Campo Eléctrico

Campo Eléctrico

„ La noción física de campo se corresponde

„ El espacio que rodea a un cuerpo cargado cualquiera parece

con la de un espacio dotado de propiedades medibles.

estar afectado por este cuerpo y a este espacio lo llamaremos campo eléctrico. Podemos decir también que el campo eléctrico asociado a una carga aislada o a un conjunto de cargas es aquella región del espacio en donde se dejan sentir sus efectos.

„ En el caso de que se trate de un campo de

fuerzas éste viene a ser aquella región del espacio en donde se dejan sentir los efectos de fuerzas a distancia.

Campo Eléctrico

r Fe

Colocamos un cuerpo cargado en el espacio a analizar y vemos que pasa

¿Como nos damos cuenta?

Campo Eléctrico

„ Todo campo físico queda caracterizado por sus

propiedades. „ En el caso del campo eléctrico, una forma de

describir las propiedades del campo sería indicar la fuerza F que se ejercería sobre un mismo cuerpo e de prueba que tenga una carga q0

„ La fuerza eléctrica que en un punto cualquiera del

campo se ejerce sobre la carga de prueba positiva, tomada como elemento de comparación, recibe el nombre de intensidad del campo eléctrico y se representa por la letra

r E

Definimos campo eléctrico como:

r r Fe E= q0

„ La carga de referencia más simple es la carga

puntual (masa despreciable) con carga positiva.

Campo Eléctrico

Campo Eléctrico

„ Por tratarse de una fuerza (vector) por unidad de

„ Podemos decir entonces que el campo eléctrico en

carga (escalar) la intensidad del campo eléctrico es una magnitud vectorial que viene definida por su módulo

r r Fe E= q0

E

y por su dirección y sentido.

Fe →

Fuerza eléctrica en el punto

q0 →

Carga de prueba

un punto es distinto de cero si una carga de prueba situada en dicho punto siente una fuerza eléctrica „ Para que la carga de prueba no modifique el campo eléctrico se tiene que cumplir que:

r r Fe E = lim q0 → 0 q 0

q

Es decir la carga 0 tiene que ser muy pequeña a fin de no modificar el campo que se quiere poner en evidencia Por convención la carga de prueba es siempre positiva

1

Campo Eléctrico

Campo Eléctrico

„ Conociendo en campo eléctrico, en un punto

„ Campo eléctrico de una carga puntual

podemos conocer la fuerza eléctrica sobre una carga en dicho punto

r r Fe = q * E

Las unidades del campo eléctrico en el S.I. serán

[] []

r r Fe 1 1 E= = q0 4πε 0 q0 r E =

r r F [Newton] = N E = = [q ] [Coulomb] C

1 4πε 0

q0 q r r r2

Simplificando

q r r r2

Sistema de N cargas puntuales

Sistema de N cargas puntuales

„ Supongamos que tenemos ahora un sistema de N

n r q q r Fe = 0 ∑ 2i ri 4πε 0 i =1 ri r r Fe 1 n qi r n r E= = Ei ∑ ri = ∑ q0 4πε 0 i =1 ri 2 i =1

cargas puntuales. La fuerza que actuará sobre una carga de prueba situada en un punto P del espacio estará dada

r Fe =

q0 q1 r 1 q0 q 2 r 1 q0 q n r r1 + r2 + ...... + rn 2 2 4πε 0 r1 4πε 0 r2 4πε 0 rn2 1

r q ⎛q r q r q r⎞ Fe = 0 ⎜⎜ 12 r1 + 22 r2 + ...... + 2n rn ⎟⎟ 4πε 0 ⎝ r1 r2 rn ⎠

Ejemplo: q1

y

q2

ambas positivas con

r E1

r E2

q0

α q1

β q2

q1 = 2q2 r r v E1 = E1x + E1 y

r ET

r v r ET = E1 + E2 r r v E2 = E2 x + E2 y

r E1x =

r 1 q1 senαi 4πε 0 r12 r r 1 q1 E1 y = cos αj 2 4πε 0 r1 r r 1 q2 E2 x = senβ i 4πε 0 r22 r r 1 q2 E2 y = cos β j 4πε 0 r22

