Campo cuántico - X3 Hiro Yamagata Artista plástico japonés (1948- )

Esta instalación, situada al lado del Museo Guggenheim de Bilbao (España), pretende hacer lo invisible no sólo visible sino extraordinario. Dos cubos construidos con paneles holográficos y recubiertos de un revestimiento especial que descompone la luz, reflejan y refractan las frecuencias de luz visible generando, a modo de prisma, una visión del espectro lumínico. El resultado es un espectáculo de luz brillante que danza entre los cubos. El complejo de luz y color siempre es diferente, haciendo las delicias del espectador con una miríada de visiones que va cambiando en función del ángulo o del momento. Fotografía: Rogelio Chovet

Especialistas del área Walter Beyer Alberto Camardiel Inés Carrera de Orellana Antonio Dávila Mauricio J. Orellana Chacín Sergio Rivas Saulo Rada Luis Beltrán Salas Colaboradores Lucila Blanco Marco Falcón María Elena Guerra Jorge Salazar Validadores Laura Galindo Acevedo Henry Martínez Rafael Sánchez Antonio Acosta

Presentación

“El Mundo de la Matemática”, la colección de 23 fascículos que hoy iniciamos, da continuidad a un compromiso que han asumido Fundación Polar, Empresas Polar y el diario Últimas Noticias, para contribuir a mejorar la formación de la población estudiantil y la actualización permanente de los docentes. Un calificado equipo de especialistas ha colaborado en esta nueva colección, siguiendo los mismos criterios metodológicos que garantizaron el éxito de “Matemáticas para Todos”, editado en el primer semestre de este año y dirigido a la segunda y tercera etapa de la escuela básica. Los temas tratados ahora, orientados al ciclo diversificado y profesional (bachillerato), son más complejos, se incorpora el lenguaje formal de la matemática, es decir, símbolos y fórmulas, algoritmos y teoremas, se acompañan los contenidos con abundantes imágenes y gráficos que facilitan la comprensión de los conceptos emitidos y, sobretodo, se encontrarán con múltiples aplicaciones de esta disciplina con la ciencia, la tecnología, la ingeniería, la economía, el arte, la música, etc. Con los contenidos de “El Mundo de la Matemática” los lectores conocerán las sucesiones numéricas, descubrirán la capacidad de los modelos matemáticos para representar los fenómenos del mundo sensible, así como las prácticas y útiles soluciones que aportan los sistemas de ecuaciones; se interesarán por las múltiples aplicaciones del álgebra que nos ayudan a entender cómo se organizan los elementos de un Universo y serán atraídos por la potente herramienta de predicción que es la estadística, para luego, en una segunda etapa de esta colección, comprender y explorar el mundo de las formas, sus propiedades, relaciones y, sobre todo, las aplicaciones de la trigonometría y la geometría en nuestras vidas y en todo lo que nos rodea. El diario Últimas Noticias ha confiado nuevamente en este proyecto y junto a Fundación Polar y Empresas Polar hace posible la publicación y difusión, a todos los rincones del país, de “El Mundo de la Matemática”. Al colocar este valioso material en las manos de las nuevas generaciones de venezolanos, esperamos que se convierta en una herramienta efectiva para abrir caminos seguros al porvenir.

"¿Quién de nosotros no quisiera levantar el velo tras el cual yace escondido el futuro, y asomarse, aunque fuera por un instante, a los próximos avances de nuestra ciencia y a los secretos de su desarrollo ulterior en los siglos futuros? ¿Cuáles seran las metas particulares que tratarán de alcanzar los líderes del pensamiento matemático de las generaciones futuras? ¿Qué nuevos metodos y nuevos hechos nos depararán los siglos por venir en el ancho y rico campo del pensamiento matemático? David Hilbert (alemán,1862-1943) en su famosa conferencia de 1900.

¿Por qué el mundo de la matemática? La matemática es una ciencia con mucha vitaIidad que durante el siglo XX desarrolló y creó nuevas áreas de gran impacto en otras ciencias, en la tecnología, la ingeniería, la economía, la biología, las finanzas y el mundo en general.

Proof: Las matemáticas hecha emociones

Obra escrita por el norteamericano David Auburn (1971- ) ganadora de los premios Pulitzer, Tony y el Drama desk (2001) a la mejor obra teatral.

Una mente brillante

película ganadora de 4 premios Oscar en 2002, dirigida por Ron Howard basada en el libro de Sylvia Nasar.

Así, la investigación de operaciones, los fractaIes (la geometría de la naturaleza y su utilización en las artes), las ondículas (su uso para el reconocimiento de huellas algoritrno adoptado por el FBI- y técnicas de compresion de imágenes fijas), la borrosidad (el control borroso y su aplicación en aparatos electrodomésticos de refrigeración, de aire acondicionado, en frenos, entre otros), los sistemas dinámicos, la teoría de la información, los códigos y la criptografía, la ecuación de Black-Scholes que permite calcular el valor de la opción de compra de acciones, la teoría de juegos y dentro de ésta la formulación de John Nash, utilizada en econometría, que Ie valió el premio Nobel (1994); el gran desarrollo de la probabilidad, la estadística y del análisis de datos, se encuentran entre los logros del siglo que recientemente finalizó. La vida de Nash fue llevada a la pantaIla en la película “Una mente brillante" (basada en la obra de Sylvia Nassar y con el rol estelar del actor Russell Crowe), siendo esta la película más conocida en Venezuela pero no la única que hay en este ramo, así como existen diversas obras de teatro y obras literarias vinculadas con la matemática o los matemáticos.

Ese dinamismo de la matemática, al igual que el crecimiento explosivo de la ciencia y la tecnología, genera un problema clave para los ciudadanos de cualquier país, cual es la necesidad que éstos tienen de estar informados de algunos aspectos centrales que les atañen en cuanto al desarrollo de las ciencias, entre éstas la matemática, puesto que repercuten de alguna forma en el progreso de sus propios países y en la sociedad en general. La evolución y el vigor de la matemática no se detienen. Por el contrario, se plantean nuevos desafíos y se resuelven problemas antiguos y recientes. Aunada a su estrecha relación con la informática, favoreciéndose mutuamente, lo que permite realizar numerosos cálculos con gran rapidez y precisión e, igualmente, hacer representaciones gráficas en dos y tres dimensiones.

Además de la variedad de teorías y áreas desarrolladas durante el siglo XX, se hace necesario señalar que ya han sido resueltos la mayor parte de los 23 problemas planteados por Hilbert, uno de los grandes matemáticos del siglo pasado, en su conferencia (París, agosto 1900), "Los problemas futuros de la matemática", pronunciada durante la celebración del II Congreso Intemacional de Matemáticos. Estos problemas constituyeron un motor interno al espectacular progreso matemático en el siglo que recién feneció. Otros grandes problemas no contemplados en esa lista, por ejemplo el denominado "Último teorema de Fermat", que tardó mas de tres siglos para su resolución, fue finalmente resuelto en 1994 por el matemático británico Andrew Wiles, lo cual fue noticia de primera plana en muchos diarios del mundo: para cualquier entero n > 2 no existe solución en números enteros de la ecuación xn + yn = zn. Andrew Wiles, el matemático que resolvió el último teorema de Fermat.

4

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Afiche invitando a la conferencia realizada en San Petersburgo (Rusia) Ecuaciones y otros tópicos Navier-Stokes en el 2002. Visión interna de un dodecaedro de Poincaré.

Museo del Louvre

Paris, Francia.

Stephen Smale

matemático y minerólogo estadounidense (1930- ). Medalla Fields 1966.

En el centenario (mayo 2000) del enunciado de esos 23 problemas de Hilbert, y nuevamente en París, el Clay Mathematics Institute (CMI), con sede en Cambridge-Massachusetts, EEUU, anunció que recompensaría con un millón de doláres la solución de cada uno de siete grandes problemas matemáticos que consideran de relevancia en este siglo. De estos siete problemas, uno de ellos denominado la "Conjetura de Poincaré" (1904), viene de ser resuelto (noviembre 2002) por el matemático ruso Gregory Perelman, quien así se convierte en el primer millonario, en dólares, por la solución de un tal problema. De los seis restantes, resulta de gran importancia en la mecánica de fluidos el referido a la ecuación de NavierStokes en tres dimensiones espaciales. La solución de tal problema implicaría un avance fundamental en la comprensión del fenómeno de la turbulencia y esto podría, casi seguramente, conducir a progresos en ingeniería náutica y aeronáutica. Otro de los desafíos en esa lista de problemas, importante en la informática, es el denominado problema ¿P=NP? referido a buscar cuáles problemas son accesibles en el sentido de que se puedan concebir algoritmos que corran en un tiempo razonable (polinomial). Basta decir que los criptosistemas de la informatica y de los bancos se basan sobre la hipótesis P≠NP. Algunos matemáticos colocan una lista más larga de desafíos para este siglo, entre los que mencionamos al ganador de la medalla Fields (1966), Stephen Smale (estadounidense, 1930- ), quien indicó dieciocho problemas (1998), cuatro de ellos idénticos a los del Instituto Clay, señalando a la ecuación de Navier-Stokes y al ¿P=NP? como dos de los más importantes problemas de la matemática contemporánea. EI mundo de la matemática presentado en estos fascículos, refleja ciertos contenidos que están presentes en los programas de la educación media diversificada y profesional, así como en el primer semestre universitario. A éstos se agregan otros temas no contemplados en esos programas, pero con la confianza de que en un futuro próximo serán incorporados a los mismos, puesto que se refieren a aspectos de actualidad, de su forma de enseñarlos y de sus relaciones con diversas áreas del conocimiento. Los fascículos están conformados mediante distintas secciones en la que se presentan desarrollos conceptuales, sabías que (reseñas históricas), interesante, orientaciones metodológicas (sugerencias para los docentes), tengo que pensarlo y bibliografía. Además algunas secciones eventuales como matemáticas recreativas y ayer y hoy.

Landon Clay, hombre de negocios y empresario de Boston, fundó el Clay Mathematics Institute en 1998 con el fin de promover la matemática. Figureight Knot Complement

Imagen corporatica del CMI de Helaman Ferguson, matemático y escultor norteamericano que basa sus obras en fórmulas matemáticas.

También se hacen conexiones de los temas desarrollados con las artes plásticas, la música, la tecnología, la arquitectura e ingeniería, la economía, el petróleo e, incluso, aspectos vinculados con la salud, como el Sida, o la lactancia materna, utilizando contenidos clásicos de la matemática y otros más novedosos, que usualmente no están contemplados en los actuales programas de estudio. Esperamos que la forma de presentación de la matemática en los fascículos de EI mundo de la matemática, donde mostramos algunos de los desarrollos actuales que impregnan su dinamismo, contribuya a acrecentar el caudal cultural de los ciudadanos, sirva como un canal para el mejoramiento de la enseñanza-aprendizaje por parte de los estudiantes y docentes y que, además, permita contrarrestar ciertas percepciones que el público tiene de esta ciencia, en el sentido de promover visiones positivas de su desarrollo y de su importancia para el mundo en que nos desenvolvemos.

Recurrencias de Poincaré

Trabajo realizado por los alumnos de la Escuela Normal Superior de Lyon (Francia).

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Tablilla egipcia. Museo del Louvre (Francia).

Catedral de Nuestra Señora de París (Francia).

Ventanas simultáneas Robert Delaunay.

Caotizador Museo de Ciencia y Tecnología de La Villette (Francia).

Los temas de El mundo de la matemática Sucesiones y modelos matemáticos A excepción de ciertas nociones de sucesiones y de las progresiones aritméticas y geométricas, los contenidos contemplados en los fascículos relacionados con estos temas no son objeto de estudio de los programas instruccionales de educación media diversificada y profesional, y tangencialmente se incluyen algunas referencias de éstos en el primer año universitario. Sin embargo, la modelación matemática ha cobrado un interés creciente en muchos países desde hace unas tres décadas, y ello ha penetrado en la enseñanza de los últimos años de la educación secundaria y universitaria. Aquí se trata de formular y estudiar modelos matemáticos con sucesiones (modelos discretos) y algunos modelos continuos sin el uso del cálculo infinitesimal. Límite cuadrado.

M. Escher (1898-1972).

Ya en el fascículo “El mundo y los números” de la colección “Matemática para todos”, se destacaron tres aspectos concernientes a la importancia de la matemática en la ciencia, la tecnología y otros sistemas. Estos son: comunicación, razonamiento y predicción. En cuanto al tercero de ellos, la predicción, se formuló lo siguiente: “La matemática es un medio efectivo para la predicción. Esto se logra a través de los modelos matemáticos o matematización de situaciones reales, lo cual permite explicar el comportamiento de esas situaciones y predecir, con cierta aproximación, cuestiones desconocidas”. De allí la necesidad de la inclusión del tema de los modelos matemáticos. A esto se suma la importancia creciente de los algoritmos en la matemática aplicada y la informática. Los fascículos correspondientes a estos temas contendrán lo siguiente:

Día lluvioso en París.

Albert Marquet (1875-1947).

•

Sucesiones numéricas. Situaciones conducentes a plantear sucesiones. Gráficos de sucesiones. Características y clasificación de sucesiones. Iteración y recursión. Sucesiones en progresión aritmética y sucesiones en progresión geométrica. Crecimiento o decrecimiento lineal y exponencial.

•

Modelos matemáticos construidos con sucesiones de números (modelos discretos). Modelos matemáticos continuos, estáticos y dinámicos.

En los contenidos de estos fascículos se enfatizarán las vinculaciones (conexiones) con las ciencias y la tecnología a través de los modelos matemáticos.

Estrella de mar.

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Puente autopista Caracas-La Guaira.

Partenón Atenas, Grecia.

Trayectoria prevista por el telescopio Hubble para atravesar los anillos de Saturno.

Oficina del Instituto Postal de Venezuela (IPOSTEL) en la esquina de Carmelitas, Caracas.

Álgebra Rama de la matemática cuyo objetivo durante varios siglos fue el estudio de las ecuaciones algebraicas (ecuaciones polinómicas), los sistemas de ecuaciones y los sistemas lineales. Para esto último se cuenta hoy en día con el estudio de las matrices como parte del álgebra lineal, herramienta fundamental de la matemática actual y por sus numerosas aplicaciones a la física, la investigación de operaciones, el cálculo numérico, la economía, ... . Los temas de álgebra se desarrollarán según: •

La notación algebraica. Situaciones que envuelven variables. Las ecuaciones polinómicas de grado uno y dos. Su interpretación geométrica. Situaciones conducentes a plantear ecuaciones polinómicas. Ecuaciones polinómicas de grado mayor o igual que tres y la interpretación geométrica de las raíces reales. Algunos sistemas sencillos de ecuaciones polinómicas. Algunas inecuaciones sencillas. Los polinomios con coeficientes reales y sus operaciones. Se darán ciertas indicaciones sobre los números complejos en relación con las raíces de las ecuaciones polinómicas.

•

Coordenadas en un plano y en el espacio. Problemas que conducen a formular el espacio de las n-uplas de números reales. El espacio Rn. La geometría con coordenadas. Algunos sistemas lineales sencillos m • n, 1 ≤ m, n ≤ 3 y sus interpretaciones geométricas.

Grabado de madera “Margarita Philosophica” (1503) Gregor Reish.

Los contenidos de estos fascículos se vincularán con diferentes expresiones científicas y tecnológicas: investigación de operaciones, códigos, resolución de ecuaciones, arte y sistemas de ecuaciones consecuencia del estudio de fenómenos físicos o de tópicos de ingeniería. Show acrobático, Palo Negro, estado Aragua.

Retrato de familia

Henri Matisse (1869-1954).

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Torres de Parque Central, Caracas.

Terremoto de 1812

Andrey Nikolaevich Kolmogorov

Martín Tovar y Tovar.

Matemático ruso (1903-87).

Mangos en San Bernardino Manuel Cabré.

Estadística y gráficos En la colección de “Matemática para todos” (encartada en el diario Últimas Noticias en 2004), se escribieron dos fascículos referidos a estadística-probabilidades y gráficos. Aquí se trata de gráficos de funciones, de gráficos estadísticos y de las medidas de posición y medidas de dispersión. Los gráficos de funciones complementan lo que se verá en los fascículos de geometría (curvas y superficies), y los gráficos estadísticos así como las medidas de posición y de dispersión, dan continuidad a lo planteado en “Matemática para todos”. El estudio del cambio y del movimiento está estrechamente vinculado a las funciones y sus tasas de cambio (tasas de variación), llegando en la educación superior al estudio de las tasas de cambio puntuales o instantáneas (derivadas). Dichos temas se desarrollarán así. •

Funciones reales de una variable real. Diversas formas de dar una función. Analizar funciones dadas por gráficos y dadas por ecuaciones. Tasas de variación o de cambio de funciones. Analizar cambios a partir de gráficos y a partir de tablas de datos. Curvas en el plano. Funciones lineales, cuadráticas, exponenciales, logarítmicas y potenciales. Escalas.

•

Estadística y gráficos. Histogramas y polígonos de frecuencias. Nube de puntos y ajuste de los mismos. Situaciones que conducen a plantear las medidas de posición y las medidas de dispersión. La curva de la campana. Cajas.

Pirámide de Galton Museo de Ciencia y Tecnología de La Villette (Francia).

Los contenidos de estos fascículos se prestan para las vinculaciones con las ciencias y la tecnología: construcciones civiles (ingeniería y arquitectura), física, química, biología, poblaciones, aspectos sociales, de salud y económicos, entre otros.

De revolutionibus Nicolás Copérnico.

Límite cuadrado, es un grabado de M. Escher (1898-1972) donde utiliza figuras semejantes en vez de figuras congruentes. A partir de 1955, Escher se sirve de este tipo de construcciones para aproximar el infinito mediante series. Algunas de estas obras, además de la nombrada, es su serie de Límites circulares, Evolución y De más en más pequeño.

Para generar la red de “Límites cuadrados”, Escher partió de un triángulo isorrectángulo ABC y sobre la hipotenusa BC se construyen otros dos triángulos A

isorrectángulos DBE y DCE, siendo D el punto medio de BC. Se itera este proceso y se obtienen los cuatro C

D

B

1

F

H E

G 1/2 1/4 1/8

J K N

I

triángulos FBG, FGE, HCI y HEI. Y así sucesivamente. 1 1 Si BG tiene longitud 1, entonces GJ= , JK= ,... 4 2 Luego CM=BN es igual al valor de la siguiente suma 1 1 1 1+ + + ... + n-1; cuando el número de términos 2 4 2 n “se hace muy grande” (se dice que “n tiende a infinito”). Como esa es la suma de los términos de 1 una progresión geométrica de razón , resulta 2 1 -1 lo cual “tiende a 2” para valores muy 1 2n = - n-1 + 2 grandes de n puesto que 1 2 1 2 n-1 2 “tiende a 0”. M

Sierpinski in Nature Fotografía de Gayla Chandler. http://www.public.asu.edu/~starlite/index.htm

Las sucesiones El mundo de los fractales, estos maravillosos diseños geométricos que nos cautivan y que están presentes en la naturaleza y las artes, se relaciona estrechamente con cierto tipo de funciones denominadas sucesiones o secuencias. Procedamos con la construcción siguiente en relación con un triángulo, la cual indicaremos por pasos:

...

a

Estado inicial

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Estado inicial: Comenzamos con un triángulo equilátero de lado a y área A Etapa 1:

Marcamos los puntos medios de cada lado y los unimos con segmentos. Se forman 4 triángulos equiláteros congruentes.

Etapa 2:

Eliminamos el triángulo central (en blanco) y repetimos la etapa 1 con cada uno de los triángulos rojos que quedan.

Etapa 3:

Iteramos (repetimos sucesivamente) la etapa 2 en cada triángulo de color rojo.

Después de seguir este algoritmo “indefinidamente” se obtiene un fractal denominado Triángulo de Sierpinski (Fractal de Sierpinski). Son muchas las preguntas que podemos hacer en relación con este fractal, por ejemplo: 1) ¿Cuántos triángulos en blanco y cuántos triángulos no eliminados hay después de n pasos? 2) ¿Cuánto mide el perímetro de cada uno de esos triángulos y cuánto el perímetro total? 3) ¿Cuál es el área de cada triángulo y el área total de los triángulos no eliminados?

