ASTRONOMÍA DE POSICIÓN – Cambios del Sistema de Coordenadas. Transformación de Coordenadas

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Tema N° 1 Cambios del Sistema de Coordenadas. Transformación de Coordenadas

1.1- Cambios del Sistema de Coordenadas Consideremos dos sistemas de coordenadas, uno denominado S=(0, X, Y, Z), al que llamaremos Viejo Sistema, y otro denominado T=(C, U, V, W), al que llamaremos Nuevo Sistema, [Figura 1.1a].

Figura 1.1a: Cambio de un viejo sistema (S) a un nuevo sistema (T)

En el viejo sistema S tenemos: 0 = (0,0,0) , coordenadas del punto origen x = {1,0,0}s , componentes del 1 vector unitario y = {0,1,0}s , componentes del 2° vector unitario z = {0,0,1}s , componentes del 3° vector unitario P = {x,y,z}s , coordenadas del punto P = componentes del vector de posición p V = {x,y,z}s componentes del vector v _________________________________________________________________________________________ Dep. de Geofísica y Astronomía. Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. UNSJ Dr. Ricardo César Podestá

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En el nuevo sistema será: P = {u,v,w}T , coordenadas del punto P = componentes del vector de posición de P = CP V = {u,v,w}T , componentes del vector v

Vamos a suponer que se tiene localizado el viejo sistema S en el nuevo sistema T 0 = {uo,vo,wo}T coordenadas del origen de S en T x = {x1,x2,x3}T componentes del 1° versor de S en T y = {y1,y2,y3} T componentes del 2° versor de S en T z = {z1,z2,z3}T componentes del 3° versor de S en T Todo vector puede expresarse como combinación lineal de los vectores unidad: V = x x + y y + z z = u u + v v + w w x en T será : x = x1 u + x2 v + x3 w y en T será : y = y1 u + y2 v + y3 w z en T será : z = z1 u + z2 v + z3 w Multiplicando cada una de las expresiones anteriores por x, y, z respectivamente, sumando y sacando factor común, tendremos: V = (x1 x + y1 y + z1 z)u + (x2 x + y2 y + z2 z)v + (x3 x + y3 y + z3 z)w Comparando con lo obtenido anteriormente: V = u u + v v + z z

tendremos:

u = x1 x + y1 y + z1 z v = x2 x + y2 y + z2 z w = x3 x + y3 y + z3 z Definiendo:

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 u   x1   U   v  , M   x 2 w  x3

y1

z1  y 2 z 2 , y3 z 3

 x  X  y   z 

U = M X

 u   x1   U   v    x 2 w  x3

VT

xT

y1 z1  y 2 z 2 y3 z 3

x  y     z 

yT

Vs

zT

(1)

La ecuación (1) nos da el pasaje de S a T .Se llama Ley de Variación de las Componentes para el paso de S a T, independiente de la posición del origen 0 respecto a T. Para obtener la Ley de variación de las Coordenadas de los Puntos aplicamos la ley de variación de las componentes al vector p de P en S.

0P = p = {x,y,z}s = {u-uo , v-vo, w-wo}T

Aplicando (1) : u   uo   x1  v    vo    x2       w wo   x3

PT

0T

xT

y1 z1  y 2 z 2 y3 z 3

 x  y    z 

yT

PS

zT

Definiendo las matrices: u  U   v  w

,

 uo  Uo   vo   wo 

U = Uo + M X _________________________________________________________________________________________ Dep. de Geofísica y Astronomía. Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. UNSJ Dr. Ricardo César Podestá

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1.2- Transformación Inversa Será cuestión ahora de considerar a T como el viejo sistema y a S como el nuevo sistema.

Para S  T teníamos:

 x1 M   x 2  x3

xT

y1 z1 y 2 z 2 , U  M X y3 z 3

yT

zT

VT

Vs

Ahora para T  S tendremos :  u1 v1 w1  M ´ u 2 v 2 w2 , X  M ´ U u 3 v3 w3

us

Donde M y M´ son inversas,

M´ = M

vs ws

Vs

VT

-1

Para la ley de variación de las coordenadas de los puntos teníamos en S  T :

U = Uo + M X PT

con :

0T

(2)

Ps

 uo  Uo   vo   wo 

0T

Ahora tendremos para T  S : _________________________________________________________________________________________ Dep. de Geofísica y Astronomía. Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. UNSJ Dr. Ricardo César Podestá

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(3)

X = Xc + M´ U Ps Pc

PT

Reemplazando (2) en (3) : X = Xc + M´ (Uo + M X)

X = Xc + M´ Uo + M´ M X ,

M´ M = Identidad I

X = Xc + M´Uo + X

X  X = 0 = Xc + M´ Uo

Xc = M´ Uo = M

-1

Uo

En consecuencia, como conozco la matriz M y la matriz Uo (es decir las coordenadas del origen S en T), conozco también Xc (es decir las coordenadas del origen de T en S).