r E1

r E2

q0

α q1

r r v ETx = E1x + E2 x r r v ETy = E1 y + E2 y

ET = β

Ex + E y

δ = arctg

2

2

Ex Ey

q2

2

Dipolo eléctrico

Dipolo eléctrico r r r ET = E1 + E2

q

r r ET = 2 E y q E y = E1 cos α

α α

a

P

r E1

r E2

α α

r

−q

P r E2

−q

r r r r ETy = E1 y + E2 y = 2 E1 y

r r r ETx = E1x + E2 x = 0

Dipolo eléctrico E1 =

1 4πε 0

(a

q 2

+r

2

)

2

=

1 q 4πε 0 a 2 + r 2

ET ≅

q ET = 2 E y = 2 E1 cos α = 2 4πε 0 a 2 + r 2

2aq 4πε 0

Llamamos a

1

(a

2

+r

a a2 + r 2

r >> a ⇒ ET ≅

)

3 2 2

ρ = 2aq

1 2aq 4πε 0 r 3

1

a a2 + r 2

r ET 1 4πε 0

(a

q 2

+r

2

)

2

=

1 q 4πε 0 a 2 + r 2

ρ

4πε 0 r 3

Vemos entonces que para el dipolo eléctrico el campo eléctrico

varia

ET ∝

1 r3

Mientras que para la carga eléctrica lo hace momento de dipolo eléctrico

ET ≅

Distribuciones de Carga

r ΔEi =

r E≈

Δqi r ri 4πε 0 ri 2 1

Δqi r ri ∑ 4πε 0 i =1 ri 2 1

1 r2

Distribuciones de Carga

r r Δqi → ΔFi → ΔEi

Q

cos α =

Dipolo eléctrico

1

ET =

E1 =

r E1

n

r ΔEi → dEir

Δqi → 0 r dEi = lim

Δqi →0

Δqi r 1 dqi r r = ri 2 i 4πε 0 ri 4πε 0 ri 2 1

r r 1 dq r 1 dq r E = ∫ dEi = ∫ r= r 2 ∫ 4πε 0 r 4πε 0 V r 2 V V

Δq

3

Distribuciones continuas de carga ρ

Para una densidad volumétrica de carga

r dq = ρ (r )dV → E =

r E

λ

Una varilla de longitud l esta cargada con una densidad lineal de carga uniforme, siendo la carga total Q Calcularemos el campo eléctrico en un punto P situado a lo largo del eje de la varilla, a una distancia de un extremo

a

σ

será

1 σ (r ) dS 4πε 0 ∫S r 2

λ

Para una densidad lineal carga

r dq = λ (r )dV → E =

„ Ejemplo: Campo eléctrico de una varilla cargada

será

1 ρ (r ) dV 4πε 0 V∫ r 2

Para una densidad superficial de carga

r dq = σ (r )dS → E =

Distribuciones continuas de carga

1 4πε 0

∫ L

x

r E

Q

P

será

λ (r ) r

2

a

l

dL

dx dq

Q

P

Campo eléctrico de un anillo cargado uniformemente

a

a

l

dE =

dq = λdx λ E= 4πε 0 E=

∫

l +a

a

dq 1 λdx λ dx = = 4πε 0 x 2 4πε 0 x 2 4πε 0 x 2

x

1

dx λ ⇒E= 4πε 0 x2

l λ 4πε 0 a(l + a )

Un anillo de radio esta cargado positivamente de manera uniforme, con una carga total Q Calcularemos el campo eléctrico en un punto P situado sobre el eje del anillo a una distancia del centro del mismo