Waclaw Sierpinski (Polonia, 1882-1969) ideó el triángulo que lleva su nombre en un trabajo presentado en 1916, aun cuando en esa época no se utilizaba el nombre de fractal ni se disponía de una teoría sobre estos entes geométricos. Sierpinski fue un eminente matemático polaco, profesor en Lvov y Varsovia. Uno de los cráteres de la Luna lleva su nombre.

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Respondemos esas preguntas utilizando una tabla donde la primera columna corresponde al estado inicial (n=0), la que sigue al primer paso (n=1) y así sucesivamente hasta la última que da el paso n-ésimo. Pasos Número de triángulos no eliminados (en rojo)

0

1

2

3

4

...

n

30=1

31=3

32=9

33=27

?

...

3n

1 a 2 3 a 2 3 3 a 2

1+3= 1+31 a 22 a 3 2 2 3 3 2a 2

1+3+9= 1+31+32 a 23 a 3 3 2 3 3 3a 2

?

...

n 1+3+9+...+3n-1= 3 -1 2

?

...

?

?

...

?

?

...

?

A 42

A 43

?

...

?

?

...

?

Número de triángulos eliminados (en blanco)

0

Lado de cada triángulo

a

Perímetro de cada triángulo

3a

Perímetro total de los triángulos no eliminados

3a

Área de cada triángulo no eliminado

A

A 4

Área total de los triángulos no eliminados

A

3 A 4

3 4

2A

3 3A 4

Observa que en cada una de las filas aparece una sucesión de números que siguen cierto patrón, lo que da lugar a una ley de formación de los términos. Por ejemplo, la fila número uno es: 1, 3, 9, 27, ... esto es 1, 1 · 3 = 31, 3 · 3 = 32, 3 · 3 · 3 = 33, 3 · 3 · 3 · 3 = 34,... , 3 · ... n ... · 3 = 3n,... Cada una de las expresiones escritas en la última columna depende del número natural n, n=0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., es decir, son funciones con variable independiente n y con valores en los números reales. Tales funciones se denominan sucesiones. Así, la primera fila define la sucesión 1, 3, 32, 33, ..., 3n, ... en donde cada término es igual al anterior multiplicado por 3. Estamos en presencia de una situación matemática, fractales, que tiene vinculaciones con las artes y las formas de la naturaleza. Aún más, la misma condujo a: • Construir un algoritmo de tres etapas (secuencia finita de instrucciones). • Contar, lo hicimos contando triángulos.

Esta pirámide de Sierpinski fue ensamblada en la entrada del Minneapolis Convention Center para la reunión anual del Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas (sus siglas en inglés NCTM) en abril de 1997. Tuvo 6 metros de alto y fue construida por un grupo de estudiantes de geometría del Anoka High School.

• Iterar, lo que significa repetir o reiterar. A estos procesos se suma un conjunto de conceptos matemáticos: triángulo, punto medio, perímetro, área, fractal, y todo esto es parte del maravilloso mundo de la matemática contemporánea. Nótese algo sorprendente en el fractal de Sierpinski. 1) Como 3 >1, entonces a medida que n aumenta la potencia ( 32 )n también aumenta: 2 3 3 3 3 3 3 < (32 )2 < ( )3 < ( )4 < ( )5 < ( )6 < ( )7 < ... 2 2 2 2 2 2 1,5 < 2,25 < 3,375 < 5,0625 < 7,59375 < 11,390625 < 17,0859375 < ... y esto implica que el perímetro total va creciendo infinitamente, se dice que “tiende a infinito”. 2) Como 3 < 1, entonces a medida que n aumenta la potencia ( 34 )n disminuye: 4 3 > ( 3 )2 > ( 3 )3 > ( 3 )4 > ( 3 )5 > ( 3 )6 > ( 3 )7 > ... 4 4 4 4 4 4 4 0,75 > 0,5625 > 0,421875 > 0,31640625 > 0,2373304688 > 0,17799785 > 0,133498388 > ... por lo tanto, en cada paso el área total disminuye en 75%, lo cual implica que dicha área se aproxima a cero, se dice que “tiende a cero”. Lo sorprendente es que un “perímetro infinito” contiene un “área finita nula”, a lo que no estamos acostumbrados con la mayoría de las regiones geométricas planas encerradas por curvas que tienen longitud finita, como son las circunferencias, las elipses (óvalos), los polígonos, entre otras. Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Sucesiones • 2

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Sierpinski in Nature Fotografía de Gayla Chandler. http://www.public.asu.edu/~starlite/index.htm

Analizando sucesiones

Miscelaneous Fotografía de Gayla Chandler. http://www.public.asu.edu/~starlite/index.htm

Consideremos cuatro sucesiones. Analicemos sus gráficos. B(n)

N(n) 10

10

5

5

1

1

0

1

2

3

4

5

n

Sucesión de término general N(n)= 3n que da el número de triángulos en rojo en el fractal de Sierpinski. Aquí observamos que la sucesión es creciente, es decir, a medida que n aumenta entonces N(n) también aumenta y “crece indefinidamente” y se dice que “tiende hacia infinito”. Sus términos están en progresión geométrica de razón 3>1. T(n)

0

1

2

3

4

5

3n–1

Sucesión de término general B(n)= 2 que da el número de triángulos en blanco en el fractal de Sierpinski. Esta sucesión también es creciente y a medida que n aumenta los términos de B(n) “crecen indefinidamente” y se dice que “tiende hacia infinito”. En el diario El Universal del día 3/4/2004, p.1-1, se encuentra un artículo con el título “Café en barra aumentó a Bs 1 000” y el gráfico siguiente:

1

Con leche o negrito 1 000

0,5

800

600 400 Diciembre 2003

0

1

2

3

4

5

6

7

8

n

3 Sucesión de término general T(n)= ( 4 )n que permite calcular el área del fractal de Sierpinski cuando n “crece indefinidamente” y suponiendo el área del triángulo inicial A=1. Esta sucesión es decreciente, es decir, a medida que n aumenta sus términos disminuyen. Los términos de esta sucesión están en progresión geométrica de razón 34 0 r=5 ) (n-1

5, 10, 15, 20, 25, 30,...

5+5 an=

20

Podemos notar que a medida que n aumenta también lo hace an. Luego la sucesión es creciente. Este crecimiento es lineal. Todos los valores están por encima de 5; luego, está acotada inferiormente. No es acotada superiormente ya que los valores an pueden superar cualquier valor preestablecido.

10

0

2, -1, -4, -7, -10,... -10

-20

-30

-40

14

1

5

bn=2

-3(n1

) r=3<

0

...

Para esta situación, sucede que a medida que n aumenta bn disminuye. En este caso la sucesión es decreciente. Así tenemos un decrecimiento lineal. No es acotada inferiormente ya que los valores de b n pueden hacerse menores que cualquier valor preestablecido. Es acotada superiormente puesto que ningún bn supera el valor 2.

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Ópera de Sidney Australia.

tricas y otras sucesiones Grafiquemos el ejemplo 2 cuyos valores son: 3, 6, 12, 24, 48, 96,... C(n) 200

La sucesión de término general 3 · 2n-1 es creciente. Sin embargo, ella crece mucho más rápidamente que la anterior sucesión an. El crecimiento de esta sucesión se llama crecimiento exponencial. Todos los valores están por encima de 3; luego, está acotada inferiormente. No es acotada superiormente ya que los valores cn pueden superar cualquier valor preestablecido.

150

Cn = 3 · 2n-1 100

50

0 1

2

3

4

5

6

n

7

Cuando alguna situación real está modelada mediante una progresión aritmética o una progresión geométrica, se dice que hay un “crecimiento o decrecimiento lineal” o un “crecimiento o decrecimiento exponencial”, respectivamente. La razón de estas denominaciones se entienden fácilmente con los gráficos siguientes, siendo r la razón de la progresión. an

bn

r r>0

0

1

2

3

r>1

4

n

5

En la gráfica de una progresión aritmética (puntos alineados), al mismo incremento de la variable independiente n corresponden incrementos iguales en los valores de la sucesión. Observa los segmentos verticales.

0

1

2

3

n

4

En la gráfica de una progresión geométrica (puntos en una exponencial), al mismo incremento de la variable independiente n no corresponden incrementos iguales en los valores de la sucesión. Observa los segmentos verticales.

Análogamente ocurre para progresiones aritméticas decrecientes (r0

x+3=5 x+5=2

Solución x = 2 No tiene solución en IN

3x = 18 2x = 1

Solución x = 6 No tiene solución en

x2 - 2 = 0 x2 + 1 = 0

Sin solución en Q Sin solución en

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Funciones afín y cuadrática Se dice que la expresión ax+b es un polinomio de grado 1 (o lineal) ya que 1 es el exponente de la variable y la función definida por f(x)=ax+b se denomina función afín (o lineal). La gráfica de la función afín es una línea recta no vertical. y

Tn

Si representamos la sucesión T(n), de los fósforos, se obtienen los puntos que marcamos en la gráfica y observamos que éstos están alineados.

1 1

n

x 2

1 2

1 0

1

x

El área del cuadrado de lado x es x2 y su perímetro es 4x.

Al número que corresponde al área de un cuadrado le resto cinco cuartos del número que corresponde a su perimetro. Si resulta -6, ¿podré determinar las dimensiones del cuadrado?

Por lo que la ecuación queda de la siguiente forma: x2 -

5 5 (4x) = -6 => x2- (4x) = -6 4 4 x2 - 5x =-6

Ecuación de segundo grado o cuadrática 2 Si aplicamos la fórmula -b ± b - 4ac para obtener las raíces de una ecuación de segundo grado (a= 1,

2a

b=-5 y c=6), los valores resultantes, para nuestra ecuación x2 - 5x =-6, son x=2 y x=3. Hay dos cuadrados que cumplen con la premisa dada, los cuadrados de lado 2 y lado 3. -5x+6

y

) = x2

La expresión ax2 + bx + c= 0 se dice

de f(x

que es una ecuación de grado 2 (o cuadrática) y f(x)=ax2+bx+c se

Gráfic a

Veamos otra situación:

0

Si utilizamos en vez de n una variable real x, la representación de esta función da una recta.

f(x)=

denomina función cuadrática. La gráfica de la función cuadrática es una parábola. En este caso ∆ = b2 - 4ac > 0

1 0

x

1

Parábola Rock Armenia.

y a>0

Raíces de la ecuación x2-5x+6=0

Como podemos observar, la parábola corta al eje x en x=2 y en x=3. Estos valores son las raíces que ya habíamos obtenido por métodos algebraicos. Las raíces nos permiten localizar los puntos de corte de la parábola con el eje x. Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Ecuaciones • 6

47

Ecuaciones cuadráticas Grafiquemos algunas funciones de grado 2 a los fines de observar si las mismas cortan el eje x en uno o más puntos, o no lo cortan. Esto da una idea de cómo son las raíces correspondientes a la ecuación cuadrática.

f(x)=-x2-5x-7 y

-1

0 1

f(x)=(x-1)2

y x

1 0

1

x Raíz de la ecuación (x-1)2 = 0

2

La ecuación -x -5x-7=0 no tiene raíces reales. ∆ = -3 < 0

La parábola toca un solo punto del eje x. ∆ = 0

f(x)=x2-3x-4

y

y 0

f(x)= -(2x)2-2x

1

x

Raíces de la ecuación -(2x)2-2x = 0

-1 1 0 1

x Raíces de la ecuación x2-3x-4=0

∆ = 25 > 0

Las ecuaciones y los conjuntos numéricos. Inicialmente cuando sólo se conocían los números naturales N: 0, 1, 2, 3,... y se planteaban ecuaciones del tipo x + a = b, algunas de éstas podían resolverse, es decir tenían solución en el conjunto N, mientras que otras no. De esta manera se crea el conjunto de los números enteros: ..., -3, -2, -2, 0, 1, 2, 3,... donde tienen soluciones las ecuaciones del tipo x + a = b. Pero ahora se plantean ecuaciones de la forma ax = b. Como no todas tienen solución en , se construye el conjunto Q de los números racionales o a y b ≠ 0. Surgen ahora ecuaciones del tipo x2 - a = 0, fracciones, b ,a b a > 0 que no tienen solución. De esta manera se crea el conjunto de los números reales, donde están números como 2, π y e. Pero no todas las ecuaciones del tipo x2 + a = 0 tienen solución en . Finalmente se construye el conjunto C de los números complejos, donde todas las ecuaciones algebraicas anxn +an-1xn-1 + ... + a1x + a0 = 0 tienen solución.

48

∆=4>0

x+3=5 x+5=2

Solución x = 2 No tiene solución en IN

3x = 18 2x = 1

Solución x = 6 No tiene solución en

x2 - 2 = 0 x2 + 1 = 0

Sin solución en Q Sin solución en

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Partenón, Grecia. El cociente del ancho de su fachada entre su altura es aproximadamente igual a . Esta misma relación existe en los lados de los rectángulos que se forman con dos columnas consecutivas.

Vitruvius, arquitecto romano (s. I a.C.) quien escribió el tratado sobre arquitectura más antiguo que se conserva, propuso “para que un espacio dividido en partes desiguales resulte agradable y estético, deberá haber entre la parte pequeña y la mayor la misma relación que entre la mayor y el todo”. Tratándose de segmentos lineales, Euclides había definido esta proporción cuando introdujo el problema de “división de un segmento en media y extrema razón”: Se dice que un segmento está dividido en media y extrema razón, cuando el segmento total es a la parte mayor como la parte mayor es a la menor.

Rectángulo de oro

x+y = x Para todo x se verifica

=

1+ 5 ≈ 1,618 2

A

y

Construcción geométrica a partir de un cuadrado de lado x

x

5 x 2

x

x 2

AB AC AC CB 1+ 1 x

x

C

a

2

a+b a

x -x-1=0

a b

b 1+ b a

B a b

x

a b

x = 1+ 5 ≈ 1,6180339887 ≈

2 El número positivo que se obtiene como solución de la ecuación de segundo grado x2 - x - 1 = 0, se llama número de oro y se denota por phi ( ) en honor a Fidias, arquitecto del Partenón, quien lo utilizó en su construcción.

Ecuaciones de grado mayor que dos Además de las ecuaciones de primer y segundo grado, también podemos considerar ecuaciones de grado 3, 4, 5 o más, muchas de las cuales aparecen en diversos problemas. Aquí se necesita una caja cúbica, de tal manera que el número que corresponde a su volumen sea igual a la suma de los números que determinan las áreas de sus caras.

¿Cuál es la longitud de la arista de esta caja? Si llamamos x al número que corresponde a la longitud de la arista, resulta: x3 = 6x2 3 0 = x - 6x2 = x2 (x - 6). Esta ecuación tiene dos soluciones: x1 = x2 = 0 y x3 = 6. Pero, en la situación planteada sólo tiene sentido la raíz positiva x3 = 6.

Se dice que la expresión ax3 + bx2 + cx + d es un polinomio de grado 3 y la función definida por f(x) = ax3 + bx2 + cx + d se denomina función polinómica de tercer grado.

Para resolver la ecuación de tercer grado (llamada ecuación cúbica), se requirieron grandes esfuerzos en la antigüedad. Sólo se pudieron resolver en Italia a principios del siglo XVI en el Renacimiento. En esa época se hacían apuestas proponiendo problemas sobre resolución de ecuaciones. En el año 1494, Luca Pacioli (quien fuera maestro de Leonardo da Vinci) publicó un libro llamado Suma Aritmética, en donde señaló que los matemáticos todavía no habían podido resolver la ecuación cúbica.

Luca Pacioli matemático italiano (1445-1517).

Otra situación donde aparecen los polinomios de tercer grado. En una fábrica de helados se vierte helado líquido en las barquillas, para luego ponerlas a refrigerar. Se desea determinar el volumen de helado que hay en una barquilla a medida que se va llenando. Se puede verificar que el volumen V de helado líquido que hay en la barquilla cuando se ha llenado hasta la altura h, es: πR2 h3 3H2 donde R es el radio de la tapa de la barquilla y H su altura. En este caso hay dos variables que son el volumen V (variable dependiente) y la altura h (variable independiente). Como R y H son constantes la función V la podemos escribir de la siguiente manera: V(h)=

V(h)=

Tartaglia matemático italiano (1499-1557).

50

πR2 h3 = ah3 3H2

donde a es una constante.

Scipione del Ferro (1465-1526), catedrático de la Universidad de Bolonia, resolvió las cúbicas del tipo x 3 + bx + c = 0, pero antes de morir le reveló el método a Antonio María Fior sin haber publicado su solución. Por otro lado, Nicolo Fontana, mejor conocido como Tartaglia (el tartamudo), había resuelto las ecuaciones del tipo x 3 + bx 2 + c = 0. Tartaglia y Fior tuvieron una disputa, donde cada uno le propuso al otro resolver 30 problemas de ecuaciones cúbicas. Esta contienda matemática fue ganada por Tartaglia, quién los resolvió en el plazo fijado, mientras que Fior no resolvió ninguno.

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Soluciones de ecuaciones cúbicas De manera similar al caso de las ecuaciones de primer y segundo grados, las soluciones reales (o raíces) de las ecuaciones de tercer grado son las abscisas de los puntos de corte de la gráfica de la función f(x) = ax3 + bx2 + cx + d con el eje x.

f(x)=(x+2)3

f(x)=x3-6x

y

f(x)=(x+6)(x2+9)

y 8

-2

1 0

0

x

1

1

Raíces de la ecuación

Raíz de la ecuación

(x+2)3 = x3 + 6x2 + 12x + 8 = 0 tiene una raíz real.

x (x2-6) = x3 - 6x = 0 tiene tres raíces reales distintas.

1

-6

x

0

Raíz real de la ecuación

(x+6)(x-3i)(x+3i) = x3+6x2+9x+54= 0 tiene una raíz real y dos complejas. . i es la unidad imaginaria. i= -1

Observa que en las tres posibles situaciones siempre la cúbica tiene al menos una raíz real. Esto también acontece con cualquier ecuación de grado impar. Con las de grado par no ocurre esta situación necesariamente, como lo has podido observar con la ecuación de segundo grado como x2 + a = 0, cuando a es un número positivo.

a 0

Saltando la cuerda

Girolamo Cardano.

Carlos Páez Vilaró. Artista Uruguayo (1923- ).

Matemático y médico italiano (1501-1576).

En 1545, Girolamo Cardano publicó un tratado sobre ecuaciones titulado “Ars Magna”, donde se muestran por primera vez las soluciones de las cúbicas dadas por Tartaglia, y las soluciones de las ecuaciones de cuarto grado, llamadas cuárticas, descubiertas por otro matemático de la época llamado Ludovico Ferrari (1522-1565).

ax3 + bx2 + cx + d = 0 ax4 + bx3 + cx2 + dx + f = 0 Raíz real de la ecuación ax3 + bx2 + cx + d = 0 x=

3

b 3a

3

Forma general de las ecuaciones de tercer y cuarto grado.

2 (3ac - b2)

3a - 2b3 + 9abc - 27a2d + 4(3ac-b2 )3 + (-2b3 + 9abc - 27a2d)2

3

+

- 2b3 + 9abc - 27a2d + 4(3ac-b2 )3 + (-2b3 + 9abc - 27a2d)2 2

3

2a

Observa lo complicado de esta fórmula. En la práctica se utilizan métodos de aproximación de raíces.

Niels Abel Matemático noruego (1802-1829).