La matriz que gobierna la transformación en un sistema cartesiano es ortonormal, lo que significa que su inversa no es mas que su transpuesta M

-1

t

= M . Las filas y

columnas de esta matriz conservan la longitud del vector y el ángulo, es decir que no se produce distorsión.

Como las columnas de M

-1

son los vectores unidad de T en S, entonces también

las filas de M son los vectores unidad de T en S.

 x1 M   x 2  x3

xT

y1 z1  us y 2 z 2  vs y3 z3  ws

yT

zT

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1.3- Traslación y Rotación de Sistemas a) Traslación La traslación de sistemas cartesianos implica un cambio de origen sin cambiar la orientación de los ejes, [Figura 1.3a], es decir que: x = u, y = v, z = w

Figura 1.3 a: Traslación entre sistemas de coordenadas

En la matriz de traslación M:  x1 M   x 2  x3

y1 z1  us y 2 z 2  vs y3 z3  ws

xT Como : u = {1,0,0}T ,

x = {1,0,0}s

v = {0,1,0}T ,

y = {0,1,0}s

w = {0,0,1}T

z = {0,0,1}s

La matriz M será :

,

1 0 0  M  0 1 0  0 0 1 

=

yT

zT

I

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__________________________________________________________________________ La ley de variación de las componentes de los vectores: U = M X  U = X

o sea :

 u   x   v   I  y  ,     w  z 

de donde : u = x , v = y , w = x

Entonces, la traslación lo único que produce es un rebautizo de las componentes del vector V, las que en el viejo sistema S se llamaban x , y, z , ahora en el nuevo sistema T se llaman u , v, w . Para la ley de variación de las coordenadas de los puntos: U = Uo + M X ,

con

M = I

U = Uo + X

o sea

u = uo + x

tendremos: ,

v = vo + y w = wo + z donde: (u,v,w) son las coordenadas de P en T (uo,vo,wo) son las coordenadas de O en T (x,y,z) son las coordenadas de P en S

b) Rotación La rotación es un cambio de orientación de los ejes sin cambio en el origen, [Figura 1.3b]. El origen O = C , lo que implica que: uo = 0 , vo = 0 , wo = 0 , por lo que las coordenadas de O en T son nulas.

Como componentes

la de

variación los

de

las

vectores

no

depende de la posición del origen C del nuevo sistema, se tiene: U = M X . Figura 1.3b: Rotación del sistema _________________________________________________________________________________________ Dep. de Geofísica y Astronomía. Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. UNSJ Dr. Ricardo César Podestá

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__________________________________________________________________________ Pero en la ley de variación de las coordenadas de los puntos: U = Uo + M X . Si Uo = 0 , tenemos U = M X, de donde

u = x1 x + y1 y + z1 z v = x2 x + y2 y + z2 z w = x3 x + y3 y + z3 z

1.4- Esquema de Ángulos Directores y de Cosenos Directores  x1 M   x 2  x3

xT

y1 z1  us y 2 z 2  vs y3 z3  ws

yT

U = M X

,

zT

Las componentes de un vector respecto de un eje se calculan como el coseno del módulo del ángulo no orientado que el vector forma con el eje.

x1  cos x u x 2  cos x  v

y1  cos y  u y 2  cos y  v

,

x3  cos x  w

 cos x u  M   cos x  v cos x  w 

z1  cos z u z 2  cos z  v

,

y3  cos y  w

cos y  u cos y  v cos y  w

z 3  cos z  w

cos z u   cos z  v  cos z  w 

En todo problema se puede armar un cuadro de Ángulos Directores y de Cosenos Directores, que son los ángulos que forman entre sí los ejes de los sistemas, [Tabla 1].