Si

⎡ 1⎤ ⎢⎣− x ⎥⎦

Las componentes en Y se anulan, solo quedan componentes en X

l +a

=

1 ⎞ λ ⎛1 ⎜ − ⎟ 4πε 0 ⎝ a l + a ⎠

dE =

a

a >> l ⇒ E =

λ l 4πε 0 a 2

1

dq 4πε 0 r 2

Campo eléctrico de un anillo cargado uniformemente

dE1 y = − dE2 y

dE x = dE cos θ =

Ey = 0

r = x2 + a2

dE x = dE cos θ

r v ET = E x

dE x =

1 x 4πε 0 x 2 + a 2

(

E x = ∫ dE x = ∫ Q

1 dq x 1 xdq 1 dq = cos θ = 4πε 0 r 2 r 4πε 0 r 3 4πε 0 r 2

Q

)

3

dq ⇒ 2

x 1 4πε 0 x 2 + a 2

(

)

3

dq = 2

x 1 4πε 0 x 2 + a 2

(

)

3

Q 2

4

Líneas de Campo Eléctrico

Líneas de Campo Eléctrico

„ Es una representación grafica, no son reales, permiten visualizar

el campo eléctrico.

La misma cantidad de líneas atraviesan las superficie

„ El vector del campo eléctrico es tangente a la línea de campo

A

y

B

eléctrico en cada punto „ El número de líneas de campo eléctrico por unidad de superficie

perpendicular a dichas líneas es proporcional a la magnitud del campo en esa región del espacio „ En donde las líneas están muy cercanas, el campo es grande y en

donde están separadas es pequeño.

B

Pero los efectos del campo eléctrico son mayores en la superficie

A

ya que

hay mayor densidad de líneas de campo

Líneas de Campo Eléctrico

Líneas de Campo Eléctrico

„ Líneas de campo eléctrico de una carga puntual

„ Líneas de campo eléctrico de un dipolo eléctrico

+q

+

A

−q

Las líneas de campo salen de la carga positiva y mueren en la carga negativa, el espacio entre las dos cargas tiene mayor campo eléctrico

-

Líneas de Campo Eléctrico

Líneas de Campo Eléctrico

„ Líneas de campo eléctrico de dos cargas puntuales positivas

En el espacio entre las dos cargas el campo eléctrico total es nulo

La carga positiva es el doble de la carga negativa

5

Líneas de Campo Eléctrico

Movimiento de una partícula cargada en un campo eléctrico uniforme r E

„ Una varilla larga cargada

+

_

+ +

+ Para una varilla cargada uniformemente el campo es normal a la varilla y constante

+ + +

+

v=0

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Movimiento de una partícula cargada en un campo eléctrico uniforme

r v

_ _

r r r Fe = qE = ma ⇒ r r qE a= m r r E = cte ⇒ a = cte

_ _ _

x=

_ _ _

1 2 1 qE 2 at = t 2 2 m

v = at =

qE t m

Tubo de rayos catódicos (TRC)

_

_

_

_

_

_

_

_

_

_ _

r r eE r a = ay = − j m

vxx ==vvi ti = cte

+

+

+

+

+

+

+

+

+

r E

1 eE1 eE y =v y =aayytt2==−− t t 2 m2 m 2

Flujo de Campo Eléctrico

Flujo de Campo Eléctrico „ El flujo será el producto escalar entre ambos vectores

„ Este concepto se origina en la Teoría de los Fluidos, donde flujo

significa la rapidez con que un fluido pasa a través de una superficie imaginaria.

Φ

„ El flujo de un campo vectorial

involucra: el campo vectorial y una superficie en la cual el flujo es evaluado.

„

Para obtener el flujo a través de una superficie representamos a la superficie mediante el vector superficie

„ Para una superficie plana el vector superficie tendrá un modulo

igual al área de la superficie a esta superficie

ΔS

y como dirección perpendicular

r r Φ E = ExΔS = E * ΔS * cos α

r E

Si

r E = cte

ΔS = cte

α = 900 Φ E = ΔS * E

6

Flujo de Campo Eléctrico

Flujo de Campo Eléctrico

r E

„ Si la superficie es curva o el campo eléctrico varía punto a

punto sobre la superficie, el flujo se obtiene dividiendo la superficie en pequeños elementos, tan pequeños que puedan considerarse planos, y que el campo eléctrico no varíe en su superficie