INTERESANTE A pesar de que en 1799 Gauss demostró la existencia de raíces de una ecuación algebraica, no fue sino hasta la tercera década del siglo XIX, cuando el matemático Niels Abel demuestra que NO se pueden hallar soluciones por radicales de las ecuaciones de quinto grado (quínticas), es decir, hallar una solución que involucre las operaciones de adición, multiplicación, potenciación y cálculo de raíces con exponentes que son enteros positivos, un número finito de veces. Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Ecuaciones • 7

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x

Funciones polinómicas Así como hablamos de funciones polinómicas de grados 1, 2, 3, podemos considerar en general una función polinómica de grado n, donde n es cualquier número entero no negativo. Una función polinómica en la variable x viene definida por f(x)= anxn +an-1xn-1 + ... + a1x + a0 donde a0 , a1 ... an-1, an son números reales llamados coeficientes. Si an ≠ 0 se dice que f(x) tiene grado n. Coeficientes

anxn +an-1xn-1 + ... + a1x + a0 Términos La expresión anxn +an-1xn-1 + ... + a1x + a0 se llama polinomio con coeficientes reales. Los sumandos son los términos del polinomio. Por ejemplo: Función polinómica

Variable Independiente

Grado

Coeficientes

x

1

8; 1

f(y) = y - y +7 = y + 0y + 0y - y + 7

y

4

1; 0; 0; -1; 7

g(z)= 5

z

0

5

g(t) = t3 - 6t2 + t - 1

?

?

?

f(x) = 8x + 1 4

4

3

2

Operaciones con funciones polinómicas En el conjunto de las funciones polinómicas se definen las operaciones de adición y multiplicación. La suma y el producto de funciones polinómicas también son funciones polinómicas. Ilustremos estas operaciones con dos ejemplos. Adición de funciones polinómicas Para sumar las funciones polinómicas f(x) = 2x3 - x + 3x5 y g(x)= 2x - x4 + 1, se puede proceder de la siguiente manera: Se ordenan los polinomios en forma decreciente con relación al exponente de la variable.

f(x) = 3x5 + 2x3 - x g(x)= -x4 + 2x + 1

Se colocan las funciones polinómicas una debajo de la otra, de tal forma que los términos semejantes (aquellos en que la variable tiene el mismo exponente) queden en la misma columna, completando con ceros o dejando en blanco los términos que faltan.

f(x) = 3x5 + 0x4 + 2x3 + 0x2 - x + 0 g(x)= 0x5 - x4 + 0x3 + 0x2 + 2x + 1

Al sumar los coeficientes de los términos semejantes, la función polinómica resultante es:

f(x) + g(x)= 3x5 -x4 + 2x3 + x + 1

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En la práctica, en lugar de hallar las soluciones de una ecuación de grado mayor que uno, se hallan, con el uso de las computadoras, aproximaciones de las soluciones utilizando métodos que tienen una precisión impresionante.

Multiplicación de funciones polinómicas Para multiplicar las funciones polinómicas f(x) = x2 - 4 y g(x)= 2x2 - 3x + 1, se puede proceder de la siguiente manera: - 8x2 + 12x - 4

Se ordenan los polinomios en forma decreciente con relación al exponente de la variable.

(x2 - 4) (2x2 - 3x + 1)

Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio, usando la regla xi • xj = xi+j y la regla de los signos para los productos de los coeficientes.

2x4 - 3x3 x2 f(x) • g(x)= 2x4 - 3x3 - 7x 2+ 12 x - 4

Finalmente al sumar los términos semejantes queda:

Otra forma de hallar el producto de dos polinomios es operar con los coeficientes, por ejemplo: (3x5 - 2x3 + 3x - 8) • (x2 + 5x - 1). x7 x6 x5 x4 x3 x2 •

•

•

-2

x0

0

3

-8

1

5

-1 8

Ordenar y completar con ceros los términos que faltan.

3

Multiplicar cada uno de los coeficientes del segundo polinomio por cada uno de los del primero.

-3

0

2

0

-3

15

0

-10

0

15

-40

3

0

-2

0

3

-8

3

15

-5

-10

5

7

Sumar ordenadamente, tal como se muestra en la disposición de la derecha.

0

x1

-43

8

(3x5 - 2x3 + 3x - 8) • (x2 + 5x - 1) = 3x7 + 15x6 - 5x5 -10x4 + 5x3 + 7x2 -43x +8

La adición y la multiplicación de funciones polinómicas verifican las misma propiedades de la adición y la multiplicación de números enteros. La función polinómica idénticamente nula 0 = 0xn + 0xn-1 + ... + 0 es el elemento neutro para la adición. La función polinómica constante f(x) = 1 es el elemento neutro para la multiplicación. En los enteros, por ejemplo, no existe ningún número que multiplicado por 3 dé como resultado 1. Análogamente a lo que sucede con la multiplicación de números enteros, en las funciones polinómicas no todo elemento tiene inverso multiplicativo.

Inverso Morelia hoy. Carlos Espejel Cruz. www.espejel.com

RETOS: 1 4 b) Hallar la suma de dos funciones polinómicas cuya suma sea la función polinómica idénticamente nula. a) Hallar las funciones polinómicas f(x) y g(x) tal que su producto sea igual a x5 - 3x +

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Raíz de nopal

Funciones polinómicas División de funciones polinómicas: Teorema del resto En el conjunto de los números enteros se tiene: Dados dos números a y b ≠ 0, llamados dividendo y divisor, respectivamente, existen otros dos números enteros, q y r, llamados cociente y resto, tales que: a = b • q + r, con 0 ≤ r < b.

En el conjunto de las funciones polinómicas se tiene: Dadas dos funciones polinómicas f(x), g(x) ≠ 0, existen dos funciones polinómicas q(x) y r(x) tales que: f(x) = g(x) · q(x) + r(x) donde r(x) = 0 o el grado de r(x) es menor que el grado de g(x).

Raíces de funciones polinómicas De la misma manera que hemos considerado raíces de polinomios de grados 1, 2, 3 y 4, podemos considerar raíces de polinomios en general: si f(x) es una función polinómica y a es un número para el cual f(a) = 0, se dice que a es una raíz de la función f(x). De esta manera, si f(x) es una función polinómica de grado mayor o igual que 1, al dividirla por x-a se tiene: f(x) = (x - a) · q(x) + r(x) y al reemplazar x por a, como a - a = 0, queda: f(a) = r(a) Si f(a) = 0 entonces r(a) = 0, y como el grado de r(x) es menor que 1 entonces r(x) es constante e igual a 0. Luego, si a es una raíz de f(x) entonces f(x) es divisible por x-a.

El gran matemático alemán Carl Friedrich Gauss, conocido como El príncipe de las Matemáticas, realizó cuatro demostraciones diferentes del hoy conocido Teorema Fundamental del Álgebra, en el que se asegura que toda ecuación algebraica siempre tiene una raíz. La primera de sus demostraciones la realizó en su tesis doctoral en el año 1799. Con este teorema se garantiza la existencia de raíces, más no se indica cómo hallar las soluciones. Esto es lo que en matemática se llama un Teorema de Existencia.

Una aplicación importante de las funciones polinómicas radica en su utilidad para el cálculo aproximado, usando sólo sumas, productos y potencias enteras de números. De hecho, las calculadoras usan las funciones polinómicas para hacer aproximaciones. Por ejemplo, para calcular valores aproximados del número e=2,71828182..., usado en los logaritmos neperianos, se considera la función polinómica: 2 3 n n! = 1 · 2 · 3... · n pn(x)= 1 + x + x + x + ... + x 2 3·2 n! tomando el valor x = 1. La aproximación que se obtiene es mejor a medida que n aumenta: n pn(1)

1 2

2 2,5

3 2,66...

4 2,7083...

5 2,7166..

... ...

Carl Friedrich Gauss (1777- 1855).

John Neper Escocés (1550- 1617).

10 2,718281801...

Reto: ¿Para cuál valor de x toma su menor valor la siguiente función polinómica? f(x) = (2x - 4)(x + 1) - x + 2 - 5(x - 2)

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Final Fantasy Columbia Pictures (2001) Película realizada totalmente a través de computadores Este es un detalle de la cara de la protagonista digital Aki Ross.

Polinomios y tecnología Existen unas funciones, denominadas splines, que son utilizadas para aproximar curvas. En varios programas de computadoras se usan para construir gráficos en 2D (dos dimensiones), 3D (tres dimensiones), animaciones, ondas de audio y otros. Estas funciones se construyen uniendo puntos, yuxtaponiendo trozos de polinomios que pasan por estos puntos. A los splines se les asigna un grado de acuerdo al grado de los polinomios que se utilizan.

spline de grado 1

spline de grado 2

Yuxtaposición de segmentos Polinomios de grado 1

Yuxtaposición de trozos de polinomios de grado 2. Por cada tres puntos en cada uno de estos cuadros pasa la gráfica de un polinomio de grado 2

En el caso del spline de grado 3, se yuxtaponen los polinomios de grado 3 que unen grupos de 4 puntos. La utilidad de estas funciones radica en que son fáciles de manipular, ya que para hacer modificaciones de las mismas basta con alterar los coeficientes de los trozos de polinomios que están interconectados. De esta manera podemos editar gráficas, animaciones u ondas sonoras.

Un segmento tiene una ecuación del tipo y = ax + b donde x varía entre ciertos valores. y

y= x2

O

+b ax

Si aumentamos el coeficiente b el segmento se ubicaría más arriba. Si lo disminuimos el segmento se desplazaría hacia abajo.

Si variamos el coeficiente a (pendiente) se produciría una rotación del segmento.

y

y

b x+ a y=

x1

x

O

ax y= x

+b

O

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x

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Polinomios y tecnología Observa los movimientos de un trozo de parábola de ecuación y = ax2 + bx + c

x0 ≤ x ≤ x1

cuando se hacen variar los coeficientes. Al modificar el valor de c se produce una traslación vertical de la curva

Al modificar el valor de b se produce una rotación de la curva.

O

O

c

c a y b fijos

Al modificar el valor de a se obtiene una contracción o dilatación de la abertura de la curva

O

a y c fijos

AUDIO Los programas de edición de audio usan los splines para aproximar la onda sonora y luego producir efectos sobre el audio como: modificar el volumen, agregar eco, reverberación, distorsión, eliminar ruidos, ecualización, entre otros.

ANIMACIÓN En las animaciones se crea una malla basada en splines, sobre la figura que se desea animar. Al modificar los coeficientes de los polinomios se crea un efecto de movimiento. De igual manera, los programas de diseño gráfico utilizan splines para dibujar curvas.

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b y c fijos

Telescopio Hubble. Trayectoria prevista para atravesar los anillos de Saturno. Fuente: http://hubblesite.org

En 1995 los astrónomos encargados del telescopio Hubble anunciaron el descubrimiento de al menos dos nuevas lunas orbitando el gigante Saturno, basado en las imágenes tomadas por este telescopio. Estos satélites tienen órbitas elípticas similares a Atlas y Prometeus (lunas descubiertas en 1980 por el Voyager). Tal y como se observa en el gráfico, la trayectoria del Hubble y los anillos de Saturno tienen su intersección en un punto. Esto puede expresarse analiticamente mediante un sistema ecuaciones.

Ecuaciones lineales con dos incógnitas Si en una taza con capacidad de 250 cm3 queremos preparar café con leche, debemos agregar un volumen C de café y un volumen L de leche. De esta manera, tenemos que: C + L = 250 Dependiendo del gusto de las personas se podrá agregar una cantidad mayor de café y una menor de leche o viceversa (en este caso 0 < C < 250 y 0 < L < 250). Observa que tanto C como L son variables y una ecuación como la considerada se denomina ecuación lineal con dos incógnitas. De manera más general una ecuación lineal con dos incógnitas, con coeficientes reales, es una igualdad de la forma: ax + by = c en donde a, b y c son números reales, tanto en el ejemplo de la preparación del café con leche, donde hay infinitas formas de prepararlo, pues depende de las cantidades de café y leche que agreguen, sin sobrepasar la capacidad de la taza, como en el caso general, una ecuación lineal con dos incógnitas tiene infinitas soluciones. y

2

Representación gráfica Las soluciones de una ecuación lineal con dos incógnitas, ax + by = c, es el conjunto de los puntos del plano cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.La gráfica es una recta.

B 1

Por ejemplo, la gráfica de la ecuación A

3y - 2x = 4 es la ecuación de una recta que corta al eje x en el punto A (-2, 0) y al eje y en el punto B (0, 4 ). Estos puntos, y 3 cualquier otro perteneciente a la recta, son soluciones de la ecuación dada.

-2

-1

0

1

2 x

-1

y Leche (cm3) 250 -2 200

100

x

0 100

58

200

250

La representación gráfica de nuestra situación con el café es la que está a la izquierda.

Reto: ¿Qué significa C=0 y qué significa L=0?

Café (cm3)

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50 m x

50-x

Lado a

Lado b

Supongamos que dos nadadores están ubicados en los lados opuestos a y b de una piscina cuya longitud es 50 m. Si salen simultáneamente uno hacia el otro, nadando con rapidez constante por carriles paralelos, el primero a 6 m/s y el segundo a 5 m/s. ¿A qué distancia se cruzan los nadadores? Observa que si ambos nadadores se cruzan al cabo de t segundos, a una distancia de x metros del lado a, mientras el primero ha recorrido x metros el segundo ha recorrido 50 - x metros, y se pueden escribir las ecuaciones: x = 6t 50 - x = 5t Se dice que dos ecuaciones como las anteriores constituyen un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. En general, un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas es un par de ecuaciones del tipo: Cada una de estas a 1x + b 1y = c 1 ecuaciones corresponde a la ecuación de una a 2x + b 2y = c 2 recta en el plano.

en donde a1, b1, c1, a2, b2 y c2, son números reales. En cada una de las ecuaciones, por lo menos uno de los coeficientes de las incógnitas es diferente de 0. Una solución común de estas ecuaciones, si existe, es un par de números reales (x0,y0) tal que: a 1x 0 + b 1y 0 = c 1 a 2x 0 + b 2y 0 = c 2 Gráficamente, una solución del sistema es un punto común a ambas rectas. Dadas dos rectas en el plano hay las siguientes posibilidades: Las dos rectas tienen un punto común

Las dos rectas coinciden

y

y

x

O

El sistema tiene solución única: el punto (x0 ,y0). Se dice que el sistema es compatible determinado.

Las dos rectas son paralelas no coincidentes y

O

x

El sistema tiene infinitas soluciones: todos los puntos de ambas rectas. Se dice que el sistema es compatible indeterminado.

O

x

El sistema no tiene soluciones. Se dice que el sistema es incompatible.

¿Cómo se resuelve un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas? Gráficamente

Analíticamente

Se representan las dos rectas en un mismo sistema de coordenadas y se determinan, con la mayor precisión posible, las coordenadas del punto de corte. Para esto se puede usar papel milimetrado o un software.

Se usan métodos basados en manipulaciones algebraicas: igualación, sustitución o reducción, que permiten transformar las ecuaciones del sistema a una ecuación con una sóla incógnita.

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Matemática recreativa 1. Problema hindú Regocíjanse los monos divididos en dos bandos: su octava parte al cuadrado en el bosque se solaza. Con alegres gritos, doce atronando el campo están. ¿Sabes cuántos monos hay en la manada total?

2. Uno es igual a cero Si a = 1 entonces a = a2. Si restamos 1 a los dos miembros, obtenemos a -1 = a2 - 1. Si simplificamos por a - 1 obtenemos que 1 = a + 1. De donde a = 0 es decir, 1 = 0 puesto que a = 1 ¿Cuál es el error?

6

1

8

7

5

3

2

9

4

3. El cuadrado mágico Lo-Shu En un cuadrado mágico, la suma que aparece en cada fila, columna o diagonal es una constante llamada la constante mágica. 1. Piensa en el número que tú quieras. 2. El número que pensaste súmalo, réstalo o multiplícalo con cada uno de los números del cuadrado original, acomodando los resultados en los mismos lugares. El cuadrado que queda también es mágico. Transforma el cuadrado mágico "Lo-Shu" en los cuadrados mágicos que tú quieras. ¿Cuál es la constante mágica en cada uno de los cuadrados nuevos? ¿Funciona este método con fracciones o con decimales?

4. El apretón de manos Las personas que asistieron a una fiesta se estrecharon la mano. Uno de ellos advirtió que los apretones de manos fueron 66 ¿Cuántas personas concurrieron a la fiesta?

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5. ¡Inténtalo! Un liceista al estudiar ecuaciones de segundo grado, aprendió que si (x-a)(x-b) = 0, entonces las soluciones son x=a y x=b. Pero, encuentra que en la ecuación (3-x)(x+2)=4 también resulta que si 3-x=4 entonces x=-1 y si x+2=4 entonces x=2 y ambos resultados son soluciones de la ecuación dada. Busca una ecuación donde esto no se verifique, es decir un contraejemplo.

Benjamín Franklin investigador estadounidense (1706-1790).

6. El cuadrado de Benjamín Franklin Este cuadrado ideado por Franklin tiene estas propiedades: - Cada fila y cada columna suma 260 - La mitad de cada columna y de cada fila suma 130 - Los cuatro números de las esquinas más los cuatro números del centro suman 260 - La suma de los cuatro números de cualquier cuadrado de 2 x 2 es 130 ¿Podrías encontrar más propiedades de este cuadrado mágico?

El primer registro de un cuadrado mágico que aparece en la historia es en China alrededor del año 2200 a.C. Se llama el "Lo-Shu" y cuenta una leyenda que el emperador Yu lo vio inscrito en el caparazón de una tortuga en las orillas del río Amarillo y que inmediatamente mandó a copiarlo en una tablilla de barro. Desde entonces, se le atribuyeron a este cuadrado mágico propiedades religiosas y mágicas que servían en la astrología y en la predicción del futuro. Para los chinos los números pares representan el "yin", el principio femenino del universo, y los números impares representan el "yang", el principio masculino. En el cuadrado mágico "Lo-Shu" ambos principios se encuentran armoniosamente distribuidos y se complementan de manera natural.

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El estudio de algunos temas de álgebra, proporciona la oportunidad al docente de transmitirle a los alumnos la importancia que para la humanidad ha tenido la incorporación del lenguaje algebraico. Por otra parte, es importante mostrar que el aprendizaje del álgebra favorece la vinculación de diferentes ramas de la matemática y es una herramienta de comunicación y modelación para otras disciplinas. A continuación se dan sugerencias de algunas actividades a seguir para desarrollar el contenido de ecuaciones algebraicas. Presentar a los alumnos el plan del desarrollo de este contenido, en el que se contemplen: El propósito que se persigue en términos de contenido y competencias a alcanzar por los alumnos.

EXPLORATORIA

62

• Exploratoria • Desarrollo: Situaciones que conducen a ecuaciones, resolución de problemas • Cierre

E VA L U A C I Ó N

CONTENIDO

En cuanto al contenido deben considerarse las fases:

Comprende la revisión de conceptos previos que los alumnos poseen del tema. Se presentan situaciones que permitan establecer los conceptos de variable, constante, incógnita y ecuación como, por ejemplo: en una balanza se colocan diferentes cuerpos, conociéndose la masa de todos ellos menos la de uno. ¿Cómo expresar ésto con una ecuación? Evaluar a los alumnos proponiéndoles otras situaciones en las que reconozcan: variables, incógnitas e identifiquen ecuaciones: (2x > 3 ; -2x + 3 = 7x -1; x = 8).

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Proponer a los alumnos que investiguen, por equipo, el desarrollo histórico del lenguaje algebraico. Este trabajo debe concluir con la elaboración, por parte de los alumnos, de una línea del tiempo. Evalúe la participación y motivación.

DESARROLLO

Analizar con los alumnos diversas situaciones publicadas en la prensa de problemas vinculados con la realidad donde se presenten gráficos, expresiones verbales o algebraicas. Presentar una serie de expresiones algebraicas utilizadas en física, química, geometría con el fin de que identifiquen si son polinomios y analicen individualmente sus características (grado, coeficientes que acompañan las variables, término independiente) y elaborar las gráficas que sean posibles. Explíqueles acerca de los métodos análiticos y gráficos para hallar las soluciones de ecuaciones, propóngales algunas ecuaciones para resolver y proporcióneles algunos datos para traducirlos en una expresión algebraica. Esta actividad puede realizarse con una calculadora gráfica. Evalúe, asignando a cada alumno una tabla que contenga expresiones verbales para que traduzcan a expresiones algebraicas y viceversa, funciones para que identifiquen su gráfica y ecuaciones para que den soluciones.

CIERRE

Haga un balance acerca de: • Conceptos adquiridos • Competencias desarrolladas • Aplicaciones en las que están presentes ecuaciones.

