
dx donde v
0
Dx u dx
dx Página 67
Cálculo Diferencial é Integral Sí u y v son dos funciones reales de variable real continuas : 5.- d ( u
v)
( Dx u
Dx v ) dx
APLICACIONES DE LA DERIVADA 1. Análisis marginal. El costo de producir x unidades de un artículo por semana es a) Encuentre el costo marginal y trace su gráfica junto con la gráfica de en el mismo sistema de coordenadas. b) Encuentre todos los valores de x donde ¿Cómo se relacionan estos niveles de producción con la gráfica del costo marginal? 2. Ventas. Una compañía estima que cuando se gasten x miles de dólares en mercadotecnia de cierto producto, se venderán unidades del producto, donde Trace la gráfica de . ¿Dónde tiene la gráfica un punto de inflexión? ¿Cuál es el significado del gasto en mercadotecnia que corresponde a este punto? 3. Eficiencia de un trabajador. Un estudio de eficiencia del turno de la mañana en una fábrica (8:00 a.m. a 12:00 del mediodía) indica que un trabajador promedio que llega al trabajo a las 8:00 a.m. habrá producido unidades horas más tarde, donde . a) ¿A qué hora de la mañana es más eficiente el desempeño del trabajador? b) ¿A qué hora de la mañana es menos eficiente el desempeño del trabajador? 4. Eficiencia de un trabajador. Un estudio de eficiencia del turno de la mañana en cierta fábrica (de 8:00 a.m. a 12:00 del mediodía) indica que un trabajador promedio que llega al trabajo a las 8:00 a.m. habrá ensamblado radios de transistores horas más tarde c) ¿A qué hora de la mañana es más eficiente el desempeño del trabajador? d) ¿A qué hora de la mañana es menos eficiente el desempeño del trabajador? 5. Análisis marginal. El costo de producir x unidades de un artículo por semana es c) Encuentre el costo marginal y trace su gráfica junto con la gráfica de en el mismo sistema de coordenadas. d) Encuentre todos los valores de x donde ¿Cómo se relacionan estos niveles de producción con la gráfica del costo marginal? 6. Ventas. Una compañía estima que cuando se gasten x miles de dólares en mercadotecnia de cierto producto, se venderán unidades del producto, donde Página 68
Cálculo Diferencial é Integral Trace la gráfica de . ¿Dónde tiene la gráfica un punto de inflexión? ¿Cuál es el significado del gasto en mercadotecnia que corresponde a este punto? 7. Eficiencia de un trabajador. Un estudio de eficiencia del turno de la mañana en una fábrica (8:00 a.m. a 12:00 del mediodía) indica que un trabajador promedio que llega al trabajo a las 8:00 a.m. habrá producido unidades horas más tarde, donde . e) ¿A qué hora de la mañana es más eficiente el desempeño del trabajador? f) ¿A qué hora de la mañana es menos eficiente el desempeño del trabajador? 8. Eficiencia de un trabajador. Un estudio de eficiencia del turno de la mañana en cierta fábrica (de 8:00 a.m. a 12:00 del mediodía) indica que un trabajador promedio que llega al trabajo a las 8:00 a.m. habrá ensamblado radios de transistores horas más tarde g) ¿A qué hora de la mañana es más eficiente el desempeño del trabajador? h) ¿A qué hora de la mañana es menos eficiente el desempeño del trabajador?
SESIÓN 14 TEMA No. 24. LA INTEGRAL INDEFINIDA.
TEOREMAS PARA EL CÁLCULO DE INTEGRALES INDEFINIDAS
1.
dx
2.
k dx
3.
k f ( x)dx
4.
x c
f ( x)
kx c
k
donde k es un número real (constante).
f ( x)dx
g ( x) dx
f ( x)dx
donde k es un número real (constante).
g ( x)dx x
1
dx
dx x
ln x
c
SESIÓN 15 TEMA No. 25. INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN.
Para calcular integrales utilizando este método, se utilizan los dos teoremas siguientes: Página 69
Cálculo Diferencial é Integral
1.
2.
u
n
du u
du
1 n 1
ln u
u
n 1
c
donde n
R y n
1
c
FÓRMULAS FUNDAMENTALES DE INTEGRACIÓN.
Las principales fórmulas para calcular integrales indefinidas son:
1. 2. 3. 4. 5.
sen u du cos u du tan u du
cot u du sec u du
cos u c 9.
sec u tan u du
10.
csc u cot u du
11.
a
u
du
au ln a
12.
e
u
du
e
sen u c ln sec u
c
ln sen u
c
ln sec u
tan u
csc u du
7.
sec 2 u du
8.
csc 2 u du
ln csc u cot u
tan u cot u
c
u
csc u c
c c
c du
13. 6.
sec u c
a
c 14.