0 = =90 220 α α= α45 r ΔS

0

„ El flujo total será la suma de todas las contribuciones de

flujo a través de cada uno de los elementos de superficie

r r 45 Φ E = ExΔS = E * ΔS **cos 22 cosα 9000 = 0

n

ΦET = ∑ ΦEi i =1

Flujo de Campo Eléctrico

Flujo de Campo Eléctrico „ En el limite en que el tamaño de cada elemento se

aproxima a cero y el numero de elementos a infinito, la suma se convierte en una integral n

ΦET = ∑ ΦEi i =1

Flujo de Campo Eléctrico

r E

r ΔS

Flujo de Campo Eléctrico n→∞ r r ΔS → dS

∑→ ∫

r r nn r r n r r r r Φ E = E ΦEΦ =T∑=Φlim ExiS= ∑ EExxΔΔ SiS = ExdS T E ∑ T ∫ i =1

ΔS →0 i =1 i =1

S

r r ΦE = ∫ ExdS

r r ΦE2 = ExA = E * A * cos θ

r r ΦE1 = ExA′ = E * A′ * cos θ

ΦE1 = −ΦE2 ⇒ ΦET = ΦE1 + ΦE2 = 0

ΦET = 0

7

Superficie Cerrada

Flujo de Campo Eléctrico r r ΦE = ∫ ExdS = S

= ∫ E * dS * cos θ S

Flujo de Campo eléctrico

Flujo de Campo eléctrico

Si

r E

ΦET = ΦESi + ΦES d + ΦES L r r ΦES = ExS d = E * S d * cos1800 = − E * S d r r ΦESi = ExSi = E * S i * cos 00 = E * Si r r ΦES L = ExS L = E * S L * cos 900 = 0 d

Sd SL

ΦET = ΦESi + ΦES d + ΦES L = E * S + 0 − E * S = 0

ΦET = 0

Ley de Gauss

Ley de Gauss

„ La ley de Gauss puede ser enunciada de la siguiente

„ Resumiendo la ley de Gauss dice que “ el flujo eléctrico a través

manera: el flujo eléctrico ΦE a través de una superficie cerrada arbitraria es proporcional a la carga neta encerrada.

ΦE ∝ ∑ q

∑q ⇒ ΦE = ε0

Para la igualdad será

v r ∫ ExdS = S

∑q

de una superficie cerrada arbitraria es igual a la carga neta encerrada por dicha superficie dividida por 0 “

ε

v r E ∫ xdS = S

∑q ε0

ε0

8

Ley de Gauss

Ley de Gauss y Ley de Coulomb v r v r q E xd S = ⇒ ε E 0 ∫ ∫ xdS =q

„Donde la superficie cerrada (superficie gaussiana) puede tener cualquier

forma y tamaño y el termino

∑q

ε0

S

S v r ε 0 ∫ ExdS =ε 0 ∫ E * dS * cos 00 ⇒

representa la carga neta

contenida en el volumen que encierra la superficie.

S

S

ε 0 ∫ E * dS =q ⇒ ε 0 * E * 4πr 2 = q S

El seleccionar la forma y el tamaño adecuados de una superficie gaussiana es una de las claves principales para la utilización correcta de la Ley de Gauss. Es muy útil para situaciones de alta simetría

Ley de Gauss

E=

1

q 4πε 0 r 2

Fe = q0 E ⇒ Fe =

1

q * q0 4πε 0 r 2

Ley de Gauss Φcreado E L =por0una partícula cargada exterior al q bloque. Φ E = − S i 2 i „ La superficie cerrada esta 4 πε r formada por dos 0 i casquetes esféricos q con en la partícula y S Φcentro E = e e cuatro planos laterales 4πε 0 re2 alineados radialmente „ El campo eléctrico esta

„ El flujo neto es cero, ya que el flujo que atraviesa el casquete

interior es el que también atraviesa el casquete exterior, pero cambiado de signo „ Una superficie de cualquier forma puede ser construida con un numero infinito de casquetes esféricos y lados planos radiales de tamaño infinitesimal

ΦET = 0

con la partícula.