BIBLIOGRAFÍA

Beyer, Walter (2003). Didáctica de la matemática. Escuela Venezolana para la Enseñanza de la Matemática. Mérida, Venezuela. Devlin, Keith (2001). The language of mathematics. W.H. Freeman and Company. New York, Estados Unidos. Legrand, Pierre y otros (1997). Les maths en college et en lycée. Editorial Hachette. Montmorillon, Francia. Fórmulas para resolución de ecuaciones polinómicas. http://josechu.com/ecuacionespolinomicas/index-es.htm Tutorial de splines. http://www.geocities.com/txemijendrix/tutoriales/splinemacro/smspa2.html Wikipedia. La enciclopedia libre. http://es.wikipedia.org/wiki/portada

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Tengo que pensarlo 1. El número de oro El número 1,6180339887... tiene su parte decimal igual a la de su inverso ¿Existirá algún otro número positivo x que tenga esta propiedad?

x 2. El cuadrado mágico En un cuadrado mágico, la suma que aparece en cada fila, columna o diagonal es constante. En la figura se muestra un cuadrado mágico incompleto. ¿Cuál es el número que debe figurar en la casilla marcada por x?

1 14 26

13

3. El caballo y la mula Un caballo y una mula caminaban juntos cargando sacos de arena. Sabiendo que si la mula tomara un saco del caballo su carga sería el doble que la del caballo, y si la mula le diera un saco al caballo sus cargas serían iguales ¿cuántos sacos llevaba cada uno?

4. ¿Cuánto vivió Diofanto (s. II a.C.)? El epitafio en su tumba reza así: “Esta tumba contiene a Diofanto. ¡Oh gran maravilla! Y la tumba dice con arte la medida de su vida. Dios hizo que fuera niño una sexta parte de su vida. Añadiendo un doceavo, las mejillas tuvieron la primera barba. Le encendió el fuego nupcial después del séptimo, y en el quinto año después de la boda le concedió un hijo. Pero ¡Ay! niño tardío y desgraciado, en la mitad de la medida de la vida de su padre, lo arrebató la helada tumba. Después de consolar su pena en cuatro años con esta ciencia del cálculo, llegó al término de su vida”. Determina ¿cuántos años vivió Diofanto?

Resultados:

1. Hay muchas soluciones, entre las cuales está: 3 + 13 ; 2 2. x=2; 3. El caballo 5 y la mula 7 sacos; 4. Diofanto vivió 84 años

T

+ 17 3t 68 67 37 02 -0,

e 75

76

del agua entre 92º y 33 ºC; A= 17 ºC.

T=

84

Isaac Newton Matemático, físico y astrónomo inglés (1642-1727)

Gráfico de la función de enfriamiento

68

60

52

44

36

28

10

20

30

40

50

60

70

t

La expresión general de la función que modela la “Ley de enfriamiento de Newton” es T = A + (T0 - A) e-kt, siendo: T = T(t) temperatura (en grados) como función del tiempo t (en minutos en el gráfico) A= temperatura del medio ambiente T0= temperatura inicial del cuerpo que se enfría (agua en este caso) k= constante de enfriamiento

Funciones y sus gráficas A continuación presentamos dos situaciones que conducen a las funciones y sus gráficas. En algunos países como los Estados Unidos, Canadá y otros, puedes encontrar pronósticos del tiempo como el siguiente “mañana habrá una temperatura de 85 grados”. Para Venezuela esto es una temperatura muy elevada, lo que sucede es que en esos países se utiliza la escala en grados Fahrenheit y en Venezuela la de grados Centígrados, lo que corresponde a 29,44 ºC. ¿Cómo transformar grados Farenheit a grados centígrados? Esto se hace mediante la fórmula ºC =

5 9

(ºF-32).

Así la temperatura de 85 ºF equivale a ºC=

5 9

(85-32) ≈ 29,44 ºC.

Entonces se puede exclamar ¡Hace bastante calor! Esa relación entre los dos tipos de grados es una función, en donde C es la variable dependiente y se escribe en función de F que es la variable independiente. Podemos representar gráficamente esa función mediante un par de ejes de coordenadas cartesianas, F en el eje horizontal (eje de las abcisas) y C en el eje vertical (eje de las ordenadas), para lo cual construimos la siguiente tabla de valores: ºF 0 10

ºC -160 9 -110 9

C

≈-17,78 ≈-12,22

32

0

60

15,56

75

23,89

80

26,67

85

29,44

0

B(32;0)

F

A(0;-17,78)

La representación gráfica de esa función es una recta con pendiente 5 . Bastan dos puntos A y B para 9 dibujarla. La gráfica muestra que es una función creciente. RETO: Determina F en función de C y represéntala gráficamente. Luego superpón los dos gráficos. ¿Qué observas?

Nicole de Oresme, uno de los “Maestros de París”, consideró la representación gráfica velocidad versus tiempo para lo cual dibujó un diagrama para un móvil con aceleración constante.

Nicole de Oresme Artista y matemático francés (¿1325? -1382)

66

Llegar a la definición actual de función fue un proceso de varios siglos. Las primeras definiciones de función la hicieron los ingleses James Gregory (1638-1675) e Isaac Newton. Posteriormente los suizos Johan Bernoulli (1667-1748), Leonhard Euler (1707-1783) así como otros matemáticos, también dieron algunas definiciones. Hasta que finalmente, en el siglo XIX, se llegó a la definición moderna de función dada por el matemático alemán Peter Dirichlet (1805-1859) quien, en 1837, consideró una función como una correspondencia entre variables. Dirichlet escribió: Si una variable y está relacionada con otra variable x de manera tal que a cualquier valor de x corresponde un único valor de y, entonces se dice que y es una función de la variable x.

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Johann Peter Dirichlet Matemático alemán (1805-1859)

El ser matemático no fue más el número: fue la ley de variación, la función. La matemática no estaba únicamente enriquecida de nuevos métodos, ella estaba transformada en su objeto.

Jacques Hadamard Matemático francés (1865-1963)

La tabla siguiente presenta las tarifas postales nacionales para cartas (vigentes para marzo 2004): Peso en gramos (g) Costo (Bs.) De 0 hasta 1 120 Más de 1 hasta 20 300 Más de 20 hasta 50 400 Más de 50 hasta 100 450 Más de 100 hasta 500 1 000 Más de 500 hasta 1 000 1 800 Cada 500 g adicionales o fracción, hasta 2 kg, cuesta Bs. 550. Observa que en este caso el costo C de una carta (cantidad de bolívares) es una función del peso P (en gramos), esto es C=f(P). Esta función no tiene una fórmula única para expresarla pues está definida por trozos o partes. Según la tabla anterior se tiene: C= 120 si 01?

y=x

1,5

y= x 1 0,5

X

0 0

0,5

1

1,5

2

INTERESANTE Seguramente has escuchado a tus profesores hablar de la curva del aprendizaje cuya forma general presentamos en el siguiente gráfico: 40

Duración de la tarea (en minutos)

30

20

10

Repeticiones de la tarea

0 0

20

40

60

¿Qué dice esta gráfica? Pues que a medida que se repite más una tarea menor es el tiempo necesario para realizarla, es decir, que la práctica logra la perfección. Determina, empleando la gráfica dada, en cuánto tiempo disminuye la duración de la tarea cuando después de haberla realizado 10 veces la repites 10 veces más.

84

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La función potencial en ayuda de la industria En la industria manufacturera se utilizan las curvas de aprendizaje para estimar los costos de producción y los requerimientos de trabajo de los procesos de fabricación. Allí, estas curvas se conocen como curvas de progreso de la fabricación. Supongamos que un fabricante opera una línea de producción de un bien que requiere de 80 horas de trabajo para completar la primera unidad. La unidad 2 del bien requiere el 80% del tiempo empleado para la construcción de la primera unidad; la unidad 4 requiere el 80% del tiempo empleado en la segunda y así sucesivamente. En la tabla y gráfico siguiente se presentan los datos correspondientes a la fabricación de varios conjuntos de unidades para el proceso descrito anteriormente:

Horas de trabajo necesarias para elaborar unidades

Horas de trabajo

80

60

40

20

0

20

40

60

Unidad (Factor 2)

Horas (Factor 0,8)

1 2 4 8 16 32 64

80,0 64,0 51,2 41,0 32,8 26,2 21,0

Unidades

Si suponemos que x designa el número de unidades, que y designa el número de horas de trabajo necesarias para la producción de x unidades, que T denota el número de horas necesarias para producir la primera unidad y que la tasa de progreso de la fabricación (aprendizaje) es r, podemos representar y de acuerdo a la siguiente función potencial: y = Tx

log2(r)

para todo x > 0

En el caso que estamos estudiando r=80%=0,8; T=80, luego log2(0,8) ≈ -0,32, de tal manera que la ecuación queda como: y=80x-0,32 Si quisiéramos saber cuánto tiempo llevaría fabricar la unidad número 35, bastaría entonces evaluar y=f(35) ≈ 25,64 horas.

RETOS Encontrar la función de progreso de fabricación para un proceso de trabajo cuando r=0,6 y T=150 horas. Asumiendo que la tasa de progreso de fabricación fue del 80%, ¿cuánto tardará la producción de un bien cuya primera unidad consumió 400 horas?

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De las escalas aritméticas En ocasiones resulta ventajoso emplear escalas logarítmicas en lugar de escalas aritméticas para llevar a cabo representaciones geométricas, pero antes de proceder a su descripción observa las dos fotografías colocadas a los extremos de estas páginas que muestran dos visiones de un mismo fenómeno astronómico del cometa Hale-Bopp logradas con el empleo de una escala aritmética y una escala logarítmica respectivamente.

En las representaciones gráficas de las funciones obtenidas hasta ahora hemos empleando ejes graduados de acuerdo a escalas aritméticas, esto es, escalas en las que un conjunto de números definidos por una progresión aritmética de razón r>0: Imagen en color verdadero, escala lineal, del cometa Hale-Bopp, tomada el 3 de febrero de 1997, con un lente 2,8/180 mm, filtro y CCD. El campo de visión es 3,8x2,5º N. El este está a la izquierda. © B. Dintinjana & H. Mikuz.

r, 2r, 3r,..., nr,... determinan marcas igualmente espaciadas sobre el eje, como se aprecia en el siguiente gráfico:

0

2

4

6

8

...

0

r

2r

3r

4r

...

(r=2)

Este tipo de escalas es muy útil cuando dibujamos funciones lineales o cuadráticas, pero no ocurre así cuando graficamos funciones exponenciales, logarítmicas y potenciales. La explicación es que en estos casos en el eje de las ordenadas se tienen que registrar valores de la función que van desde los muy pequeños hasta los extremadamente grandes. Cuando se quiere dibujar este tipo de funciones es preferible emplear escalas logarítmicas, esto es, escalas en las que un conjunto de números que varían en progresión geométrica de razón r:

r1, r2, r3,..., rn,... determinan marcas igualmente espaciadas sobre el eje atendiendo a los exponentes, como se aprecia en el siguiente gráfico: 0

1

0

21

2

3

4

5

6

7

21

0

1 2

3

4

9

10

11

12

13

22

23

24

2

3

4

n

Los exponentes de r, r , r , r ,..., r (r=2)

86

14

15

16 24

23

22

0

8

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(r=2)

a las escalas logarítmicas Para construir un eje con escala logarítmica de base 10, rotulamos el origen de la escala con cero y luego elegimos una longitud unidad con la que marcamos el eje sucesivamente a partir del cero. Estas marcas corresponden a las potencias sucesivas de la base 10 como se indica a continuación: 40=101,6

100 101

102

103

0

1

1,6 2

3

4

rn

5

n Imagen en color verdadero, escala logarítmica, del cometa Hale-Bopp, tomadas el 3 de febrero de 1997, con un lente 2,8/180 mm, filtro y CCD. El campo de visión es 3,8x2,5º N. El este está a la izquierda. © B. Dintinjana & H. Mikuz.

Para ubicar un número en esta escala, por ejemplo el 40, tenemos que expresar el número como una potencia de 10, esto es, tenemos que encontrar el valor p tal que:

40=10 p , luego

log 10 (40)=p log 10 (10)=p

y por tanto

p ≈ 1,6.

RETO: Construir una escala logarítmica con base 2

Gráficas de funciones básicas elementales y

y

y

2

+2

x

8 5

1

4

x -1

-2

2

1

-1

7

x2

1 =-

4

y=1+2

3

-3

y 8

4

6 5 4

3

3

3

2

-2

2

1

1

x

-3 -3

-4

-2

-1

-1

2

1

3

x

-2

-3

-2

-1

0

1

2

3

2

3

0

Función cuadrática y=a+bx2

Función “lineal” (afín) y=a+bx

Función exponencial y=ex

y 1

x

0 1

1,5

y

y

2

-2

30

y=

10

x3

-15

-1

5

20

1 -3

-3

-2

-1

-5

x 1

2

3

y= x4

0,5

10 -10

-4

5

-15

1 -3

Función logarítmica y = Ln(x)

Función potencial y=bx3

-2

-1

x 0

1

Función potencial y=bx4

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Población Jason Macaya artista norteamericano (1972- )

Un ejemplo de gráfico con escala logarítmica Consideremos la evolución de la población mundial, por décadas, desde 1950 hasta 1990. Utilizando un sistema de coordenadas con escala aritmética y distintas unidades en los dos ejes, se representan esos datos. Ahora representemos los mismos datos utilizando sobre el eje de las ordenadas una escala logarítmica bien sea en base 10 o en base e. Población P

Año

1950 1960 1970 1980 1990

2 3 3 4 5

P (millardos)

360 669 067 389 679

Ln(P)

9,41 9,48 9,57 9,65 9,72

21,66 21,84 22,03 22,22 22,39

972 330 105 159 123

E

4

J

9,60

9,50

B

H

G

21,75 G

A 9,40

J I

22,0

H

C

22,50 22,25

I

D

3

Los logaritmos han sido redondeados a 2 decimales Ln(P)

9,70

5

2 3 3 4 5

Población 555 360 972 039 669 330 708 067 105 454 389 159 284 679 123

Fuente: U.S. Bureau of the Census, International Data Base.

log10(P)

6

21,50

F

F

1990

1980

1970

t años

1960

1990

1980

1970

1960

t años

1950

1990

1980

1970

1960

21,15

1950

1

1950

2

555 039 708 454 284

log10(P)

Año 1950 1960 1970 1980 1990

Colocamos el año 1950 en el origen. Unimos los puntos F, H, I, J con un segmento de recta. En cualquiera de los dos gráficos log10(P) o con Ln(P) observamos que los puntos F, H, I y J están “situados en una recta” y el punto G es “próximo” a la misma, lo cual sugiere que en el primer gráfico los puntos están “aproximadamente” en una curva de tipo exponencial. Se dice que esta curva es un ajuste para la “nube de puntos” dada por los puntos A, B, C, D y E. La representación de puntos utilizando escalas logarítmicas es útil para determinar si esos puntos pueden situarse, “aproximadamente”, sobre el gráfico de una función exponencial o una función potencial. Las escalas logarítmicas son utilizadas en diversas áreas a los fines de representar datos que tienen una variación muy grande, un rango de variabilidad muy amplio. Por ejemplo, en técnicas de vacío la presión de gas varía desde 1 atm hasta un rango 10-13 - 10-15 atm (atm=atmósfera -unidad de presión-) y se hace prácticamente imposible representar tal rango de variabilidad en una escala lineal o aritmética. En cambio, si consideramos logaritmos decimales se tiene: log10(1)=0, log10(10-15)= -15 y ahora tenemos el intervalo cerrado -15≤p≤0 donde p indica la presión, que es fácilmente representable en una escala lineal. Si utilizamos un eje de coordenadas en escala logarítmica y en el otro eje una escala aritmética se dice que estamos en presencia de un papel semilogarítmico (logarítmico simple). Si en ambos ejes utilizamos escalas logarítmicas, se trata de un papel logarítmico (logarítmico doble). Estos papeles se consiguen comercialmente de la misma forma que los cuadriculados y milimetrados y se usan para trabajos con dibujo a mano alzada. El uso de computadoras ha reemplazado gran parte de estos papeles.

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t años

El Terremoto de 1812 Tito Salas (1887-1974)

Los terremotos que han ocurrido en Venezuela, y seguirán ocurriendo, han sido producidos por liberación de la energía acumulada en las fallas: de Boconó (zona de los Andes), que va desde el Táchira hasta Lara, la de Tacagua-El Ávila al norte del Litoral Central y la de El Pilar (estado Sucre).

La función logarítmica entre ¿Porqué tiembla la tierra? Las fallas geológicas (zonas de la corteza terrestre que presentan fracturas y desplazamiento de rocas que tardan siglos en encontrar su equilibrio) son las responsables de los temblores que cada día se producen en nuestro planeta.

Si nuestros sentidos fuesen más finos percibiríamos una vibración incesante bajo nuestros pies. En Venezuela, los expertos de las facultades de ingeniería y de la Fundación Venezolana de Investigaciones Sismológicas, han identificado fallas importantes entre las que destacan la de Tacagua-El Ávila, la de Boconó en el estado Trujillo y la de El Pilar en Sucre. Hoy en día, a pesar de los avances tecnológicos y del perfeccionamiento de los sismógrafos (aparatos que registran en un gráfico ondulatorio la hora, duración y amplitud de los sismos), la capacidad de predicción de un terremoto es muy pequeña. Se estima que en los últimos 6 000 años, los sismos han ocasionado en el mundo entre 10 y 15 millones de víctimas.

Caracas fue sacudida en 1967 por un terremoto que produjo 295 víctimas y que registró en la escala de Richter una magnitud de 6,7. A raíz de ese terremoto se establecieron una serie de normas de construcción antisísmicas. Buena parte de las nuevas construcciones se han adecuado a ellas.

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temblores y terremotos Una forma de medir la magnitud de un sismo es mediante el empleo de la escala de Richter, en la que se relaciona la cantidad de energía liberada por un terremoto con valores numéricos comprendidos entre cero e infinito, aunque nunca se ha registrado un terremoto de magnitud mayor que 9. Los números en esta escala se acomodan de forma tal que un incremento unitario representa un incremento multiplicativo de 10 unidades en la magnitud del sismo. Giuseppe Mercalli (1850-1914) Sismógrafo Charles Francis Richter (1900 -1985)

Para establecer la magnitud de un sismo en la escala de Richter con los datos que aporta el sismógrafo se emplea una función logarítmica de base 10, como la que se presenta a continuación: Magnitud R = log (a/T)+B 10

en donde a designa la amplitud del terremoto registrado en la estación sismológica (en micras), T es el período de la onda sísmica (en segundos) y B es un factor empírico que indica el debilitamiento al aumentar la distancia al epicentro del terremoto. Magnitud en Escala de Richter

Efectos del terremoto

Menos de 3,5

Generalmente no se siente, pero es registrado

3,5 - 5,4

A menudo se siente, pero sólo causa daños menores

5,5 - 6,0

Ocasiona daños ligeros a edificios

6,1 - 6,9

Puede ocasionar daños severos en áreas muy pobladas.

7,0 - 7,9

Terremoto mayor. Causa graves daños

8 o mayor

Gran terremoto. Destrucción total a comunidades cercanas.

MAGNITUD RICHTER -1,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0 6,5 7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 10,0 12,0

R Equivalencia en cantidades de TNT* 6 onzas (170 gramos) 30 libras (13 kilogramos) 320 libras (145 kg) 1 tonelada 4,6 toneladas 29 toneladas 73 toneladas 3 1 x 10 toneladas 3 5,1 x 10 toneladas 3 32 x 10 toneladas 3 80 x 10 toneladas 6 1 x 10 toneladas (un megatón) 6 5 x 10 toneladas 6 32 x 10 toneladas 6 160 x 10 toneladas 9 1 x 10 toneladas 9 5 x 10 toneladas 9 32 x 10 toneladas 12 1 billón (1 x 10 ) toneladas (1 gigatón) 12 160 billones (160x 10 ) toneladas

*TNT= Trinitrotolueno

Se han ideado métodos, que mediante la provocación de pequeños sismos posibilitan la apreciación de cómo es la corteza terrestre y de la ubicación y tamaño de yacimientos subterráneos de fluídos y gases existentes en ella.