Tabla 1: Esquema de ángulos directores y Cosenos directores Ángulo

x

y

z

Coseno

x

y

z

u

x u

y u

z u

u

cos x u

cos y u 

cos z u

v

x v

x v

x v

v

cos x v

cos y v 

cos z v

w

x w

x w

x w

w

cos x w

cos y w

cos z w

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__________________________________________________________________________ 1.4.1- Rotación alrededor del primer eje X Sea el sistema S = (O, X , Y , Z) directo, sobre cuyo eje X realizamos una rotación

 del mismo sentido que la del sistema, es decir que será positiva [+], [Figura 1.4a] ángulo x y z ---------------------------------------u  0 90° 90° v

 90

w





90° 90 + 

90  

coseno  x y z --------------------------------------u  1 0 0 v



0

cos 

sen

w



0

sen 

cos  Figura 1.4a: Rotación alrededor del eje X

La ecuación de transformación será:

0 0  x   u  1  v   0 cos  sen  y        w  0 - sen  cos   z 

1.4.2- Rotación alrededor del segundo eje Y Consideremos un sistema S = (O, X , Y , Z) directo y sobre cuyo eje Y realizamos una rotación  del mismo sentido que el del sistema, positiva [+], [Figura 1.b] ángulo

x

y

z

---------------------------------------u   90° 90 +  v



w

 90 

90

0

90

90



coseno  x y z --------------------------------------u  cos  0 sen 

Figura 1.4b: Rotación alrededor del eje Y

v



w

 sen 

0

1

0

0

cos 

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La ecuación de transformación será:

 u  cos  0  sen   v    0 1 0     w  sen  0 cos  

 x  y     z 

1.4.3- Rotación alrededor del tercer eje Z Consideremos el sistema S = (O, X , Y , Z) directo y sobre cuyo eje Z realizamos una rotación  del mismo sentido que el del sistema, o sea que será positiva [+], [Figura 1.4c].

ángulo x y z --------------------------------------------u   90°   90° v

 90° + 

w



90°



90°

90°

0

coseno  x y z --------------------------------------------u  cos  sen  0 v

 sen 

w



0

cos 

0

0

1

La ecuación de transformación será :

Figura 1.4c: Rotación alrededor del eje Z

 u   v     w 

 cos  sen  0  sen  cos  0    0 0 1 

 x  y     z 

1.5- Transformación de Coordenadas Para realizar transformaciones de coordenadas se utilizan matrices de rotación, de tal manera que si tenemos un punto en el sistema (x,y,z), después de aplicar rotación a dicho sistema las nuevas coordenadas del punto serán (u,v,w) _________________________________________________________________________________________ Dep. de Geofísica y Astronomía. Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. UNSJ Dr. Ricardo César Podestá

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__________________________________________________________________________ Estas matrices, según el eje donde se produce la rotación, son las siguientes:

0 0  1 cos  0 - sen   cos  sen  0     Rx  0 cos  sen  , Ry   0 1 0  , Rz  - sen  cos  0 0  sen  cos   sen  0 cos    0 0 1 

La rotación es positiva si es en sentido contrario a las agujas del reloj. Para cambiar el sentido de rotación, debemos tener en cuenta que  =  , por lo tanto el

sen  = sen  . Al trabajar con coordenadas astronómicas usualmente debemos pasar de coordenadas cartesianas a esféricas, [Figura 1.5a]:

Figura 1.5a: Pasaje de coordenadas cartesianas a esféricas

De la figura anterior podemos ver que:

z = r sen  r´ = r cos  x = r´ cos  = r cos  cos  y = r´ sen  = r cos  sen  _________________________________________________________________________________________ Dep. de Geofísica y Astronomía. Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. UNSJ Dr. Ricardo César Podestá

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__________________________________________________________________________ Por lo que la matriz de transformación será:  x   r cos  cos    y    r cos  sen        z   r sen  

Como los vectores tienen norma igual a uno, entonces r = 1 .

1.5.1- Transformación de Coordenadas Ecuatoriales Celestes a Eclípticas En esta transformación debe llevarse el ecuador hacia la eclíptica girando un ángulo  = 23° 27´ (oblicuidad de la eclíptica) sobre el eje X, [Figura 1.5b].

Figura 1.5b: Rotación [] del ecuador sobre la eclíptica

Definiendo: L, B = Longitud y Latitud Eclípticas ,  = Ascensión Recta y Declinación La transformación se realiza del siguiente modo: 0 0  cos  cos   cos L cos B 1 sen L cos B  0 cos  sen  sen  cos         sen B  0 - sen  cos   sen   _________________________________________________________________________________________ Dep. de Geofísica y Astronomía. Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. UNSJ Dr. Ricardo César Podestá

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__________________________________________________________________________ X = cos L cos B = cos  cos  Y = sen L cos B = cos  sen  cos  + sen  sen  Z = sen B = sen  sen  cos  + cos  sen -1

B = sen Z

-1

o mejor usar B = tg ( Z / (X2 + Y2)

1/2

)

-1

L = tg (Y / X)

Si se desea llevar de coordenadas eclípticas a ecuatoriales se debe tener en cuenta que

 = - , o bien utilizando la inversa (transpuesta) de la matriz rotación.