rr rr qq q cos 0+q **Φ Φ xdSSE dS dS =r0=−−E 2 q= S e 0Si q==∫+ qdS **cos 180 Φ dSE=r= −= ΦS ∫ESEΦ ∫ ΦEΦEEE==∫=∫=EE−xdΦ E E + = ∫ 4 πε 4 πε r rei−Φ =− S4πε = −r E2 0 ri i S4πε rr Si =04πε 4πε r 4πε r r

„ Como los dos casquetes están limitados por 2 0 2 los mismos planos radiales, la relación entre e 2 e i e áreas es igual a la relación entre el e 2 sus Te S i S2 e L e i 0 e Si 22 e 0 i e Si S i e entre sus S i radios, cuadrado es decir 2 2 i 0 e 0 e 0 ii i

Ley de Gauss

Ley de Gauss

„ Flujo a través de una superficie arbitraria debido a una

„ Como el valor de es independiente del radio de la esfera, el

partícula cargada interior

flujo será el mismo para una esfera de cualquier radio. „ Por otra parte, cualquier superficie de forma arbitraria puede

1

q * 2 * 4πr 2 ΦE = E * S = 4πε 0 r ΦE =

q

obtenerse como límite de un número infinito de casquetes esféricos y planes radiales infinitesimales, entonces podemos afirmar que el flujo eléctrico a través de una superficie gaussiana de forma arbitraria debido a una partícula cargada encerrada en su interior será siempre:

ε0

ΦE =

q

ε0

9

Ley de Gauss

Ley de Gauss „ Superficies

cerradas de varias formas que encierran una carga „ El flujo eléctrico

neto a través de cualquiera de ellas es el mismo

r r r r ET = E1 + E2 + E3

r r r r r r r ΦET = ∫ E1 xdS + ∫ E2 xdS + ∫ E3 xdS S

ΦE =

q1

ε0

S

+0+

q2

ε0

n

S

=∑ i =1

q1

ε0

Ley de Gauss

Propiedades electroestáticas de un conductor

„ Campo debido a una distribución lineal de cargas

„ En electrostática,

ΦE = ∫ E * dS * cos 00 + 2 ∫ E * dS * cos 900

+ + + + + + + + + +

r E

Sup. Lateral

SupTapas

ΦE = ∫ E * dS + 0 = E 2πrL

ΦE =

λ

λL λL ⇒ E 2πrL = ε0 ε0

λ E= 2πε 0 r

Propiedades electroestáticas de un conductor

es dentro del conductor.

„ No puede haber exceso de carga en ningún punto interior del

conductor: la densidad de carga volumétrica debe ser cero para cualquier parte del conductor.

ρ =0

Sup . Lateral

„ Aplicando la Ley de Gaus

r E=0

„ Si la carga neta no puede estar dentro del conductor significa que

las cargas se ubican en la superficie, y distribuidas de manera que en el interior del conductor el campo eléctrico se anule „ En el interior del conductor

r Q = 0 ⇒ ΦE = 0 ⇒ E = 0

Propiedades electroestáticas de un conductor

„ En la zona exterior inmediata a la superficie el campo eléctrico

debe ser perpendicular a ella, dado que si tuviera una componente tangencial, la misma provocaría que las cargas superficiales se moviesen en respuesta a la fuerza tangencial resultante.

Conductor cargado

∑

„ El campo eléctrico

q =aσun* ΔS debido conductor cargado será entonces ΔS „ Aplicando la Ley de Gauss

„ Por tanto, en un conductor en equilibrio en su superficie el

campo es perpendicular. La dirección del campo será hacia fuera si las cargas superficiales son positivas, caso contrario,

σ ∑q ε0 ε

=* ΔS = ΦEE =E

hacia adentro. Superficie Gaussiana

r Φ 0 +S = ΦEE ==0∫+Exd S

∫ ∫

0

r r rr r σ r σ r* ΔS Exd SES==+E * Δ EΦxd S E=xd=SE+ΔS ⇒∫ EExd =S ∫ ∫EdS

Sup .TSup . Exterior . Lateral

SupSup .T ..Exterior T . Interior

ε0

Sup .T . Exterior

ε0

10