EJEMPLOS (aproximado) Romper una roca en una mesa de laboratorio Una pequeña explosión en un sitio de construcción Una gran explosión minera

Arma Nuclear pequeña Tornado promedio Terremoto de Little Skull Mountain, North Virginia, EEUU, 1992 Terremoto de Double Spring Flat, North Virginia, EEUU, 1994 Terremoto de Northridge, California,EEUU, 1994 Terremoto de Hyogo-Ken Nanbu, Japón, 1995 Terremoto de Landers, California,EEUU, 1992 Terremoto de San Francisco, California,EEUU, 1906 Terremoto de Anchorage, Alaska, EEUU, 1964 Terremoto de Chile, 1960 Energía acumulada en falla tipo San Andrés, California,EEUU ¡¡Fracturar la tierra en dos mitades !! Fuente: http://www.todoarquitectura.com

RETO: Suponte que ha ocurrido un movimiento telúrico cuyo epicentro está a 500 km de la estación sismológica que se encuentra en el Observatorio Juan Manuel Cajigal y que los sismógrafos registraron una amplitud de 10 micras y un período de la onda sísmica de 1 segundo. Sabiendo que la constante B es igual a 6,8 calcula la magnitud del movimiento. Identifica cómo se cataloga un movimiento telúrico de tal intensidad. Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Funciones • 12

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Torres sismorresistentes Las torres más altas del mundo están diseñadas bajo normas antisísmicas elaboradas por cada una de los gobiernos de los países donde han sido construidas. La torre del Taipei Financial Center fue diseñada con una sismorresistencia de 7 grados en la escala de Richter. Fuente: Revista Estampas. El Universal. Abril 2004.

Taipei Financial Center Taipei. Taiwan

Petronas

509 m equivalente a 25 edificios de 4 pisos

Kuala Lumpur. Malasia 452 m equivalente a 22,6 edificios de 4 pisos 101 pisos

88 pisos

Torre Sears Chicago. Estados Unidos 442 m equivalente a 22 edificios de 4 pisos

108 pisos

En el complejo Parque Central de Caracas, están construidas las dos torres más elevadas, con estructura en concreto, de Suramérica. La mayoría de las edificaciones en Caracas y del resto del país ya han cumplido su vida útil, tales como las torres de El Silencio, las del Parque Central, universidades, hospitales, así como gran cantidad de urbanizaciones caraqueñas. De acuerdo a la normativa antisísmica existente en el país, la mayoría de las edificaciones deberían ser evaluadas para verificar si cumplen con las exigencias establecidas, y si no es así tendrían que reforzarlas estructuralmente.

Interesante: FUNVISIS es la institución oficial venezolana encargada de realizar y promover, en forma permanente y de acuerdo con las necesidades del país, investigaciones y estudios especializados en sismología, ciencias geológicas y de ingeniería sísmica, con fines de reducción de la vulnerabilidad, así como también de divulgar los nuevos conocimientos de las ciencias respectivas, participar en la formación de personal especializado e instalar, operar y mantener las redes sismológica y acelerográfica nacionales. Para información llame al 0-800-TEMBLOR (0-800-8362567). Fuente: www.funvisis.org.ve Boletín sismológico, septiembre 2004.

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Alexander Graham Bell (Norteamericano 1847-1922), en el momento de su primera prueba con el teléfono inventado por él, en 1876.

Logaritmos y acústica

Una de las características de los sonidos es la intensidad, que es el flujo de energía que atraviesa la unidad de superficie perpendicular a la dirección de propagación de la onda sonora. La intensidad sonora se mide en watts (vatios) por centímetro cuadrado (W/cm2). Asimismo, la sensibilidad del oído humano a los sonidos de diversas frecuencias es distinta. Para cada frecuencia hay dos intensidades límites de los sonidos audibles (lo imperceptible y lo doloroso que es de 10-4 W/cm2). En la práctica se utiliza otra forma de medir la intensidad mediante unidades como el bel (belio) y decibel (decibelio) en homenaje a Alexander Graham Bell y se refiere a una intensidad relativa: la intensidad B de un sonido está expresada en bels cuando se mide por el logaritmo decimal del cociente entre la intensidad I de ese sonido (W/cm2) y la intensidad I0 (W/cm2) de otro sonido tomado como referencia. Esto es: B=log

10

(I/I0) bels.

El sonido que se toma como referencia es el que tiene como intensidad I0 = 10-16 W/cm2 y como el bel resulta una unidad bastante grande, entonces se considera el decibel (dB) que es 10 veces menor (1 bel = 10 decibels), luego: B= 10 log

10

(I/I0) dB.

Los límites de los sonidos audibles se expresan en decibelios. El sonido más débil que se puede percibir corresponde a I =10-16 W/cm2 , de donde B = 10 log10 (10-16/10-16 ) dB = 10 log10 (1) dB = 0 dB. El sonido más intenso corresponde a I =10-4 W/cm2, de donde B = 10 log10 (10-4/10-16 ) dB = 10 log10 (1012) dB = 120 dB. Lí m i (m te d ás e a dé ud Ig bi ici le l) ón si a va cí a Su su rro m ed Bi io bl io te ca S (ra ala di de o c m la od s R e e (a es ut ta rad om ur o) óv ant e il) Fá br ic a C a (R ll ui e c do o de n tr un áfic C al tre o le n) ru id os Ta a la dr o de Tú ca ne lle ld el M M et ot ro or de av ió n Au d (m ici ó Av ás n d ió int ol n en or a o re sa) sa ac ci ón

La gráfica de esos niveles de intensidad es:

Intensidad en W/cm Intensidad relativa en decibeles

2

-16

-15

-14

-13

-12

-11

-10

-9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

Los resultados de los exámenes de audiometría que se hacen en los consultorios médicos con el fin de determinar cuánto se tiene de pérdida en la audición de un paciente, se expresan en decibeles.

Audiograma de una persona que tiene pérdida de audición. (27/11/2002)

Ear_Exam.jpg

7/18/02 1:26:41 PM http://www.nursing.uiowa .edu/sites/LRS_equip_ph otos/Index-4.htm

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93

Logaritmos y química

Sören Sörensen químico danés (1868-1939)

Vimos que las funciones logarítmicas y sus inversas (las exponenciales), tienen diversas aplicaciones en curvas de aprendizaje, sismografía, acústica y la psicología. También hay otras áreas donde utilizamos estas funciones, entre ellas la química. A veces cuando tomamos una limonada o un jugo de naranja, exclamamos ¡Qué ácido está! ¿A qué se refiere esto? Los químicos tienen una forma de medir la acidez o la basicidad en una solución mediante un coeficiente, denominado pH (potencial de Hidrógeno), que permite caracterizar el grado de acidez o de basicidad de una solución. Esto fue propuesto por Sören Sörensen. El pH de una solución se define como el opuesto del logaritmo decimal de la concentración de iones de hidrógeno, esto es, pH = -log10[H+], en donde [H+] indica la concentración de iones de hidrógeno en la solución, la cual se expresa en moles-gramos de ión de hidrógeno por litro. De allí resulta [H+]=10-pH. Mol es la unidad de medida de la cantidad de sustancia, en el Sistema Internacional (SI) de medidas, e ión se refiere a un átomo o conjunto de átomos que han ganado o perdido uno o varios electrones por la acción de la radiactividad o por electrólisis (descomposición química de una solución mediante el paso de una corriente eléctrica). Como la concentración del hidrógeno en el agua y en medios químicamente neutrales es igual a 10-7, entonces para el agua se tiene pH = -log10[10-7] = 7. En los ácidos la concentración de los iones de hidrógeno es mayor, y así se tiene la siguiente clasificación según los valores del pH. 10-6 6

id H

Por ejemplo, el pH del jugo de limón es 2,3 y el del vinagre es 2,6, entonces la diferencia entre esos grados de acidez es 0,3 pHvinagre - pHlimón = -log10[H+]vinagre - (-log10[H+]limón ) = 2,6 - 2,3 = 0,3 luego log10

[H+]limón [H+]vinagre

= 0,3 =>

[H+]limón [H+]vinagre

= 100,3= 1,995 262 315... ≈ 2,

por tanto, la concentración de iones de hidrógeno en el jugo de limón es el doble que en el vinagre. RETO: Una solución molar tiene un mol de iones por litro ¿Cuál es su pH?

94

10-13 10-14 13 14

Solución Básica

ria rm al Le ch Pa e/ pa sa ng re

ho

10-11 10-12 11 12

ia

na

10-10 10

uv

Ll

Za

10-9 9

Ác

id

10-8 8

no

e at

no

To m

Vi

Li m Vi ó n na gr e

o

cl

or

hí

dr

ic

o

Solución Ácida

10-7 7

ró só xid di o co

10-5 5

s

10-4 4

jía

10-3 3

Le

10-2 2

NEUTRO

[H+] 10-1 pH 1

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Tengo que pensarlo

1

En el polígono dibujado en un papel cuadriculado, consideramos como unidad de longitud el lado del cuadrado más pequeño de la cuadrícula. Para cada abscisa x, 0≤x≤18, denotamos por A(x) el área del polígono sombreado en el dibujo. a) Calcula los valores A(0), A(4), A(14) y A(18). b) Determina la expresión de la función A=A(x) definida en el intervalo 0≤ x ≤18. Sugerencia: determina la expresión de A(x) en cada uno de los siguientes intervalos: 0≤x≤4, 4≤x≤14, 14≤x≤18. c) Representa gráficamente esa función.

Y

0

2

18

x

X

El gráfico siguiente expresa la función de costo total C en términos de la cantidad de objetos producidos Q (C = C (Q)) a) El costo fijo es el correspondiente a Q = 0 ¿Cuánto es el costo fijo? b) ¿Cuánto es el costo correspondiente a la producción de 1 500 objetos? c) A partir de la producción de 3 000 objetos fabricados, el crecimiento del costo total es lineal. ¿Cuánto es el crecimiento del costo total en el intervalo 3 000 ≤ Q ≤ 7 500? ¿Cuánto es el crecimiento unitario del costo total en ese intervalo? ¿Cómo calcularía el costo cuando Q = 9 000? C

Millones de Bs

21 18 15 12 9 6 3

Cantidad de objetos producidos 1 500

3 000

4 500

6 000

7 500

9 000

Q

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95

Tengo que pensarlo

3 H

h

4

a) Considera un recipiente cilíndrico sin tapa superior, de altura H y área de la base S0. Si vamos llenando ese recipiente con agua, el volumen V varía con la altura h medida a partir de la base. Determina V como función de h y representa dicha función.

A

B

R

C

D

H h

b) Considera un recipiente cónico de altura H y de radio de la base R. Si vamos llenando ese recipiente con agua, el volumen V varía con la altura h, medida a partir del vértice. Determina V como función de h y representa dicha función.

Una persona viaja hacia Puerto La Cruz y tiene convenido con otra persona encontrarse en Píritu a las 12 m., para almorzar juntos. Desea, por supuesto, que el encuentro ocurra a la hora fijada ya que no le gusta esperar ni ser esperado. Desde el lugar donde se encuentra llegaría a Píritu a las 12:15 p.m. si viaja en promedio a 80 km/h o a las 11:35 a.m. si viaja en promedio a 100 km/h, ¿a qué velocidad debería viajar para llegar a las 12 m.? Resuelve este problema gráfica y analíticamente.

2. c) 2 666,67 Bs/objeto. 3. a) V = S 0 h para 0≤h≤H 4. 86,49 km/h Gráficamente es b) V = kh3 para 0≤h≤H aproximadamente 24,80 x 106 Bs. πR2 Analíticamente C= 25 x 106 Bs. k= 2 3H

BIBLIOGRAFÍA

96

• Azcárate G., Carmen & DEULOFEU P., Jordi (1990): Funciones y Gráficas. Editorial Síntesis, S.A., Madrid, España. • Barbin E. y Douady D. (Directoras) (1996): Enseñanza de las Matemáticas: Relación entre Saberes, Programas y Prácticas. Publicación de los I.R.E.M., TOPIQUES éditions, Pont-à-Mousson, Francia. • Cole K. C. (1997): The universe and the teacup. Harcourt Brace, Orlando, USA. • Hughes Hallet Deborah & Gleason, Andrew M., et al (2000): Cálculo (CAPÍTULO 1: Una biblioteca de funciones, pp. 1-97). Compañía Editorial Continental, S.A. de C.V., México. Páginas web • http://www.udc.es/dep/dtcon/estructuras/ETSAC/Investigacion/Terremotos/QUE_ES.htm • http://www.geologiaenlinea.com Revistas • Uno. Revista de Didáctica de las Matemáticas, No. 25 (2000): “Construcción de conocimientos matemáticos para el siglo XXI”. Editorial Graò, España,

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Inecuaciones

Puente sobre ría de Bilbao, España. En múltiples construcciones se utilizan formas que se asemejan a las gráficas de expresiones algebraicas. En este puente peatonal podemos observar parábolas y rectas. Los matemáticos observan las formas matemáticas y analíticas como un naturalista observa los seres que el estudia. Jules Tannery matemático francés (1848-1910).

Pensando Ana María Pérez. Artista digital española

El mundo de las inecuaciones Igualdades como las del recuadro son ecuaciones.

8 x = 24 7 3x2- 2 =0

et = 1,5

ald

a

d e d o o: en l sig n r un mpl o de ig o em p ualdad je os or e INEC P . UACIONES

o

re

x2 - 5x + 6 ≤ 0

8 x ≥ 24 7

3x2 - 2 > 0

lineales (en una variable)

≥ mayor o igual que

es

pl

za

bt

8 x < 24 7

≤ menor o igual que

igu

3x - 2y = 8

m ee Al r

x - 5x + 6 = 0

> mayor que

ad

sen(x) = 0,5 2

< menor que

¿Qué ocurre si se sustituye el signo de igualdad “=” por uno de desigualdad: , ≥?

x-3y= π

cuadráticas (en una variable)

3x - 2y ≤ 8 3x - 2y ≥ 8 lineales (en dos variables)

Veamos algunas situaciones que conducen a inecuaciones en la recta y en el plano. La ciencia son hechos; de la misma manera que las casas están hechas de piedras, la ciencia está hecha de hechos; pero un montón de piedras no es una casa y una colección de hechos no es necesariamente ciencia. Un científico digno de este nombre, especialmente si es un matemático, experimenta en su labor la misma impresión que un artista; su placer es tan grande y de la misma naturaleza. Henri Poincaré Matemático francés (1854-1912).

Poincaré ha sido uno de los más grandes genios matemáticos de la humanidad. Fue un científico universal, el más brillante de los matemáticos de fines del siglo XIX y de los albores del siglo XX. En 1877 era ingeniero de minas, dedicándose a la matemática a partir de 1879, donde descolló en diversas áreas de la misma, así como en física, mecánica celeste, mecánica analítica, entre otras. Uno de los rasgos más característicos de Poincaré era su visión filosófica y el don de exponer la matemática con una claridad excepcional. Sus obras más importantes de filosofía de la matemática y de la ciencia son: La Ciencia y la Hipótesis (1902), El Valor de la Ciencia (1905), Ciencia y Método (1908) y Últimos Pensamientos (1913).

98

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Inecuaciones en la recta Un fabricante de tornillos recibe un pedido de un cliente el cual estipula que los tornillos deben tener una longitud de 7,62 cm y son aceptables siempre y cuando el error no exceda al 5%. El error ocurre tanto si el tornillo es más largo como si es más corto que lo deseado. Como el 5% de 7,62 cm es 0,381 cm entonces los tornillos son aceptados por el cliente cuando su longitud no es menor (o equivalentemente cuando es mayor o igual) que (7,62-0,381) cm. Asimismo, la longitud de los tornillos no debe exceder a –es decir, debe ser menor o igual– (7,62+0,381) cm. La menor longitud aceptable: (7,62-0,381) cm = 7,239 cm. La mayor longitud aceptable: (7,62+0,381) cm = 8,001 cm. Si representamos mediante la variable L la longitud (en centímetros) de los tornillos, lo anterior se expresa simbólicamente así: L ≥ 7,239 cm L ≤ 8,001 cm Gráficamente estas inecuaciones se representan de la siguiente manera:

L ≥ 7,239

7,239 [7,239 ,

7,239

L ≤ 8,001

)

(-

8,001 , 8,001]

7,239 ≤ L ≤ 8,001

8,001

Esta expresión representa la combinación de las dos inecuaciones anteriores y determina el intervalo cerrado [7,239 ; 8,001]

Apolonio de Perga (s. III a.C.)

Alrededor del año 200 a.C. un matemático griego, Apolonio de Perga, desarrolló la geometría de la hélice, y trazó las bases de la quinta y más joven de las máquinas simples: el tornillo. En cierto sentido, un tornillo no es una máquina "simple", ya que depende de otra máquina, una palanca, para su manejo. Se atribuye al genio de Arquímedes de Siracusa (s. III a.C.) la invención del tornillo para achicar agua de las naves y elevar agua para riego de los campos de cultivo. Aún hoy se utiliza con ventaja, entre otras muchas cosas, para elevar grano a los silos de almacenaje o para elevar cemento en los trabajos de construcción. Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Inecuaciones • 13

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Cruz del Ávila C.A. Electricidad de Caracas.

Resolviendo inecuaciones Ahora se plantea otra situación que conduce a inecuaciones. En cierto año, en el mes de diciembre, al medir la temperatura en la ciudad de Caracas se obtuvo una mínima de 12 ºC y una máxima de 26 ºC. Es decir, la temperatura varió en el intervalo cerrado [12, 26]. Si medimos la temperatura en grados Fahrenheit, ¿cuál hubiese sido el intervalo de variación?

C = temperatura en grados centígrados F = temperatura en grados Fahrenheit

Planteemos la ecuación que expresa grados centígrados en términos de grados Fahrenheit: El intervalo cerrado [12, 26] se describe mediante las inecuaciones 12 ≤ C y C ≤ 26, lo cual se abrevia: 12 ≤ C ≤ 26

C = 5 (F - 32) 9

5 12 ≤ 9 (F-32) ≤ 26

De aquí determinaremos el intervalo donde varía F

¿Cómo resolvemos este caso? Desarrollemos la solución analítica. 12 ≤ 5 (F - 32) 9

5 (F - 32) ≤ 26 9

Inecuaciones originales 9

9 12 ≤ F-32 5

Se multiplicó cada término por 5 que es positivo, luego no cambió el signo de desigualdad

F-32 ≤ 9 26 5

21,6 + 32 ≤ F

Se sumó 32 a cada término

F ≤ 46,8 + 32

53,6 ≤ F

F ≤ 78,8

La solución queda descrita por el intervalo cerrado [53,6 ; 78,8]

Pasos a seguir para resolver una inecuación lineal: c ≤ ax + b

Inecuación inicial

ax + b ≤ c

c - b ≤ ax

Se sumó -b a ambos miembros

ax ≤ c - b

Caso a>0 c-b ≤x a [ c-b , a

100

Caso a0 c-b x≤ a (-

, c-b ] a

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Caso a 0. Para ello se representan en un sistema de coordenadas cartesianas las rectas de ecuaciones y=ax+b, y=c, las cuales se cortan en el punto A como muestra la gráfica.

y

A

c

Gráfica de y = c

Gr

á

a fic

de

y

x =a

Se tiene que x0 divide al eje x en dos partes indicadas con las flechas amarilla y azul en la gráfica.

+b

0

b x 0

x0

Proyectando el punto A sobre el eje x se obtiene x0 que es la abscisa de dicho punto.

x0

A la izquierda de c-b x0= a ax+bc, ya que la gráfica de la recta de ecuación y=ax+b está por encima de la gráfica de la recta de ecuación y=c.

(

c-b a ,+

)

RETO: Geométricamente o despejando x de la ecuación ax+b=c, se obtiene que x0= c a- b

Realiza el proceso anterior para el caso a < 0.