2
u
a
c
u
c
1 u arc tan a a
c
2
du 2
u a
arc sen
2
du
15.
u u
2
a
2
1 u arc sec a a
c
Página 70
Cálculo Diferencial é Integral
Aplicaciones Aplicaciones de los problemas con valor inicial Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene diferenciales o derivadas. Estas ecuaciones son de gran importancia en la modelación y aparecen en una amplia gama de aplicaciones. Un problema con valor inicial es un problema donde se debe resolver una ecuación diferencial, sujeta a una condición inicial dada. Ejemplo: Determinar , tal que , sujeta a la condición cuando Este problema con valor inicial se resuelve hallando la antiderivada
Luego, usando la condición inicial, hallamos
.
Por lo tanto Práctica de Integrales 1. En los problemas 1 a 30 determine la integral indicada. Compruebe las respuestas derivando. 1.
2. Página 71
Cálculo Diferencial é Integral 3. 5.
4. 6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23. 25.
24. 26. 28.
27.
29. 30. 2. En los problemas 1 a 24 halle la integral y verifique las respuestas derivando. 1. 3. 5. 7. 9. 11.
2. 4. 6. 8. 10. 12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19. 21.
20. 22.
23.
24.
3. En los problemas del 1 al 10, use la integración por partes para hallar la integral dada. 1. 3.
2. 4. Página 72
Cálculo Diferencial é Integral 5. 7. 9.
6. 8. 10.
4. Problemas Aplicativos 1. Costo marginal. Un fabricante estima que el costo marginal por producir q unidades de cierto bien es dólares por unidad. Si el costo de producción de 10 unidades es $5 000 dólares, ¿Cuál es de producción de 30 unidades? 2. Utilidad marginal. La utilidad marginal de un cierto bien es cuando se producen q unidades. Cuando se producen 10 unidades, la utilidad es de $700. a) Determine la función de utilidad . b) ¿Qué nivel de producción q da como resultado la utilidad máxima? ¿Cuál es la utilidad máxima? 3. Ingreso. El ingreso marginal por la venta de x unidades de un cierto artículo se estima que será dólares por unidad, donde es el ingreso en dólares. a) Determine , suponiendo que . b) ¿Qué ingreso se espera por la venta de 1000 unidades? 4. Costo Marginal. en cierta fábrica, el costo marginal es dólares por unidad cuando el nivel de producción es unidades. a) Exprese el costo total de producción en función de los gastos indirectos (el costo de producir 0 unidades) y el número de unidades producidas. b) ¿Cuál es el costo de producir 14 unidades si el gasto indirecto es de $ 436? 5. Recolección de fondos. Después de t emanas, las aportaciones en respuesta a una campaña para recolectar fondos llegaban a razón de dólares por semana. ¿Cuánto dinero se recolectó durante las primeras 5 semanas? 6. Crecimiento Poblacional. La población (en miles) de una colonia de bacterias, t horas después de la introducción de una toxina, está cambiando a razón de miles de bacterias por hora. ¿Cuánto cambia la población durante la cuarta hora?
7.-En los problemas 1 al 8 resuelva el problema con valor inicial para 1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
8.- Problemas aplicativos Página 73
Cálculo Diferencial é Integral 1. Suponga que se determina que el ingreso marginal asociado con la producción de x unidades de un cierto articulo es - dólares por unidad. ¿Cuál es la función de ingreso ? Puede suponer que . ¿Qué precio se pagará por cada unidad cuando el nivel de producción sea unidades? 2. En cierta fábrica, cuando se invierten K miles de dólares en la planta, la producción Q cambia a una tasa dada por unidades por cada mil dólares invertidos. Cuando se invierten $8000, el nivel de producción es de 5 500 unidades. a) Determine una para el nivel de producción Q que se espera cuando se inviertan K miles de dólares. b) ¿Cuántas unidades se producen cuando se invierten $27 000? c) ¿Qué inversión de capital K se requerirá para producir 7 000 unidades? 3. El gerente de una zapatería determina que el precio p (dólares) por cada par de zapatos deportivos de cierta marca popular, cambia a una tasa de
Cuando los consumidores demandan x (miles) de pares. Cuando el precio es $75 por par, son demandados 400 pares (x=4) a) Determine la función de demanda (precio). b) ¿A qué se demandarán 500 pares de zapatos deportivos? ¿A qué precio no se demandarán zapatos deportivos? c) ¿Cuántos pares se demandarán a un precio de $90 por par? 4. Un fabricante ha determinado que cuando se producen q miles de unidades de cierta mercancía, el precio al que todas las unidades se pueden vender es dólares por unidad, donde es la función de demanda a) ¿A qué precio se demandan 5000 unidades ( )? b) Encuentre el superávit de consumidores cuando se demandan 5 000 unidades.
GLOSARIO.