1.5.2- Transformación de Coordenadas Ecuatoriales Celestes a Galácticas Sea la [Figura 1.5c], donde se indican los siguientes elementos:

Figura 1.5c: Elementos del sistema de coordenadas galáctico

b, l = latitud y longitud galácticas C = coordenadas del centro galáctico _________________________________________________________________________________________ Dep. de Geofísica y Astronomía. Facultad de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales. UNSJ Dr. Ricardo César Podestá

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__________________________________________________________________________ U = intersección del ecuador celeste con el ecuador galáctico con un ángulo de 66° 33´ 38”.552 h

m

s

PG = 12 51 26 .2754 PG = 27° 07´ 41”.705 UC = lo = 32° 55´ 54”.905 h m s CG = 17 45 37 .199

CG = 28° 56´ 10”.219 Estas precisiones (J2000.0) son ficticias ya que solo se asegura el minuto, pero a fin de conservar la precisión de los cálculos se usan completamente.

Los vectores de posición son : cos l cos b  sen l cos b     sen b 

,

cos  cos   sen  cos      sen  

Aplicamos: (1) Una rotación sobre el eje Z de

h

o + 90° = 18 51

m

en sentido antihorario.

Llevo el punto vernal () a coincidir con U .

(2) Una rotación sobre el eje X de 66° 34´ en sentido antihorario. Llevo el polo norte a coincidir con el polo norte galáctico o lo que es lo mismo el ecuador con el ecuador galáctico.

(3) Una rotación sobre el eje Z de 32° 56´ en sentido horario. Llevo U a coincidir con C.

- sen  o cos o 0  Rot 1  - cos o - sen o 0   0 0 1 

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__________________________________________________________________________ 0 0  1  Rot 2  0 sen o cos o  0 - cos o sen o 

cos lo - sen lo 0 Rot 3  sen lo cos lo 0  0 0 1

El orden para resolver este producto es el siguiente: A = (R1(R2(R3 B))). Debemos recordar que para el producto de matrices no aplicamos la propiedad conmutativa.

- 0.066988739 - 0.872755766 - 0.483538915 R 3 R2 R1   0.492728466 - 0.450346958 0.744584633   - 0.867600811 0.188374602 0.460199785 

Para pasar de coordenadas eclípticas a galácticas ( L, B  l, b ), se tendrá que hacer una rotación mas. Deberemos primero llevar la eclíptica al ecuador girando sobre el eje X un ángulo de  = 23° 27´ y luego seguir los pasos vistos anteriormente.

1.5.3- Transformación de Coordenadas Ecuatoriales Locales a Horizontales El elemento clave para realizar esta transformación es la latitud del lugar. Si no se conoce la latitud, entonces no se puede operar. Los parámetros que deben relacionarse son: H,  = Ángulo Horario y Declinación A, h = Acimut (desde el norte pasando por el este) y ángulo de altura

Hacemos dos rotaciones no muy obvias, [Figura 1.5d]:

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__________________________________________________________________________ (1) Rotación alrededor del eje Z de 180° , para hacer que el Acimut y el Ángulo Horario sean compatibles en signo.

(2) Rotación alrededor del eje Y de (90°   ) , para llevar el Ecuador hacia el plano del Horizonte.

Figura 1.5d: Transformación entre los sistemas Ecuatorial Local y Horizontal

Recordamos que: cos (90°   ) = sen  sen (90°   ) = cos 

cos H cos    sen  0 cos  sen H cos     0 1 0      sen   - cos 0 sen 

- 1 0 0 cos A cos h   0 - 1 0 sen A cos h       0 0 1   sen h 

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__________________________________________________________________________ cos H cos   - sen  0 cos  cos A cos h  sen H cos     0 -1 0  sen A cos h      sen    cos 0 sen   sen h 

Como la matriz de rotación es simétrica la transpuesta es la misma, por lo tanto la transformación inversa se hace igual.

cos A cos h  - sen  0 cos  cos H cos  sen A cos h    0 -1 0   sen H cos       sen h   cos 0 sen   sen  

X = cos A cos h = sen  cos H cos  + cos  sen  Y = sen A cos h = sen H cos  Z =

sen h = -1

cos  cos H cos  + sen  sen  -1

h = sen Z , o mejor usar: h = tg ( Z / (X2 + Y2)

1/2

)

-1

A = tg (Y / X)

------------------------------------------------

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