De igual forma que las identidades y las ecuaciones están asociadas al signo de igualdad, las inecuaciones se asocian a los signos de desigualdad que conocemos como mayor que o menor que. Las desigualdades y las inecuaciones reflejan situaciones en las que se sobrepasa o no se llega a un cierto valor conocido. Las desigualdades desempeñan un importante papel en diversos problemas que se presentan en matemática, entre ellos en matemática aplicada, tales como la búsqueda de máximos o mínimos (problemas de optimización). Éstos conducen a desigualdades, lo cual expresa el hecho que la variable que se considera es menor (o mayor) o a lo sumo igual al valor máximo (o mínimo) que proporciona la solución. Asimismo, las inecuaciones son el fundamento de un aspecto de las matemáticas denominado programación lineal; el cual forma parte de un conjunto de técnicas matemáticas que intentan obtener el mayor provecho posible de sistemas económicos, sociales y tecnológicos, cuyo funcionamiento se puede describir matemáticamente de modo adecuado. René Descartes Filósofo, matemático y físico francés (1596-1650)

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101

Inecuaciones cuadráticas Así como se puede hablar de ecuaciones lineales y cuadráticas, también para el caso de las inecuaciones existen estas distinciones. Tomemos por caso la inecuación cuadrática ax2 + bx + c > 0, con a > 0. Animación de un trabajo con ondas cuadráticas publicada en línea en: M. A. Alonso and G.W. Forbes, Stable aggregates of flexible elements give a stronger link between rays and waves, Opt. Exp. 10 (2002) 728739.

¿Cómo se resuelve esta inecuación? Hay dos procedimientos: el geométrico y el analítico.

Procedimiento geométrico Para esto representamos la parábola de ecuación y = ax2 + bx + c. Sea casos:

Esta gráfica corresponde al caso >0. Hay dos raíces reales: x1 y x2 (supongamos x10 es la unión de los intervalos donde la parábola está por encima del eje x. Esto es: (- , x1)U(x2 , + ). En el intervalo (x1, x2) la parábola está debajo del eje x. Este intervalo es la solución de la inecuación ax2+bx+ c 0 es la unión de los intervalos donde la parábola está por encima del eje x. Esto es: (- , x1)U(x1 , + ). Esta unión corresponde al conjunto de los números reales excepto x1.

Esta gráfica corresponde al caso 0 es el intervalo (- , + ). Es decir el conjunto de los números reales.

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Resolviendo inecuaciones Existen otras situaciones donde se requiere resolver inecuaciones. Por ejemplo, ¿para qué valor de x la gráfica de la parábola de ecuación y=x2 - 3x - 8 está por debajo de la gráfica de la recta de ecuación y=-2x-2? Esto conduce a plantear la inecuación x2 - 3x - 8 ≤ - 2x - 2. Para dar respuesta a esta interrogante se puede proceder analíticamente haciendo los cálculos respectivos o geométricamente.

Solución geométrica Para ello se representa en un sistema de coordenadas cartesianas la parábola de ecuación y=x2 -3x -8 y la recta de ecuación y= -2x -2, las cuales se cortan en los puntos A y B como muestra el gráfico. y 14 12 10

x 2 -3

x -8

8

y=

6 4

A -8

-6

-4

x1

2 1 0

-2

-1

-1 -2

1

2

x2

3

4

6

x

8

-4 -6 -8 -10 -12 -14

B y

=

-2

x

-2

Proyectando los puntos A y B sobre el eje x se obtienen los valores x1 y x2 los cuales “encierran” a todos los números x que satisfacen x2- 3x- 8 ≤ -2x -2, ya que en ese intervalo la gráfica de la recta está por encima de la gráfica de la parábola. Para determinar x1 y x2 hay que encontrar los puntos A y B, por cuanto x1 y x2 son precisamente las abscisas de éstos. Nuevamente, esta última tarea se puede realizar gráfica o analíticamente. Si optáramos por el método gráfico tendríamos que construir las gráficas lo más exactamente posible en un papel milimetrado y leer en la gráfica el valor correspondiente (en general se obtendría sólo un valor aproximado). También algunos paquetes informáticos permiten la lectura si uno coloca el cursor sobre el punto deseado.

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103

Resolviendo inecuaciones Si seguimos el proceso analítico hay que plantear la ecuación x2 - 3x - 8 = - 2x - 2 Lo anterior produce la ecuación cuadrática x2-x-6=0, cuyas soluciones son: x1 =-2 y x2 =3.

Puente sobre ría de Bilbao.

Éstos son los valores buscados, los cuales definen el intervalo cerrado [x1, x2]=[-2, 3], solución de la inecuación. Si hacemos la lectura gráfica observamos la similitud (en general en términos aproximados) de los resultados obtenidos por ambos métodos.

Solución analítica: x2 -3x -8 ≤ -2x -2

Desigualdad inicial.

(x2 -3x -8)+2x ≤ (-2x-2)+2x

Sumándole 2x a ambos miembros de la inecuación.

x2 -x -8 ≤ -2

Efectuando la operación indicada.

(x2 -x -8) +2 ≤ -2 +2

Sumándole 2 a ambos miembros de la inecuación.

x2 -x -6 ≤ 0

Efectuando las operaciones indicadas.

(x-3) (x+2) ≤ 0

Factorizando el miembro izquierdo.

x-3 ≥ 0 y x+2 ≤ 0 ó x-3 ≤ 0 y x+2 ≥ 0

Para que un producto de dos factores sea negativo uno de los factores debe ser negativo y el otro positivo. Para que sea nulo, por lo menos uno de los factores debe ser nulo

La solución es el intervalo cerrado: [x1, x2]=[-2, 3] RETO: Verifica que efectivamente ésta es la solución.

Para Miguel de Guzmán el impacto de la matemática en nuestro entorno cultural es evidente. Nuestros artefactos mecánicos, eléctricos, químicos, son leyes matemáticas encarnadas a través de la poderosa tecnología que disfrutamos. Nuestra arquitectura revela estructuras matemáticas subyacentes. Nuestros sistemas de organización manifiestan esquemas matemáticos que les sirven de soporte. Nuestros medios de información y de comunicación son cada vez más potentes gracias a los avances recientes de la informática, que aúna de forma espectacular los progresos matemáticos y tecnológicos. Miguel de Guzmán fué presidente del Comité Mundial para la Enseñaza de la Matemática (ICMI, por sus siglas en inglés) y uno de los matemáticos más relevantes de habla hispana.

104

Miguel de Guzmán Matemático español (1936-2004).

El juego y la belleza están en el origen de una gran parte de las matemáticas. Si los matemáticos de todos los tiempos se lo han pasado tan bien jugando y contemplando su juego y su ciencia, ¿por qué no tratar de aprenderla y comunicarla a través del juego y de la belleza?

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Puente Golden Gate. San Francisco, EEUU.

Inecuaciones en el plano Veamos la siguiente situación: Una compañía productora de contrachapados usa una máquina prensadora para pegar chapas. Las chapas son de dos tipos diferentes, A y B, y se fabrican dos tipos de contrachapados, exterior e interior. La producción de un panel de contrachapado exterior requiere de dos chapas de tipo A, dos chapas de tipo B y 10 minutos en la prensadora. Mientras que, para la producción de un panel de contrachapado interior no se requieren chapas de tipo A, se requieren cuatro chapas de tipo B, y se emplean 5 minutos de la prensadora. Cierto día la empresa dispone como materia prima de 1 000 chapas de tipo A y 3 000 de tipo B. Además, la fábrica dispone de 12 prensadoras, cada una de las cuales puede prensar cuatro chapas para elaborar el producto final. Cada prensadora puede funcionar 500 minutos al día, dando un total de (12)(500)=6 000 minutos-máquina disponibles.

Representemos la situación descrita anteriormente en la tabla siguiente: Exterior (x paneles)

2 chapas de A

2 chapas de B

10 minutos

Interior (y paneles)

0 chapas de A

4 chapas de B

5 minutos

Totales disponibles

1 000 chapas

3 000 chapas

6 000 minutos

2x ≤ 1 000

2x + 4y ≤ 3 000

10x + 5y ≤ 6 000

Aquí hemos usado las variables x e y para representar el número de paneles de tipo exterior y de tipo interior (a ser producidos), respectivamente.

Dantzig, George matemático norteamericano (1914- ).

106

2x≤1000, 2x+4y≤3000, 10x+5y≤6000 son inecuaciones con dos variables. Constituyen restricciones de nuestro problema. Además, por la naturaleza del problema se tiene que x,y son enteros no negativos.

La programación lineal (como el problema de contrachapados) fue desarrollada durante la Segunda Guerra Mundial con el fin de responder a ciertos problemas logísticos que se presentaban en el transcurso de las contiendas. El húngaro-estadounidense J. von Newman y el ruso L.V. Kantorochiv hicieron valiosas contribuciones antes de 1947, fecha en la que G.B. Dantzig, a quien se considera el creador de la teoría de la programación lineal, la desarrolló en forma bastante completa.

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Inecuaciones en el plano y 600

500

Primer cuadrante (x ≥ 0, y ≥ 0)

400

Como debe cumplirse simultáneamente que x≥0, y≥0, esto restringe que las soluciones estén en el primer cuadrante.

300

200

Segundo cuadrante 100

-300

-200

0

-100

100

200

300

400

500

600

700

800

x

900

-100

Tercer cuadrante

Cuarto cuadrante -200

Las soluciones al problema de producción de contrachapados son todos los puntos (x, y) del plano, con x e y enteros, que satisfagan simultáneamente las condiciones: x ≥ 0, y ≥ 0, 2x ≤ 1 000, 2x + 4y ≤ 3 000, 10x+5y ≤ 6 000.

Cuando hablamos de una inecuación como x ≥ 0 debe estar claro en qué conjunto estamos trabajando (en la recta IR, en en el plano IR2, etc.).

x≥0

Así, si se trata de IR, el conjunto solución de x ≥ 0 es el semieje positivo junto con el cero, esto es el intervalo [0 , ).

0

Si se tratara de IR2, el conjunto solución serían todos los puntos del plano que están a la derecha del eje y junto con el eje mismo; esto es, el primer y cuarto cuadrantes.

y I

x

0

IV

Reto ¿Qué representa geométricamente el conjunto solución de la inecuación x ≥ 0 en el espacio IR3?

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107

Inecuaciones en el plano En nuestra fábrica de contrachapados las inecuaciones 2x ≤ 1 000, 2x + 4y ≤ 3 000, 10x + 5y ≤ 6 000, conjuntamente con x ≥ 0 e y≥ 0, donde x e y son enteros, constituyen las restricciones del problema. Para determinar gráficamente el conjunto de soluciones de la inecuación lineal ax + by ≤ c, se procede de la siguiente manera: Se grafica la recta de ecuación ax+by=c. Esta recta divide al plano exactamente en dos regiones llamadas semiplanos. El conjunto solución es uno de esos semiplanos.

y=-2 x+1 200 10x + 5y ≤ 6 000

x = 500

Para discriminar entre los dos semiplanos, se escoge un punto del plano que no esté situado en la recta y se comprueba si las coordenadas del punto satisfacen la inecuación. Si el punto satisface la inecuación, todos los puntos de ese semiplano son soluciones. En caso contrario, las soluciones están en el otro semiplano. y 2x ≤ 1000 2 000

y =- x + 750 2

1 000

x -300

-200

0

-100

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

2x + 4y ≤ 3 000

-1 000

-2 000

y

2x ≤ 1000

2 000

x = 500

Al superponer los semiplanos de restricciones, la región coloreada de azul intenso es el conjunto solución (Incluye los bordes) que es la intersección de las regiones señaladas en el gráfico anterior con el primer cuadrante.

1 000

Esta región es común a todos los semiplanos -300

-200

-100

0

100

200

x 300

400

500

600

700

800

900

1 000

2x + 4y ≤ 3 000

-1 000

-2 000

108

10x + 5y ≤ 6 000

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Blue equation Dale Wicks. Artista digital estadounidense

Inecuación versus ecuación

Observa las similitudes y las diferencias entre los conceptos de ecuación e inecuación:

Inecuación

Ecuación

Es una desigualdad entre dos expresiones en la cual aparecen constantes y una o varias variables desconocidas.

Es una igualdad entre dos expresiones en la cual aparecen constantes y una o varias variables desconocidas.

Ejemplos:

x - 2 > 5, x2 - 1 ≥1, sen(x) ≤ 1 , 2 2 x2 < x, x - y > -6

Ejemplos:

x - 2 = 5, x2- 1 =1, sen(x)= 1 , 2 2 x2 = x, x - y = -6

Si a ambos miembros de una inecuación se les suma o se les resta un mismo número, la inecuación no se altera.

Si a ambos miembros de una ecuación se les suma o se les resta un mismo número, la ecuación no se altera.

Si se multiplican o dividen ambos miembros de una inecuación por un mismo número no nulo, resulta que la inecuación:

Si se multiplican o dividen ambos miembros de una ecuación por un mismo número no nulo, la ecuación no se altera.

• No se altera si el número es positivo. • Cambia el signo de desigualdad si el número es negativo. Un punto (de la recta, plano,...) es una solución de una inecuación, si al sustituir las variables por los correspondientes valores de las coordenadas del punto, la desigualdad numérica resultante es verdadera.

Un punto (de la recta, plano,...) es una solución de una ecuación, si al sustituir las variables por los correspondientes valores de las coordenadas del punto, la igualdad numérica resultante es verdadera.

La utilización de desigualdades es frecuente en matemática y sirve para enunciar o demostrar propiedades. Algunas también se usan en la resolución de problemas, entre otros, de optimización (calcular máximos y mínimos). Por ejemplo: El valor absoluto |x| de un número x se define mediante x si x ≥ o x= -x si x < o

Esta definición origina la función y = |x| representada a continuación. y

45º

45º

x

Si a y b son números se verifica que |a+b| ≤ |a| + |b|, conocida como desigualdad triangular por su interpretación geométrica en términos de los lados de un triángulo en el caso que a y b son vectores.

b

a a+b

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109

Sistemas de coordenadas en el espacio Si estamos en un estacionamiento de un gran centro comercial, ¿cómo podemos precisar la ubicación de un vehículo? Si el estacionamiento tiene varios pisos tenemos que indicar el piso. Luego, para ubicarlo en ese piso, usualmente debemos usar una letra y un número, por ejemplo H 14. De la misma manera ocurre si estamos en un supermercado y deseamos buscar un producto, como la harina, debemos en primer lugar buscar el pasillo donde se encuentran las harinas. Luego debemos ubicar un lugar del pasillo y finalmente el tramo del estante donde está la marca de harina. En esta situación requerimos de tres elementos para encontrar nuestro producto: pasillo, lugar y tramo deseado. Una situación similar ocurre si deseamos dar la ubicación de un pez en un acuario, de un libro en una biblioteca, de una tienda en un centro comercial o si pretendemos dar la ubicación de un avión en el aire. En todos estos casos estamos considerando un sistema de referencia con tres elementos. z

En general un sistema de coordenadas en el espacio está definido por tres curvas o rectas que se cortan en un único punto y unidades de medidas en cada una de éstas.

U3

U2

0

U1

z1

P

Ahora a cada punto P del espacio podemos asociar una terna de números reales (x1, y1, z1) y viceversa. Los números x1, y1 y z1 se denominan coordenadas del punto P. Los sistemas de coordenadas tienen distintas denominaciones. Los de uso más frecuente son: coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas.

O

y1

x1 x

y Coordenadas cartesianas

z

Las coordenadas cilíndricas se forman al considerar una semirrecta e con un origen O llamado polo y una circunferencia con centro en el polo, que están en un mismo plano α; y una recta 0z perpendicular a este plano α que pasa por el polo. Para dar las coordenadas de un punto P se toma la coordenada de la proyección perpendicular A de P sobre la recta Oz; y las otras coordenadas son las coordenadas polares del punto proyección B de P sobre el plano α. Así, por ejemplo, el punto de coordenadas cartesianas (2, 2, 5), tiene coordenadas cilíndricas π π (2 cos 4 , 2 sen 4 , 5). Cilindro anamórfico restablece a la normalidad la figura distorsionada que está sobre el papel. Muy popular en Europa durante los siglos XVII y XVIII.

O Polo

e

z A

P

En coordenadas cartesianas la ecuación de una superficie cilíndrica con eje en el eje z es de la forma:

Transformaciones entre coordenadas cilíndricas y cartesianas (ejes perpendiculares)

x2+y2= d2,

x= r cos θ, y = r sen θ, z = z

mientras que en coordenadas cilíndricas es r=d.

r= x2+y2, θ = arctg ( y ), z = z x

O θ

e

110

Eje polar

α

r B

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Coordenadas esféricas Si tenemos las coordenadas P(x,y,z) de un punto en el espacio, respecto a un sistema de coordenadas cartesianas, podemos obtener las denominadas coordenadas esféricas (r,ϕ,θ) de dicho punto, considerando: Américo Vespucio pintado sobre una de las primeras cartas donde se expresaban coordenadas geográficas.

r igual a la distancia del punto P al origen O.

ϕ igual al ángulo, en el intervalo [0,2π), que forma el semieje positivo

Ox con la proyección perpendicular A del punto P sobre el plano xy.

z

θ igual al ángulo en, el intervalo [0,π] que forma el semieje positivo Oz con el segmento OP. Sí, por ejemplo, el punto P tiene coordenadas cartesianas π π ( 2 , 2 , 3 ), las respectivas coordenadas esféricas son: (2, , ). 2

2

P

θ

4 6

En coordenadas cartesianas la ecuación de una esfera centrada en el origen y radio d tiene la forma: x2+y2+z2= d2, mientras que en coordenadas esféricas es r=d.

O

r A

y

x Las coordenadas esféricas de un punto en el espacio se pueden obtener sin hacer referencia a un sistema de coordenadas cartesianas. Transformaciones entre coordenadas esféricas y cartesianas (ejes perpendiculares) x = r cos ϕ sen θ , y = r sen ϕ sen θ , z = r cos θ r = x 2+y 2+z 2, ϕ = arctg (

y x

) , θ =arctg

x 2+ y 2 z

Si deseamos dar la posición de un avión, además de la latitud y de la longitud debemos indicar la altura. Es decir, requerimos tres coordenadas.

3-Esfera Tori simulada en mi oficina Modelo elaborado por el Dr. Andrew Burbanks del Departamento de Matemáticas de la Universidad de Bristol (Reino Unido) para el desarrollo de sus trabajos sobre n dimensiones.

Así como se consideran sistemas de coordenadas en la recta, en el plano y en el espacio, también se pueden definir sistemas de coordenadas n dimensionales, n = 4, 5,… , para lo cual basta considerar n rectas que se cortan en un único punto (en cierta posición) y unidades de medida en cada una de ellas. Estos sistemas son de utilidad en matemática, física y otras disciplinas. RETO Si tienes que dar la dirección del lugar donde vives, ¿cuántas referencias das? Considera que la dirección se la das a un vecino, o a una persona que vive en otra ciudad o en otro país. Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Inecuaciones • 14

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Coordenadas y tecnología Actualmente la posición de un punto sobre la Tierra o un objeto en vuelo en la atmósfera terrestre, se puede localizar de forma muy precisa mediante el Sistema de Posicionamiento Global: GPS, por sus siglas en inglés (Global Positioning System), creado por el Departamento de Defensa de los Estados Unidos en 1978. A partir de 1996 se permitió su uso comercial y civil. Este es un sofisticado sistema de localización de posiciones basado en la recepción y procesamiento de las informaciones emitidas, permanentemente, por una red de 24 satélites que giran en 6 órbitas circulares de 4 satélites cada una, a una altitud aproximada de 20 200 km por encima de la superficie terrestre. Un pequeño instrumento electrónico de mano, denominado GPS, recibe y procesa la combinación de señales de al menos tres satélites, y muestra la posición en la que se encuentra respecto a un sistema de coordenadas geográficas que incluyen la latitud, la longitud y la altura sobre el nivel del mar.