Abscisa. Una de las dos coordenadas rectilíneas que fijan la posición de un punto en el plano. Álgebra. Ciencia que tiene por principal objeto simplificar y generalizar las cuestiones relativas a los números. Esto se consigue utilizando letras para designar los números que se buscan; las reglas operacionales se eligieron para que siguieran el mismo patrón que en aritmética ordinaria con el empleo generalizado del número negativo. Página 74
Cálculo Diferencial é Integral Amplitud. De un intervalo (a, b) Aproximación. Evaluación o cálculo empírico con resultado inexacto, pero lo suficientemente cercano al real para considerarse suficiente. Asíntota. Línea recta que, prolongada indefinidamente, se acerca de continuo a una curva, sin llegar a encontrarla nunca. Cálculo Diferencial. Rama de las matemáticas que trata de las unidades de cambio en las cantidades variables. En el cálculo diferencial se consideran solamente los incrementos en las cantidades variables; se antepone a ellas el símbolo “d”, lo que significa un incremento. Coordenadas. Se le llama coordenada a la pareja (x, y) que determina la distancia que un punto guarda en relación con los ejes de coordenadas rectilíneas o cartesianas. La x se define como la abscisa y es la distancia ortogonal que dicho punto guarda con el eje de las Y, y la coordenada “y” representa la distancia ortogonal que el punto guarda con respecto al eje X. Curva. Línea o trayectoria que se desvía constantemente de su dirección y no contiene ninguna posición de línea recta. Es el lugar geométrico de las posiciones sucesivas que ocupa un punto que se traslada con arreglo a una determinada ley; por lo tanto, es una figura geométrica determinada por un sistema de coordenadas y la expresión gráfica de la variación que experimenta una magnitud en función de otra u otras, de cuya definición se desprende que una recta es un caso particular de curva. Derivación. Es la operación con la que se encuentra la derivada de una función. Discontinuo. Magnitud que varía por saltos y no gradualmente. Función, derivada de una. Es la tendencia de una función al acercamiento a un valor dado de la variable independiente. Existen varias fórmulas para derivar. Funciones implícitas. Son implícitas cuando su dependencia con la variable independiente no se encuentra en forma de ecuación resuelta, como es: , en este caso “y” es una función implícita de x. Funciones, valores críticos de las. Se llaman valores críticos a los valores en los que una función encuentra un máximo, un mínimo o un punto de inflexión, éstos se localizan derivando la función e igualando a cero. Los valores de x que satisfacen a f‟(x) se llaman valores críticos.
Página 75
Cálculo Diferencial é Integral Límite de una función. Es el valor al que tiende el resultado de la operación cuando la variable tiende a un valor predeterminado. Como es decir que el límite de f(x) cuando x tiende a “a” sea k. Máximo. Límite superior de una cosa. Valor mayor de una cantidad variable entre ciertos límites. Trascendentes. Ecuaciones y funciones que no se pueden representar por expresiones algebraicas, porque intervienen en ellas logaritmos, funciones trigonométricas o ecuaciones en las que el exponente es la variable. Variable dependiente. Magnitud que en una relación o función depende del valor que se le asigne a otras variables. Variable independiente. Magnitud que no depende de otra para obtener su valor.
BIBLIOGRAFÍA. AYRES, F., 2004, Cálculo diferencial e integral, México, Mc. Graw Hill ALEKSANDROV, A.D., Kolmogorov, A.N., Laurentiev, M.A., 1980, La matemática: su contenido, métodos y significado (tres tomos), México, Alianza Editorial. ANFOSSI, Agustín; Flores, M. A., 1991, Cálculo Diferencial e Integral, México, Editorial Progreso. ARYA, J.C, Lardner, R.W., 1992, Matemáticas aplicadas a la Administración y a la Economía, México, Editorial Prentice Hall Hispanoamericana. CONTRERAS G. L., et al., Cálculo diferencial e integral, 2004, México, Universidad Autónoma del estado de México. COURANT, R., Robbins, H., 2002 (edición en español), ¿Qué son las matemáticas?, México, Editorial Fondo de Cultura Económica. GUZMÁN, José, et al., 2005, Cálculo Diferencia e Integral, México, Universidad Autónoma del Estado de México. LEITHOLD, Louis, 1987, El Cálculo con Geometría Analítica, México, Harla. Página 76
Cálculo Diferencial é Integral PURCEL, Edwin J; Varberg, Dale, 1992, Calculo Diferencial e Integral, México, Prentice Hall, Hispanoamericana. SESTIER, A., 1981, Diccionario Enciclopédico de las Matemáticas (tres tomos), México, Editorial del Valle de México, S.A. SILVA, J. M; Lazo, A., 1994, Fundamentos de Matemáticas, México, Noriega Editores Limusa. TALIZINA, N.F., 1992, La formación de la actividad cognoscitiva de los escolares, México, Ángeles Editores. ZILL, Dennis G., 1987, Cálculo con Geometría Analítica, México, Grupo Editorial Iberoamérica.
Página 77