Satélite 1 Satélite 2

¿Cómo se obtiene la posición de un objeto con el GPS? Supongamos que uno de los satélites está a una distancia de 15 000 km. Geométricamente, esto indica que el objeto en cuestión debe estar situado en algún lugar de la superficie de una esfera cuyo centro es ese satélite y cuyo radio es de 15 000 km. Imaginemos un segundo satélite a 16 000 km del objeto que se desea localizar. Ahora el objeto considerado está, además, en algún lugar de la superficie de la esfera de centro el nuevo satélite y radio 16 000 km. En consecuencia, el objeto se encuentra en la circunferencia intersección de las dos esferas (circunferencia verde en el gráfico). Pensemos en un tercer satélite cuya distancia al objeto en consideración es de 14 000 km. La nueva esfera de centro ese satélite y radio 14 000 km, interseca a las otras dos esferas en dos puntos A y B que pertenecen a la figura roja y que señalan la posible ubicación del GPS. Para saber cuál de los dos puntos señala nuestra verdadera posición deberíamos recibir la señal de un cuarto satélite. Pero en la práctica uno de los puntos indica una posición posiblemente fuera de la Tierra o bien que no cumple con las condiciones requeridas y por tanto se descarta sin tener que analizar otra nueva señal. El procesador del GPS realiza instantáneamente los cálculos trigonométricos necesarios para medir la distancia desde cada satélite y calcular su posición geográfica.

B

Satélite 1 A

Satélite 3

Una alternativa tecnológica para el seguimiento y control de flotas de vehículos es el sistema LAV: “Localización Automática de Vehículos”. Consiste en la utilización de un receptor GPS para determinar la posición exacta (latitud, longitud) del móvil que se encuentra en movimiento.

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Satélite 2

Sistema de ecuaciones

Puente Angostura sobre el río Orinoco, estado Bolívar, Venezuela. El 6 de Enero de 1967 fue inaugurado el Puente Angostura sobre el río Orinoco, cuya longitud total es de 1 678,5 metros. Su parte colgante está conformada por dos cuerpos laterales y un cuerpo central.

Padre, madre e hijo Plaza del Louvre, Paris, Francia.

Ecuaciones lineales con tres incógnitas Así como se estudian las ecuaciones lineales con dos incógnitas, hay múltiples situaciones que conducen a plantear ecuaciones lineales con tres o más incógnitas. Por ejemplo, las edades de los miembros de algunas familias suman 60 años. Si designamos por p la edad del padre, por m la edad de la madre y por h la edad del hijo, tenemos que: p + m + h = 60

Ecuación lineal con tres incógnitas

Observa que p, m y h son variables. Los valores de dos de ellas determinan el valor de la tercera. En general, una ecuación lineal con tres incógnitas es una igualdad de la forma ax + by + cz = d donde a, b, c y d son números reales, con a, b y c no todos nulos. Rubens, su esposa Helena Fourment, y su hijo Peter Paul. Peter Paul Rubens. Pintor flamenco (1577-1640).

Una solución de la ecuación ax + by + cz = d es una terna de números reales (x0, y0, z0) que la satisface.

Una misma expresión tiene diferentes representaciones, dependiendo del conjunto en consideración: ,

EN LA RECTA

EN EL PLANO

2

,

3

...

EN EL ESPACIO z

y

x=3

x=3

x=3

0

y

1

0

1

2

3

4

x

0

1

2

3

4

x

2 3

x

La expresión x = 3 corresponde, en la recta, al punto de abscisa 3.

En el plano, la expresión x = 3 corresponde a los puntos de la recta paralela al eje y que pasa por el punto (3, 0).

En el espacio, la expresión x = 3 representa el plano que pasa por el punto (3, 0, 0) y es paralelo al plano yz.

En la región de mesopotamia se desarrollaron civilizaciones de las más prolíficas de la antigüedad en invenciones. Allí se conoció el uso de la escritura, de la rueda y de metales. Hace cerca de 4 000 años, los matemáticos babilonios resolvían ecuaciones de primer y segundo grado y algunos tipos de ecuaciones cúbicas y bicuadráticas. También resolvían ciertos sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, por ejemplo: en notación actual x2 + y2 = 85 e y = 6x referidos 4 7 a un problema de áreas de cuadrados. Las incógnitas venían representadas por palabras como “longitud”, “ancho”, “área” y “volumen”, utilizadas, probablemente, en sentido abstracto por la forma como operaban con ellas. Asimismo, otras civilizaciones de la antigüedad, como la egipcia y la china, resolvieron algunos sistemas de ecuaciones.

114

Tableta babilónica que contiene problemas que se resuelven mediante ecuaciones de segundo grado.

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Balanza siglo XVIII.

Supongamos que las tres balanzas, A, B y C, que se muestran en la figura, están en equilibrio y se quiere hallar el peso de cada uno de los objetos:

A

B

C

35 x + y + z = 35

3x + 3z = 4y

x

y

3z + 4y = 7x

z

Esfera – Cilindro - Cono Si designamos los pesos de la esfera, el cilindro y el cono, en gramos, por x, y, z, respectivamente, se pueden escribir las ecuaciones: x + y + z = 35 3x–4y + 3z = 0 7x–4y–3z = 0 que es un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas. En general, un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas es de la forma: a 1x + b 1y + c 1z = d 1 a 2x + b 2y + c 2z = d 2 a 3x + b 3y + c 3z = d 3 En cada una de las ecuaciones del sistema, por lo menos uno de los coeficientes de las incógnitas es diferente de cero. Una solución común de estas ecuaciones, si existe, es una terna de números reales (x0, y0, z0) tal que satisface simultáneamente las tres ecuaciones: a 1x 0 + b 1y 0 + c 1z 0 = d 1 a 2x 0 + b 2y 0 + c 2z 0 = d 2 a 3x 0 + b 3y 0 + c 3z 0 = d 3

El estudio de los sistemas de ecuaciones lineales (SEL) forma parte del álgebra lineal, área ésta cuyo uso se ha expandido a las diversas ciencias utilizadoras de la matemática: la economía, la ingeniería, la física, la química, etc. Este tipo de “universalidad” del álgebra lineal tomó realmente auge a partir de la década 1920-1930. Desde la antigüedad, en civilizaciones occidentales y orientales, existían técnicas de eliminación y de sustitución para resolver tales SEL. Sin embargo, fue solamente a partir de la segunda mitad del siglo XVIII, con un trabajo de Leonhard Euler y otro de Gabriel Cramer, en 1750, en los que se comenzó a investigar sobre los SEL como objeto de estudio en sí mismos. Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Sistema de ecuaciones • 15

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Tres ecuaciones lineales con tres incógnitas Si representamos gráficamente un sistema de tres ecuaciones, cada una de éstas corresponde a un plano en el espacio de tres dimensiones. Si 1, 2 y 3 son los planos que describen las ecuaciones del sistema, hay las siguientes posibilidades: •

1

,

2

y

3

son diferentes.

• Dos de ellos coinciden (por ejemplo, •

1

,

2

y

3

1

coincide con

2

y

3

es diferente).

coinciden.

Analicemos cada situación:

Los tres planos son diferentes

1

2

A

r 3 3

1 2

Los tres planos 1, 2 y 3 tienen un único punto común. El sistema es compatible determinado (tiene solución única).

Los planos 1 y 2 se intersecan en la recta r y el plano 3 no corta a r. El sistema es incompatible (no tiene soluciones).

2 1 1

r

2

3 3

Los planos 1, 2 y 3 se intersecan en la recta común r. El sistema es compatible indeterminado (tiene infinitas soluciones).

Los tres planos son paralelos. El sistema es incompatible.

Dos planos coinciden y el tercer plano es diferente 1

=

2 1

=

2

r

3 3

y se intersecan con 3 en la recta r. 1 2 El sistema es compatible indeterminado.

116

y son paralelos con 3. 1 2 El sistema es incompatible.

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1

=

2

=

3

Los tres planos coinciden. El sistema es compatible indeterminado.

Gráficamente Se representan en un sistema de coordenadas cartesianas los planos que corresponden a las ecuaciones del sistema, y se determinan, con la mayor precisión posible, las coordenadas de los puntos de corte, en caso de que existan.

Analíticamente Varios programas informáticos (Maple, Matlab, Mathematica,...) permiten resolver sistemas de ecuaciones.

Usando métodos algebraicos: por igualación, sustitución o reducción, se puede llegar a un sistema “más pequeño” (esto es, con una incógnita menos) y se resuelve entonces un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Además, se pueden aplicar métodos que emplean matrices o determinantes.

En el tratado de matemática más importante de China, el que ejerció mayor influencia, titulado “El arte matemático en nueve secciones” (Zhui Zhang Suan Shu, s. III a.C.), en su sección octava (Faang-Ch’êng, que significa ecuación) se relacionan ecuaciones lineales simultáneas como el siguiente sistema (en notación actual): 3x + 2y + z = 39 2x + 3y + z = 34 x + 2y + 3z = 26 Operando sobre ese sistema lo reducen al 36z = 99, 5y + z = 24, 3x + 2y + z = 39, de dónde calculan los valores para x, y, z.

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Solución al problema de las balanzas Gráficamente Aquí se presenta una gráfica de los tres planos y se observa que la solución del sistema (x0 , y0 , z0) verifica: 11,9 < x0 < 12,1

14,95 < y0 0. Si algunos valores están alejados de la media, S tomará valores elevados. Así como la media es muy sensible a la presencia de valores atípicos también lo son S y S2, porque en esencia también son medias. Cuando hay valores atípicos puede resultar una mejor idea recurrir al uso del resumen de cinco números para indicar el centro y la variabilidad del conjunto de datos.

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Concentración A partir de una distribución de frecuencias se pueden obtener otras distribuciones que, en algunos casos, hacen evidentes cuestiones importantes. Por ejemplo, de la población de una ciudad se ha obtenido una distribución de frecuencias de los ingresos individuales por mes, y basándose en dicha distribución se han elaborado otras. En el cuadro siguiente se presentan estas distribuciones. Ingreso individual (Bs)

Número de personas

Cantidad de ingreso Bs.

% Nº de personas

% Acumulado Nº de personas

150 000

230 000

34,5 x 108

46

46

5,9

5,9

150 000

45 x 10

9

30

76

7,7

13,6

9

300 000

% Cantidad de ingreso

% Acumulado cantidad de ingreso

6

80 000

80 x 10

16

92

13,7

27,3

5 x 106

35 000

175 x 109

7

99

29,9

57,2

50 x 106

5 000

250 x 109

1

100

42,8

100,0

500 000

8

100

100,0

-

1 x 10

Total

584,5 x 10

-

Si todas las personas recibieran igual cantidad de ingreso, la distribución porcentual acumulada del número de personas sería igual a la distribución porcentual acumulada de la cantidad de ingreso. A este caso corresponden los puntos marcados en la bisectriz del cuadrado (linea de equidistribución) trazada en el gráfico al lado. En un caso como el del ejemplo, en el cual hay desigualdad en la distribución, los puntos correspondientes son los marcados fuera de la bisectriz. El cociente de dividir el área coloreada por la del triángulo de vértices (0;0), (100;0) y (100;100) es denominado razón de concentración. Con esta razón se mide la cuantía de la desigualdad en la distribución del ingreso. Su valor fluctúa entre 0 y 1, valores que corresponden, respectivamente, a las situaciones de igualdad y desigualdad extremas. Es usual obtener una aproximación de la razón de concentración aplicando la fórmula: ∑i (yi-yi’) ∑yi i

100

% acumulado de cantidad de ingreso

99% 92%

80

76%

60

57,2% 46% 40

27,3% 20

13,6%

en la cual y es un porcentaje acumulado de la cantidad de ingreso en el caso de igualdad, el yi’ es el correspondiente porcentaje acumulado de la cantidad de ingreso en el caso de desigualdad.

(46 - 5,9) + (76 - 13,6) + (92 - 27,3) + (99 - 57,2) ≈ 0,67 ≈ 67% 46 + 76 + 92 + 99 Interesante: Como es de pensar, el cálculo de la razón de concentración puede también ser útil en el caso de variables que no sean la cantidad de ingreso. La concentración ha sido enfocada desde otro punto de vista como se muestra en el gráfico que corresponde a la distribución del número de quejas según el tipo de causas de dichas quejas.

20

40

60

100 Frecuencia de quejas

En el ejemplo que nos ocupa, el valor aproximado de la razón de concentración es

5,9%

80 100 % acumulado de Nº de personas

80 60

40

20

I

II III IV Tipo de causa

V

Corrado Gini Economista italiano (1884-1965).

El estadístico italiano Corrado Gini estudió la concentración a comienzos del siglo XX y entonces propuso un modo para obtener un índice de concentración. Esta proposición fue en principio bien acogida y aplicada extensamente, pero después se redujo la atención a ella. A finales de ese siglo se inició un movimiento que ha reavivado el interés en el tema estudiado por Gini. Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Estadística • 21

165

Estadística y lactancia materna Amamantar a un hijo es una de la experiencias más gratas de la vida de una mujer, ya que la leche constituye un alimento ideal para el niño durante los primeros 4 a 6 meses de vida. Según la Organización Mundial de la Salud -OMS-, podrían salvarse en el mundo más de un millón de niños al año si las madres alimentaran exclusivamente con leche materna a sus hijos durante los primeros 4 meses de vida. Así mismo, la lactancia materna cobra importancia por el rol que ésta tiene en la prevención de anomalías dentomaxilofaciales. La lactancia materna disminuye en un 50% los indicadores de maloclusión dentaria (apifiamiento, resalte, mordida cruzada posterior, mordida abierta) que afecta la estética y la función dentofacial del niño. Aproximadamente a las 16 semanas, el feto esboza espontáneamente el movimiento de mamar. A las 27 semanas algunos se chupan el dedo en el útero, por tanto, la boca del recién nacido está adaptada para la función primordial del amamantamiento. Si la lactancia materna se ve frustrada, el niño a lo largo de su vida irá creando sustitutos, por ejemplo: tenderá a chuparse el dedo o la lengua en un esfuerzo por satisfacer su instinto de succión, o puede ponerse objetos extraños en la boca, morderse las uñas, el pelo, el brazo, los labios; todos estos hábitos incorrectos, son causa de maloclusión. A partir del año 1993, investigadores de la Escuela de Medicina "Luis Razetti" y la Facultad de Odontología de la Universidad Central de Venezuela (UCV), iniciaron un estudio dirigido a establecer la relación entre el período de lactancia materna, el tipo de perfil facial, y hábitos viciosos de succión y deglución en una muestra al azar de preescolares (122 de la Gran Caracas y 150 de la Etnia Pemón del Municipio Gran Sabana del Edo. Bolívar), siendo evaluados por especialistas odontólogos, previo entrenamiento. En el análisis de los datos se utilizaron dispositivos gráficos de cajas y de barras.

"Cuantos más detalles se tienen acerca de macro y micronutrientes específicos en la leche materna, tanto más claro es que la composición de ésta es idónea para lactantes humanos. El pediatra no necesita una justificación para recomendar el amamantamiento, pero sí la requiere para sustituirlo con el uso de la leche de vaca" Dra. Ruth Lawrence Yale New Haven Hospital Estados Unidos.

Interesante: La estadística ha permitido también hacer notorias las evidencias en cuanto a que la lactancia materna favorece el vínculo madre-hijo, previene la obesidad del niño, disminuye sus caries dentales y disminuye la propensión al cáncer mamario y ovárico de la madre.

166

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Los resultados muestran a los pemones con una mediana de tiempo de lactancia significativamente superior, con una mayor variabilidad y fuerte asimetría hacia un mayor tiempo de lactancia. Por su parte, los niños del área urbana manifiestan un gran parecido entre sí en su tiempo de lactancia, con leve asimetría (gráfico 1). Por otro lado, los pemones exhiben menor presencia de hábitos orales viciosos (gráfico 2) y mayor proporción de perfiles faciales rectos (gráfico 3). Los resultados son evidencias importantes de que la alimentación a través del seno maternal, contribuye a evitar la adquisición de hábitos deformantes bucales y previene las anomalías dentomaxilofaciales (perfiles cóncavos/convexos).

Lactancia y diseño de experimento A continuación presentamos un diseño de experimento que utiliza un cuadrado latino de orden 3. Un cuadrado latino de orden n, es un arreglo cuadrado de n filas y n columnas que contiene en cada celda uno de n símbolos (por ejemplo letras latinas), de forma tal que cada letra aparece una sola vez por fila y una sola vez por columna. Este tipo de arreglos se emplea en el diseño estadístico de experimentos, para controlar el efecto indeseable que pudieran ejercer dos variables perturbadoras sobre la variable respuesta. En la investigación sobre el valor alimenticio que pudieran tener tres fórmulas lactantes alternativas (A,B y C), en niños que durante sus primeros cuatro meses de vida presentan reacciones alérgicas a la lactosa de la leche materna, el peso de los niños y el tiempo de embarazo podrían perturbar la relación entre la variable respuesta (evaluación clínica de su estado nutricional) y los tratamientos (fórmulas para lactantes). En esta situación procederíamos a clasificar nueve niños por categorías de peso (P1, P2 y P3) y por tiempo de embarazo (T1, T2 y T3), y luego emplearíamos un cuadrado latino de tamaño 3 seleccionado aleatoriamente entre todos los existentes de ese tamaño, para determinar de qué forma se asignarían las tres fórmulas lactantes a los niños participantes en el experimento. El resultado de tal selección aleatoria podría haber sido el siguiente, lo que permitiría asegurarnos que en esta experiencia los resultados obtenidos sean confiables. Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Estadística • 21

167

Tengo que pensarlo

1

Cuadrados latinos ¿Cuántos cuadrados latinos hay de tamaño 3? Constrúyelos empleando nueve cartas de una baraja de naipes franceses consistentes de sirvientes (J), reinas (Q) y reyes (K) de corazones.

2

Fatídico 222 Los narradores de juego de "base-ball" hacían referencia al "fatídico 222" que se presentaba cuando, habiéndose realizado 2 "out" previamente, el bateador de turno lIegaba a la cuenta de 2 "strikes" y 2 bolas. AI presentarse tal situación anunciaban que el bateador de turno sería puesto "out". EI fatídico 222 parece haber sido descartado por falso. ¿Fue acaso descartado porque no existe fundamento frecuencial para la predicción que se hacía cuando se presentaba? ¿Podrías comprobar que en efecto fue así? ¿Cómo lo harías?

3

Experiencia docente Un conjunto de 10 profesores tienen promedio de 8 años de experiencia. Uno de ellos tiene 30 años de experiencia, cuatro de ellos poseen 5 años y dos tienen 10. ¿Podrán tener los otros dos más de 10 años de experiencia?

4

Tallos y hojas En una población vegetal a la cual se le ha determinado la altura (en cm) se tiene un dispositivo de tallos y hojas como el siguiente: Tallos 0 1 2 3

Hojas 73 2273 0334568 1237

¿Cuántos elementos tiene la población ¿Cuál es la mediana? Realice el gráfico de cajas correspondiente. 1. 12 cuadrados; 3. imposible; 4. 17 elementos tiene la población y la mediana es 23.

Esta planta, comúnmente llamada “Hala”, crece hasta los 10 metros de altura. Esta especie tiene más de 250 millones de años antigüedad.

Respuestas:

168

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Distribuciones bidimensionales

En Birongo, estado Miranda, un grupo de artesanos capacitados y dotados técnicamente por Fundación Polar, institución que los acompaña en la gestión de sus procesos desde el año 2000, se dedica a la fabricación de barras y bombones de chocolate, elaborados en diferentes presentaciones y a partir de la producción de cacao que tiene lugar en más de 300 plantaciones que se ubican en los alrededores de esta población. A mediano plazo, la consolidación de los procesos productivos, control estadístico y administrativo de cada uno de ellos y la introducción de mejoras tecnológicas, permitirán aumentar la producción diaria de chocolate a más de cuatro veces la actual (70 kg/día). La asociación funciona en un centro de producción –diseñado y construido por Fundación Polar– adaptado a las exigencias propias de la elaboración de chocolate. Las potencialidades de atracción turística de esta planta han servido de base para la formulación de un plan de desarrollo turístico para Birongo y la región, gestionado por la comunidad organizada. www.fpolar.org.ve Fotografía: Alejandro Reyes.

Si se mide una variable X en un objeto en dos momentos distintos (antes y después de algún tratamiento a dicho objeto), o si se mide X en dos objetos distintos (padre e hijo), se obtienen pares de valores con los que se pueden formar distribuciones de frecuencia bidimensionales de dicha variable. También se pueden formar distribuciones bidimensionales cuando se mide X en un primer objeto e Y en un segundo objeto que se supone relacionado de alguna manera con el primero. Por ejemplo, en 10 ciudades del mundo que presentan problemas de transporte urbano, se recogieron datos acerca de la modalidad de desplazamiento de los trabajadores entre su hogar y el trabajo. Sea X la modalidad de transporte utilizado e Y el número de lugares de trabajo de las ciudades en estudio tenemos el siguiente cuadro: Nº de lugares de trabajo/ciudad

Modalidad de desplazamiento Auto propio Autobús público Bicicleta

Total

16-65

77

18

5

100

65-120

42

37

21

100

120-175

16

59

25

100

Total

135

114

51

300

En el cuadro siguiente se muestra otro ejemplo de distribución bidimensional. Distribución de 1 000 adultos mayores de 20 años según el nivel de educación y nivel de ingreso Ingreso Y (Bs)

Primaria

Y < 3 · 105

n11 = 420

3 · 10 ≤ Y < 10 5

6

X nivel de educacion Secundaria Post secundaria

n12 = 210

n13 = 70

Total por filas

n1• = 700

n21 = 120

n22 = 60

n23 = 20

n2• = 200

Y ≥106

n31 = 60

n32 = 30

n33 = 10

n3• = 100

Total por columnas

n•1 = 600

n•2 = 300

n•3 = 100

n = 1 000

Al observar el cuadro podemos extraer información acerca de las modalidades de transporte que se utilizan en estas ciudades, por ejemplo en las ciudades que tienen entre 120 a 175 lugares de trabajo la modalidad de desplazamiento utilizada es el autobús público. En este cuadro, la fila y la columna de totales corresponden a las distribuciones de frecuencias unidimensionales de las variables X (Nivel de educación) e Y (Nivel de ingreso). Estos totales, por estar en los márgenes del cuadro, se denominan distribuciones marginales. Las otras filas y columnas son también distribuciones unidimensionales de X e Y, pero calificadas de condicionales.

Interesante: Si tomas cualquier valor del segundo cuadro de distribución bidimensional, observarás que al multiplicar el total de la fila Galton Pearsontotal de datos a la que pertenece dicho valor con el total de la columna donde está ubicado y lo divides entre el ynumero representados en el cuadro, el resultado coincide con el elemento seleccionado. Por ejemplo tomemos el elemento n32 =30, el total de la fila tres n3• = 100; el total de la columna dos n•2 = 300 ; el producto de estas dos cantidades dividido entre el número total de elementos n=1000 es igual a 30 que fue el valor seleccionado. Esto queda resumido en la siguiente n ·n expresión nij = i• n •j .Esto no es usual que ocurra, cuando ocurre se dice que las variables X e Y son independientes.

Karl Pearson (inglés 1857-1936), cuando trabajó asociado a Francis Galton (inglés 1822-1911), desarrolló el denominado coeficiente de correlación lineal. Pearson hizo otros aportes a la estadística que al igual que el coeficiente mencionado son de interés permanente.

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Palacio de las Academias anteriormente Universidad Central de Venezuela (1920). Caracas, Venezuela.

Cuando se mide una variable Y o dos variables X e Y y se obtienen -como se explicó al tratar acerca de las distribuciones bidimensionales- pares de valores de X o de X e Y; éstos pueden ser representados como puntos en gráficos cartesianos, lIamados gráficos de dispersión o "nubes de puntos". La forma en que aparecen estos puntos sugieren la existencia de relación entre las variables lo que se denomina correlación. Los gráficos siguientes muestran situaciones interesantes que pueden presentarse.

Gráfico 1. % de alúmina y % de sílice en la composición de la bauxita

Gráfico 2. Talla y peso de niños de 6 años de edad

Gráfico 3. Tiempo dedicado a prepararse para una prueba y número de errores cometidos al realizarla

% de sílice 7,5

kg

Nº de errores en la prueba

30

20

6,5

25

15

5,5

20

10

4,5

15

5

3,5

10 45

50

55 % de alumina

El gráfico 1 muestra evidencia de independencia entre el % de alúmina y de sílice que contiene la bauxita ya que al tomar cualquiera valor de uno de sus ejes tiene varios valores en el otro.

En el gráfico de dispersión se trazan las rectas x = x e y = y, siendo x e y las medias de los valores de las variables X e Y. Se han seleccionado cuatro puntos de la nube (A, B, C y D) indicando las diferencias (xi-x) e (yi-y).

100

105

110

115

120 cm

1

El gráfico 2 sugiere que existe una relación de dependencia entre la talla y el peso. A medida que aumenta la talla aumenta el peso.

Y

2

3

4

5 horas

El gráfico 3 sugiere que el número de errores disminuye con el tiempo dedicado al estudio por lo que existe una relación de dependencia.

Tomando punto por punto tenemos:

x=x B (x2,y2) x1-x>0

A (x1,y1)

y2-y>0

(x1-x) (y1-y) >0

(x2-x) (y2-y) 0

(x4-x) (y4-y) 0, E(X), V(X) se determinan en función de p. Según lo explicado en las páginas 179 y 180, en el caso del lanzamiento de una moneda p=0,5, y por tanto E(X)=0,5 y V(X)=(0,5)2=0,25. La esperanza matemática de la variable aleatoria es el valor medio de dicha variable. La varianza es el valor medio de las desviaciones elevadas al cuadrado de cada valor de la variable respecto a su esperanza matemática. Otro ejemplo de una variable, representable mediante el modelo de Bernoulli, es el nacimiento de un ser humano en el cual se distinguen dos resultados: sexo femenino (F) y sexo masculino (M). Designando con la letra X la variable sexo, y con x1 =1 el evento sexo femenino y x2=0 sexo masculino, a semejanza del caso del lanzamiento de una moneda emplearemos los símbolos P(X = x1)=p y P(X = x2)=q. Además también podemos considerar que p = q = 0,5.

El modelo binomial En el caso de una clínica de obstetricia, donde ocurren diariamente 10 nacimientos, los resultados de un día podrían ser los representados en el cuadro siguiente: Persona atendida

1ª

2ª

3ª

4ª

5ª

6ª

7ª

8ª

9ª

10ª

Sexo

F

F

M

F

M

M

M

F

M

M

Valor de X (xi)

1

1

0

1

0

0

0

1

0

0

P (X = xi)

p

p

q

p

q

q

q

p

q

q

La suma de los valores que X tomó en el día en referencia es 4. Si los nacimientos, en ese día, hubiesen sido todos o ninguno del sexo femenino la suma hubiese sido igual a 10 o igual a 0, respectivamente. En general la suma toma valores entre 0 y 10. Se llega así a la conclusión que la suma de los valores de la variable X es un valor de otra variable aleatoria Y. Tomando en cuenta que el orden en que nazcan 4 niñas en el total de los 10 nacimientos puede ocurrir de 210 maneras diferentes, la probabilidad P(Y=4) = (10 )p4 q6 = 4!10!6! p4 q6= 10.9.8.7 p4 q6=(210) p4 q6. 4 4.3.2.1 La probabilidad de que sea hembra o varón es de 0,5, entonces la probabilidad en nuestro ejemplo, es P(Y=4) = 210 • 0,54 • 0,56 ≈ 0,205.

Jakob Bernoulli (también conocido como Jacques I o James I) era hermano de otro célebre matemático Johann Bernoulli. Su obra Ars conjectandi (1713), publicada luego de su muerte, constituye el primer tratado sobre probabilidad.

182

Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Probabilidades • 23

Bernoulli, Jakob matemático suizo (1654-1705).

Modelo binomial n

En general, el modelo binomial asigna probabilidades P(Y=y)= ( y )pyqn-y para y = 1, 2,... , n. Tomando el caso de la clínica de obstetricia, podemos calcular la probabilidad para cualquiera valor de nacimientos de niñas entre 0 y 10 reflejado en el cuadro y gráfico siguientes: P(Y=y) 0,3

y

P(Y=y)

0

0,000977

1

0,009766

2

0,043945

3

0,117188

4

0,205078

5

0,246994

6

0,205078

7

0,117188

8

0,043945

9

0,009766

10

0,000977

0,2

0,1

Interesante: 0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

y

El valor esperado E(Y) y la varianza V(Y) de una variable binomial Y son: E(Y) = n•p y V(Y)=n•p•q En el modelo binomial las probabilidades P(Y=y)>0, E(Y) y V(Y) se expresan en función de n y p. Por lo tanto n y p son los parámetros que caracterizan dicho modelo.

En algunos textos sobre probabilidades se incluyen tablas como la presentada al lado izquierdo, cuyo uso facilita el cálculo de probabilidades de la variable binomial Y. Por ejemplo P(Y≥9) = P(Y=9) + P(Y=10) = 0,009766 + 0,000977 = 0,010743.

A continuación se presentan dos gráficos de variables binomiales de parámetros n=50; el de la izquierda corresponde al caso en que p=0,1 y el de la derecha al caso en que p=0,5.

Y

0

2

4 6 E(Y)=n•p=5

8

10

12

14

14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 E(Y)=n•p=25

En los dos histogramas a cada valor y de Y corresponde un rectángulo de área igual a P(Y=y) y se ha superpuesto una curva tal que entre ella y el eje de abscisas se encierra un área aproximadamente igual a la suma de las áreas de los rectángulos de todos los valores de Y. Obsérvese que esa aproximación es mejor en el gráfico de la derecha, en el que la distribución de las probabilidades P(Y=y) es simétrica. La curva corresponde al modelo probabilístico normal. Interesante: “Uno de los pasos en el desarrollo de un campo de conocimiento hacia la madurez científica, es la fabricación de modelos que permiten una predicción acertada en ese campo... La mera creación de modelos no es suficiente; los modelos tienen que sobrevivir a las pruebas... El progreso científico se basa en este constante juego entre los modelos y los datos...”. Irwin D. J. Bross (EE.UU.). Fundación Polar • Últimas Noticias • El mundo de la matemática • Probabilidades • 23

183

Modelo normal Se sabe que existen muchas variables que en la práctica siguen una distribución normal, tal es el caso de los pesos y tallas de personas y de las calificaciones de estudiantes. También es el caso que la distribución de las medias de n datos corresponde aproximadamente al modelo normal. Tal aproximación mejora en la medida en que n es mayor. Las variables que siguen una distribución normal son continuas. Si W es una variable que sigue el modelo normal, el conjunto de valores que puede tomar es infinito no numerable. Por lo tanto la probabilidad de que W tome un valor particular w es P(W=w)=0. No obstante también se pueden obtener probabilidades mayores que 0 correspondientes a conjuntos de valores de W como se indica en los gráficos siguientes:

P(w1≤ W ≤ w2)

P(W ≤ w1)

w1

w2

P(W ≥ w2)

w1

w2

La distribución de una variable aleatoria normal W tiene como parámetros su valor esperado E(W) y la desviación estándar V(W). En la actualidad el uso de computadores y calculadoras facilita la obtención de las probabilidades antes indicadas.

Veamos un ejemplo de aplicación del modelo normal. Un productor de bebidas necesita para envasarlas, botellas cuya capacidad no sea mayor que 250 ml. Un fabricante de botellas sostiene, basándose en la medición de la capacidad de gran número de las que él produce, que el histograma de la distribución de frecuencias de esas mediciones es muy aproximado a la curva de una variable normal W, como la presentada al lado. La media y la desviación estándar de la distribución de frecuencia son 245 ml y 2 ml respectivamente. Considerando que E(W)=245 y V(W)=2 mediante el uso de una calculadora se obtuvo P(W>250)= 0,006 21. Por tanto podemos concluir que en 1 000 botellas, aproximadamente 6 podrían tener capacidad mayor que 250 ml.

Histograma de capacidad de botellas (n=1 000) con distribución normal de media=245 ml y desviación estándar=1 ml Nº 100

50

0 240

245 capacidad (ml)

Acerca de la formulación del modelo normal se han presentado versiones atribuidas a Gauss, a Laplace y a otros. La aproximación del modelo binomial al normal, usada en este fascículo, fue estudiada por Abraham de Moivre (matemático francés, 1667-1754).

184

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250

Índice y créditos de la obra

Fascículo 1 Presentación ¿Por qué el mundo de la matemática? Los temas de El mundo de la matemática Sucesiones y modelos matemáticos Álgebra Estadísticas y gráficos

3 4 6 6 7 8

Fascículo 2 Las sucesiones Analizando sucesiones Progresiones aritméticas, geométricas y otras sucesiones

10 12 13

Fascículo 3 Otras sucesiones Sucesiones y dedos Fibonacci y el mundo Fibonacci y el número de oro El número de oro en el arte y la arquitectura Fibonacci, el número de oro y Le Corbusier

18 20 21 22 23 24

Fascículo 4 Matemáticas recreativas El ajedrez Las torres de Hanoi Sucesiones y música Orientaciones metodológicas (Sugerencias para los docentes) Tengo que pensarlo

26 26 27 28 30 32

Fascículo 5 Situaciones de coordenadas Sistemas de coordenadas en la recta Orden en la recta Sistemas de coordenadas en el plano Coordenadas y nuestro planeta Tierra Coordenadas y hora mundial

34 35 36 37 39 40

Fascículo 6 El lenguaje de las matemáticas Ayer y hoy del simbolismo de las ecuaciones algebraicas Ecuaciones lineales Funciones afín y cuadrática Ecuaciones cuadráticas

42 44 45 47 48

Fascículo 7 Ecuaciones de grado mayor que dos Soluciones de ecuaciones cúbicas Funciones polinómicas Adición Multiplicación División Polinomios y tecnología

50 51 52 52 53 54 55

Fascículo 8 Ecuaciones lineales con dos incógnitas Matemática recreativa Orientaciones metodológicas. Sugerencias para los docentes Tengo que pensarlo

58 60 62 64

Fascículo 9 Funciones y sus gráficas Leyendo gráficas y analizando tablas de valores Demanda y oferta de un bien Test de tolerancia a la glucosa Movimiento de un corredor Onda cuadrada Tasas de varación o de cambio

66 68 68 69 70 70 72

Fascículo 10 Tasas de varación o de cambio Otras situaciones de cálculo de tasas de cambio Analizando cambios a partir de gráficos y tablas Frecuencia y gráficos Desde las fichas y tablillas de arcilla hasta las computadoras

74 75 76 77 78

Fascículo 11 El mundo de las funciones La función exponencial La función logarítmica La función potencial La función potencial en ayuda de la industria De las escalas aritméticas a las escalas logarítmicas Un ejemplo de gráfico con escala logarítmica

82 82 83 84 85 86 87

Fascículo 12 La función logarítmica entre temblores y terremotos Torres sismorresistentes Logaritmos y acústica Logaritmos y química Tengo que pensarlo

90 92 93 94 95

Fascículo 13 El mundo de las inecuaciones Inecuaciones en la recta Resolviendo inecuaciones Solución geométrica de una inecuación lineal Inecuaciones cuadráticas Resolviendo inecuaciones

98 99 100 101 102 103

Fascículo 14 Inecuaciones en el plano Inecuación versus ecuación

106 109

Coordenadas en el espacio Sistemas de coordenadas en el espacio Coordenadas esféricas Coordenadas y tecnología

110 111 112

Fascículo 15 Ecuaciones lineales con tres incógnitas Tres ecuaciones lineales con tres incógnitas Solución al problema de las balanzas Tengo que pensarlo Juego: ¿Quién llega primero?

114 116 118 119 120

Fascículo 16 El mundo de los modelos matemáticos Los modelos matemáticos Situación A. Caso de una sucesión con crecimiento indefinido Situación B. Caso de la altura de un árbol que está en una colina Situación C. Caso del volumen de una naranja

122 124 124 125 126

Fascículo 17 Modelos matemáticos 130 Situación D.Un modelo dinámico: Crecimiento de la población mundial 131 Modelos en Venezuela 135 La matemática aplicada y los modelos matemáticos: una breve historia Tiempo remoto 136 Fascículo 18 Renacimiento La gran creación: El cálculo infinitesimal (s. XVII) Siglo XIX Siglo XX Otro modelo estático: modelo de empaquetamiento Orientaciones metodológicas. Sugerencias para los docentes Modelos en Venezuela

137 138 138 139 140 143 144

Fascículo 19 • Estadística y conocimiento Estadística y conocimiento Experimentos comparativos Estudios observacionales Construcción de modelos estadísticos Medición Tipos de medición Fascículo 20 • Variación y distribución Variación Validez y confiabilidad Descripción estadística: Variación y distribuciones de frecuencia unidimensionales Dispositivo de Tallos y Hojas Histograma

146 148 149 149 150 152 154 155 156 158 159

Fascículo 21 • Localización, variabilidad y concentración Localización de una distribución Medición de la variabilidad Desviación estándar Concentración Estadística y lactancia materna Tengo que pensarlo

162 163 164 165 166 168

Fascículo 22 • Distribuciones bidimensionales Distribuciones bidimensionales Correlación Regresión Orientaciones metodológicas. Sugerencias para los docentes Estadística y VIH/SIDA

170 171 172 174 175

Fascículo 23 Probabilidad en el tiempo Probabilidad Teorema de Bayes Modelos de Bernoulli y binomial Modelo binomial Modelo normal

178 179 181 182 183 184

Fascículo 24 Índice de la obra Fe de erratas Equipo de trabajo

186 190 191

Fascículo

Página

1

3

Donde dice

Debe decir

4 7 2

14 y 15

5

36

6

42

En los dos dibujos las líneas deben ser punteadas

48 7

51 55

En el dibujo de la derecha: en el eje 0x es -1 y en el eje 0y es 10 y

y

ax y=

+b x

O

ax y=

b

+b x

O

b es fijo

56

56

O

O

b y c fijos

11

88

b y c fijos

Coordinador de la colección Renato Valdivieso (Fundación Polar) Coordinadora académica Inés Carrera de Orellana Profesora de Física y Matemática (Instituto Pedagógico de Caracas) Postgrado en Didáctica de la Matemática DEA (Universidad de París VII, Francia) Profesora Titular (J) CENAMEC Especialistas del área Walter Beyer Licenciado en Matemática (UCV) Magíster en Educación mención Enseñanza de la Matemática (UPEL) Profesor Asociado (J) (UNA)

Saulo Rada Aranda Profesor de Física y Matemática (IPC) Maestría en Educación Matemática (Universidad de Maryland, EE.UU.) Profesor Titular (J) (UPEL)

Alberto Camardiel Licenciado en Estadística (UCV) Magíster en Estadística (Universidad de Stanford, EE.UU.) Profesor Titular (UCV)

Sergio Rivas Licenciado en Matemática (UCV) Maestría en Matemática (UCV) Profesor Asociado (J) (UNA)

Antonio Dávila Profesor de Física y Matemática (IPC) Curso Especialización en Enseñanza de la Física (UPEL) Profesor (J) del Ministerio de Educación, Cultura y Deporte

Luis Beltrán Salas Licenciado en Estadística (UCV) Doctor en Ciencias Económicas y Sociales (UCV) Profesor Titular (J) (UCV)

Mauricio J. Orellana Chacín Licenciado en Matemática (UCV) Doctor en Matemática (Universidad de GrenobleFrancia). Profesor Titular (J) (UCV) Colaboradores Lucila Blanco (UCV) Marco Falcón Ascanio (UCV) María Elena Guerra (UCV)

Validadores Henry Martínez (UCAB) Rafael Sánchez (UCV) Antonio Acosta (UCV) Laura Galindo (UCV) Julio Grau José Manuel Pinto Revisión de textos

Ricardo Alezones Renato Valdivieso

Fundación Polar es la expresión del compromiso institucional de Empresas Polar con Venezuela. Fue creada para apoyar y fomentar innovaciones e iniciativas sustentables que fortalezcan el tejido social de Venezuela y que contribuyan a mejorar la calidad de vida de sus habitantes. Objetivos • Aliviar disparidades de la sociedad • Consolidar valores éticos y patrimoniales • Fomentar y potenciar el talento y el conocimiento • Estimular la participación responsable y el consenso entre los diversos actores de la sociedad

Edificio Fundación Polar 2da avenida de Los Cortijos de Lourdes Apartado Postal 70.934, Los Ruices Caracas 1071-A. Venezuela Telf: 58 (212) 202.75.30 Fax: 58 (212) 202.76.01 E-mail: [email protected]

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